御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精蘊上編卷二

　　幾何原本一

　　幾何原本二

　　幾何原本三

　　幾何原本四

　　幾何原本五

　　　　　　幾何原本一

　　　　　　第一

　　　　　　凡論數度必始於一點自點引之而為

　　　　　　線自線廣之而為面自而積之而為體

　　　　　　是名三大綱是以有長而無闊者謂之

　　　　　　線有長與闊而無厚者謂之面長與闊

　　　　　　厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其

　　　　　　間不能容分不可以數度然線之兩端

　　　　　　即點而線面體皆由此生點雖不入於

　　　　　　數實為衆數之本

　　　　　　第二

　　　　　　線有直曲兩種其二線之一端相合一

　　　　　　端漸離必成一角二線若俱直者謂之

　　　　　　直線角一線直一線曲者謂之不等線

　　　　　　角二線俱曲者謂之曲線角

　　　　　　第三

　　　　　　凡角之大小皆在於角空之寛狹出角

　　　　　　之二線即如規之兩股漸漸張去自然

　　　　　　開寛是以命角不論線之長短止看角

　　　　　　之大小如丙角兩線雖長其開股之空

　　　　　　狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股

　　　　　　之空寛遂成大角矣

　　　　　　第四

　　　　　　凡命角必用三字為記如甲乙丙三角

　　　　　　形指甲角則云乙甲丙角指乙角則云

　　　　　　甲乙丙角指丙角則云甲丙乙角是也

　　　　　　亦有單舉一字者則其所舉之一字即

　　　　　　是所指之角也(如單言甲角乙/角丙角之類)

　　　　　　第五

　　　　　　凡有一線以此線之一端為樞復以此

　　　　　　線之一端為界旋轉一周即成一圜如

　　　　　　甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉

　　　　　　復至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線

　　　　　　謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜

　　　　　　面

　　　　　　第六

　　　　　　凡圜界不拘長短其分界之所即為弧

　　　　　　線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱

　　　　　　為弧線因其形似弧故名之

　　　　　　第七

　　　　　　凡圜自一界過圜心至相對之界畫一

　　　　　　直線將一圜為兩平分則為圜徑如乙

　　　　　　丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過

　　　　　　甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊

　　　　　　畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也

　　　　　　第八

　　　　　　凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻

　　　　　　線其度俱相等因平分全徑之半故又

　　　　　　謂之半徑線

　　　　　　第九

　　　　　　凡圜界皆以所對之角而命其弧而角

　　　　　　又以所對之弧而命其度葢角度俱在

　　　　　　圜界而圜界為角度之規也如乙角為

　　　　　　心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙

　　　　　　弧而甲丙弧即乙角之度也

　　　　　　第十

　　　　　　凡角相對之弧得圜界四分之一者此

　　　　　　角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜

　　　　　　甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一

　　　　　　半徑將半圜界又分為兩平分則成甲

　　　　　　乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界

　　　　　　四分之一則此二角為直角也若自丁

　　　　　　界過乙心至圜界戊處畫一直線又成

　　　　　　丁乙戊之徑復得甲乙戊丙乙戊兩相

　　　　　　等之直角矣故凡畫一直線交於别線

　　　　　　其所成之角若直此線謂之垂線葢因

　　　　　　平分圜界為四其四弧相對之四角必

　　　　　　相等而皆為直角則其二徑相交必互

　　　　　　為垂線可知矣

　　　　　　第十一

　　　　　　凡角相對之弧不足圜界四分之一者

　　　　　　謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角

　　　　　　故自圜徑中心復畫一輻線而不平分

　　　　　　半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己

　　　　　　丙庚之圜於甲乙丙之徑自乙心至甲

　　　　　　己丙之半圜界不兩平分於丁處畫一

　　　　　　輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍

　　　　　　角再將丁乙線引於相對圜界戊處畫

　　　　　　一丁乙戊徑線復成甲乙戊一鋭角丙

　　　　　　乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故

　　　　　　凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖

　　　　　　相並謂之並角如甲乙戊丙乙丁二角

　　　　　　之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙

　　　　　　丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角

　　　　　　也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相並

　　　　　　而同出一線則謂之並角矣

　　　　　　第十二

　　　　　　凡一圜内設兩角此一角相對之弧與

　　　　　　彼一角相對之弧其限若等則此二角

　　　　　　之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙

　　　　　　丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之

　　　　　　甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊

　　　　　　角其度亦相等也

　　　　　　第十三

　　　　　　凡有一圜其徑線之中心作相並之二

　　　　　　角此二角之度必與二直角等如甲丙

　　　　　　丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙

　　　　　　丙甲乙丁之相並二角此二角之度必

　　　　　　與二直角相等也

　　　　　　第十四

　　　　　　凡一直線交於他直線其所成之二角

　　　　　　或為二直角或與二直角等如丙乙丁

　　　　　　直線上畫一甲乙直線至於乙處即成

　　　　　　甲乙丙甲乙丁之二直角也又或於丙

　　　　　　乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處

　　　　　　復成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此

　　　　　　二角必與二直角相等也再申明之以

　　　　　　乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁

　　　　　　線為圜之徑線必將圜界平分為兩平

　　　　　　分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲

　　　　　　乙線又將半圜界平分為兩平分則此

　　　　　　二角各相對之弧皆為一圜界四分之

　　　　　　一而各為一直角可知矣又如戊乙線

　　　　　　將半圜界雖不兩平分而成一鋭角一

　　　　　　鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所

　　　　　　限半圜界度為全圜界四分之二故與

　　　　　　二直角相等也

　　　　　　第十五

　　　　　　凡自一心畫為衆線其所成之角雖多

　　　　　　止與四直角相等如自甲心至乙至丙

　　　　　　至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其

　　　　　　各角所函之度必與四直角等葢因甲

　　　　　　㸃為心衆輻線皆立一圜之界故衆角

　　　　　　所對之弧總不越一圜之全度前言一

　　　　　　圜之界僅有四直角之弧線兹角雖多

　　　　　　亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止

　　　　　　與四直角等也

　　　　　　第十六

　　　　　　凡兩直線相交所成二對角之度必俱

　　　　　　相等如甲乙丙丁二線交於戊處成甲

　　　　　　戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必

　　　　　　俱相等今以二線相交之處為心旋轉

　　　　　　畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜

　　　　　　之徑線矣惟其俱為徑線故將一圜為

　　　　　　兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之

　　　　　　半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半

　　　　　　圜界因兩半圜界俱係全圜徑線故相

　　　　　　交成對角其度必等兹將甲丙乙之半

　　　　　　圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁

　　　　　　之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧

　　　　　　凡兩相等之弧減去一段相等之弧所

　　　　　　餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半

　　　　　　圜之界内減去甲丙丙甲同體之弧則

　　　　　　所餘丙乙甲丁相對之弧亦必相等矣

　　　　　　此二弧之度既俱相等則所對之甲戊

　　　　　　丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣

　　　　　　其餘甲戊丙丁戊乙亦與甲戊丁丙戊

　　　　　　乙同理故其所對之角度亦必相等也

　　　　　　第十七

　　　　　　凡大小圜界俱定為三百六十度而一

　　　　　　度定為六十分一分定為六十秒一秒

　　　　　　定為六十㣲一㣲定為六十纖夫圜界

　　　　　　定為三百六十度者取其數無竒零便

　　　　　　於布算即徴之經傳亦皆符合也(易曰/凡三)

　　　　　　(百有六十當期之日邵子曰三百六十/中分之得一百八十為二至二分相去)

　　　　　　(之/數)度下皆以六十起數者以三百六十

　　　　　　乃六六所成以六十度之可得整數也

　　　　　　凡有度之圜界可度角分之大小如甲

　　　　　　乙丙角欲求其度則以有度之圜心置

　　　　　　於乙角察乙丙乙甲之相離可以容圜

　　　　　　界之幾度如容九十度即是甲乙丙直

　　　　　　角(何以知為直角因九十度為全圜三/百六十度之四分之一前言凡角得)

　　　　　　(圜界四分之一者為直/角故知其為直角也)若過九十度者

　　　　　　為丁乙丙鈍角不足九十度者為丙乙

　　　　　　戊鋭角觀此三角之度其餘可類推矣

　　　　　　第十八

　　　　　　凡二線之間寛狹相離之分俱等則此

　　　　　　二線謂之平行線也

　　　　　　第十九

　　　　　　欲求平行線之間相距幾何則自上一

　　　　　　線不拘何處至下一線畫二縱線則此

　　　　　　二線為相距度分也如甲乙丙丁二線

　　　　　　平行自上線甲乙二處至下線丙丁二

　　　　　　處畫二縱線則此二線為相等線其度

　　　　　　必等然則甲乙丙丁相對之間其相距

　　　　　　之遠近不已見耶

　　　　　　第二十

　　　　　　平行二線雖引至於無窮其端必不能

　　　　　　相合葢二線相離之度各處逺近俱為

　　　　　　相等故也如甲乙丙丁平行二線隨意

　　　　　　引於戊己又自戊至己畫一縱線其度

　　　　　　亦等於甲丙乙丁二縱線故曰平行線

　　　　　　雖引至於無窮其端終不能相合也

　　　　　　第二十一

　　　　　　凡平行二線或縱或斜畫一直線交加

　　　　　　於上則平行線上所成之二角必俱相

　　　　　　等如甲乙丙丁二平行線上畫一庚辛

　　　　　　斜線其甲乙線之庚戊乙角丙丁線之

　　　　　　戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大於

　　　　　　戊己丁角則戊乙線必離於庚戊線而

　　　　　　向丙丁線甲乙丙丁二線不平行矣若

　　　　　　甲乙丙丁二線毫無偏斜又得庚辛直

　　　　　　線相交成二角則此二角必然相等矣

　　　　　　第二十二

　　　　　　凡平行二線上畫一斜線則成八角此

　　　　　　八角度有相等者必是對角或内外角

　　　　　　如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其

　　　　　　兩尖相對謂之對角庚戊乙戊己丁二

　　　　　　角其度亦相等因其在平行二線之内

　　　　　　外故謂之内外角甲戊己戊己丁二角

　　　　　　其度亦相等因其俱在平行二線之内

　　　　　　而立斜線之左右故又謂之相對錯角

　　　　　　又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因

　　　　　　其立一線之界謂之並角庚戊甲丁己

　　　　　　辛二角其度亦相等因其俱在平行二

　　　　　　線之外故謂之外角乙戊己丙己戊二

　　　　　　角其度亦相等因其又俱在平行二線

　　　　　　之内故又謂之内角總之二平行線上

　　　　　　交以斜線所成八角必兩兩相等也

　　　　　　第二十三

　　　　　　平行線上一邊之二内角或一邊之二

　　　　　　外角與二直角相等如丁己戊角與丙

　　　　　　己戊角為並角則此二並角與二直角

　　　　　　等前第十四節云凡一直線交於他直

　　　　　　線所成二角必與二直角相等則此二

　　　　　　角同出於一直線為並角故亦與二直

　　　　　　角等矣又如甲戊庚庚戊乙雖為外角

　　　　　　而亦為並角此二並角亦與二直角等

　　　　　　也他如甲戊己乙戊己二並角丙己辛

　　　　　　丁己辛二並角亦與二直角等也

　　　　　　第二十四

　　　　　　有平行二線復與一線相平行者此三

　　　　　　線互相為平行線也如甲乙丙丁二線

　　　　　　之間有戊己線與之平行則甲乙丙丁

　　　　　　戊己三線互相為平行線也照前第二

　　　　　　十一節在此三線上畫一庚辛壬斜線

　　　　　　則所成之庚辛二角必相等而辛壬二

　　　　　　角亦必等也三線之與斜線相交所成

　　　　　　之角既各相等則三線互為平行可知

　　　　　　矣

　　　　　　幾何原本二

　　　　　　第一

　　　　　　凡各種界所成俱謂之形其直界所成

　　　　　　者為直界形曲界所成者為曲界形凡

　　　　　　直界所成各形未有少於三角形界者

　　　　　　故三角形為諸形之首

　　　　　　第二

　　　　　　凡三角形一角直者為直角三角形一

　　　　　　角鈍者為鈍角三角形三角俱鋭者為

　　　　　　鋭角三角形

　　　　　　第三

　　　　　　凡三角形其三邊線度等者為等邊三

　　　　　　角形兩邊線度等者為兩等邊三角形

　　　　　　三邊線度俱不等者為不等邊三角形

　　　　　　第四

　　　　　　凡三角形之三角度相併必與二直角

　　　　　　度等如甲乙丙三角形自乙角與甲丙

　　　　　　線平行畫一乙丁線則成丙乙丁角與

　　　　　　丙角為二尖交錯之二角其度必相等

　　　　　　(見首卷第/二十二節)而甲角與甲乙丁角為甲丙

　　　　　　乙丁二平行線内一邊之二内角與二

　　　　　　直角等(見首卷第/二十三節)今於甲乙丁直角内

　　　　　　減丙乙丁角所餘為甲乙丙角丙乙丁

　　　　　　角既與丙角度等則甲乙丙丙乙丁合

　　　　　　成之一直角與甲角之一直角非二直

　　　　　　角之度耶

　　　　　　第五

　　　　　　凡三角形自一界線引長成一外角此

　　　　　　外角度與三角形内所有之二鋭角等

　　　　　　如甲乙丙三角形自甲乙線引長至丁

　　　　　　所成之丙乙丁角即為外角其度與三

　　　　　　角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙

　　　　　　三角形之三角度併之原與二直角等

　　　　　　(如本卷第/四節云)而甲丁直線與丙乙直線相

　　　　　　交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦與

　　　　　　二直角等(如首卷第/十四節云)則此内外二角所

　　　　　　併之度與三　形内三角所併之度亦

　　　　　　必相等今於内外角所併之二直角内

　　　　　　減去甲乙丙角則所餘之丙乙丁一外

　　　　　　角度與甲角丙角所併之度為相等可

　　　　　　知矣

　　　　　　第六

　　　　　　凡兩三角形其兩邊線之度相等二線

　　　　　　所合之角又等則二形底線之度必等

　　　　　　二形之式亦等其底線之二角亦皆等

　　　　　　也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角

　　　　　　形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊

　　　　　　二線甲乙丁己二線又互相等則乙丙

　　　　　　戊己之二底線必等其二形之三角式

　　　　　　亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦

　　　　　　相等若將二形之甲角丁角相合則甲

　　　　　　丙丁戊二線甲乙丁己二線各度必等

　　　　　　因其俱等故丙乙線之二角與戊己線

　　　　　　之二角俱恰相符而無偏側矣若謂乙

　　　　　　丙底與戊己底不符必是戊己線上斜

　　　　　　於庚或下斜於辛不成直線形矣

　　　　　　第七

　　　　　　兩三角形其三邊線之度若等則三角

　　　　　　之度亦必相等而此形内所函之分亦

　　　　　　俱等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之

　　　　　　甲乙線丁戊線甲丙線丁己線乙丙線

　　　　　　戊己線兩兩相等則甲角與丁角乙角

　　　　　　與戊角丙角與己角必各相等而甲乙

　　　　　　丙三界所函之分丁戊己三界所函之

　　　　　　分亦俱相等葢因此兩三角形之各線

　　　　　　俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也

　　　　　　第八

　　　　　　凡兩三角形有一線相等其相等線左

　　　　　　右所生之二角又相等則其他線他角

　　　　　　俱相等而二形之分亦相等也如甲乙

　　　　　　丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線

　　　　　　若等而此二線左邊所成之甲角丁角

　　　　　　右邊所成之乙角戊角亦相等則甲丙

　　　　　　線度與丁己線度等丙乙線度與己戊

　　　　　　線度等而丙角與己角亦等甲丙乙形

　　　　　　所函之分與丁己戊形所函之分自然

　　　　　　相等矣若將甲乙線與丁戊線相較再

　　　　　　將甲角與丁角乙角與戊角相較此二

　　　　　　線二角之度必俱相符此二線二角既

　　　　　　俱相符其他線他角亦必各相符矣若

　　　　　　謂一線不符則相等之角亦必不符必

　　　　　　其一線斜出或一線偏入以致各角俱

　　　　　　不相等角既不相等而形式亦必不同

　　　　　　矣

　　　　　　第九

　　　　　　三角形之兩邊線若等其底線之兩角

　　　　　　度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙

　　　　　　乙兩邊線之度等則其甲丙底線之甲

　　　　　　角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平

　　　　　　分於丁處自丁至乙角畫一直線遂成

　　　　　　甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩形之甲

　　　　　　乙線與丙乙線既相等而甲丙底線平

　　　　　　分之甲丁丙丁線度亦等則乙丁為兩

　　　　　　三角形所共用之各一邊線然則此兩

　　　　　　三角形之各三邊線度必俱相等可知

　　　　　　矣三角形之三線既各相等則其各角

　　　　　　之度亦必相等因其各角之度相等故

　　　　　　甲角丙角之度亦必等也

　　　　　　第十

　　　　　　有兩邊相等之三角形自上角至底線

　　　　　　畫一直線將底線為兩平分則此線為

　　　　　　上角之平分線又為底線之垂線也如

　　　　　　甲乙丙乙兩邊線度相等之甲乙丙三

　　　　　　角形自上角乙至底線丁畫一直線將

　　　　　　甲丙底線為兩平分則為乙角之平分

　　　　　　線又為甲丙底線之垂線也葢乙丁線

　　　　　　將乙甲丙三角形平分為甲乙丁丙乙

　　　　　　丁兩三角形此兩三角形之各界線度

　　　　　　必各相等而各角之度又俱相等則甲

　　　　　　乙丁角丙乙丁角將乙角為兩平分矣

　　　　　　而甲丁乙角丙丁乙角又為相等之兩

　　　　　　直角因其為兩直角故乙丁線為平分

　　　　　　甲丙底線之垂線也

　　　　　　第十一

　　　　　　凡三角形内長界所對之角必大短界

　　　　　　所對之角必小如甲乙丙三角形之乙

　　　　　　丙界長於甲丙界故其相對之甲角大

　　　　　　於乙角而甲乙界短於甲丙界故其所

　　　　　　對之丙角小於乙角也試依甲丙界度

　　　　　　截乙丙於丁復自甲至丁作甲丁線即

　　　　　　成甲丙丁兩界相等之三角形夫甲丙

　　　　　　丁丙兩界度既相等則甲丁丙丁甲丙

　　　　　　兩角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲

　　　　　　丙角原自乙甲丙角所分則乙甲丙角

　　　　　　必大於甲丁丙角矣然此甲丁丙角為

　　　　　　甲乙丁小三角形之外角與小三角形

　　　　　　内之甲乙二角相併之度等(見本卷/第五節)既

　　　　　　與甲乙二角之度等則大於乙角可知

　　　　　　矣夫甲丁丙角既大於乙角則乙甲丙

　　　　　　角必更大於乙角矣丙角之小於乙角

　　　　　　其理亦同

　　　　　　第十二

　　　　　　凡三角形内必有二鋭角葢三角形之

　　　　　　三角併之與二直角等(見本卷/第四節)如甲乙

　　　　　　丙三角形之乙角為直角則所餘甲角

　　　　　　丙角併之始與乙角相等二角併之僅

　　　　　　與一直角等則此二角獨較之必小於

　　　　　　直角矣故此甲丙二角為鋭角也又如

　　　　　　丁戊己三角形之戊角為鈍角則所餘

　　　　　　之丁角己角愈小於直角而為鋭角矣

　　　　　　第十三

　　　　　　凡自一㸃至一横線畫衆線而衆線内

　　　　　　有一垂線必短於他線而他線與垂線

　　　　　　相離愈逺則愈長也如自甲㸃至乙丙

　　　　　　線畫甲乙甲丁甲戊幾線此内甲乙為

　　　　　　垂線較之甲丁甲戊線則其度最短而

　　　　　　甲戊線與甲乙線相離既遠於甲丁故

　　　　　　更長於甲丁線也葢甲乙為垂線則乙

　　　　　　角必為直角(見首卷/第十節)而甲乙丁三角形

　　　　　　内丁角甲角必俱為鋭角而小於乙角

　　　　　　矣因乙角大於丁角故此乙角相對之

　　　　　　甲丁線必長於丁角相對之甲乙線又

　　　　　　甲丁戊外角原與甲乙丁乙甲丁二内

　　　　　　角相併之度等(見本卷/第五節)則此甲丁戊一

　　　　　　外角必大於甲乙丁一内角矣甲丁戊

　　　　　　之外角既大於甲乙丁之内角則甲丁

　　　　　　戊角相對之甲戊線必長於甲乙丁角

　　　　　　相對之甲丁線可知矣

　　　　　　第十四

　　　　　　凡三角形將二界線相併必長於所餘

　　　　　　之一界線如甲乙丙三角形將甲乙甲

　　　　　　丙二界線併之則長於所餘之乙丙界

　　　　　　線也試以丙甲線引之至丁作丁甲線

　　　　　　與甲乙等則丁丙線為甲丙甲乙二界

　　　　　　線之共度矣復自丁至乙作丁乙線成

　　　　　　乙甲丁兩界相等之三角形其丁乙甲

　　　　　　角與丁角等(見本卷/第九節)則丁乙丙角必大

　　　　　　於丁角夫丁乙丙角既大於丁角則其

　　　　　　所對之丁丙線必長於丁角相對之乙

　　　　　　丙線可知矣(見本卷第/十一節)

　　　　　　幾何原本三

　　　　　　第一

　　　　　　凡四邊線函四角者其形有五四邊線

　　　　　　度等而角度亦等者為正方形四角直

　　　　　　而兩邊線短兩邊線長者為長方形四

　　　　　　邊線度等而角度不等者為等邊斜方

　　　　　　形兩邊線長兩邊線短而角度又不等

　　　　　　者為兩等邊斜方形以上四形俱自平

　　　　　　行線出如四邊線不等亦不平行而四

　　　　　　角度又不等者為不等邊斜方形

　　　　　　第二

　　　　　　凡四平行線所成方形其所函之角成

　　　　　　兩對角必兩兩相等如甲乙丙丁平行

　　　　　　線方形其甲角度丙角度等而乙角度

　　　　　　丁角度亦等若以丙丁線引長至戊作

　　　　　　一線成一丁外角與甲角為二尖交錯

　　　　　　之角其度相等(見首卷第/二十二節)而丁外角與

　　　　　　丙角又為一邊之内外角其度亦等(見/首)

　　　　　　(卷第二/十二節)夫甲丁二角既等丁丙二角又

　　　　　　等則甲角與丙角必自相等而丁乙兩

　　　　　　對角之相等不言可知矣

　　　　　　第三

　　　　　　凡平行四邊形自一角至相對之角作

　　　　　　一對角線必平分四邊形為兩三角形

　　　　　　如甲丙乙丁四邊形作甲乙對角線即

　　　　　　成丙甲乙丁甲乙兩相等三角形葢此

　　　　　　四邊形之丙丁二角為對角其度必等

　　　　　　(見本卷/第二節)而對角線所分之丙甲乙丁乙

　　　　　　甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱為二尖

　　　　　　交錯之角其度又兩兩相等(見首卷第/二十二節)

　　　　　　夫此兩三角形原自一四邊形而分各

　　　　　　角又俱相等則其所函之分必等而四

　　　　　　邊形平分為兩平分無疑矣

　　　　　　第四

　　　　　　凡平行線所成方形其兩兩平行線度

　　　　　　俱相等如甲丙乙丁四邊形之丙甲線

　　　　　　與乙丁線度等丙乙線與甲丁線度等

　　　　　　此即如前節作一對角線成兩三角形

　　　　　　而兩形之各角必俱相等則丙甲乙丁

　　　　　　二線丙乙甲丁二線俱為各相等角所

　　　　　　對之線其度亦必相等矣(見二卷/第八節)

　　　　　　第五

　　　　　　平行線方形内兩對角線其相交處必

　　　　　　平分二線之正中如甲乙丙丁二線相

　　　　　　交於戊則所成甲戊戊乙二線丙戊戊

　　　　　　丁二線俱等葢因丙戊乙甲戊丁兩三

　　　　　　角形之丙乙甲丁二線為平行線其度

　　　　　　等(見本卷/第四節)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙

　　　　　　戊甲丁戊二角皆為平行線内相對之

　　　　　　錯角其度俱等(見首卷第/二十二節)夫丙乙甲丁

　　　　　　二線既等各相對之錯角又等則丙乙

　　　　　　戊丁甲戊二等角相對之戊丙戊丁二

　　　　　　線度與甲丁戊乙丙戊二等角相對之

　　　　　　戊甲戊乙二線度必皆相等可知矣(見/二)

　　　　　　(卷第/八節)

　　　　　　第六

　　　　　　凡平行線方形内於對角線上或縱或

　　　　　　横正中截開即將此形為兩平分如甲

　　　　　　丙乙丁之方形其甲乙對角線上畫一

　　　　　　戊己線於庚處截開則平分甲丙乙丁

　　　　　　方形為丙戊己乙一段甲戊己丁一段

　　　　　　此二段内之戊甲庚己乙庚兩三角形

　　　　　　之甲庚乙庚二線相等而戊甲庚己乙

　　　　　　庚之兩角又為平行線内二尖交錯之

　　　　　　角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相

　　　　　　對之角其度又等則此兩三角形度亦

　　　　　　必相等又如甲乙對角線將甲丙乙丁

　　　　　　方形為兩平分則其甲丙乙甲丁乙兩

　　　　　　三角形度必等將此兩相等之三角形

　　　　　　以戊己線截開於甲丙乙形内減甲戊

　　　　　　庚於甲丁乙形内減乙己庚則所餘之

　　　　　　甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所

　　　　　　分各形既俱兩兩相等則甲丙乙丁之

　　　　　　方形為戊己線所截自為兩平分可知

　　　　　　矣

　　　　　　第七

　　　　　　凡四邊形於對角線不拘何處復作相

　　　　　　交二平行線即成四四邊形設如甲丙

　　　　　　乙丁四邊形於對角線之戊處復作一

　　　　　　壬戊己一辛戊庚相交之二平行線即

　　　　　　成甲戊戊乙丙戊戊丁四四邊形此四

　　　　　　形中之甲戊戊乙二形為對角線上所

　　　　　　成之形丙戊戊丁二形為對角線旁所

　　　　　　成之形此對角線旁所成兩形必俱相

　　　　　　等如丙壬戊庚戊辛丁己兩形之分是

　　　　　　己葢甲丙乙丁之全形因甲乙對角線

　　　　　　平分為兩平分所成之甲丙乙甲丁乙

　　　　　　兩大三角形之分必等其對角線上所

　　　　　　成之一小方形復為甲戊對角線平分

　　　　　　為兩平分成甲庚戊甲己戊兩小三角

　　　　　　形此兩小三角形之分亦必等而對角

　　　　　　線上所成之一大方形又為戊乙對角

　　　　　　線平分為兩平分成戊壬乙戊辛乙兩

　　　　　　中三角形此兩中三角形之分亦必等

　　　　　　今將甲丙乙甲丁乙兩大三角形内減

　　　　　　去甲庚戊甲己戊之兩相等小三角形

　　　　　　再減去戊壬乙戊辛乙之兩相等中三

　　　　　　角形所餘對角線旁所成之丙壬戊庚

　　　　　　戊辛丁己兩四邊形此兩四邊形自然

　　　　　　相等矣

　　　　　　第八

　　　　　　凡兩平行線内同底所成之四邊形其

　　　　　　面積必等如甲己乙辛兩平行線内於

　　　　　　乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形戊

　　　　　　乙丙己一斜方四邉形此兩形雖不同

　　　　　　而所容之分必相等何也試以兩三角

　　　　　　形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一

　　　　　　三角形此兩三角形之甲乙丁丙二線

　　　　　　等甲戊丁己二線亦等(甲丁戊己二線/俱與乙丙平行)

　　　　　　(而度分相等若於甲丁戊己二線各加/一丁戊線即成甲戊丁己線其度自然)

　　　　　　(相/等)而戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙

　　　　　　平行線一邊之内外角其度又等則此

　　　　　　兩三角形自然相等可知矣今於兩三

　　　　　　角形内各減去丁戊庚則所餘之甲乙

　　　　　　庚丁戊庚丙己二形之分必等復於此

　　　　　　二形内毎加一庚乙丙形則成甲乙丙

　　　　　　丁戊乙丙己之兩四邊形其面積必然

　　　　　　相等也

　　　　　　第九

　　　　　　兩平行線内無論作幾四邊形其底度

　　　　　　若等則面積必俱等如甲乙丙丁二平

　　　　　　行線内作甲丙己戊庚辛丁乙兩平行

　　　　　　線四邊形其丙己辛丁兩底度相等則

　　　　　　其積亦等試自丙己底至庚乙畫二直

　　　　　　線即成一庚丙己乙斜四邊形此斜四

　　　　　　邊形既與甲丙己戊四邊形同出於丙

　　　　　　己之底即同前節两形面積俱等矣至

　　　　　　於庚辛丁乙與庚丙己乙又同出於庚

　　　　　　乙之底故此两形面積亦俱等觀此兩

　　　　　　兩相等則甲丙己戊庚辛丁乙兩形之

　　　　　　面積相等明矣

　　　　　　第十

　　　　　　凡兩平行線内同底所成之各種三角

　　　　　　形其面積俱等如甲乙丙丁兩平行線

　　　　　　内於丙丁底作甲丙丁一三角形己丙

　　　　　　丁一三角形此兩三角形之面積必等

　　　　　　何也自丁至戊作一直線與甲丙平行

　　　　　　再自丁至乙作一直線與己丙平行即

　　　　　　成甲丙丁戊己丙丁乙兩四邊形此二

　　　　　　形既同出於丙丁底其面積相等而甲

　　　　　　丙丁己丙丁兩三角形為平分兩四邊

　　　　　　形之一半其面積亦必相等矣

　　　　　　第十一

　　　　　　兩平行線内無論作幾三角形其底度

　　　　　　若等其面積亦俱等如甲乙丙丁二平

　　　　　　行線内作甲丙戊庚戊己兩三角形其

　　　　　　丙戊戊己兩底度相等故其面積亦等

　　　　　　今自戊至辛作一直線與甲丙平行又

　　　　　　自己至乙作一直線與庚戊平行即同

　　　　　　前節成面積相等之兩四邊形而此甲

　　　　　　丙戊庚戊己兩三角形為面積相等兩

　　　　　　四邉形之各一半則此两三角形之面

　　　　　　積必等可知矣

　　　　　　第十二

　　　　　　凡有幾三角形其底若俱在一直線而

　　　　　　各底相對之角又共遇於一處則其衆

　　　　　　三角形必在二平行線之間如甲乙丙

　　　　　　甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙

　　　　　　丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直

　　　　　　線上而各底相對之角又皆遇於甲處

　　　　　　則此四三角形俱同在庚辛壬癸二平

　　　　　　行線之間矣

　　　　　　第十三

　　　　　　凡等邊等角各形内五邊者為五角形

　　　　　　六邊者為六角形邊愈多角愈多者俱

　　　　　　隨其邊與角而名之焉

　　　　　　第十四

　　　　　　多邊多角形自角至心作線凡有幾界

　　　　　　即成幾三角形設如辛七邊形自心至

　　　　　　邉七角作七線即成七三角形而此各

　　　　　　三角形之分俱相等也

　　　　　　第十五

　　　　　　欲知衆邊形各邊角之度將邊數加一

　　　　　　倍得數減四其所餘之數即為各邊角

　　　　　　度也如辛七邉形以七邊數加一倍共

　　　　　　為十四十四内減四所餘之十即為十

　　　　　　直角數為此七邊形之各邊角之總度

　　　　　　也何也假如辛形自心至七角作七線

　　　　　　成七三角形凡三角形之三角與二直

　　　　　　角等(見二卷/第四節)則此七三角形之各三角

　　　　　　度共與十四直角等其七三角形之辛

　　　　　　心所有之七角又與四直角等(見首卷/第十五)

　　　　　　(節/)若將十四直角内減四直角乃餘十

　　　　　　直角則此十直角與衆邊形之各邊角

　　　　　　之總度相等可知矣

　　　　　　幾何原本四

　　　　　　第一

　　　　　　凡有直線切於圜界而不與圜界相交

　　　　　　者謂之切線如甲乙丙線切於丁圜乙

　　　　　　界其線雖自甲過乙至丙而與圜界不

　　　　　　出入相交此甲乙丙線即為圜之切線

　　　　　　也又如一圜與一圜界相切而不相交

　　　　　　則謂之切圜假如戊圜與己圜於庚界

　　　　　　相切二界總未相交故又謂之切圜也

　　　　　　第二

　　　　　　凡一直線横分圜之兩界謂之弦線其

　　　　　　所分圜界之一段謂之弧此弧與弦相

　　　　　　交所成之二角謂之弧分角如甲丙線

　　　　　　横分甲乙丙丁圜界於甲丙則甲丙線

　　　　　　為弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一

　　　　　　段皆謂之弧而甲丙弦與甲乙丙弧相

　　　　　　交所成之甲丙乙丙甲乙二角即謂之

　　　　　　弧分之角焉

　　　　　　第三

　　　　　　凡自一圜弦線之兩頭復作二直線相

　　　　　　遇於圜界之一處其所成之角謂之圜

　　　　　　分内角又謂之弧分相對之界角也如

　　　　　　甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦

　　　　　　線之兩頭各作一直線於甲處相遇其

　　　　　　所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲

　　　　　　角與乙丁丙弧相對故又為弧分相對

　　　　　　之界角也

　　　　　　第四

　　　　　　凡一圜有二輻線截弧之一段所成之

　　　　　　三角形謂之分圜面形如甲圜自甲心

　　　　　　至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二輻線

　　　　　　所成之甲丙乙三角形即為分圜面形

　　　　　　也

　　　　　　第五

　　　　　　凡自圜之輻線之末與圜界相切作一

　　　　　　垂線則此垂線與輻線之末在圜界僅

　　　　　　一㸃相切其他全在圜外即如甲圜之

　　　　　　甲乙輻線於乙末作一丙乙垂線則此

　　　　　　丙乙垂線與甲乙輻線俱在圜界乙處

　　　　　　之一㸃相切而此垂線之丁等處俱在

　　　　　　圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊

　　　　　　丁線此線必長於甲乙輻線(如二卷第/十三節云)

　　　　　　因其長於輻線必出於圜界之外此甲

　　　　　　戊丁線既出於圜界之外則丙乙線全

　　　　　　在圜外可知矣

　　　　　　第六

　　　　　　圜弦線上自圜心作一垂線則將弦線

　　　　　　為兩平分如乙丙弦自圜心甲至弦線

　　　　　　丁作一垂線必將乙丙弦為兩平分成

　　　　　　乙丁丁丙二段若自甲心至弦線乙丙

　　　　　　二末作二輻線成一甲乙丙三角形此

　　　　　　三角形之甲乙甲丙二線為一圜之輻

　　　　　　線其度必等此二輻線既等則甲乙丙

　　　　　　三角形内甲丁垂線所分之乙丁丁丙

　　　　　　二段亦必等矣若將垂線引長至弧界

　　　　　　戊作線則又將乙丙弧界為兩平分矣

　　　　　　第七

　　　　　　凡自圜外一處至圜界兩邊作二切線

　　　　　　此二線之度必等如自圜外甲至圜界

　　　　　　乙丙兩邊作甲乙甲丙二切線此二線

　　　　　　之度相等今於圜心丁至圜界乙丙二

　　　　　　切線之末作二輻線則此二輻線為甲

　　　　　　乙甲丙之垂線矣(如本卷第/五節云)因其為垂

　　　　　　線則甲乙丁甲丙丁之二角必同為直

　　　　　　角(見首卷/第十節)再自丙至乙作一弦線即成

　　　　　　丁乙丙甲乙丙兩三角形丁乙丙三角

　　　　　　形之丁乙丁丙二線同為圜之輻線其

　　　　　　度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二

　　　　　　角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相

　　　　　　等此二角内減去丁乙丙丁丙乙二角

　　　　　　則所餘之甲乙丙甲丙乙二角亦自相

　　　　　　等此二角既俱相等則甲乙甲丙二切

　　　　　　線為等角傍之兩界線自然相等無疑

　　　　　　矣

　　　　　　第八

　　　　　　凡圜内兩弦線若等其分圜弧面之積

　　　　　　必等自心至兩弦所作垂線亦必等如

　　　　　　甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等則所

　　　　　　分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面積必等

　　　　　　自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作

　　　　　　甲壬甲辛垂線其度亦必等何也如自

　　　　　　甲心至丙乙丁戊二弦之末各作輻線

　　　　　　即成甲丙乙甲丁戊兩三角形此兩三

　　　　　　角形之各界線必兩兩相等則此兩三

　　　　　　角形内相等線所對之角亦必相等(見/二)

　　　　　　(卷第/七節)角既相等則等角相對弧界之丙

　　　　　　己乙丁庚戊二段亦必相等(見首卷第/十二節)

　　　　　　丙己乙丁庚戊二弧線既等丙乙丁戊

　　　　　　二弦線又等則丁庚戊壬之弧面積與

　　　　　　丙己乙辛之弧面積自然相符矣又甲

　　　　　　辛甲壬二垂線將丙乙丁戊二弦為兩

　　　　　　平分則丙辛乙辛丁壬戊壬之四線亦

　　　　　　俱等三角形之各界線既兩兩相等而

　　　　　　三角形内各角又兩兩相等則平分丙

　　　　　　乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相

　　　　　　等矣

　　　　　　第九

　　　　　　凡弦線之所屬有三種一為弧之切線

　　　　　　一為弧之割線一為弧之弦線欲取弧

　　　　　　界各角之度用此三線求之必得也如

　　　　　　甲圜之甲乙輻線于乙末作丙乙垂線

　　　　　　復自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂

　　　　　　線丁分作甲丁線又從圜界戊至甲乙

　　　　　　輻線作戊己垂線則成三種線此三線

　　　　　　内丁乙線為乙戊弧之切線甲丁線為

　　　　　　乙戊弧之割線戊己線為乙戊弧之正

　　　　　　弦凡欲得各角弧界之度必於此三種

　　　　　　線取之如欲取乙甲戊角相對弧度則

　　　　　　自與甲角相對乙戊弧之丁乙切線取

　　　　　　之或自乙戊弧之甲丁割線取之或自

　　　　　　乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧

　　　　　　之度數焉

　　　　　　第十

　　　　　　一圜界内任於圜界一段至圜心作二

　　　　　　線至圜界作二線即成二角在圜心者

　　　　　　為心角在圜界者為界角設如甲乙丁

　　　　　　圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二

　　　　　　線仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二線

　　　　　　成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角為

　　　　　　心角甲丁乙角為界角也

　　　　　　第十一

　　　　　　圜内之心角界角同立圜界之一段而

　　　　　　各角之二線所成之式又分為三種有

　　　　　　界角心角同用一線者有界角心角不

　　　　　　同用一線者有界角二線跨心角二線

　　　　　　者總之此三種心角皆大於界角一倍

　　　　　　如有三圖圜心之甲丙乙角皆自圜界

　　　　　　甲乙一段作甲丙乙丙二線圜界之甲

　　　　　　丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙

　　　　　　丁二線則第一圗之甲丁乙界角之乙

　　　　　　丁線同立於甲丙乙心角之乙丙線上

　　　　　　而甲丙乙心角為甲丙丁三角形之外

　　　　　　角與甲丁丙丙甲丁二内角等(見二卷/第五節)

　　　　　　其甲丙丙丁二線又為一圜之輻線其

　　　　　　度亦等此二線既等則甲丁丙丙甲丁

　　　　　　二角亦必等(見二卷/第九節)今甲丙乙之外角

　　　　　　既與甲丁丙丙甲丁二内角等則甲丙

　　　　　　乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣

　　　　　　如第二圖甲丁乙界角之乙丁線不同

　　　　　　立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙

　　　　　　乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直

　　　　　　線之外則自丁角過圜之丙心至對界

　　　　　　作一丁丙戊全徑線即成甲丙戊一大

　　　　　　心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界

　　　　　　角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角

　　　　　　即如第一圖必倍於甲丁戊大界角而

　　　　　　乙丙戊小心角亦必倍於乙丁戊小界

　　　　　　角於甲丙戊大心角内減去乙丙戊小

　　　　　　心角甲丁戊大界角内減去乙丁戊小

　　　　　　界角則所餘之甲丙乙心角必大於所

　　　　　　餘之甲丁乙界角一倍矣如第三圖甲

　　　　　　丁乙界角之二線正跨於甲丙乙心角

　　　　　　二線之上而甲丙乙心角在甲丁乙界

　　　　　　角甲丁丁乙二直線之間則自丁角過

　　　　　　圜之丙心至對界作丁丙戊全徑線即

　　　　　　成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁

　　　　　　戊二界角此甲丙戊心角必倍於甲丁

　　　　　　戊界角乙丙戊心角亦必倍於乙丁戊

　　　　　　界角以甲丙戊乙丙戊二心角併之乃

　　　　　　甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界

　　　　　　角併之乃甲丁乙一界角今所分之二

　　　　　　心角既各倍於所分之界角則此所併

　　　　　　之甲丙乙心角必倍於所併之甲丁乙

　　　　　　界角矣

　　　　　　第十二

　　　　　　凡自圜之弧線一段任作相切界角幾

　　　　　　何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自

　　　　　　甲乙弧線一段至圜界丙丁作相切之

　　　　　　甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必

　　　　　　俱相等試自圜之戊心至圜界甲乙作

　　　　　　二輻線即成甲戊乙一心角此甲戊乙

　　　　　　之心角與甲丙乙乙丁甲界角俱同一

　　　　　　圜弧線之一段則心角必倍於界角然

　　　　　　則甲丙乙乙丁甲二界角既俱為甲戊

　　　　　　乙心角之一半則此二角之度必等可

　　　　　　知矣

　　　　　　第十三

　　　　　　凡圜内心角所對弧線之度比界角所

　　　　　　對弧線之度少一半則二角之度必等

　　　　　　如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲

　　　　　　丁戊一界角而甲乙丙心角相對甲丙

　　　　　　弧線之度比甲丁戊界角相對甲戊弧

　　　　　　線之度少一半則甲乙丙心角之度必

　　　　　　與甲丁戊界角之度相等試自丁角過

　　　　　　圜之乙心至對界作丁乙己全徑線復

　　　　　　自乙心至戊界作乙戊半徑線即成甲

　　　　　　乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二

　　　　　　界角其甲乙己心角必倍於甲丁己界

　　　　　　角而己乙戊心角亦必倍於己丁戊界

　　　　　　角今以甲乙己己乙戊二心角相併甲

　　　　　　丁己己丁戊二界角亦相併則甲乙己

　　　　　　己乙戊二心角所併之度必倍於甲丁

　　　　　　己己丁戊二界角所併之度矣是以甲

　　　　　　丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心

　　　　　　角所併之一半夫甲丙弧線既為甲戊

　　　　　　弧線之一半而甲乙丙角又為甲乙己

　　　　　　己乙戊二心角所併之一半則甲乙丙

　　　　　　心角度必與甲丁戊界角之度相等矣

　　　　　　第十四

　　　　　　凡圜内界角立於圜界之半者必為直

　　　　　　角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立

　　　　　　於甲丁丙圜界之正一半則此甲乙丙

　　　　　　角必然為直角也自甲丁丙之半圜於

　　　　　　丁界為兩平分復自丁界至圜心戊作

　　　　　　丁戊輻線即成甲戊丁角其相對之甲

　　　　　　丁弧為圜界四分之一既為圜界四分

　　　　　　之一則必為直角(如首卷第/十節云)夫心角相

　　　　　　對弧線若為界角相對弧線之一半其

　　　　　　二角之度相等矣(如本卷第/十三節云)今甲戊丁

　　　　　　心角相對之甲丁弧線既為甲乙丙界

　　　　　　角相對之甲丁丙弧線之一半則甲戊

　　　　　　丁心角度必與甲乙丙界角度相等且

　　　　　　甲丁弧線既為圜界四分之一而甲丁

　　　　　　丙弧線又為圜界之正一半則甲戊丁

　　　　　　心角為直角而甲乙丙界角亦必為直

　　　　　　角矣

　　　　　　第十五

　　　　　　凡圜内界角其所對之弧過於圜界之

　　　　　　半者必為鈍角如甲乙丙戊圜内之甲

　　　　　　乙丙界角其相對之甲戊丙弧大於圜

　　　　　　界之一半故其相對之甲乙丙角為鈍

　　　　　　角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊

　　　　　　戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻

　　　　　　線即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分

　　　　　　既大於半圜則此甲戊弧線一段亦大

　　　　　　於圜之四分之一矣故此甲戊弧線相

　　　　　　對之甲丁戊心角必為鈍角(見首卷第/十一節)

　　　　　　夫心角相對之弧線比界角相對之弧

　　　　　　線少一半則二角之度必相等(如本卷/第十三)

　　　　　　(節/云)今甲丁戊心角相對之甲戊弧線正

　　　　　　為甲乙丙界角相對甲戊丙弧線之一

　　　　　　半則甲乙丙界角自然與甲丁戊心角

　　　　　　等矣夫甲丁戊心角既為鈍角則甲乙

　　　　　　丙界角亦必為鈍角矣

　　　　　　第十六

　　　　　　凡圜内界角其所對之弧不及圜界之

　　　　　　半者必為鋭角如甲乙丙戊圜内之甲

　　　　　　乙丙界角其相對之甲戊丙弧小於圜

　　　　　　界之一半故其相對之甲乙丙角為鋭

　　　　　　角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊

　　　　　　戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻

　　　　　　線即成甲丁戊一心角此心角所對之

　　　　　　甲戊弧線既不足圜界四分之一則此

　　　　　　甲丁戊心角必為鋭角矣(見首卷第/十一節)此

　　　　　　甲丁戊心角所對之弧比之甲乙丙界

　　　　　　角所對之弧為一半則此二角之度必

　　　　　　等夫甲丁戊心角既為鋭角則甲乙丙

　　　　　　界角亦必為鋭角矣

　　　　　　第十七

　　　　　　凡函圜各界形之各線與圜界相切而

　　　　　　不相交則謂之函圜切界形如甲乙丙

　　　　　　三角形之甲乙乙丙丙甲三界線俱在

　　　　　　庚圜界之丁己戊三處相切而不相交

　　　　　　故謂之函圜切界三角形又若甲乙丙

　　　　　　丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界

　　　　　　線俱在戊圜界之己庚辛壬四處相切

　　　　　　而不相交則謂之函圜切界四邊形觀

　　　　　　此二圖則知函圜各界形必大於所函

　　　　　　圜界形之分矣

　　　　　　第十八

　　　　　　凡圜内直界形之各角止抵圜界而不

　　　　　　割出則謂之圜内所函各邊形如甲乙

　　　　　　丙三角形之甲角乙角丙角俱與丁圜

　　　　　　界相抵而不曾割出即謂之圜内所函

　　　　　　三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角

　　　　　　乙角丙角丁角俱與戊圜界相抵而不

　　　　　　割出則謂之圜内所函四邊形觀此二

　　　　　　圖則知函於圜界各界形必小於圜界

　　　　　　形之分矣

　　　　　　第十九

　　　　　　凡等邊衆界形或函圜或函於圜其界

　　　　　　數愈多愈與圜界相近如甲圜形函乙

　　　　　　丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊

　　　　　　等邉六角形以三角形之三邊比之六

　　　　　　角形之六邊則六角形之六邉與圜界

　　　　　　相近矣設有十二角形之十二邊比此

　　　　　　六角形之六邊則十二角之十二邊又

　　　　　　與圜界為近若有二十四角之二十四

　　　　　　邊則又更近於十二角之十二邊矣葢

　　　　　　函衆界形之度必大於所函之衆界形

　　　　　　度(見本卷第十/七十八兩節)今甲圜既函等邊六角

　　　　　　形自大於六角形而此六角形又函等

　　　　　　邉三角形亦必大於三角形由此推之

　　　　　　十二角函六角二十四角函十二角其

　　　　　　邊愈多者其度愈大故與圜界愈近也

　　　　　　又如復有一函圜等邊四角形内又作

　　　　　　一函圜等邊八角形此四角形既函八

　　　　　　角形必大於八角形可知矣若於八角

　　　　　　形内復作十六角形十六角形内又作

　　　　　　三十二角形其所函形愈小邉數愈多

　　　　　　則與所函之圜界度愈近矣苟設一函

　　　　　　於圜界之多邉形為幾十萬邉(設函於/圜界之)

　　　　　　(多邉形一自六邉起/算一自四邉起算)復設一函圜界之

　　　　　　多邉形亦為幾十萬邉(設函圜界之多/邉形亦一自六)

　　　　　　(邉起算一自/四邉起算)使此函圜之多邉形自外

　　　　　　與圜界相比而函於圜界之多邉形自

　　　　　　内與圜界相比則此二多邊形之每邊

　　　　　　直界線將與圜界曲線合而為一故圜

　　　　　　界曲線可得直線之度而多邉形之直

　　　　　　線亦可得為圜界度也

　　　　　　第二十

　　　　　　函圜切界等邊形其所函圜之輻線度

　　　　　　與一直角三角形之小邊之度等而等

　　　　　　邉形之衆界共度又與三角形之大邊

　　　　　　之度等則三角形之面積與等邊形之

　　　　　　面積等如丙丁戊己庚等邉五角形其

　　　　　　所函甲圜之甲乙輻線與辛壬癸直角

　　　　　　三角形之辛壬小邉線度等而五角形

　　　　　　之丙丁戊己庚五邉線共度又與三角

　　　　　　形之壬癸大邉線度等則此辛壬癸三

　　　　　　角形面積必與丙丁戊己庚等邉五角

　　　　　　形面積等也何以見之若自五邊形之

　　　　　　甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲

　　　　　　丁甲戊甲己甲庚五線即分成甲丙丁

　　　　　　類五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸

　　　　　　線度既與五角形之五邉共度等今將

　　　　　　壬癸線平分五分以所分之每分為底

　　　　　　依前所分五三角形式作甲壬丙類五

　　　　　　正式三角形復自所分丙丁戊己四處

　　　　　　俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛

　　　　　　己辛四線遂分辛壬癸一三角形為辛

　　　　　　壬丙類五斜式三角形再自甲壬丙類

　　　　　　五三角形之甲角至底各作一甲乙垂

　　　　　　線俱與圜之輻線等則甲壬丙相等之

　　　　　　五三角形之髙度亦自相等矣於是復

　　　　　　自辛壬癸三角形之辛角與五甲角相

　　　　　　切作一辛子線與壬癸為平行線則此

　　　　　　平行線内同底所成之各種三角形之

　　　　　　面積必俱相等矣(見三卷/第十節)葢辛壬丙甲

　　　　　　壬丙兩三角形為同底辛丙丁甲丙丁

　　　　　　兩三角形為同底辛丁戊甲丁戊兩三

　　　　　　角形為同底辛戊己甲戊己兩三角形

　　　　　　為同底辛己癸甲己癸兩三角形為同

　　　　　　底故其面積俱相等也且辛壬丙三角

　　　　　　形與甲壬丙三角形既俱相等則辛壬

　　　　　　丙之類五斜式三角形之面積即如甲

　　　　　　壬丙之類五正式三角形之面積矣其

　　　　　　所分各形之面積俱等則其全形之面

　　　　　　積自然相等此所以辛壬癸直角三角

　　　　　　形之面積與丙丁戊己庚等邉五角形

　　　　　　之面積相等也

　　　　　　第二十一

　　　　　　圜界内函等邊衆界形其圜心至衆界

　　　　　　所作中垂線與一直角三角形之小邉

　　　　　　之度等而等邊衆界形之衆界共度又

　　　　　　與直角三角形之大邊之度等則此三

　　　　　　角形之面積與等邊衆界形之面積等

　　　　　　如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角

　　　　　　形其圜之甲心至衆界所作甲辛垂線

　　　　　　與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線

　　　　　　度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉

　　　　　　線共度又與三角形之癸子大邉線度

　　　　　　等則此壬子癸三角形面積必與乙丙

　　　　　　丁戊己庚等邉六角形面積等也若依

　　　　　　前節法將六邉形分為六三角形復以

　　　　　　三角形之癸子界照六邉形度分為六

　　　　　　分又照六邊形所分六三角形作六正

　　　　　　式三角形復自壬子癸三角形之壬角

　　　　　　至乙丙丁戊己五處作五斜線成六斜

　　　　　　式三角形此兩式三角形同底又同在

　　　　　　二平行線内則其面積必兩兩相等此

　　　　　　兩式六三角形之垂線既與壬癸子直

　　　　　　角三角形之壬癸小邉線度等而兩式

　　　　　　六三角形之底線共度又與壬子癸直

　　　　　　角三角形之癸子大邉線度等則壬癸

　　　　　　子直角三角形之面積必與乙丙丁戊

　　　　　　己庚等邉六角形之面積相等矣

　　　　　　第二十二

　　　　　　凡圜形之輻線與一直角三角形之小

　　　　　　邊線度等而圜之周界與三角形之大

　　　　　　邉線度等則此直角三角形之面積與

　　　　　　圜形之面積相等如有一甲圜形其甲

　　　　　　乙輻線與丙丁戊直角三角形之丙丁

　　　　　　小邉線度等而甲圜形之乙周界又與

　　　　　　丙丁戊三角形之丁戊大邉線度等則

　　　　　　此丙丁戊三角形之面積即與甲圜形

　　　　　　之面積相等也何以見之甲圜之輻線

　　　　　　與三角形之小邉等者即如等邉衆界

　　　　　　形之中垂線與三角形之小邉等也甲

　　　　　　圜之周界與三角形之大邉等者即如

　　　　　　等邉衆界形之各界共度與三角形之

　　　　　　大邉等也若夫函圜衆界形相等之三

　　　　　　角形其小邊雖與圜之輻線等其大邉

　　　　　　則長於圜之周線故其積分亦大於圜

　　　　　　之積分而函於圜衆界形相等之三角

　　　　　　形其小邉既短於圜之輻線而大邊亦

　　　　　　短於圜之周線故其積分亦小於圜之

　　　　　　積分今此甲圜形相等之丙丁戊三角

　　　　　　形其小邊既與圜之輻線等面三角形

　　　　　　之大邉又與圜之周線等則其積分與

　　　　　　圜形之積分相等無疑矣然圜周界曲

　　　　　　線也等邉衆界形之界度直線也觀之

　　　　　　似難於相通者如以圜之内外各設多

　　　　　　邉衆界形分為千萬邉(如本卷第/十九節云)則逼

　　　　　　圜界最近將合而為一乃依所分之段

　　　　　　為千萬正式三角形此千萬正式三角

　　　　　　形之中垂線亦將與圜之輻線合而為

　　　　　　一而千萬邉共界度既與圜周合而為

　　　　　　一則圜周之曲線亦變而為直線矣夫

　　　　　　千萬邉正式三角形之中垂線既成圜

　　　　　　之輻線則與丙丁戊三角形之小邊等

　　　　　　而千萬邉正式三角形之底界共度又

　　　　　　成圜之周度則又與丙丁戊三角形之

　　　　　　大邊度等矣復自丙丁戊三角形之丙

　　　　　　角至千萬正式三角形之底界各作千

　　　　　　萬斜式三角形以比正式三角形因其

　　　　　　㡳同其分自相等故千萬斜式三角形

　　　　　　之共積比之千萬正式三角形之共積

　　　　　　千萬正式三角形之共積比之丙丁戊

　　　　　　一直角三角形之面積丙丁戊直角三

　　　　　　角形之面積比之甲圜形之面積俱相

　　　　　　等也

　　　　　　第二十三

　　　　　　有一圜形又一衆界形此圜界度若與

　　　　　　彼衆界總度等則圜形之面積必大於

　　　　　　衆界形之面積也如甲乙丙丁圜形之

　　　　　　周界與戊己庚辛等邊四角形之四邉

　　　　　　總度等則圜形之面積必大於等邉四

　　　　　　角形之面積矣前言凡圜形之輻線與

　　　　　　一直角三角形之小邉線度等而圜之

　　　　　　周界與三角形之大邉線度等則三角

　　　　　　形之面積與圜形之面積相等矣今試

　　　　　　以甲乙丙丁圜形周界為三角形之大

　　　　　　邉以甲乙丙丁圜形之甲壬輻線為三

　　　　　　角形之小邉作一子丑寅直角三角形

　　　　　　則三角形之丑寅大邉線度亦與戊己

　　　　　　庚辛四角形之四邉總度等而三角形

　　　　　　之子丑小邉線度雖與圜形甲壬輻線

　　　　　　等却比四角形之自壬心至癸邉所作

　　　　　　垂線為長若將三角形之子丑小邉線

　　　　　　照四角形之壬癸垂線度截開則分子

　　　　　　丑線於卯復自卯至寅作一斜弦即成

　　　　　　卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三

　　　　　　角形之分與戊己庚辛四角形相等也

　　　　　　此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分

　　　　　　之則卯丑寅形必小於子丑寅形今甲

　　　　　　乙丙丁圜形之面積既與子丑寅三角

　　　　　　形之面積等而戊己庚辛四角形之面

　　　　　　積又與卯丑寅三角形之面積等則戊

　　　　　　己庚辛四角形之面積必小於甲乙丙

　　　　　　丁圜形之面積可知矣觀此凡界度相

　　　　　　等之形圜界所函之分比衆界所函之

　　　　　　分必大而衆界所函之分與圜界所函

　　　　　　之分同者則衆界之總度復比圜界度

　　　　　　大也

　　　　　　㡬何原本五

　　　　　　第一

　　　　　　平面之上所立直線無少偏倚其各邊

　　　　　　所生之角必俱直則謂之平面上所立

　　　　　　垂線也如甲乙之平面正立一丙丁線

　　　　　　不偏不倚此即為平面上所立之垂線

　　　　　　矣

　　　　　　第二

　　　　　　凡兩平面相對其所立衆垂線度俱各

　　　　　　相等則此相對之平面謂之平行面也

　　　　　　如甲乙丙丁二平面間所有戊己衆垂

　　　　　　線之度俱相等此甲乙丙丁二平面即

　　　　　　為平行面矣

　　　　　　第三

　　　　　　平面上復立一平面無少偏倚其兩邊

　　　　　　所成之角必皆為直角則謂之平面上

　　　　　　所立直面也如甲乙平面上所立之丙

　　　　　　丁平面無偏無倚兩邊亦俱成直角此

　　　　　　即為平面上所立之直面矣

　　　　　　第四

　　　　　　凡各面相合其每面之角所合處復成

　　　　　　一種體角則謂之厚角夫厚角必自三

　　　　　　面合之乃成其面多者為各瓣相併所

　　　　　　成之厚角也如甲圖四面為四瓣相併

　　　　　　所生之厚角乙圖五面為五瓣相併所

　　　　　　生之厚角是己

　　　　　　第五

　　　　　　凡各面相併所成之厚角如將各面計

　　　　　　之則其衆角所合之分必不足於四直

　　　　　　角度也如甲圖五面合成之厚角若將

　　　　　　其五面展開使平作乙丙丁戊己平面

　　　　　　之五瓣復以甲為心作一甲圜其乙丙

　　　　　　丁戊己之五瓣相離處不能滿甲圜之

　　　　　　周界矣因其不滿於圜之周界故比四

　　　　　　直角為不足也或以四直角分强欲作

　　　　　　一厚角則其瓣過於大必不能成平面

　　　　　　所合之厚角矣

　　　　　　第六

　　　　　　凡等邊三面所合厚角其三面内之兩

　　　　　　面角倂之必大於一直角度也如甲丙

　　　　　　乙丁之等邉三面所合之甲厚角將乙

　　　　　　甲丙丙甲丁二面倂之必大於一直角

　　　　　　度矣依前節法將甲厚角展開使平雖

　　　　　　不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之

　　　　　　二而併之則較之一直角度為大焉何

　　　　　　以見之夫三面展開其所離之虛分仍

　　　　　　有三面之分以三面之實分合三面之

　　　　　　虛分則為六角之全形此六角之全形

　　　　　　得四直角度矣六角而得四直角則三

　　　　　　角必得二直角三角既得二直角則二

　　　　　　角相倂必大於一直角可知矣

　　　　　　第七

　　　　　　凡平面二線交處作一垂線正立而無

　　　　　　偏倚此線任在平面各處俱為垂線如

　　　　　　甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二線相交

　　　　　　己處作一戊己垂線正立而不偏倚則

　　　　　　此戊己線任在甲乙丙丁平面上某一

　　　　　　處俱為垂線也假使戊己垂線不能正

　　　　　　立而有所偏倚則如壬己線近於辛而

　　　　　　離於庚矣壬己線既近於辛而離於庚

　　　　　　則偏向於丁丙而逺於甲乙而壬己丁

　　　　　　壬己丙之二角為鋭角壬己甲壬己乙

　　　　　　之二角為鈍角矣戊己既如壬己則不

　　　　　　得謂之甲丙丁乙二線相交處正立之

　　　　　　垂線矣

　　　　　　第八

　　　　　　衆線交處立一垂線其各角若俱直此

　　　　　　所交各線必在一平面也如甲丙乙丁

　　　　　　庚辛之三線相交處立一戊己垂線其

　　　　　　與衆線相接各角若俱直則此相交之

　　　　　　三線必在一平面也夫衆線之相交固

　　　　　　在平面而垂線之所立正所以考面或

　　　　　　一角不直則不得謂之平面矣

　　　　　　第九

　　　　　　平面上若立二垂線必互為平行線如

　　　　　　甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂

　　　　　　線則此二線互為平行線也試自辛過

　　　　　　己至壬作一辛壬線則戊己庚辛二垂

　　　　　　線所立之分必正其在甲乙丙丁平面

　　　　　　上任指何處所生之角俱是直角(見本/卷首)

　　　　　　(節/)故戊己壬庚辛己二角俱為直角而

　　　　　　相等也且此二角又為二線與一線相

　　　　　　交所成之内外角其度既等則戊己庚

　　　　　　辛二線必為平行線矣(如首卷第/二十一節)

　　　　　　第十

　　　　　　有二線與一垂線平行雖不在平面之

　　　　　　一界此三線亦互相為平行線也如甲

　　　　　　乙丙丁二線俱與戊己一垂線平行不

　　　　　　立於一直線上雖不居平面之一界此

　　　　　　三線亦必互為平行線也試於甲乙丙

　　　　　　丁戊己三線之末作一庚辛平面此平

　　　　　　面上之戊己線為垂線其四圍平面所

　　　　　　生之各角俱是直角矣復自乙過己自

　　　　　　丁過己作相交二線則成甲乙己戊己

　　　　　　壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角

　　　　　　俱為平行線一邉之内外角俱為相等

　　　　　　角矣(見首卷第/二十一節)而甲乙己丙丁己二角

　　　　　　亦俱為直角夫甲乙丙丁二線在庚辛

　　　　　　平面上所生之角皆直又皆與戊己垂

　　　　　　線所生之角等則甲乙丙丁二線亦皆

　　　　　　得為垂線其與戊己線為互相平行之

　　　　　　三線可知矣

　　　　　　第十一

　　　　　　相對二平面之間横一直線此線在二

　　　　　　平面上所生角若俱直則此相對二面

　　　　　　互相為平行面也如甲辛乙庚丙癸丁

　　　　　　壬二平面之間横一戊己直線此戊己

　　　　　　線末所抵處其四圍俱成直角則此二

　　　　　　平面互相為平行面矣試將此二平面

　　　　　　之戊己横線所抵之處作甲乙庚辛相

　　　　　　交二線丙丁壬癸相交二線則戊己横

　　　　　　線於二平面各界所生之角俱為直角

　　　　　　如甲乙丙丁二線與戊己横線相抵所

　　　　　　生之甲戊己戊己癸二尖交錯之角相

　　　　　　等故甲乙丙丁相當之二線為平行矣

　　　　　　又如辛戊己戊己丙二尖交錯之角亦

　　　　　　相等故庚辛壬癸相當二線亦為平行

　　　　　　矣相對二平面之上所有之相當各二

　　　　　　線既俱同為平行線則相對之二平面

　　　　　　自然互為平行面矣

　　　　　　第十二

　　　　　　有二平行面橫交一面其相交處所生

　　　　　　二線必平行如甲乙丙丁平行二面上

　　　　　　横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交

　　　　　　處所生二線亦俱平行也何以言之庚

　　　　　　辛壬癸平面相交處所生二縫既在甲

　　　　　　乙丙丁二平面之上自然與甲乙丙丁

　　　　　　二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各線同

　　　　　　為平行線且又在戊己一平面内其分

　　　　　　自然相對故此二平面與一平面相交

　　　　　　之縫線亦得為平行也

　　　　　　第十三

　　　　　　凡各種面内所積之實為體而皆因其

　　　　　　面以名之焉如全體不成角度止現圓

　　　　　　之圓面則謂之圓體甲乙圖是也全體

　　　　　　各面俱平各邊相等所成各角又等則

　　　　　　謂之平面正方體丙丁圖是也全體各

　　　　　　面雖平體長而面成兩式其相對各面

　　　　　　仍兩兩相等相對各邊則又平行角又

　　　　　　相等此謂之平行長方體戊己圖是也

　　　　　　體有曲平兩面相雜而不成等邊等面

　　　　　　則謂之底平半圓體庚辛圖是也全體

　　　　　　相對之各面不平行上下兩面平行則

　　　　　　謂之上下面平行體壬癸圖是也體圓

　　　　　　而上下面俱平則謂之長圓體子圖是

　　　　　　也底為平面其各面俱合於一角而成

　　　　　　厚角則謂之尖瓣體底三角者謂之三

　　　　　　瓣尖體底四角者謂之四瓣尖體底衆

　　　　　　角者謂之衆瓣尖體如丑寅卯三圖是

　　　　　　也又或底面圓而漸鋭成形則謂之尖

　　　　　　圓體辰圖是也

　　　　　　第十四

　　　　　　凡圓體長圓體尖圓體俱生於圜面故

　　　　　　其外皮面積亦生於圜界一旋轉之度

　　　　　　分耳如取甲乙丙丁之圓形則以甲乙

　　　　　　徑線為樞心將甲丙乙半圓作轉式旋

　　　　　　轉復還於原處即成甲丙乙丁一圓形

　　　　　　體如取甲乙戊己平行面之長圓形則

　　　　　　以甲乙中線為樞心將丙丁線界作轉

　　　　　　式旋轉復還於原處即成甲乙戊己一

　　　　　　長圓體如取甲丙丁平底尖圓形則以

　　　　　　甲乙中線為樞心將甲丁邉線作轉式

　　　　　　旋轉復還於原處即成甲乙丙丁一尖

　　　　　　圓體矣

　　　　　　第十五

　　　　　　凡各體形其各面平行相當則相對兩

　　　　　　邊面積俱相等如甲乙丙丁之正方體

　　　　　　其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面

　　　　　　俱各平行故相對二面之積自兩兩相

　　　　　　等也

　　　　　　第十六

　　　　　　凡體面式不一而積等者為積數相等

　　　　　　之體面式既同而體積又等者爲面式

　　　　　　體積全等之體如甲乙二體為積數相

　　　　　　等之體也丙丁二體為面式體積全等

　　　　　　之體也

　　　　　　第十七

　　　　　　凡平行面之長方體自一面之對角線

　　　　　　平分為兩三稜體此兩三稜體必爲面

　　　　　　式體積全等之體矣如甲乙平行面長

　　　　　　方體自丙丁二角至相對戊己二角分

　　　　　　為兩段成戊丙乙丁己甲兩三稜體為

　　　　　　面式體積全等體也試以甲丙庚戊辛

　　　　　　丁乙己兩平面形自戊丙丁己兩對角

　　　　　　線均分為兩三角形面則所分之戊庚

　　　　　　丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面

　　　　　　積俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面

　　　　　　又互為平行必兩兩相等再對角線分

　　　　　　成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一

　　　　　　界所分必各相等今所分二形之各面

　　　　　　既各相等則其積必等而為面式體積

　　　　　　全等體無疑矣

　　　　　　第十八

　　　　　　凡平行二平面之間若同底立各平行

　　　　　　體其積必相等設甲乙丙丁平行二平

　　　　　　面之間於戊己庚辛底立壬庚癸己二

　　　　　　平行體其積俱相等何也葢因壬戊己

　　　　　　子丑寅平面三角形之壬戊己子面與

　　　　　　卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚

　　　　　　辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角

　　　　　　形之丑戊己寅面與卯辛庚辰癸午平

　　　　　　面三角形之癸辛庚午面平行故其各

　　　　　　面之度相等其壬子辰卯之面與丑寅

　　　　　　午癸一面俱與戊己庚辛一面平行其

　　　　　　度亦必相等此二面之度既等則壬子

　　　　　　寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其

　　　　　　上下各面度既等而平面兩三角形之

　　　　　　各面各邉度又俱等則此壬庚癸己二

　　　　　　平行體之積必然相等也可知矣

　　　　　　第十九

　　　　　　凡平行平面之間所有立於等積底之

　　　　　　各平行體其積必俱相等設如甲乙丙

　　　　　　丁平行二平面之間有戊己庚辛壬癸

　　　　　　子丑二等積之底立一寅庚正靣平行

　　　　　　體一卯子斜面平行體此二體之積必

　　　　　　相等試自寅庚正面平行體之戊己庚

　　　　　　辛底至卯子斜面平行體之卯辰午未

　　　　　　面復作一卯庚斜面平行體則寅庚卯

　　　　　　庚二體立於戊己庚辛之一底其積相

　　　　　　等矣(如前節/所云)而卯子卯庚二體又同立

　　　　　　於卯辰午未之面其積亦必相等是以

　　　　　　寅庚正面平行體卯子斜面平行體俱

　　　　　　與卯庚平行體相等故云凡平行平面

　　　　　　之間所有立於等積底之各平行體其

　　　　　　積必俱相等也

　　　　　　第二十

　　　　　　平行平面之間有立於等積三角底之

　　　　　　各三面體其積必俱等如甲乙丙丁平

　　　　　　行二平面之間有子庚丑寅癸卯等積

　　　　　　三角底立戊庚己辛癸壬之兩三面體

　　　　　　此二體積必相等何以見之若以此二

　　　　　　體之上邊二面之戊辰辰己二界平行

　　　　　　作戊未己未二線辛午壬午二界平行

　　　　　　作辛申壬申二線又於此二體之下邊

　　　　　　　二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉

　　　　　　　丑二線寅癸癸夘二界平行作寅戌戌

　　　　　　　卯二線則二體所生酉子庚丑戌寅癸

　　　　　　　卯四邊平行二底俱在子丑寅卯二對

　　　　　　　角線其度相等(見三卷/第三節)其分比三角面

　　　　　　　各大一倍矣復於所作二底邊酉戌二

　　　　　　　處作酉未一縱線戌申一縱線即成未

　　　　　　　庚申癸平行面二方體矣其酉子庚丑

　　　　　　　戌寅癸卯二底既俱相等則所生之未

　　　　　　　庚申癸平行面之二方體亦自相等(見/本)

　　　　　　　(卷第十/九節)此未庚申癸平行面二方體既

　　　　　　　各相等則戊庚己辛癸壬之三面體為

　　　　　　　未庚申癸二方體之正一半其積必等

　　　　　　　無疑矣

　　　　　　　第二十一

　　　　　　　凡各種體形難以圖顯葢以圖止一面

　　　　　　　故也必用木石製之始能相肖况此各

　　　　　　　種形體又或有外實而内空者必按其

　　　　　　形以求其理始可發明其精藴矣

　　　　　　第二十二

　　　　　　凡各面所成體形内其各面俱平行或

　　　　　　上下面為平行而立於等積之底其體

　　　　　　之髙又等則其體之積亦相等如甲乙

　　　　　　體其各面俱平行又如丙丁體其上下

　　　　　　面平行立於等積之底其髙又等或又

　　　　　　如戊己體其上下面平行圓面積又等

　　　　　　髙又等則其兩兩體積必相等矣又如

　　　　　　庚辛壬癸之類尖體形苟立於等積之

　　　　　　底其體之髙若等則其體之積亦相等

　　　　　　何以見之若將衆尖體分為平行底之

　　　　　　衆小體其所分衆小體之底度髙度必

　　　　　　俱相等如子丑圖其所分小體之積俱

　　　　　　等故其全體之積亦相等也

　　　　　　第二十三

　　　　　　凡上下面平行各體與平底尖體同底

　　　　　　同髙者不論平面圓面其平底尖體皆

　　　　　　得上下面平行體三分之一如甲乙上

　　　　　　下面平行之長方體與丙丁四瓣尖體

　　　　　　其乙丁兩底積等甲乙丙丁兩髙度又

　　　　　　等則甲乙長方體與丙丁尖體三形等

　　　　　　如戊己上下面平行之三稜體與庚辛

　　　　　　三瓣尖體其己辛兩厎積等戊己庚辛

　　　　　　兩髙度又等則戊己三稜體與庚辛尖

　　　　　　體三形等又如壬癸上下面平行之長

　　　　　　圓體與子丑尖圓體其癸丑兩底積等

　　　　　　壬癸子丑兩高度又等則壬癸長圓體

　　　　　　與子丑尖圓體三形等又如壬癸長圓

　　　　　　體與甲乙戊己類體同底同髙則壬癸

　　　　　　長圓體亦與丙丁庚辛類尖體三倍所

　　　　　　合之數等又或子丑尖圓體與丙丁庚

　　　　　　辛類尖體同底同髙則子丑尖圓體三

　　　　　　倍之乃與甲乙一體戊己一體等也夫

　　　　　　同底同髙上下面平行體既俱爲尖體

　　　　　　之三倍則尖體為上下面平行體三分

　　　　　　之一可知矣(葢甲乙戊己壬癸各體其/式雖不同苟底積高度相)

　　　　　　(等其積必等而丙丁庚辛子丑各體式/雖不同苟底積高度相等其積亦必等)

　　　　　　(故知丙丁庚辛子丑平底尖體互爲甲/乙戊己壬癸上下面平行各體三分之)

　　　　　　(一也如將上下面平行各體以木石為/之分作同底同髙之各平底尖體用權)

　　　　　　(衡以較其分量則各體/之積分自昭然可見矣)

　　　　　　第二十四

　　　　　　凡長圓體外周面積與長方體底面積

　　　　　　相等而長圓體半徑又與長方體高度

　　　　　　相等則長圓體積必得長方體積之半

　　　　　　也如甲乙丙丁長圓體其周圍外面積

　　　　　　與戊己長方體之庚己底面積等而長

　　　　　　圓體之壬丁半徑又與長方體之戊庚

　　　　　　髙度等則此甲乙丙丁長圓體積必得

　　　　　　戊己長方體積之一半也試將甲乙丙

　　　　　　丁長圓體從壬癸中線至周圍外面分

　　　　　　爲千萬分則成子丑己類千萬長尖體

　　　　　　此千萬長尖體之髙與長圓體之壬子

　　　　　　半徑等而千萬長尖體之共底即長圓

　　　　　　體之周圍外面積則此千萬長尖體必

　　　　　　爲戊己長方體之一半矣葢寅己辛三

　　　　　　角面爲午己長方面之一半(見三卷/第三節)而

　　　　　　此子丑己類衆三角面與寅己辛三角

　　　　　　面等(見四卷第/二十節)子丑己類衆三角面既

　　　　　　與寅己辛三角面等則子丑己類衆長

　　　　　　尖體亦必與卯辰庚辛己寅三角體等

　　　　　　此卯辰庚辛己寅三角體固爲戊己長

　　　　　　方體之一半今長圓體所分之衆長尖

　　　　　　體既與卯辰庚辛己寅三角體等則亦

　　　　　　必爲戊己長方體之一半故甲乙丙丁

　　　　　　長圓體爲戊己長方體之一半也

　　　　　　第二十五

　　　　　　凡球體外面積與尖圓體之底積等而

　　　　　　球體之半徑與尖圓體之高度等則此

　　　　　　球體之積與尖圓體之積等也如甲乙

　　　　　　丙丁球體之外面積與己庚辛尖圓體

　　　　　　之庚子辛癸底積等球體之甲戊半徑

　　　　　　與尖圓體之己壬高度等則此球體之

　　　　　　積爲與尖圓體之積等也試將球體從

　　　　　　中心分爲千萬尖體復將尖圓體亦分

　　　　　　爲千萬尖體則球體所分尖體毎一分

　　　　　　必皆與尖圓體所分尖體一分等何也

　　　　　　葢球體所分尖體皆以球體之外面爲

　　　　　　底而以球體之甲戊半徑爲高其尖圓

　　　　　　體所分尖體皆以尖圓體之底爲底而

　　　　　　以尖圓體之己壬高爲高夫尖圓體之

　　　　　　底積原與球體之外面積等而尖圓體

　　　　　　之高度又與球體甲戊半徑等故此兩

　　　　　　種千萬尖體皆爲同底同高其積相等

　　　　　　無疑矣(見本卷第/十八節)然此兩種千萬尖體

　　　　　　即球體尖圓體之所分其所分之體既

　　　　　　等則原體亦必相等可知故曰球體與

　　　　　　尖圓體俱相等也

　　　　　　第二十六

　　　　　　凡各形外皮面積相等之體惟圓體所

　　　　　　函之積數大於他種各體所函之積如

　　　　　　甲乙丙丁外皮面積相等各形内甲圓

　　　　　　體所函之積必大於乙丙丁直界體所

　　　　　　函之積也何也大凡圓形其半圓周一

　　　　　　旋轉間即成圓體此戊己庚半圓周一

　　　　　　次旋轉即成甲圓體(見本卷第/十四節)又凡平

　　　　　　面圓界所函之積必大於等邉各形所

　　　　　　函之積(見四卷第/二十三節)平面圓界所函猶大

　　　　　　於各等邉所函之積則圓體所函必大

　　　　　　於各直界體所函之積可知矣

　　　　　　第二十七

　　　　　　厚角所成等面體形有五種各以面數

　　　　　　而名之其一爲四面體每面有三角各

　　　　　　三角之各三界度俱等如甲圖是也二

　　　　　　爲六面體毎面俱爲正方其方面之四

　　　　　　角俱爲直角而各界互等故又爲正方

　　　　　　體如乙圖是也三爲八面體毎面有三

　　　　　　角各三角之各三界度俱等如丙圖是

　　　　　　也四爲十二面體每面有五角各五角

　　　　　　之五界度俱等如丁圖是也五爲二十

　　　　　　面體每面有三角各三角之各三界度

　　　　　　俱等如戊圖是也

　　　　　　第二十八

　　　　　　前節發明五種厚角所成等面體形之

　　　　　　外不能復生他形葢此五種厚角體俱

　　　　　　是等邊三角四角五角之平面相合所

　　　　　　成也凡平面自三界以下不能成面(見/二)

　　　　　　(卷首/節)而厚角自三面以下亦不能成角

　　　　　　故厚角自三面始如甲四面體其四厚

　　　　　　角皆三平面三角形所合而成也乙八

　　　　　　面體其六厚角皆四平面三角形所合

　　　　　　而成也丙二十面體其十二厚角皆五

　　　　　　平面三角形所合而成也然平面三角

　　　　　　形所合過於五形則不能成厚角故平

　　　　　　面六三角形合於一處即成庚形其甲

　　　　　　乙丙丁戊己六角相合與四直角等(見/首)

　　　　　　(卷第十/五節)既與四直角等則爲平面不成

　　　　　　厚角矣(如本卷/第五節)六形相合尚不能成厚

　　　　　　角况多形乎是故平面三角形所生厚

　　　　　　角體僅得四面八面二十面三種而已

　　　　　　若夫平面正方四角形所成厚角如丁

　　　　　　六面正方體其八厚角皆三平面四角

　　　　　　形所合而成此外更無他形若將四平

　　　　　　面四角形合於一處即成辛形其甲乙

　　　　　　丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角

　　　　　　矣故四角形所生厚角僅有一六面正

　　　　　　方體而已至於平面五角形所成厚角

　　　　　　如戊十二面體其二十厚角皆三平面

　　　　　　五角形所合而成此外更無他形也或

　　　　　　將四平面五角形如癸子丑寅之四角

　　　　　　合於壬此四角俱爲鈍角必大於四直

　　　　　　角既大於四直角在平面尚不能相合

　　　　　　厚角豈能成耶是以平面五角形所成

　　　　　　之厚角僅有一十二面體而已或將平

　　　　　　　面六角形之三形合於一處爲癸其甲

　　　　　　　乙丙三角度與四直角等故不成厚角

　　　　　　　六角平面相合既不成厚角其七角八

　　　　　　　角等形愈不能成厚角矣故曰四面六

　　　　　　　面八面十二面二十面五種體只在三

　　　　　　　角四角五角三種平面形所生此外不

　　　　　　　能復成他形也

御製數理精藴上編卷二