御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精蘊下編卷二十一

　　面部十一

　　　圜内容各等邊形

　　　圜外切各等邊形

　　　圜内容各等邊形

設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為

　　　　　　勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲

　　　　　　有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰

　　　　　　以三等邊形之每一邊為弦每一邊折

　　　　　　半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二

　　　　　　寸取其四分之三亦得九寸為圜内容

　　　　　　三等邊形之中垂線乃以每一邊之一

　　　　　　尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂

　　　　　　線九寸相乘得九十三寸五十三分零

　　　　　　七釐有餘折半得四十六寸七十六分

　　　　　　五十三釐有餘即圜内容三等邊形之

　　　　　　面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容

　　　　　　甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙

　　　　　　線即圜内容六等邊形之每一邊與丁

　　　　　　戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁

　　　　　　邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑

　　　　　　為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜

　　　　　　内容三等邊形之每一邊也其甲己中

　　　　　　垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為

　　　　　　圜徑四分之三既得一邊又得中垂線

　　　　　　即如三角形求面積法算之而得圜内

　　　　　　容三等邊形之面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度三分之每分

　　　　　　得一百二十度折半得六十度乃以半

　　　　　　徑十萬為一率六十度之正弦八萬六

　　　　　　千六百零三為二率今所設之半徑六

　　　　　　寸為三率求得四率五寸一分九釐六

　　　　　　豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐

　　　　　　二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之

　　　　　　每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四

　　　　　　分之三為中垂線與每一邊之數相乘

　　　　　　折半得四十六寸七十六分五十六釐

　　　　　　有餘即圜内容三等邊形之面積也如

　　　　　　圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三

　　　　　　等邊形每一邊之弧皆一百二十度試

　　　　　　將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊

　　　　　　庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚

　　　　　　弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲

　　　　　　丙即一百二十度之通弦是故半徑十

　　　　　　萬與六十度之正弦之比即如所設之

　　　　　　半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半

　　　　　　邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容三等邊形之毎一邊八

　　　　　　六六○二五四○為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率一尺零

　　　　　　三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三

　　　　　　等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容三等

　　　　　　邊形之面積三二四七五九五三為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率四十六

　　　　　　寸七十六分五十三釐有餘即圜内容

　　　　　　三等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容三等邊形之面積四一三四九六

　　　　　　六七為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率四十六

　　　　　　寸七十六分五十三釐有餘即圜内容

　　　　　　三等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　自乘得三十六寸倍之得七十二寸開

　　　　　　方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有

　　　　　　餘為圜内容四等邊形之每一邊其半

　　　　　　徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容

　　　　　　四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一

　　　　　　尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自

　　　　　　圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲

　　　　　　戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑

　　　　　　一為勾一即為股故止以半徑自乘倍

　　　　　　之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊

　　　　　　形之每一邊也每一邊自乘是仍為半

　　　　　　徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形

　　　　　　之面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度四分之每分

　　　　　　得九十度折半得四十五度乃以半徑

　　　　　　十萬為一率四十五度之正弦七萬零

　　　　　　七百一十一為二率今所設之半徑六

　　　　　　寸為三率求得四率四寸二分四釐二

　　　　　　豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五

　　　　　　豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎

　　　　　　一邊既得每一邊之數即以毎一邊自

　　　　　　乘得七十二寸即圜内容四等邊形之

　　　　　　面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容

　　　　　　甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九

　　　　　　十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己

　　　　　　作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚

　　　　　　則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五

　　　　　　度之正弦甲丙即九十度之通弦是故

　　　　　　半徑十萬與四十五度之正弦之比即

　　　　　　如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之

　　　　　　比既得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容四等邊形之毎一邊七

　　　　　　○七一○六七八為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率八寸四

　　　　　　分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容

　　　　　　四等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容四等

　　　　　　邊形之面積五○○○○○○○為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率七十二

　　　　　　寸即圜内容四等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容四等邊形之面積六三六六一九

　　　　　　七七為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率七十二

　　　　　　寸即圜内容四等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　為首率用連比例三率有首率求中率

　　　　　　末率使中率末率相加與首率等之法

　　　　　　求得中率三寸七分零八豪二絲有餘

　　　　　　即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割/圜卷中)

　　　　　　乃以所得中率與半徑首率相減餘二

　　　　　　寸二分九釐一豪八絲為末率折半得

　　　　　　一寸一分四釐五豪九絲為半末率即

　　　　　　以此半末率為勾中率為弦求得股三

　　　　　　寸五分二釐六豪七絲一忽有餘倍之

　　　　　　得七寸零五釐三豪四絲二忽有餘為

　　　　　　圜内容五等邊形之每一邊又以中率

　　　　　　與半末率相加得四寸八分五釐四豪

　　　　　　一絲有餘為自圜心至每一邊之中垂

　　　　　　線乃以每一邊折半之數與中垂線相

　　　　　　乘得一十七寸一十一分九十釐有餘

　　　　　　五因之得八十五寸五十九分五十釐

　　　　　　有餘即圜内容五等邊形之面積也如

　　　　　　圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊

　　　　　　己五等邊形試自圜心庚至每角各作

　　　　　　一半徑線即分五等邊形為五三角形

　　　　　　又自乙至戊作乙戊線即圜内容十等

　　　　　　邊形之每一邊庚乙庚戊半徑與乙戊

　　　　　　邊遂成庚乙戊三角形又依乙戊線度

　　　　　　截庚乙半徑於辛作戊辛線則又成戊

　　　　　　辛乙三角形與庚乙戊三角形為同式

　　　　　　形故庚乙為首率乙戊戊辛俱為中率

　　　　　　辛乙為末率辛壬與壬乙俱為半末率

　　　　　　是以壬乙半末率為勾乙戊中率為弦

　　　　　　求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五

　　　　　　等邊形之毎一邊又以庚辛中率與辛

　　　　　　壬半末率相加得庚壬中垂線用三角

　　　　　　形求面積法算之得庚丁戊一三角形

　　　　　　面積五倍之而得圜内容五等邊形之

　　　　　　總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度五分之每分

　　　　　　得七十二度折半得三十六度乃以半

　　　　　　徑十萬為一率三十六度之正弦五萬

　　　　　　八千七百七十九為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率三寸五分二

　　　　　　釐六豪七絲四忽倍之得七寸零五釐

　　　　　　三豪四絲八忽為圜内容五等邊形之

　　　　　　每一邊次以半徑十萬為一率三十六

　　　　　　度之餘弦八萬零九百零二為二率今

　　　　　　所設之半徑六寸為三率求得四率四

　　　　　　寸八分五釐四豪一絲二忽為自圜心

　　　　　　至每一邊之中垂線與毎一邊折半之

　　　　　　數相乘五因之得八十五寸五十九分

　　　　　　六十釐有餘為圜内容五等邊形之面

　　　　　　積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲

　　　　　　丙丁戊己五等邊形每一邊之弧皆七

　　　　　　十二度試將甲丙邊折半於庚自圜心

　　　　　　辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於

　　　　　　壬則甲壬弧為三十六度甲庚即三十

　　　　　　六度之正弦甲丙即七十二度之通弦

　　　　　　辛庚即三十六度之餘弦是故半徑十

　　　　　　萬與三十六度之正弦之比即如所設

　　　　　　之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得

　　　　　　半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十

　　　　　　六度之餘弦之比即如所設之半徑六

　　　　　　寸與辛庚中垂線之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容五等邊形之每一邊五

　　　　　　八七七八五二五為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率七寸零

　　　　　　五釐三豪四絲二忽有餘即圜内容五

　　　　　　等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容五等

　　　　　　邊形之面積五九四四一○三一為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率八十五

　　　　　　寸五十九分五十釐有餘即圜内容五

　　　　　　等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容五等邊形之面積七五六八二六

　　　　　　七二為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率八十五

　　　　　　寸五十九分五十釐有餘即圜内容五

　　　　　　等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容六等邊形之每一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　即圜内容六等邊形之每一邊爰以半

　　　　　　徑六寸為弦毎一邊折半得三寸為勾

　　　　　　求得股五寸一分九釐六豪一絲五忽

　　　　　　有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃

　　　　　　以每一邊折半之數與中垂線相乘得

　　　　　　一十五寸五十八分八十四釐有餘六

　　　　　　因之得九十三寸五十三分零四釐有

　　　　　　餘即圜内容六等邊形之面積也如圖

　　　　　　甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊

　　　　　　己六等邊形其每一邊皆六寸與半徑

　　　　　　等試自圜心庚至每角各作一半徑線

　　　　　　即分六等邊形為六三角形以甲庚半

　　　　　　徑為弦甲丙一邊折半得甲辛為勾求

　　　　　　得股為庚辛中垂線用三角形求面積

　　　　　　法算之得甲丙庚一三角形之面積六

　　　　　　倍之而得圜内容六等邊形之總面積

　　　　　　也

　　　　　　又法以全圜三百六十度六分之每分

　　　　　　得六十度折半得三十度乃以半徑十

　　　　　　萬為一率三十度之正弦五萬為二率

　　　　　　今所設之半徑六寸為三率求得四率

　　　　　　三寸倍之得六寸為圜内容六等邊形

　　　　　　之每一邊次以半徑十萬為一率三十

　　　　　　度之餘弦八萬六千六百零三為二率

　　　　　　今所設之半徑六寸為三率求得四率

　　　　　　五寸一分九釐六豪一絲八忽為自圜

　　　　　　心至每一邊之中垂線與每一邊折半

　　　　　　之數相乘六因之得九十三寸五十三

　　　　　　分一十二釐有餘為圜内容六等邊形

　　　　　　之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内

　　　　　　容甲丙丁乙戊己六等邊形每一邊之

　　　　　　弧皆六十度試將甲丙邊折半於庚自

　　　　　　圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙

　　　　　　弧於壬則甲壬弧為三十度甲庚即三

　　　　　　十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛

　　　　　　庚即三十度之餘弦是故半徑十萬與

　　　　　　三十度之正弦之比即如所設之半徑

　　　　　　六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍

　　　　　　之即全邊又半徑十萬與三十度之餘

　　　　　　弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚

　　　　　　中垂線之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容六等邊形之每一邊五

　　　　　　○○○○○○○為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率六寸即

　　　　　　圜内容六等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容六等

　　　　　　邊形之面積六四九五一九○五為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率九十三

　　　　　　寸五十三分零七釐有餘即圜内容六

　　　　　　等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容六等邊形之面積八二六九九三

　　　　　　三四為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率九十三

　　　　　　寸五十三分零七釐有餘即圜内容六

　　　　　　等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容七等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　為一率用連比例四率有一率求二率

　　　　　　三率四率使一率與四率相加與二率

　　　　　　兩倍再加一三率等之法求得二率二

　　　　　　寸六分七釐零二絲五忽有餘為圜内

　　　　　　容十四等邊形之每一邊(詳見割/圜卷中)乃以

　　　　　　半徑六寸為底仍以半徑六寸與十四

　　　　　　等邊形之毎一邊二寸六分七釐零二

　　　　　　絲五忽有餘為兩腰用三角形求中垂

　　　　　　線法算之得二寸六分零三豪三絲有

　　　　　　餘倍之得五寸二分零六豪六絲有餘

　　　　　　為圜内容七等邊形之每一邊爰以半

　　　　　　徑六寸為弦七等邊形之每一邊折半

　　　　　　為勾求得股五寸四分零五豪八絲一

　　　　　　忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線

　　　　　　乃以每一邊折半之數與中垂線相乘

　　　　　　得一十四寸零七分二十九釐有餘七

　　　　　　因之得九十八寸五十一分零三釐有

　　　　　　餘即圜内容七等邊形之面積也如圖

　　　　　　甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己

　　　　　　庚辛七等邊形試自圜心壬至毎角各

　　　　　　作一半徑線即分七等邊形為七三角

　　　　　　形又自戊至乙作戊乙線即圜内容十

　　　　　　四等邊形之毎一邊壬乙壬戊半徑與

　　　　　　戊乙邊遂成壬戊乙三角形故以壬乙

　　　　　　半徑為底壬戊半徑與戊乙十四等邊

　　　　　　形之每一邊為兩腰求得戊癸垂線倍

　　　　　　之得戊己即圜内容七等邊形之每一

　　　　　　邊也又壬戊為弦戊癸為勾求得股為

　　　　　　壬癸中垂線用三角形求面積法算之

　　　　　　得壬戊己一三角形之面積七倍之而

　　　　　　得圜内容七等邊形之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度七分之每分

　　　　　　得五十一度二十五分四十二秒有餘

　　　　　　折半得二十五度四十二分五十一秒

　　　　　　有餘乃以半徑十萬為一率二十五度

　　　　　　四十二分五十一秒有餘之正弦四萬

　　　　　　三千三百八十八為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率二寸六分零

　　　　　　三豪二絲八忽倍之得五寸二分零六

　　　　　　豪五絲六忽為圜内容七等邊形之每

　　　　　　一邊次以半徑十萬為一率二十五度

　　　　　　四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬

　　　　　　零九十七為二率今所設之半徑六寸

　　　　　　為三率求得四率五寸四分零五豪八

　　　　　　絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線

　　　　　　與每一邊折半之數相乘七因之得九

　　　　　　十八寸五十分九十六釐有餘為圜内

　　　　　　容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑

　　　　　　一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等

　　　　　　邊形每一邊之弧皆五十一度二十五

　　　　　　分四十二秒有餘試將甲丙邊折半於

　　　　　　壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分

　　　　　　甲丙弧於子則甲子弧為二十五度四

　　　　　　十二分五十一秒有餘甲壬即二十五

　　　　　　度四十二分五十一秒有餘之正弦甲

　　　　　　丙即五十一度二十五分四十二秒有

　　　　　　餘之通弦癸壬即二十五度四十二分

　　　　　　五十一秒有餘之餘弦是故半徑十萬

　　　　　　與二十五度四十二分五十一秒有餘

　　　　　　之正弦之比即如所設之半徑六寸與

　　　　　　甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全

　　　　　　邊又半徑十萬與二十五度四十二分

　　　　　　五十一秒有餘之餘弦之比即如所設

　　　　　　之半徑六寸與癸壬中垂線之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容七等邊形之每一邊四

　　　　　　三三八八三七四為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率五寸二

　　　　　　分零六豪六絲有餘即圜内容七等邊

　　　　　　形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容七等

　　　　　　邊形之面積六八四一○二五四為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率九十八

　　　　　　寸五十一分零七釐有餘即圜内容七

　　　　　　等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容七等邊形之面積八七一○二六

　　　　　　四一為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率九十八

　　　　　　寸五十一分零七釐有餘即圜内容七

　　　　　　等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容八等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸求得圜内容四等

　　　　　　邊形之每一邊為八寸四分八釐五毫

　　　　　　二絲八忽有餘折半得四寸二分四釐

　　　　　　二毫六絲四忽有餘為股又以四邊之

　　　　　　半四寸二分四釐二豪六絲四忽有餘

　　　　　　與半徑六寸相減餘一寸七分五釐七

　　　　　　毫三絲六忽有餘為勾求得弦四寸五

　　　　　　分九釐二豪一絲九忽有餘為圜内容

　　　　　　八等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為

　　　　　　弦八等邊形之毎一邊折半得二寸二

　　　　　　分九釐六豪零九忽有餘為勾求得股

　　　　　　五寸五分四釐三豪二絲八忽有餘為

　　　　　　自圜心至每一邊之中垂線乃以每一

　　　　　　邊折半之數與中垂線相乘得一十二

　　　　　　寸七十二分七十八釐有餘八因之得

　　　　　　一尺零一寸八十二分二十四釐有餘

　　　　　　即圜内容八等邊形之面積也如圖甲

　　　　　　乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己

　　　　　　庚辛八等邊形先求得圜内容四等邊

　　　　　　形之毎一邊為戊己折半得戊壬與癸

　　　　　　壬等為股以癸壬與癸乙半徑相減餘

　　　　　　壬乙為勾求得戊乙弦為圜内容八等

　　　　　　邊形之每一邊試自圜心至每角各作

　　　　　　一半徑線即分八等邊形為八三角形

　　　　　　以癸乙半徑為弦戊乙折半得子乙為

　　　　　　勾求得股為癸子中垂線用三角形求

　　　　　　面積法算之得癸戊乙一三角形之面

　　　　　　積八倍之而得圜内容八等邊形之總

　　　　　　面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度八分之每分

　　　　　　得四十五度折半得二十二度三十分

　　　　　　乃以半徑十萬為一率二十二度三十

　　　　　　分之正弦三萬八千二百六十八為二

　　　　　　率今所設之半徑六寸為三率求得四

　　　　　　率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得

　　　　　　四寸五分九釐二豪一絲六忽為圜内

　　　　　　容八等邊形之每一邊次以半徑十萬

　　　　　　為一率二十二度三十分之餘弦九萬

　　　　　　二千三百八十八為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率五寸五分四

　　　　　　釐三豪二絲八忽為自圜心至毎一邊

　　　　　　之中垂線與毎一邊折半之數相乘八

　　　　　　因之得一尺零一寸八十二分二十四

　　　　　　釐有餘為圜内容八等邊形之面積也

　　　　　　如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁

　　　　　　戊乙己庚辛八等邊形毎一邊之弧皆

　　　　　　四十五度試將甲丙邊折半於壬自圜

　　　　　　心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧

　　　　　　於子則甲子弧為二十二度三十分甲

　　　　　　壬即二十二度三十分之正弦甲丙即

　　　　　　四十五度之通弦癸壬即二十二度三

　　　　　　十分之餘弦是故半徑十萬與二十二

　　　　　　度三十分之正弦之比即如所設之半

　　　　　　徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊

　　　　　　倍之即全邊又半徑十萬與二十二度

　　　　　　三十分之餘弦之比即如所設之半徑

　　　　　　六寸與癸壬中垂線之比也

　　　　　　乂用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容八等邊形之毎一邊三

　　　　　　八二六八三四三為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率四寸五

　　　　　　分九釐二豪二絲有餘即圜内容八等

　　　　　　邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容八等

　　　　　　邊形之面積七○七一○六七八為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺零

　　　　　　一寸八十二分三十三釐有餘即圜内

　　　　　　容八等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容八等邊形之面積九○○三一六

　　　　　　三一為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率一尺零

　　　　　　一寸八十二分三十三釐有餘即圜内

　　　　　　容八等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容九等邊形之每一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　為一率用連比例四率有一率求二率

　　　　　　三率四率使一率與四率相加與二率

　　　　　　三倍等之法求得二率二寸零八釐三

　　　　　　豪七絲七忽有餘為圜内容十八等邊

　　　　　　形之每一邊(詳見割/圜卷中)乃以半徑六寸為

　　　　　　底仍以半徑六寸與圜内容十八等邊

　　　　　　形之毎一邊二寸零八釐三豪七絲七

　　　　　　忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法

　　　　　　算之得二寸零五釐二豪一絲一忽有

　　　　　　餘倍之得四寸一分零四豪二絲二忽

　　　　　　有餘即圜内容九等邊形之毎一邊爰

　　　　　　以半徑六寸為弦九等邊形之毎一邊

　　　　　　折半為勾求得股五寸六分三釐八豪

　　　　　　一絲五忽有餘為自圜心至毎一邊之

　　　　　　中垂線乃以毎一邊折半之數與中垂

　　　　　　線相乘得一十一寸五十七分零一釐

　　　　　　有餘九因之得一尺零四寸一十三分

　　　　　　零九釐有餘即圜内容九等邊形之面

　　　　　　積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲

　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形試自圜

　　　　　　心子至每角各作一半徑線即分九等

　　　　　　邊形為九三角形又自己至乙作己乙

　　　　　　線即圜内容十八等邊形之毎一邊子

　　　　　　乙子己半徑與己乙邊遂成子己乙三

　　　　　　角形故以子乙半徑為底子己半徑與

　　　　　　己乙十八等邊形之毎一邊為兩腰求

　　　　　　得己丑垂線倍之得己庚為圜内容九

　　　　　　等邊形之每一邊也又子己為弦己丑

　　　　　　為勾求得股為子丑中垂線用三角形

　　　　　　求面積法算之得子己庚一三角形之

　　　　　　面積九倍之而得圜内容九等邊形之

　　　　　　總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度九分之每分

　　　　　　得四十度折半得二十度乃以半徑十

　　　　　　萬為一率二十度之正弦三萬四千二

　　　　　　百零二為二率今所設之半徑六寸為

　　　　　　三率求得四率二寸零五釐二豪一絲

　　　　　　二忽倍之得四寸一分零四豪二絲四

　　　　　　忽為圜内容九等邊形之每一邊次以

　　　　　　半徑十萬為一率二十度之餘弦九萬

　　　　　　三千九百六十九為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率五寸六分三

　　　　　　釐八豪一絲四忽為自圜心至毎一邊

　　　　　　之中垂線與毎一邊折半之數相乘九

　　　　　　因之得一尺零四寸一十三分零九釐

　　　　　　有餘為圜内容九等邊形之面積也如

　　　　　　圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊

　　　　　　己庚辛壬癸九等邊形毎一邊之弧皆

　　　　　　四十度試將甲丙邊折半於子自圜心

　　　　　　丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於

　　　　　　寅則甲寅弧為二十度甲子即二十度

　　　　　　之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即

　　　　　　二十度之餘弦是故半徑十萬與二十

　　　　　　度之正弦之比即如所設之半徑六寸

　　　　　　與甲子之半邊之比既得半邊倍之即

　　　　　　全邊又半徑十萬與二十度之餘弦之

　　　　　　比即如所設之半徑六寸與丑子中垂

　　　　　　線之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容九等邊形之毎一邊三

　　　　　　四二○二○一四為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率四寸一

　　　　　　分零四豪二絲四忽有餘即圜内容九

　　　　　　等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容九等

　　　　　　邊形之面積七二三一三六○六為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺零

　　　　　　四寸一十三分一十五釐有餘即圜内

　　　　　　容九等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容九等邊形之面積九二○七二五

　　　　　　四二為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率一尺零

　　　　　　四寸一十三分一十五釐有餘即圜内

　　　　　　容九等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求内容十等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　為首率用連比例三率有首率求中率

　　　　　　末率使中率末率相加與首率等之法

　　　　　　求得中率三寸七分零八豪二絲有餘

　　　　　　即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割/圜卷中)

　　　　　　爰以半徑六寸為弦十等邊形之每一

　　　　　　邊折半得一寸八分五釐四豪一絲有

　　　　　　餘為勾求得股五寸七分零六豪三絲

　　　　　　三忽有餘為自圜心至每一邊之中垂

　　　　　　線乃以每一邊折半之數與中垂線相

　　　　　　乘得一十寸五十八分零一釐有餘十

　　　　　　因之得一尺零五寸八十分一十釐有

　　　　　　餘即圜内容十等邊形之面積也如圖

　　　　　　甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己

　　　　　　乙庚辛壬癸十等邊形其子乙半徑為

　　　　　　首率己乙每一邊為中率其毎一邊皆

　　　　　　三寸七分零八豪二絲有餘試自圜心

　　　　　　子至每角各作一半徑線即分十等邊

　　　　　　形為十三角形以子乙半徑為弦己乙

　　　　　　折半得丑乙為勾求得股為子丑中垂

　　　　　　線用三角形求面積法算之得子己乙

　　　　　　一三角形之面積十倍之而得圜内容

　　　　　　十等邊形之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度十分之毎分

　　　　　　得三十六度折半得十八度乃以半徑

　　　　　　十萬為一率十八度之正弦三萬零九

　　　　　　百零二為二率今所設之半徑六寸為

　　　　　　三率求得四率一寸八分五釐四豪一

　　　　　　絲二忽倍之得三寸七分零八豪二絲

　　　　　　四忽為圜内容十等邊形之毎一邊次

　　　　　　以半徑十萬為一率十八度之餘弦九

　　　　　　萬五千一百零六為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率五寸七分零

　　　　　　六豪三絲六忽為自圜心至毎一邊之

　　　　　　中垂線與每一邊折半之數相乘十因

　　　　　　之得一尺零五寸八十分二十七釐有

　　　　　　餘為圜内容十等邊形之面積也如圖

　　　　　　甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己

　　　　　　乙庚辛壬癸十等邊形每一邊之弧皆

　　　　　　三十六度試將甲丙邊折半於子自圜

　　　　　　心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧

　　　　　　於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八

　　　　　　度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑

　　　　　　子即十八度之餘弦是故半徑十萬與

　　　　　　十八度之正弦之比即如所設之半徑

　　　　　　六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍

　　　　　　之即全邊又半徑十萬與十八度之餘

　　　　　　弦之比即如所設之半徑六寸與丑子

　　　　　　中垂線之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜内容十等邊形之每一邊三

　　　　　　○九○一六九九為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率三寸七

　　　　　　分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊

　　　　　　形之每一邊也

　　　　　　又用求圜内各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜内容十等

　　　　　　邊形之面積七三四七三一五六為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺零

　　　　　　五寸八十分一十三釐有餘即圜内容

　　　　　　十等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　内容十等邊形之面積九三五四八九

　　　　　　二八為二率今所設之圜徑一尺二寸

　　　　　　求得圜面積一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有餘為三率求得四率一尺零

　　　　　　五寸八十分一十三釐有餘即圜内容

　　　　　　十等邊形之面積也

　　　圜外切各等邊形

設如圜徑一尺二寸求外切三等邊形之每一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為

　　　　　　勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲

　　　　　　有餘倍之得二尺零七分八釐四豪六

　　　　　　絲有餘為圜外切三等邊形之毎一邊

　　　　　　爰以三等邊形之每一邊為弦毎一邊

　　　　　　折半為勾求得股一尺八寸或以半徑

　　　　　　六寸三倍之得一尺八寸為圜外切三

　　　　　　等邊形之中垂線乃以每一邊之二尺

　　　　　　零七分八釐四豪六絲有餘與中垂線

　　　　　　一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十

　　　　　　二分二十八釐有餘折半得一尺八十

　　　　　　七寸零六分一十四釐有餘即圜外切

　　　　　　三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一

　　　　　　尺二寸外切丙丁戊三等邊形試將丙

　　　　　　丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑

　　　　　　線則成丙巳庚三角形其丙庚巳角為

　　　　　　六十度丙巳庚角為九十度庚丙巳角

　　　　　　為三十度又自甲至己作甲己線為圜

　　　　　　内容六等邊形之每一邊則又成甲己

　　　　　　庚甲己丙兩三角形其甲己庚三角形

　　　　　　之甲己庚角為六十度故甲己丙三角

　　　　　　形之甲己丙角為三十度而甲丙己角

　　　　　　亦為三十度則丙甲與甲己皆與半徑

　　　　　　等矣故丙庚即全徑為弦庚己即半徑

　　　　　　為勾求得丙己股倍之得丙丁為圜外

　　　　　　切三等邊形之每一邊也又丙甲既與

　　　　　　半徑等則丙乙中垂線為半徑之三倍

　　　　　　用三角形求面積法算之而得圜外切

　　　　　　三等邊形之面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度三分之每分

　　　　　　得一百二十度折半得六十度乃以半

　　　　　　徑十萬為一率六十度之正切一十七

　　　　　　萬三千二百零五為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率一尺零三分

　　　　　　九釐二豪三絲倍之得二尺零七分八

　　　　　　釐四豪六絲為圜外切三等邊形之毎

　　　　　　一邊也既得三等邊形之每一邊乃以

　　　　　　半徑三因之與毎一邊之數相乘折半

　　　　　　得一尺八十七寸零六分一十四釐為

　　　　　　圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙

　　　　　　圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形

　　　　　　每一邊之弧皆一百二十度試將丙丁

　　　　　　邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線

　　　　　　則甲己弧為六十度丙己即六十度之

　　　　　　正切丙丁即六十度正切之倍是故半

　　　　　　徑十萬與六十度之正切之比即如所

　　　　　　設之半徑六寸與丙己之半邊之比既

　　　　　　得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切三等邊形之每一邊一

　　　　　　七三二○五○八○為二率今所設之

　　　　　　圜徑一尺二寸為三率求得四率二尺

　　　　　　零七分八釐四豪六絲即圜外切三等

　　　　　　邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切三等

　　　　　　邊形之面積一二九九○三八一○為

　　　　　　二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得

　　　　　　一尺四十四寸為三率求得四率一尺

　　　　　　八十七寸零六分一十四釐有餘即圜

　　　　　　外切三等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切三等邊形之面積一六五三九八

　　　　　　六六九為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　八十七寸零六分一十四釐有餘即圜

　　　　　　外切三等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切四等邊形之每一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法因圜徑一尺二寸即外切四等邊形

　　　　　　之毎一邊自乘得一尺四十四寸即圜

　　　　　　外切四等邊形之面積故他法皆不設

　　　　　　止存一題以備體焉

設如圜徑一尺二寸求外切五等邊形之毎一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　為首率用連比例三率有首率求中率

　　　　　　之法求得中率三寸七分零八豪二絲

　　　　　　有餘倍之得七寸四分一釐六豪四絲

　　　　　　有餘為自圜心至外切五等邊形各角

　　　　　　之分角線乃以分角線為弦圜之半徑

　　　　　　為股求得勾四寸三分五釐九豪二絲

　　　　　　四忽有餘倍之得八寸七分一釐八豪

　　　　　　四絲八忽有餘為圜外切五等邊形之

　　　　　　每一邊爰以每一邊之八寸七分一釐

　　　　　　八豪四絲八忽有餘與半徑六寸相乘

　　　　　　得五十二寸三十一分零八釐有餘折

　　　　　　半得二十六寸一十五分五十四釐有

　　　　　　餘五因之得一尺三十寸七十七分七

　　　　　　十二釐有餘即圜外切五等邊形之面

　　　　　　積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙

　　　　　　丁戊己庚五等邊形以辛乙半徑為首

　　　　　　率(即理分中末/線之全分)則自圜心至角之辛己

　　　　　　分角線為倍中率(即倍理分中/末線之大分)何以知

　　　　　　之試自丙角至戊己二角作丙戊丙己

　　　　　　兩角相對斜線成丙戊己三角形復自

　　　　　　戊角至庚角作戊庚兩角相對斜線截

　　　　　　丙己斜線於壬又成戊己壬三角形與

　　　　　　丙戊己三角形為同式形(戊己壬三角/形之戊角當)

　　　　　　(巳庚邊與戊巳邊等故戊己壬三角形/之戊角與丙戊己三角形之丙角等又)

　　　　　　(同用一巳角則其餘一/角亦必等故為同式形)而丙戊為首率

　　　　　　(即理分中末/線之全分)戊己為中率(即理分中末/線之大分)

　　　　　　己壬為末率(即理分中末/線之小分)丙壬亦與戊

　　　　　　己等為中率乃自壬至丙戊線作壬癸

　　　　　　垂線平分丙戊邊於癸遂成丙癸壬勾

　　　　　　股形與辛乙己勾股形為同式形(辛乙/己勾)

　　　　　　(股形之辛角當乙己邊為戊己邊之半/故辛乙巳勾股之辛角與丙癸壬勾股)

　　　　　　(之丙角等癸角與乙角又同為直角/則其餘一角亦必等故為同式形)夫

　　　　　　丙戊既為首率丙壬既為中率若以丙

　　　　　　戊之半丙癸為首率則丙壬之半丙子

　　　　　　亦為中率而丙壬即為倍中率丙癸壬

　　　　　　勾股形與辛乙巳勾股形既為同式形

　　　　　　則辛乙己勾股形之辛乙股與辛己弦

　　　　　　之比必同於丙癸壬勾股形之丙癸股

　　　　　　與丙壬弦之比是以辛乙半徑為首率

　　　　　　則辛己分角線亦即為倍中率也既得

　　　　　　辛己分角線乃以辛己分角線為弦辛

　　　　　　乙半徑為股求得乙己勾倍之得戊己

　　　　　　即圜外切五等邊形之毎一邊也又自

　　　　　　圜心至各角作分角線即分五等邊形

　　　　　　為五三角形其辛乙中垂線即圜之半

　　　　　　徑故以所得圜外切五等邊形之每一

　　　　　　邊與半徑相乘折半得辛戊巳一三角

　　　　　　形之面積五倍之而得圜外切五等邊

　　　　　　形之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度五分之每分

　　　　　　得七十二度折半得三十六度乃以半

　　　　　　徑十萬為一率三十六度之正切七萬

　　　　　　二千六百五十四為二率今所設之半

　　　　　　徑六寸為三率求得四率四寸三分五

　　　　　　釐九豪二絲四忽倍之得八寸七分一

　　　　　　釐八豪四絲八忽為圜外切五等邊形

　　　　　　之毎一邊既得五等邊形之毎一邊乃

　　　　　　以半徑與毎一邊之數相乘折半五因

　　　　　　之得一尺三十寸七十七分七十二釐

　　　　　　為圜外切五等邊形之面積也如圖甲

　　　　　　乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚五

　　　　　　等邊形每一邊之弧皆七十二度試將

　　　　　　丙丁邊折半於辛自圜心壬作壬辛半

　　　　　　徑線又作壬丙分角線割圜界於甲則

　　　　　　甲辛弧為三十六度丙辛即三十六度

　　　　　　之正切丙丁即三十六度正切之倍是

　　　　　　故半徑十萬與三十六度之正切之比

　　　　　　即如所設之半徑六寸與丙辛之半邊

　　　　　　之比既得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切五等邊形之每一邊七

　　　　　　二六五四二五二為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率八寸七

　　　　　　分一釐八豪五絲一忽有餘即圜外切

　　　　　　五等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切五等

　　　　　　邊形之面積九○八一七八一六為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺三

　　　　　　十寸七十七分七十六釐有餘即圜外

　　　　　　切五等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切五等邊形之面積一一五六三二

　　　　　　八三四為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　三十寸七十七分七十六釐即圜外切

　　　　　　五等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切六等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸

　　　　　　自乘得三十六寸三歸四因得四十八

　　　　　　寸開方得六寸九分二釐八豪二絲有

　　　　　　餘即圜外切六等邊形之毎一邊乃以

　　　　　　毎一邊之六寸九分二釐八豪二絲有

　　　　　　餘與半徑六寸相乘得四十一寸五十

　　　　　　六分九十二釐有餘折半得二十寸七

　　　　　　十八分四十六釐有餘六因之得一尺

　　　　　　二十四寸七十分七十六釐有餘即圜

　　　　　　外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜

　　　　　　徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等

　　　　　　邊形試自圜心至各角作分角線即分

　　　　　　六等邊形為六三角形其壬乙半徑即

　　　　　　每一三角形之中垂線而中垂線自乘

　　　　　　之方為每邊自乘之方之四分之三故

　　　　　　以半徑自乘三歸四因開方即得圜外

　　　　　　切六等邊形之每一邊也既得毎一邊

　　　　　　與半徑相乘折半得壬戊己一三角形

　　　　　　之面積六倍之而得圜外切六等邊形

　　　　　　之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度六分之毎分

　　　　　　得六十度折半得三十度乃以半徑十

　　　　　　萬為一率三十度之正切五萬七千七

　　　　　　百三十五為二率今所設之半徑六寸

　　　　　　為三率求得四率三寸四分六釐四豪

　　　　　　一絲倍之得六寸九分二釐八豪二絲

　　　　　　為圜外切六等邊形之毎一邊既得六

　　　　　　等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊

　　　　　　之數相乘折半六因之得一尺二十四

　　　　　　寸七十分七十六釐為圜外切六等邊

　　　　　　形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸

　　　　　　外切丙丁戊己庚辛六等邊形毎一邊

　　　　　　之弧皆六十度試將丙丁邊折半於壬

　　　　　　自圜心癸作癸壬半徑線又作癸丙分

　　　　　　角線割圜界於子則子壬弧為三十度

　　　　　　丙壬即三十度之正切丙丁即三十度

　　　　　　正切之倍是故半徑十萬與三十度之

　　　　　　正切之比即如所設之半徑六寸與丙

　　　　　　壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊

　　　　　　也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切六等邊形之每一邊五

　　　　　　七七三五○二七為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率六寸九

　　　　　　分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等

　　　　　　邊形之毎一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切六等

　　　　　　邊形之面積八六六○二五四○為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺二

　　　　　　十四寸七十分七十六釐有餘即圜外

　　　　　　切六等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切六等邊形之面積一一○二六五

　　　　　　七八一為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　二十四寸七十分七十六釐有餘即圜

　　　　　　外切六等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切七等邊形之每一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸求得内容七等邊

　　　　　　形之每一邊為五寸二分零六豪六絲

　　　　　　有餘又求得自圜心至每一邊之中垂

　　　　　　線為五寸四分零五豪八絲一忽有餘

　　　　　　乃以中垂線之數為一率每一邊之數

　　　　　　為二率今所設之半徑六寸為三率求

　　　　　　得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽

　　　　　　有餘為圜外切七等邊形之每一邊爰

　　　　　　以每一邊之五寸七分七釐八豪八絲

　　　　　　九忽有餘與半徑六寸相乘得三十四

　　　　　　寸六十七分三十三釐有餘折半得一

　　　　　　十七寸三十三分六十六釐有餘七因

　　　　　　之得一尺二十一寸三十五分六十二

　　　　　　釐有餘即圜外切七等邊形之面積也

　　　　　　如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊

　　　　　　己庚辛壬七等邊形先求得圜内容七

　　　　　　等邊形之毎一邊為癸子又求得圜心

　　　　　　至每一邊之中垂線為丑寅以丑寅與

　　　　　　癸子之比即同於丑乙與巳庚之比為

　　　　　　相當比例四率也又自圜心至各角作

　　　　　　分角線即分七等邊形為七三角形其

　　　　　　丑乙中垂線即圜之半徑故以所得圜

　　　　　　外切七等邊形之每一邊與半徑相乘

　　　　　　折半得丑己庚一三角形之面積七倍

　　　　　　之而得圜外切七等邊形之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度七分之每分

　　　　　　得五十一度二十五分四十二秒有餘

　　　　　　折半得二十五度四十二分五十一秒

　　　　　　有餘乃以半徑十萬為一率二十五度

　　　　　　四十二分五十一秒之正切四萬八千

　　　　　　一百五十七為二率今所設之半徑六

　　　　　　寸為三率求得四率二寸八分八釐九

　　　　　　毫四絲二忽有餘倍之得五寸七分七

　　　　　　釐八毫八絲四忽有餘為圜外切七等

　　　　　　邊形之每一邊既得七等邊形之每一

　　　　　　邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半

　　　　　　七因之得一尺二十一寸三十五分五

　　　　　　十六釐有餘為圜外切七等邊形之面

　　　　　　積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙

　　　　　　丁戊己庚辛壬七等邊形每一邊之弧

　　　　　　皆五十一度二十五分四十二秒有餘

　　　　　　試將丙丁邊折半於癸自圜心子作子

　　　　　　癸半徑線又作子丙分角線割圜界於

　　　　　　甲則甲癸弧為二十五度四十二分五

　　　　　　十一秒有餘丙癸即二十五度四十二

　　　　　　分五十一秒有餘之正切丙丁即二十

　　　　　　五度四十二分五十一秒有餘之正切

　　　　　　之倍是故半徑十萬與二十五度四十

　　　　　　二分五十一秒有餘之正切之比即如

　　　　　　所設之半徑六寸與丙癸之半邊之比

　　　　　　既得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切七等邊形之毎一邊四

　　　　　　八一五七四六二為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率五寸七

　　　　　　分七釐八豪八絲九忽有餘即圜外切

　　　　　　七等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切七等

　　　　　　邊形之面積八四二七五五五八為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺二

　　　　　　十一寸三十五分六十八釐有餘即圜

　　　　　　外切七等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切七等邊形之面積一○七三○二

　　　　　　九七四為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　二十一寸三十五分六十八釐有餘即

　　　　　　圜外切七等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切八等邊形之毎一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸自乘得一尺四十

　　　　　　四寸倍之得二尺八十八寸開方得一

　　　　　　尺六寸九分七釐零五絲六忽有餘内

　　　　　　減圜徑一尺二寸餘四寸九分七釐零

　　　　　　五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之

　　　　　　毎一邊乃以每一邊之四寸九分七釐

　　　　　　零五絲六忽有餘與半徑六寸相乘得

　　　　　　二十九寸八十二分三十三釐有餘折

　　　　　　半得一十四寸九十一分一十六釐有

　　　　　　餘八因之得一尺一十九寸二十九分

　　　　　　二十八釐有餘即圜外切八等邊形之

　　　　　　面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切

　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形試依甲

　　　　　　乙圜徑度作子丑寅夘正方形又作子

　　　　　　寅對角斜線於子寅對角斜線内減與

　　　　　　甲乙圜徑相等之辰己餘子辰巳寅兩

　　　　　　段即與圜外切八等邊形之丙丁一邊

　　　　　　相等也何則丙子丁勾股形因子寅斜

　　　　　　線平分為子辰丙子辰丁兩勾股形與

　　　　　　原形為同式形(子辰丙勾股形之辰角/與丙子丁勾股形之子)

　　　　　　(角同為直角又同用一丙角/其餘一角必等故為同式形)丙子既與

　　　　　　子丁等子辰必與丙辰等而為丙丁之

　　　　　　一半則子辰巳寅兩段亦必與丙丁一

　　　　　　邊等故以圜徑自乘倍之開方而得對

　　　　　　角斜線於斜線内減圜徑即圜外切八

　　　　　　等邊形之毎一邊也又自圜心至各角

　　　　　　作分角線即分八等邊形為八三角形

　　　　　　其午乙中垂線即圜之半徑故以所得

　　　　　　圜外切八等邊形之每一邊與半徑相

　　　　　　乘折半得午己庚一三角形之面積八

　　　　　　倍之而得圜外切八等邊形之總面積

　　　　　　也

　　　　　　又法以全圜三百六十度八分之每分

　　　　　　得四十五度折半得二十二度三十分

　　　　　　乃以半徑十萬為一率二十二度三十

　　　　　　分之正切四萬一千四百二十一為二

　　　　　　率今所設之半徑六寸為三率求得四

　　　　　　率二寸四分八釐五豪二絲六忽倍之

　　　　　　得四寸九分七釐零五絲二忽為圜外

　　　　　　切八等邊形之毎一邊既得八等邊形

　　　　　　之每一邊乃以半徑與每一邊之數相

　　　　　　乘折半八因之得一尺一十九寸二十

　　　　　　九分二十四釐有餘為圜外切八等邊

　　　　　　形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸

　　　　　　外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形每

　　　　　　一邊之弧皆四十五度試將丙丁邊折

　　　　　　半於子自圜心五作丑子半徑線又作

　　　　　　丑丙分角線割圜界於寅則寅子弧為

　　　　　　二十二度三十分丙子即二十二度三

　　　　　　十分之正切丙丁即二十二度三十分

　　　　　　之正切之倍是故半徑十萬與二十二

　　　　　　度三十分之正切之比即如所設之半

　　　　　　徑六寸與丙子之半邊之比既得半邊

　　　　　　倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切八等邊形之毎一邊四

　　　　　　一四二一三五六為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率四寸九

　　　　　　分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八

　　　　　　等邊形之毎一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切八等

　　　　　　邊形之面積八二八四二七一二為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺一

　　　　　　十九寸二十九分三十五釐有餘即圜

　　　　　　外切八等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切八等邊形之面積一○五四七八

　　　　　　六一七為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　一十九寸二十九分三十五釐有餘即

　　　　　　圜外切八等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切九等邊形之毎一邊及

　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸求得内容九等邊

　　　　　　形之毎一邊為四寸一分零四豪二絲

　　　　　　二忽有餘又求得自圜心至毎一邊之

　　　　　　中垂線為五寸六分三釐八豪一絲五

　　　　　　忽有餘乃以中垂線之數為一率毎一

　　　　　　邊之數為二率今所設之半徑六寸為

　　　　　　三率求得四率四寸三分六釐七豪六

　　　　　　絲二忽有餘為圜外切九等邊形之毎

　　　　　　一邊爰以毎一邊之四寸三分六釐七

　　　　　　豪六絲二忽有餘與半徑六寸相乘得

　　　　　　二十六寸二十分五十七釐有餘折半

　　　　　　得一十三寸一十分二十八釐有餘九

　　　　　　因之得一尺一十七寸九十二分五十

　　　　　　七釐有餘即圜外切九等邊形之面積

　　　　　　也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁

　　　　　　戊己庚辛壬癸子九等邊形先求得圜

　　　　　　内容九等邊形之每一邊為丑寅又求

　　　　　　得圜心至每一邊之中垂線為夘辰以

　　　　　　卯辰與丑寅之比即同於卯乙與庚辛

　　　　　　之比為相當比例四率也又自圜心至

　　　　　　各角作分角線即分九等邊形為九三

　　　　　　角形其卯乙中垂線即圜之半徑故以

　　　　　　所得圜外切九等邊形之毎一邊與半

　　　　　　徑相乘折半得卯庚辛一三角形之面

　　　　　　積九倍之而得圜外切九等邊形之總

　　　　　　面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度九分之毎分

　　　　　　得四十度折半得二十度乃以半徑十

　　　　　　萬為一率二十度之正切三萬六千三

　　　　　　百九十七為二率今所設之半徑六寸

　　　　　　為三率求得四率二寸一分八釐三豪

　　　　　　八絲二忽倍之得四寸三分六釐七豪

　　　　　　六絲四忽為圜外切九等邊形之每一

　　　　　　邊既得九等邊形之毎一邊乃以半徑

　　　　　　與毎一邊之數相乘折半九因之得一

　　　　　　尺一十七寸九十二分六十二釐有餘

　　　　　　為圜外切九等邊形之面積也如圖甲

　　　　　　乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛

　　　　　　壬癸子九等邊形每一邊之弧皆四十

　　　　　　度試將丙丁邊折半於丑自圜心寅作

　　　　　　寅丑半徑線又作寅丙分角線割圜界

　　　　　　於甲則甲丑弧為二十度丙丑即二十

　　　　　　度之正切丙丁即二十度之正切之倍

　　　　　　是故半徑十萬與二十度之正切之比

　　　　　　即如所設之半徑六寸與丙丑之半邊

　　　　　　之比既得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切九等邊形之每一邊三

　　　　　　六三九七○二四為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率四寸三

　　　　　　分六釐七豪六絲四忽有餘即圜外切

　　　　　　九等邊形之每一邊也

　　　　　　又用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切九等

　　　　　　邊形之面積八一八九三三○三為二

　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺一

　　　　　　十七寸九十二分六十三釐有餘即圜

　　　　　　外切九等邊形之面積也

　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　外切九等邊形之面積一○四二六九

　　　　　　七九一為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　一十七寸九十二分六十五釐有餘即

　　　　　　圜外切九等邊形之面積也

設如圜徑一尺二寸求外切十等邊形之每一邊及

　　面積幾何

　　　　　　法以圜徑一尺二寸求得内容十等邊

　　　　　　形之毎一邊為三寸七分零八豪二絲

　　　　　　有餘又求得自圜心至每一邊之中垂

　　　　　　線為五寸七分零六豪三絲三忽有餘

　　　　　　乃以中垂線之數為一率每一邊之數

　　　　　　為二率今所設之半徑六寸為三率求

　　　　　　得四率三寸八分九釐九豪零三忽有

　　　　　　餘為圜外切十等邊形之毎一邊爰以

　　　　　　毎一邊之三寸八分九釐九豪零三忽

　　　　　　有餘與半徑六寸相乘得二十三寸三

　　　　　　十九分四十一釐有餘折半得一十一

　　　　　　寸六十九分七十釐有餘十因之得一

　　　　　　尺一十六寸九十七分一十二釐有餘

　　　　　　即圜外切十等邊形之面積也如圖甲

　　　　　　乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛

　　　　　　壬癸子丑十等邊形先求得圜内容十

　　　　　　等邊形之毎一邊為寅卯又求得圜心

　　　　　　至每一邊之中垂線為辰巳以辰巳與

　　　　　　寅卯之比即同於辰乙與庚辛之比為

　　　　　　相當比例四率也又自圜心至各角作

　　　　　　分角線即分十等邊形為十三角形其

　　　　　　辰乙中垂線即圜之半徑故以所得圜

　　　　　　外切十等邊形之每一邊與半徑相乘

　　　　　　折半得辰庚辛一三角形之面積十倍

　　　　　　之而得圜外切十等邊形之總面積也

　　　　　　又法以全圜三百六十度十分之每分

　　　　　　得三十六度折半得十八度乃以半徑

　　　　　　十萬為一率十八度之正切三萬二千

　　　　　　四百九十二為二率今所設之半徑六

　　　　　　寸為三率求得四率一寸九分四釐九

　　　　　　豪五絲二忽倍之得三寸八分九釐九

　　　　　　豪零四忽為圜外切十等邊形之每一

　　　　　　邊既得十等邊形之毎一邊乃以半徑

　　　　　　與毎一邊之數相乘折半十因之得一

　　　　　　尺一十六寸九十七分一十二釐為圜

　　　　　　外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜

　　　　　　徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸

　　　　　　子丑十等邊形毎一邊之弧皆三十六

　　　　　　度試將丙丁邊折半於寅自圜心卯作

　　　　　　卯寅半徑線又作卯丙分角線割圜界

　　　　　　於辰則辰寅弧為十八度丙寅即十八

　　　　　　度之正切丙丁即十八度之正切之倍

　　　　　　是故半徑十萬與十八度之正切之比

　　　　　　即如所設之半徑六寸與丙寅之半邊

　　　　　　之比既得半邊倍之即全邊也

　　　　　　又用求圜外各形之一邊之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑一○○○○○○○○

　　　　　　為一率圜外切十等邊形之每一邊三

　　　　　　二四九一九七○為二率今所設之圜

　　　　　　徑一尺二寸為三率求得四率三寸八

　　　　　　分九釐九豪零三忽有餘即圜外切十

　　　　　　等邊形之每一邊也

　　　　　　乂用求圜外各形之面積之定率比例

　　　　　　以定率之圜徑自乘之正方面積一○

　　　　　　　○○○○○○○為一率圜外切十等

　　　　　　　邊形之面積八一二二九九二四為二

　　　　　　　率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一

　　　　　　　尺四十四寸為三率求得四率一尺一

　　　　　　　十六寸九十七分一十釐有餘即圜外

　　　　　　　切十等邊形之面積也

　　　　　　　又用圜面積之定率比例以定率之圜

　　　　　　　面積一○○○○○○○○為一率圜

　　　　　　　外切十等邊形之面積一○三四二五

　　　　　　　一五二為二率今所設之圜徑一尺二

　　　　　　　寸求得圜面積一尺一十三寸零九分

　　　　　　　七十三釐有餘為三率求得四率一尺

　　　　　　　一十六寸九十七分一十釐有餘即圜

　　　　　　　外切十等邊形之面積也

御製數理精藴下編卷二十一