測圓海鏡分類釋術

欽定四庫全書

　測圓海鏡分類釋術卷六

　　　　　　　　　　　　元　李　冶　撰

　　　　　　　　　　　　明　顧應祥　釋術

勾與和測望一

甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東

　行三百二十步見之甲又斜行與相會計甲直行斜

　行共一千二百八十步問城徑

　釋曰此通勾與通股弦和測望乙東行通勾也甲直

　斜共行通股弦和也

　術曰勾自之得一十○萬二千四百　以和除之得

　八十為股弦較　以較減和半之為股　以勾股求

　容圓術求之得城徑

　又曰勾和各自乘相減為實倍和除之得股相併為

　實倍和除之得弦

　　邉勾以下俱以類推即是

乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云

　丙行多於乙步甲從乾隅東行三百二十步望乙丙

　與城相叅直計乙丙共行一百○二步問城徑

　釋曰此以通勾與明勾□股和測望甲東行通勾也

　乙出東門南行為□股丙出南門東行為明勾共計

　一百○二步明勾□股和也

　術曰倍共步乘東行筭得二千○八十八萬九千六

　百為立方實　共步乘東行加東行筭得一十三萬

　五千○四十為從方　東行為從亷　五分為隅算

　　作帶從負隅以亷減從開立方法除之得全徑

　　帶從負隅以亷減從半翻法開立方曰置所得實

　　以從方約之初商二百　置一於左上為法　置

　　一乘從亷得六萬四千以減從方存七萬一千○

　　四十為從　置一自之得四萬以隅算五分因之

　　得二萬為隅法　併從共九萬一千○四十為下

　　法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘

　　實二百六十八萬一千六百　從方内再減六萬

　　四千止餘七千○四十為從三因隅法得六萬為

　　方法　三因初商得六百為亷法　次商四十

　　置一於左次為上法　置一乘從亷得一萬二千

　　八百以減餘從不及減反減餘從七千○四十餘

　　五千七百六十為負從　置一乘亷法以隅因得

　　一萬二千　置一自之隅因得八百為隅法　併

　　方亷隅共七萬二千八百減去負從餘六萬七千

　　○四十為下法與上法相乘除實盡

　　法已見四卷通勾太虚弦條因以五分為隅故重

　　出

　又為帶從負隅以亷添積開立方法

　　法見四卷通勾虚弦條下

乙出東門東行丙出南門南行各不知步數而立甲從

　乾隅東行三百二十步望乙丙二人俱與城相參直

　計乙丙共行一百五十一步問城徑

　釋曰此以通勾與□勾明股和立法測望甲東行通

　勾乙東行□勾丙南行明股也

　術曰通勾自之得一十萬○二千四百半之得五萬

　一千二百又自之得二十六億二千一百四十四萬

　為三乘方實以三百六十二乘半通勾筭得一千八百

　五十三萬四千四百為從方　通勾乘和步得四萬

　八千三百二十為從一亷　五之通勾得一千六百

　為從二亷　二分五釐為常法作帶從方亷三乘方

　法開之得八十為小差小差者通股弦較也以減通

　勾即城徑

　　帶從方亷負隅單位開三乘方曰置所得三乘方

　　實以亷隅約之　商得八十置一於左上為法

　　置一乘從一亷得三百八十六萬五千六百置一

　　自之以乘從二亷得一千○二十四萬　置一自

　　乘再得五十一萬二千以二分五釐因之得一十

　　二萬八千為隅法　併從方一亷二亷隅法得三

　　千二百七十六萬八千為下法與上法相乘除實

　　盡

東門外徃南有樹乙出東門徃東不知步數而立甲出

　北門東行二百步斜望乙與樹正與城相叅直既而

　乙復折而斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共

　五十步

　釋曰此以底勾與□勾弦和立法測望甲出北門東

　行底勾也乙一直一斜□勾□弦也

　術曰底勾與和相減餘一百五十為差　差加底勾

　復以差乘之得數半之得二萬六千二百五十　差

　自之得二萬二千五百　二數相減餘三千七百

　五十為實　併勾和半之得一百二十五為法實如

　法而得一

南門外往東不知步數有樹乙出南門南行不知步數

　而立甲出北門東行二百步見樹與乙與城相叅直

　乙復斜行至樹下與甲相望計乙一直一斜共二百

　八十八步問城徑

　釋曰此以底勾與眀股弦和立法測望甲出北門東

　行底勾也乙出南門南行明股也斜行明弦也

　術曰勾和相減餘半之得四十四為半差　以減底

　勾餘一百五十六為汛率汎率自之又倍之得四萬

　八千六百七十二半差乘和步得一萬二千六百七

　十二　二數相減餘三萬六千為實　半底勾減和

　步得一百八十八　倍汎率得三百一十二　二數

　相併得五百為法實如法而一得明勾

勾與較測望二

甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東

　行三百二十步見之甲又斜行與乙相㑹計甲直行

　不及斜行八十步

　釋曰此以通勾與股弦較測望乙東行通勾也甲直

　行不及斜行股弦較也

　術曰較除勾筭得一千二百八十為股弦和減較半

　之為股加較半之為弦

　　邉勾以下俱即此類推

股與和測望三

甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙

　東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙直斜共

　行一千步問城徑

　釋曰此以通股勾弦和測望甲南行通股也乙直東

　行與斜行共勾弦和也

　術曰股自之得三十六萬　和除之得三百六十為

　勾弦較　減和半之為勾　加和半之為弦

　　邉股以下推此

甲從乾隅南行六百步而立乙出南門直行丙出東門

　直行三人相望俱與城相叅直計其行步則乙與丙

　共行一百五十一步

　釋曰此以通股□勾明股和立法測望甲行通股乙

　行眀股丙行□勾也共之和也

　術曰通股為筭半而自之得三百二十四億為三乘

　方實倍和加通股以乘半通股筭得一億六千二百

　三十六萬為從方　通股乘和步得九萬○六百為

　從一亷　通股加半股得九百為從二亷　二分五

　釐為隅算作帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三

　乘方法除之得三百六十為股圓差　以減通股即

　圓徑

　　帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方曰置

　　所得三乘方實以從方亷隅約之初商三百　置

　　一於左上為法　置一自之以乘二亷得八千一

　　百萬以減從方餘八千一百三十六萬　置一乘

　　從一亷得二千七百一十八萬　置一自乘再乘

　　　以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅

　　法　併從方從一亷隅法共一億一千五百二十

　　九萬為下法　與上法相乘除實三百四十五億

　　八千七百萬實不滿法反減實三百二十四億餘

　　二十一億八千七百萬為負積　四因隅法得二

　　千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得

　　一十三萬五千為上亷　初商四之隅因之得三

　　百為下亷　商次位得六十　置一於左次為上

　　法　倍初商加次商得六百六十以乘從二亷得

　　五十九萬四千又併初次商得三百六十因得二

　　億四千三百八十四萬以減餘從亦不及減反減

　　從八千一百三十六萬餘一億三千二百四十八

　　萬為負從　置一倍初商加次商得六百六十以

　　乘從一亷得五千九百七十九萬六千　置一乘

　　上亷得八百一十萬　置一自之以乘下亷得一

　　百○八萬　置一自乘再乘隅因之得五萬四千

　　為隅法　併方法從一亷上下亷隅法共九千六

　　百○三萬　以減負從餘三千六百四十五萬與

　　上次法除負積二十一億八千七百萬

　又為帶從方負隅以二亷添積開三乘方

　　其法曰初商三百　置一於左上為法　置一自

　　之以乘從二亷得八千一百萬與上法相乘得二

　　百四十三億為益實加入原實共五百六十七億為

　　實　置一乘從一亷得二千七百一十八萬為益

　　亷　置一自乘再乘得二千七百萬以隅算二分

　　五釐因之得六百七十五萬為隅法　併從方從

　　益亷隅法共一億九千六百二十九萬為下法與

　　上法相乘除實五百八十八億八千七百萬實不

　　滿法反除實五百六十七億餘二十一億八千七

　　百萬為負積　四因隅法得二千七百萬為方法

　　初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為

　　上亷　初商四之隅因得三百為下亷　次商六

　　十　置一於左次為上法　置一倍初商加次商

　　得六百六十又併初次商相因得三百六十得二

　　十三萬七千六百　又加初商自之九萬共三十

　　二萬七千六百以乘從二亷得二億九千四百八

　　十四萬與上次法六十相乘得一百七十六億九

　　千○四十萬減去負積存一百五十五億○三百

　　四十萬為實　倍初加次共六百六十以乘從一

　　亷得五千九百七十九萬六千為益從亷　置一

　　乘上亷得八百一十萬置一自之以乘下亷得

　　一百○八萬　置一自乘再乘隅因得五萬四千

　　為隅法　併方法益亷上下亷隅法共九千六百

　　○三萬　併從方共二億五千八百三十九萬為

　　下法與上法相乘除實盡

　　　右開三乘方内俱帶翻法后如此類者倣此

南門之東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而

　立甲出西門南行四百八十步望乙與樹俱與城相叅

　直乙復斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共二

　百八十八步問城徑

　釋曰此以邉股及明股弦和立法測望甲出西門南

　行邉股也乙出南門直行明股斜行至樹明弦也共

　步明股弦和也

　術曰股和相減餘一百九十二為差　加股復以差

　乘之折半得六萬四千五百一十二差自之得三萬

　六千八百六十四　二數相減餘二萬七千六百四

　十八為實　併股和半之得三百八十四為法　實

　如法而一得明勾七十二以明勾股求圎徑

東門外往南有樹乙出東門東行不知步數而立甲出

　西門南行四百八十步望樹與乙俱與城相叅直既

　而乙斜行至樹下與甲相望計乙直斜行共五十步

　釋曰此以邉股及□勾弦和立法測望甲出西門南

　行邉股也乙直行□勾斜行□弦也

　術曰股和相併半之得二百六十五為汛率以汎率

　減邉股餘二百一十五自之得四萬六千二百二十

　五　和步乘汎率得一萬三千二百五十半之得六

　千六百二十五　二數相減餘三萬九千六百為平

　實　以汎率減邉股六之得一千二百九十為從方

　　作帶從開平方法開之得□股三十

　　　𢃄從開平方法見一卷

股與較測望四

甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙

　東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙行直步

　不及斜三百六十步問城徑

　釋曰此以通股勾弦較測望甲南行通股也乙東行

　不及斜行勾弦較也

　術曰股自乘較除之得勾弦利減較半之為勾加較

　半之為弦

　　邉股以下推此

弦與和測望五

甲乙二人俱在城外西北乾隅乙向南行不知步數而

　立甲向東行亦不知步數望見之遂斜行六百八十

　步與乙㑹計甲之東與乙之南共九百二十步問城

　徑

　釋曰此以通弦與勾股和測望甲斜行與乙㑹弦也

　甲之東為勾乙之南為股共步和也

　術曰倍弦筭與和筭相減餘為實平方開之得勾股

　較減和半之為勾加和半之為股

　　邉弦以下推此

甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向

　南直行壬從北門穿城南行四人遙相望悉與城相

　叅直只云甲丙相望處斜量六百八十步庚壬穿城

　共行了六百三十一步問城徑

　釋曰此通弦與邉勾底股和立法測望甲丙相望通

　弦也庚從西門穿城東行邉勾也壬從北門穿城南

　行底股也共步和也

　術曰共步自之得三十九萬八千一百六十一為和

　筭共步減相望處步餘自之得二千四百○一為差

　筭　差筭減和筭餘三十九萬五千七百六十為平

　實　倍斜步加差四十九共一千四百○九為從

　作帶從開平方法除之得全徑

　　帶從開平方法見一卷

甲乙二人共立於城外東北艮隅乙南行過城門而立

　甲東行望乙與城相叅直而止丙丁二人共立於城

　外西南坤隅丁向東過城門而立丙向南行望丁及

　甲乙悉與城相叅直丙復斜行六百八十步與甲相

　㑹計乙之南與丁之東共三百四十二步問城徑

　釋曰此通弦與大差勾小差股和立法測望乙從艮

　隅而南過城門而立山之艮小差股也以甲東行為

　勾丁從坤隅東行過城門而立坤之月大差勾也以

　丙南行為股丙斜行與甲相會通弦也乙丁直行共

　步大差勾與小差股和也

　術曰斜步共步相乘倍之得四十六萬五千一百二

　十為實　斜步共步相減餘三百三十八為差　倍

　斜行加差共一千六百九十八為從　作帶從開平

　法除之得全徑

　　帶從開平方法見前

甲出東門東行乙出南門南行各不知步數相望與城

　相叅直甲復斜行二百八十九步與乙相㑹乙直行

　長甲直行短共計一百五十一步問城徑

　釋曰此以皇極弦□勾明股和立法測望甲東行為

　□勾乙南行為明股甲之斜行皇極弦也

　術曰斜行自之得八萬三千五百二十一為弦筭

　共步自之得二萬二千八百○一為和筭　和筭減

　弦筭餘六萬○七百二十為實　倍共步減斜行餘

　一十三步為從　作帶從開平方法除之得全徑

　　帶從開平方法見前

甲乙二人同出東門甲東行乙南行丙丁二人同出南

　門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望悉

　與城相叅直問其步數則曰甲丙共行了一百五十

　一步乙丁立處相距一百○二步問城徑

　釋曰此太虛弦與□勾明股和立法測望甲出東門直

　行為□勾而乙南行為股丙出南門南行為明股而

　丁東行為勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太

　虚弦也

　術曰共步相距步相減餘四十九為差　自之得二

　千四百○一為差筭　共步自之得二萬二千八百

　○一為和筭　差筭減和筭餘二萬○四百為實

　倍距步减差餘一百五十五為從　作以從減法開平

　方法除之得全徑

　　以從減法開平方法見前

　又為以從添積開平方

　　其法曰初商二百　置一於左上為法　置一乘

　　從得三萬一千為益積　添入原積共五萬一千

　　四百為實　置一為隅法與上法相乘除實四萬

　　　餘實一萬一千四百　倍隅法得四百為亷法

　　　次商四十　置一於左上為法　置一乘從方

　　得六千二百為益實　添入餘積共一萬七千六

　　百為實　置一併亷法共四百四十為下法與上

　　法相乘除實盡

　　後凡言以從添積開平方法俱倣此

岀南門向東有槐樹出東門向南有栁樹丙丁俱出南

　門丙直往南丁往東至槐樹下立甲乙俱出東門甲直

　往東乙往南至桞樹下立四人遙相望見各不知歩

　數只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十

　六步其甲丙立處相距二百八十九步問城徑

　釋曰此以皇極弦與明勾股和□勾股和立法測望

　槐在南門之東為南之月明勾也丁直行往南為日

　之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在東門

　之南為山之東□股也甲直行往東為東之川□勾

　也共行四十六步□勾股和也甲丙立處相距為日

　川皇極弦也

　術曰二和相減餘以減相距餘半之得六十四為平

　勾　以加二和相減為平股　相乘為實平方開之

　即半徑

　又曰二和相併以減相距餘半之得一十八為汎率

　　加明和為長加□和為廣長廣相乘得半徑筭

南門之東有槐東門之南有栁丙出南門直行丁出南

　門東至槐下甲出東門直行乙出東門南至栁下相

　望俱與城相叅直計丙南丁東共行二百○七步甲

　東乙南共行四十六步其二樹相距一百○二步問

　城徑

　釋曰此與前問同前以逺相距言此以近相距言近

　相距太虚弦也以太虚弦與明叀二和立法測望

　術曰叀和乘虚弦又自之得二千二百○一萬四千

　八百六十四為平實　併二和自之得六萬四千○

　○九為二和筭　□和自之得二千一百一十六為

　□和筭　明和自之得四萬二千八百四十九為明

　和筭　併明和筭叀和筭以減二和筭　餘一萬九

　千○四十四為益隅作負隅開平方法除之得叀弦

　倍弦筭與和筭相減開其餘得叀勾股較加和半之

　為股減和半之為勾

　　負隅開平方曰置所得平實以益隅約之初商三

　　十　置一於左上為法　置一乘益隅得五十七

　　萬一千三百二十為下法與上法相乘除實一千

　　七百一十三萬九千六百　餘實四百八十七萬

　　五千二百六十四　倍下法得一百一十四萬二

　　千六百四十為亷法　約次商得四　置一於左

　　上為法　置一乘益隅得七萬六千一百七十六

　　　併入亷法共一百二十一萬八千八百一十六

　　為下法與上法相乘除實盡

　　此法已見一卷底勾弦條下因隅算多故重出

　又曰隅算除平實即得叀弦筭

　又曰明和乘虚弦又自之得四億四千五百八十○

　萬○○九百九十六為平實　如前法為負隅平

　方開之得明弦　若以益隅除平實徑得明弦筭

　又術虚弦自之得一萬○四百○四為虚弦筭　以

　叀和乘之得四十七萬八千五百八十四為平實

　倍明和得四百一十四為益隅開之得叀弦　若以

　益隅除平實徑得叀弦筭

　虚弦自之以明和乘之得二百一十五萬三千六百

　二十八為平實　倍叀和為益隅開之得明弦　若

　以益隅除平實徑得明弦筭

　　三位負隅開平方曰置平實四億四千五百八十

　　○萬○九百九十六于左　以益隅一萬九千○

　　四十四約之　初商一百置一於左上為法　置

　　一於右下乘益隅得一百九十○萬四千四百為

　　下法與上法相乘除實一億九千○四十四萬

　　餘實二億五千五百三十六萬○九百九十六

　　倍下法得三百八十○萬八千八百為亷法　次

　　商五十　置一於左上為法　置一乘益隅得九

　　十五萬二千二百為隅法　併亷法共四百七十

　　六萬一千為下法　與上次相乘除實二億三千

　　八百○五萬　餘實一千七百三十一萬○九百

　　九十六　倍隅法得一百九十○萬四千四百

　　併入亷法共五百七十一萬三千二百為亷法

　　約三商得三　置一於左為法　置一右下乘益

　　隅得五萬七千一百三十二為隅法　併入亷法

　　共五百七十七萬○三百三十二為下法與上法

　　相乘除實盡

弦與較測望六

甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲東行各不

　知步數隔城相望既而甲斜行六百八十步與丙相

　㑹問其東行步數則曰我少於丙南行二百八十步

　問城徑

　釋曰此通弦與通勾股較立法測望甲東行為勾丙

　南行為股甲少於丙步數勾股較也斜行弦也

　術曰弦自乘倍之得九十二萬四千八百較自乘得

　七萬八千四百相減餘八十四萬六千四百為實

　平方開之得勾股和九百二十加較半之為股减較

　半之為勾

　又曰弦較相減得四百為弦較較　相併得九百六

　十為弦較和　弦較較弦較和相乘得三十八萬四

　千為實　倍較得五百六十為從　二為隅筭　作

　以從減法負隅開平方法除之得通股　作帶從負

　隅開平方法除之得通勾

　　帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條

　　帶從負隅以從減隅開平方法見四卷大差勾黄

　　長弦條下

　又為以從添積負隅開平方

　　以六百乘從益實倍六百得一千二百為法即是

　　邉弦以下類推

乙出東門南行不知步數而立甲出西門直徃南行回

　望乙與城相叅直又斜行五百一十步與乙相㑹問

　乙行步則曰少於城徑二百一十步不知城徑㡬何

　釋曰此黄廣弦與叀股黄廣勾較立法測望乙出東

　門南行為叀股城徑即黄廣勾少於城徑即叀股黄

　廣勾較也斜行黄廣弦也

　術曰較自之得四萬四千一百為較筭以為實　斜

　歩四之減二較餘一千六百二十為從　五為隅算

　作負隅減從開平方法除之得叀股三十加較為黄

　廣勾即城徑

　　負隅減從開平方法見二卷通勾叀勾條

乙出南門東行不知步數而立甲出北門直徃東行望

　乙與城相叅直又斜行二百七十二歩與乙相㑹問

　乙東行步則曰少於城徑一百六十八步不知城徑

　㡬何

　釋曰此黄長弦與明勾黄長股較立法測望乙出南

　門東行為明勾城徑即黄長股少於城徑即明勾黄

　長股較也斜行黄長弦也

　術曰較自之得二萬八千二百二十四為實四斜行

　減二較餘七百五十二為從方五為隅算作負隅減

　從開平方法除之得明勾七十二加較為黄長股即

　城徑

　　負隅減從開平方法見二卷

　測圓海鏡分類釋術卷六