九章算術

欽定四庫全書

　九章算術卷四　　　　　晉　劉　徽　注

　　　　　　　　　　　　唐　李淳風　注釋

少廣以御積幂方圓

　淳風等按一畝之田廣一步長二百四十歩今欲截

　取其從少以益其廣故曰少廣

術曰置全歩反分母子以最下分母徧乘諸分子及全

歩

　淳風等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者

　齊其子也

各以其母除其子置之子左命通分者又以分母徧乘

諸分子反已通者皆通而同之并之為法

　淳風等按諸子悉通故可并之為法亦宜用合分術

　列數尤多若用乘則算數至繁故别置此術從省約

置所求歩數以全歩積分乘之為實實如法而一得從

歩(案此句實如法之上原水以劉幾總注列入求注又/誤截為三中間法有分者至子如母而一凡三十五)

(字訛作正攵語意遂/横隔不句通今改正)

　此以田廣為法以畝積歩為實(案此十二字原本截/作置所求步數以全)

　(歩積分乘之為實下注又今攷其文意乃劉注總解/田廣求從之術定以田廣為廣以畝積步為實非専)

　(釋二/語也)法有分者當同其母齊其子以同乘法實而使

　齊子法今以分母乘全歩及子子如母而一(案此三/十五字)

　(原本訛作正文今改正攷注有分者言田廣既有分/母子須令母同子齊也以同乘法實言母相乘為同)

　(既以子來法通其子母又必以之乘實則實齊子法/也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云)

　(以孜下分母偏乘諸分子及/全歩也以其母除其子也)竝以并全法則法實俱

　長意亦等也故如法而一得從步數(案此二十三字/原本截作上文)

　(法有分者已下之注今攷竝以并全法即此文所云/并之為法也則法寳俱長意亦等也承土法既以分)

　(母通之而長畝積步為實者亦以通之而長實與法/方相等此二句始専釋置所求步數以余歩積分乘)

　(之為實二語前後文意相貫自中間/訛作正立截首尾而三遂不可通)

今有田廣一歩半求田一畝間從幾何答曰一百六十

步

術曰下有半是二分之一以一為二半為一并之得三

為法置田二百四十歩亦以一為二乘之為實實如法

得從歩

今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何答

曰一百三十歩一十一分歩之一十

術曰下有三分以一為六半為三三分之一為二并之

得一十一為法置田二百四十步亦以一為六乘之為

實實如法得從步

今有田廣一步半三分步之一四分歩之一求田一畝

問從幾何答曰一百一十五步五分步之一

術曰下有四分以為一十二半為六三分之一為四四

分之一為二并之得二十五以為法置田二百四十步

亦以一為一十二乘之為實實如法而一得従步

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一求田一畝問從幾何答曰一百五步一百三十七分

步之一十五

術曰下有五分以一為六十半為三十三分之一為二

十四分之一為一十五五分之一為一十二并之得一

百三十七以為法置田二百四十步亦以一為六十乘

之為實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一求田一畝問從幾何答曰九十七步四

十九分步之四十七

術曰下有六分以一為一百二十半為六十三分之一

為四十四分之一為三十五分之一為二十四六分之

一為二十并之得二百九十四以為法置田二百四十

步亦一為一百二十乘之為實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何答曰

九十二步一百二十一分歩之六十八

術曰下有七分以一為四百二十半為二百一十三分

之一為一百四十四分之一為一百五五分之一為八

十四六分之一為七十七分之一為六十并之得一千

八十九以為法置田二百四十步亦以一為四百二十

乘之為實實如法得從步

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問

從幾何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十

二

術曰下有八分以一為八百四十半為四百二十三分

之一為二百八十四分之一為二百一十五分之一為

一百六十八六分之一為一百四十七分之一為一百

二十八分之一為一百五并之得二千二百八十三以

為法置四二百四十步亦以一為八百四十乘之為實

實如法得從歩

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一

求田一畝問從幾何答曰八十四步七千一百二十九

分步之五千九百六十四

術曰下有九分以一為二千五百二十半為一千二百

六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五

分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為

三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二百

八十并之得七千一百二十九以為法置四二百四十

步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一

十分步之一求田一畞問從幾何答曰八十一步七千

三百八十一分步之六千九百三十九

術曰下有一十分以一為二千五百二十半為一千二

百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十

五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一

為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二

百八十十分之一為二百五十二并之得七千三百八

十一以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二

十乘之為實實如法得從步

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一

十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何答曰

七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六

百三十一

術曰下有一十一分以一為二萬七千七百二十半為

一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分

之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四

六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六

十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八

十一十分之一為二千七百七十二十一分之一為二

千五百二十并之得八萬三千七百一十一以為

法置

田二百四十步亦以一為二萬七千七百二十乘之為

實實如法得從步

今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之

一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一

十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝

問從幾何答曰七十七步八萬六千二十一分步之二

萬九千一百八十三

術曰下有一十二分以一萬八萬三千一百六十半為

四萬一千五百八十三分之一為二萬七千七百二十

四分之一為二萬七百九十五分之一為一萬六千六

百三十二六分之一為一萬三千八百六十七分之一

為一萬一千八百八十八分之一為一萬三百九十五

九分之一為九千二百四十一十分之一為八千三百

一十六十一分之一為七千五百六十十二分之一為

六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以為法

置田二百四十步亦以一為八萬三千一百六十乘之

為實實如法得從步

　淳風等按凡為術之意約省為善宜云下有一十二

　分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百

　六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千

　九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一

　為四千六百二十七分之一為三千九百六十八分

　之一為三千四百六十五九分之一為三千八十十

　分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五

　百二十十二分之一為二千三百一十并之得八萬

　六千二十一以為法置田二百四十步亦以一為二

　萬七千七百二十乘之以為實實如法得從步其術

　亦得如不繁也

今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何答曰二

百三十五步

今有積二萬五千二百八十二步問為方幾何答曰一

百五十九步

今有積七萬一千八百二十四步問為方幾何答曰二

百六十八步

今有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問

為方幾何答曰七百五十一步半

今有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步

問為方幾何答曰六萬三千二十五步

開方

　求方幂之一面也

術曰置積為實借一算步之超一位

　言百之面十也言萬之面百也

議所得以一乘所借一算為法而以除

　先得黄甲之而上下相命是自乘而除也(案注而有/黄甲黄乙)

　(朱青幂之文則知舊有圖/而缺今補鬬方圖附于後)

除已倍法為定法

　倍之者豫張兩面求幂定袤以待復除故曰定法

其復除折法而下

　欲除朱幂者本當副置所得成方倍之為定法以折

　議乘而以除如是當復步之而止乃得相命故使就

　上折下

復置借算步之如初以復議一乘之

　欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也

所得副以加定法以除以所得副從定法

　冄以黄乙之面加定法是則張兩青幂之袤

復除折下如前若開之不盡者為不可開當以面命之

　術或有以借算加定法而命分者雖粗相近不可用

　也凡開積為方方之自乘當還復有積分令不加借

　算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其

　数不可得而定故惟以面命之為不朱耳譬猶以三

　除十以其餘為三分之一而復其數可以舉不以面

　命之加定法如前求其微数微数無名者以為分子

　其一退以十為母其冄退以百為母退之彌下其分

　彌細則朱幂雖有所乘之数不足言之也

若實有分者通分内子為定實乃開之訖開其母報除

　淳風等按分母可開者竝通之積先合二母既開之

　後一母尚存故開分母求一母為法以報除也

若母不可開者又以母冄乘定實乃開之訖令如母而

一

　淳風等按分母不可開者本一母也又以母乘之乃

　合二母既開之後亦一母存焉故令如母而一得全

　面也

　又按此術開方者求方幂之一面也借一算者假借

　一算空有列位之名而無除積之實方隅得面是故

　借算列之于下也步之超一位者方十自乘其積有

　百方百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而

　言百也議所得以一乘所借一算為法而以除者先

　得黄甲之面以方為積者兩相乘故開方除之還令

　呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法為定法

　者實積未盡當復更除故豫張兩面朱幂定袤以待

　復除故曰定法也其復除折法而下者欲除朱幂本

　當副置所得成方倍之為定法以折議乘之而以除

　如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下

　也復置借算步之如初以復議一乘之所得副以加

　定法以除之欲除朱幂之角黄乙之幂以所得副從

　定法者再以黄乙之幂加定法是則張兩青幂之袤

　故如前開之即合所問

今有積一千五百一十八步四分步之二問為圓周幾

何答曰一百三十五步

　于徽術當周一百三十八步一十分步之一

　淳風等按此依宻率為周一百三十八步五十分步

　之九

今有積三百步問為圓周幾何答曰六十步

　于徽術當周六十一步五十分步之十九

　淳風等按依宻率為周六十一步一百分步之四十

　一

術曰置積步数以十二乘之以開方除之即得周

　此術以周三徑一為率與舊圓田術相反覆也于徽

　術以三百一十四乘積如二十五而一所得開方除

　之即周也開方除之即徑是為據見幂以求周猶失

　之于微少其以二百乘積一百五十七而一開方除

　之即徑猶失之于微多

　淳風等按此注于徽術求周之法其中不用開方除

　之即徑六字今木有者衍賸也依宻率八十八乘之

　七而一按周三徑一之率假令周三徑二半周半徑

　相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等数除得幂

　一周之数十二也其積本周自乘合以二乘之十二

　而一得積三也術為一乘不長故以十二而一得此

　積今還原置此積三以方二乘之者復其本周自乘

　之数凡物自乘開方除之復其本数故開方除之耶

　周

今有積一百八十六萬八百六十七尺

　此尺謂立方尺也凡物有高深深而言積者曰立方

問為立方幾何答曰一百二十三尺

今有積一千九百五十三尺八分尺之一問為立方幾

何答曰一十二尺半今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百

四十七問為立方幾何答曰三十九尺八分尺之七

今有積一百九十三萬七千五百四十一尺三十七分

尺之一十七問為立方幾何答曰一百二十四尺太半

尺

開立方

　立方適等求其一面也

術曰置積為實借一算步之超二位

　言千之面十言百萬之面百

議所得以冄乘所借一算為法而以除

　冄乘者亦求為方幂以上議命而除之則立方等也

除已三之為定法

　為當復除故豫張三面已定方幂為定法也

復除折而下

　復除者三面方幂已皆自乘之数湏得折議定其厚

　薄耳開平幂者方百之面十開立幂者方千之面十

　據定法也有成方之幂故復除當以千為百折下一

　等也

以三乘所得数置中行

　設三亷之定長

復借一算置下行

　欲以為隅方立方等未有定数且置一算定其位

步之中超一下超二位

　上方法長自乘而折中亷法但有長故除一等下隅

　法無面長故又降一等也

復置議以一乘中

　為三亷借幂也

冄乘下

　令隅自乘為方幂也

皆副以加定法以定法除

　三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤

　之厚也

除已倍下并中従定法

　凡冄以中三以下加定法者三亷各當以兩面之幂

　連于兩方之面一隅連于三亷之端(案原本脱兩方/之面一隅連于)

　(凡八字今據李淳風/注釋所舉此文補入)以待復除也言不盡意解此要

　當以棊乃得明耳

復除折下如前開之不盡者亦為不可開

　術亦有以定法命分者不如故幂開方以微数為分

　也

若積有分者通分内子為定實定實乃開之託開其母

以報除

　淳風等按分母可開者竝通之積先合三母既開之

　後一母尚存故開分母求一母為法以報除也

若母不可開者又以母冄乘定實乃開之訖令如母而

一

　淳風等按分母不可開者本一母也又以母再乘之

　今合三母既開之後一母猶存故令如母而一得全

　面也

　又按開立方者立方適等求其一面之数也借一算

　步之超二位者立方求積方再自乘就積開之故超

　二位言千之面十言百萬之面百也議所得以再乘

　所借一算為法而以除者求為方幂以議命之而除

　則立方等也除已三之為定法者為積米盡當復更

　除故豫張三面已定方幂為定法也復除折而下者

　三面方幂皆已有自乘之数湏得折議定其厚薄據

　開平方百之面十其開立方則千之面十而定法已

　有成方之幂故復除之當以千為百折下一等也以

　三乘所得数置中行者設三亷之定長也復借一算

　置下行者欲以為隅方立方等未有数且置一算定

　其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一

　折中亷法但有長故降一等下隅法無面長故又降

　一等也復置議以一乘中者為三亷借幂也再乘下

　者當令隅自乘為方幂也皆副以加定法以定法除

　者三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三

　袤之厚也除已倍下并中從定法者三亷各當以兩

　面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端以待復

　除也其開之不盡者折下如前開方即合所問有分

　者通分納子開之訖開其母以報除可開者竝適之

　積先令三母既開之後一母尚存故開分母者求一

　母為法以報除若母不可開者又以母冄乘定實乃

　開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母

　冄乘今合三母既開之後亦一母尚存故令如母而

　一得全面也

今有積四千五百尺

　亦謂立方之尺也

問為立圓徑幾何答曰二十尺

　淳風等按依宻率立圓徑二十八尺計積四千一百

　九十尺二十一分尺之一十

今有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬

七千五百尺問為立圓徑幾何答曰一萬四千三百尺

　淳風等按依宻率為徑一萬四千六百四十三尺四

　分尺之三

術曰置積尺数以十六乘之九而一所得開立方除之

即圓徑

　立圓即丸也為術者葢依周三徑一之率令圓幂居

　方幂四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷

　為方率十二為丸率九凡居圓囷又四分之三也置

　四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六

　分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑

　與立方等故開立方而除得徑也然此意非也何以

　驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之為立方二

　寸規之為圓囷徑二寸高二寸又復横因之(案此句/有舛誤)

　(後李淳風注釋亦以立方棊為喻有/従規横規之語此當云又復横規之)則其形有似牟

　合方葢矣八棊皆然似陽馬圓然也按合葢者方率

　也丸居其中即圓率也推此言之謂夫圓囷為方率

　豈不闕哉以周三徑一為圓率則圓幂傷少令圓囷

　為方率則九積傷多互相通補是以九與十六之率

　偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之内合葢之外

　雖哀殺有漸而多少不揜判合總結方圓相纒濃纎

　詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不闗疑以

　俟能言者

　黄金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生于此未

　曾驗也周官考工記㮚氏為量改煎金錫則不耗不

　耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言鍊金

　使極精而後分之則可以為率也命丸徑自乘三而

　一開方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺

　五尺為句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以為

　股幂謂平面方五尺之弦也以此弦幂為股亦以五

　尺為句并句股幂得七十五尺是為大弦幂開方除

　之則大弦可知也大弦即中立方之長邪邪即丸徑

　故中立方自乘之幂于丸徑自乘之幂三分之一也

　今大弦還乘其幂即丸外立方之積也大弦幂開之

　不盡令囷幂七十五(案七十五即大弦幂是為外立/方一面自乘之幂非囷幂也囷)

　(幂當是具/幂之誤)冄自乘之為面命得外立方積四十二萬

　一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又

　以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘

　為面句得積一萬五千六百二十五尺之面(案句字/誤彼上)

　(云命得外立方積之面此乃命/得中立方積之面也句當作命)皆以六百二十五約

　之外立方積六百七十五尺之面中立方積二十五

　尺之面也

　張衡算又謂立方為質立圓為渾衡言質之與中外

　之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質

　積二十六也内渾二十五之面謂積五尺也今徽令

　質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二渾相

　與之率也衡葢亦先二質之率推以言渾之率也衡

　又言質六十四之面渾二十五之面質復言渾謂居

　質八分之五也又云方八之面圓(案此下有脱文據/前言丸居圓圖四)

　(分之三此當作方八之面圓六之面故斷之云圖渾/相推知其復以圓圖為方率渾為圓率脱六之而三)

　(字/)圓渾相推知其復以圓囷為方率渾為圓率也失

　之逺矣衡説之自然欲協其陰陽竒偶之説而不顧

　疎宻矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十

　六以九乘之十六而一得積十四尺八分之五即質

　中之渾也以分母乘全内子得一百一十七又置内

　質積五以分母乘之得四十是謂質居渾一百一十

　七分之四十(案此言渾圓内所客之立/方是謂質當作是内質)而渾率猶為

　傷多也假令方二尺方四面并得八尺也謂之方周

　其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以乘圓周之

　半即圓幂也半方以乘方周之半即方幂也然則方

　周知方幂之率也圓周知圓幂之率也按如衡術方

　周率八之面圓周率五之面也令方周六十四又之

　面則圓周四十尺之面也又令徑二尺自乘得徑四

　尺之面(案上言張衡術立方内容五圓者止圓積居/立方積八分之五以此通之立間外非周之)

　(幂亦居立方外六面之幂八分之五故設立方幂六/七四尺則立圓幂四十尺也此言又令徑二尺白乘)

　(得徑四尺之而二語無從得其解據下云是為圓周/率十二之面而徑率一之面也謂周自乘得十二耆)

　(徑自乘得一置十二開方除之得圓周三四六四三/五弱由此言之衡所定平方與平圓周徑之率古周)

　(四其靣一内容圓之周三四六四三五弱其徑亦一/劉徽所定方圓周徑之率則方周四圓周三一四一)

　(六其徑一故下言衡增周人多過其實然則當云又/令徑一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言徑)

　(二尺自乘得徑四尺之而或傳冩舛/誤校是書者又有竄改遂致不可通)是為圓周率十

　二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率為

　非是故更著此法然僧周太多過其實矣

　淳風等按祖一之謂劉徽張衡二人皆以圓囷為方

　率丸為圓率乃設新法祖暅之開立圓術曰以二乘

　積(案此句有脱誤據淳風中明祖暅之所定立圓術/以徑冄司乘十一乘之二十一而一得圓積反是)

　(以求徑當云以二十一乘積十一而一葢立圓積約/居同徑之立方積二十一分之十一也君以二乘積)

　(則立圓居立方之半疏謬甚矣復云今欲求其本/清故二十一乘之十一而一正承此申明其説)開

　立方除之即立□徑其意何也取立方棊一枚令立

　樞子左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規

　之去其前上之亷(案此下有脱文據上去立相于左/後之下隅則其隅正與右前之上)

　(隅相對成内外而外之亷皆連于右前之上隔一為/右上之亷一為前上之亷一為右前之亷三亷皆當)

　(規去方是外棊三内慕一不得僅言/規去二亷也疑脱及右前之亷五字)于是立方之慕

　分而為四規内棊一謂之内棊規外棊三謂之外棊

　規(案上言規内棊一規外棊三以内棊列/棊稱之此規字不得連上句當是衍文)更合四棊

　復横斷之以句股言之令餘高為句内棊斷上方為

　股本方之数其弦句股之法以句幂減弦幂則餘為

　股幂若令餘高自乘減本方之幂餘即内減其斷上

　方之幂也本方之幂即外四棊之斷上幂然則餘高

　自乘即外三棊之㫁上幂矣不問卑勢加然也(案此/句舛)

　(誤不可通反上文借立方棊以論立圓而所言/一及句脱竝與乎幂不足見圓術當行脱誤)然固

　有所歸同而途殊者耳而乃控逺以演類借況以析

　微按陽馬方高数参等者列而立之横截去上則高

　自乘與㫁上幂数亦等馬夫疊棊成立積緣幂勢既

　同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙為一即

　一陽馬也三分立方則陽馬居一内棊居二可知矣

　合八小方成一大方合八内棊成一合葢内棊居小

　方三分之二則合葢居立方亦三分之二較然驗矣

　置三分之二以圓幂率三率之如方幂率四而一約

　而定之以為九率故曰九居立方三分之一也(案此/句舛)

　(誤據上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居/立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圓術其)

　(率乃丸居立方二十一分之十一下云圓徑冄自乘/十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏)

　(術不隅矣又祖氏方幂率下四圓幂率十一亦不得/用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏説自祖暅之開)

　(立方圓術曰至此似因傳冩既訛後又妄亦一改遂/不可通今攷立方與圓圈猶之平方與平圓也其率)

　(亦立方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二/與十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子)

　(乘分子得二十一是為丸居立方四十二分之二十/二即二十二分之十一也祖氏求圓囷立圓平圖三)

　(法本係/貫為一)等数既宻心亦昭晰張衡倣舊貽哂于後劉

　徽循故未暇校新夫豈難哉栁未之思也依率立此

　圓積本以圓徑冄自乘十一乘之二十一而一約此

　積今欲求其本積故二十一乘之十一而一凡物冄

　自乘開立方除之復其本数故立方除之即丸徑也

　九章算術卷四