新法算書

欽定四庫全書

　新法算書卷十　　　　　明　徐光啟等　撰

　　大測卷二

　　　表法篇第四

　既得前六宗率更用三要法作表

要法一　前後兩弦其能等于半徑(圖説系法俱見本/篇總論第十二條)

要法二　有各弧之前後兩弦求倍本弧之正弦

　如上甲戊弧三十五度其正弦為戊己得五七三五七

　六四其餘弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦

　　　　　　求倍甲戊而為甲丁弧之正弦其法以乙

　　　　　　戊半徑千萬為第一率以戊己正弦為第

　　　　　　二率以乙壬餘弦為第三率即得壬庚第

　四率與辛癸等為四六九八四六二倍之得丁癸為九

　三九六九二四其弧甲丁七十度

　論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與乙壬等

　而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬為餘弦也而乙

　壬庚乙戊己兩形之比例等故第四率為壬庚壬庚與辛癸

　同為直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同為直角則甲

　戊戊丁兩弧等甲壬壬丁兩弦亦等而丁辛與壬庚亦等故

　倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邉俱等依句

　股法得甲庚邉倍之為甲癸以減半徑得癸乙為餘弦

要法三各弧之全弦上方與其正半弦上偕其矢上兩方幷等

　　　　　　句股術也

　　　　　　如上甲丁弧之正弦為丁辛其矢為甲辛

　　　　　　此兩線上方幷與甲丁上方等

　系法有一弧之正弦及其餘弦而求其半弧之正弦

　如上甲丁弧其正弦為丁辛餘弦為乙辛而求甲戊弧

　　　　　　之甲己半弦其法于甲乙半徑減乙辛餘

　　　　　　弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并

　　　　　　與甲丁通弦上方等開方得甲丁線半之

　得甲己為甲戊弧之正弦其數如上甲丁弧三十度其

　半弦丁辛為五○○○○○○乙辛餘弦為八六六○

　二五四以減全半徑得甲辛矢一三三九七四六丁辛上

　方為二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方為

　一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四

　九一九三四四五一六開方得甲丁線五一七六三六

　○即甲丁弧三十度之弦也半之為甲己半弦得二五

　八八一九○其弧十五度

用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用甚

　便但非恒有

　簡法一　兩正弦之較與六十度左右距等弧之正弦

　等(見本卷/第二篇)

　　　　　　解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊

　　　　　　丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩

　　　　　　弧等其前兩正弦一為己辛一為丁庚其

　較丁癸題言丁癸較與己壬壬丁兩正弦各等

　論曰試作一己子線則丁己子成三邉等角形何也此

　　　　　　形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角

　　　　　　形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰

　　　　　　等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己

　兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十

　度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲

　乙庚丁既平行甲戊線截二線于子即内外角等而丁

　子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六

　十度角也丁與全己全子三角既等兩直角(一之三/十二)則

　共為一百八十度于中減全子角六十度則丁己兩全

　角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之

　三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分

　之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子

　必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所

　分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等

　系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度

　之左右而距度㸃等則前兩正半弦之較即後兩半弦

　如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙

　己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度

　丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三

　百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚兩半

　弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之

　丁壬半弦(此數半徑/設一萬)

　次系有六十度左右相離弧之正弦一率又有其原正

　弦一率而求其相對之彼正弦其法有二一以大求小

　一以小求大以大求小者用大弧之正弦與相離弧之

　正弦相減其較為小弧之正弦(餘則稱餘/倒則稱倒)以小求大者

　用相離弧之半弦加小弧之半弦即大弧之半弦

　　　　　　如上丁壬離弧之正弦即己壬與丁癸較

　　　　　　等為一千七百三十六丁庚大弦為九千

　　　　　　三百九十六相減得癸庚七千六六○即

　己丙弧之己辛小弦反之丁癸較為一千七百三十六

　(即丁壬/離弦)以加于癸庚(即辛己/小弦)七千六百六十得丁庚大

　弦九千三百九十六

　用此法于象限内先得半弦六十率用加減法即得其

　餘三十率

　簡法二　有兩弧不等之各正弦又有其各餘弦而求

　兩弧相加相減弧之各正弦其法有二一相加一相減

　相加者以前弧之正弦乘後弧之餘弦以後弧之正弦

　乘前弧之餘弦各得數并之為實以半徑為法而一得

　兩弧相加為總弧之正弦相減者亦如前法互乘得各

　　　　　　　　數相減餘為實以半徑為法而一為

　　　　　　　　兩弧相減弧之正弦

　　　　　　　　如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十

　五度總三十五度其差五度甲乙弧之半弦為三四二

　○二○一其餘弧甲丁之半弦為九三九六九二六乙

　丙弧之半弦為二五八八一九○其餘弧乙丁之半弦

　為九六五九二五八以甲乙半弦與丙丁餘弦之半乘

　得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半弦與

　甲丁餘弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○

　以相加得五七三五七六三(以下滿半收為/一不滿去之)三七七六

　五九八以半徑為法而一得五七三五七六三即三十

　五度弧之半弦若以相減則餘八七一五五七三九六

　五一一八以半徑為法而一得八七一五五七即○五

　度弧之半弦此題多羅某所用全弦故説中云半弦而

　圖與數皆全弦然全與全半與半比例等則亦未有異

　也

有前六宗率為資有後三要法為具(資為材料/具如器械)即可作大

　測全表

　如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通之

　他率

　　弧　　　度　分　　　　用法得半弦數

　正弧　　一二　　　　　　　　二○七九一一七

　(半之/)　　○六　　　　　　　　一○四五二八五

　(又半之/)　○三　　　　　　　　　五二三三六○

　(又半之/)　○一三○　　　　　　　二六一七六九

　(又半之/)　○○四五　　　　　　　一三○八九六

　其餘弧　八四　　(六度之餘/)第一九九四五二一九

　　　　　八七　　(三度之餘/)　　九九八六二九五

　　　　　八八三○(一度半之/餘)　　九九九六五七三

　　　　　八九一五(○度四十/五分之餘)　　九九九九一四三

　　弧　　度　分　　　　　用法得正弦數

　(半其餘八/十四度)四二　　　　　　　　六六九一三○六

　(半之/)　　二一　　　　　　　　三五八三六七九

　(又半之/)　十○三○　　　　　　一八二二三五五

　(又半之/)　○五一五　　　　　　　九一五○一六

　(半其餘八/十七度)四三三○　　　　　　六八八三五四六

　(又半之/)　二一四五　　　　　　三七○五五七四

　(半其餘八/八三○)四十四　十五　　　　六九七七九○五

　又用前七率之餘弧而求其正弦

　　　　　四八　　(四十二之/餘)第一七四三一四四八

　　　　　六九　　(二十一之/餘)　　九三三五八○四

　　　　　七九三○(十度半之/餘)　　九八二二五四九

　　　　　八四四五(五度十五/分之餘)　　九九五八○四九

　　　　　四六三○(四十三度/半之餘)　　七二五三七四四

　　　　　六八一五(二十一四/十五分餘)　　九二八八○九六

　　　　　四五四五(四十四十/五分之餘)　　七一六三○一九

　又半前七率而求其正弦

　　　　　二四　　(四十八之/半)　　四○六七三六六

　　弧　　度　分　　　　用法得正弦數

　　　　　三四三○(六十九之/半)　　五六六四○六二

　　　　　一七一五(三十四三/十分之半)　　二九六五四一六

　　　　　三九四五(七十九三/十分之半)　　六三九四三九○

　　　　　二三一五(四十六三/十分之半)　　三九四七四三九

　又用前五率之餘弧而求其半弦

　　　　　六六　　(二十四之/餘)第一九一三五四五五

　　　　　五五三○(三十四三/十分之餘)　　八二四一二六二

　　　　　七二四五(十七度十/五分之餘)　　九五五○一九九

　　　　　五○一五(三十九四/十五分餘)　　七六八八四一八

　　　　　六六四五(二十三度/十五分餘)　　九一八七九一二

　又半前五率而求其正弦

　　　　　三三　　(六十六之/半)　　五四四六三九○

　　　　　一六三○(三十三之/半)　　二八四○一五三

　　　　　○八一五(一十六三/十分之半)　　一四三四九二六

　　　　　二七四五(五十五三/十分之半)　　四六五六一四五

　又用前四率之餘弧而求其正弦

　　　　　五七　　(三十三之/餘)第一八三八六七○六

　　弧　　度　分　　　用法得正弦數

　　　　　七三三○(十六度三/十分之餘)第一九五八八一九七

　　　　　八一四五(八度十五/分之餘)　　九八九六五一四

　　　　　六二一五(二十七四/十五分餘)　　八八四九八七六

　又半前四率而求其正弦

　　　　　二八三○(五十七度/之半)　　四七七一五八八

　　　　　一四一五(二十八三/十分之半)　　二四六一五三三

　　　　　三六四五(七十三三/十分之半)　　五九八三二四六

　又用前三率之餘而求其正弦

　　　　　六一三○(二十八度/三十分餘)第一八七八八一一一

　　　　　七五四五(十四度十/五分之餘)　　九六九二三○九

　　　　　五三一五(三十六四/十五分餘)　　八○一二五三八

　又半前六十一度三十分而求其正弦

　　　　　三○四五　　　　　　五一一二九三一

　又用前三十○度四十五分之餘而求其正弦

　　　　　五九一五　　　　第一八五九四○六四

　已上皆十二度所生之率再用其餘弧七十八度推之

　亦如前法又十二度之弧為前六宗率之十五邉形也

　其餘五形如三邊四邉五邉六邊十邉形亦如前法作

　此既畢即大測表之大段全具矣何者首得者四十五

　分其次為一度三十分又次為二度一十五分如此常

　越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中

　之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四

　十五分如何其法以四十五分弧之半弦一三○八九

　六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半

　弦為六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之

　弧其半弦為三二七二四半夫二十二分三十秒之前

　弧倍于一十一分十五秒之後弧而前半弦亦倍于後

　半弦蓋繇初度之弦與弧切近畧似相合為一線故也

　則用同比例法(即三/率法)以二十二分三十秒之弧為第一

　率以其半弦六五四四九為第二率設十分之弧為第

　三率而得第四率為二九○八八再用此法得一分之

　弧為二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十

　五分此外更用前三要法推之以至九十度

其求切線皆用三率法

　以餘半弦為第一率以半弦為第二率以半徑為第三

　率而得第四切線

　　　　　　如三十度之弧其餘半弦八六六○二五

　　　　　　四為第一率其半弦五○○○○○○為

　　　　　　第二率半徑一○○○○○○○為第三

　率則得第四率五七七三五○二

其求割線亦用三率法

　以餘半弦為第一率半徑為第二率又為第三率而得

　割線第四率

　如前戊乙為三十度之弧其餘半弦甲丙八六六○二

　五四為一率半徑甲戊一○○○○○○○為二率又

　以半徑甲乙為第三率而得甲丁一一五四七○○五

　為三十度弧之割線

其求割線之約法不用三率而用加減法

　　　　　　　如上乙己弧二十度其切線為乙戊餘

　　　　　　　弧為己丙七十度半之得己丁三十五

　　　　　　　度即截乙庚弧與己丁等次作乙辛切

　線得數以加乙戊切線即兩切線并為戊乙辛切線與

　甲戊割線等

其求矢法以餘半弦減半徑得小矢

　　　　　　如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘

　　　　　　半弦丁戊即己乙為六四二七八七六以

　　　　　　減乙丙千萬得己丙矢

　已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析為六十今中

　厯遞用百析為便故須會通前表為百分之表其會通

　法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又

　半之十五分即二十五分以五為法西三分即中五分

　次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十

　分如是以至六十

　(三/五)　(六/十)　(九五/十)　(十二/二十)　(十五五十八十二十一五二十四/二十 三 三十 四十)　(二十七/四十五)　(三十/五十)

　(三三/五五)　(三六/六十)　(三九/六五)　(四二/七十)　(四五/七五)　(四八/八十)　(五一/八五)　(五四/九十)　(五七/九五)　(六十/百)

　通表法書各度之四種割圓線中西法皆同所不同者

　分也其分數書五分用其三分之率書十分用其六分

　之率如是逓至于百所闕者每二率相距少其間四率

　耳則用加減法求之

　如二十四度○三分即中五分也其小弦數(小弦者十/萬為半徑)

　(也/)四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小

　半弦四○八三三其差八十五分之得十六為一差以

　加于前小半弦即得四○七六九為中厯二十四度六

　分之半弦再加一差得四○七八五為七分之半弦三

　加得四○八○一為八分之半弦四加得四○八一七

　為九分之半弦五加得四○八三三為十分之半弦合

　前率矣如是逓加之得六十與百分相通之全表

　西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差數

　有畸零不盡者如西表二十四度二十七分之半弦為

　四一三九○又二十四度三十分之半弦為四一四六

　九其差得七十九五分之得十五又五分之四為一差

　通之則從中表二十四度四十五分首加一差

　二十四度四十五分　　　　　四一三九○

　　　　　　　　　　　　　　　　(差/法)一五　五之四

　　　　　四十六分　　(加一/差)　四一四○五　五之四

　　　　　四十七分　　(加二/差)　四一四二一　五之三

　　　　　四十八分　　(加三/差)　四一四三七　五之二

　　　　　四十九分　　(加四/差)　四一四五三　五之一

　　　　　五十○分　　(加五/差)　四一四六九

　如上有畸零者滿半收為一不滿去之

考表法　作表未必無誤其考之之法

　如表書七十七度一十八分其切線為四四三七三四

　九九此率如屬可疑則以前後各二率考之

表用篇第五

表用一　有弧數求其正弦

　如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分表

　得六一四二八五三

　又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本度

　本分之半弦為六一四二八五三又取次率五十五分

　之半弦為六一四五一四八相減得差二二九五(若表/上有)

　(差率即/取本差)此差以當六十秒用三率法以六十秒為第一

　率以二二九五差為二率以四十六秒為三率而求四

　率得一七五九以加所取之前半弦六一四二八五三

　共得六一四四六一二即所求

　系凡求切線割線同上法

　次系有正弧求餘弦視本弧同位之餘度分向正弧表

　上取其正弦

　如求三十度之餘弦視正弧表上與同位者為餘弦六

　十度即向正弧六十度取其弦八六六○二五四即三

　十度之餘弦(表上逆列同位者為五十九度六十分而/此言六十度盖并其六十分為六十度其)

　(逆列六十度者則是六十一度何者凡/所書弧分皆所書弧度之算外分故也)

　　又如求五十度○分之餘弦本表逆列同位者為三十

　　九度六十分即于正弦表上簡三十九度六十分之弦

　得六四二七八七六即所求

　三系測三角形欲得見弧(見弧者有己得之弧而求其/弦也隠弧者有己得之弦而)

　(求其弧也凡己得者稱見未得/稱隠諸線諸角之屬皆倣此)之各線查表之本度分

　直取之則各線咸在也如弧三十度求其割圓各線即

　查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左

　三十度(初/分)正弦　　五○○○○○○

　　　　　切線　　五七七三五○三

　　　　　　割線　　一一五四七○○五

　餘(五十九度/六十分)弦　　　八六六○三五四

　　　　　　切線　　一七三二○五○八

　　　　　　割線　　二○○○○○○○

　四系有鈍角求其各線如鈍角一百四十二度六分其

　正弦則以一百四十二度六分減半周餘三十七度五

　十四分查表求其正弦得六一四三八五三

　如上丙丁正弦當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙甲

　丁鋭角亦當丙甲戊鈍角何者甲上鋭鈍二角原當兩

　　　　　直角而表上無鈍角之弧與其正弦故減鈍

　　　　　角于百八十度得鋭角三十七度五十四分

　　　　　其半弦丙丁以當丙戊大弧即以當大弧之

　鈍角也

表用二　有正弦求其弧

　與前題相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧查

　表上正弦格得此數即得本度為六十二本分為四十

　四也

　又如正弦五七六五八三四求弧查表無此數即取其

　近而畧小者得三十五度十二分之弦為五七六四三

　二三與見弦相減餘一五一一又取其近而畧大者得

　五七六六七○○與前小弦相減餘二三七七以此大

　差當六十秒用三率法以二三七七大差為第一率以

　六十秒為第二率以一五一一小差為第三率而得第

　四率為三十五度十二分三十秒即所求他各線求弦

　俱倣此

表用三　有弧求其通弦

　如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三十

　七度五十四分求其正弦得六一四二八五二倍之得

　一二二八五七○四即所求

　　　　　如甲乙弧七十五度四十八分半之為乙戊

　　　　　弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因

　　　　　通弦無表故用半弧正弦倍之即是他準此

表用四　有弧求其大小矢

　　　　　如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表

　　　　　截矢數得乙丙小矢為二一○九一五九以

　　　　　減全徑二○○○○○○○得大矢一七八

　九○八四一如表無小矢即求見弧之餘弦得七八九

　○八四一以減半徑得小矢

測平篇第六

測平者測平面上三角形也凡此形皆有六率曰三邊曰

　三角角無測法必以割圓線測之其比例甚多今用四

　法以為根本依此四根法可用大測表測一切平面三

　角形亦執簡御繁之術也凡測三角形皆用三率法(即/同)

　(比/例)三率法又以相似兩三角形(幾何六/卷四)為宗下文詳之

根法一　各三角形之兩邊與其各對角兩正弦比例等

　一云右邊與左邊若左角之弦與右角之弦

　如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩為鋭角即以甲為

　　　　　心甲乙為半徑作乙戊弧次作乙己垂線即

　　　　　乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲

　　　　　乙為度從丙截取丙庚從丙心庚界作庚辛

　　　　　弧又作垂線庚丁即庚辛弧與丙角之正弦

　也題言乙角之甲乙右邊與乙丙左邉若左角丙之庚

　丁正弦與右角甲之乙己正弦

　論曰乙丙己三角形有乙己庚丁兩平行線即乙丙與

　乙己若庚丙與庚丁而丙庚原與甲乙等即乙丙與乙

　己若甲乙與庚丁更之即甲乙與乙丙若庚丁與乙己

　　　　　如上甲乙丙形乙為直角有丙乙丁戊兩平

　　　　　行線即甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙

　　　　　與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反

　　　　　之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角

　甲之丁戊弦與右角乙之丙乙弦

　　　　　如上甲乙丙形乙為鈍角其正弦丙壬而甲

　　　　　戊線與乙丙等甲角之正弦為戊己題言丙

　　　　　角之甲丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙

　　　　　壬弦與右角甲之戊己弦何也試于形外引

　甲乙至丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙鋭角等依

　首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙亦若

　丙壬與戊己

　　　　　　總論之各三角形各兩邊之比例與兩對

　　　　　　角之兩正弦比例等者何也試于形外作

　　　　　　切圏則三邊為三弦而本形之各邊皆為

　各對角之通弦即乙丙邉與甲乙邉若甲角之弦與丙

　角之弦也當已即是豈止同比例而已乎夫全與全半

　與半比例等則各半弦與各通弦之比例亦等

　此題為用對角根本

根法二　各三角形以大角為心小邊為半徑作圏而截

　兩邊各為圏内外兩線即底線與兩腰并若腰之外分

　與底之外分

　　　　　　如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以

　　　　　　甲為心甲丙為半徑作圏截底于戊截大

　　　　　　腰于庚題言乙丙底與乙甲甲丙兩腰并

　　　　　　若腰外分乙庚與底外分乙戊

　論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與兩

　腰并等乙己乙庚矩内形與乙丙乙戊矩内形兩容等

　(幾何三/卷三五)即兩形邉為互相視之邊而乙己與乙丙若乙

　戊與乙庚既得乙戊底外分以減全底得戊丙半之得

　垂線所至為丁丙

　此題為用垂線根本

根法三　有兩角并之數又有其各正弦之比例求兩分

　角之數

　如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之數其兩分之大角為

　乙甲壬小角為壬甲丙未得數但知大角正弦乙丁小

　　　　　　角正弦丙戊之比例亦未得數而求兩分

　　　　　　角之數其法以乙辛丙弧兩平分于辛作

　　　　　　甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬

　角為半弧與小弧之差又為大弧與小弧之半差次截

　辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角為大小兩弧

　之差夫乙丙者總角之弦乙丑平分弧之正弦而己辛

　為乙辛半弧之切線辛癸為辛丙半弧之切線此二線

　等而辛壬辛庚各為半差弧之切線亦等又乙丁子子

　丙戊兩形為兩正弦上三角形此兩形之丁與戊皆直

　　　　　　角又同底即兩正弦之對角為子上兩交

　　　　　　角亦等(幾何一/卷十題)而丁乙子子丙戊兩角亦

　　　　　　等(幾何一/卷三二)則兩形為相似形而乙丁正弦

　與丙戊正弦若乙子與子丙(幾何六/卷四)先既有乙丁丙戊

　兩正弦之比例即得乙子與子丙之比例而又得乙子

　與子丙之較為子寅夫乙丙己癸兩線同為甲辛半徑

　上之垂線即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即為

　相似之形(六卷/四)而兩形内所分之各兩三角形如甲庚

　癸甲寅丙之類俱相似即以兩線之并數乙丙為第一

　率以兩線之差數子寅為第二率以兩半弧之兩切線

　己癸為第三率則得兩差弧之切線庚壬為第四率矣

　而此比例稍繁别有簡者則半之曰丙丑與子丑若癸

　辛與壬辛也有更簡者則曰乙丙與子寅若辛癸與辛

　壬也今用第三法云乙丙為兩邉之并數子寅其較數

　辛癸為兩角總數内半弧之切線而辛壬為大小兩角

　較弧之切線既得辛壬切線即得辛甲壬角以加乙甲

　辛半角即得乙甲壬大角以減辛甲丙半角即得壬甲

　丙小角

　　　　　　以數明之乙甲丙角為四十度所包大小

　　　　　　兩隠角為乙甲壬壬甲丙其兩正弦乙丁

　　　　　　丙戊之比例為七與四即乙子子丙之比

　例亦七與四而乙丙之總數如十一平分之于丑即乙

　丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙兩弧各二十度又以

　大線七與半線相減餘一有半以半線五有半與小線

　四相減亦餘一有半又甲辛為半徑即辛丙二十度弧

　之切線辛癸為三六三九七○二即以丑丙五有半為

　第一率以辛癸切線三六三九七○二為第二率以子

　丑一有半為第三率而得辛壬切線九九二六四六為

　第四率既得第四率即得辛壬所當辛甲壬角為五度

　四十○分八秒以減辛丙二十度餘壬甲小角一十四

　度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角

　二十五度四十○分八秒

　此題為用切線根本

根法四　凡直角三邊形之各邉皆能為半徑

　其一以弦線為半徑作弧即餘兩腰包直角者各為其

　對角之正弦

　　　　　　如上甲乙丙形其乙丙為對直角之弦線

　　　　　　以為半徑作丁丙弧即甲丙小腰為對角

　　　　　　乙之正弦甲乙大腰為對角丙之正弦

　其二以大腰為半徑即小腰為小角之切線而弦線為

　　　　　　小角之割線

　　　　　　如上甲乙大腰為半徑即甲丙小腰為乙

　　　　　　小角之切線而乙丙為乙角之割線

　其三以小腰為半徑即大腰為大角之切線而弦線為

　大角之割線

　　　　　　如上甲丙小腰為半徑即甲乙大腰為丙

　　　　　　大角之切線而乙丙弦線為其割線

　此題為用割圓各線根本

　新法算書卷十