同文算指

　　欽定四庫全書

　　同文算指通編卷二

　　明　李之藻　撰

　　合數差分法第四上

　　總數一也而分之糅襍不齊者亦以準測齊之大抵以

總數為第一率以總數所得為第二率(如以母得子或以銀得年月之類)

分布而各為之宗為第三率若三率不盡者亦用重準

之法測之

　　問四商共販得子銀六千兩而各出母銀不同甲母六

十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人該分子銀

若干先以四人共母為第一率以所獲共子為第二率

分置四母各一宗為第三率以第二遞乗第三以一率

除

　　一　四百八十

　　二　六千

　　三　六十(甲)　　一百(乙)　　一百二十(丙)　二百(丁)

　　四　七百五十　一千二百五十　一千五百　　二千五百

　　問三商置貨同舟甲貨值三百兩乙貨值五百兩丙貨

值一百八十兩遭風共棄貨値四百兩各照原值攤認

法併三人值為第一率以所棄值為第二率分三人貨

值為第三率疊以三率法乗除

　　一　九百八十

　　二　四百

　　三　三百(甲)　　　　五百(乙)　　　　一百八十(丙)

　　四　一百二十二兩又九百　二百四兩又九百　七十三兩又九百八

　　八十分兩之四百四十　八十分兩之八十　十分兩之四百六十

　　問三人共買貨四千斤值銀五百兩甲取一千三百斤

乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各該認

價若干此以總貨為第一率以總價為第二率以各人

所取數分三宗為第三率

　　一　四千斤

　　二　五百兩

　　三　一千三百(甲)　　一千四百六十(乙)一千二百四十(丙)

　　四　一百六十二兩又二(分兩之一)　一百八十二兩又二(分兩之一)一百五十五兩

　　問三商共得子銀一千兩所出母銀多寡不一先後亦

不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇

月丙母五百兩滿十箇月此子銀一千者每人應分若

干其法以各母乗各月(以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一

十乗五百得五千共九千三百)總彚之為第一率以所獲總子為第二

率以各母及月分所乗出三宗為第三率

　　一　九千三百

　　二　一千

　　三　一千六百(甲)　　二千七百(乙)　　五千(丙)

　　四　一百七十二兩又　　二百九十兩又九　　　五百三十七兩又九

　　九十三分兩之四　　十三分兩之三十　　　十三分兩之五十九

　　問三商共販得子銀一千兩甲母三百兩十箇月乙母

七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得分五百

兩乙得三百兩丙得二百兩要知丙丁二人出過母銀

幾月其法先取甲之知母知子知月者為算以所分五

百為第一率以一十月乗三百兩為第二率(共三千)已知

甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一

宗為第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙

丙母銀乗月之數次乃各以其母除之仍得月數此于

四率外加一率兼重準測法云

　　一　五百(甲之子)

　　二　三千(甲月與母乗)

　　三　三百(乙之子以乗三千得九十萬以五百除)二百(丙之子以乗三千得六十萬以五百除)

　　四　一千八百(此兼乙母　乗乙月之数)一千二百(此兼丙母乗丙月之數)

　　二月又七分月之四(以乙母七百除得乙月)一月又二分月之一(以丙母八百除得丙月)

　　問四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八

月先取出一千兩至滿十九箇月又加一千二百兩乙

原母二千四百兩至滿六箇月取出八百兩至滿十五

箇月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收囘

至滿一十七箇月别出母一千六百兩丁初不出母六

箇月後方出一千八百兩又過四箇月取出九百兩至

滿十六箇月又増入一千五百兩此四人者於所𫉬息

一萬兩内計母計月各該分若干其法以四母各乗其

月甲作三段乗(三千兩乗八箇月得二萬四千數八月之後取去一千只存二千至十九月滿

共十一箇月以十一乗二千得二萬二千數其十九月之後又加一千二百共三千二百自第二十箇月起到

底計五月以五乗三千二百得一萬六千共得六萬二千)乙作三段乗(二千四百兩乗六箇月得

一萬四千四百兩此後除去八百兩只存一千六百兩至滿十五月實九箇月以九乗一千六百得一萬四千

四百兩其十五箇月之後又加入一千四百兩共本銀三千兩到底計九箇月以九乗三千得二萬七千共得

五萬五千八百數)丙作二段乘(二千兩乗七箇月得一萬四百兩自滿十七箇月以後出本至

二年止共七箇月以七乘一千六百得一萬一千二百共得二萬五千二百數)丁作三段乘(自六

箇月以後出本一千八百兩滿四箇月以四乘一千八百得七千二百此後取去九百實在九百至第十六箇

月滿計六箇月以六乘九百得五千四百此後又出本一千五百共二千四百到底計八箇月以八乘二千四

百得一萬九千二百共得三萬一千八百數)四人共計一十七萬四千八百

為第一率以所𫉬息為第二率分各母乘月數為四宗

作第三率

　　一　一十七萬四千八百

　　問三商同夥甲母四百兩乙三百兩八錢六分丙一千

兩零七錢九分三商共折銀一百兩各認若干此皆化

兩為分(甲四萬乙三萬八十六丙十萬七十九)併三人總分數為第一率

以所折為第二率分各母數三宗為第三率

　　一　一十七萬一百六十五

　　二　一萬

　　三　四萬(甲)　　　　　三萬八十六(乙)　　十萬七十九(丙)

　　四　(二千三百五十又　一千七百六十八　五千八百八十一十七萬一百六十　又十七萬一百六　又十七萬一百六)

　　(五之十一萬二千　十五之八千二　　十五之四萬九千二百五十　　　　百八十　　　　　六百三十五)

　　問三商甲出母銀二百兩經十二月乙出母銀二百四

十兩不知月丙出金若干不出銀經十箇月共得子銀

一百三十八兩甲分六十乙得四十八丙得三十今問

乙該幾箇月丙之金值幾何此以甲銀乘甲月(共二千四百)

而知子銀六十出自二千四百也以六十為第一率以

二千四百為第二率以乙丙各子為第三率二三相乘

各以一除之其所得數(乙一千九)兼乙丙之母與月皆在其

中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除

丙之四率而知丙之母金值銀一百二十兩

　　一　六十

　　二　二千四百(以上俱甲)

　　三　四十八(乙)　　　　　　三十(丙)

　　四　一千九百二十　　　　一千二百

　　八月(以本銀除之得此數)一百二十兩(以月分除得此數)

　　問三賈共販一年甲先出母銀一千兩乙母後二箇月

方出丙母後四箇月方出俱不知其數幾何但所得子

銀則均分要知乙丙各母之數此以所已知甲母甲月

相乗為第一率乙丙準此為算而各以其月除之(乙十月丙

八月)即各得其母之數

　　一　一萬二千(甲母乗月)

　　二　一千二百(乙母)　　　　一千五百(丙母)

　　右試法合三總數為三萬六千作第一率隨意立一數

為子數作第二率又以總數分為三宗(各萬二千)作第三率

而各以第一率除之甲乙丙所得皆同

　　一　三萬六千

　　二　九百　　(随意立此數)

　　三　一萬二千

　　四　三百

　　問三商共得子銀一百九十兩其分息則乙比甲僅三

之一丙比甲僅四之一其母銀則甲出八十兩十二箇

月乙不知幾何但知八箇月丙亦不知幾何但知四箇

月要知三人各息若干丙丁各母若干此須再用重準

測法求之先以甲母及月相乘(九百六十)為第一率以其三

之一(乙三百二十)四之一(丙二百四十)兼各母與月者為第二率

既得母月兼數即以乙丙各月除之知各母數然後可

以察其分息之數矣另併三人所乗母數月數為第一

率以總子為第二率分甲乙丙母所乗得為第三率二

三相乗以一除之各得第四率為所分子銀數

　　一　九百六十(甲母乗甲月)

　　二　三百二十(乙得甲三之一)二百四十(丙得甲四之一)

　　三　四十兩　(乙以八除得此)六十兩　(丙以四除得此)

　　右已知乙丙之母銀再測如左

　　一　一千五百二十(甲九百六十乙三百二十丙二百四十併此數)

　　二　一百九十

　　三　九百六十(甲)　　三百二十(乙)　　二百四十(丙)

　　四　一百二十　　　四十　　　　　三十

　　問三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩照母

分之甲得一百二十兩乙得四十兩則丙所得若干又

甲乙丙各母若干法就總子銀内減去甲乙所得子剩

三十為丙之子仍以總子為第一率以共母為第二率

以各分子銀三宗為第三率二三相乗以一除之得第

四率為各母

　　一　一百九十

　　二　一千五百二十

　　三　一百二十(甲之子)四十(乙之子)　三十(丙之子)

　　四　九百六十(甲之母)三百二十(乙之母)二百四十(丙之母)

　　問三商總母一千五百二十兩總得子一千七百十兩

子母共分甲分一千八十兩乙分三百六十兩丙分二

百七十兩則每人各母若干其法併三人子數為第一

率母為第二率以各人所分得三宗為第三率依準測

法得四率為各母數就各以四率之數減其第三率之

數餘者為各子數

　　一　一千七百一十

　　二　一千五百二十

　　三　一千八十(甲)　三百六十(乙)　二百七十(丙)

　　四　九百六十　　三百二十　　二百四十

　　問二商共得子銀二百兩甲分五十兩乙分一百五十

兩其母則乙多甲一倍又零八兩二人各出母幾何其

法置甲五十乙倍之該得一百今分一百五十則知已

贏母八兩故於一百數外多獲五十也依法列三率知

五十之出于八則知一百五十之出於二十四矣

　　一　五十

　　二　八

　　三　五十(甲)　　　一百五十(乙)

　　四　八　　　　　二十四

　　問二商共貿甲母一百二十兩乙母一百八十兩共一

牙儈每子銀一百兩與牙銀十兩後得子銀一千兩各

該分幾何其法于一千内除去牙銀一百兩以實在子

銀九百兩為算乃併甲乙母為第一率實在子銀為第

二率分甲乙母二宗為第三率

　　一　三百

　　二　九百

　　三　一百二十(甲母)　　　一百八十(乙母)

　　四　三百六十　　　　　五百四十

　　問三商共得子銀一千五百二十兩其母銀則甲出一

千八十兩乙出三百六十兩丙不知所出幾何只言分

得子銀二百四十兩今欲知丙母幾何甲乙所得子幾

何其法先就總子數内減去丙子一千二百八十為甲

乙共得子數乃倂甲乙母為第一率以甲乙共子為第

二率分甲乙二母數為第三率法得第四率為甲乙子

數

　　一　一千四百四十(併甲乙母)

　　二　一千二百八十(併甲乙子)

　　三　一千八十　　(甲母)　　三百六十(乙母)

　　四　九百六十　　(甲子)　　三百二十(乙子)

　　已知甲乙子母之數即可因丙子以求丙母乃併甲乙

子為一率併甲乙母為二率丙子為三率

　　一　一千二百八十(倂甲乙子)

　　二　一千四百四十(併甲乙母)

　　三　二百四十(丙子)

　　四　二百七十(丙母)

　　問三商母銀各等一年内共得子銀一千兩但甲母閲

七月乙母閲六月丙母則滿一年各該分子銀若干其

法積甲乙丙總月為第一率以總子為第二率列三人

各月數為第三率

　　一　二十五月(併甲乙丙)

　　二　一千兩

　　三　七(甲)　　　　六(乙)　　　　十二(丙)

　　四　二百八十兩　二百四十兩　四百八十兩

　　問織絹每疋用絲一斤工價即與絲四兩今有絲四十

三斤一十二兩其織絲工絲各若干法當化斤為兩然

後歸兩作斤併工絲絹絲共二十兩置首率總絲為七

百兩置次率列工絲絹絲置第三率依法乗除

　　一　二十兩

　　二　七百兩

　　三　四兩(工價)　　　　　　　一十六兩(織絹)

　　四　一百四十兩(歸之乃八斤一十二兩)五百六十兩(歸之為三十五斤)

　　問甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五

十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝各役幾時此

併三人田(共八百畝)置首率以一年為三百六十日置次率

列三人田數置第三率

　　一　八百畝

　　二　三百六十日

　　三　三百五十畝(甲)　二百八十畝(乙)　一百七十畝(丙)

　　四　一百五十七日半　一百二十六日　七十六日半

問派糧八百四十石四縣照田地多寡納之甲田三千

六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五

百七十七畝丁田四千三百二十二畝各納若干亦併

總畝置首率總糧置次率列四縣各田數置第三率

　　一　一萬四千畝

　　二　八百四十石

　　三　三千六(百三十五畝甲)　二千四(百六十六畝乙)　三千五(百七十七畝丙)　四千三(百二十二畝丁)

　　四　二百一十　一百四十七　二百一十四　二百五十九

　　八石一斗　石九斗六升　石六斗二斗　石三斗二升

　　問五縣輸榖二萬石照依人户多少道里逺近價值上

下而均輸之毎車載二十五石行一里僦值一錢甲縣

二萬零五百二十户榖石價二兩乙縣一萬二千三百

十二户榖石價一兩逺輸二百里丙縣七千一百八十

二户榖石價一兩二錢逺輸一百五十里丁縣一萬三

千三百三十八户榖石價一兩七錢逺輸二百五十里

戊縣五千一百三十户榖石價一兩三錢逺輸一百五

十里各該若干先求各衰(惟甲縣自輸本縣無僦里以榖價二兩為法除甲户得一

千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乗所輸里數而以每車二十五石除之得各運價以乘各户

而求各衰乙縣行道二百里乘除之得八錢倂榖價一兩八錢以除乙户得六百八十四衰丙縣行一百五十

里乗除得六錢併價共一兩八錢除丙户得三百九十九衰丁縣行二百五十里乗除得一兩併價共二兩七

錢除户得四百九十四衰戊縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩九錢除户得二百七十衰)併五

衰(共二千八百七十三)為首率以總榖為次率列各衰為三率

　　一　二千八百七十三

　　二　二萬石

　　三　一千二百六(甲)六百八十四(乙)三百九十九(丙)四百九十四(丁)二百七十(戊)

　　四　(七千一百　四千七百　二千七百　三千四百　一千八百四十二石　六十一石　七十七石　三十八石　七十九石

　　三斗五升　五斗七升　五斗八升　九斗一升　五斗六升九合九勺　三合二勺　四合四勺　四合零勺　八合三勺)

　　　僦價無　二十兩　一十五兩　二十五兩　一十五兩

　　問有田一萬八千八十八畝三子遞分伯比仲多一倍

仲又比季多一倍各該若干此倍増倍減法也以一二

四為衰分(季一仲二伯四)合總為第一率田數為第二率分各

衰為三率

　　一　七

　　二　一萬八千八十八畝

　　三　四(伯)　　　　二(仲)　　　　一(季)

　　四　一萬三百三十六　五千一百六十八　二千五百八十四

　　問有銀九十二兩四子挨次遞分各幾何併各衰(伯四仲三

叔二季一共得一十)為首率銀數為二率各衰為三率

　　一　一十

　　二　九十二

　　三　一(季)　　二(叔)　　　三(仲)　　　四(伯)

　　四　九兩二錢(季)一十八兩四錢(叔)二十七兩六錢(仲)三十六兩八錢(伯)

　　問官銀一千一百零七兩令五等户減半出辦甲户一

十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十

二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户數併(甲衰乘得

二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰併得七百三)為首

率總銀為次率列各衰為三率推得各等共數再以各

户除之得各户數

　　一　七百三十八

　　二　一千一百零七兩

　　三　二百五十六(十)二百(八)一百四十二(甲)九十六(乙)　六十二(丙)

　　四　三百八十四兩　三百兩一百八十六兩　一百四十四兩　九十三兩

　　二十四兩　一十二兩六兩　　三兩　　一兩五錢

　　問用金八十一兩造杯一套五箇毎杯重若干此挨次

衰分併各衰(五四三二一共一十五)為首率總金為次率列各衰

為三率

　　一　一十五

　　二　八十一兩

　　三　五　　　四　　　三　　二　　　一

　　四　二十七兩　二十一兩(六錢)一十六兩(二錢)一十兩八錢五兩四錢

　　問派糧一千一百三十四石令五等户挨次上納甲户

二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六

十各等各户各若干法亦以各等户數乗各衰併為首

率糧數為次率分各衰列三率推得各等人户所納再

以户數乗之得各等共數

　　一　五百四十

　　二　一千一百三十四石

　　三　一(戊)　　二(丁)　　三(丙)　　四(乙)　　五(甲)

　　四　二石一斗　四石二斗　六石三斗　八石四斗十一石五斗

　　一百(二十六石)二百(一十四石二斗)二百(六十四石六斗)　二百(七十七石二斗)二百五十二石

　　問𣲖糧三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六辦

納甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四

六衰者就身六乗四除(首位四以六乗得二十四即以四除得六後多數倣此)此

先以六乗甲户四乘乙户(六乗二十六得一百五十六數四乗四十得一百六十數)

併為首率總糧為次率列各衰(十六下四)為三率推得每户

應納之數再以甲乙各户數乗之得各共數(若先以總衰除總糧

得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同)

　　一　三百一十六

　　二　三百八十五石五斗二升

　　三　六(上)　　　　　　　　四(下)

　　四　七石三斗二升(甲一户)　四石八斗八升(乙一户)

　　　一百九十石三斗二升　一百九十五石二斗

　　問徴銀一千七百一十六兩以四等人作四六派出各

該若干法併各衰(丁四丙六乙九甲一十三零二之一)為首

率銀數為次率列各衰為三率求得各衰數(此四六衰是一倍有半加之若先以總衰除總

銀得五十二兩八錢後以各衰乗之亦同)

　　一　三十二又二之一

　　二　一千七百一十六兩

　　三　四(丁)　　　六(丙)　　　九(乙)　　　一十三又二之一(甲)

　　四　二百一十(一兩二錢)三百一十(六兩八錢)四百七十(五兩二錢)七百一十(二兩八錢)

　　問徴糧一千二百六十六石令五等人作四六納之各

該若干法併各衰(戊四丁六丙九　乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六)

為首率(其甲與乙須用竒零併子母法併之増至多等皆然)總糧數為次率列各

衰為三率測得各衰數(若先以總衰除總糧得二十四石後以各衰數乗之亦同)

　　一　五十二又八之六

　　二　一千二百六十六石

　　三　四(戊)　　六(丁)　　九(丙)　　一十三(又二之一　乙)二十(又四之一　甲)

　　四　九十六石　一百(四十四石)二百(一十六石)三百(二十四石)四百(八十六石)

　　問派糧二百六十一石令三等户三七出辦甲户二十

一乙户三十二丙户四十三各等幾何每户幾何凡求

三七衰分者用三除七乘遞求若零分多者就首衰之

數以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者

首位三就以三因得九為首衰四位者首位三以三因

得九又三因得二十七為首衰如五位者又以二十七

三因得八十一為首衰凡此皆以省零分也此問法以

各等乗各衰併之(甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一

得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十)為首率以總糧為

次率列各衰為三衰推得第四率是各户應出之數再

以數乘之得各等共數

　　一　二千○八十八

　　二　二百六十一石

　　三　四十九(甲)　　二十一(乙)　　　九(丙)

　　四　六石一斗二升五合二石六斗二升五合

　　　一石一斗二升五合一石二十八石(六斗二升五合)　八十四石　　　四十(八石三斗七升五合)

　　問制錢三萬八千二百八十文四人作三七分之各若

干法先併各衰(丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十)為首

率以總銀為次率列各衰為三率推得四率

　　一　五百八十

　　二　三萬八千二百八十文

　　三　二十七(丁)　六十三(丙)　　一百四十七(乙)　三百四十三(甲)

　　四　一千(七百八十二文)四千(一百五十八文)九千七百二文　二萬(二千六百三十八文)

　　問派銀八百二十八兩二錢令五人三七納之每人應

若干先倂各衰(戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一

共四千一百四十一)為首率以總銀為次率列各衰為三率

　　一　四千一百四十一

　　二　八百二十八兩二錢

　　三　二千四(百○一甲)一千○(二十　九　乙)四百(四十　一　丙)一百(八十　九　丁)八十一(戊)

　　四　四百八(十兩二錢)二百○(五兩八錢)八十(八兩二錢)三十(七兩八錢)一十(六兩二錢)

　　問官銀二千六百三十五兩令四等人二八出之各若

干凡求二八衰分者用四乘之遞求次衰比問法先併

各衰(丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十)為首率總銀為次率列

各衰為三率得各銀數(此二八衰分是四倍加之若先以總衰除總銀得一十五兩五

錢後以各衰乗之亦同)

　　一　一百七十

　　二　二千六百三十五兩

　　三　二(丁)　　　八(丙)　　　三十二(乙)　一百二十八(甲)

　　四　三十一兩(丁)一百二十四兩(丙)四百九十六兩(乙)一千(九百八十四兩　甲)

　　問𣲖糧二千六百五十五石九斗令五等户二八辦納

甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各

等每户該若干法置五等衰以各户數乗之併(甲三十户乗衰

五百一十二得一萬五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得

一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十併共二萬二千七百)為首率

總糧為次率列各衰為三率推得四率是各等每户納

數再以各等户數乗之得各等共糧數(若先以併衰除總糧得一斗一

升七合為最下衰然後以各衰乘之亦同)

　　一　二萬二千七百

　　二　二千五百六十五石

　　三　五百一十二(甲)一百二十八(乙)三十二(丙)八(丁)　　二(戊)

　　四　(五十九石九斗一十四石九　三石七斗　九斗三　二斗三○四合　　　斗七升六合　四升四合　升六合　升四合)

　　以上四六三七二八俱増衰法

　　問官絹四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户辦

納以一十分之六遞減其上等計二十五户中等三十

户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等

户乘併之(上等户數乗一百衰得二千五百中等户數乘六十衰得一千八百下等户數乗三十六

衰得一千七百二十八共六千零二十八)為首率以總絹為次率列各衰為

三率推得第四率為各等一户所出數再以各户數乗

之得各等數

　　一　六千零二十八

　　二　四百七十丈一尺八寸四分

　　三　一百　　　　　　六十　　　　　　　三十六

　　四　七丈八尺(上等户)四丈六尺八寸(中等户)二丈八尺八分(下等户)

　　一百九十五丈　一百四十丈四寸　　(一百三十四丈七尺八寸四分)

　　問官糧一百六十八石四斗八升八合令四等户辦納

遞減十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二

丁户四十八每等每户各幾何立各衰以各户數乘併

(甲户數乘一千衰得二萬二千乙户數乘七百衰得二萬五千二百丙户數乗四百九十衰得二萬五百八十

丁户數乘三百四十三得一萬六千四百六十四通共八萬四千二百四十四)為首率總糧為

次率列各衰為三率推得第四率各等一户所出數再

以户數乘之得各等數

　　一　八萬四千二百四十四

　　二　一百六十八石四斗八升四合

　　三　一千　　七百　　　四百九十　三百四十三

　　四　二石(甲)　一石四斗(乙)九斗八升(丙)六斗八升六合(丁)

　　四十四石　五十(石零　四十一石　三十二石九四斗　一斗六升　斗二升八合)

　　右併衰係減衰法凡十之五十之九之類倣此

　　問榖二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊

三人數等各幾何此遞差偏多偏寡法先併各衰為二

宗較之用餘數増入各衰併甲乙二衰(甲五乙四)得九又併

丙丁戊三衰(丙三丁二戊一)得六以減九餘三却于五等衰各

増三數(甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十)併之為首率總米為次

率推得第四率遞差八石其甲乙二人所分得數與丙

丁戊三人正相當(此是以八遞加)

　　一　三十

　　二　二百四十石

　　三　四(戊)　　五(丁)　　六(丙)　　七(乙)　　八(甲)

　　四　三十二石　四十石　四十八石　五十六石　六十四石

　　右増衰凡増衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲數

與乙丙數同者七人分要甲乙丙數與戊己庚辛數

同之類

　　問四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加(如乙五則丙九

丙七則丁十一丁九則甲十三是也係衰分遞加)但知甲原母二百八十六兩

餘遞減各該若干須知十三之於九與二百八十六之

於某數相同按衰母遞測之由甲母以推丁母由丁推

丙由丙推乙法以甲衰十三為第一率甲母二百八十

六為第二率以丁衰九為第三率依準測法得丁母數

餘倣此

　　以甲知丁　　　　以丁知丙　　　以丙知乙

　　一　十三(甲衰)　　　　十一(丁衰)　　　九(丙衰)

　　二　二百八十六(甲母)一百九十八(丁母)一百二十六(丙母)

　　三　九(丁衰)　　　　七(丙衰)　　　　五(乙衰)

　　四　一百九十八(丁之母)一百二十六(丙之母)七十(乙母)

　　右法已知各母再欲知其應分子銀以四遞加之數則

併甲乙丙丁母為第一率總子為第二率分四母為第

三率

　　一　六百八十(倂母)

　　二　三百四十(總子)

　　三　二百八十六(甲)七十(乙)　一百二十六(丙)一百九十八(丁)

　　四　一百四十三　　三十五　　六十三　　九十九

　　問三商共銀七百六十兩分之則甲得十分乙得七分

丙得二分各若干其法併甲乙丙衰為第一率以銀數

為第三率

　　一　一十九(甲一十乙七丙二共此數)

　　二　七百六十

　　三　一十(甲)　　　　　七(乙)　　　　　二(丙)

　　四　四百　　　　　　二百八十　　　八十

　　問應徴糧七十三石二斗派令三等人户照分攤出上

等二十五户每户作五分辦中等四十户每户三分辦

下等六十户每户一分辦各户若干各等共若干法以

各分各户相乗倂之(以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十

無乗共三百零五)為一率以總粮為二率以各衰(五三一)為三率

推得三等户所應出分數再以各户數乗之得各等共

數

　　一　三百零五

　　二　七十三石二斗

　　三　五　　　　　　　三　　　　　　一

　　四　一石二斗　　　　七斗二升　　　二斗四升

　　三十石(上)　　　二十八石八斗(中)一十四石四斗(下)

　　問硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢今有銀一

千二百兩議買硃青二色硃數比青増一倍各斤數與

價若干法因硃砂加倍即倍其價(三兩六錢)為七兩二錢倂

青價(二兩四錢)共九兩六錢為一率以總銀為二率以各價

為三率推得斤數為四率再各以價乘之

　　一　九兩六錢

　　二　一千二百兩

　　三　三兩六錢　　　　　　　二兩四錢

　　四　二百五十斤價九百兩　　一百二十五斤價三百兩

問綾毎尺價銀九分二釐羅毎尺八分五釐絹每尺三

分六釐今有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一

停羅二停絹三停各實數與價若干法用二乘羅價(一錢

七分)三乘絹價(一錢八釐)併綾價共三錢七分為一率總銀為

二率各價為三率得四率為各實數各以原價乘之

　　一　三錢七分

　　二　一百二十一兩一錢七分五釐

　　三　九分二釐　　　　八分五釐　　　　三分六釐

　　四　三十二丈七(尺五寸綾)六十五丈五尺(羅)九十八丈二(尺五寸絹)

　　三十兩一錢三分　五十五兩六錢(七分五釐)三十五兩(三錢七分)

　　問芝蔴每三斗換米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝

蔴四百五十石換米豆共九百一十石各用芝蔴若干

所換米豆各若干法用重準先併米五豆七共一十二

為首率以芝蔴總數為二率分列米五豆七為三率求

得芝蔴合換米　各數以為重準之第三率以米　共

數為二率芝蔴總數為首率求得米　各數

　　一　一十二　　　　　　　　　四百五十石

　　二　四百五十石　　　　　　　五　　　　　　七

　　三　五　　　　七　　　一百　(八十七石五斗)二百　(六十二石五斗)

　　四　一百八十七(石五斗以換米)二百六十二(石五斗以換豆)二百九十(七石五斗)六百一十(二石五斗)

　　問銀一千零八兩買絲三停綿二停綫一停共三百六

十兩其價綫一兩抵綿一兩六錢抵絲二兩欲知三色

併價各若干者併各衰(絲三綿二綫一共六)置第一數以總銀為

第二率分各衰列第三率推得第四率是各色數乃照

前價取絲(一百八十兩)以二十除之得九十衰取綿(一百二十兩)

以一十六除之得七十五衰併綫六十衰共二百二十

五為法除總銀得綫價以一十六除綫價得綿價以二

十除綫價得絲價

　　一　六

　　二　三百六十兩

　　三　三(絲)　　　　　二(綿)　　　　　一(綫)

　　四　一百八十兩　　一百二十兩　　六十兩

　　二兩二錢四分(絲價)二兩八錢(綿價)　四兩四錢八分(綫價)

　　問氷片毎兩價二兩七錢五分沉香每兩價銀三錢五

分竒南每兩價銀八錢有人以沉香一十七斤三兩又

有人以竒南一十三斤十二兩各欲換氷片若干法置

氷片價為首率化沉香竒南斤數為兩置次率各價為

三率

　　一　二兩七錢五分

　　二　二百七十五兩　　　　二百二十兩

　　三　三錢五分　　　　　　八錢

　　四　三十五兩(沉香所換)　　六十四兩(竒南所換)

　　問養軍二萬五千二百名月糧米麥豆兼支米每四名

支三石麥每九名支五石豆每七名支八石各幾何即

以七九四各列第一率以軍總數為二率以八五三列

三率

　　一　七　　　　　　九　　　　　四

　　二　二萬五千二百名

　　三　八(豆)　　　　　五(麥)　　　　三(米)

　　四　二萬八千八百石　一萬四千石　一萬八千八百石

　　問刻漏一壺貯水令漏開三孔其一孔最大漏水二時

而盡一孔次之三時而盡一孔最細六時而盡假如三

孔俱洩則幾刻水盡其法先以三孔與時刻相較以各

時為第一率以一壺為二率以最小時為第三率要見

大孔二時漏盡一壺則六時漏盡三壺其餘倣此而推

　　一　二時(大)　　　　三時(次)　　　　六時(小)

　　二　一壺

　　三　六時

　　四　三壺　　　　　二壺　　　　　一壺

　　又法總而計之凡六時漏盡六壺知三孔俱開則其水

一時漏盡只以分數算之

　　一　二時　　　　　三時　　　　　六時

　　二　一壺

　　三　一時

　　四　二分水之一　　三之一　　六之一(積之共一壺即是一時盡一壺也)

　　右三數偶滿一時其法易算若併有竒零者另法求

之假如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八

年方完今三人同纍須幾時可完此先知每人每年

所為之工得若干而總算之六年者每年得六分之

一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得

十八分之一依併法毎年共得三分之一約計三年

通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成

六分之一共足十分之數

　　問漏壺一座上有渇烏注水下有天池洩水今塞其下

竅注水于壺四時而水滿開其下竅洩水壺外六時而

洩盡若使上注下洩相併則此壺須幾時可滿法以四

時為一率以一壺為二率以一時為三率測之而得一

時之所注(四分壺之一)又以六時為一率一壺為二率一時

為三率亦得一時之注(六分壺之一)乃以四之一減六之一

得十二之一於是又以十二之一為第一率以一時為

第二率以一壺為第三率得四率(以十二時注滿)凡用準測法

者三

　　一　四時　　　　六時　　　　十二分壺之一

　　二　一壺　　　　一壺　　　　一時

　　三　一時　　　　一時　　　　一壺

　　四　四分壺之一　六分壺之一　十二時

　　問塞下竅四時水滿通下竅六時水盡今上注下泄

則四箇時滿幾分曰六時盡者四時泄三分之二以

除全壺餘三分之一為水滿數又問如此則幾時可

滿一壺曰依前法當以十二時滿又問假如塞下竅

注上竅三時而滿塞上竅開下竅八時而盡若上注

下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一

以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一

餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分

時之四也又問一壺既以三時而滿假如四時又五

分時之三可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又

問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此

五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問

八時盡一壺三時得幾何曰三時泄得八分之三以

除前壺餘八分之五是三時滿八分之五又問三時

滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四

　　同文算指通編卷二