律呂闡微

欽定四庫全書

　律呂闡微卷二

　　　　　　　　　　　婺源　江永　撰

律率

從來言律者皆云黄鍾九寸既得九寸用三分損一益

一以生十一律其法似巧妙一若天地生成有此法與

數者洎生至仲呂不能復得黄鍾說者曰律呂之數徃

而不返夫律呂傚法天地者也天地之氣今歲節氣既

終來歲節氣即續無絲毫之間斷獨律呂徃而不返天

地豈留其有憾乎有謂仲呂極不生者淮南子劉安之

說也有謂仲呂後猶生六十律强立之名自執始至南

事者京房之說也有謂仲呂所生為變律且有變律子

聲者杜佑之說也三家之說皆非是獨朱載堉因㮚氏

為量有内方尺而圓其外之文悟出天地以方圓相函

而自然之數出其中皆以句股乘除開方之法求之由

倍律而正律由正律而半律皆有真率真數疏宻以漸

而差每一律與三分損益所得者微强而不甚相逺其

相生也可隔八可相連可左旋而順亦可右旋而逆仲

呂與黄鍾如母子之相隨應鍾與黄鍾黄鍾與大呂如

兄弟之相比夫婦之相偶皆一氣相聨無絲毫之間斷

因律管長短推出管體厚薄與空圍大小外周内周外

徑内徑平幂積實皆方圓相函自然之真數此數千年

未洩之秘載堉始發之雖起伶倫州鳩師曠之徒見之

亦當歎其妙絶今載其說更推本於圖書發明理數之

所以然使此理昭晰無疑千萬世言律學者更無可鑿

智翻案之理惟其算周徑幂積所用之宻率猶有未真

確者俟律體篇詳之

載堉之推律亦因其舅祖何氏辨劉歆班固九寸外加

一寸為尺之謬又以十分之法解史記生鍾分始知律

原從十起先有體而後有用遂因方内圓外之文悟方

圓相函之理倍律二尺正律一尺半律五寸皆以十為

率也倘一矢口即曰黄鍾九寸雖有微妙理數隠於方

圓相函之中亦無由生其悟矣

律數精微載堉深通算學故能啓悟乗除開方不憚煩

勞推至二十餘位皆從艱苦得之宋儒言格物窮理此

一項工夫欠缺者多矣

推十二倍律正律之真率

朱載堉曰律家三分損其二三分益其一厯家四分度

之一四分日之一與夫方則直五斜七圓則周三徑一

等率皆舉大畧而言之耳非精義也新法算律與方圓

皆用句股術其法本諸周禮㮚氏為量内方尺而圓其

外夫内方尺而圓其外則圓徑與方斜同知方之斜即

知圓之徑矣度本起於黄鍾之長則黄鍾之長即度法

一尺命平方一尺為黄鍾之率(按㮚氏之方尺自是周家之尺耳非即黄鍾之)

(尺也因一尺之數同故命之以為黄鍾之率)東西十寸為句自乘得百寸為

句幂(按幂方眼也音覔俗或作冪音莫)南北十寸為股自乘得百寸為

股幂相併共得二百寸為弦幂(按句股求弦術句股各自乘併之為弦幂開方)

(得斜弦)乃置弦幂為實開平方法除之(按開平方法初商為大平方次商以)

(後迭加兩亷一隅以除實)得弦一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽

五微六纎二三七三○九五○四八八○一六八九為

方之斜即圓之徑亦即蕤賔倍律之率(按圓内方尺其幂百寸圓外方)

(二尺其幂四百寸方斜圓徑之幂二百得内方之倍外方之半蕤賔為午律猶一歲夏至在前後冬至之間所)

(以應蕤賔者其幂得黄鍾倍律之半故也既得蕤賔遂可求南呂得南呂遂可求應鐘以應鐘為法遂可求諸)

(律其機闋要妙在先得蕤賔自然之理數千古其誰知之)以句十寸乘之(按内方十寸當為根)

(數也)得平方積一百四十一寸四十二分一十三釐五十

六毫二十三絲七十三忽○九五○四八八○一六八

九為實開平方法除之得一尺一寸八分九釐二毫○

七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五即

南呂倍律之率仍以句十寸乘之(一尺進為百寸)又以股十寸

乘之(百寸進為千寸)得立方積一千一百八十九寸二百○七

分一百一十五釐○○二毫七百二十一絲○六十六

忽七一七五為實開立方法除之(按開立方法初商自乘再乘為大立方次)

(商以後與前商乘為平亷又乘為長亷迭加三平亷三長亷一隅以除實)得一尺○五分九

釐四毫六絲三忽○九纎四三五九二九五二六四五

六一八二五(立方之方根也)即應鍾倍律之率(按南呂至應鍾隔無射一律以)

(立方積求立方根得之理數甚竒)蓋十二律黄鍾為始應鍾為終終而

復始循環無端此自然真理猶貞後元生坤盡復來也

是故各律皆以黄鍾正數十寸乘之為實皆以應鍾倍

數十寸○五分九釐四毫六絲三忽○九纎四三五九

二九五二六四五六一八二五為法除之即得其次律

也安有徃而不返之理哉舊法徃而不返者蓋由三分

損益算術不精之所致也是故新法不用三分損益别

造宻率其詳如左

　按載堉謂舊法徃而不返由三分損益算術不精之

　所致愚謂古人亦非算術不精也九九八十一之數

　始於三管子有起五音凡首先主一而三之四開以

　合九九之說伶州鳩有紀之以三平之以六成於十

　二之說老子有道生一一生二二生三三生萬物之

　說漢人有太極元氣函三為一之說始動於子參之

　於丑以至參之於亥為應鍾得十七萬七千一百四

　十七之數一若以此為萬物終始自然之數矣下生

　者倍其實三其法上生者四其實三其法黄鍾九寸

　林鍾六寸太蔟八寸三律得寸之全無零分漢人遂

　有黄鍾為天統林鍾為地統太蔟為人統之說矣其

　推說愈近理則其信三分損益也愈固惡知此外仍

　有算律之法哉又以舊法較今法林鍾得黄鍾三分

　之二以倍律言之當為一三三三三不盡而新率為

　一三三四八有竒太蔟得黄鍾九分之八倍律當為

　一七七七七不盡而新率為一七八一七有竒其數

　與三分損益所得者切近而稍贏安得不以三分損

　益為自然之數哉至仲呂不能反生黄鍾則無如之

　何矣獨淮南子所載諸律之數何承天劉焯算之似

　欲破三分損益之說載之晉書宋書然而竒零小數

　半分以下棄之半分已上收之終無確數其黄鍾生

　林鍾之法置黄鍾八十一分為實以五百乘之得四

　萬○五百分以七百四十九為法除之得五十四分

　為林鍾除實未盡則棄之矣七百四十九者與仲呂

　正律之長相近以此為法似矣然九之下仍有小數

　新法黄鍾生林鍾置黄鍾之率十億為實五億乘之

　七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之得

　林鍾則以七四九為法除實求林鍾者尚未確是以

　仲呂終不能反生黄鍾皆由方圓相函勾股乘除開

　方一竅未啓故載堉云新法蓋二千餘年所未有自

　我朝始誠然也

又曰造率始於黄鍾必先求蕤賔者猶冬夏二至也次

求夾鍾及南呂者猶春秋二分也太極生兩儀兩儀生

四象此之謂也始於黄鍾者履端於始也中於蕤賔者

舉正於中也終於應鍾者歸餘於終也律與厯一道也

黄鍾為宮蕤賔為中應鍾為和此三律者律呂之綱紀

也

　按載堉言次求夾鍾及南呂本書未言求夾鍾之法

　今補之

法曰求得蕤賔倍律之率以句十寸折牛為五寸乘之

得平方積七十寸○七十一分○六釐七十八毫一十

一絲八十六忽五四七五二四四○○八四四五為實

開平方法除之得八寸四分○八毫九絲六忽四一五

二五三七一四五四三○三一一二五即夾鍾正律之

率倍之一六八一七九二八三○五○七四二九○八

六○六二二五一為夾鍾倍律之率又或以南呂之平

方積倍之二八二八四二七二二四七四六一九○　○

九七六○三三七八開平方法除之即夾鍾倍律之率

(原闕)

積算旁通圖(有竒零者無時盡列算多位見開方之妙)

二(本是二尺進作二百寸為實以上文所載應鍾倍律之數十寸五分有竒為法除之餘律放此)

　右乃黄鍾倍律積算(置黄鍾倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(大呂)

一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八

三六二六

　右乃大呂倍律積算(置大呂倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(太蔟)

一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八

○四五二

　右乃太蔟倍律積算(置太蔟倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(夾鍾)

一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六

二二五一

　右乃夾鍾倍律積算(置夾鍾倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(姑洗)

一五八七四○一○五一九六八一九九四七四七五

一七六　　　　○

　右乃姑洗倍律積算(置姑洗倍律積算進一位為實以應鐘倍律積算為法除之得)

　(仲呂)

一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九

九二八一

　右乃仲呂倍律積算(置仲呂倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(蕤賔)

一四一四二一三五六二三七三○九五○四八八○

一六八九

　右乃蕤賔倍律積算(置蕤賔倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(林鍾)

一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三

○八三二

　右乃林鍾倍律積算(置林鍾倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(夷則)

一二五九九二一○四九八九四八七三一六四七六

七二一

　右乃夷則倍律積算(置夷則倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(南呂)

一一八九二○七一一五○二七二一○六六七一七

五

　右乃南呂倍律積算(置南呂倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(無射)

一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三

三五三三

　右乃無射倍律積算(置無射倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(應鍾)

一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六

一八二五

　右乃應鍾倍律積算(置應鍾倍律積算進一位為實以應鍾倍律積算為法除之得)

　(黄鍾)

新造密率二種(倍律命寸為兆正律命寸為億欲初學者知命法之變通云爾)

黄鍾之率二十兆(本是二十寸命作二十兆)

大呂之率十八兆八千七百七十四萬八千六百二十

五億三千六百三十三萬八千六百九十九

太蔟之率十七兆八千一百七十九萬七千四百三十

六億二千八百○六萬七千八百六十

夾鍾之率十六兆八千一百七十九萬二千八百三十

億○五千○七十四萬二千九百○八

姑洗之率十五兆八千七百四十萬○一千○五十一

億九千六百八十一萬九千九百四十七

仲呂之率十四兆九千八百三十萬○七千○七十六

億八千七百七十六萬八千一百四十九

蕤賔之率十四兆一千四百二十一萬三千五百六十

二億三千七百三十萬○九千五百○四

林鍾之率十三兆三千四百八十三萬九千八百五十

四億一千七百萬○○三千四百三十六

夷則之率十二兆五千九百九十二萬一千○四十九

億八千九百四十八萬七千三百一十六

南呂之率十一兆八千九百二十萬○七千一百一十

五億○○二十七萬二千一百○六

無射之率十一兆二千二百四十六萬二千○四十八

億三千○九十三萬七千二百九十八

應鍾之率十兆○五千九百四十六萬三千○九十四

億三千五百九十二萬九千五百二十六

黄鍾之率十億(本是十寸命作十億)

大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二

太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八

夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五

姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五

仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八

蕤賔之率七億○七百一十萬○六千七百八十一

林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七

夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四

南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七

無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四

應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七

補半律之率(本書未推今推之)

黄鍾之率五億(本是五寸命作五億)

大呂之率四億七千一百九十三萬七千一百五十六

太蔟之率四億四千五百四十四萬九千三百五十九

夾鍾之率四億二千○四十四萬八千二百○七

姑洗之率三億九千六百八十五萬○二百六十二

仲呂之率三億七千四百五十七萬六千七百六十九

蕤賔之率三億五千三百五十五萬三千三百九十

林鍾之率三億三千三百七十萬○九千九百六十三

夷則之率三億一千四百九十八萬○二百六十二

南呂之率二億九千七百三十萬○一千七百七十八

無射之率二億八千○六十一萬五千五百一十二

應鍾之率二億六千四百八十六萬五千七百七十三

　按諸律之率固皆以應鍾之率為法求得之而各律

　自乘有平幂其倍半有自然相應者開列於後(此律自乘)

　(之積非空圍之面幂)

黄鍾倍律之幂折半為蕤賔倍律之幂　蕤賔倍律之

幂折半為黄鍾正律之幂　黄鍾正律之幂折半為蕤

賔正律之幂　蕤賔正律之幂折半為黄鍾半律之幂

　黄鍾半律之幂折半為蕤賓半律之幂

右子午對衝之例也

大呂倍律之幂折半為林鍾倍律之幂　林鍾倍律之

幂折半為大呂正律之幂　大呂正律之幂折半為林

鍾正律之幂　林鍾正律之幂折半為大呂半律之幂

　大呂半律之幂折半為林鍾半律之幂

右丑未對衝之例也

太蔟倍律之幂折半為夷則倍律之幂　夷則倍律之

幂折半為太蔟正律之幂　太蔟正律之幂折半為夷

則正律之幂　夷則正律之幂折半為太蔟半律之幂

　太蔟半律之幂折半為夷則半律之幂

右寅申對衝之例也

夾鍾倍律之幂折半為南呂倍律之幂　南呂倍律之

幂折半為夾鍾正律之幂　夾鍾正律之幂折半為南

呂正律之幂　南呂正律之幂折半為夾鍾半律之幂

　夾鍾半律之幂折半為南呂半律之幂

右卯酉對衝之例也

姑洗倍律之幂折半為無射倍律之幂　無射倍律之

幂折半為姑洗正律之幂　姑洗正律之幂折半為無

射正律之幂　無射正律之幂折半為姑洗半律之幂

　姑洗半律之幂折半為無射半律之幂

右辰戌對衝之例也

仲呂倍律之幂折半為應鍾倍律之幂　應鍾倍律之

幂折半為仲呂正律之幂　仲呂正律之幂折半為應

鍾正律之幂　應鍾正律之幂折半為仲呂半律之幂

　仲呂半律之幂折半為應鍾半律之幂

右已亥對衡之例也

　已上六例載堉書所未言今推得之此方圓相函内

　内倍半自然相應之道也律之空圍靣幂積實其例

　亦如此方與方圓與圓其理同也

方圓相函列律圖

　自有律書以來未有此圖天地之秘宻洩於此圖觀

　按載堉之說非圖不顯作此圖以明之方函圓圓又

　函方皆自然之理即有一定之數列線為律外十二

　線為倍律中十二線為正律其半律亦有十二在内

　線愈密不能圖只圖其一律之疎密自有差次無忽

　密忽疎之病律之長短皆兩斜線界定非由三分損益

　觀此則新舊二法真偽判然矣

方圓相函外内周徑幂積圖

　考工記㮚氏為量内方尺而圓其外此圖外圓之第二層

　方之第三層也今各增其内外之方圓迭相函容徑與徑

　幂與幂各以倍半相應此律呂長短所由生外内周徑面

　幂實積所由出此天地自然之理數不假人力安排者也

李文貞公光地曰律之以損益相生何也曰凡象數皆

起於隂陽象者隂陽相變者也數者竒偶相生者也故

方之内圓必得外圓之半其外圓必得内圓之倍圓之

内方亦必得外方之半其外方亦必得内方之倍律之

上生為下生之倍下生為上生之半其理一也蓋方圓

函蓋竒偶乘負隂陽變化天地生生之道也苟其象之所

生同數之所起同則上下無不應也外内無不合也倍

半無不和也故司馬遷律書謂之同數今西人算學謂

之比例易曰同聲相應同氣相求此之謂也夫金石之

鏗訇與絲竹之繁細物性迥然殊矣而各以其性為聲

律則無不相應者豈非同類比例之謂乎

　按文貞公深明象數之學以方圓倍半之理推原聲

　律相生倍半相應直抉造化之微此朱載堉所以因

　㮚氏之文能别推出密率新法者也然文貞公設問

　猶言損益相生不云律生於方圓相容之形豈未見

　載堉之書暗與之相符與今作此圖明之方六層圓

　五層方圓有方圓之倍半平幂有平幂之倍半律之

　長短圍徑之大小幂積之多寡其理皆具此圖之中

　要其所以然者河圖已以象數示人矣俟象數篇詳

　之

律數相較圖

正律數　　　一較　　　　再較　　　三較

黄鍾十

大呂九四三八七四三一二　(五六一二五六八八)　三一五

○○九四

太簇八九○八九八七一八　(五二九七五五九四)　二九七

三二九一　(一七六八三)

夾鍾八四○八九六四一五　(五○○○二三○三)　二八○

六四一二　(一六六八七)

姑洗七九三七○○五二五　(四七一九五八九○)　二六四

八九○三　(一五七五一)

仲吕七四九一五三五五八　(四四五四六九八七)　二五○

○二三○　(一四八六七)

蕤賓七○七一○六七八一　(四二○四六七五七)　二三五

九九○三(一四○三二)

林鍾六六七四一九九二七　(三九六八六八五四)　二二二

七四五一　(一三二四五)

夷則六二九九六○五二四　(三七四五九四○三)　二一○

二四二六　(一二五○二)

南吕五九四六○三五五七　(三五三五六九六七)　一九八

四四三四　(一一七八九)

無射五六一二三一○二四　(三三三七二五三三)　一八七

三○五六　(一一一三七)

應鍾五二九七三一五四七　(三一四九九四七七)　一七六

七九三○　(一○五一二)

半黄鍾五　(二九七三一五四七)

　凡數前後相較必以漸而差如八線表度分勻而諸

　線各有差率是為真數律之漸而短也亦然其以應

　鍾之率為法而除實也則同以其前後相差之數一

　較再較三較皆以漸可見新法為真數舊法三分損

　益得之者忽多忽失不以其漸矣(自黄鍾至仲呂律分多呂分少自蕤)

　(賔至應鍾律分少呂分多)

諸律相生

朱載堉曰新法不拘隔八相生而相生有四法或左旋

或右旋皆循環無端也以證三分損益徃而不返之誤

其一黄鍾生林鍾林鍾生太蔟太蔟生南呂南呂生

姑洗姑洗生應鍾應鍾生蕤賔蕤賔生大呂大呂生夷

則夷則生夾鍾夾鍾生無射無射生仲呂仲呂生黄鍾

長生短五億乘之短生長十億乘之皆以七億四千九

百一十五萬三千五百三十八除之

　按此隔八左旋相生也七億四千九百一十五萬三

　千五百三十八者仲呂之率也仲呂復生黄鍾者也

　用其率以除實自然循環矣舊法三分損一益一亦

　是以五以十乘本律而以七十五為法除之七十五

　者七億五千萬也實少法强是以不能復生黄鍾又

　如晉宋書算淮南子之法以七百四十九為除法七

　百四十九者七億四千九百萬也法又稍弱是以亦

　不能循環此新法之所以妙也仲呂之率亦不必以

　應鍾迭求而後得也應鍾之率自乘而倍之平方開

　之即仲呂之率矣

　用横黍百分律者黄鍾長十寸如法乘除所得億約

　為寸

　用斜黍九十分律者黄鍾長九寸長生短者本律之

　率折半為實九億乘之短生長者本律之率為實九

　億乘之如法除之所得億約為寸

　用縱黍八十一分律者黄鍾長八寸一分長生短者

　八十一億乘本律之率折半退位為實短生長者不

　折半但退位為實如法除之所得億約為寸

其二黄鍾生仲呂仲呂生無射無射生夾鍾夾鍾生夷

則夷則生大呂大呂生蕤賔蕤賔生應鍾應鍾生姑洗

姑洗生南呂南呂生太蔟太蔟生林鍾林鍾生黄鍾長

生短五億乘之短生長十億乘之皆以六億六千七百

四十一萬九千九百二十七除之

　按此隔八右旋相生也六億六千七百四十一萬九

　千九百二十七者林鍾之率也末位林鍾生黄鍾故

　用林鍾之率

其三黄鍾生大呂大呂生太蔟太蔟生夾鍾夾鍾生姑

洗姑洗生仲呂仲呂生蕤賔蕤賔生林鍾林鍾生夷則

夷則生南呂南呂生無射無射生應鍾應鍾生黄鍾半

律此係長生短皆以五億乘之皆以五億二千九百七

十三萬一千五百四十七除之

　按此相連左旋相生也五億二千九百七十三萬一

　千五百四十七者應鍾之率也末位應鍾生黄鍾半

　律故用應鍾之率

其四黄鍾半律生應鍾應鍾生無射無射生南呂南呂

生夷則夷則生林鍾林鍾生㽔賔蕤賔生仲呂仲呂生

姑洗姑洗生夾鍾夾鍾生太蔟太蔟生大呂大呂生黄

鍾此係短生長皆以十億乘之皆以九億四千三百八

十七萬四千二百一十二除之

　按此相連右旋相生也九億四千三百八十七萬四

　千三百一十二者大呂之率也末位大呂生黄鍾故

　用其率

　已上四法反覆循環相生可見十二律有一氣連貫

　之妙四法以第一法為要此五聲宮徴商羽角之相

　通旋宮之法所由出也諸律比例相生其理已具洛

　書第六卷詳之

　又按隔八相生諸家之説不同有以陽律下生隂呂

　上生大呂夾鍾仲呂用倍數者前漢志之法也蔡氏

　從之有以黄鍾至仲呂為陽皆下生蕤賔至應鍾為

　隂皆上生者淮南子鄭康成之法也朱子從之呂不

　韋之法則黄鍾大呂太簇夾鍾姑洗仲呂㽔賔七律

　皆用半而上生林鍾夷則南呂無射應鍾五律皆用

　全而下生其説與諸家大異盖諸家謂黄鍾下生林

　鍾者用全律呂氏謂黄鍾上生林鍾者用半律呂氏

　之説即管子宮主生徴百有八之理也論聲律之體

　固如諸家之説聲律之用當主管呂之説祇論長短

　不論隂陽載堉亦嘗稱引管子之言矣亦謂長律用

　半短律用全矣載堉又引朱子語有大隂陽小隂陽

　之説謂此論精妙非蔡氏所及究之上下相生别有

　妙理徒以隂陽言者尚未盡其妙也今不録

　律呂闡微卷二