御製歷象考成後編
御製歷象考成後編
欽定四庫全書
御製厯象考成後編卷二
月離數理
月離總論
太陰本天面積随時不同
太陰本天心距地及最高行隨時不同
求初均數
求一平均
求二平均
求三平均
求二均數
求三均末均
求交均及黄白大距
地半徑差
月離總論
古歴皆謂月一日行十三度十九分度之七出入日道
不踰六度東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差
率元郭守敬乃定為轉分進退時各不同猶今之初均
數而其出入日道之大距則仍恒為六度也新法算書
初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有遲疾
故有初均兩弦又不同於朔望故有二均兩弦前後又
不同於兩弦故有三均此經度之差也朔望交行遲而
大距近兩弦交行疾而大距逺故有交均此交行之差
而亦緯度之差也上編言太陰行度有九種一曰平行
二曰自行三曰均輪行四曰次輪行五曰次均輪行六
曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其實均
輪行自行度次輪次均輪皆行月距日倍度則九種行
度之中又止六種而巳自西人刻白爾創為撱圓之法
専主不同心天而不同心天之兩心差及太陰諸行又
皆以日行與日天為消息故日行有盈縮則太陰平行
最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最
高有逺近則太陰本天心有進退兩心差有大小而平
行面積亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最
高均又白極繞黄極而轉移則白道度有進退而太陰
之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之
所無而刻白爾以来柰端等屢測而創獲者也夫兩心
差既有大小則月距最高雖等而遲疾之差不等故分
大中小三數而仍名曰初均朔望而外其差之最大者
不在兩弦而在朔弦弦望之間仍名曰二均又月高距
日高與月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差
而遲仍名曰三均又朔後恒差而遲望後恒差而疾因
月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交
後一象限則交行疾日在交前一象限則交行遲仍名
曰正交均此五者末均為昔日之所無其餘諸均亦名
同而數異皆刻白爾以来噶西尼等屢測而改定者也
至於黄白交角(即大/距度)新法算書朔望最小兩弦最大今
則謂日在交㸃交角大前後皆小朔望尤小日在大距
交角小前後皆大兩弦尤大似皆與新法算書不同然
用以推歩交食則皆與實測合而與新法算書亦相去
不逺計其行度一平均用日引度二平均最高均用日
距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度
初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用
月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日
度較舊用行度多四種一曰日引二曰日距月最高三
曰日距正交四曰月高距日高則其行度共行種矣今
考其表中所列誠皆實測之數而要不離乎本天高卑
中距四限與朔望兩弦前後參互比較而得之兹為總
舉其端而各具測算之法於後庶學者知其立法所自
来而推歩考驗咸可通其條貫云
太陰本天面積隨時不同
太陰初均數生於兩心差兩心差不等則均數亦不
等然於平行無與也自刻白爾以本天為撱圓以平
行為面積則兩心差不等而撱圓之面積與太陰之
平行亦因之不等盖兩心差大者小徑之數小而面
積亦小兩心差小者小徑之數大而面積亦大故分
撱圓之度數雖同而度之面積各異非先求其面積
無以求度數也今取兩心差之大中小三數求其小
徑及面積以定平行而後均數可得而推也
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為太
陰本天乙丁為大半徑一
千萬乙戊為小半徑甲戊
丙戊皆與乙丁大半徑等
以甲戊為弦甲乙為勾求
得股即乙戊小半徑也以
乙丁大半徑求得丁辛己
壬平圓積以乙辛與乙戊
為比例即撱圓全積也用
度分秒數除之即得一度
一分一秒之積也以庚戊
小徑與丁己大徑相乗開
平方折半即乙癸中率半
徑也其理皆與日躔同惟
兩心差隨時不同則小徑
與面積皆各異具列於左
最大兩心差 六六七八二○
小徑 九九七七六七五(小餘/九○)
中率半徑 九九八八八三一(小餘/七二)
中率半徑方 九九七七六七五九○四一一七二
撱圓全積 三一三四五七九三二八四四五六七
九十度積 七八三六四四八三二一一一四二
一度積 八七○七一六四八○一二四
一分積 一四五一一九四一三三五
一秒積 二四一八六五六八九
中數兩心差 五五○五○五
小徑 九九八四八三五(小餘/七一)
中率半徑 九九九二四一四(小餘/九八)
中率半徑方 九九八四八三五七一四四七一○
撱圓全積 三一三六八二八六四九二○三九六
九十度積 七八四二○七一六二三○○九九
一度積 八七一三四一二九一四四六
一分積 一四五二二三五四八五七
一秒積 二四二○三九二四八
最小兩心差 四三三一九○
小徑 九九九○六一二(小餘/九二)
中率半徑 九九九五三○五(小餘/三六)
中率半徑方 九九九○六一二九一五三二七一
撱圓全積 三一三八六四三六一○三七八六七
九十度積 七八四六六○九○二五九四六七
一度積 八七一八四五四四七三二七
一分積 一四五三○七五七四五五
一秒積 二四二一七九二九一
太陰本天心距地及最高行隨時不同
太陰之行有遲疾由于本天有高卑其説一為不同
心天一為本輪與太陽同西人第谷以前定本輪半
徑為本天半徑千萬分之八十七萬即不同心天之
兩心差其最大遲疾差為四度五十八分二十七秒
第谷用其法惟中距與實測合最高前後則失之小
最卑前後則失之大因将本輪半徑三分之存其二
分五十四萬為本輪半徑取其一分二十七萬為均
輪半徑其高卑之數遲疾之差雖各有不同而其距
地之有定數最高之有常行則一也自刻白爾創為
撱圓之法専主不同心天而不同心天之兩心差及
最高行又隨時不同惟日當月天中距時最大遲疾
差為四度五十七分五十七秒兩心差為四三三一
九○倍差即為八十六萬有竒與舊數相去不逺若
日當月天最高或當月天最卑則最大遲疾差為七
度三十九分三十三秒兩心差為六六七八二○日
厯月天高卑而後兩心差漸小中距而後兩心差漸
大日距月天高卑前後四十五度兩心差適中又日
當月天高卑時最高之行常速至高卑後四十五度
而止日當月天中距時最高之行常遲至中距後四
十五度而止與日月之盈縮遲疾相似而周轉之數
倍之是則太陰本天之心必更有一均輪以消息乎
兩心差及最高行之數因以地心為心以兩心差最
大最小兩數相加折半得五五○五○五為最高本
輪半徑相減折半得一一七三一五為最高均輪半
徑均輪心循本輪周右旋行最高平行度本天心循
均輪周右旋行日距月最高之倍度用切線分外角
法求得地心之角為最高均數即最高行之差求得
兩心相距之邊為本天心距地數即本時之兩心差
也今考其表中所載其最大遲疾差不在中距最高
前後九十度多最卑前後九十度少與上編小輪之
理同其求兩心差則在本天高卑之適中而亦不正
九十度與本編日躔之理同而其測量諸均數則必
在高卑中距或高卑中距之間其數乃整齊而易辨
要之測得高卑中距之差則兩心差之數巳見而求
得兩心差之數則高卑中距之差悉合矣
如甲為地心乙為太陰本天心丙為最
高丁為最卑戊己為中距(戊己乃實行/之中距非平)
(行之中距因朔望相/對故借實行以明之)設日天最高當月
天最高丙太陽在最高後中距戊太陰
亦在戊合朔測得太陰實行比平行少
四度四十五分四十一秒太陰在最高
前中距己望測得太陰實行比平行多
五度九分二十一秒又設太陽在最高
前中距己太隂亦在己合朔測得太陰
實行比平行多四度四十五分四十一
秒太陰在最高後中距戊望測得太隂
實行比平行少五度九分二十一秒兩
測太隂在戊實行皆比平行為少太陰
在己實行皆比平行為多是知太陰在
最高後則減最高前則加為初均之故
矣然太陽在戊則少數小多數大太陽
在己則少數大多數小是必另有一均
因太陽在戊而加在己而減者若不因
太陽之故則太隂在戊為減在己為加
其數必相等也於是以大小兩數相減
折半得一十一分五十秒别為一平均
以減大數加小數得四度五十七分三
十一秒為日距月天最高前後九十度
時月距最高前後九十度之初均數最
高後為減最高前為加也
又設日天最高當月天最高後中距戊
太陽在最高戊太陰在最高後中距戊
合朔測得太陰實行比平行少四度五
十九分五十六秒太陰在最高前中距
己望測得太陰實行比平行多四度五
十五分六秒又設日天最高當月天最
高前中距己太陽在最高己太陰在最
高前中距己合朔測得太陰實行比平
行多四度五十九分五十六秒太陰在
最高後中距戊望測得太陰實行比平
行少四度五十五分六秒兩測太陰在
戊實行皆比平行為少太陰在己實行
皆比平行為多是知太陰在最高後則
減最高前則加為初均之故矣然日天
最高在戊月天最高距日天最高二百
七十度則少數大多數小日天最高在
己月天最高距日天最高九十度則多
數大少數小是必另有一均因月高距
日高九十度而加二百七十度而減者
於是以大小兩數相減折半得二分二
十五秒别為三均以減大數加小數得
四度五十七分三十一秒為日距月天
最高前後九十度時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加與前測合
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在中距戊上弦測得太陰
實行比平行少七度三十五分三十四
秒太陰在中距己下弦測得太陰實行
比平行多七度三十五分三十四秒又
設日天最高當月天最卑丁太陽在最
高丁太陰在中距己上弦測得太陰實
行比平行多七度四十分二十四秒太
陰在中距戊下弦測得太陰實行比平
行少七度四十分二十四秒兩測太陰
在戊實行皆比平行為少太陰在己實
行皆比平行為多是知太陰在最高後
則減最高前則加為初均之故矣然上
弦則少數小多數大下弦則少數大多
數小是必另有一均因上弦而加下弦
而減者於是以大小兩數相減折半得
二分二十五秒别為三均以減大數加
小數得七度三十七分五十九秒為日
在月天最高最卑時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加也
又設日天最高在庚月天最高丙距日
天最高三百一十五度太陽在庚距月
天最高四十五度太陰在戊距最高九
十度而距日四十五度為朔與上弦之
間測得太陰實行比平行少五度五十
七分四十五秒若日天最高在辛月天
最高距日天最高二百二十五度太陽
在辛距月天最高一百三十五度太陰
仍在戊距月天最高九十度而距日三
百一十五度為下弦與朔之間測得太
隂實行比平行少六度五十四分四十
九秒又設日天最高在壬月天最高距
日天最高一百三十五度太陽在壬距
月天最卑四十五度太隂在己距最高
前九十度而距日四十五度為朔與上
弦之間測得太隂實行比平行多六度
五十四分四十九秒若日天最高在癸
月天最高距日天最高四十五度太陽
在癸距月天最高三百一十五度太隂
仍在己距最高前九十度而距日三百
一十五度為下弦與朔之間測得太隂
實行比平行多五度五十七分四十五
秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少
太陰在己實行皆比平行為多是知太
陰在最高後則減最高前則加為初均
之故矣而朔與上弦之間則少數小多
數大下弦與朔之間則少數大多數小
是必另有一均因朔後而加朔前而減
者而所大所小之數又不及二均加減
之多是必又有别均加減於其間而此
特為其加減之較於是以大小兩數相
減折半得二十八分三十二秒為二均
與二平均末均加減之較(查朔後四十/五度二均應)
(加三十三分一十四秒而日距月天高/卑後四十五度二平均應減三分三十)
(四秒又月高距日高在四象限之正中/朔後四十五度時末均應減一分八秒)
(故以二十八分三十二秒為加減之較/又查朔前四十五度二均應減三十三)
(分一十四秒而日距月天高卑前四十/五度二平均應加三分三十四秒又月)
(高距日高在四象限之正中朔前四十/五度時末均應加一分八秒故亦以二)
(十八分三十二秒為/加減之較詳後各篇)以減大數加小數
得六度二十六分一十七秒為日距月
天高卑前後四十五度時月距最高前
後九十度之初均數最高後為減最高
前為加也
前測均數之大小皆在月距最高前後
九十度時而測兩心差之大小則必在
本天高卑之適中其平引(即距最高/之平行度)之
多於九十度與實引(即距最高/之實行度)之少於
九十度或平引之少於九十度與實引
之多於九十度者皆適相等(見日躔求/兩心差篇)
如甲為地心乙為本天心甲乙為兩心
差甲子為倍差丙丑丁寅撱圓為月本
天丙為最高丁為最卑丑寅為中距(丑/寅)
(為本天高卑之適中丙丑甲分撱圓面/積為平引九十度多丑甲丙角為實引)
(九十度少然相去不逺故亦/名中距以便與日天較算也)乙丁為大
半徑一千萬乙丑為小半徑甲丑子丑
皆與乙丁等設日天最高當月天最高
前中距寅太陽在最高寅太陰在最高
後中距丑望其丙丑甲分撱圓面積九
十二度二十八分五十七秒五十八微
半為平引其大於九十度之二度二十
八分五十七秒五十八微半即丑甲乙
勾股積與乙丑甲角度等(與日躔求兩/心差同但日)
(躔從最卑起算月/離從最高起算耳)此時測得太陰實行
在最高後八十七度三十三分二十七
秒一微半減此時應加之三均二分二
十五秒(此時三均應加二分二十五秒/若不因三均則實行應少二分)
(二十五/秒故減)餘八十七度三十一分二秒一
微半為實引其小於九十度者亦二度
二十八分五十七秒五十八微半即丑
甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角
等平行實行之差四度五十七分五十
五秒五十七微即甲丑子角折半得二
度二十八分五十七秒五十八微半即
乙丑甲角甲丑既為半徑一千萬則甲
乙即乙丑甲角之正弦檢表得四三三
一九○即日在月天中距時之兩心差
也
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在最高後中距丑上弦其
丙丑甲分撱圓面積九十三度四十九
分四十五秒二微半為平引其大於九
十度之三度四十九分四十五秒二微
半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等
此時測得實行在最高後八十六度一
十二分三十九秒五十七微半減此時
應加之三均二分二十五秒(同/前)餘八十
六度一十分一十四秒五十七微半為
實引其小於九十度者亦三度四十九
分四十五秒二微半即丑甲卯角與乙
丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行
之差七度三十九分三十秒五微即甲
丑子角折半得三度四十九分四十五
秒二微半即乙丑甲角檢正弦得六六
七八二○即日在月天最高最卑時之
兩心差也
前測日在月天高卑兩心差大日在月
天中距兩心差小又日在月天高卑最
高行速日在月天中距最高行遲用小
輪之法算之如甲為地心乙丙丁戊為
最高本輪甲乙半徑為五五○五○五
己庚辛壬為最高均輪乙己半徑為一
一七三一五均輪心循本輪周右旋自
乙而丙而丁而戊行最高平行度本天
心循均輪周右旋自己而庚而辛而壬
行日距月最高之倍度本天心在均輪
上半周順輪心行故最高行速距地心
逺故兩心差大本天心在均輪下半周
逆輪心行故最高行遲距地心近故兩
心差小日在月天最高或在月天最卑
本天心皆在己甲己六六七八二○為
最大兩心差日在月天兩中距本天心
皆在辛甲辛四三三一九○為最小兩
心差本天最高與甲乙合為一線無最
高均數如日距月最高四十五度則本
天心自己行九十度至庚本天最高必
對甲庚線之上用甲乙庚三角形求得
甲角一十二度一分四十八秒為最高
均數是為最大之加差以加於最高平
行而得最高實行求得甲庚邉五六二
八六六為本天心距地數即本時之兩
心差也(此乙角為直角可用勾股法亦/可用切線分外角法若乙角非)
(直角則用切/線分外角法)如日距月最高一百三十
五度則本天心自己行二百七十度至
壬本天最高必對甲壬線之上用甲乙
壬三角形求得甲角為最高均數與乙
甲庚角等甲壬兩心差亦與甲庚等但
甲角為最大之減差以減最高平行而
得最高實行也既得最高實行與兩心
差則以最高實行與太陰平行相減得
平引而初均數可求矣
求初均數
新法算書用本輪均輪推初均數日躔月離數雖不
同而其法則一也自刻白爾以平行為撱圓面積求
實行用意甚精而推算無術噶西尼等立借角求角
之法亦極補凑之妙矣然日天兩心差為本天半徑
千萬分之一十六萬餘所差之最大者不過百分秒
之六十六(見日躔撱圓角度/與面積相求篇)月天兩心差之最大者
為本天半徑千萬分之六十六萬餘若仍用日躔之
法則其差之最大者即至四十秒雖於數不為踈而
於法則猶未宻故又立用兩三角形之法先以半徑
為一邊兩心差為一邊太陰平引與半周相減(不及/半周)
(者與半周相減過/半周者減半周)為所夾之角求得對兩心差之小
角與前所夾之角相加復為所夾之角仍用半徑與
兩心差為兩邊求得對半徑之大角為平圓引數次
以大半徑為一率小半徑為二率平圓引數之正切
線為三率求得四率查正切線得實引與平引相減
餘為初均數依日躔借積求積法細推之其差之最
大者不過一十秒較借角求角之法為密云
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為最大兩心差六
六七八二○丙丁戊己為
月本天乙丙為大半徑一
千萬與乙庚等乙丁為小
半徑九九七七六七五(小/餘)
(九/○)設太陰平引距最高後
九十度用日躔借角求角
法依甲乙之分截乙丙線
於辛取丙辛壬角為九十
度自地心甲作甲壬線命
甲壬丙分撱圓面積為九
十度與乙丁丙面積等亦
與丙乙丁角度等用甲辛
壬三角形丙辛壬外角為
平引九十度甲辛為倍兩
心差一三三五六四○甲
壬與辛壬共為二千萬求
得壬角七度三十八分二
十八秒(小餘/七○)為初均數即
得壬甲丙角八十二度二
十一分三十一秒(小餘/三○)為
實引試依日躔借積求積
法細推之辛壬邊為九九
五五四○一(小餘/六四)甲壬邊
為一○○四四五九八(小/餘)
(三/六)甲壬丙分撱圓面積為
七八三五四五六三一八
四七七三與最大兩心差
之撱圓九十度積七八三
六四四八三二一一一四
二相減餘九九二○○二
六三六九為甲壬癸積即
甲壬丙積小於九十度積
之較故知平引距最高九
十度時太陰必在壬㸃之
後如癸乃依最大兩心差
中率半徑九九八八八三
二截甲壬線於子截甲癸
線於丑成甲子丑分平圓
面與甲壬癸為同式形(甲/壬)
(長於甲癸然為數/無多故為同式形)以甲壬
自乗得一○○八九三九
五六二一三七一五為一
率甲子中率自乗方九九
七七六七五九○四一一
七二為二率甲壬癸積較
為三率求得四率九八一
○一八二○七五為甲子
丑分平圓面積以最大兩
心差之一秒積二四一八
六五六八九除之得四十
秒(小餘/五六)為子甲丑角與壬
甲丙角相加得八十二度
二十二分一十一秒(小餘/八六)
為癸甲丙角即平引距最
高後九十度之實引與平
引九十度相減餘七度三
十七分四十八秒(小餘/一四)即
平引距最高後九十度時
之初均數前用日躔借角
求角法所得實引壬甲丙
角比細推少四十秒蓋乙
丁丙為撱圓面四分之一
其積為九十度今命太隂
在壬以甲壬丙分撱圓積
為與乙丁丙積等其實甲
壬丙積比乙丁丙積多一
甲乙寅形少一寅壬丁形
而甲乙寅積僅與寅壬卯
積等以多補少尚少壬卯
丁弧矢積故推得壬甲丙
角比細推少四十秒也(日/躔)
(從最卑起算則推得辰/甲戊角比細推為多)又
查日天兩心差為一六九
○○○小矢為一四二六
所得實引比細推差百分
秒之六十六月天甲乙兩
心差為六六七八二○與
壬卯半弦等幾為日天之
四倍卯丁小矢為二二二
七四(乙丁内減去辛壬/餘即卯丁小矢也)幾
為日天之一十六倍則壬
卯丁弧矢積幾為日天之
六十四倍(四因一十六倍/得六十四倍)
故實引比細推差四十秒
亦幾為日躔實引所差之
六十四倍也
今用兩三角形法先設丙
乙庚角為平引九十度用
甲乙庚三角形甲乙庚角
為九十度乙庚為半徑一
千萬甲乙為最大兩心差
六六七八二○求得甲庚
乙角三度四十九分一十
四秒(小餘/三五)又與甲庚平行
作乙己線自甲至己作甲
己線成甲乙己三角形己
乙庚角與甲庚乙角等以
己乙庚角與甲乙庚角九
十度相加得九十三度四
十九分一十四秒(小餘/三五)為
甲乙己角求得乙甲己角
八十二度二十三分二秒
(小餘/四一)為平圓引數次以乙
庚大半徑一千萬為一率
乙丁小半徑九九七七六
七六為二率乙甲己角之
正切線為三率求得四率
為乙甲午角之正切線檢
表得八十二度二十二分
一秒(小餘/七九)為實引與平引
九十度相減餘七度三十
七分五十八秒(小餘/二一)即最
大兩心差平引九十度之
初均數也此法推得實引
比前細推所得之數仍少
一十秒而較之日躔借角
求角之法則為己宻葢設
丙乙庚角為九十度則乙
庚丙分平圓積乙丁丙分
撱圓積皆為九十度今與
甲庚平行作乙己線甲己
丙面與乙庚丙面相等而
為平圓九十度積則甲午
丙面亦必與乙丁丙面相
等而為撱圓九十度積夫
甲己丙面内有乙己丙形
與甲乙己形乙庚丙面内
有乙己丙形與乙己庚形
甲乙己積與乙己庚積相
等則甲己丙積即與乙庚
丙積相等試自己至庚作
己庚直線則乙己庚與甲
乙己為二平行線内同底
同高之兩三角形其積相
等(乙己原與甲庚平行庚/未正弦與甲申垂線等)
(以乙己底與庚未高相乗/折半得乙己庚三角積以)
(乙己底與甲申高相乗折/半得甲乙己三角積庚未)
(旣與甲申等故兩/三角積必等也)是甲乙
己形比乙己庚形尚少庚
酉巳弧矢積而甲己丙分
平圓面比乙庚丙平圓九
十度積甲午丙分撱圓面
比乙丁丙撱圓九十度積
亦少庚酉已弧矢積故求
得實引比細推少一十秒
即庚酉巳弧矢積之度然
為數無多非若差壬卯丁
弧矢積者比故其法較日
躔為己宻也又以日躔之
法明之日躔設太陰在壬
其甲壬丙分撱圓面積比
乙丁丙撱圓九十度積少
壬卯丁弧矢積故實引壬
甲丙角少四十秒今平引
用乙角甲乙與乙辛等而
乙庚長於辛壬則與甲庚
平行之乙己線必在壬㸃
下減巳甲午撱圓差角太
陰午㸃亦必仍在壬㸃下
是甲午丙積比甲壬丙積
即多甲午壬積足與所少
壬卯丁弧矢積相補故求
得實引午甲丙角即比壬
甲丙角大一午甲壬角以
數計之已午畧與卯丁等
甲戌畧與甲辛等則甲已
午三角積為壬卯丁勾股
積之二倍而甲午壬積約
為甲己午積之一半故甲
午壬積與壬卯丁勾股積
等比壬卯丁弧矢積僅少
壬亥丁一小弧矢積故實
引止少一十秒且此之平
引為九十度乃差之最大
者九十度前後愈近最高
最卑其差愈少故推太陰
初均用此法也
依前法設平引九十度甲
乙為最小兩心差四三三
一九○求得乙甲午角八
十五度二分二十九秒為
實引與平引九十度相減
餘四度五十七分三十一
秒為最小兩心差平引九
十度之初均數又設甲乙
為中數兩心差五五○五
○五求得乙甲午角八十
三度四十二分一十秒為
實引與平引九十度相減
餘六度一十七分五十秒
為中數兩心差平引九十
度之初均數如設平引九
十度日距月最高四十五
度兩心差為五六二八六
六求初均數則以最大兩
心差與中數兩心差相減
餘一一七三一五為一率
最大兩心差之初均數與
中數兩心差之初均數相
減餘一度二十分八秒化
作四千八百零八秒為二
率今有之兩心差與中數
兩心差相減餘一二三六
一為三率求得四率五百
零七秒収作八分二十七
秒與中數兩心差之初均
數相加得六度二十六分
一十七秒為平引九十度
兩心差五六二八六六之
初均數盖均數因兩心差
為大小故初均大小之差
即用兩心差之較為比例
若以甲乙兩心差五六二
八六六用兩三角形法算
之則得乙甲午角八十三
度三十三分四十三秒為
實引與平引九十度相減
餘六度二十六分一十七
秒為初均數與用兩心差
之較為比例所得數同故
初均表止列大中小三限
為省算也餘倣此
求一平均
新法算書推歩朔望惟用初均數若月在本天最高
或在本天最卑則平行與實行合為一線並無初均
數矣刻白爾以来奈端等屢加測騐謂月在最高最
卑雖無初均數而日在最卑後則太陰平行常遲最
高平行正交平行常速日在最高後太陰平行常速
最高平行正交平行常遲因定日在中距太陰平行
差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六
秒正交平行差九分三十秒其間逐度之差皆以太
陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例名曰一
平均蓋太陽平行自子正隨天左旋復至子正是為
一日月距日一日順行一十二度餘最高一日順行
六分餘正交一日退行三分餘皆隨太陽平行為行
度故為平行而太陰二均生於月距日之倍度最高
均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交
之倍度皆以太陽實行立算太陽實行有盈縮則諸
行亦隨之有進退此因太陽右旋之盈縮而差者也
又太陽右旋加多一度則左旋之時刻差早一度諸
行亦隨之而差早一度之行太陽右旋減少一度則
左旋之時刻差遲一度諸行亦隨之而差遲一度之
行此因太陽隨天左旋之遲早而差者也由是二者
故有一平均之法然太陰一平均則惟因左旋時差
之故最高平均與正交平均則兼左旋右旋兩差之
故焉以太陰一平均言之太陰二均生於月距日之
倍度而月距日之度乃置太陰實行減太陽實行而
得之太陽右旋之度差而多則月距日之度反差而
少太陽右旋之度差而少則月距日之度反差而多
是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也惟
是太陽左旋時刻差一度倍月距日已差二度太陰
又隨之差二度則平行即差四度時差行差早者應
減差遲者應加然差早一度者太陽未至子正一度
應加一度時差行差遲一度者太陽已過子正一度
應減一度時差行是差三倍時差行也故以一小時
六十分為一率一小時月距日平行一千八百二十
八秒六二為二率太陽中距均數一度五十六分一
十三秒變時(每度變為四分十五分變/為一分十五秒變為一秒)得七分四十
五秒為三率求得四率二百三十六秒二○用三因
之得七百零八秒六○収為一十一分四十九秒為
太陰一平均太陽均數加者為減減者為加是為太
陽實行至子正時之太陰平行度也以最高平均與
正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正
交均生於日距正交之倍度而日距月最高與日距
正交之度乃置太陽實行減月最高與正交而得之
太陽右旋之度加而多則相距之度亦多太陽右旋
之度減而少則相距之度亦少是最高與正交之行
固隨太陽右旋之盈縮為進退也又太陽左旋之時
刻差一度日距月最高與日距正交之倍度巳差二
度最高與正交又隨之差二度則最高與正交即差
四度時差行差早者應加差遲者應減且最高均與
正交均皆隨太陽行相距之倍度太陽實行差一度
則最高與正交亦隨之差一度之行太陽又加倍差
一度則最高與正交又隨之差半度之行是右旋左
旋之差皆為一倍有半而未至子正應加巳過子正
應減之時差行又其在外者也故以一日太陽平行
三千五百四十八秒三三為一率一日最高平行四
百零一秒○七為二率太陽中距均數一度五十六
分一十三秒為三率求得四率七百八十八秒一六
加四倍時差最高行八秒用一五因之再加最高時
差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九
分五十六秒為最高一平均又以一日太陽平行為
一率一日正交平行一百九十秒六三為二率太陽
中距均數為三率求得四率三百七十四秒六二加
四倍時差正交行四秒用一五因之再加正交時差
行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒
為正交一平均最高順行故加減與太陽均數同正
交退行故加減與太陽均數相反是為太陽實行至
子正時之最高平行與正交平行也最高一平均與
舊表合太陰一平均正交一平均皆少一秒今仍用
舊數既得太陽中距之平均而逐度之平均皆由太
陽均數立算故以太陽中距均數與中距平均之比
即同於太陽逐度均數與逐度平均之比也測法附
後
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高當日天最高丙太陽
在中距丁太陰在最卑戊上弦測得太
陰實行比平行多一十四分一十五秒
太陰在最高丙下弦測得太陰實行比
平行多九分二十五秒又設太陽在中
距己太陰在最高丙上弦測得太陰實
行比平行少九分二十五秒太陰在最
卑戊下弦測得太陰實行比平行少一
十四分一十五秒兩測太陽在丁實行
皆比平行為多太陽在己實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
卑後則減為一平均之故矣而上弦則
多數大少數小下弦則多數小少數大
是必另有一均因月距日九十度而加
二百七十度而減者於是以大小兩數
相減折半得二分二十五秒别為三均
以減大數加小數得一十一分五十秒
為太陽中距一平均最高後為加最卑
後為減也
又設太陽在丁月天最高在丁距日天
最高後九十度太隂在丁合朔測得太
隂實行比平行多一十四分一十五秒
月天最高在己距日天最高後二百七
十度太隂在己望測得太隂實行比平
行多九分二十五秒又設太陽在己月
天最高在己距日天最高後二百七十
度太隂在己合朔測得太陰實行比平
行少一十四分一十五秒月天最高在
丁距日天最高後九十度太陰在丁望
測得太隂實行比平行少九分二十五
秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多
太陽在己實行皆比平行為少是知太
陽在最高後則加在最卑後則減為一
平均之故矣然月天最高在丁距日天
最高後九十度則多數大少數小月天
最高在己距日天最高後二百七十度
則多數小少數大是必另有一均因月
天最高距日天最高九十度而加二百
七十度而減者於是以大小兩數相減
折半得二分二十五秒别為三均以減
大數加小數得一十一分五十秒為太
陽中距一平均最高後為加最卑後為
減也
又設太陽在庚距最高後四十五度月
天最高在庚太隂在庚合朔測得太隂
實行比平行多九分五十八秒月天最
高在辛太隂在辛望測得太隂實行比
平行多六分三十二秒又設太陽在壬
距最高前四十五度月天最高在壬太
隂在壬合朔測得太隂實行比平行少
九分五十八秒月天最高在癸太隂在
癸望測得太隂實行比平行少六分三
十二秒兩測太陽距最高前後皆四十
五度而在最高後庚太隂實行皆比平
行為多在最高前壬太隂實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
高前則減為一平均之故矣然月天最
高在庚距日天最高後四十五度則多
數大月天最高在辛距日天最高後二
百二十五度則多數小月天最高在壬
距日天最高後三百一十五度則少數
大月天最高在癸距日天最高後一百
三十五度則少數小是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得八分一十五秒為太陽距
最高前後四十五度之一平均最高後
為加最高前為減也查太陽最高前後
四十五度之均數為一度二十分五十
七秒以太陽中距之均數一度五十六
分一十三秒與中距一平均一十一分
五十秒之比同於最高前後四十五度
之均數一度二十分五十七秒與四十
五度之一平均八分一十五秒之比是
知逐度太隂一平均當以逐度太陽均
數為比例也
又設太陽在最高後中距丁月天最高
在丁太隂在最卑巳望正當交㸃此時
應無初均惟一平均應加一十一分五
十秒月天最高距日天最高九十度三
均應加二分二十五秒然測太隂實行
比平行多一十九分一十四秒較之一
平均與三均應加之數仍多四分五十
九秒為最卑後三十四分一十一秒所
應加之初均數夫太隂本在最卑以一
平均與三均應加之數計之應在最卑
後一十四分一十五秒是必最高又有
減差太隂始得在最卑後三十四分一
十一秒乃於三十四分一十一秒内減
一平均與三均應加之一十四分一十
五秒餘一十九分五十六秒為太陽在
最高後中距應減之最高平均也又此
時太隂正當交㸃應無距緯然測太陰
緯度在黄道北二十六秒為太隂距正
交後四分四十五秒之緯度夫太隂本
在交㸃以一平均與三均應加之數計
之則應距正交後一十四分一十五秒
是必正交又有加差太隂始得在交後
四分四十五秒乃於一平均與三均應
加之一十四分一十五秒内減四分四
十五秒餘九分三十秒為太陽在最高
後中距應加之正交平均也太陽在最
高前倣此
求二平均
前篇言太陰在本天高卑雖無初均數而太陽在本
天高卑前後猶有一平均若太陽亦在本天高卑則
並無一平均矣奈端以来又屢加精測謂日天最高
與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在
最高卑則實行與平行合為一線無諸均數太陽雖
在最高卑而在月天高卑前後則平行常遲至高卑
後四十五度而止在月天中距前後則平行常速至
中距後四十五度而止然積遲積速之多正在四十
五度而太陽在最高與在最卑其差又有不同因定
太陽在最高距月天高卑中距後四十五度之最大
差為三分三十四秒太陽在最卑距月天高卑中距
後四十五度之最大差為三分五十六秒高卑後為
減中距後為加其間日距月最高逐度之差皆以半
徑與日距月最高倍度之正弦為比例其太陽距地
逐度之差又以太陽高卑距地之立方較與本日太
陽距地之立方較為比例名曰二平均蓋太陰本天
心循最高均輪周行日距月最高之倍度日在月天
高卑則兩心差大而撱圓之面積小故平行遲也日
在月天中距則兩心差小而撱圓之面積大故平行
速也日距月天高卑中距四十五度則兩心差與撱
圓之面積皆為適中太隂平行原以適中之數立算
故其平行無遲速也然推盈縮遲疾之法皆以小輪
上下二㸃為起算之端而以九十度處為差數之極
今太隂本天心既循均輪周行日距月最高之倍度
則是日在月天高卑時本天心皆在均輪上㸃也日
在月天中距時本天心皆在均輪下㸃也日距月天
高卑中距四十五度時本天心皆在均輪九十度處
也故二平均以高卑中距分加減之限而以四十五
度為最大差至其大差之數與比例之法固由測量
而得亦可推算而知測算之法並設於左
如甲為地心乙為月本天心丙丁戊己
為月本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日天最高在庚月天最高相距
三百一十五度日在最高庚距月天最
高四十五度月在辛望距本天最高二
百二十五度此時太隂初均應加四度
四十七分四十二秒然測太隂實行僅
比平行多四度四十二分二十五秒比
所推實行少五分一十七秒若日天最
高在辛月天最高相距一百三十五度
日在最高辛距月天最卑四十五度月
在庚望距本天最高四十五度此時太
隂初均應減四度二十分二十四秒然
測太隂實行却比平行少四度二十二
分一十五秒比所推實行少一分五十
一秒又設日天最高在壬月天最高相
距二百二十五度日在最高壬距月天
最高一百三十五度而在中距後四十
五度月在癸望距本天最高三百一十
五度此時太隂初均應加四度二十分
二十四秒然測太隂實行却比平行多
四度二十二分一十五秒比所推實行
多一分五十一秒若日天最高在癸月
天最高相距四十五度日在最高癸距
月天最高三百一十五度而在中距後
四十五度月在壬望距本天最高一百
三十五度此時太隂初均應減四度四
十七分四十二秒然測太隂實行僅比
平行少四度四十二分二十五秒比所
推實行多五分一十七秒兩測太陽同
在最高前測太陽一在月天最高後四
十五度一在月天最卑後四十五度實
行皆比所推為少後測太陽在月天中
距後四十五度實行皆比所推為多是
知日在月天高卑後則減中距後則加
為二平均之故矣然前測日天最高在
庚月天最高相距三百一十五度則少
數大日天最高在辛月天最高相距一
百三十五度則少數小後測日天最高
在壬月天最高相距二百二十五度則
多數小日天最高在癸月天最高相距
四十五度則多數大是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得三分三十四秒為太陽在
最高時距月天高卑中距後四十五度
之最大二平均高卑後為減中距後為
加也
設日天最高在庚月天最高相距三百
一十五度日在最卑辛距月天最卑四
十五度月在庚望距本天最高四十五
度此時太陰初均應減四度二十分二
十四秒然測太陰實行却比平行少四
度二十六分三秒比所推實行少五分
三十九秒若日天最高在辛月天最高
相距一百三十五度日在最卑庚距月
天最高四十五度月在辛望距本天最
高二百二十五度此時太陰初均應加
四度四十七分四十二秒然測太隂實
行僅比平行多四度四十五分二十九
秒比所推實行少二分一十三秒又設
日天最高在壬月天最高相距二百二
十五度日在最卑癸距月天最高三百
一十五度而在中距後四十五度月在
壬望距本天最高一百三十五度此時
太陰初均應減四度四十七分四十二
秒然測太陰實行僅比平行少四度四
十五分二十九秒比所推實行多二分
一十三秒若日天最高在癸月天最高
相距四十五度日在最卑壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度月在癸望距本天最高三百一十五
度此時太陰初均應加四度二十分二
十四秒然測太隂實行却比平行多四
度二十六分三秒比所推實行多五分
三十九秒兩測太陽同在最卑前測太
陽一在月天最卑後四十五度一在月
天最高後四十五度實行皆比平行為
少後測太陽在月天中距後四十五度
實行皆比平行為多是知日在月天高
卑後則減中距後則加為二平均之故
矣然前測日天最高在庚月天最高相
距三百一十五度則少數大日天最高
在辛月天最高相距一百三十五度則
少數小後測日天最高在壬月天最高
相距二百二十五度則多數小日天最
高在癸月天最高相距四十五度則多
數大是必另有一均因月天最高距日
天最高半周内而加半周外而減者於
是以大小兩數相減折半得一分四十
三秒别為三均以減大數加小數得三
分五十六秒為太陽在最卑時距月天
高卑中距後四十五度之最大二平均
高卑後為減中距後為加也
設日天最高在丙與月天最高同度日
在庚距月天最高四十五度距日天最
高亦四十五度此時一平均應加八分
一十五秒月在辛望距本天最高二百
二十五度初均應加四度四十七分四
十二秒實行應比平行多四度五十五
分五十七秒然測太陰實行僅比平行
多四度五十二分二十秒比所推實行
少三分三十七秒是為日在最高後四
十五度時距月天最高後四十五度應
減之二平均也又設日在壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度距日天最高亦一百三十五度此時
一平均應加八分三十秒月在癸望距
本天最高三百一十五度初均應加四
度二十分二十四秒實行應比平行多
四度二十八分五十四秒然測太陰實
行却比平行多四度三十二分四十七
秒比所推實行多三分五十三秒是為
日在最高後一百三十五度時距月天
中距後四十五度應加之二平均也又
設日在子距月天最高二十度距日天
最高亦二十度此時一平均應加三分
五十八秒月在丑望距本天最高二百
度初均應加二度四十四分二秒實行
比平行應多二度四十八分然測太隂
實行僅比平行多二度四十五分四十
二秒比所推實行少二分一十八秒是
為日在最高後二十度時距月天最高
二十度應減之二平均也又設日在寅
距月天最高一百一十度而在中距後
二十度距日天最高亦一百一十度此
時一平均應加一十一分一十二秒月
在卯望距本天最高後二百九十度初
均應加四度五十五分一十六秒實行
比平行應多五度六分二十八秒然測
太陰實行却比平行多五度八分五十
六秒比所推實行多二分二十八秒是
為日在最高後一百一十度時距月天
最高一百一十度應加之二平均也
以上測得諸數與本天面積比例相似
如甲乙丙丁為最大兩心差之撱圓其
面積小甲戊丙己為最小兩心差之撱
圓其面積大甲庚丙辛為相加折半之
撱圓其面積適中今以適中之面積均
分之為平行在小面積必比中積為少
故平行遲在大面積必比中積為多故
平行速然其遲速之限止在日距月最
高倍度九十度之間故其遲速之差亦
至九十度而止試以最大兩心差之甲
乙壬撱圓九十度積七八三六四四八
三二一一一四二與最小兩心差之甲
戊壬撱圓九十度積七八四六六○九
○二五九四六七相減餘一○一六○
七○四八三二五為甲乙戊積折半得
五○八○三五二四一六二為甲乙庚
積與甲庚戊積等以適中一秒積二四
二○二二四九○除之得二百一十秒
収為三分三十秒比日在最高之最大
二平均僅少四秒今仍用舊數
又日在最高距地逺而差數小日在最
卑距地近而差數大與轉比例相似試
以日在最卑距地九八三一之平方九
六六四為一率日在最高距地一○一
六九之平方一○三四○為二率(面積/從末)
(截去十位/以便入算)日在最高距地數乗最高二
平均三分三十四秒之長方為三率求
得四率為日在最卑距地數乗最卑二
平均之長方以最卑距地數除之得三
分五十六秒强為日在最卑之二平均
又法先以四率最卑距地數與一率最
卑平方相乗得最卑距地之立方九五
○一五二為一率以三率最高距地數
與二率最高平方相乗得最高距地之
立方一○五一五六二為二率(立方積/從末截)
(去十五位/以便入算)即以日在最高二平均三分
三十四秒為三率則得四率即為日在
最卑二平均三分五十六秒與表合
日距月最高逐度之二平均以半徑與
日距月最高倍度之正弦為比例如甲
為地心甲乙為中數兩心差甲丙為最
大兩心差甲丁為最小兩心差日在月
天最高月本天心在丙面積最小平行
最遲自丙向戊所遲漸少迨日距月天
最高四十五度則月本天心自丙行九
十度至戊面積適中即無所遲而復於
平行然積遲之多正在戊故為最大之
減差由戊向丁面積漸大平行漸速然
因有積遲之度方以次相補迨日距月
天最高九十度則月本天心自丙行一
百八十度至丁平行最速而積遲之度
方補足無缺故自丙至丁半周皆為減
差也日在月天中距月本天心在丁面
積最大平行最速自丁向己所速漸少
迨日距月天最高一百三十五度則月
本天心自丙行二百七十度至己面積
適中即無所速而復於平行然積速之
多正在己故為最大之加差由己向丙
面積漸小平行漸遲然因有積速之度
方以次相消迨日距月天最高後半周
與月天最卑同度則月本天心自丙行
一周復至丙平行最遲而積速之度始
消盡無餘故自丁至丙半周皆為加差
也日距月天最卑後皆倣此今以日距
月最高倍度之正弦為比例自丙向戊
自丁向己正弦漸大而其較漸小自戊
向丁自己向丙正弦漸小而其較漸大
故自戊㸃而後所減漸少而所少之較
又漸大實即加也加至丁㸃而極自丁
㸃而後為加雖所加漸多而所加之較
實漸小至己則逐日所加相等是即無
所加矣自己㸃而後所加漸少而所少
之較又漸大實即減也減至丙㸃而極
自丙㸃而後為減雖所減漸多而所減
之較實漸小至戊則逐日所減相等是
即無所減矣故太陰平行以丙㸃前後
為遲丁㸃前後為速而遲速之差至戊
己二㸃而止其間逐度之二平均皆以
日距月最高倍度之正弦為比例也
太陽距地逐度二平均較以太陽高卑
距地之立方較與本日太陽距地之立
方較為比例蓋以本日太陽距地之立
方與最高距地之立方為比同於最高
之二平均與本日太陽距地之二平均
為比此正理也(法見/前)然以此立表則不
勝其繁而逐度太陽距地之立方推算
亦不易且其至大之差不過二十二秒
用立方較為比例其數巳自相合故先
以日在最高之最大二平均三分三十
四秒比例得日在最高時本日之二平
均又以日在最卑之最大二平均三分
五十六秒比例得日在最卑時本日之
二平均兩二平均相減為高卑二平均
之較乃以日在最高距地一○一六九
之立方一○五一五六二與日在最卑
距地九八三一之立方九五○一五二
相減餘一○一四一○為高卑立方大
較為一率高卑二平均之較為二率本
日太陽距地之立方與最高距地之立
方相減為本日之立方較為三率求得
四率為本日二平均較與日在最高之
二平均相加即得本日之二平均也
求三平均
前篇言日天最高與月天最高同度或相距一百八
十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線
無諸均數然惟太陽在兩交與大距為然若太陽在
兩交後則平行又稍遲在大距後則平行又稍速其
最大差為四十七秒名曰三平均蓋白極在正交均
輪周新法算書謂行月距日之倍度奈端以来謂行
日距正交之倍度(詳見後/交均篇)故惟太陽在兩交與大距
則白極與均輪心參直其平行無加減太陽在兩交
後則白極在均輪心之東而白道經圏之過黄道者
亦差而東其黄道舊㸃所當白道度即差而西故平
行應減而遲也太陽在大距後則白極在均輪心之
西而白道經圏之過黄道者亦差而西其黄道舊㸃
所當白道度即差而東故平行應加而速也此其所
差止在數十秒之間雖不易得之仰觀而實可稽諸
儀象其法以半徑一千萬與均輪半徑切線為比同
於本輪半徑與最大三平均切線為比而逐度之三
平均皆以半徑與日距正交倍度之正即為比例焉
如圖甲為黄極乙丙丁戊
為黄道以最大黄白大距
五度一十七分二十秒與
最小黄白大距四度五十
九分三十五秒相加折半
得五度八分二十七秒半
為黄白大距之中數以中
數為半徑作己庚辛壬圏
為白極繞黄極本輪又以
兩大距相減折半得八分
五十二秒半為半徑作癸
子丑寅圏為負白極均輪
均輪心循本輪周左旋自
己向庚每日三分有餘為
正交行度白極循均輪周
右旋自癸向子每日二度
四分有餘為日距正交之
倍度日在兩交白極在癸
日在大距白極在丑與均
輪心參直成一直線故無
三平均如日距兩交後四
十五度則白道之北極自
癸行九十度至子在均輪
心之東而白道之南極即
轉在均輪心之西白道經
圏交白道於卯當黄道之
辰在乙㸃黄道度之東而
白道經圏之過乙㸃者即
當白道之己是白道度退
矣白道度退則太隂亦隨
之而退故白極在癸子丑
半周三平均皆為減差也
如日在大距後四十五度
則白道之北極自丑行九
十度至寅在均輪心之西
而白道之南極即轉在均
輪心之東白道經圏交白
道於卯當黄道之午在乙
㸃黄道度之西而白道經
圏之過乙㸃者即當白道
之未是白道度進矣白道
度進則太陰亦隨之而進
故白極在丑寅癸半周三
平均皆為加差也巳卯子
卯寅卯皆九十度巳角子
角寅角皆直角巳子巳寅
皆均輪半徑八分五十二
秒半即卯角度乙卯五度
八分二十七秒半與甲己
本輪半徑等故以半徑一
千萬與卯角正切線二五
八一六為比同於乙卯弧
之正弦八九六○六六與
乙午或乙辰之正切線二
三一三為比而得乙午乙
辰弧各四十七秒為最大
三平均若日距正交之倍
度不及九十度或過九十
度則巳角或鋭或鈍不得
成直角而卯角與乙辰乙
午三平均皆以漸而小當
用弧線三角形法推算然
均輪半徑不過八分餘其
逐度之正弦即與卯角等
故逐度之三平均即以半
徑與日距正交倍度之正
弦為比例也今按三平均
係白道度當用卯巳與卯
未弧又按推交均法将均
輪半徑減五十秒餘巳申
八分二秒半為小輪半徑
則三平均又當用卯酉弧
然以數推之卯巳弧為四
十八秒卯酉弧為四十三
秒其差不逺故即以均輪
半徑比例為省算云
求二均數
新法算書惟太陰兩弦行度止有初均二均兩弦前
後始有三均初均之最大者四度五十八分餘二均
之最大者二度二十七分餘三均之最大者四十二
分餘計兩弦前後最大差共八度弱噶西尼以来屢
加測驗謂兩弦太陰行度止有初均三均而三均又
不盡關乎兩弦之故二均之最大者不在兩弦而在
朔弦弦望之間其初均之最大者七度三十九分三
十四秒二均之最大者三十七分一十一秒計兩弦
前後最大差共八度强則是今之二均固兼新法算
書二均三均之義而其數則又不同蓋太陰去地甚
近其行最著又二十七日有竒而一周天一月之中
備日行四時之軌至為參錯不齊古人惟重交食故
朔望而外置之弗論西人第谷始創二三均之法其
門人精測不已又數十年然後改定則其數必實有
所據而非為臆説也其法定日在最高朔望前後四
十五度最大差為三十三分一十四秒日在最卑朔
望前後四十五度最大差為三十七分一十一秒朔
望後為加兩弦後為減其間月距日逐度之二均則
以半徑與月距日倍度之正弦為比例其太陽距最
高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方較與
本日太陽距地之立方較為比例與二平均同測算
之法並設於後
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高在日天最高丙太陽
在最高丙太陰在庚距最高四十五度
距日亦四十五度為朔與上弦之間此
時太陰初均應減五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行少四度三
十一分一十四秒比所推實行多三十
四分五十七秒若太隂在辛距最高二
百二十五度距日亦二百二十五度而
在望後四十五度為望與下弦之間此
時太隂初均應加五度四十四分二十
九秒然測太隂實行却比平行多六度
一十六分比所推實行多三十一分三
十一秒又設太隂在壬距最高三百一
十五度距日亦三百一十五度而在朔
前四十五度為下弦與朔之間此時太
隂初均應加五度六分一十一秒然測
太陰實行則僅比平行多四度三十一
分一十四秒比所推實行少三十四分
五十七秒若太陰在癸距最高一百三
十五度距日亦一百三十五度而在望
前四十五度為上弦與望之間此時太
隂初均應減五度四十四分二十九秒
然測太隂實行却比平行少六度一十
六分比所推實行少三十一分三十一
秒兩測太陽同在最高前測太隂在朔
望後四十五度實行皆比所推為多後
測太陰在朔望前四十五度實行皆比
所推為少是知太陰在朔望後則加在
朔望前則減為二均之故矣然朔後則
多數大望後則多數小朔前則少數大
望前則少數小是必另有一均因朔後
而加望後而減者於是以大小兩數相
減折半得一分四十三秒别為三均以
減大數加小數得三十三分一十四秒
為太陽在最高時月在朔望前後四十
五度之最大二均數朔望後為加兩弦
後為減也
設月天最高在日天最卑戊太陽在最
卑戊太陰在辛距最高四十五度距日
亦四十五度為朔與上弦之間此時太
隂初均應減五度六分一十一秒然測
太隂實行則僅比平行少四度二十七
分一十七秒比所推實行多三十八分
五十四秒若太隂在庚距最高二百二
十五度距日亦二百二十五度而在望
後四十五度為望與下弦之間此時太
隂初均應加五度四十四分二十九秒
然測太陰實行却比平行多六度一十
九分五十七秒比所推實行多三十五
分二十八秒又設太陰在癸距最高三
百一十五度距日亦三百一十五度而
在朔前四十五度為下弦與朔之間此
時太陰初均應加五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行多四度二
十七分一十七秒比所推實行少三十
八分五十四秒若太陽在壬距最高一
百三十五度距日亦一百三十五度而
在望前四十五度為上弦與望之間此
時太陰初均應減五度四十四分二十
九秒然測太陰實行却比平行少六度
一十九分五十七秒比所推實行少三
十五分二十八秒兩測太陽同在最卑
前測太陰在朔望後四十五度實行皆
比所推為多後測太陰在朔望前四十
五度實行皆比所推為少是知太陰在
朔望後則加在朔望前則減為二均之
故矣然朔後則多數大望後則多數小
朔前則少數大望前則少數小是必另
有一均因朔後而加望後而減者於是
以大小兩數相減折半得一分四十三
秒别為三均以減大數加小數得三十
七分一十一秒為太陽在最卑時月在
朔望前後四十五度之最大二均數朔
望後為加兩弦後為減也
設月天最高當日天最高丙太陽在最
高丙太陰在子距最高三十度距日亦
三十度此時太陰初均應減三度三十
三分五十七秒然測太陰實行僅比平
行少三度三分五十七秒比所推實行
多三十分若太陰在丑距最高二百一
十度距日亦二百一十度而在望後三
十度此時太陰初均應加四度七分一
十三秒然測太陰實行却比平行多四
度三十四分四十七秒比所推實行多
二十七分三十四秒又設太隂在寅距
最高三百三十度距日亦三百三十度
而在朔前三十度此時太陰初均應加
三度三十三分五十七秒然測太隂實
行僅比平行多三度三分五十七秒比
所推實行少三十分若太陰在卯距最
高一百五十度距日亦一百五十度而
在望前三十度此時太陰初均應減四
度七分一十三秒然測太隂實行却比
平行少四度三十四分四十七秒比所
推實行少二十七分三十四秒兩測太
陽同在最高前測太陰在朔望後三十
度實行皆比所推為多後測太陰在朔
望前三十度實行皆比所推為少是知
太陰在朔望後則加在朔望前則減為
二均之故矣然朔後則多數大望後則
多數小朔前則少數大望前則少數小
是必另有一均因朔後而加望後而減
者於是以大小兩數相減折半得一分
一十三秒别為三均以減大數加小數
得二十八分四十七秒為日在最高時
月距日三十度之二均數朔望後為加
兩弦後為減也乃以前第一測月距日
四十五度倍之得九十度其正弦即半
徑一千萬為一率前第一測月距日四
十五度之二均三十三分一十四秒為
二率第三測月距日三十度倍之得六
十度其正弦八六六○二五四為三率
求得四率二十八分四十七秒與所測
合故知月距日逐度之差以半徑與月
距日倍度之正弦為比例也
又設月天最高在日天最高丙太陽在
辰距本天最高三十度距月天最高亦
三十度太陰在己距本天最高六十度
距日三十度此時一平均應加五分四
十九秒二平均應減三分六秒初均應
減五度五十三分二十二秒三均應加
一分一十三秒實行應比平行少五度
四十九分二十六秒然測太陰實行則
僅比平行少五度二十分二十六秒比
所推實行多二十九分是為日在日天
最高後三十度時月距日三十度應加
之二均數與本天高卑比例相合蓋以
日在最卑距地之立方九五○一五二
為一率日在最高距地之立方一○五
一五六二為二率以日在最高之最大
二均數三十三分一十四秒加高卑二
平均較二十二秒得三十三分三十六
秒為三率則得四率三十七分一十一
秒為日在最卑之最大二均數以今設
日距最高三十度距地一○一四五六
之立方一○四四三一九為一率日在
最高距地之立方一○五一五六二為
二率以日在最高月距日三十度之二
均數二十八分四十七秒加本日二平
均較一秒(法見前求/二平均篇)得二十八分四十
八秒為三率則得四率二十九分為本
日之二均數此正理也然列表則甚繁
而入算亦不易故先以半徑為一率日
在最高最大二均數三十三分一十四
秒為二率月距日三十度倍之得六十
度其正弦八六六○二五四為三率得
四率二十八分四十七秒為日在最高
月距日三十度之二均數又以半徑為
一率日在最卑最大二均數三十七分
一十一秒為二率月距日倍度之正弦
為三率得四率三十二分一十二秒為
日在最卑月距日三十度之二均數兩
二均之較為三分二十五秒乃以太陽
高卑立方大較一○一四一○為一率
兩二均之較三分二十五秒為二率日
距最高三十度距地之立方一○四四
三一九與最高距地之立方一○五一
五六二相減餘七二四三為本日立方
較為三率求得四率一十四秒與日在
最高之二均相加得二十九分一秒為
日距最高三十度時月距日三十度之
二均數比前法僅多一秒故太陽距最
高逐度二均之差以日天高卑距地之
立方較與本日太陽距地之立方較為
比例也
求三均末均
新法算書推歩朔望兩弦皆無三均數而三均之最
大者毎在朔弦弦望之間故知三均之差生於月距
日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望間之最大差
屬之二均而月距日九十度與月高距日高九十度
其差正等(見求兩心差第二第三條/求一平均第一第二條)月距日四十五
度與月高距日高四十五度其差又等(見求一平均/第三條求二)
(平均第一條求/二均第一條)則是三均之差不専係乎月距日之
故也於是取月距日與月高距日高之共為九十度
時測之其差與月距日或月高距日高之獨為九十
度者等又取月距日與月高距日高之共為四十五
度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為四
十五度者等乃知三均之差生於月距日與月高距
日高之總度半周内為加半周外為減其九十度與
二百七十度之最大差為二分二十五秒其間逐度
之差以半徑與總度之正弦為比例則三均之法定
矣然必日月最高同度或日月同度兩者止有一相
距之差則止有三均若月天最高與日天最高有距
度日月又有距度則三均之外朔後又差而遲望後
又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十
度時無三均而其差反最大故知三均之外又有末
均乃将月高距日高九十度分為九限各於月距日
九十度時測之兩高相距九十度其差三分漸近則
漸小其間月距日逐度末均之差皆以半徑與月距
日之正弦為比例朔後為減望後為加而後推太隂
經度之法纎悉具備今考其所測其數之小者只在
秒微之間其時又數十年而不一遇然其用意細宻
學者茍通乎此何患推測之無術歟
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日在最高丙月天最高在庚距
日天最高四十五度日距月天最高三
百一十五度月在最高庚距日四十五
度與月高距日高共為九十度此時二
平均應加三分三十四秒二均應加三
十三分一十四秒實行應比平行多三
十六分四十八秒然測太隂實行却比
平行多三十八分五秒半比所推實行
多一分一十七秒半若月天最高在辛
距日天最高二百二十五度日距月天
最高一百三十五度月在最高辛距日
二百二十五度與月高距日高共為四
百五十度減全周餘亦九十度此時二
平均亦應加三分三十四秒二均亦應
加三十三分一十四秒實行應比平行
多三十六分四十八秒然測太陰實行
却比平行多四十分二十秒半比所推
實行多三分三十二秒半又設月天最
高在壬距日天最高三百一十五度日
距月天最高四十五度月在最高壬距
日三百一十五度與月高距日高共六
百三十度減全周餘二百七十度此時
二平均應減三分三十四秒二均應減
三十三分一十四秒實行應比平行少
三十六分四十八秒然測太陰實行却
比平行少三十八分五秒半比所推實
行少一分一十七秒半若月天最高在
癸距日天最高一百三十五度日距月
天最高二百二十五度月在最高癸距
日一百三十五度與月高距日高亦共
為二百七十度此時二平均亦應減三
分三十四秒二均亦應減三十三分一
十四秒實行應比平行少三十六分四
十八秒然測太陰實行却比平行少四
十分二十秒半比所推實行少三分三
十二秒半前測兩距總數共九十度實
行皆比所推為多後測兩距總數共二
百七十度實行皆比所推為少是知兩
距之總度半周内為加半周外為減兩
三均之故矣然距日半周内則多數小
少數大距日半周外則多數大少數小
是必另有一均因朔後而減望後而加
者於是以大小兩數相減折半得一分
七秒半别為末均以加小數減大數得
二分二十五秒為兩距共九十度與二
百七十度之三均九十度為加二百七
十度為減也
設日在最高丙月天最高在子距日天
最高二十二度半日距月天最高三百
三十七度半月在最高子距日二十二
度半與月高距日高共為四十五度此
時二平均應加二分三十一秒二均應
加二十三分三十秒實行應比平行多
二十六分一秒然測太陰實行却比平
行多二十七分一十八秒七微半比所
推實行多一分一十七秒七微半若月
天最高在丑距日天最高二百零二度
半日距月天最高一百五十七度半月
在最高丑距日二百零二度半與月高
距日高共四百零五度減全周餘亦四
十五度此時二平均亦應加二分三十
一秒二均亦應加二十三分三十秒實
行應比平行多二十六分一秒然測太
陰實行却比平行多二十八分九秒五
十二微半比所推實行多二分八秒五
十二微半又設月天最高在寅距日天
最高三百三十七度半日距月天最高
二十二度半月在最高寅距日三百三
十七度半與月高距日高共六百七十
五度減全周餘三百一十五度此時二
平均應減二分三十一秒二均應減二
十三分三十秒實行應比平行少二十
六分一秒然測太陰實行却比平行少
二十七分一十八秒七微半比所推實
行少一分一十七秒七微半若月天最
高在卯距日天最高一百五十七度半
日距月天最高二百零二度半月在最
高卯距日一百五十七度半與月高距
日高亦共為三百一十五度此時二平
均亦應減二分三十一秒二均亦應減
二十三分三十秒實行應比平行少一
十六分一秒然測太陰實行却比平行
少二十八分九秒五十二微半比所推
實行少二分八秒五十二微半前測兩
距總數共四十五度實行皆比所推為
多後測兩距總數共三百一十五度實
行皆比所推為少是知兩距總度半周
内為加半周外為減為三均之故矣然
距日半周内則多數小少數大距日半
周外則多數大少數小是必另有一均
因朔後而減望後而加者於是以大小
兩數相減折半得二十五秒五十二微
半别為末均以加小數減大數得一分
四十三秒為兩距共四十五度與三百
一十五度之三均四十五度為加三百
一十五度為減也
前測日月同度兩高相距九十度三均
差二分二十五秒(見求兩心差第二/條一平均第二條)兩
高同度日月相距九十度三均亦差二
分二十五秒(見求兩心差第三/條一平均第一條)日月同
度兩高相距四十五度三均差一分四
十三秒(見求二平/均第二條)兩高同度日月相距
四十五度三均亦差一分四十三秒(見/求)
(二均第/一條)今測兩距共九十度三均亦差
二分二十五秒兩距共四十五度三均
亦差一分四十三秒故知三均生於兩
距之總度而九十度之正弦與二分二
十五秒之比同於四十五度之正弦與
一分四十三秒之比故知逐度之三均
以半徑與總度之正弦為比例也
前測月天最高在日天高卑前後四十
五度月在朔望前後四十五度末均皆
為一分七秒半月天最高在日天高卑
前後二十二度半月在朔望前後二十
二度半末均皆為二十五秒五十二微
半可見月天最高距日天高卑前後之
度等則其差亦等月距朔望前後之度
等則其差亦等而獨四十五度與二十
二度半一分七秒半與二十五秒五十
二微半無以為比例於是取月天最高
距日天高卑前後九十度時按月距日
逐度測之設日在最高丙正當交點月
天最高在丁距日天最高後九十度月
在最高丁距朔後九十度此時無一二
三平均亦無初二三均然測太陰實行
比平行少三分若月天最高在己距日
天最高前九十度月在己距日二百七
十度而距朔前九十度以測太陰實行
則比平行多三分是知月天最高距日
天最高前後九十度而月距日朔望前
後九十度時末均為三分朔後為減望
後為加又設日在最高丙月天最高在
丁距日天最高後九十度月在庚距最
高前六十度而在朔後三十度此時太
陰初均應加四度一十分五十六秒二
均應加二十八分四十七秒三均應加
二分六秒實行應比平行多四度四十
一分四十九秒然測太陰實行僅比平
行多四度四十分一十九秒比所推實
行少一分三十秒若月天最高在己距
日天最高後二百七十度而距日天最
高前九十度月在辛距最高前六十度
距日二百一十度而距望後三十度此
時太陰諸均俱與前同然以測太陰實
行則比平行多四度四十三分一十九
秒比所推實行多一分三十秒又設日
在最高丙月天最高在丁月在壬距最
高後六十度距日一百五十度而距望
前三十度此時初均應減四度一十分
五十六秒二均應減二十八分四十七
秒三均應減二分六秒實行應比平行
少四度四十一分四十九秒然測太陰
實行却比平行少四度四十三分一十
九秒比所推實行少一分三十秒若月
天最高在己月在癸距日三百三十度
而距朔前三十度此時太陰諸均俱與
前同然以測太陰實行僅比平行少四
度四十分一十九秒比所推實行多一
分三十秒是知月天最高距日天最高
前後九十度而月距日朔望前後三十
度時末均為一分三十秒朔後為減望
後為加又九十度之正弦一千萬與三
分之比同於三十度之正弦五百萬與
一分三十秒之比故知月距日逐度之
末均以半徑與月距日之正弦為比例
也乃用此法各於月距日九十度時測
得月天最高距日天高卑前後九十度
最大末均為三分八十度最大末均為
二分三十九秒七十度最大末均為二
分一十九秒六十度最大末均為二分
五十度最大末均為一分四十三秒四
十度最大末均為一分二十八秒三十
度最大末均為一分一十六秒二十度
最大末均為一分七秒一十度最大末
均為一分一秒月天最高與日天高卑
同度無末均其間月高距日高逐度之
差用中比例法求得月天最高距日天
高卑前後四十五度之最大末均為一
分三十五秒半以半徑與月距日四十
五度之正弦為比例得本時末均為一
分七秒半又求得月天最高距日天高
卑前後二十二度半之最大末均為一
分九秒一十五微以半徑與月距日二
十二度半之正弦為比例得本時末均
為二十六秒二十二微半與前測合
求交均及黄白大距
正交之行有遲疾由於黄白大距有大小上編言之
詳矣授時厯用古法黄白大距恒為六度(以周天三/百六十度)
(每度六十分約之得五/度五十四分三十九秒)朔望兩弦無異故無交均新
法算書測定朔望時交角(即大/距度)最小為四度五十八
分三十秒兩弦時交角最大為五度一十七分三十
秒兩距度之較為一十九分交均之最大者為一度
四十六分零八秒自奈端噶西尼以来謂日在兩交
時交角最大為五度一十七分二十秒日距交九十
度時交角最小為四度五十九分三十五秒兩距度
之較為一十七分四十五秒朔望而後交角又有加
分因日距交與月距日之漸逺以漸而大至日距交
九十度月距日亦九十度時加三分四十三秒交均
之最大者為一度二十九分四十二秒皆與新法算
書不同然厯家測黄白大距必於月距交九十度時
夫月距交九十度而值朔望則日距交亦九十度是
今之謂日距交九十度交角小猶與朔望交角小之
義同也月距交九十度而值兩弦則日必在兩交是
今之謂日在兩交交角大猶與兩弦交角大之義同
也惟日在兩交而又值朔望則交角關乎食分之淺
深日距交九十度而又值兩弦則加分關乎距緯之
逺近是必驗諸實測古今確有不同之處㕘稽經緯
以成一家之言而非輕為改定也至其推算之法以
五十九為邊總五十六為邊較求得黄極之角為交
均以日距交月距日之餘弦比例得加分與最小之
交角相加為大距亦與新法算書不同則是作者務
出新竒而又取其易於入算故近日西士皆從之稱
為新學今並悉其根源具詳圖説於左
如圖甲為黄極乙丙丁為
黄道以最大距限(距限即/大距度)
(因大距又有大小/故名距限以别之)五度一
十七分二十秒與最小距
限四度五十九分三十五
秒相加折半得五度八分
二十七秒半為距限中數
以中數為半徑作戊己庚
辛圏為白極繞黄極本輪
又以兩距限相減折半得
八分五十二秒半為半徑
作壬癸子丑圏為負白極
均輪均輪心循本輪周左
旋自戊向己每日三分有
餘為正交行度白極循均
輪周右旋自壬向癸每日
二度四分有餘為日距正
交之倍度如均輪心在戊
日在兩交時白極在壬正
交在乙中交在丁寅丙弧
為最大距限五度一十七
分二十秒與壬甲弧等日
距交九十度時白極在子
正交亦在乙中交亦在丁
卯丙弧為最小距限四度
五十九分三十五秒與子
甲弧等惟此二時白極與
輪心同在一線故無交均
日厯兩交而後白極從壬
向癸距限漸小交行漸遲
交均俱為加差日距交九
十度而後白極從子向丑
距限漸大交行漸疾交均
俱為減差(正交逆行故加/為遲減為疾也)
此即上編求交均大距之
法惟白極行日距正交之
倍度與月距日倍度不同
耳然用是以推交均則與
今表不合設日距交四十
五度白極自壬行九十度
至癸交均戊甲癸角當為
一度三十九分一秒今表
則為一度二十九分四十
秒其法以五十九為一率
五十六為二率日距正交
之正切線為三率求得四
率為正切線檢表與日距
正交相減得交均盖弧線
三角形之小者可作直線
算而甲戊癸三角形知甲
戊戊癸二邊及壬戊癸外
角當用切線分外角法日
距正交之度即半外角也
則五十九必邊總也五十
六必邊較也以數推之戊
辰當為四百八十二秒半
辰癸當為五十秒用約分
比例甲戊一萬八千五百
零七秒半為五十七分半
則戊辰四百八十二秒半
為一分四九九若以甲戊
正弦八九六○六六為五
十七分半則戊辰正弦二
三三九二為一分五○一
折中而取之為一分半故
相加得五十九分為邊總
相減得五十六分為邊較
此其為立法所自来斷如
矣然用是以求大距則又
與今表不合盖均輪之内
仍有一小輪試将壬子均
輪全徑一千零六十五秒
五分之得二百一十三秒
除一百六十三秒為加分
小輪全徑餘五十秒即為
交均小輪全徑與均輪全
徑相減餘一千零一十五
秒為負小輪全徑小輪心
循負小輪周右旋行日距
正交之倍度白極自小輪
最逺㸃左旋行輪心之倍
度如日在兩交無距度則
小輪心在己白極在壬無
交均仍以壬甲弧為距限
也日距交九十度則小輪
心自己行一百八十度至
午白極自最逺子行三百
六十度仍至子無交均仍
以子甲為距限也如日距
交四十五度則小輪心自
己行九十度至未白極自
最逺癸行一百八十度至
辰戊甲辰角一度二十九
分四十秒為交均辰甲五
度八分三十四秒為距限
也如日距交三十度則小
輪心自己行六十度至申
白極自最逺酉行一百二
十度至戌戊甲戌角一度
一十六分三十七秒為交
均(表多/二秒)戌甲五度一十二
分五十八秒為距限也(先/用)
(戊酉斗三角形求得酉斗/邉七分四十一秒一六斗)
(戊邉四分二十六秒二五/則斗甲為五度一十二分)
(五十三秒七五次求得酉/戌通弦四十三秒三○與)
(酉斗相減餘六分五十七/秒八六為斗戌邉然後用)
(斗甲戌直角形求甲/角及甲戌邉餘倣此)如日
距交六十度則小輪心自
巳行一百二十度至亥白
極自最逺亢行二百四十
度至氐戊甲氐角一度一
十八分五十秒為交均(表/少)
(九/秒)氐甲五度四分六秒為
距限也如此則交均距限
理數皆極精宻而推算則
屬繁難且交均用小輪與
去一小輪全徑作小均輪
其角度相去不逺(見/前)距限
用弦與用股其邉度亦相
去不逺(見/後)故將戊癸均輪
半徑五百三十二秒半減
癸辰小輪全徑五十秒餘
戊辰四百八十二秒半作
小均輪半徑則甲戊與戊
辰之比常如五十七分半
與一分半之比用切線分
外角法即得逐度之交均
以半徑一千萬為一率日
距正交倍度之正矢為二
率(過九十度/則用大矢)仍以均輪壬
戊半徑五百三十二秒半
為三率(酉斗癸戊亢牛等/線皆為均輪正弦)
(壬斗壬戊壬牛等線皆為/均輪正矢故仍以均輪半)
(徑為/比例)求得四率為距交減
分(如壬斗壬戊/壬牛之類)與壬甲最
大距限五度一十七分二
十秒相減即得逐度之距
限也(斗甲為五度一十二/分五十四秒比戊甲)
(少四秒戊甲為五度八分/二十八秒比辰甲少六秒)
(牛甲為五度四分一秒比/氐甲少五秒故日相去不)
(逺/)然此又惟朔望為然朔
望而後交角又有加分因
日距交與月距日之漸逺
以漸而大至日距交九十
度月距日亦九十度時交
角比朔望大二分四十三
秒蓋白道之上又有小輪
其周之下點與白道相切
日距交漸逺其徑漸大至
日距交九十度時最大全
徑為二分四十三秒其逐
度之小輪全徑與最大小
輪日距正交倍度之正矢
等是為距交加差朔望而
後白道以漸而張與白道
小輪月距日倍度之正矢
等(凡正矢過九十度/俱用大矢後倣此)是為
距日加分如白極在壬無
日距交度則無白道小輪
即無距交加差如白極在
子日距交倍度為一百八
十度則白道小輪女卯全
徑為二分四十三秒即距
交加差(一百八十度之大/矢即全徑故小輪)
(全徑/最大)設兩弦時月距日倍
度為一百八十度則白道
自卯張至女女卯小輪全
徑即為距日加分(一百八/十度之)
(大矢即全徑故交角加/分即與小輪全徑等)與
卯丙距限相加(卯丙與/子甲等)得
女丙為黄白大距設月距
日倍度為六十度則白道
張至危以半徑一千萬為
一率六十度之正矢五百
萬為二率(半徑與餘弦/相減為正矢)小
輪半徑一分二十一秒半
為三率求得四率危卯四
十一秒為距日加分與卯
丙距限相加得危丙為黄
白大距又如白極在辰日
距交倍度為九十度則白
道小輪乾坎全徑一分二
十一秒半為女卯最大小
輪全徑之一半是為距交
加差(九十度之正矢與半/徑等故白道小輪全)
(徑與最大小/輪半徑等)設月距日倍
度為一百二十度則白道
張至艮以半徑一千萬為
一率一百二十度之大矢
一千五百萬為二率(半徑/與餘)
(弦相加/為大矢)小輪半徑四十秒
七五為三率求得四率坎
艮一分一秒為距日加分
與坎震距限相加(坎震與/辰甲等)
得艮震為黄白大距其數
悉與今表相合而表之立
算則不用距交減分而總
用加分其法以半徑一千
萬為一率日距正交倍度
之餘弦為二率壬戊均輪
半徑八分五十二秒半為
三率求得四率如斗戊與
戊牛之類日距正交倍度
九十度以内者與戊子半
徑相加得數如斗子之類
日距正交倍度九十度以
外者與戊子半徑相減得
數如牛子之類是為距交
加分蓋前以壬斗壬牛等
類之距交減分與壬甲最
大距限相減此以斗子牛
子等類之距交加分與子
甲最小距限相加其得數
同也至求距日加分則又
用兩加差為比例先以半
徑一千萬為一率日距正
交倍度之正矢為二率最
大加分二分四十三秒折
半得一分二十一秒半為
三率求得四率為距交加
差次以半徑一千萬為一
率月距日倍度之正矢為
二率仍以最大加分之半
數一分二十一秒半為三
率求得四率為距日加差
乃以最大加分二分四十
三秒為一率距交加差為
二率距日加差為三率求
得四率為距日加分蓋距
交加差即白道小輪全徑
用其半徑與月距日倍度
之正矢為比例即得距日
加分今距日加差與距交
加差同列一表仍以最大
加分為全徑立算則其所
得距日加差乃差之最大
者故以最大加分(即最大/小輪全)
(徑/也)與距交加差之比(即本/時小)
(輪全/徑也)同於最大距日加差
(最大小輪/全徑所生)與本時距日加
分之比也(本時小輪/全徑所生)以距
日加分與距交加分相加
為交角加分與最小距限
相加即為黄白大距蓋以
距交加分加於最小距限
與以距交減分減於最大
距限其得數旣同而得距
限之後再加距日加分與
先以距日加分與距交加
分相加而後加於最小距
限其得數亦同也論法則
用交角減分為明列表則
用交角加分為便故推月
離之法則兩載之實並行
而不相悖也
地半徑差
太陰地半徑差以太陰距地平及距地心之逺近為大
小上編言之詳矣顧舊法高卑距地心有定數而推距
地平逐度之視差則皆用三角形立表易而推算難故
自五十三倍地半徑至六十二倍地半徑列為十表今
法高卑距地心無定數太陰之自行雖同度而距地心
之逺近常不同至推距地平逐度之視差則即以距天
頂之正弦與地平最大差為比例(見本編日躔/地半徑差篇)立表難
而推算易故以最大兩心差與最小兩心差各求太陰
自高至卑逐度之地平最大差合為一表若兩心差在
大小之間者則用中比例求之(法見/本表)其求太陰自高至
卑逐度地平最大差之法則先求得兩心差最大時最
高距地心一○六六七八二○為六十三倍地半徑又
百分之七十七最卑距地心九三三二一八○為五十
五倍地半徑又百分之七十九兩心差最小時最高
距地心一○四三三一九○為六十二倍地半徑又
百分之三十七最卑距地心九五六六八一○為五十
七倍地半徑又百分之一十九中距距地心一千萬
為五十九倍地半徑又百分之七十八(測算之法/並同上編)依
法求得太陰自高至卑逐度距地心線與地半徑之
比例及地平最大差列為表因其為推交食之用故
表入交食焉
御製厯象考成後編卷二