同文算指

　　欽定四庫全書

　　同文算指通編卷五

　　明　李之藻　撰

　　雜和較乗法第八

　　諸物互和未易縷析必取互乗之數較餘為用以少除

多得一數以推其他而纎悉見矣若條縷多者别立正

負為算别同異以分加減總歸于去煩就簡故率除首

列同乗減盡一數而其餘則名類相同者減之相異者加

之其最繁者亦視首列所主為用如首以同名減則其

下同減而異併首以異名減則其下異減而同併大要

與盈朒相近而又濟盈朒之窮(舊名方程用前疊借互徵亦同頭緒多者用此為便)

問鼎三彞二共重一百五十五兩又鼎四彞五共重二

百六十五兩鼎彞各重若干將二項左右對列各作三

段遞互徧乗之又相對較之視其餘數以少除多而互

得其重如以彞乗則反得鼎重以鼎乘則反得彞重且

如以右鼎徧乗左行(鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五)以

左鼎徧乗右行(鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十)各得數相

減兩鼎數相等減盡不用兩彞數減餘七又兩重減餘

一百七十五以少除多七為法一百七十五為實除得

彞重二十五兩以右中彞二乗之得五十兩以減右總

餘一百零五兩亦以右鼎三除得每鼎重三十五兩

　　鼎三(以乗左行得一十二)彞二(得八)重一百五十五兩(得六百二十)

鼎四(以乗右行得一十二)彞五(得一十五)重二百六十五兩(得七百九十五)

　　右法若以彞徧乗其以七為法亦同所得減餘之實

凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五兩以右

鼎三乗之得共鼎一百五兩以減右行重數餘一百

兩為二彞重數若以左彞四乗之得共鼎一百四十

兩以減左行重數餘一百二十五兩為五彞重數

　　問紗三匹絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共

價六兩八錢紗絹各價若干亦將二項左右列之各三

段徧乗如以右紗徧乗左行(紗七得二十一絹二得六價六兩八錢得二十兩四

錢)左紗徧乗右行(紗三同上絹四得二十八價四兩八錢得三十三兩六錢)各得數

對減其兩紗減盡不用兩絹減餘二十二為法兩總減

餘一十三兩二錢為實以法除實得絹每疋價六錢就

以右絹四乘得共價二兩四錢以減右總價尚餘二兩

四錢為右紗三疋之價得每疋價八錢

　　紗三(與左乗得二十一)絹四(得二十八)共四兩八錢(得三十三兩六錢)

紗七(與右乘得二十一)絹二(得六)共六兩八錢(得二十兩四錢)

　　右式若以絹徧乘其法同前但減餘之實一百七十

六以法除之亦得八錢為疋紗之價以右紗三乘得

二兩四錢以減右總價餘二兩四錢為四絹之價若

以左紗七乘得五兩六錢就減左總價餘一兩二錢

為二絹之價

　　問筆三管換硯七箇貼硯價四百八十文别以硯三箇

換筆九管貼筆價一百八十文筆硯各價㡬文依前左

右三行列之而以硯為正筆為負互乘得數却于正負

同名者對減異名者對加求之

　　硯正七(正二十一)筆負三(負九)價正四百八十文(正一千四百四十)

硯正三(正二十一)筆負九(負六十三)價負一百八十文(負一千二百六十)

　　右硯正七乘左(硯正二十一筆負六十三價負一千二百六十)左硯正三亦乘

右(硯正同上筆負得九價正一千四百四十)得數兩硯正同名減盡兩筆負

同名減餘五十四為法兩價正負異名加併得二千七

百為實以法除實得五十文為一筆之價取右行筆負

之三乘之得一百五十加入價正四百八十共六百三

十即右硯七箇總價以七除得九十文為一硯之價若

取一筆之價以左行筆負之九乘之得四百五十則當

就内減總一百八十餘二百七十即左行三硯之價

　　若移置筆負為法徧乘者得異併之實四千八百六

十文以法除之(五十四)得九十文為硯價

　　問七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕于中互換其一

輕重適等不知各重若干此依互換者列位一係六釧

一釵一係一釧八釵而中分其總重之數

　　釧六　　釵一　　　　四兩七錢

　　釧一　　釵八(四千八)　四兩七錢(二十八兩二錢)

　　先以右釧六徧乘左行(釵八得四十八價四兩七錢得二十八兩二錢)次以左

釧一徧乘右行(釧一價四兩七錢)對減餘四十七者為法餘二

十三兩五錢者為實以法除實得五錢為一釵數以減

右行總重(四兩七錢)餘四兩二錢即六釧共數六除之得每

釧重七錢

　　若移用右行釧一左行釵八為法徧乘者得減餘之

實三十二兩九錢以法除之(四十七)先得七錢為一釧

之重

　　問錢一萬文以賣二馬一牛則不足半馬之價以賣一

馬二牛則餘半牛之價其牛馬價各若干此當以不足

半馬者損為一馬零二分馬之一及一牛以餘半牛者

益之為一馬及二牛零二分牛之一依法列之而以整

帶零之法乘除之

　　馬一匹二之一　牛一頭　　　　　價一萬文

　　馬一匹(一匹二之一)　牛二頭二之一(三頭四之三)價一萬文(一萬五千)

　　先以右馬徧乘左行(馬一匹二之一牛三頭四之三價一萬五千)次以左馬徧

乘右行(馬如上牛二價一萬文)其兩馬減盡兩牛減餘二頭又四

之三為法兩價減餘五千文為實以法除實得一千八

百一十八文又十一之二為牛價以減右行總價(一萬文)

餘八千一百八十一文又十一之九以馬一匹又二之

一除之得五千四百五十四文又十一之六為馬價

問甲乙二窖積粟不知各㡬何但云取乙三之一與甲

及取甲二之一與乙則各滿二千石其原窖㡬何此零

法照前列位互乘甲得六千乙得四千減餘二千為實

而以兩母相倂得五為法除之得四百以乙母之三乘

之得一千二百石為乙窖原粟餘八百石以甲母二乘

得一千六百石為甲粟其必各以母乘者盖前所除得

只是子數必歸母見整故也

　　甲二之一　　　　二千石(六千)

　　乙三之一　　　　二千石(四千)

　　問治地不知畝數每工種麥三畦種菽四畦共三百零

一工其菽麥數并工數各若干此為雙頭單脚互乘取

三四左右列之併得七為法其下列工數

　　麥三畦

　　菽四畦

　　若求菽數者右三乘總工(九百三)以法除得一百二十九

為菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麥畦

數若求麥數者左四乘總工(一千二百四)以法除得一百七

十二為麥畦以三乘得工數如前亦以左四除得菽畦

問犒夫不知數但云二人共飯三人共酒四人共肉總

用飯酒肉六十五分計夫若干列三位維乘(二乗三得六又三乗

四得一十二又四乘二得八)併得二十六為法另用乘併之法(二乘三得

六以乗四得二十四)得數以乘總分(六十五)　二人

　　得一千五百六十為實　三人　六十五分

　　以法除得六十為夫數　　四人

　　問銀二百六十四兩買牛羊共一百牽每牛三頭價二

十兩每羊四羫價一兩五錢内牛羊倂價各若干以牛

羊各價依子母左右列之互乘得數(牛乘羊四兩五錢羊乘牛八十兩)

減餘七十五兩七錢為法另列總牽總價于下如求牛

數者先以羊四乗總價(一千五十六)以羊價乘總牽(一百五十)減

餘(九百零六)為實以法除得一兩二錢為牛衰以右位牛三

乘得三十六頭以二十乘得共價二百四十两就總

内減牛數餘為羊數

　　牛三　　二十兩

　　羊四　　一兩五錢

　　若先求羊數者以牛三乗總價(七百九十二)以牛價乗總牽

(二千)減餘(一千二百零八)為實亦以法除之得一十六為羊衰以

左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四兩就總

内減羊亦得牛數

　　問用匠五千名包磚板隄共四千九百九十五方定

限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方

磚板堤匠各若干以母子左右對列互乘得數(九乗四得三十

六七乘十一得七十七)減餘四十一為法另列總匠總隄于

下

　　九名　十一方

　　七名　四方

　　若求板隄數者左七乘總方(三萬四千九百六十五)四乘總匠(二萬)

減餘(一萬四千九百六十五)為實以法除之得三百六十五為板

衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得

板隄四千一十五方于總内除板隄餘皆磚數或求磚

隄數者右九乗總方(四萬四千九百五十五)十一乘總匠(五萬五千)減

餘(一萬零四十五)為實以法除之得二百四十五為磚衰以乘

左七得磚匠一千七百一十五方以乘四得磚隄九百

八十方于總内除磚隄餘即板數

　　問七人醵金不知總數亦不知各數第云甲乙共二十

三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢亦不知丙丁共數

此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚

三列右取右衰三增一為四(與後章求隔母法同)仍以右衰(三)乘

之得數(十二)減半(六)又減去右衰(三)餘三為右中率取左

衰(二)乘總位(七人)得數(十四)内減右衰(三)餘十一為左中率

而各以共金數列其下

　　右三　三　　　二十六兩一錢

　　左三　一十一　二十三兩七錢

　　乃以左二徧乘右(中三得六下二十六兩一錢得五十二兩二錢)以右三徧乘

左(中十一得三十三下二十三兩七錢得七十一兩一錢)各得數相減中餘二十

七為法下餘一十八兩九錢為實以法除實得七錢為

隔母之數别取甲乙共數(二十三兩七錢)併入隔母七(得二十四兩七

錢)減半得一十二兩二錢為甲金數内減差數七得十

一兩五錢為乙金數其餘以七遞減各得(丙十兩八錢丁十兩一錢

戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩)

　　問竹筩一莖九節下大上細下三節共盛粟三升九合

上四節共盛粟三升中二節不知數要見每節盛粟若

干亦先求隔母數為逐節相較之率取上三列左下四

列右以右四加一為五與右四相乘得數(二十)減半(一十)又

減右四得六為右中率别以左三乘總位(九)得數(二十七)

内減右中率六得二十一為左中率各以所共盛之數

從之

　　右四　　六　　　三升

　　左三　　二十一　三升九合

　　乃以左三徧乘右(中六得一十八下三得九分)以右四徧乘左(中二十一

得八十四下三升九合得一十五分六釐)得數相減中餘六十六為法下餘

六十六為隔母率别以左三共粟為實(三升九合)以法(六十六)

乘之(得二百五十七分四釐)以三除之(因係三節故也)得八十五分八釐

是第八節數加母率(六分六釐)得九十二分四釐是第九節

數若減母數(六分六釐)得七十九分二釐是第七節數其餘

遞減母率(第六節得七十二分六釐第五節得六十六分第四節得五十九分四釐第三節得五十

二分八釐第二節得四十六分二釐第一節得三十九分六釐)而仍以法除之(第一節六合第

二節七合第三節八合第四節九合第五節一升第六節一升一合第七節一升二合第八節一升三合第九

節一升四合)其以中餘(六十六)為法下餘為實以法除實者得

一合為隔母率以三除左總(三升九合)得一升三合為第八

節數以一合加減之亦得第七節第九節數以次推之

同前

　　問四雀六燕七鷦共集于衡重八錢九分又三雀五燕

九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩六分

三禽各重若干法置左右中三行三色及總重作四段

列之先以右行五雀徧乘中行(雀一十五燕二十五鷦四十五共重四兩零五)

　　再置前圖減餘而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行

　　餘四燕　餘廿一鷦(四十二)共餘八錢七分(一兩七錢四分)

　　餘二燕　餘三鷦(十二)　　共餘二錢一分(八錢四分)

　　乘訖對減鷦餘三十為法共重餘九錢為實以法除實

得三分為一鷦之衡就以乘左餘鷦三得九分以減左

重餘一錢二分為二燕之衡即知每燕重六分也(既得一鷦

之衡以乗右餘鷦二十一及減右重亦得每燕六分)乃于前左行原價八錢九分

之内減去原鷦七(二錢一分)原燕六(三錢六分)各重數其餘三錢

二分以雀四除之得雀重八分(或于前右行中行原數内減乘皆同)

　　問牛一頭馬一匹驢三匹皆載物七百斤上坡皆不能

上牛借馬一匹馬借驢一匹驢借牛一匹方上其三等力

各若干列左中右三行以三畜及總物為四段

　　正牛一　借馬一　　○　　　　七百斤

　　○　　　正馬二(二)　借驢一(一)　七百斤

　　借牛一　○負一(二)　正驢三(六)　七百斤(一千四百斤)

　　先右行正牛一徧乘左行得數又以左行借牛一徧乘

右行得數(乘借馬一一如一乘物仍七百斤)對減盡因左行中○無減

乃倣右馬乘出之數為立負馬一以俟另乘次以中行

正馬二徧乘左行中下得數(負一得二原驢得六下物一千四百斤)復以

左行負一為法徧乘中行中下得數(正馬得二借驢得一下物仍七百斤)

以對減正負馬同名減盡正借驢異名相併得七為法

下物同名相減餘七百斤為實以法除實得驢力一百

斤取中行物實(七百)内減一驢之力餘六百即二馬之力

以二除得每馬三百斤又于右行物實(七百)亦減一馬之

力餘四百即一牛力右法或更置其位先求一馬之力

　　借驢一　正馬二(左六)○　　　七百(二千一百左減餘一千四百)

　　○　　　借馬一(六)正牛一(六)七百(四千二百左減餘三千五百)

　　正驢三　○負六(六)借牛一(一)七百(七百)

　　先以右行借驢一徧乘左行中下得數亦即以左行正

驢三徧乘右行中下得數(正馬得六下物二千一百)因左馬空○乃

如右馬乘得之數亦置負六相減三畜俱減盡下物餘

一千四百次以中行借馬一徧乘左行中下得數而以

左行負六徧乘中行中下(借馬六正牛六下物四千二百)牛數正借異

名以相併得數七為法下物中左同名相減得三千五

百又以右下餘物減之得二千一百為實以法除實得

三百斤為一馬之力然後取右行物實減二馬力餘一

百見一驢之力又取左行物實減三驢之力餘四百見

一牛之力

　　問硃二斤黄三斤價錢二千四十文又黄五斤碌六斤

價六百四十文硃三斤碌七斤價二千九百八十文三色

各價若干依式左右中列之

　　硃二　黄三(九)　○　　　價二千四十文(六千一百二十)

　　○　　黄五(四十五)碌六　　價六百四十文

　　硃三　○負九(四十五)碌七(一十四)價二千九百八十文(五十九百六十)

　　先以右行硃二徧乘左行得數(碌得一十四價得五千九百六十)次以

左行硃三徧乘右行得數(黄得九價得六千一百二十文)於左行○位

照右立負九而與右行相對三色俱減盡其價餘一百

六十文又以中行黄五另列右徧乘左行(碌七十價得八百)以

左行負九另列左徧乘右行(碌得五十四價得五千七百六十)

　　黄五(四十五)碌六(五十四)　　價六百四十(五千七百六十)

　　○負九(四十五)碌餘一十四(七十)價餘一百六十(八百)

　　以相減黄與○同數減盡碌係正負異名併得一百二

十四為法兩價同名相減餘四千九百六十為實以法

除實得四十文為碌一斤之價乃於前圖中行原價内

減碌六斤價(二百四十)餘四百文悉黄價以黄五除之得每

斤價八十文又于右行原價減黄三斤價(二百四十)餘一千

八百文悉硃價以二除之得每斤九百文

　　問鴈二雉三換穀五斗七升鴈五兎四換穀一石雉二

兎二換穀五斗三升每色每箇價穀若干先以右行鴈

二徧乘左行得數(鴈一十兎八穀二石)亦以左行鴈五徧乘右行

(鴈一十雉十五穀二石八斗五升)以相減鴈盡係○照立負十五兎無

減仍八穀餘八斗五升

　　鴈二　雉三(左一十五)○　　　穀五斗七升(左二石八斗五升)

　　○　　雉三(左四十五)兎二(左三十)穀五斗三升(左七石九斗五升)

　　鴈五○負十五(中四十五)兎四(右八中二十四)穀一石(右二減餘八斗五升中乘二石五斗五升)

另以中行雉三徧乘左行中下(雉負四十五兎二十四穀二石五斗五升)左

行雉負徧乗中行中下(雉四十五兎三十穀七石九斗五升)以相對雉減

盡兎係正負異併得五十四為法價榖同名相減餘

五石四斗為實以法除實得一斗為一兎價就于中行

穀内減二兎價餘三斗三升悉雉價以中雉三除之得

每雉一斗一升即于右行穀内減三雉價餘二斗四升

悉鴈價以右鴈二除之得每鴈一斗二升

　　問賣二牛五羊買十三豕餘價銀五兩賣一牛一豕買

三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩各價若干此

以賣為正買為負餘為正不足為負而正為主則同減

異併負為主則同併異減如前求之列左右中三

行以右行牛二徧乗中行得數(牛正二羊負六豕正二)其中

行牛一亦徧乗右行(牛二同正減盡羊正五與中行負六異名併得負十一豕

負十三與中行豕正二係異名併得正十五價正五中空無減)又右行牛二徧乗

左行(牛十羊十二豕十六價六)其左行牛五亦徧乗右行(牛十正負

異名減盡羊正二十五與左正十二同名併得正三十七豕負六十五異减豕正餘得負四十九價正二

十五異減左負餘負一十九)依法或減或併訖

　　牛正二(中二　左一十)羊正五(中五　　左二十五)豕負十三(中十三　左六十五)正五兩(中五　　左二十五)

　　牛正一(右二)羊負三(右六)豕正一(右二)　○足

　　牛負五(右一十)羊正六(右十二)豕正八(右一十六)負三兩(右六)

　　乃别列減併之數仍分正負互乘之如後圖羊負十一

為法以乘左行中下(羊正得四百零七豕負得五百三十九價負得二十兩九錢)亦

以羊正三十七而乘右行中下(羊負同數異名減盡豕正得五百五十五與左

豕負異名減餘一十六價正一十八兩五錢與左異減餘二兩四錢)以減餘豕正一十六

為法價正二百四十為實以法除實得豕價一兩五錢

就以右行豕正十五乘(二十二兩五錢)加正價(五兩)共二十七兩

五錢俱羊價以十一除之得每羊二兩五錢復以前圖

右行豕負十三乘豕價得數(一兩五錢)加入正價(五兩)共二十

四兩五錢為牛羊總價内減右行五羊之價(一十二兩五錢)餘

一十二兩悉牛價以牛二除之得每牛六兩

　　羊負一十一　豕正一十五(五百五十五)價正五(一十八兩五錢)

　　羊正三十七(四百七)豕負四十九(五百三十九)價負一十九(二十兩九錢)

　　問買柰二梨四共錢四十文梨二桃七亦共錢四十文

桃四榴七共錢三十文梨八柰一共錢二十四文各價

㡬文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰為法彼

此互乘以甲柰二徧乘丁(梨空桃空榴一十六錢四十八文)丁柰一徧

乘甲(桃榴俱空錢仍四十文對減餘八文)因丁梨空當照甲立負四次當

以乙丁柰互乘乙無柰取梨二徧與丁乘(梨負得八桃空榴三十二

錢一十六文)丁亦以負梨四徧乘乙(梨八減盡桃二十八榴空錢一百六十文併得

一百七十六文)因丁桃空亦照乙立負二十八次以丙桃徧乗

丁(桃一百一十二榴一百二十八錢七百零四文)丁亦以桃負二十八徧乘丙

(桃一百一十二減盡榴一百九十六減餘六十八錢八百四十文減餘一百三十六)相減訖取此

餘榴六十八為法餘錢一百三十六文為實其甲乙與

丁互乘之數但求應立負數以為乘母而減併之數皆

置不用者也以法除實得二文為榴價乃就丙價三十

文内減七榴之價(十四)餘錢一十六文俱桃價以四除得

每桃四文又于乙價四十文内減七桃之價(二十八文)餘錢

一十二文俱梨價以二除得每梨六文又于甲價四十

文内減四梨之價餘一十六文俱柰價以二除得每柰

八文

　　甲柰二　梨四　○　　　○　　　四十文

　　乙○　　梨二桃七(二十八)　○　　　四十文

　　丙○　　○　　桃四　　榴七(一百九十六)三十文(八百四十文)

丁柰一　○負四(八)○負二十八　榴八(一十六　　一百二十八)二十四文(四十八文)

　　問井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之

及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一

用丁繩五則借戊一用戊繩六條則借甲一乃

俱及泉其井深若干五等繩各長若干列五行

以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙

三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十

以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一

為井深積列位

　　一　甲二　乙一　○　　○　　　　　七百二十一

　　二　○　　乙三　丙一　○　　○　　七百二十一

　　三　○　　○　　丙四　丁一　○　　七百二十一

　　四　○　　○　　○　　丁五　戊一　七百二十一

　　五甲一　　○(負一)　○(負一)○(負一)戊六　七百二十一

　　乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲

二為法徧乘五行(甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二)五行

甲一亦乘一行對減(甲二得二減盡乙一得一因五行乙空立負一積七百二十一得本

數以減五行仍餘七百二十一)次以二行乙三為法乘五行(乙負一得負三戊正

十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三)五行乙負一亦乘二行(乙三得三

對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數併入五行積二十一百六十三共二千八百八

十四)再以三行丙四為法乘五行(戊正三十六得一百四十四積二千八百八十

四得一萬一千五百三十六)五行丙負一亦乘三行(丙四得四減盡丁一得一因

五行丁空立負一積得本數與五行積一萬一千五百三十六對減餘一萬八百一十五)又以四行

丁五為法乘五行(丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬八百一十五得五萬

四千七十五)五行丁負一亦乘四行(丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十

共七百二十一積得本數併入五行積五萬四千七十五得五萬四千七百九十六)乃以最後所

得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十

一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積(七百二十一)

餘六百四十五以丁五除之得一百二十九為丁繩一

丈二尺九寸以減三行積(七百二十一後同)餘五百九十二以

丙四除之得丙繩一丈四尺八寸亦減二行積餘五百

七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行積

餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸

　　遞加法第九

　　數始于微積于鉅漸加漸賾覽之茫如然有定數可推如

人數物數有分有總但知一隅亦可例推也為立法如左

　　右超位加各審其母如超一超二超三四之類各以所超

為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即

母

　　凡超位數截取三位較之其前後二位數必倍于中位數

　　若截四位較之則前後二位與中二位數等

　　以上皆取位置匀列超母相同者論之雖所超多位如超

五超六至千萬位但同超母者截取前後逺數相併較其

進内挨身兩位相併其數皆等

　　右凡加數以求總積之實不論累加超加及超二超三

等但係遞加者只除首位單一不用外取次位與末位

數併為實其中間亦不拘㡬位但察自前至後布位之

數為法乘之所得之數皆倍各位實積之數以減半得

總數如右式以前四後三十七併之共四十一數係一

十二位以一十二乘四十一得四百九十二減半為二

百四十六即其十二位之全數若以前四後十六併之

共二十數係五位乘得一百減半得五十即五位全數

也(如欲連首位算則再加一云)

　　此超八

　　遞加者

　　右式假如方箭一束外周六十四枝問中積數㡬何者

凡方物必以八包一每層超八遞加今置中心一枝不

算(即首位之一)以内層之八併外周六十四共七十二以八

位乘之得數(五百七十六)減半得八位之總數加中心之一

為二百八十九枝凡平方面有中心之一者倣此

　　此超六遞加者

　　右式假如圓箭一束外周三十六枝問中積者凡圓物

必以六包一每層以六遞加今置中心一枝不算外以

内層之六併外周三十六共四十二以六位乘之得數

(二百五十二)減半得六位之總數再加中心之一為一百二

十七枝凡平圓面倣此

　　此超九

　　遞加者

　　右式假如有三稜物一束外周七十二枝問積者凡三

稜物必以外九包中一每層超九遞加置中心一枝不

算外以内層之九併外周七十二共八十一以八位乘

之得數(六百四十八)減半得八位之總數再加中一為三百

二十五枝凡三稜面者倣此

　　若順數而加自一而二而三而四以遞相加者另是一

法但取最後二大數相乘得數亦以減半即得最後第

二位以至首位之數惟餘最後第一位在外又併入得

全數

　　右式假如有物倚墻一面尖堆最下一行濶十五枚問

總積若干取最下二行(一十五一十四)相乘得數(二百一十)減半(一百

○五)又加入下行十五得一百二十枚合總

　　一法取下行加一為法以乘下行得數減半亦同

　　若首位不係一數而自二數或三或四為首者併首尾

二位為實而以首位數減尾位數其餘數加一為法乘

之減半合總

　　假如有物倚墻一面平堆下濶十四枚上濶四枚問總

積者併首尾二位得一十八為實就尾位減首位得一

十外加一共一十一乘之葢原係十一位也以乘得數

(一百九十八)減半得九十九枚合總

　　又假如衆人醵錢首位出八文末位出六十文問總數

總人者以首位減末位餘五十二外加一係五十三位

乃併首尾二位錢數以乘五十三得三千六百四文合

總

　　若自一而三而九俱以陽數超加者但看位數以自乘得全

數

　　此皆陽位但據位數自乘如係一十位自乘得一百之

類其陽數超加已知首尾兩位之數而未知中間若干

位者但取尾位之數外加一以減半得位數如右式尾

位十九加一得二十減半則十位也但係陽數雖至百

千萬位皆同此法

　　若自二而四而六俱以陰數超加者取最後一位之數

減半即得位數再以減半數外加一而與位數相乘即

得自首至尾全數

　　四　取二十四減半見位數又減半加一為十三

　　二　以乘位數十二得一百五十六見全數

　　又若自二數起遞加至一百數止但取一百減半知是

共五十位再加一為五十一以乘位數五十得二千五

百五十即五十位之全數

　　若多中起數超位遞加但知位數及首位數及所超母

數而未知最後一位數者但審布位若干於内減一以

乘超母(如超一則一為母超八則八為母之類)得數加入首位數即得尾

位之數既得首尾二位乃照前首尾相併而以位乘減

半得全數

　　此超八遞加者計十位減一為九與八相乘得七十

二再加首位三得七十五為末位數又以七十五加

三得七十八以乘十位得七百八十減半三百九十合

全數

　　假如有牛四十區但云第一區是三十頭餘區遞加二

十頭今問第四十區㡬頭依前法就四十減一為三十

九與超母二十相乘得七百八十再加首區三十知是

八百一十乃最後一區之數也再問各區總數㡬何照

法以首區三十加末區共八百四十以乘區數四十得

三萬三千六百減半得一萬六千八百頭為各總數

　　若但知末區數及母數位數而不知首區數者照前以

區數減一與母數相乘得數而以末區數減之即得首

區之數(如前乘得七百八十而末區係八百一十相差三十即知首區係三十頭)

　　假如發兵破一賊巢有二十人先登以登城先後敘賞

其第二十人賞銀一百兩第十九人賞一百三十兩其

餘遞加三十兩問第一人該銀㡬何此以二十為位減

一為十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百

得六百七十兩為第一人所賞之數也若問此二十人

共銀幾何照法併首尾二數得七百七十與位數二十

相乘減半得七千七百兩見全數

　　若但舉總數及超數及首尾共數而不知係幾位亦不知首

尾二位數各若干者以總數為實以首尾數減半為法除

之得位數又以位數減一乘超母得數即用此數為主若

　　以併首尾共數減其半即尾數若

　　以較首尾共數減其半即首數

　　右式假如貸錢起息每日増錢六文共積子母錢三百

二十文不言每日細數但云併初末日共錢一百六十

文問初末日各㡬文其起息計幾日者以日為位立總

錢三百二十為實併初末減半得八十除之得四日依

法減一為三乘増母之六得一十八以併初末數得一

百七十八減半是末數若以較初末數餘一百四十二

減半是初數

　　若但舉中積及位數及首尾之較若干以求首尾各㡬

何者倍中積為實以位為法除之得數以較減之半其

餘得首數乃以較加之得尾數

　　右假如織布自冬至始厯十三日共織一千三百五十

二寸因晷漸長其功日加六寸末日視首日多織七十

二寸問首日末日各織㡬許者倍中積得二千七百四

寸為實以積日十三為法除之得二百零八以較減之

得數又減半合首數六十八以較併入亦減半合末數

一百四十

　　若但知位數總數及超母數而未知每位得若干數者

取位數列之去尾數餘併之(如係九位則但用一二三四五六七八共三十六數

除九不用)以乘超母得數減總乃以位數歸其餘得首位數

乃以超母遞加得各位細數

　　假如兄弟九人遞差三嵗共二百○七嵗欲知每人㡬

何者照右法置母數(三)乃取位數内除去尾數九只以

八位細數併之得三十六以乘母得數(一百零八)以減總數

餘九十九以九除之得最幼一人嵗數(一十一)乃以三遞

加之得諸人嵗數

　　共八位以一十

　　七為超母總數

　　九百九十六

　　假如鈔九百九十六錠分給八人遞差一十七錠各若

干取位數除去尾八併自一至七之數共二十八以乘

超母一十七得數(四百七十六)以減總餘五百二十以八除

得最少一人數(六十五)仍以一十七遞加得諸人數

　　若超位遞加但知係㡬位及各位總數而未知超母㡬

位亦未知各位細數與首尾二位數第云前㡬位共若

干後㡬位共若干以求各位細數者依母子互乘法求

之以所知前㡬位後㡬位為母以前共若干後共若干

為子互乘得數相較為實又併其母減半以較總位餘

若干而以兩母相乘之數乘之得數為法以法除實得

超母加入所知之數如係二位者加入折半得多者數

如係三位者加入三歸得中數乃依超母遞加遞減得

全數

　　假如八人差等分錢但知甲乙共七十七文己庚辛共

六十六文問每人㡬文者以二人乘六十六(得一百三十二)以

三人乘七十七(得二百三十一)以相較餘九十九為實併分母

(二三)得五減半得二零二之一以減總位(八)餘五零二之

一仍以分母所乘之六乘之得三十三為法以法除實

得三為超母之數併入甲乙減半得四十為甲衰若求

己庚辛則三歸之得中間之庚衰乃以超母遞加遞減

得全數○外如係戊己庚辛四位者三歸之得己庚共

數又加減超母之半得己庚數

　　倍加法第十

　　數有挨次遞加者以一數為遞母而絫加之其母不易

焉另有以倍而加者

　　右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一見二以二

二見四以二四見八以二八見十六也第三式倍一加

者以二三見六以二六見十二也第二式倍三加者以

三三見九以三九見二十七以三箇二十七見八十一

也此由少進多之法假如欲尋其母則取挨身小數減

其大數知之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也

凡挨次遞加者由少加多其多至于無窮葢凡數從多

減少其減至于單數而止無復零分之可減也惟此倍

加之數則進而加之無窮減而約之亦無窮剖之又剖

細微毫忽按法而約求焉豈可以數盡乎

　　此以倍一約之其數無窮餘法皆同

　　右數假如截取三位以首尾二位相乘其所得數與中

一位數之自乘者等(假如八四二共三位以二八相乘得十六以中間之四自乘亦十六)

若截取四位而以首尾二位相乘其所得數與中二數

相乘者亦等(假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中間之八與四乘亦得卅二)

雖至許多位但以首尾二位相乘其所得數與挨身次

二位俱相等步步乘入皆無不同至於最中若有單位

以之自乘亦復如是

　　此外乘與進

　　内乘皆同中

　　單自乘亦同

　　凡倍加之數不論㡬位欲知總數但取首尾二位為主

以首最小數減尾最大數而以其所剰大數依後法求之

如係加一倍者(即二因)先取尾大數倍之内減首數得全

數如一二四八(六二四一三六)此七位者取尾六十四倍得一

百二十八數減首位一得一百二十七即此七位之細

數(加一倍者自一起手用此法其加二加三者雖亦自一起手但各另有倍母則另如後法以倍母為首位

不以一為首位云)如係加二倍者(即三因法)取尾後最多數内先減

首位之數而以餘數二歸(縁三因者係加二倍故以二為倍母而用二)取其

所得之數併入尾位大數即得中間㡬位細數凡四因

五因以至六七等類皆同此法而四因三歸五因四歸

(各減因數之一者依所倍之數為母也)餘皆同

　　此係四因者三

　　倍于本數以相

　　加也用尾位數

　　内減首位數實

　　剰四萬九千一

　　百四十九以倍母之三除之得一萬六千三百八十

三加入四萬九千一百五十二共得六萬五千五百

三十五是八位全數

　　又有加一倍又二之一遞進者即四六衰分法也

　　此一因半

　　右四六衰分倍加係一因有半者若欲求其各位總數

亦取尾位數(四十五又十六之九)内減首位數(除四得四十一又十六之九)如

前法亦減除法一數(十一因半減其一也如前三因者用二及四因用三之類)而用

半以除之(以半為倍母以除之者是一化為二)得八十三零八之一以併

尾數總共得一百二十八零十六分之十一也為七位

細數

　　凡二因半三因半等類倣此其除法俱只減其一數

　　凡倍加數不論共有㡬位但就中抽取一位自乘但看

自首挨來是㡬位假如第五位其前有四位矣今以五

位自乘其所得之數即與此後第四位之數相同(即九位)

不特此也又如取第五位與第七位相乘其五位前凡

有四位則其第七位後亦管四位其五位七位乘得之

數即與第十一位之數相同如後式

　　假如後式十六係第五位前有四位後亦管到四位今

以十六自乘得二百五十六恰與後四位之數相同

　　又假如三十二係第六位前有五位

　　今以三十二自乘得一千二十四即合後第五位之數一

又假如八係第四位與七位之六十四相乘以八前凡

有三位則六十四之後亦管到三位今以八乘六十四

得五百十二數亦與第十位之數相合其相離亦三位故也

又法不必算其前後之位但看所自乘數為第㡬位以

本位數加一倍内減一即得同數之位假如第六位倍

六得十二内減一為十一位則第六位自乘所得之數

正合第十一之數與前法理同而更為捷徑

　　又法不必減一但先排倍數于右次排位數于左相對

而于位前加一(即以○見所減之一)其餘以次察之

　　凡所得位數但係自乘者只一位以位數倍之但係互

乘者有兩位以兩位數積之

　　右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍

二得四則十六之數即第四位之數也此一位自乘之法

又假如八乘三十二得二百五十六數其八之本位係

三位三十二之本位係五位三與五併共得八即係第

八位數　　以上乃首位起一者

　　若首位非自一起(如二或三或四五之類)則自乘互乘皆先取首

位之數分之(如首位四則以四分其所得)而後倍位積位如前法

　　假如以八十自乘得六千四百因首位非從一起而從

五起先以首位之五而分之得一千二百八十數仍取

列位之四倍之為八則對八之數

　　又假如以四十與六百四十相乘得二萬五千六百以

首位之五分之得五千一百二十次以兩位相積其一

是三其一是七合對十之數

　　凡倍一加者(即二因)就中隨意截取一位以其本數減一

即合此位以前各位之細數此除本身而言然必從一

數起者合此

　　假如截取一百二十八數内減一得一百二十七數即

合第六位以前之總數葢自六位之六十四以前各位

細數總得此

　　又假如右式以對八位之二百五十六數而求本位以

前各位之總依前法以次位求之次位減一得五百一

十一乃對八以前各位細總也若就以此八位為主外

加一作五百一十二以自乘得二十六萬二千一百四

十四數内再減一此何數乎按實對八之位乃係第九

位此前既有九位此後亦管九位乃是第十八位以前

各位細數也葢以倍位所對之本數自乘則得對位加

倍之本數此用倍位法看之如不以本數乘而以積出

本位以前諸位之全數乘則又推得本位以後相對若

千位之全數此則不用倍位而用實位得之者實位者

如本位前實有九位則本位後再管十位即其相對之

位之全數也須減一數始合不減一數則進越一位矣

　　假如借銀一忽每日加息一倍至第六十四日該息㡬

何依前法推之試如一二四八此四位共十五數加一

自乘得二百五十六内減一餘二百五十五即係八位

之數蓋自首位一至第八位之一百二十八其細數乃二

百五十五數也再以此加一(二百五十六)自乘得六萬五千

五百三十六内減一餘六萬五千五百三十五即知其

為第十六位之數再以此數加一得六萬五千五百三

十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百

九十六内減一即知其為第三十二位之數凡四十二

億九千四百九十六萬七千二百九十五數又以之加

一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬零

七百三十七億又九百五十五萬一千六百一十六忽

内減一即知其為第六十四值之數凡一十八兆四千

四百六十七億四千四百零七萬三千七百九兩五錢

五分一釐六毫一絲六忽也

　　同文算指通編卷五