緝古算經
緝古算經
欽定四庫全書
緝古筭經
唐 王孝通 撰
假令天正十一月朔夜半日在斗十度七百分度之四
百八十一章嵗為母朔月行定分九千朔日定小餘一
萬日法二萬章嵗七百亦名行分也今不取加時度問
天正朔夜半之時月在何處(推朔夜半月度舊術要須/加時日度自古先儒雖復)
(修撰改制意見甚衆竝未得筭妙有理不盡考校尤難/臣毎日夜思量常以此理屈滯恐後代無人知者今奉)
(勅造厯因即改制為此新術舊推日度之術已得朔夜/半日度仍須更求加時日度然知月䖏臣今作新術但)
(得朔夜半日度不須加時日度即知月處此新術/比於舊術一年之中十二倍省功使學者易知)
荅曰在斗四度七百分度之五百三十
術曰(推朔夜半月度新術不復/加時日度月蝕乃可用之)以章嵗减朔月行
定分餘以乘朔日定小餘滿日法而一為先行分
不盡者半法已上收成一已下者棄之若先行分
滿日行分而一為度分以减朔日夜半日所在度
分若度分不足减加往宿度其分不足减者退一
度為行分而减之餘即朔日夜半月行所在度及
分也(凡入厯當月行定分即是月一日之行分但/此定分滿章嵗而一為度凡日一日行一度)
(然則章嵗者即是日之一日行分也今按九章均/輸篇有犬追兔術與此術相似彼問犬走一百步)
(兔走七十步令兔先走七十五步犬始追之問幾/何步追及荅曰二百五十步追及彼術曰以兔走)
(减犬走餘者為法又以犬走乘兔先走為實實如/法而一即得追及步數此術亦然何者假令月行)
(定分九千章嵗七百即是日行七百分月行九千/分令日月行數相减餘八千三百分者是日先行)
(之數然月始追之必用一日而相及也令定小餘/者亦是日月相及之日分假令定小餘一萬即相)
(及定分此乃無對為數其日法者亦是相及之分/此又同數為有八千三百是先行分也斯則異矣)
(但用日法除之即四千一百五十即先行分故以/夜半之時日在月前月在日後以日月相去之數)
(四千一百五十减日行所在/度分即月夜半所在度分也)
假令太史造仰觀臺上廣袤少下廣袤多上下廣差二
丈上下袤差四丈上廣袤差三丈髙多上廣一十一丈
甲縣差一千四百一十八人乙縣差三千二百二十二
人夏程人功常積七十五尺限五日役臺畢羡道從臺
南面起上廣多下廣一丈二尺少袤一百四尺髙多袤
四丈甲縣一十三鄉乙縣四十三鄉毎鄉别均賦常積
六千三百尺限一日役羡道畢二縣差到人共造仰觀
臺二縣鄉人共造羡道皆從先給甲縣以次與乙縣臺
自下基給髙道自初登給袤問臺道廣髙袤及縣别給
髙廣袤各幾何
荅曰
臺髙一十八丈
上廣七丈
下廣九丈
上袤一十丈
下袤一十四丈
甲縣給髙四丈五尺
上廣八丈五尺
下廣九丈
上袤一十三丈
下袤一十四丈
乙縣給髙一十三丈五尺
上廣七丈
下廣八丈五尺
上袤一十丈
下袤一十三丈
羡道髙一十八丈
上廣三丈六尺
下廣二丈四尺
袤一十四丈
甲縣鄉人給髙九丈
上廣三丈
下廣二丈四尺
上袤七丈
下袤一十四丈
乙縣鄉人給髙九丈
上廣三丈六尺
下廣三丈
下袤七丈
術曰以程功尺數乘二縣人又以限日乘之為臺
積又以上下袤差乘上下廣差三而一為隅陽羃
以乘截髙為隅陽截積羃又半上下廣差乘斬上
袤為隅頭羃以乘截髙為隅頭截積所得并二積
以减臺積餘為實以上下廣差并上下袤差半之
為正數加截上袤以乘截髙所得増隅陽羃加隅
頭羃為方法又并截髙及截上袤與正數為亷法
從聞立方除之即得上廣各加差得臺下廣及上
下袤髙
求均給積尺受廣袤術曰以程功尺數乘乙縣人
又以限日乘之為乙積三因之又以髙羃乘之以
上下廣差乘袤差而一為實又以臺髙乘上廣廣
差而一為上廣之髙又以臺髙乘上袤差而一為
上袤之髙又以上廣之髙乘上袤之髙三之為方
法又并兩髙三之二而一為㢘法從開立方除之
即乙髙以减本髙餘即甲髙此是從下給臺甲髙
又以廣差乘乙髙以本髙而一所得加上廣即甲
上廣又以袤差乘乙髙如本髙而一所得加上袤
即甲上袤其甲上廣袤即乙下廣袤臺上廣袤即
乙上廣袤其後求廣袤有増損者皆放此(此應三/因乙積)
(臺髙冄乘上下廣差冄乘袤差而一又以臺髙乘/上廣為上廣之髙又以臺髙乘上袤為上袤之髙)
(為小羃二因下袤之髙為中羃一凡下袤下廣之/髙即是截髙與上袤與上廣之髙相連并數然此)
(有中羃定有小羃一又有上廣之髙乘截髙為羃之/各一又下廣之髙乘下袤之髙為大羃二乘上袤)
(髙為中羃一其大羃之中又小羃一復有上廣上/袤之髙為中羃各乘截髙為中羃各一又截髙自)
(乘為羃一其中羃之内有小羃一又上袤之髙乘/截髙為羃一然則截髙自相乘為羃二小羃六又)
(上廣上袤之髙各三以乘截髙為羃六令皆半之/故以三乘小羃又上廣上袤之髙各三令但半之)
(各得一又二分之一故三/之二而一諸羃截為積尺)
求羡道廣袤髙術曰以均賦常積乘二縣五十六
鄉又六因為積又以道上廣多下廣數加上廣少
袤為下廣少袤又以髙多袤加下廣少袤為下廣
少髙以乘下廣少袤為隅陽羃又以下廣少上廣
乘之為鼈隅以减積餘三而一為實并下廣少袤
與下廣少高以下廣少上廣乘之為鼈從横亷羃
三而一加隅羃為方法又以三除上廣多下廣以
下廣少袤下廣少高加之為亷法從開立方除之
即下廣加廣差即上廣加袤多上廣於上廣即袤
加廣多袤即道髙
求羡道均給積尺甲縣受廣袤術曰以均賦常積
乘甲縣一十三鄉又六因為積以袤再乘之以道
上下廣差乘臺髙為法而一為實又三因下廣以
袤乘之如上下廣差而一為都亷從開立方除之
即甲袤以廣差乘甲袤本袤而一以下廣加之即
甲上廣又以臺髙乘甲袤本袤除之即甲髙
假令築隄西頭上下廣差六丈八尺二寸東頭上下廣
差六尺二寸東頭髙少於西頭髙三丈一尺上廣多東
頭髙四尺九寸正袤多於東頭髙四百七十六尺九寸
甲縣六千七百二十四人乙縣一萬六千六百七十七
人丙縣一萬九千四百四十八人丁縣一萬二千七百
八十一人四縣毎人一日穿土九石九斗二升毎人一
日築常積一十一尺四寸十三分寸之六穿方一尺得
土八斗古人負土二斗四升八合平道行一百九十二
步一日六十二到今隔山渡水取土其平道只有一十
一步山斜髙三十步水寛一十二步上山三當四下山
六當五水行一當二平道踟蹰十加一載輸一十四步
减計一人作功為均積四縣共造一日役畢今從東頭
與甲其次與乙丙丁問給斜正袤與髙及下廣并每人
一日自穿運築程功及隄上下髙廣各幾何
荅曰
一人一日自穿運築程功四尺九寸二分
西頭髙三丈四尺一寸
上廣八尺
下廣七丈六尺二寸
東頭髙三尺一寸
上廣八尺
下廣一丈四尺二寸
正袤四十八丈
斜袤四十八丈一尺
甲縣正袤一十九丈二尺
斜袤一十九丈二尺四寸
下廣三丈九尺
髙一丈五尺五寸
乙縣正袤一十四丈四尺
斜袤一十四丈四尺三寸
下廣五丈七尺六寸
髙二丈四尺八寸
丙縣正袤九丈六尺
斜袤九丈六尺二寸
下廣七尺
髙三丈一尺
丁縣正袤四丈八尺
斜袤四丈八尺一寸
下廣七丈六尺二寸
髙三丈四尺一寸
求人到程功運築積尺術曰置上山四十步下山
二十五步渡水二十四步平道一十一步踟蹰之
間十加一載輸一十四步一返計一百二十四步
以古人負土二斗四升八合平道行一百九十二
步以乘一日六十二到為實却以一返步為法除
得自運土到數也又以一到負土數乘之却以穿
方一尺土數除之得一人一日運功積又以一人
穿土九石九斗二升以穿方一尺土數除之為法
除之得穿用人數復置運功積以毎人一日常積
除之得築用人數併之得六人共成二十九尺七
寸六分以六人除之即一人程功也
求隄上下廣及髙袤術曰一人一日程功乘總人
為隄積以髙差乘下廣差六而一為鼈羃又以髙
差小頭廣差二而一為大臥壍頭羃又半髙差乘
上廣多東頭髙之數為小卧壍頭羃并三羃為大
小壍鼈率乘正袤多小髙之數以减隄積餘為實
又置半髙差及半小頭廣差與上廣多小頭髙之
數并三差以乘正袤多小頭髙之數以加率為方
法又并正袤多小頭并上廣多小髙及半髙差而
増之兼半小頭廣差加之為亷法從開方立除之
即小髙加差即各得廣袤髙又正袤自乘髙差自
乘并而開方除之即斜袤
求甲縣髙廣正斜袤術曰以程功乘甲縣人以六
因取積又乘袤羃以下廣差乘髙差以法除之為
實又并小頭上下廣以乘小髙三因之為垣頭羃
又乘袤羃如法而一為垣方又三因小頭下廣以
乘正袤以廣差除之為都亷從開立方除之得小
頭即甲袤又以下廣差乘之所得以正袤除之所
得加東頭下廣即甲廣又以両頭髙差乘甲袤以
正袤除之以加東頭髙即甲髙又以甲袤自乘以
隄東頭髙减甲髙餘自乘并二位以開方除之即
得斜袤求髙廣以本袤及髙廣差求之若求乙丙
丁各以本縣人功積尺毎以前大髙廣為後小髙
廣凡亷母自乘為方母亷母乘方母為實母(此平/隄在)
(上羡除在下兩髙之差即除髙其餘両邊各一鼈/腝中一壍堵今以袤再乘積廣差乘袤差而一得)
(截鼈腝袤再乘為立方一又壍堵袤自乘為羃三/又三因小頭下廣大袤乘之廣差而一與羃為髙)
(故為亷法又并小頭上下廣又三之意同六除然/此頭羃本乘截袤又袤乘之差相乘而一今還依)
(數乘除一頭羃為/從得截袤為廣)
求隄都積術曰置西頭髙倍之加東頭髙又并西
頭上下廣半而乘之又置東頭髙倍之加西頭髙
又并東頭上下廣半而乘之并二位積以正袤乘
之六而一得隄積也
假令築龍尾隄其隄從頭髙上闊以次低狹至尾上廣
多下廣少隄頭上下廣差六尺下廣少髙一丈二尺少
袤四丈八尺甲縣二千三百七十五人乙縣二千三百
七十八人丙縣五千二百四十七人各人程功常積一
尺九寸八分一日役畢三縣共築今從隄尾與甲縣以
次與乙丙問龍尾隄從頭至尾髙袤廣及各縣别給髙
袤廣各多少
荅曰
髙三丈
上廣二丈四尺
下廣一丈八尺
袤六丈六尺
甲縣髙一丈五尺
袤三丈三尺
上廣二丈一尺
乙縣髙二丈一尺
袤一丈三尺二寸
上廣二丈二尺二寸
丙縣髙三丈
袤一丈九尺八寸
上廣二丈四尺
求龍尾隄廣袤髙術曰以程功乘總人為隄積又
六因之為虚積以少髙乘少袤為隅羃以少上廣
乘之為鼈隅羃以减虚積餘三約之所得為實并
少髙袤以少上廣乘之為鼈從横亷羃三而一加
隅羃為方法又三除少上廣以少袤少髙加之為
亷法從開立方除之得下廣加差即髙廣袤
求逐縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘當縣人
為積尺各六因積尺又乘袤羃廣差乘髙為法除
之為實又三因末廣以袤乘之廣差而一為都亷
從開立方除之即甲袤以本髙乘之以本袤除之
即甲髙又以廣差乘甲袤以本袤除之所得加末
廣即甲上廣其甲上廣即乙末廣其甲髙即垣髙
求都亷如前又并甲上下廣三之乘甲髙以乘袤
羃以法除之得垣方從開立方除之即乙袤餘放
此(此龍尾猶羡除也其壍堵一鼈腝一并而相連/今以袤再乘積廣差乘髙而一所得截鼈腝袤)
(再自乘為立方一又各一鼈腝截袤再自乘為立/方一又壍堵袤自乘為羃三又三因末廣以袤乘)
(之廣差而一與羃/為髙故為亷法)
假令穿河袤一里二百七十六步下廣六步一尺二寸
北頭深一丈八尺六寸上廣十二步二尺四寸南頭深
二百四十一尺八寸上廣八十六步四尺八寸運土於
河西岸造漘北頭髙二百二十三尺二寸南頭無髙下
廣四百六尺七寸五氂袤與河同甲郡二萬二千三百
二十人乙郡六萬八千七十六人丙郡五萬九千九百
八十五人丁郡三萬七千九百四十四人自穿負築各
人程功常積三尺七寸二分限九十六日役河漘俱了
四郡分共造漘其河自北頭先給甲郡以次與乙合均
賦積尺問逐郡各給斜正袤上廣及深并漘上廣各多
少
荅曰
漘上廣五丈八尺二寸一分
甲郡正袤一百四十四丈
斜袤一百四十四丈三尺
上廣二十六丈四寸
深一十一丈一尺六寸
乙郡正袤一百一十五丈二尺
斜袤一百一十五丈四尺四寸
上廣四十丈九尺二寸
深一十八丈六尺
丙郡正袤五十七丈六尺
斜袤五十七丈七尺二寸
上廣四十八丈三尺六寸
深二十二丈三尺二寸
丁郡正袤二十八丈八尺六寸
斜袤二十八丈八尺六寸
上廣五十二丈八寸
深二十四丈一尺八寸
術曰如築隄術入之(覆隄為河彼注甚明髙深/稍殊程功是同意可知也)以
程功乘甲郡人又以隄日乘之四之三而一為積
又六因以乘袤羃以上廣差乘深差為法除之為
實又并小頭上下廣以乘小頭深三之為垣頭羃
又乘袤羃以法除之為垣方三因小頭上廣以乘
正袤以廣差除之為都亷從開立方除之即得小
頭為甲袤求深廣以本袤及深廣差求之為法以
両頭上廣差乘甲袤以本袤除之所得加小頭上
廣即甲上廣以小頭深减南頭深餘以乘甲袤以
本袤除之所得加小頭深即甲深又正袤自乘深
差自乘并而開方除之即斜袤若求乙丙丁毎以
前大深廣為後小深廣準甲求之即得
求漘上廣術曰以程功乘總人又以限日乘之為
積六因之為實以正袤除之又以髙除之所得以
下廣减之餘又半之即漘上廣
假令四郡輸粟斛法二尺五寸一人作功為均自上給
甲以次與乙其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六
斗乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗丙郡輸粟二萬
六千二百七十石四斗丁郡輸粟一萬四千七十八石
四斗四郡共穿窖上袤多於上廣一丈少於下袤三丈
多於深六丈少於下廣一丈各計粟多少均出丁夫自
穿負築冬程人功常積一十二尺一日役問窖上下廣
袤深郡别出人及窖深廣各多少
荅曰
窖上廣八丈
上袤九丈
下廣一十丈
下袤一十二丈
深三丈
甲郡八千七十二人
深一十二尺
下袤一十丈二尺
廣八丈八尺
乙郡七千二百七十二人
深九尺
下袤一十一丈一尺
廣九丈四尺
丙郡五千四百七十三人
深六尺
下袤一十一丈七尺
廣九丈八尺
丁郡二千九百三十三人
深三尺
下袤一十二丈
廣一十丈
求窖深廣袤術曰以斛法乘總粟為積尺又廣差
乘袤差三而一為隅陽羃乃置壍上廣半廣差加
之以乘壍上袤為隅陽羃及隅頭羃加之為方法
又置壍上袤及壍上廣并之為大廣又并廣差及
袤差半之以加大廣為亷法從開立方除之即深
各加差即合所問
求均給積尺受廣袤深術曰如築隄術入之以斛
法乘甲郡輸粟為積尺又三因以深羃乘之以廣
差乘袤差而一為實深乘上廣廣差而一為上廣
之髙深乘上袤袤差而一為上袤之髙上廣之髙
乘上袤之髙三之為方法又并兩髙三之二而一
為亷法從開立方除之即甲深以袤差乘之以本
深除之所得加上袤即甲下袤以廣差乘之本深
除之所得加廣即甲下廣若求乙丙丁毎以前下
廣袤為後上廣袤以次皆準此求之即得若求人
數各以程功約當郡積尺
假令亭倉上小下大上下方差六尺髙多上方九尺容
粟一百八十七石二斗今已運出五十石四斗問倉上
下方髙及餘粟深上方各多少
荅曰
上方三尺
下方九尺
髙一丈二尺
餘粟深上方俱六尺
求倉方髙術曰以斛法乘容粟為積尺又方差自
乘三而一為隅陽羃以乘截髙以减積餘為實又
方差乘截髙加隅陽羃為方法又置方差加截髙
為亷法從開立方除之即上方加差即合所問
求餘粟髙及上方術曰以斛法乘出粟三之以乘
髙羃令方差羃而一為實(此是大小髙各自乘又/相乘各乘取髙是大髙)
(者即是取髙/與小髙并)髙乘上方方差而一為小髙令自乘
三之為方法三因小髙為亷法從開立方除之得
取出髙以减本髙餘即殘粟髙置出粟髙又以方
差乘之以本髙除之所得加上方即餘粟上方(此/本)
(術曰上下方相乘又各自乘并以髙乘之三而一/今還元三之又髙羃乘之差羃而一得大小髙相)
(乘又各自乘之數何者若髙乘下方方差而一得/大髙也若髙乘上方方差而一得小髙也然則斯)
(本下方自乘故湏髙自乘乘之差自乘而一即得/大髙自乘之數小髙亦然凡大髙者即是取髙與)
(小髙并相連今大髙自乘為大方大方之内即有/取髙自乘羃一隅頭小髙自乘羃一又其兩邊各)
(一以取髙乘小髙為羃二又大小髙相乘為中方/中方之内即有小髙乘取髙羃一又小髙自乘即)
(是小方之羃又一則小髙乘大髙又各自乘三等/羃皆以乘取髙為立積故三因小羃為方及三小)
(髙為/亷也)
假令芻甍上袤三丈下袤九丈廣六丈髙一十二丈有
甲縣六百三十二人乙縣二百四十三人夏程人功當
積三十六尺限八日役自穿築二縣共造今甲縣先到
問自下給髙廣袤各多少
荅曰
髙四丈八尺
上廣三丈六尺
袤六丈六尺
求甲縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘乙縣人
數又以限日乘之為積尺以六因之又髙羃乘之
又袤差乘廣而一所得又半之為實髙乘上袤袤
差而一為上袤之髙三因上袤之髙半之為亷法
從開立方除之得乙髙以减甍髙餘即甲髙求廣
袤依率求之(此乙積本倍下袤上袤從之以下廣/及髙乘之六而一為一甍積今還元)
(須六因之以髙羃乘之為實袤差乘廣而一得取/髙自乘以乘二上袤之髙并大廣袤相連之數則)
(三小髙為亷法各以取髙為方仍有取髙/為立方者故半之為立方一又須半亷法)
假令圓囤上小下大斛法二尺五寸以率徑一周三上
下周差一丈二尺髙多上周一丈八尺容粟七百五斛
六斗今已運出二百六十六石四斗問殘粟去口上下
周髙各多少
荅曰
上周一丈八尺
下周三丈
髙三丈六尺
去口一丈八尺
粟周二丈四尺
求圓囤上下周及髙術曰以斛法乘容粟又三十
六乘之三而一為方亭之積又以周差自乘三而
一為隅陽羃以乘截髙以减亭積餘為實又周差
乘截髙加隅陽羃為方法又以周差加截髙為亷
法從開立方除之得上周加差而合所問
求粟去口術曰以斛法乘出斛三十六乘之以乘
髙羃如周差羃而一為實髙乘上周周差而一為
小髙令自乘三之為方法三因小髙為亷法從開
立方除之即去口(三十六乘訖即是截/方亭之前方窖不别)置去口以
周差乘之以本髙除之所得加上周即粟周
假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升欲作方倉
一圓窖一盛各滿中而粟適盡令髙深等使方面少於
圓徑九寸多於髙二丈九尺八寸率徑七周二十二問
方徑深多少
荅曰
倉方四丈五尺三寸(容粟一萬二千七百二/十二斛九斗五升八合)
窖徑四丈六尺二寸(容粟一萬三百九十/七石七斗七升二合)
髙與深各一丈五尺五寸
求方徑髙深術曰十四乘斛法以乘粟數二十五
而一為實又倍多加少以乘少數又十一乘之二
十五而一多自乘加之為方法又倍少數十一乘
之二十五而一又倍多加之為亷法從開立方除
之即髙深各加差即方徑(一十四乘斛法以乘粟/為積尺前一十四除今)
(還元一十四乘為徑自乘者是一十一方自乘者/是一十四故并之為二十五凡此方圓二徑長短)
(不同二徑各自乘為方大小各别然則此壍方二/丈九尺八寸壍徑三丈七寸皆成立方此應壍方)
(自乘一十四乘之壍徑一十一乘之二十五而一/為隅羃即方法也但二隅皆以壍數為方面今此)
(術就省倍小隅方加差為短以差乘之為短羃一/十一乘之二十五而一又小隅方自乘之數即是)
(方圎之隅同有此此數若二十五乘之還湏二十/五除直以小隅方自乘加之故不復乘除又湏倍)
(二亷之差一十一乘之二十五而一倍二/亷加之故為亷法不復二十五乘除之也)
還元術曰倉方自乘以髙乘之為實圓徑自乘以
深乘之一十一乘一十四而一為實皆以斛法除
之即得容粟(斛法二/尺五寸)
假令有粟一萬六千三百四十八石八斗欲作方倉四
圓窖三令髙深等方面少於圓徑一丈多於髙五尺斛
法二尺五寸率徑七周二十二問方髙徑多少
荅曰
方一丈八尺
髙深一丈三尺
圓徑二丈八尺
術曰以一十四乘斛法以乘粟數如八十九而一
為實倍多加少以乘少數三十三乘之八十九而
一多自乘加之為方法又倍少數以三十三乘之
八十九而一倍多加之為亷法從開立方除之即
髙深各加差即方徑(一十四乘斛法以乘粟為徑/自乘及方自乘數與前同今)
(方倉四即四因十四圓窖三即三因十一并之為/八十九而一此壍徑一丈五尺壍方五尺以髙為)
(立方自外/意同前)
假令有粟三千七十二石欲作方倉一圓窖一令徑與
方等方多於窖深二尺少於倉髙三尺盛各滿中而粟
適盡(圓率斛法/竝與前同)問方徑髙深各多少
荅曰
方徑各一丈六尺
髙一丈九尺
深一丈四尺
術曰三十五乘粟二十五而一為率多自乘以并
多少乘之以乘一十四如二十五而一所得以减
率餘為實并多少以乘多倍之乘一十四如二十
五而一多自乘加之為方法又并多少以乘一十
四如二十五而一加多加之為㢘法從開立方除
之即窖深各加差即方徑髙(截髙五尺壍徑及方/二尺以深為立方十)
(四乘斛法故三十五乘粟多自乘并多少乘之為/截髙隅積减率餘即二方亷各二尺長五尺自外)
(意㫖皆/與前同)
假令有粟五千一百四十五石欲作方窖圓窖各一令
口小底大方面於圓徑等兩深亦同其深少於下方七
尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡(圓率斛法/竝與前同)
問方徑深各多少
荅曰
上方徑各七尺
下方徑各二丈八寸
深各二丈一尺
術曰以四十二乘斛法以乘粟七十五而一為方
亭積令方差自乘三而一為隅陽羃以截多乘之
减積餘為實以多乘差加羃為方法多加差為亷
法從開立方除之即上方加差即合所問(凡方亭/上下方)
(相乘又命自乘并以乘髙為虚命三而一為方亭/積若圓亭上下徑相乘又各自乘并以乘髙為虚)
(又十一乘之四十二而一為圓亭積今方圓二積/并在一處故以四十二復乘之即得圓虚十一方)
(虚十四凡二十五而一得一虚之積又三除虚積/為方亭實乃依方髙覆問法見上下方差及髙差)
(與積求上下方髙術入/之故三乘二十五而一)
假令有粟二萬六千三百四十二石四斗欲作方窖六
圓窖四令口小底大方面與圓徑等其深亦同令深少
於下方七尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡
(圓率斛法/並與前同)問上下方深數各多少
荅曰
方窖上方七尺
下方二丈八尺
深二丈一尺
圓窖上下方深與方窖同
術曰以四十二乘斛法以乘粟三百八十四而一
為方亭積尺令方差自乘三而一為隅陽羃以截
多乘之以减積餘為實以多乘差加羃為方法又
以多加差為亷法從開立方除之即上方加差即
合所問(今以四十二乘圓虚十一者四方虚十四/者六合一百二十八虚除之為一虚之積)
(得者仍三而一為方亭實積乃依方亭見/差覆問求之故三乘一百二十八除之)
假令有句股相乘羃七百六五十分之一弦多於句三
十六十分之九問三事各多少
荅曰
句十四二十分之七
股四十九五分之一
弦五十一四分之一
術曰羃自乘倍多數而一為實半多數為㢘法從
開立方除之即句以弦多句加之即弦以句除羃
即股(句股相乘羃自乘與句羃乘股羃積等故以/倍句弦差而一得一句與半差之共乘句羃)
(為方故半差為亷從開立方除之三按此/術原本不全今依句股義擬補十 字)
假令有句股相乘羃四千三十六五分之○股少於弦
六五分之一問弦多少(按此問原本缺二字今依文補/一股字其股字上之○係所設)
(分數未便懸/擬今姑闕之)
荅曰弦一百一十四十分之七
術曰羃自乘倍少數而一為實半少為亷法從開
立方除之即股加差即弦
假令有句弦相乘羃一千三百三十七二十分之一弦
多股一十分之一問股多少
荅曰九十二五分之二
術曰羃自乘倍多而一為立羃又多再 乘半之
减立羃餘為實又多数自乘 為方法又置多
數五之二而一為亷 開立方除之即股(句弦/相乘)
(羃自股與半羃乘弦羃之/得一 差) (為方令股弦差而一/ 多再自乘半)
(之為隅/) (倍之為横虚二立㢘/ 從隅)
(故五多為上廣即二多術原本不全今加案於法/ 之二而一○案此 後)
(并别立一術繪圖/加説以補其闕)
案此術脱簡既多法亦煩擾冝云羃自乘多數
而一所得四之為實多為亷法從立方開之得
減差半之即股(羃自乘與勾羃弦羃相乘積等令/勾羃變為股弦併乘股弦差故差)
(而一所得乃股/弦併乘弦羃)
如圗之甲乙丙丁戊
戊巳為股弦併乘弦
羃(甲巳與丙丁䓁為/股弦併庚丁戊巳)
(為弦/羃)即差而一所得
四之成甲乙丙辛壬
癸子丑立方實其庚
壬癸子為四弦羃甲乙寅夘辰午未形為股弦
併再自乘實故丑未或寅辛類皆股弦差為亷
實之從開得甲己類股弦併减差半之得股矣
假令有股弦相乘羃
三句少於弦五十
荅曰六
術曰羃自乘
再自乘半之以矣
乘倍之為方法
亷法從開立方
羃即股
假令有股弦相乘羃
七問股多少
荅曰股二十
術曰羃自
除之所得
(數亦是股/為長以股)
(得股羃又開/股北分母常)
假令有股十六二分
十四二十五分
荅曰
術曰羃自乘
除之所得又開方
緝古算經