數學九章

欽定四庫全書

　數學九章巻八上　　　　宋　秦九韶　撰

　軍旅

　　計立方營

問一軍三将将三十三隊隊一百二十五人遇暮立營

　人占立地方八尺須令隊間容隊師居中央欲知營

　方幾何

　　答曰方營一百七十一丈　隊方九丈

　術曰以少廣求之置人占方冪乗每隊人為隊實以

　一為隅開平方所得為隊方圖(或開不盡/就為全盡)次置隊數

　乗将數又四因之増三為寔以二為從隅開平方得

　率以乗隊方面為營方面(開不盡/為全數)

　　　按舊圖各隊四眼内每人作一小圓為識今去

　　　之總圖内各隊仍畫四眼今只以一小方為一

　　　隊舊總圖太大難於撿閲今收入半頁内

　　　又按總圖内係百隊筭内只有九十九隊圖中

　　　應虚一隊舊本未詳

　草曰置人占八尺自乗得六十四尺為人占方冪以

　乗每隊一百二十五人得八千尺為寔以一為隅開

　平方歩法常超一位今隅超一度至寔之百下約寔

　置啇八十尺以啇八十生隅一得八十為方乃命上

　啇除寔訖實餘一千六百次以啇生隅入方得一百

　六十畢方一退隅再退之復於上啇之次續啇九尺

　乃以續啇九生隅一入方得一百六十九乃命續啇

　除寔訖得八十九尺不盡七十九尺就為九十尺得

　隊方面次置三十三隊乗三将得九十九又四因得

　三百九十六増三得三百九十九為寔以二為從方

　一為從隅開平方歩法以從方進一位至寔之十下隅

　隅超一位至寔之百下乃約寔置啇一十生隅一入

　方得一十二乃命上啇除寔訖餘二百七十九又以

　啇一十生隅入方得二十二畢方一退隅再退之續

　于寔上啇九隊以續啇九生隅入方得三十一乃命

　續啇除寔適盡得一十九乗隊方面九十得一千七

　百十尺展為營方一百七十一丈合問

　　方變鋭陣

問歩兵五軍軍一萬二千五百人作方陣人立地方八

　尺欲變為前後鋭陣陣後闊令多原方面半倍陣間

　仍容騎路五丈以上順鋭形出入求方陣面鋭陣長

　及前後鋭陣各布兵幾何

　　答曰方面二百丈　方面布兵二百五十人　鋭

　　　　後廣二百丈　鋭廣列共三百六十二人

　　　　鋭通正長三百丈　騎路二條各闊五丈三

　　　　尺　内鋭陣廣一百四十五丈六尺列一百

　　　　八十二人長一百四十五丈六尺計布兵一

　　　　萬六千六百五十三人　外鋭兩廣各七十

　　　　二丈列九十人計布兵四萬五千八百四十

　　　　七人

　　　按鋭陣數惟内鋭數合外鋭通廣丈數及布兵

　　　數皆不合詳見草後

　術曰以少廣求之置兵開平方得方面人數(開不盡/方為補)

　(隊/)以人立尺數乗之為原方面置原方面以欲多數

　加之為鋭後闊亦為通長倍馬路減之餘為實以人

　立尺約為闊布兵不盡半歸馬路以四約闊布兵得

　外鋭一邉人倍一邉人併不歸為内鋭長闊人數副

　置減一餘乗其副得數半之為内鋭布兵以減總兵

　餘為外鋭布兵

　計立六萬二千五百人鋭後廣通長各三百丈内鋭

　立一萬六千六百五十三人外鋭立四萬五千八百

　四十七人(按舊圖式不細且在/題後今改正移于此)

　草曰置一軍一萬二千五百以五軍因之得總兵六

　萬二千五百人為寔開平方得二百五十人以人立

　八尺乗之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈

　得三百丈為鋭陣後闊亦為鋭陣道長先倍騎路五

　丈得一十丈以減後闊二百丈餘二百九十丈為實

　以人立八尺約之得三百六十二為鋭後闊布兵不

　盡四尺以半之得二尺軰歸騎路作五丈二尺以四

　約鋭後闊布兵三百六十二人得九十人為外鋭一

　邉人倍一邉九十得一百八十併不盡二人共得一

　百八十二人為内鋭廣布兵數亦為長布兵副置加

　一得一百八十三乗副一百八十二得三萬三千三

　百六以半之得一萬六千六百五十三人為内鋭陣

　布兵以減總兵六萬二千五百餘四萬五千八百四

　十七人為外鋭兵

　　　按草中以内鋭陣兵數减前方陣兵數餘為外

　　　鋭陣兵數非是盖無以知兩總數為相等也試

　　　以數明之依束箭法以總闊求得總三角數七

　　　萬零五百以鋭闊求得内三角數一萬六千六

　　　百五十三又以每人八尺除兩騎路濶十丈零

　　　四尺得一十三人與内鋭闊相加得闊二百求

　　　得内外間三角數二萬零一百置總三角數減

　　　内外間三角數加内三角數得六萬七千零五

　　　十三與前方陣兵數相較多四千五百五十三

　　　安得謂之等乎今另設歩法于後

　　　法設騎路之闊當二十人先以總三角數與前

　　　方陣數相减得今多八千人乃倍騎路闊人數

　　　得四十人為截騎路上小三角之闊求得小三

　　　角數八百二十以减今多數餘七千一百八十

　　　為寔以四十為法除之得一百七十九人為内

　　　鋭闊餘二十人依術内不盡者為補隊兵次置

　　　總闊減去内闊餘一百九十六人再減併騎闊

　　　四十人餘一百五十六人半之得七十八人為

　　　外後闊是内鋭闊長皆為一百七十九人外鋭

　　　長為三百七十五人後兩闊共一百五十六人

　　　騎路闊二十人乃以内鋭闊求得内三角數一

　　　萬六千一百一十人以内闊併兩騎闊得二百

　　　一十九人為闊求得内外間三角數二萬四千

　　　零九十人未置總三角數内減去内外間三角

　　　數餘四萬六千四百一十人加内三角數得六

　　　萬二千五百二十人再減補隊兵二十人得六

　　　萬二千五百人與方陣總兵原數脗合

　　圓營敷布

問周制一軍欲布圓營九重毎卒立圓邉六尺重間相

　去比立尺數倍之于内摘差兵四分之一出竒不可

　縮營示弱須令仍用原營布滿餘兵欲知原營内外

　周及立人數並出竒後每卒數立尺數外周人數各

　幾何

　　　答曰周制一軍一萬二千五百人出竒三千一

　　　　百二十五人　原内周八百四丈立一千三

　　　　百四十人原外周八百六十一丈六尺立一

　　　　千四百三十六人　出竒後原外周立一千

　　　　八十九人原内周立一千一十六人内外周

　　　　人立七尺九寸一分

　術曰以啇功求之置重數減一餘為叚以叚乗圓差

　為衰以衰乗重數為率求圓周以率減兵餘如重數

　而一得内周人數不滿為餘兵以人立圓邉乗内周

　人得内周尺倍衰乗圓邉為泛以泛併内周尺得外

　周尺為實如圓邉而一得外周人求出竒後以率加

　存兵如重數而一得外周人不滿為餘兵以外周人

　約原外周尺得後立尺以後立尺約原内周得内周

　人

　　　按求圓陣草中用圓束法圓束實六等邉形非

　　　圖形也盖圓形重數相距等則弧邉上相距不

　　　等弧邉上相距等則重數相距不等惟圓束可

　　　並取相等故用其法至次陣減人數不減營周

　　　尺數則各重周上相距不能相等故草中又以

　　　尺數求内周人數然未免與圓束逐層相差數

　　　不合亦僅取其大畧也又舊用二圖各㸃為圓

　　　周九重今用一圖㸃為六等邉形三重惟取易

　　　見則二圖九重其理一也

　草曰置九重減一餘八為叚以乗圓束差六得四十

　八為衰(按圓束每層差不今内外重數相距倍於人/立相距則每層差一十二為倍差常法重數)

　(減一與半差相乗為衰今倍/差故即與差數相乗為衰也)九重得四百三十二為

　率

　求原周以率四百三十二減周制一軍一萬二千五

　百餘一萬二千六十八為實如重數九而一得一千

　三百四十人為内周人數不滿八人為餘兵

　次以人立圓邉六尺乗内周人一千三百四十得八

　千四十尺收作八百四丈為内周尺數

　倍衰四十八得九十六乗圓邉六尺得五百七十六

　尺為泛

　以泛五百七十六尺併内周八千四十尺得八千六

　百一十六尺為外周尺

　以外周尺八千六百一十六為實如圓邉六尺而一

　得一千四百三十六人為外周人數

　求出竒後以竒母四約一萬二千五百得三千一百

　二十五為竒兵以減總軍餘九千三百七十五為存

　兵次以率四百三十二加之得九千八百七十為實

　加重數九而一得一千八十九為外周人不盡六

　次以原外周八千六百一十六尺為實以外周人一

　千八十九約之得七尺九寸一分不盡二尺一分與

　法求等得三俱約之為分下三百六十三分之六十

　七

　置原内周八千四十尺為實以後立尺七尺九寸一

　分約之得一千一十六為内周人數不盡三尺四寸

　四分為寛地

　本術所求内外周之人數既定不拘竒出竒入皆以

　六人為重差或累差加減各得諸重圍數或併九重

　人課總軍存兵

　　計布圓陣

問歩率二千六百人為圖陣人立圓九尺形如車輻無

　麗布陣陣重間倍人立圓邉尺數須合内徑七十二

　丈圓法用周三徑一之率欲知陣重幾數及内外周

　通徑並所立人數各幾何

　　答曰内周二百一十六丈立二百四十人　外周

　　　　三百二丈四尺立三百三十六人　通徑一

　　　　百丈八尺陣計九重(不盡/八人)

　術曰以啇功求之以圓率因内徑為内周以人立尺

　約之為内周人數乃以圓求差率為隅次置内周人

　減隅餘約從方列兵數為寛開平方得重數不盡為

　餘兵置重數減一餘四因又乗圓邉尺數併内徑共

　為通徑以圓率因通徑得外周

　　　按舊本有圖前題同今删去

　草曰以圓率三因内徑七十二丈得二千一百六十

　尺為内周以圓邉九尺約内周得二百四十為内周

　人數乃以圓束差六為從隅次置内周二百四十人

　減隅餘二百三十四為從方列兵二千六百為寔開

　平方歩法從方進一位隅法超一位今方隅皆不可

　超進乃于寔約啇置九重以啇生隅六得五十四増

　入從方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔訖

　寔餘八人為餘兵副置九重減一餘八以四因之(按/九)

　(重八間徑両端應二因之間倍于/立歩又應二因之今合為四因)得三十二又乗圖

　邉九尺得二百八十八尺併内徑七百二十尺得一

　千八尺為通徑又以圓率三因通徑得三千二十四

　尺為外周次以圓邉九尺為法除外周尺數得三百

　三十六人為外周人數合問

　　　按圓束環積有内周求重數法置積為寔圓束差

　　　半之為從隅又以半差減内周餘為從方開平

　　　方得重數此圓束環積每層為倍差故即以圓

　　　束差為從隅減内周為從方也又按周三徑一

　　　正與六邉形相合故人數尺俱無竒零也

　數學九章卷八上

欽定四庫全書

　數學九章卷八下　　　　宋　秦九韶　撰

　軍旅

　　軍器功程

問今欲造弓刀各一萬副箭一百萬隻據工程七人九

　日造弓八張八人六日造刀五副三人二日造箭一

　百五十隻作院見管弓作二百人刀作五百四十人

　箭作二百七十六人欲知畢日㡬何

　　答曰造弓一萬張三百九十三日四分日之三

　　　　造刀一萬副一百七十七日九分日之七

　　　　造箭一百萬隻一百四十四日二百七分日

　　　　之一百八十二(按六十九分之六十四訛/二百七分之一百八十二)

　術曰以粟米求之互換入之置各功程原人率於右

　行置原日數於中行置欲求數為左行以三行對之

　為各實列右行置原物數於中行置見𬋩人為左行

　以左行乘中行各為法以對除右行各得日數

　草曰置原造弓七人造刀八人造箭三人於右行次

　置造弓九日造刀六日造箭二日列中行又置於造

　弓一萬欲造刀一萬欲造箭一百萬列左行以三行

　對乗

　次列原造弓八張刀五副箭一百五十隻放中又列

　見管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十

　六人於左行

　以兩行對乗之上得一千六百中得二千七百下得

　四萬一千四百各為法

　先以上法一千六百除寄右行弓日實六十三萬日

　得三百九十三日為造弓一萬張日數

　不盡一千二百與法求等得四百俱約之為四分日

　之三

　次以中得二千七百除寄右行刀日實四十八萬日

　得一百七十七日為造刀一萬副日數

　不盡二千一百與法求等得三百俱約之為九分日

　之七

　次以下法四萬　　百除寄右行箭日實六百萬日

　得一百四十四日為造箭一百萬隻日數

　不盡三萬六千四百日與法四萬一千四百求等得二百

　俱以約之得二百七分日之一百八十二為造箭日分

　合問(按不盡數三萬八千四百誤為三萬六千四百分母六/十九訛二百零七分子六十四訛一百八十二)

　　計造軍衣

問庫有布綿絮三色計料欲製軍衣其布六人八疋少

　一百六十疋七人九疋剰五百六十疋其綿八人一

　百五兩剰一萬六千五百兩九人一百七十兩剰一

　萬四千四百兩其絮四人一十三斤少六千八百四

　斤五人一十四斤適足欲知軍士及布綿絮各幾何

　　答曰兵士一萬五千一百二十人　布二萬疋

　　　　綿三十萬兩　絮四萬二十三百二十六斤

　術曰以盈拙求之置人數於左右之中置所給物各

　於其上置盈拙各於其下令維乘之先以人數互數

　乘其所給率相減餘為法次以人數相乘為寄後以

　盈拙互乘其上未減者是謂未乘騐其下係一盈一

　拙以上下皆併之為物其上併之實其下併之乘

　寄為兵寔如法而一各得騐其係兩盈或兩拙者

　以上下皆相減之其上減之餘為物寔其下減之餘乘

　寄為兵寔二寔皆如法而一各得騐其或一盈一足或

　一拙一足者其適足乃以空互乘其上未減者去之

　只以所用盈拙數互乘其上為物寔以盈或拙一數

　乘寄為兵寔皆如法而一各得

　求布草曰置布於六人左中八疋於左朏上一百六

　十四疋於左下置七人於右中九疋於右上盈百五

　六十於布下先以左右之中六七互乘左右之上訖

　左上得五十五右上得五十四以相減之餘二為法

　次以左右中六七相乘得四十二為寄於中次以左

　下虧一百六十乘右上未减五十四得八十六百四

　十又以右下盈五百六十乘左上未减五十六得三

　萬一千三百六十驗得左右之下係一盈一朏當併

　之以三萬一千三百六十併右上八千六百四十得

　四萬為布實次以左下朏一百六十併左下盈五百

　六十得七百二十乗寄四十二得三萬二百四十為

　兵實二實皆如法二而一得二萬疋為布得一萬五

　千一百二十為兵

　　求布圖

　求綿草曰置八人於左中綿一百五十兩於左上餘

　一萬六千五百兩於左下次置九人於右中一百七

　十兩於右上餘一萬四千四百兩於右下以左右中

　八九五乘各上訖左上得一千三百五十右上得一

　千三百六十相減餘一十為法次以中八九相乘得

　七萬二為寄於中次以左下一萬六千五百乘右上

　一千三百六萬得二千二百四十四萬却以右下一

　萬四千四百乘左上一千三百五十得一千九百四

　十四萬驗其下係兩盈當相減之其右上餘三百萬

　為綿實其左右之下亦相減之餘二千一百乘寄七

　十二得二十五萬一千二百為兵實二實皆如法一

　十而一綿得三十萬兩兵得一萬五千一百二十人

　　　求綿圖

　求絮草曰置四人於左中一十三觔於左上少六千

　八百四觔於左下又置五人於右中一十四觔於右

　上適足為空於右下以左右之中四五互乘其上訖

　左上得六十五右上得五□六利減餘九為法以中

　四五相乘得二十為寄於中先以左下六千八百四

　互乘右上五十六得三十八萬一千四百二十却以

　右適足之空乘左上六十五亦為空乃去之只以右

　上三十八萬一千二十四觔為絮實只以左下六千

　八百四乘寄二千人得一十三萬六千八十為兵實

　二實皆如法九而一具絮得四萬二千三百三十六

　觔其兵得一萬五千一百二十人合問

　　　求絮圖

　已上布綿絮三項求人兵數皆同今仍於各圖立算

　求之以合本術

　　先計軍程

問一軍三將三十隊隊七十五人每將分左右傔作九

　行爬頭拽行每日六十里明日路狹以軍拽行至晚

　欲知先宿程里數幾何

　　答曰六里二百四十歩

　術曰以均輸求之置行數為法以單數一行乘日

　程為寔寔如法兩一得宿程里歩

　草曰置行數九為法以單傔數一行用乘六十里為

　寔寔如法而一得六十不盡六里以里法三百六十

　歩通之得二千一百六十歩又為寔仍如法九而一

　得二百四十歩為六里二百四十歩宿程

　　　按此草易見舊有算式今刪

　　移運均勞(分郡縣/郷科均)

問今起夫移運縣餉於某郡交納合起一萬二千夫甲

　州有三縣上縣力五十七萬三千二百五十九貫五

　百文至輸所九百二十五里中縣力五十萬四千九

　百八十三貫七百八十文至輸所六百五十二里下

　縣力四十九萬八千七百六十貫九百五十文至輸

　所四百六十五里乙軍倚郭一縣五郷仁郷力一百

　二萬八千三百七十一貫九百八十文至輸所七百

　六里義鄉力一　　　　　　　　　　　六百文

　至輸所七百九十五里禮郷力一十萬八千四百六

　十三貫五十文至輸所七百九十里智鄉力八萬四

　千千二百三十六貫二百八十五文至輸所七百十

　九里信鄉力九千三百四十五貫一百六十六文至

　輸所八百四里欲知以物力多寡道里逺近均運之

　令費勞等各合科夫幾何

　　答曰甲州上縣差二千四百三十夫中縣差三千

　　　　三十七夫下縣差四千二百六夫　乙軍郭

　　　　縣仁鄉七百一十三夫義鄉五百八十九夫

　　　禮鄉五百三十八夫智鄉四百四十一夫信郷

　　　四十六夫

　術曰以均輸求之置各縣及鄉力皆如里而一不盡

　者約之復通分内子互乘之或就母遷退之各得變

　力可約約之為定力副併為法以合起夫徧乘未併

　定力各得為實並如前法而一各得夫其餘分軰之

　草曰置甲州三縣及乙軍五鄉物力里數作八行列

　之具圖于後

　置上縣力五十七萬三千二百五十九貫五百文如

　九百二十五里而一得力六十一萬九千七百四十

　置中縣五十萬四千九百八十三貫七百八十文如

　六百五十二里而一得力七十七萬四千五百一十

　五置下縣四十九萬八千七百六十貫九百五十如

　四百六十五里而一得力一百七萬二千六百四不

　盡九十文與法求等得十五約之得三十一分之六

　置仁郷一十二萬八千三百七十一貫九百八十如

　七百里而一得力一十八萬一千八百三十置義鄉

　鄉一十一萬九千四百七十二貫六百文如七百九

　十五里而一得力一十五萬二百八十置禮鄉一十

　萬八千四百六十三貫五十文如七百九十而一得

　力一十三萬七千二百九十五置智鄉八萬四千二

　百三十六貫二百八十五文如七百四十九里而一

　得力一十一萬二千六百四十五置信鄉九千三百

　四十五貫一百六十文如八百四里而一得力一萬

　一千二百六十三不盡二百六十八文與法求等得

　二百六十八約為三分之一其下縣信鄉二處帶母

　子者各以母互徧乘八處所得畢二處各内本子上

　得五千七百六十三萬五千八百二十中得七千二

　百二萬九千八百九十五下得九千九百七十五萬

　二千一百九十仁得一千六百九十一萬一百九十

　義得一千三百九十七萬六千四十禮得一千二百

　七十六萬八千四百三十五智得一千四十五萬九

　千二百四十五信得一百八萬九百七十已上為三

　郷五縣變力率可約者復求等約之求得五故俱以

　五約之上得一千一百五十二萬七千一百六十四

　中得一千一百四十萬五千九百七十九下得一

　千九百九十五萬四百三十八仁得三十八萬二千

　五十八(按三十八/訛五十八)義得二百七十九萬五千二百八

　禮得二百五十五萬三千六百七十八智得二百九

　萬一千八百四十九信得二十一萬六千一百九十

　四已上並為定力副併八處定力得五千六百九十

　二萬二千五百七十七為法(按法多二十仁鄉/定力多二十故也)以合起

　一萬二千夫遍乘定力訖上得一千三百八十三億二

　千五百九十六萬八千為實中得一千七百二十八

　億七千一百四十七萬八千為中實下得二千三百

　九十四億五百二十五萬六千為下實(按/)得四百五

　億八千四百六十九萬六千(按多二十四萬定/力多二十故也)為仁

　實義得三百三十五億四千二百四十九萬六千為義

　寔禮得三百六億四千四百二十萬萬四千為禮寔

　智得三百五十一億二百一十八萬八千為智寔信

　得二十五億九千四百三十二萬八千為信寔已上

　八寔皆如前法而一餘分軰之各得夫數合

　　　均敷徑役

問軍戍差坐烽擺舖切慮差徑不均今諸軍共合差一

　千二百六十人契勘諸軍見管前軍六千一百七十

　人右軍四千九百三十六人中軍七千四百四人左

　軍三千七百二人後軍二千四六十八人各軍合差

　幾何

　　答曰前軍差三百一十五人　右軍差二百五十

　　　　二人　中軍差三百七十八人　　軍差一

　　　　百八十九人　後軍差一百二十六人

　術曰以均輸求之置各軍見管人騐可求約等以約

　之為衰副併為法以共合差數乘列衰各為寔寔如

　法而一各得

　草曰置諸軍見管求等得一千二百三十四俱以約

　見管前軍得五右軍得四中軍得六左軍得三後軍

　二列為各衰副併諸衰得二十為法以共差一千得

　二百六十人乘諸衰前軍得六千三百右軍得五千

　四十中軍得七千五百六十左軍得三千七百八十

　後軍得二千五百二十各為寔皆如法二十而一前

　軍合差三百一十五人右軍合差二百五十二人中

　軍合差三百七十二人左軍合差一百八十九人後

　軍合差一百二十六人

　數學九章卷八下