乾坤體義

欽定四庫全書

　乾坤體義卷下

　　　　　　　　　　　　明　利瑪竇　撰

　　容較圖義

萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界

顯界從線結總曰邊線邉線之最少者為三邉形多者

四邉五邉乃至千萬億邉不可數盡也三邉形等度者

其容積固大於三邉形不等度者四邉以上亦然而四

邊形容積恒大於三邉形多邉形容積恒大於少邉形

恒以周線相等者騐之邉之多者莫如渾圜之體渾圜

者多邉等邉試以周天度剖之則三百六十邉等也又

剖度為分則二萬一千六百邉等也乃至秒忽毫釐不

可勝算萬形愈多邉則愈大故造物者天也造天者圜

也圜故無不容無不容故為天試論其槩

凡兩形外周等則多邉形容積恒大於少邉形容積

　假如有甲乙丙三角形其邉最少就底線乙丙兩平

　分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又

　等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂

　線(幾何原本/一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙

　平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者(一卷四又/三十六)

　既甲丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等

　(一卷三/十四)則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等

　矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆與乙丁

　相等甲丙邉為弦其線稍長試引丙戊至己引丁甲

　至庚皆與甲丙甲乙線等而作庚丁己丙形與甲乙

　丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邉形與

　三邉形等周者四邉形容積必大於三邉形

凡同周四直角形其等邉者所容大於不等邉者

　假有直角形等邉者每邉六共二十四其中積三十

　六另有直角形不等邉者兩邉數十兩邉數二其周

　亦二十四與前形等周而其邉不等故中積只二十

　又設直角形其兩邉各九其兩邉各三亦與前形同

　周而中積二十七又設一形兩邉各八兩邉各四亦

　與前同周而中積三十二或設以兩邉為七以兩邉

　為五亦與前同周而中積三十五是知邉度漸相等

　則容積固漸多也

　試作直角長方形令中積三十六同前形之積然周

　得三十與前周二十四者迥異今以此周作四邉等

　形則中積必大於前形

凡同周四角形其等邉等角者所容大於不等邉等角

者

　設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲

　乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三/十五)與不等角

　形同底原相等(一卷十九/又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及

　甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於

　戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至

　庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形

　因顯四等角形大於不等角形

　　以上四則見方形大於長形而多邉形更大於少

　　邉形則圜形更大於多邉形此其大畧若詳論之

　　則另立五界説及諸形十八論於左

第一界等周形

　謂兩形之周大小等

第二界有法形

　謂不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即

　為有法其攲邪不就規矩者為無法形

第三界求各形心

　但從心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即

　係圜與形同心

第四界求形面

　謂周線内所容人目所見乃形之一面

第五界求形體

　如立方立圜三乗四乗諸形乃形之全體

　　第一題

凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊髙以中分線

及髙線作矩内直角方形必與三角形所容等

　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線

　至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角

　與三角形等

先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從

　甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直

　角形此直角倍大於甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙

　角形(一卷/四一)故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等(一卷/二十)

　(六/)

　次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第

　三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙

　丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以

　丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等

　(一卷三/十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三

　角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故

　(一卷三/十六)

　　第二題

凡有法六角等形自中心到其一邉之半徑線作直角

形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直

角長方形亦與有法形所容等

　解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作

　直角線為庚辛另作壬癸線與庚辛等作癸子與甲

　乙丙丁線等即半周線也題言壬癸子丑直角形與

　甲乙丙丁戊己形之所容等

　論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等

　(一卷/八)其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内

　直角形等(以甲辛分甲乙之/半故見本篇一題)若以甲乙丙丁半形之

　周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與

　有法全形等蓋此半邉三箇三角形照甲乙庚形作

　分中垂線其矩線内直角形俱倍本三角形故

　　第三題

凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一

長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形

周線等則有法形與三邉形正等

　解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又

　有丁戊己直角形其邉丁戊與法形丁戊等其戊己

　線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與

　甲乙丙全形等

　論曰試作丁戊己庚直角形兩平分于壬辛作直線

　與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等

　(本篇/二題)何者戊辛線得甲乙丙之半周而又在丁戊矩

　内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁

　戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全

　形亦等

　　第四題

凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等

　解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙又有丁乙戊己直

　角形兩丁乙等半圜線與戊乙等題言甲乙丙所容與

　丁乙戊己直角形所容等

　論曰試以乙戊引長到庚令庚戊與乙戊等則乙庚

　與圜周全等次從丁望庚作直線既丁乙庚三角形

　之地與全圜地相等(在圜書/一題)而丁乙戊己又與丁乙

　庚三角形等(本篇四又一/卷四十註)則丁乙戊己自與全圜體

　等

　　第五題

凡直角三邉形任將一銳角于對邉作一直線分之其

對邉線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所

分内鋭角之比例

　解曰有甲乙丙直角三邉形丙為直角從甲鋭角望

　所對丙乙邉任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之

　比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例

　論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙(一卷/十九)若以甲為

　心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲

　戊線于丙之外其甲乙丁三角形與甲己丁三角形

　之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者

　一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小

　形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙

　形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例(五卷/二十)

　(七/)合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁

　丙線之比例(形之比例與底線之/比例相等在六卷一)固大於甲己戊形

　與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分

　之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例(六卷三/十三系)

　則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲

　丙角之比例也

　　第六題

凡直線有法形數端但周相等者多邉形必大於少邉

形

　解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周

　等而甲乙丙形之邉多于丁戊己(不拘四邉六邉雖/十邉與十一二邉)

　(皆同/此論)題言甲乙丙之體大於丁戊己之體

　論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邉作庚壬

　作辛癸兩垂線平分乙丙於壬分戊己于癸(三卷/三)其

　甲乙丙形多邉者與丁戊己形少邉者外周既等而

　以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧則乙丙邉

　固小於戊己邉而乙壬半線亦小于戊癸半線矣兹

　截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚

　丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即

　匀分各邉俱等而全形邉所倍於戊己一邉數與全

　圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全

　邉所倍於乙丙一邉與其全圜切分所倍于乙丙切

　分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分

　若戊辛己角之與全形四直角(六卷三十/三題之系)則以平理

　推之移戊己邉於甲乙丙全邉亦若戊辛己角之於

　四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邉猶甲乙丙

　諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙

　丙角也(六卷三十/三之二系)則又以平理推戊己與乙丙即戊

　癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己

　角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也(五卷/六五)夫

　戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角

　之比例(本篇/五)則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛

　戊與癸辛子之比例(五卷/十三)而癸辛子角大于壬庚乙

　角(五卷/十)其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角

　明小于庚乙壬角(一卷三/十二)令移壬乙庚角于癸子上

　而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三

　角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩

　角而乙壬邉亦等于子癸邉則丑癸線亦等于庚壬

　線而庚壬實贏于辛癸(一卷二/十六)今以庚壬

　線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線

　及丁戊己半周線所作矩内直角形也(本篇/二)然則多

　邉直線形之所容豈不大于等周少邉直線形之所

　容乎

　　第七題

有三角形其邉不等於一邉之上另作兩邉等三角形

與先形等周

　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邉不等

　欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邉又等

　其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲

　乙乙丙兩邉併既大於甲丙邉(一卷/十)則丁己己戊兩

　邉併亦大於甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣

　(一卷三/十二)以作甲庚丙得所求蓋庚甲庚丙自相等而

　甲丙同邉則二形之周等而甲庚丙與甲乙丙為兩

　邉等之三角形(此庚㸃必在甲乙線外若在甲乙邉/上遇辛則辛丙線小于辛乙乙丙合)

　(線即不/得同周)

　　第八題

有三角形二等周等底其一兩邉等其一兩邉不等其

等邉所容必多於不等邉所容

　解曰有甲乙丙形其甲乙邉大於乙丙令於甲丙上

　更作甲丁丙三角形與甲乙丙等周(本篇/七)而丁甲丁

　丙兩腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形

　大於甲乙丙

　論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等

　又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即

　大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率

　者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形

　之丁戊丁乙兩邉與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩

　邉等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大于丙丁

　乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半(一卷三/十二)令别作

　戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而

　與甲丙平行(一卷二/十八)又令引長丁己與甲乙相遇而

　作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又

　同底是三角形相等也(六卷/一)因顯甲己丙大于甲乙

　丙而甲丁丙兩邊等三角形必大於等周之甲乙

　丙矣(問戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲兩/角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩内角故也)

　　第九題

相似直角三邉形併對直角之兩弦線為一直線以作

直角方形又以兩相當之直線四并二直線各作直角

方形其容等

　解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩

　角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己

　相當甲乙與丁戊相當題言併甲丙丁己為一直線

　於上作直角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙

　戊己作直線各於其上作直形方形兩併等

　論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作

　線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作

　己壬線與戊庚平行(一卷二/十九)則己壬辛之角形與丁戊

　己相似而丁戊己與甲乙丙相似矣(一卷三/十二)何者己

　壬辛角與庚角等庚角與丁戊己角等己角又與乙

　角等而辛角與丁己戊角及丙角俱等壬己辛角與

　甲角亦等(一卷三/十四)又己壬邉與戊庚相等則亦與

　甲乙相等而壬辛與乙丙己辛與甲丙俱相等(一卷/二十)

　(六/)故丁辛線兼丁己甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙

　之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也(一/卷)

　(三十/四)然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直

　角方形併自相等矣

　　第十題

有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似

三角形二而等周其兩腰各自相等

　解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三

　角形二其戊甲戊乙腰與己丙己丁腰俱相等若甲

　乙大於丙丁者則戊角大於己角(一卷二/十五)而兩三角

　形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各

　相等其周亦等

　法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四線等而分

　之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁(六卷/十)

　甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬

　於癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁

　則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁

　矣(五/卷)夫庚辛併既大于甲乙丙丁併(兩邉必大于一/邉在一卷二十)

　則壬辛大於丙丁而庚壬大于甲乙也(五卷/十四)甲乙庚

　癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛

　亦然令於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形

　為兩腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊甲戊乙得/庚辛之半而庚)

　(壬之度/過之故)於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形

　亦兩腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚/壬之半而壬辛之)

　(度不及故俱/一卷二十二)

　論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑

　丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩

　形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相

　同至於兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與辛壬

　而減半之庚壬與壬子(五卷/十五)又若丑甲與寅丙丑乙

　與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而

　甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邉之比

　例自相似(六卷/五)

　　第十一題

有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大

于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱

同而不相似形併必小於相似形併

　解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三

　角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上

　依前題别作甲己丙及丙庚戊兩形相似而與前兩

　三角形相併者等周題言甲己丙丙庚戊併大於甲

　乙丙丙丁戊併

　論曰將甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底

　乃從巳過乙作己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚

　作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己

　己乙兩邉與乙己丙三角形之己丙己乙兩邉等而

　甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等

　(一卷/八)又甲己壬三角形之甲己己壬兩邉與丙己壬

　三角形之丙己己壬兩邉等則甲己壬角與丙己壬

　角等而甲壬壬丙之兩底亦等(一卷/四)壬之左右皆直

　角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次

　引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸

　丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邉與辛癸

　丙三角形之辛癸辛丙兩邉等而辛之上下角亦等

　為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角

　俱等(一卷/四)丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角

　相似與己丙壬角即相等(一卷/五)而丁丙辛即癸丙辛

　總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬(一/卷)

　(十/五)是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在于丙

　己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試

　作癸乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大

　於癸乙線(一卷/二十)則己丙丙庚併亦大于乙癸線何也

　此四形者兩兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四

　線併與甲己己丙丙庚庚戊四線併原相等而減半

　之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也

　併己丙丙庚二線為一直線就線上作直角方形必

　大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角

　方形與己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之

　直角方形併相等(九/題)而癸乙上之直角方形與乙壬

　併辛丁(即辛/癸)上之直角方形及壬子子辛上直角方

　形併又自相等(九題辛從子上分兩對角其角等而/壬與 俱為直角相似之形令移置)

　(辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則/乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為弦矣)此己壬庚

　辛線併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併

　明大於乙壬丁辛併之直角方形及壬子子辛上之

　直角方形併也此兩率者每減一壬辛上直角方形

　則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共

　線上直角方形矣而己壬庚辛兩線併大于乙壬丁

　辛兩線併矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己

　乙豈不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛(以甲丙原大/于丙戊故)

　則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内

　直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形

　之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己

　為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中

　積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙

　壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛

　丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚

　丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者

　亦大於丙庚戊丁形為丁庚丙三角之倍者矣此兩

　率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙

　及丙庚戊之兩三角形併豈不大於甲乙丙及丙丁

　戊之兩三角形併哉

　　第十二題

同周形其邉數相等而等角等邉者大於不等角等邉

者

　先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形與他形同周同角

　者較必邉邉相等乃為最大之形

　論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邉如第一圖又

　作甲丙線于上作等邉三角為甲庚丙形與甲乙丙

　等周(本篇/七)則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己

　形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形(本/篇)

　(八/)令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大

　於甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不為最大其他

　如丙丁邉之類或不等者亦如此推

　次解曰又設甲乙丙丁戊己等邉形與他形同周同

　邉者較必角角相等乃為最大之形

　論曰依上論各邉俱等則甲乙丙丙丁戊為等邉三

　角形(邉角/俱等)而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然

　而乙角可大於丁角則甲丙線必大於丙戊線(一卷四/二十)

　試於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙

　辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等

　周則甲庚丙併丙辛戊者大于甲乙丙併丙丁戊(本/篇)

　(十/一)而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲

　乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者為最

　大乎

　　第十三題

凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者

　解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周

　等題言甲乙丙大於丁戊己

　論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外

　另作壬乙丙癸多邉形與丁戊己相似(四卷十/六註)而從

　壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂

　線而分壬癸之半(三卷/十八)又從辛作子丑垂線則辛丁

　亦分子丑之半(三卷三此設于兩多邉形外作切形/圜而以壬癸子丑為切圜線向心作)

　(垂線則垂線必分切線/之中故説在四卷十二)兩形相似其壬全角與子全

　角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚

　直角與子丁辛直角亦等(一卷三/十二)然乙壬癸丙之周

　大於圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙

　周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邉大于

　子丑邉則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚

　若子丁與丁辛之比例(六卷/四)而壬甲大于子丁則甲

　庚亦大於丁辛(五卷/十四)是故取甲庚線與半圜周線以

　作矩内直角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁

　戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也(本篇/四)

　系曰推此見圜形大於各等周直線形(第五題証有/法形同周者)

　(多邉為大又十二題証等周及邉數之等者有法為/大又本題証等周之有法形惟圜為大則圜為凡形)

　(等周者/之最大)

　　第十四題

銳觚全形所容與鋭頂至邉垂線及三分底之一矩内

直角立形等

　解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂巳又

　有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁

　戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與

　觚形所容等

　論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線

　以成庚辛壬癸子觚形此形與寅庚形同底同髙又

　同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三

　(十二卷六注言兩觚形同髙者其所容/之比例如其底底等亦等底倍亦倍)寅庚全形亦

　兼庚辛壬癸子觚之三(以同底同髙故/在十二卷七系)則寅庚全方

　與己甲觚等

　　第十五題

平面不拘幾邉其全體可容渾圜切形者設直角立形

其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等(可容渾圜/切形者必)

(圜形與諸面相切若長廣/不切諸面者不在此論)

　解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外

　線甲乙切圜于戊(十一卷/三題)試從戊壬割圜之半作戊

　己庚辛圜(圜形書一/卷一題)從壬心望各切圜之㸃作壬戊

　為甲乙垂線(三卷/十八)壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂

　線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午子其底子

　丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半

　徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等

　論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為

　數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各

　觚皆以其三分底之一及至銳髙之數為直角立方

　形皆與觚所容等(本篇/十四)又併為一形即與甲乙丙丁

　體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一

　而其髙分圜半徑也

　　第十六題

圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容

等

　解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊

　在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩内題言戊形所

　容與甲乙丙渾圜等

　論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有巳者合以

　丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大於

　戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内試作有法

　形勿切甲乙丙圜(十二卷/十七)自丁心至形邉各作垂線

　則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以

　分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂

　線至丁心為觚鋭頂試取各觚底三之一及丁垂線

　之髙以作直角立形與觚等(本篇/十四)則併為大直角立

　形亦與庚辛壬内之法形等(本篇/十五)如云以甲乙為髙

　而以各觚底三之一為直角立形併為大形則必小

　於前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而

　戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體

　而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之内形尚大

　於戊形也

　又論曰戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從

　丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或

　大或等者以驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切

　癸子丑(十二卷/十七)而従丁至甲乙丙各面為垂線此垂

　線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以

　分此形為數觚以形之各面為觚底庚辛為觚鋭頂

　而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形

　與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以

　作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面

　大于其内形之面則圜面三之一大于内形面三之

　一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固

　即戊體矣愈大於甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜

　或等或大於戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大

　於全歟則戊體不小於甲乙丙矣從後論不可為小

　從前論不可為大故曰等也

　　第十七題

圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大

　解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙又丙形與甲等周

　其周内可作諸切邉圜形而從心至邉為丙丁題言

　甲圜大于丙形

　論曰甲圜外試作與丙相似形(十二卷/)而從甲心至

　各邉切處作半徑垂線皆等(本篇十/五有解)其一為甲乙甲

　圜外形大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線

　亦大於丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之

　一作直角立方形即與甲圜形等(本篇/十六)以丙丁線為髙

　而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而

　甲之立方固大於丙之立方(本篇/十五)則甲圜與丙形雖

　同周而甲圜所容為大矣

　　第十八題

凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角

形

　解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四

　數相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二

　十八之類等邉等角近于圜形者又作戊壬過心線

　為樞以轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋為

　立圜之體則其形為圜外圜角之形而角與邉周遭

　皆等(圜書一卷二十/二及二十七)又有渾圜形寅與圜角形等周

　題言寅圜大於圜角形

　論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦

　大於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半

　徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜

　之面恒得渾體四分之一(圜書一卷/三十一題)令倍寅徑以作

　夘辰徑其圜面四倍大于寅之圜面(此専以圜面相/較也夘辰徑既)

　(倍寅徑則夘辰圜固四倍于寅圜以圜與圜為/徑與徑再加之比例故也在六卷附一増題)則夘

　辰圜與寅渾圜等(此夘辰圜為欲見角故/畫作扁圜實正圜也)次作未申圜

　與夘辰等作未酉申圜角形而取寅半徑為酉戌之

　髙又於夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜

　半徑為巳午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙於

　夘巳辰圜角形則亦大於夘巳辰圜角形(圜角形同/底之比例)

　(若其髙之比例在/十二卷十四題)夫割寅渾圜之中半以為底(即過/心大)

　(圜/也)而以其半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四分之

　一(此旋轉所成尖頂半圜形非只論/其一面也在圜書一卷三十二十)則是一寅圜恒

　兼四圜角之形而未申圜原四倍大於寅圜則未酉

　申圜角形固與寅之渾圜形等矣(圜角形同髙之比/例若其底之比例)

　(故也在十二/卷十一題)其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之

　面(戊己庚之面與/寅圜之面等故)而巳午之髙亦等於甲圜半徑即

　戊己庚辛角形自與夘巳辰圜角形等(圜書一卷二/十九題論凡)

　(圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體/過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與)

　(圜外諸/圜各等)夘巳辰圜角形既小於未酉申圜角形而戊

　己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎

　乾坤體義卷下