御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷二十三
體部一
立方
立方
立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十
二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱
横與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十
二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第
相乗而後得其全積其開之也必次第析之而後得
其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而
得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬纔為三十
餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先
從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方
根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減
盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别
成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方
廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者
謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面
即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次
商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面
積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以
次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小
隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商
數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成
一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之
實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅
又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而
隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實
盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之
正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立
方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而
法乃可施也
設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數
幾何
法列正方體積一百二十五尺自末位
起算每方積三位定方邊一位今積止
有三位則於五尺上作記定單位以自
一至九自乗再乗之方根數與之相審
知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五
尺書於方積五尺之上而以五尺自乗
再乗之一百二十五尺書於方積原數
之下相減恰盡即得開方之數為五尺
也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊
皆五尺其中函一尺小方體一百二十
五自邊計之為五尺自面計之則為五
尺自乗之二十五尺自通體計之則為
五尺自乗再乗之一百二十五尺以積
開之則與五尺自乗再乗之數相準故
商除之恰盡也蓋方積為三位是以方
邊止一位方積即五尺自乗再乗之數
别無廉隅故不用次商如有餘實則自
成廉隅而用次商矣
設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一
邊數幾何
法列正方體積一丈七百二十八尺自
末位起算每方積三位定方邊一位故
隔二位作記即於八尺上定尺位一丈
上定丈位其一丈為初商積與一丈自
乗再乗之數相合即定初商為一丈書
於方積一丈之上而以一丈自乗再乗
之一丈書於初商積之下相減恰盡爰
以方邊末位餘積七百二十八尺續書
於下(大凡以餘積續書於下者每取方/積之三位以當方邊之一位也)
為次商廉隅之共積乃以初商之一丈
作一十尺自乗得一百尺三因之得三
百尺為次商三方廉面積以除方積七
百二十八尺足二尺即定次商為二尺
書於方積八尺之上而以初商之一十
尺與次商之二尺相乗得二十尺三因
之得六十尺為次商三長廉面積復以
次商二尺自乗得四尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得三百六十四尺為廉隅共法書於餘
積之左以次商之二尺乗之得七百二
十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈
二尺為正方體積每一邊之數也如圖
甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺
其中函積一丈七百二十八尺是為共
積其先從一角所分戊乙庚己方體每
邊一丈即初商數其中函積亦一丈即
初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸
形三方體為三方廉其每邊一丈即初
商數其厚二尺即次商數而子形丑形
寅形三長方體為三長廉其每邊一丈
亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次
商數方廉有三故三倍初商之自乗為
廉法以定次商其卯形一小正方體為
隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次
商數故以次商為隅法合辛壬癸三方
廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬
折體形附於初商自乗再乗之方體三
面而成一甲乙丙丁之總正方體積此
立方廉隅之法所由生也三商以後皆
倣此逓析開之
又法列積一丈七百二十八尺自末位
起算作記定位同前乃截一丈為初商
積與一丈自乗再乗之數相合則定初
商為一丈書於方積一丈之上而以一
丈自乗再乗之一丈書於初商積之下
相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二
十八尺續書於下為次商廉隅之共積
而以初商之一丈作一十尺自乗得一
百尺三因之得三百尺為次商三方廉
面積即以三方廉面積三百尺除方積
七百二十八尺足二尺則定次商為二
尺書於方積八尺之上合初商共一丈
二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺
與原積符合相減恰盡即定立方邊為
一丈二尺也此法止用三方廉面積除
立方體積得次商數即併初商數自乗
再乗得數與原積相減雖為省去長廉
小隅一層然方邊位數少者還為簡易
至於方邊位數過四位以上則累次自
乗再乗反比逓析之理為煩矣
設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立
方問每一邊數幾何(此題正方體積之六位皆以/尺命位似與前題分丈尺者)
(不同然其取方積三位續書於下其末/位即命為單位立算則與丈尺同也)
法列正方體積一十四萬八千八百七
十七尺自末位起算每方積三位定方
邊一位故隔二位作記乃於七尺上定
單位八千尺上定十位其一十四萬八
千尺為初商積以初商本位計之則八
千尺為初商積之單位而一十四萬八
千尺為一百四十八止與五自乗再乗
之數相準即定初商為五書於方積八
千尺之上而以五自乗再乗之一百二
十五書於初商積之下相減餘二萬三
千尺爰以方邊第二位餘積八百七十
七尺續書於下共二萬三千八百七十
七尺為次商廉隅之共積乃以初商之
五作五十尺自乗得二千五百尺三因
之得七千五百尺為次商三方廉面積
以除方積二萬三千八百七十七尺足
三尺即定次商為三尺書於方積七尺
之上而以初商之五十尺與次商之三
尺相乗得一百五十尺三因之得四百
五十尺為次商三長廉面積復以次商
三尺自乗得九尺為次商一小隅面積
合三方廉三長廉一小隅面積共得七
千九百五十九尺為廉隅共法書於餘
積之左以次商之三尺乗之得二萬三
千八百七十七尺與餘積相減恰盡是
開得五十三尺為正方體積每一邊之
數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五
十三尺其中函積一十四萬八千八百
七十七尺是為共積其從一角所分戊
乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數
其中函積一十二萬五千尺即初商自
乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方
體為三方廉其每邊五十尺即初商數
其厚三尺即次商數而子形丑形寅形
三長方體為三長廉其每邊五十尺亦
即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商
數方廉有三故三倍初商之自乗為廉
法以定次商其邜形一小正方體為隅
其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商
數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉
子丑寅三長廉卯一方隅而成一磬折
體形附於初商自乗再乗之方體三面
而成一甲乙丙丁之總正方體積也
又法列積一十四萬八千八百七十七
尺自末位起算作記定位同前乃截一
十四萬八千尺為初商積與五十自乗
再乗之數相準則定初商五十尺書於
方積八千尺之上而以五十自乗再乗
之一十二萬五千尺書於原積一十四
萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合
第二位積八百七十七尺共二萬三千
八百七十七尺為次商廉隅之共積而
以初商五十尺自乗得二千五百尺三
因之得七千五百尺為次商三方廉面
積即以三方廉面積除方積二萬三千
八百七十七尺足三尺即定次商為三
尺書於方積七尺之上合初商共得五
十三尺自乗再乗得一十四萬八千八
百七十七尺與原積符合相減恰盡即
定立方邊為五十三尺也此法亦止用
三方廉面積除立方體積得次商數即
併初商數自乗再乗以減原積也
設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開
立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈八百六十尺八百
六十七寸自末位起算每方積三位定
方邊一位故隔二位作記即於七寸上
定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位
其一丈為初商積與一丈自乗再乗之
數相合即定初商為一丈書於方積一
丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書
於初商積之下相減恰盡爰以方邊第
二位餘積八百六十尺續書於下為次
商廉隅之共積乃以初商之一丈作一
十尺自乗得一百尺三因之得三百尺
為次商三方廉面積以除八百六十尺
足二尺即定次商為二尺書於方積空
尺之上而以初商之一十尺與次商之
二尺相乗得二十尺三因之得六十尺
為次商三長廉面積復以次商之二尺
自乗得四尺為次商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得三百六
十四尺為次商廉隅共法書於餘積之
左以次商之二尺乗之得七百二十八
尺與次商廉隅共積相減餘一百三十
二尺即一十三萬二千寸復以方邊第
三位餘積八百六十七寸續書於下共
一十三萬二千八百六十七寸為三商
廉隅之共積乃以初商次商之一丈二
尺作一百二十寸自乗得一萬四千四
百寸三因之得四萬三千二百寸為三
商三方廉面積以除一十三萬二千八
百六十七寸足三寸即定三商為三寸
書於方積七寸之上而以初商次商之
一百二十寸與三商之三寸相乗得三
百六十寸三因之得一千零八十寸為
三商三長廉面積復以三商之三寸自
乗得九寸為三商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得四萬四千
二百八十九寸為三商廉隅共法書於
餘積之左以三商之三寸乗之得一十
三萬二千八百六十七寸與三商廉隅
共積相減恰盡是開得一丈二尺三寸
為正方體積每一邊之數也
設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十
六尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積九千四百八十一萬八
千八百一十六尺自末位起算每方積
三位定方邊一位故隔二位作記乃於
六尺上定單位八千尺上定十位四百
萬尺上定百位其九千四百萬尺為初
商積以初商本位計之則四百萬尺為
初商積之單位而九千四百萬尺為九
十四止與四自乗再乗之數相準即定
初商為四書於方積四百萬尺之上而
以四自乗再乗之六十四書於初商積
之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二
位餘積八十一萬八千尺續書於下共
三十零八十一萬八千尺為次商廉隅
之共積以次商本位計之則八千尺為
次商積之單位而三千零八十一萬八
千尺為三萬零八百一十八而初商之
四即為四十乃以初商之四十自乗得
一千六百三因之得四千八百為次商
三方廉面積以除三萬零八百一十八
足五倍即定次商為五書於方積八千
尺之上而以初商之四十與次商之五
相乗得二百三因之得六百為次商三
長廉面積復以次商之五自乗得二十
五為次商一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得五千四百二十五
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之五乗之得二萬七千一百二十五
與次商廉隅共積相減餘三百六十九
萬三千尺復以方邊末位餘積八百一
十六尺續書於下共三百六十九萬三
千八百一十六尺為三商廉隅之共積
以三商本位計之則積與邊皆仍為本
位乃以初商次商之四百五十尺自乗
得二十萬零二千五百三因之得六十
萬零七千五百為三商三方廉面積以
除三百六十九萬三千八百一十六尺
足六倍即定三商為六書於方積六尺
之上而以初商次商之四百五十與三
商之六相乗得二千七百三因之得八
千一百為三商三長廉面積復以三商
之六自乗得三十六為三商一小隅面
積合三方廉三長廉一小隅面積共得
六十一萬五千六百三十六為三商廉
隅共法書於餘積之左以三商之六乗
之得三百六十九萬三千八百一十六
與三商廉隅共積相減恰盡是開得四
百五十六尺為正方體積毎一邊之數
也
設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百
二十七寸開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三百四十七丈四百二
十八尺九百二十七寸自末位起算毎
隔二位作記即於七寸上定寸位八尺
上定尺位七丈上定丈位其三百四十
七丈為初商積與七丈自乗再乗之數
相準即定初商為七丈書於方積七丈
之上而以七丈自乗再乗之三百四十
三丈書於初商積之下相減餘四丈即
四千尺爰以方邊第二位餘積四百二
十八尺續書於下共四千四百二十八
尺為次商廉隅之共積乃以初商之七
丈作七十尺自乗得四千九百尺三因
之得一萬四千七百尺為次商三方廉
面積以除方積四千四百二十八尺其
數不足是次商為空位也乃書一空於
方積八尺之上以存次商之位復以方
邊末位餘積九百二十七寸續書於下
共四千四百二十八尺九百二十七寸
即四百四十二萬八千九百二十七寸
為三商廉隅之共積仍以次商三方廉
面積一萬四千七百尺作一百四十七
萬寸為廉法以除四百四十二萬八千
九百二十七寸足三寸即定三商為三
寸書於方積七寸之上又以初商之七
丈為七百寸與三商之三寸相乗得二
千一百寸三因之得六千三百寸為三
商三長廉面積復以三商之三寸自乗
得九寸為三商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得一百四十七
萬六千三百零九寸為三商廉隅共法
書於餘積之左以三商之三寸乗之得
四百四十二萬八千九百二十七寸與
三商廉隅共積相減恰盡是開得七丈
零三寸為正方體積毎一邊之數也此
法商出之方邊有空位凡廉法除餘積
而數不足者皆依此例推之
設如正方體積三千九百三十萬四千尺開立方問
每一邊數幾何
法列正方體積三千九百三十萬四千
尺補三空位以足其分自末空位起算
每隔二位作記乃於空尺上定單位四
千尺上定十位九百萬尺上定百位其
三千九百萬尺為初商積以初商本位
計之則九百萬尺為初商積之單位而
三千九百為三十九止與三自乗再乗
之數相準即定初商為三書於方積九
百萬尺之上而以三自乗再乗之二十
七書於初商積之下相減餘一千二百
萬尺爰以方邊第二位餘積三十萬四
千尺續書於下共一千二百三十萬四
千尺為次商廉隅之共積以次商本位
計之則四千尺為次商積之單位而一
千二百三十萬四千尺為一萬二千三
百零四而初商之三即為三十乃以初
商之三十自乗得九百三因之得二千
七百為次商三方廉面積以除餘積一
萬二千三百零四足四倍即定次商為
四書於方積四千尺之上又以初商之
三十與次商之四相乗得一百二十三
因之得三百六十為次商三長廉面積
復以次商之四自乗得一十六為次商
一小隅面積合三方廉三長廉一小隅
面積共得三千零七十六為次商廉隅
共法書於餘積之左以次商之四乗之
得一萬二千三百零四與餘積相減恰
盡是開得三百四十尺為正方體積每
一邊之數也此法方積之末有三空位
故所得方邊之末亦補一空位凡設數
未至單位者皆依此例補足位分然後
開之
設如正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百
零四分開立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈八百七十九尺零
八十寸九百零四分自末位起算毎隔
二位作記於四分上定分位空寸上定
寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其
一丈為初商積與一丈自乗再乗之數
相合即定初商為一丈書於方積一丈
之上而以一丈自乗再乗之一丈書於
初商積之下相減恰盡爰以方邊第二
位餘積八百七十九尺續書於下為次
商廉隅之共積乃以初商之一丈作一
十尺自乗得一百尺三因之得三百尺
為次商三方廉面積以除八百七十九
尺足二尺即定次商為二尺書於方積
九尺之上而以初商之一十尺與次商
之二尺相乗得二十尺三因之得六十
尺為次商三長廉而積復以次商之二
尺自乗得四尺為次商一小隅面積合
三方廉三長廉一小隅面積共得三百
六十四尺為次商廉隅共法書於餘積
之左以次商之二尺乗之得七百二十
八尺與餘積相減仍餘一百五十一尺
即一十五萬一千寸又以方邊第三位
餘積八十寸續書於下共一十五萬一
千零八十寸為三商廉隅之共積乃以
初商次商之一丈二尺作一百二十寸
自乗得一萬四千四百寸三因之得四
萬三千二百寸為三商三方廉面積以
除一十五萬一千零八十寸足三寸即
定三商為三寸書於方積空寸之上而
以初商次商之一百二十寸與三商之
三寸相乗得三百六十寸三因之得一
千零八十寸為三商三長廉面積復以
三商之三寸自乗得九寸為三商一小
隅面積合三方廉三長廉一小隅面積
共得四萬四千二百八十九寸為三商
廉隅共法書於餘積之左以三商之三
寸乗之得一十三萬二千八百六十七
寸與餘積相減仍餘一萬八千二百一
十三寸即一千八百二十一萬三千分
又以方邊第四位餘積九百零四分續
書於下共一千八百二十一萬三千九
百零四分為四商廉隅之共積乃以初
商次商三商之一百二十三寸作一千
二百三十分自乗得一百五十一萬二
千九百分三因之得四百五十三萬八
千七百分為四商三方廉面積以除一
千八百二十一萬三千九百零四分足
四分即定四商為四分書於方積四分
之上而以初商次商三商之一千二百
三十分與四商之四分相乗得四千九
百二十分三因之得一萬四千七百六
十分為四商三長廉面積復以四商之
四分自乗得一十六分為四商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得四百五十五萬三千四百七十六分
為四商廉隅共法書於餘積之左以四
商之四分乗之得一千八百二十一萬
三千九百零四分與餘積相減恰盡是
開得一丈二尺三寸四分為正方體積
每一邊之數也
設如正方體積八十億六千零一十五萬零一百二
十五尺開立方問毎一邊數幾何
法列正方體積八十億六千零一十五
萬零一百二十五尺自末位起算每隔
二位作記於五尺上定單位空千尺上
定十位空百萬尺上定百位八十億尺
上定千位其八十億尺為初商積以初
商本位計之則八十億尺為初商積之
單位而八十億尺為八止與二自乗再
乗之數相合即定初商為二書於方積
八十億尺之上而以二自乗再乗之八
書於初商積之下相減恰盡爰以方邊
第二位餘積六千萬尺續書於下為次
商廉隅之共積以次商本位計之則空
百萬尺為次商之單位而六千萬尺為
六十而初商之二即為二十故以初商
之二十自乗得四百三因之得一千二
百為次商三方廉面積以除六十其數
不足是次商為空位乃書一空於方積
空百萬尺之上以存次商之位復以方
邊第三位餘積一十五萬尺續書於下
共六千零一十五萬尺為三商廉隅之
共積以三商本位計之則空千尺為三
商之單位而六千零一十五萬尺為六
萬零一百五十而初商之二即為二百
次商之空即為空十故以初商次商之
二空作二百自乗得四萬三因之得十
二萬為三商三方廉面積以除六萬零
一百五十其數仍不足是三商亦為空
位乃再書一空於方積空千尺之上以
存三商之位復以方邊末位餘積一百
二十五尺續書於下共六千零一十五
萬零一百二十五尺為四商廉隅之共
積以四商本位計之則積與邊皆仍為
本位乃以初商次商三商之二千空百
空十自乗得四百萬尺三因之得一千
二百萬尺為四商三方廉面積以除六
千零一十五萬零一百二十五尺足五
尺即定四商為五尺書於方積五尺之
上而以初商之二千尺與四商之五尺
相乗得一萬尺三因之得三萬尺為四
商三長廉面積復以四商之五尺自乗
得二十五尺為四商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得一千二
百零三萬零二十五尺為四商廉隅共
法書於餘積之左以四商之五尺乗之
得六千零一十五萬零一百二十五尺
與餘積相減恰盡是開得二千零五尺
為正方體積每一邊之數也此法商出
之方邊有二空位凡開立方遇此類者
皆依此例推之
設如正方體積三十二億九千四百六十四萬六千
二百七十二尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積三十二億九千四百六
十四萬六千二百七十二尺自末位起
算每隔二位作記於二尺上定單位六
千尺上定十位四百萬尺上定百位三
十億尺上定千位其三十億尺為初商
積以初商本位計之則三十億尺為初
商積之單位而三十億尺為三止與一
自乗再乗之數相準即定初商為一書
於方積三十億尺之上而以一自乗再
乗之一書於初商積之下相減餘二十
億尺爰以方邊第二位餘積二億九千
四百萬尺續書於下共二十二億九千
四百萬尺為次商廉隅之共積以次商
本位計之則四百萬尺為次商積之單
位而二十二億九千四百萬尺為二千
二百九十四而初商之一即為一十乃
以初商之一十自乗得一百三因之得
三百為次商三方廉面積以除二千二
百九十四足七倍因定次商為七而以
初商之一十與次商之七相乗得七十
三因之得二百一十為次商三長廉面
積復以次商之七自乗得四十九為次
商一小隅面積合三方廉三長廉一小
隅面積共得五百五十九為次商廉隅
共法以次商之七乗之得三千九百一
十三大於次商廉隅之共積是次商不
可商七也乃改商六而以初商之一十
與次商之六相乗得六十三因之得一
百八十為次商三長廉面積復以次商
之六自乗得三十六為次商一小隅面
積合三方廉三長廉一小隅面積共得
五百一十六為次商廉隅共法以次商
之六乗之得三千零九十六仍大於次
商廉隅之共積是次商不可商六也又
改商五而以初商之一十與次商之五
相乗得五十三因之得一百五十為次
商三長廉面積復以次商之五自乗得
二十五為次商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得四百七十五
為次商廉隅共法以次商之五乗之得
二千三百七十五仍大於次商廉隅之
共積是次商又不可商五也乃改商四
而以初商之一十與次商之四相乗得
四十三因之得一百二十為次商三長
廉面積復以次商之四自乗得一十六
為次商一小隅面積合三方廉三長廉
一小隅面積共得四百三十六為次商
廉隅共法以次商之四乗之得一千七
百四十四是小於次商廉隅之共積可
減也乃以次商之四書於方積四百萬
尺之上而以次商乗廉隅共法之一千
七百四十四與次商廉隅之共積相減
餘五億五千萬尺復以方邊第三位餘
積六十四萬六千尺續書於下共五億
五千零六十四萬六千尺為三商廉隅
之共積以三商本位計之則六千尺為
三商積之單位而五億五千零六十四
萬六千尺為五十五萬零六百四十六
而初商次商之一十四即為一百四十
乃以初商之一百四十自乗得一萬九
千六百三因之得五萬八千八百為三
商三方廉面積以除五十五萬零六百
四十六足九倍因定三商為九而以初
商次商之一百四十與三商之九相乗
得一千二百六十三因之得三千七百
八十為三商三長廉面積復以三商之
九自乗得八十一為三商一小隅面積
合三方廉三長廉一小隅面積共得六
萬二千六百六十一為三商廉隅共法
以三商之九乗之得五十六萬三千九
百四十九大於三商廉隅之共積是三
商不可商九也乃改商八而以初商次
商之一百四十與三商之八相乗得一
千一百二十三因之得三千三百六十
為三商三長廉面積復以三商之八自
乗得六十四為三商一小隅面積合三
方廉三長廉一小隅面積共得六萬二
千二百二十四為三商廉隅共法以三
商之八乗之得四十九萬七千七百九
十二是小於三商廉隅之共積可減也
乃以三商之八書於方積六千尺之上
而以三商乗廉隅共法之四十九萬七
千七百九十二與三商廉隅之共積相
減餘五千二百八十五萬四千尺復以
方邊末位餘積二百七十二尺續書於
下共五千二百八十五萬四千二百七
十二尺為四商廉隅之共積以四商本
位計之則積與邊皆仍為本位乃以初
商次商三商之一千四百八十尺自乗
得二百一十九萬零四百三因之得六
百五十七萬一千二百為四商三方廉
面積以除五千二百八十五萬四千二
百七十二足八倍即定四商為八書於
方積二尺之上而以初商次商三商之
一千四百八十與四商之八相乗得一
萬一千八百四十三因之得三萬五千
五百二十為四商三長廉面積復以四
商之八自乗得六十四為四商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得六百六十萬六千七百八十四為四
商廉隅共法以四商之八乗之得五千
二百八十五萬四千二百七十二與餘
積相減恰盡是開得一千四百八十八
尺為正方體積毎一邊之數也此法蓋
因方邊之第三位第四位二數太大故
次商廉隅之共積以次商之三方廉除
得次商之邊繼而以次商之邊與次商
廉隅共法相乗大於原積甚多改商三
次所乗之數始與次商廉隅之共積相
準而後次商之數可定凡開立方遇此
類者皆依此例推之如或廉隅共法與
商出之數相乗得數大於廉隅共積幾
一倍者則改商必審其與廉隅共積相
近小數始可為準也
設如有積一萬四千七百三十四尺開立方問每一
邊數幾何
法列積一萬四千七百三十四尺自末
位起算隔二位作記於四尺上定單位
四千尺上定十位其一萬四千尺為初
商積以初商本位計之則四千尺為初
商積之單位而一萬四千為一十四止
與二自乗再乗之數相準即定初商為
二書於方積四千尺之上而以二自乗
再乗之八書於初商積之下相減餘六
千尺爰以方邊第二位餘積七百三十
四尺續書於下共六千七百三十四尺
為次商廉隅之共積以次商本位計之
則邊與積皆仍為本位而初商之二則
為二十尺乃以初商之二十尺自乗得
四百尺三因之得一千二百尺為次商
三方廉面積以除方積六千七百三十
四尺足五尺乃以初商之二十尺與次
商之五尺相乗得一百尺三因之得三
百尺為次商三長廉面積復以次商之
五尺自乗得二十五尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
一千五百二十五尺為次商廉隅共法
以次商之五尺乗之得七千六百二十
五尺大於次商廉隅之共積是次商不
可商五尺也乃改商四尺書於方積四
尺之上而以初商之二十尺與次商之
四尺相乗得八十尺三因之得二百四
十尺為次商三長廉面積復以次商之
四尺自乗得一十六尺為次商一小隅
面積合三方廉三長廉一小隅面積共
得一千四百五十六尺為次商廉隅共
法書於餘積之左以次商之四尺乗之
得五千八百二十四尺與餘積相減仍
餘九百一十尺是開得二十四尺為方
體每一邊之數仍餘九百一十尺不盡
也如欲以餘數再開則得方邊之寸數
乃増三空於總積之後復續書三空於
九百一十尺之後為幾百幾十幾寸之
位是則九百一十尺作九十一萬寸為
三商廉隅之共積爰以初商次商之二
十四尺作二百四十寸自乗得五萬七
千六百寸三因之得一十七萬二千八
百寸為三商三方廉面積以除餘積九
十一萬寸足五寸即定三商為五寸書
於餘積空寸之上而以初商次商之二
百四十寸與三商之五寸相乗得一千
二百寸三因之得三千六百寸為三商
三長廉面積復以三商之五寸自乗得
二十五寸為三商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得一十七萬
六千四百二十五寸為三商廉隅共法
書於餘積之左以三商之五寸乗之得
八十八萬二千一百二十五寸與餘積
相減仍餘二萬七千八百七十五寸不
盡如再以餘數開之則得方邊之分數
乃又續書三空於原積空寸之後復續
書三空於二萬七千八百七十五寸之
後為幾百幾十幾分之位是則二萬七
千八百七十五寸作二千七百八十七
萬五千分為四商廉隅之共積爰以初
商次商三商之二十四尺五寸作二千
四百五十分自乗得六百萬零二千五
百分三因之得一千八百萬零七千五
百分為四商三方廉面積以除餘積二
千七百八十七萬五千分足一分即定
四商為一分書於餘積空分之上而以
初商次商三商之二千四百五十分與
四商之一分相乗仍得二千四百五十
分三因之得七千三百五十分為四商
三長廉面積復以四商之一分自乗仍
得一分為四商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得一千八百零
一萬四千八百五十一分為四商廉隅
共法書於餘積之左以四商之一分乗
之仍得一千八百零一萬四千八百五
十一分與餘積相減仍餘九百八十六
萬零一百四十九分不盡是開得二十
四尺五寸一分為方體每一邊之數也
此法原積本非自乗再乗所得之數雖
逓析之終不能盡凡開立方遇此類者
皆以此例推之
設如有方亭幾座用方甎鋪地共用一千七百二十
八塊其所鋪之座數與毎座毎行之甎數相等問
亭之座數幾何
法列方甎一千七百二十八塊為立方
積用開立方法開之於八塊上定單位
一千塊上定十位其一千塊為初商積
以初商本位計之則一千為初商積之
單位與一自乗再乗之數相合即定初
商為一書於方積一千之上而以一自
乗再乗之一書於初商積之下相減恰
盡爰以第二位餘積七百二十八塊續
書於下為次商廉隅之共積而以初商
之一作一十自乗得一百三因之得三
百為次商三方廉面積以除七百二十
八足二倍即定次商為二書於方積八
塊之上而以初商之一十與次商之二
相乗得二十三因之得六十為次商三
長廉面積復以次商之二自乗得四為
次商一小隅面積合三方廉三長廉一
小隅面積共得三百六十四書於餘積
之左以次商之二乗之得七百二十八
與餘積相減恰盡是得所鋪亭數為一
十二座也此法因所鋪之亭數與每行
甎數相等是每行甎一十二塊其亭亦
一十二座雖非立方形而法則立方法
也故用立方開之
設如有方倉一座共盛糧八百七十八石八斗問倉
髙幾何
法以每石定法二尺五百寸乗八百七
十八石八斗得二千一百九十七尺為
立方積用開立方法開之其二千尺為
初商積以初商本位計之則二千尺為
初商積之單位止與一自乗再乗之數
相準即定初商為一書於方積二千之
上而以一自乗再乗之一書於初商積
之下相減餘一千尺爰以第二位餘積
一百九十七尺續書於下共一千一百
九十七尺為次商廉隅之共積而以初
商之一作一十自乗得一百三因之得
三百為次商三方廉面積以除一千一
百九十七尺足三倍即定次商為三書
於方積七尺之上而以初商之一十與
次商之三相乗得三十三因之得九十
為次商三長廉面積復以次商之三自
乗得九為次商一小隅面積合三方廉
三長廉一小隅面積共得三百九十九
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之三乗之得一千一百九十七尺與
餘積相減恰盡是開得方倉之高為一
十三尺也此法因糧是石法所問乃倉
之尺數故先將石變為尺而開立方即
得倉之髙也
設如有方石一塊重一二萬六千六百二十兩問每邊
尺寸幾何
法以石之定率每寸重二兩五錢除二
萬六千六百二十兩得一萬零六百四
十八寸為立方積用開立方法開之其
一萬寸為初商積以初商本位計之則
空千位為初商積之單位而一萬尺為
一十與二自乗再乗之數相準即定初
商為二書於空千寸之上而以二自乗
再乗之八書於初商積之下相減餘二
千寸爰以第二位餘積六百四十八寸
續書於下共二千六百四十八寸為次
商廉隅之共積而以初商之二作二十
自乗得四百三因之得一千二百為次
商三方廉面積以除二千六百四十八
寸足二倍即定次商為二書於方積八
寸之上而以初商之二十與次商之二
相乗得四十三因之得一百二十為次
商三長廉面積復以次商之二自乗得
四為次商一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得一千三百二十四
為次商廉隅共法書於餘積之左以次
商之二乗之得二千六百四十八寸與
餘積相減恰盡是開得二十二寸為正
方石毎一邊之數也此法因石是兩數
所問乃石之寸數故先將石之兩數變
為寸而開立方即得石之寸數也
設如有水銀一萬六千三百四十四兩六錢八分欲
作一方匣盛之問匣高幾何
法先以水銀定率毎寸重一十二兩二
錢八分除一萬六千三百四十四兩六
錢八分得一千三百三十一寸為立方
積用開立方法開之其一千寸為初商
積以初商本位計之則一千為初商積
之單位與一自乗再乗之數相合即定
初商為一書於一千寸之上而以一自
乗再乗之一書於方積一千寸之下相
減恰盡爰以第二位餘積三百三十一
寸續書於下為次商廉隅之共積而以
初商之一作一十自乗得一百三因之
得三百為次商三方廉面積以除三百
三十一寸足一倍即定次商為一書於
方積一寸之上而以初商之一十與次
商之一相乗得一十三因之得三十為
次商三長廉面積復以次商之一自乗
仍得一為一小隅面積合三方廉三長
廉一小隅面積共得三百三十一為次
商廉隅共法書於餘積之左以次商之
一乗之仍得三百三十一與餘積相減
恰盡是開得一十一寸為方匣之高也
設如有方池一區其深與方相等容水四千零九十
六尺問深幾何
法列四千零九十六尺為立方積用開
立方法開之其四千尺為初商積以初
商本位計之則四千為初商積之單位
與一自乗再乗之數相準即定初商為
一書於四千尺之上而以一自乗再乗
之一書於方積四千尺之下相減餘三
千尺爰以第二位餘積九十六尺續書
於下共三千零九十六尺為次商廉隅
之共積而以初商之一作一十自乗得
一百三因之得三百為次商三方廉面
積以除三千零九十六尺可得十尺若
商十尺則合於初商之數再合方廉長
廉小隅面積必大於次商廉隅之共積
可知故商九尺八尺七尺皆仍大於次
商廉隅之共積乃改商六尺書於方積
六尺之上而以初商之一十與次商之
六相乗得六十三因之得一百八十為
次商三長廉面積復以次商之六自乗
得三十六為次商一小隅面積合三方
廉三長廉一小隅面積共得五百一十
六為次商廉隅共法書於餘積之左以
次商之六乗之得三千零九十六與餘
積相減恰盡是開得一十六尺為池之
深也此法因池之深與方相等其所容
水數即正方體積故立方開之得一邊
之數即池之深也
御製數理精藴下編卷二十三