圜容較義

欽定四庫全書

　圜容較義

　　　　　　　　　　　　明　李之藻　撰

萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界

顯界從線結總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者

四邊五邊乃至千萬億邊不可數盡也三邊形等度者

其容積固大於三邊形不等度者四邊以上亦然而四

邊形容積恒大於三邊形多邊形容積恒大於少邊形

恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜

者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又

剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫釐不

可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜

也圜故無不容無不容所以為天試論其槩

凡兩形外周等則多邊形容積恒大於少邊形容積

假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分

於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲

　　　　　　丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙

　　　　　　丙之垂線(幾何原本/一卷八)次作甲戊丙丁直

　　　　　　角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁

　　　　　　平行視前形增一角者(一卷四又/三十六)既甲

丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等(一卷三/十四)

則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論

之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊

為弦其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙

甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則

贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊

形容積必大于三邊形

凡同周四直角形其等邊者所容大於不等邊者

　　　　　假有直角形等邊者每邊六共二十四其

　　　　　中積三十六另有直角形不等邊者兩邊

　　　　　數十兩邊數二其周亦二十四與前形等

　　　　　周而其邊不等故中積只二十又設直角

　　　　　形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同

　　　　　周而中積二十七又設一形兩邊各八兩

　　　　　邊各四亦與前同周而中積三十二或設

　　　　　以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而

　　　　　中積三十五是知邊度漸相等則容積固

　　　　　漸多也

　　　　　　　　試作直角長方形令中積三十六

　　　　　　　　同前形之積然周得三十與前周

二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大於

前形

凡同周四角形其等邊等角者所容大於不等邊等角

　　　　　　者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作

　　　　　　垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四

　　　　　　角相等形(一卷三/十五)與不等角形同底原

　　　　　　相等(一卷十九/又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁

及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於

戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚

與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯

四等角形大於不等角形

　以上四則見方形大於長形而多邊形更大於少邊

　形則圜形更大於多邊形此其大略若詳論之則另

　立五界說及諸形十八論於左

第一界等周形　謂兩形之周大小等

第二界有法形　謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相

　　　　　　　　等角角相等即為有法其欹邪不就

　　　　　　　　規矩者為無法形

第三界求各形心　但從心作圜或形内切圜或形外切

　　　　　　　　圜皆相等者即係圜與形同心

第四界求形面　　謂周線内所容人目所見乃形之一

　　　　　　　　面

第五界求形體　　如立方立圜三乘四乘諸形乃形之

　　　　　　　　全體

　第一題

凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線

及高線作矩内直角方形必與三角形所容等

　　　　　　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁

　　　　　　于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及

　　　　　　辛庚己丙直角題言直角與三角形

　　　　　　等

　　　　　　先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁

　　　　　　作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平

　　　　　　行又作己丙戊乙二線成直角形此直

　　　　　　角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙

　　　　　　丙角形(一卷四/十一)故甲乙丙三角形與甲

　　　　　　丁丙己形等(一卷三/十六)

　　　　　　次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲

　　　　　　乙之平分第三圖甲在方形之外皆從

　　　　　　甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊

　　　　　　己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以

　　　　　　丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為

　　　　　　平行亦相等(一卷三/十四)其戊己丙乙倍大

于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長

方形分三角形底線半故(一卷三/十六)

　第二題

凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角

形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直

角長方形亦與有法形所容等

解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直

　　　　　　　　角線為庚辛另作壬癸線與庚辛

　　　　　　　　等作癸子與甲乙丙丁線等即半

　　　　　　　　周線也題言壬癸子丑直角形與

　　　　　　　　甲乙丙丁戊己形之所容等

　　　　　　　　論曰自庚到各角皆作直線皆分

　　　　　　　　作三角形皆相等(一卷/八)其甲乙庚

　　　　　　　　三角形與甲辛辛庚二線所作矩

　　　　　　　　内直角形等(以甲辛分甲乙之/半故本篇一題)若

　　　　　　　　以甲乙丙丁半形之周線為癸子

　　　　　　　　線以與壬癸線共作矩内直角形

　　　　　　　　即與有法全形等葢此半邊三箇

　　　　　　　　三角形照甲乙庚形作分中垂線

　　　　　　　　其矩線内直角形俱倍本三角形

故

　第三題

凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一

長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形

周線等則有法形與三邉形正等

解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有

丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又

與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙

全形等

　　　　　　　　論曰試作丁戊己庚直角形兩平

　　　　　　　　分于壬辛作直線與丁戊平行則

　　　　　　　　丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相

　　　　　　　　等(本篇/二題)何者戊辛線得甲乙丙之

　　　　　　　　半周而又在丁戊矩内即與有法

　　　　　　　　形全體等故也其丁戊己三角形

　　　　　　　　與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳

三角形與甲乙丙全形亦等

　第四題

凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等

　　　　　　　　解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙

　　　　　　　　又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等

　　　　　　　　之半圜線與戊乙等題言甲乙丙

　　　　　　　　所容與丁乙戊巳直角形所容等

　　　　　　　　論曰試以乙戊引長到庚令庚戊

　　　　　　　　與乙戊等則乙庚與圜周全等次

從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相

等(在圜書/一題)而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等(本篇四/又一卷)

(四十/註)則丁乙戊巳自與全圜體等

　第五題

凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其

對邊線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所

分内銳角之比例

解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所

　　　　　對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙

　　　　　丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角

　　　　　之比例

　　　　　論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙(一卷/十九)

　　　　　若以甲為心以丁為界作半規必分甲己

　　　　　線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲

乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三

角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己

丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更

之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁

甲戊形之比例(五卷二/十七)合之則乙甲丙形與丁甲丙形

即是乙丁線與丁丙線之比例(形之比例與底線之/比例相等在六卷)固

大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與

甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比

例(六卷三/十三系)則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角

與丁甲丙角之比例也

　第六題

凡直線有法形數端但周相等者多邊形必大於少邊

形

解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等

　　　　　　　　　　　而甲乙丙形之邊多于丁

　　　　　　　　　　　戊己(不拘四邊六邊雖十/邊與十一二邊皆同)

　　　　　　　　　　　(此/論)題言甲乙丙之體大于

　　　　　　　　　　　丁戊己之體

論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作

辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸(三卷/三)其甲乙

丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙

求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊

己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣兹截癸子與壬

乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次

第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而

全形邊所倍于戊己一邊數與全圜切分所倍于戊己

　　　　　切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍

　　　　　于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙

　　　　　丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊

　　　　　丁己全圜之切分若戊辛己角之與全

　　　　　形四直角(六卷三十/三題之系)則以平理推之移

　　　　　戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角

　　　　　之於四直角也而甲乙丙内形周與乙

丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四

直角之與庚乙丙角也(六卷三十/三之二系)則又以平理推戊己

與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推

而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也

(五卷/十五)夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛

癸角之比例(本篇/五)則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸

辛戊與癸辛子之比例(五卷/十三)而癸辛子角大于壬庚乙

角(五卷/十)其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明

小于庚乙壬角(一卷三/十二)令移壬乙庚角于癸子上而作

　　　　　　癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚

　　　　　　壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸

　　　　　　子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等

　　　　　　于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而

　　　　　　庚壬實贏于辛癸(一卷二/十六)令取庚壬線

　　　　　　及甲乙丙半周線作矩内直角形必大

　　　　　　於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内

直角形也(本篇/二)然則多邉直線形之所容豈不大于等

周少邊直線形之所容乎

　第七題

有三角形其邉不等于一邊之上另作兩邊等三角形

與先形等周

　　　　　　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大於丙乙兩邊

　　　　　　不等欲於甲丙上另作三角形與甲乙丙周等

　　　　　　兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等

　　　　　　兩平分於己甲乙乙丙兩邊併既大于甲丙邊

　　　　　　(一卷/十)則丁己己戊兩邊併亦大于甲丙

　　　　　　而丁己己戊甲丙可作三角形矣(一卷/三十)

　　　　　　(二/)以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自

　　　　　　相等而甲丙同邊則二形之周等而甲

庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形(此庚㸃必在甲乙/線外若在甲乙邉)

(上過辛則辛丙線小于辛/乙乙丙合線即不得同周)

　第八題

有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其

等邊所容必多於不等邉所容

　　　　　　　解曰有甲乙丙形其甲乙邊大於乙

　　　　　　　丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形

　　　　　　　與甲乙丙等周(本篇/上)而丁甲丁丙兩

腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲

乙丙

論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又

作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於

甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減

一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁

乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊

底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙

角踰戊丁丙角之半(一卷三/十二)令别作戊丁己角與丁甲

丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行(一卷/廿八)又

令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙

甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也(六/卷)

　　　　　　　(一/)因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁

　　　　　　　丙兩邊等三角形必大於等周之甲

　　　　　　　乙丙矣(問戊丁乙角何以踰戊丁丙/角之半曰丁甲丙與丁丙甲)

(兩角等而戊丁丙為其外角/凡外角必兼兩内角故也)

　第九題

相似直角三邊形併對直角之兩弦線為一直線以作

直角方形又以兩相當之直線四併二直線各作直角

方形其容等

　　　　　解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似

　　　　　其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角

　　　　　各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相

　　　　　當題言併甲丙丁己為一直線於上作直

　　　　　角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙

　　　　　戊己作直線各於其上作直角方形兩併

等

論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線

與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬

線與戊庚平行(一卷二/十九)則巳壬辛之角形與丁戊巳相

似而丁戊巳與甲乙丙相似矣(一卷三/十二)何者巳壬辛角

與庚角等庚角與丁戊巳角等己角又與乙角等而辛

角與丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角與甲角亦等(一/卷)

　　　　　　(三十/四)又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲

　　　　　　乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱

　　　　　　相等(一卷二/十六)故丁辛線兼丁巳甲丙之

　　　　　　度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦

　　　　　　兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也(一卷/三十)

　　　　　　(四/)然則丁辛上直角方形與丁庚及庚

辛上兩直角方形併自相等矣

　第十題

有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似

三角形二而等周其兩腰各自相等

解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角

　　　　　形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相

　　　　　等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角

　　　　　(一卷二/十五)而兩三角形不相似求於兩底上

　　　　　各作三角形相似而兩腰各相等其周亦

　　　　　等

　　　　　法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四

線等而分之于壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙

丁(六卷/十)甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分

庚壬于癸平分壬辛於子庚壬與壬辛既若甲乙與丙

丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁

　　　　　矣(五卷/一)夫庚辛併既大于甲乙丙丁併(兩/邊)

　　　　　(必大于一邊/在一卷二十)則壬辛大于丙丁而庚壬大

　　　　　於甲乙也(五卷/十四)甲乙庚癸癸壬三線每二

　　　　　線必大於一線而丙丁壬子子辛亦然令

　　　　　於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角

　　　　　形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外(以/戊)

(甲戊乙得庚辛之半/而庚壬之度過之故)於丙丁上用壬子子辛線作丙寅

丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁/亦得庚壬)

(之半而壬辛之度不/及故俱一卷二十二)

論曰併甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑

乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自

與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於

兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與壬辛而減半之

庚壬與壬子(五卷/十五)又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則

更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若

丙寅與寅丁是兩形為同邊之比例自相似(六卷/五)

　第十一題

有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大

于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱

同而不相似形併必小於相似形併

解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角

形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令於兩底上依前

　　　　　　　　題别作甲己丙及丙庚戊兩形相

　　　　　　　　似而與前兩三角形相併者等周

　　　　　　　　題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙

　　　　　　　　丙丙丁戊併

　　　　　　　　論曰將甲丙丙戊作一直線而甲

　　　　　　　　丙底大於丙戊底乃從已過乙作

己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙

戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙

三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則

甲己乙角與丙己乙角亦等(一卷/八)又甲巳壬三角形之

甲巳巳壬兩邊與丙巳壬三角形之丙巳巳壬兩邊等

則甲巳壬角與丙巳壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等

(一卷/四)壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左

右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而

從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙

兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上

下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸

丙辛角俱等(一卷/四)丁丙辛角既大於庚丙辛角而庚丙

辛角相似與巳丙壬角即相等(一卷/五)而丁丙辛即癸丙

辛總大於巳丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬(一/卷)

(十/五)是丑丙壬亦大於巳丙壬而引癸丑線當在于丙巳

之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸

乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙

線(一卷/二十)則巳丙丙庚併亦大於乙癸線何也此四形者兩

　　　　　　　　兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁

　　　　　　　　丁戊四線併與甲巳巳丙丙庚庚

　　　　　　　　戊四線併原相等而減半之乙丙

　　　　　　　　丙丁即乙丙丙癸與巳丙丙庚亦

　　　　　　　　相等故也併巳丙丙庚二線為一

　　　　　　　　直線就其上作直角方形必大于

乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與

己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形

併相等(九/題)而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁(即辛/癸)

上直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等(九/題)

(從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之/形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙)

(壬辛癸為股壬辛/為句乙癸為弦矣)此己壬庚辛線併之直角方形及壬

丙丙辛上之直角方形併明大于乙壬丁辛併之直角

方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減

一壬辛上直角方形則巳壬庚辛共線上之直角方形

大于乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線

　　　　　　　併大於乙壬丁辛兩線併矣此兩率

　　　　　　　者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈

　　　　　　　不大于丁庚乎壬丙原大於丙辛(以/甲)

　　　　　　　(丙原大于/丙戊故)則己乙與壬丙矩内直角

　　　　　　　形大于丁庚與辛丙矩内直角形而

乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令

從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角

形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三

角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁

庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也

則己乙丙三角形大於丁庚丙三角形而甲己丙乙甲

形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丙形為丁庚

丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊

之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大

于甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉

　第十二題

同周形其邊數相等而等角等邊者大於不等角等邊

者

　　　　　　先解曰有甲乙丙丁戊己多邊形與他

　　　　　　形同周同角者較必邊邊相等乃為最

　　　　　　大之形

論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邊如第一圖又作

甲丙線于上作等邊三角為甲庚丙形與甲乙丙等周

(本篇/七)則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周

而甲庚丙三角形必大於甲乙丙三角形(本篇/八)令每加

丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁

戊己形故知不等邊者不為最大其他如丙丁邊之類

或不等者亦如此推

　　　　　　次解曰又設甲乙丙丁戊己等邊形與

　　　　　　他形同周同邊者較必角角相等乃為

　　　　　　最大之形

論曰依上論各邊俱等則甲乙丙丙丁戊為等邊三角

形(邊角/俱等)而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而

乙角可大于丁角則甲丙線必大于丙戊線(一卷二/十四)試

於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊

如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲

庚丙併丙辛戊者大於甲乙丙併丙丁戊(本篇/十一)而每加

丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大於甲乙丙丁戊己

也何得以等周等邊而不等角者為最大乎

　第十三題

凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者

解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邊有法形其周等

　　　　　題言甲乙丙大於丁戊己

　　　　　論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心

　　　　　甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊

　　　　　己相似(四卷十/六註)而從壬癸切圜于甲者作

　　　　　半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬

　　　　　癸之半(三卷/十八)又從辛作子丑垂線則辛丁

　　　　　亦分子丑之半(三卷三設于兩多邊形外/作切形圜而以壬癸子丑)

　　　　　(為切圜線向心作垂線則垂線必/分切線之中央故説在四卷十二)兩形相

　　　　　似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚

　　　　　角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛

　　　　　直角亦等(一卷三/十二)然乙壬癸丙之周大於圜

　　　　　周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙

周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邊大于子

丑邊則半之而壬甲亦大于子丁又壬甲與甲庚若子

丁與丁辛之比例(六卷/四)而壬甲大於子丁則甲庚亦大

於丁辛(五卷/十四)是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直

角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線

以作矩内直角形其與形地等也(本篇/四)系曰推此見圜

形大於各等周直線形(第五題証有法形同周者多邉/為大又十二題証等周及邊數)

(之等者有法為大又本題証等周之有法/形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大)

　第十四題

銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩内

直角立形等

　　　　　　解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊

　　　　　　底其頂己又有寅庚直角立方形者其

　　　　　　底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一

　　　　　　其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與

　　　　　　觚形所容等

　　　　　　論曰從立形底諸角與相對一角如子

　　　　　　角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此

形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形

兼庚辛壬癸子觚之三(十二卷六註言兩觚形同髙者/其所容之比例如其底底等亦)

(等底倍/亦倍)寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三(以同㡳同/髙故在十)

(二卷/七系)則寅庚全方與己甲觚等

　第十五題

平面不拘幾邊其全體可容渾圜切形者設直角立形

其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等(可容渾圜/&KR0704;形者必)

(圜形與諸面相切若長廣/不切諸面者不在此論)

　　　　　解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其

　　　　　心壬而外線甲乙切圜于戊(十一卷/三題)試從

　　　　　戊壬割圜之半作戊己庚辛圜(圜形書一/卷一題)

　　　　　從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂

　　　　　線(三卷/十八)壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂

　　　　　線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午

　　　　　子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一

　　　　　而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立

　　　　　方形與甲乙丙丁全體等

　　　　　論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即

　　　　　分其體為數觚形其面即為觚底而皆以

　　　　　壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之

　　　　　一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚

　　　　　所容等(本篇/十四)又併為一形即與甲乙丙丁

　　　　　體等亦與午子等以午子底正得甲乙全

　　　　　形三之一而其髙合圜半徑也

　第十六題

圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等

　　　　　　解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直

　　　　　　角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜

　　　　　　三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙

　　　　　　渾圜等

　　　　　　論曰若言不等謂戊大於渾圜形其較

　　　　　　有己者合以丁為心外作庚辛壬渾圜

　　　　　　大於甲乙丙而勿令大於戊第令或等

　　　　　　或小以驗之而於庚辛壬内試作有法

　　　　　　形勿切甲乙丙圜(十二卷/十七)自丁心至形

　　　　　　邊各作垂線則垂線必長于甲丁又自

　　　　　　丁心至形各角作直線以分此形為幾

　　　　　　觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂

線至丁心為觚銳頂試取各觚底三之一及丁垂線之

髙以作直角立形與觚等(本篇/十四)則併為大直角立形亦

與庚辛壬内之法形等(本篇/十五)如云以甲丁為髙而以各

觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因

顯庚辛壬三之一大於甲乙丙三之一而戊形甲丁徑

及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不

大於戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也又論曰

戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作

癸子丑圜小於甲乙丙而勿令小於戊或大或等者以

驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑(十二卷/十七)

而從丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半

徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形

之各面為觚底丁心為觚銳頂而取觚底三之一及底

至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙

而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙於

前形既甲乙丙圜之面大於其内形之面則圜面三之

一大於内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲

乙丁面三之一固即戊體矣愈大于甲乙丁之内形矣

而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大於甲乙

丙圜而分大于全與則戊體不小於甲乙丙矣從後論

不可為小從前論不可為大故曰等也

　第十七題

圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大

　　　　　　　　解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙

　　　　　　　　又丙形與甲等周其周内可作諸

　　　　　　　　切邊圜形而從心至邊為丙丁題

言甲圜大於丙形

論曰甲圜外試作與丙相似形(十二/卷)而從甲心至各邊

切處作半徑垂線皆等(本篇十/五有解)其一為甲乙甲圜外形

大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大于丁

丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立

方形即與甲圜形等(本篇/十六)以丙丁線為髙而以三分丙

形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大

於丙之立方(本篇/十五)則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容

為大矣

　第十八題

凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角

形

解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數

　　　　　　　相偶若八面十二面十六面二十面

　　　　　　　及二十四二十八之類等邊等角近

　　　　　　　于圜形者又作戊壬過心線為樞以

　　　　　　　轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平

　　　　　　　面旋為立圜之體則其形為圜外圜

　　　　　　　角之形而角與邊周遭皆等(圜書一/卷廿二)

　　　　　　　(廿/七)又有渾圜形寅與圜角形等周題

言寅圜大于圜角形

論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大

於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也

夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒

得渾體四分之一(圜書一卷/三十一題)令倍寅徑以作卯辰徑其

圜面四倍大於寅之圜面(此專以圜而相較也卯辰徑/既倍寅徑則卯辰圜□四倍)

(於寅圜以圜與圜為徑與徑再加/之比例故也在六卷附一增題)則卯辰圜與寅渾圜

等(此卯辰圜為欲見角故/畫作扁圜實正圜也)次作未申圜與卯辰等作未

面申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於卯辰上亦

作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為己午之髙兩

圜體等而未酉申圜角形髙於卯巳辰圜角形則亦大

於卯巳辰圜角形(圜角形同底之比例若其髙/之比例在十二卷十四題)夫割寅

　　　　　　　渾圜之中半以為底(即過心/大圜也)而以其

　　　　　　　半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四

　　　　　　　分之一(此旋摶所成尖頂半圜形非/只論其一面也在圜書一卷)

　　　　　　　(三十/二)則是一寅圜恒兼四圜角之形

　　　　　　　而未申圜原四倍大於寅圜則未酉

　　　　　　　申圜角形固與寅之渾圜形等矣(圜/角)

　　　　　　　(形同髙之比例若其㡳之比/例故也在十二卷十一題)其卯巳

辰圜角形底原等戊己庚形之面(戊己庚之面與/寅圜之面等故)而巳

午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與卯巳

辰圜角形等(圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形/如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心)

(大圜為底而以圜半徑為髙旋/作圜角形即與圜外諸圜角等)卯巳辰圜角形既小於

未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大於同周

之寅乎

　圜容較義