御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷二十五

　　體部三

　　　各體形總論

　　　直線體

　　各體形總論

體之為形成於面面之相合為厚角故凡體形皆自

厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能

成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成

渾圓是雖無角而實賴於角也方體有正方斜方尖

方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之

殊至於各等面體惟成於三角四角五角之面而兼

盡乎方圓之理函於圓者其角切於球之外面函圓

者球之外面切於各面之中心而各體又有互相容

之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就

其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細

剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則

葢體成於面面生於線理固然也有積求邊則必以

方圓為比例是以邊線等者體積不等如圓球徑與

各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體積為

一○○○○○○○○○圓球體積為五二三五九

八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面

體積為四七一四○四五二一十二面體積為七六

六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九

四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以

圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑

得一二四○小餘七○○九八如圓球徑與各等面

體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則圓

球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一

九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九

○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面

體積為一四六三五四七九○五一二十面體積為

四一六六七三○四六三此各形之體積皆以球積

比例者也葢因各形之邊線相等體積不同故皆定

為體與體之比例也體積等者邊線不等如圓球體

積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○則正方體之

每邊為一○○○○○○○○而圓球徑為一二四

○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八

九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二

面體之每邊為五○七二二二○七二十面體之每

邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊

比例者也或以圓球徑設為一○○○○○○○○

則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二九

八八七三○七一九二三如圓球體積與各等面體

積俱設為五二三五九八七七五五九八二九八八

七三○七一九二三則圓球徑為一○○○○○○

○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體

之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為

一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八

八一八九五二十面體之每邊為六二一四四三三

二此各形之邊線皆以球徑比例者也葢因各形之

體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要

之邊求積者亦皆本於勾股而積求邊者一皆歸之

正方此方所以為立法之原入算之本也

　　直線體

設如正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾

　何

　　　　　法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之

　　　　　得一十六尺開立方得二尺五寸一分

　　　　　有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙

　　　　　丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之

　　　　　得一十六尺即如戊己庚辛正方體積

　　　　　每邊得二尺五寸一分有餘試於戊己

　　　　　庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體

　　　　　形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸

　　　　　磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相

　　　　　等也

設如正方體每邊二尺今將其積八倍之問得方邊

　幾何

　　　　　法以每邊二尺倍之得四尺即所求之

　　　　　方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊

　　　　　二尺其體積八尺八倍之得六十四尺

　　　　　即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲

　　　　　乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用

　　　　　八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之

　　　　　而即得也此法葢因兩體積之比例比

　　　　　之兩界之比例為連比例隔二位相加

　　　　　之比例(見幾何原本/十巻第四節)故戊己庚辛正方

　　　　　體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積

　　　　　之八尺相比為八分之一而戊己庚辛

　　　　　正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之

　　　　　二尺之比為二分之一夫六十四與三

　　　　　十二三十二與十六十六與八八與四

　　　　　四與二皆為二分之一之連比例而六

　　　　　十四與八之比其間隔三十二與十六

　　　　　之兩位故為連比例隔二位相加之比

　　　　　例也

設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積

　倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何

　　　　　法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七

　　　　　百二十八寸倍之得三尺四百五十六

　　　　　寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘

　　　　　即所求之長既得長乃以原長一尺二

　　　　　寸為一率原闊八寸為二率今所得之

　　　　　長一尺五寸一分一釐有餘為三率求

　　　　　得四率一尺零七釐有餘即所求之闊

　　　　　也又以原長一尺二寸為一率原高四

　　　　　寸為二率今所得之長一尺五寸一分

　　　　　一釐有餘為三率求得四率五寸零三

　　　　　釐有餘即所求之高也或以闊八寸自

　　　　　乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐

　　　　　有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘

　　　　　倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為

　　　　　所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲

　　　　　乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二

　　　　　寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體

　　　　　此兩長方體積之比例即同於其相當

　　　　　二界各作兩正方體積之比例(見幾何/原本十)

　　　　　(巻第/五節)故依甲乙丙丁長方體之甲戊長

　　　　　界作甲戊丑子正方體將其積倍之即

　　　　　如己庚辛壬長方體之己癸長界所作

　　　　　之己癸卯寅正方體故開立方得己癸

　　　　　為所求之長也既得己癸之長則以甲

　　　　　戊與丁戊之比即同於己癸與壬癸之

　　　　　比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙

　　　　　之比同於己癸與己庚之比得己庚為

　　　　　所求之高也若以原闊自乘再乘倍之

　　　　　開立方亦得一尺零七釐有餘為今所

　　　　　求之闊原高自乘再乘倍之開立方亦

　　　　　得五寸零三釐有餘為今所求之高皆

　　　　　如以其相當二界各作正方體互相為

　　　　　比之理也

設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積

　八倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何

　　　　　法以長一尺二寸倍之得二尺四寸即

　　　　　所求之長又以原闊八寸倍之得一尺

　　　　　六寸即所求之闊又以原高四寸倍之

　　　　　得八寸即所求之高也如圖甲乙丙丁

　　　　　長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊

　　　　　長一尺二寸將其積八倍之即如巳庚

　　　　　辛壬長方體其每邊得甲乙丙丁長方

　　　　　體毎邊之二倍是故不用八倍其積開

　　　　　立方止以各邊之數倍之而即得也此

　　　　　法蓋因兩長方體之比例既同於其相

　　　　　當二界各作正方體之比例而兩正方

　　　　　體之比例比之二界之比例為連比例

　　　　　隔二位相加之比例故兩長方體積之

　　　　　比例較之兩體各界之比例亦為連比

　　　　　例隔二位相加之比例也

設如塹堵體形闊五尺長十二尺高七尺問積幾何

　　　　　法以闊五尺與長十二尺相乘得六十

　　　　　尺又以高七尺再乘得四百二十尺折

　　　　　半得二百一十尺即塹堵體形之積也

　　　　　葢塹堵體形即平行二勾股面之三稜

　　　　　長體如甲乙丙丁戊己塹堵體形其兩

　　　　　端之二面皆為勾股形一為甲乙丙一

　　　　　為丁戊己俱平行以乙丙闊與丙丁長

　　　　　相乘成乙丙丁己長方面形又以甲乙

　　　　　高再乘成甲乙丙丁庚戊長方體形凡

　　　　　平行面之長方體自其一面之對角線

　　　　　平分為兩三稜體此兩三稜體之積相

　　　　　等(見幾何原本五/卷第十七節)夫一長方體所分兩

　　　　　三稜體之積既相等則三稜體積必為

　　　　　長方體積之一半故將所得之甲乙丙

　　　　　丁庚戊長方體積折半即得甲乙丙丁

　　　　　戊己塹堵體形之積也

　　　　　又法以闊五尺與高七尺相乘得三十

　　　　　五尺折半得一十七尺五寸與長十二

　　　　　尺相乘得二百一十尺即塹堵體形之

　　　　　積也如甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲

　　　　　乙高與乙丙闊相乘折半得甲乙丙一

　　　　　勾股面積又與丙丁長相乘即得甲乙

　　　　　丙丁戊己塹堵體形之積也

設如芻蕘體形闊四尺長十二尺高四尺問積幾何

　　　　　法以闊四尺與長十二尺相乘得四十

　　　　　八尺又與高四尺相乘得一百九十二

　　　　　尺折半得九十六尺即芻蕘體形之積

　　　　　也葢芻蕘體形即平行兩三角面之三

　　　　　稜長體(有直角為塹堵體/無直角為芻蕘體)如甲乙丙丁

　　　　　戊己芻蕘體形其兩端之二面皆為三

　　　　　角形一為甲乙丙一為丁戊巳俱平行

　　　　　以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁已

　　　　　長方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙

　　　　　丁壬癸長方體形凡平行面之三稜體

　　　　　積為平行面方體積之一半(見幾何原/本五卷第)

　　　　　(二十/節)故將所得之辛乙丙丁壬癸長方

　　　　　體積折半即得甲乙丙丁戊己芻蕘體

　　　　　形之積也

　　　　　又法以闊四尺與高四尺相乘得一十

　　　　　六尺折半得八尺與長十二尺相乘得

　　　　　九十六尺即芻蕘體形之積也如甲乙

　　　　　丙丁戊己芻蕘體形以乙丙闊與甲庚

　　　　　高相乘折半得甲乙丙三角形面積又

　　　　　與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己芻

　　　　　蕘體形之積也

設如方底尖體形底方毎邊五尺自尖至四角之斜

　線皆六尺問自尖至底中立垂線之高幾何

　　　　　法以底方每邊五尺求對角斜線法求

　　　　　得底方對角斜線七尺零七分一釐零

　　　　　六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐

　　　　　五豪三絲有餘為勾以自尖至四角之

　　　　　斜線六尺為弦用勾弦求股法求得股

　　　　　四尺八寸四分七釐六豪八絲有餘即

　　　　　自尖至底中立垂線之高數也如圖甲

　　　　　乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁

　　　　　戊底方面之乙丁對角斜線折半於己

　　　　　得乙巳為勾以自尖至角之甲乙斜線

　　　　　為弦求得甲己股即自尖至底中立垂

　　　　　線之高也

　　　　　又法以底方每邊五尺為平面三角形

　　　　　之底以自尖至四角之斜線六尺為兩

　　　　　腰用平面三角形求中垂線法求得一

　　　　　面中垂線五尺四寸五分四釐三豪五

　　　　　絲為弦以底方每邊五尺折半得二尺

　　　　　五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐

　　　　　六豪七絲有餘即自尖至底中立垂線

　　　　　之高數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其

　　　　　四面皆為平面三角形一為甲乙丙一

　　　　　為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任

　　　　　以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙

　　　　　甲丙為兩腰求得甲庚中垂線而以此

　　　　　甲庚為弦底邉折半得庚己為勾求得

　　　　　甲己股即自尖至底中立垂線之高也

設如方底尖體形底方每邊六尺高三尺問積幾何

　　　　　法以下方每邊六尺自乘得三十六尺

　　　　　又以高三尺再乘得一百零八尺三歸

　　　　　之得三十六尺即方底尖體形之積也

　　　　　如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一

　　　　　邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲

　　　　　己高再乘得庚乙丁辛扁方體形此扁

　　　　　方體與尖方體之底面積等其高又等

　　　　　故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙

　　　　　丁戊尖方體三形之積等(見幾何原本/五卷第二十)

　　　　　(三/節)試將甲己高倍之得壬己與乙丙丁

　　　　　戊底面積相乘得癸乙丁子正方體形

　　　　　此正方體之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙

　　　　　丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六

　　　　　方面皆與尖方體之底面積等又自甲

　　　　　心依各稜至各角剖之則成甲乙丙丁

　　　　　戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子

　　　　　寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方體

　　　　　此每一尖方體俱為倍高正方體之六

　　　　　分之一既為倍高正方體之六分之一

　　　　　則必為同高扁方體之三分之一故將

　　　　　所得庚乙丁辛之同高方體積三分之

　　　　　而得甲乙丙丁戊尖方體之積也

設如陽馬體形底方毎邊六尺高亦六尺問積幾何

　　　　　法以底方毎邊六尺自乘得三十六尺

　　　　　又以高六尺再乘得二百一十六尺三

　　　　　歸之得七十二尺即陽馬體形之積也

　　　　　如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊

　　　　　自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁

　　　　　高再乘得己乙丁甲正方體形此己乙

　　　　　丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽

　　　　　馬體三形之積等故三分之即得陽馬

　　　　　體之積也此陽馬體與尖方體形雖不

　　　　　同而法則一葢尖方體形尖在正中陽

　　　　　馬體形尖在一隅然大凡體形其底面

　　　　　積等高度又等則其體積亦必相等(見/幾)

　　　　　(何原本二巻/第二十二節)故今陽馬體之乙丙丁戊

　　　　　底面積即如尖方體之底其甲丁高度

　　　　　即如尖方體之高度故形雖不同而積

　　　　　則一也

設如鼈臑體形長與闊俱四尺高九尺問積幾何

　　　　　法以長與闊四尺自乘得十六尺以高

　　　　　九尺再乘得一百四十四尺六歸之得

　　　　　二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑

　　　　　體即勾股面之尖體如甲乙丙丁鼈臑

　　　　　體形以丁丙長與乙丙闊相乘成乙丙

　　　　　丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚

　　　　　戊乙丙己長方體形此一長方體之積

　　　　　與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而

　　　　　甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙

　　　　　丁陽馬體積之一半葢各類尖體其底

　　　　　面積等其高又等則其體積亦等(見幾/何原)

　　　　　(本二卷第/二十二節)今甲乙丙丁鼈臑體之乙丙

　　　　　丁底積為甲戊乙丙丁陽馬體之乙丙

　　　　　丁戊底面積之一半則甲乙丙丁鼈臑

　　　　　體積亦必為甲戊乙丙丁陽馬體積之

　　　　　一半鼈臑體既為陽馬體之一半而陽

　　　　　馬體又為長方體之三分之一則鼈臑

　　　　　體必為長方體之六分之一故將所得

　　　　　甲庚戊乙丙己長方體積六分之即得

　　　　　甲乙丙丁鼈臑體之積也又凡正方體

　　　　　或長方體按法剖之即成塹堵陽馬鼈

　　　　　臑各體而自得其相比之率也如圖甲

　　　　　乙丙丁戊己正方體自其庚乙一面對

　　　　　角線至對面戊辛對角斜線平分之即

　　　　　得甲乙辛戊己與庚乙丙丁戊二塹堵

　　　　　體又將庚乙丙丁戊塹堵體自其上稜

　　　　　戊角至乙對角依乙丙下稜斜剖之則

　　　　　得戊乙丙丁辛一陽馬體乙丙戊庚一

　　　　　鼈臑體又將戊乙丙丁辛陽馬體自其

　　　　　戊乙相對斜稜平分之則得戊乙丁辛

　　　　　與戊乙丙丁二鼈臑體夫一正方體剖

　　　　　之得二塹堵體是塹堵體為正方體二

　　　　　分之一也一塹堵體剖之得一陽馬體

　　　　　一鼈臑體而一陽馬體剖之又得二鼈

　　　　　臑體是陽馬體為塹堵體之三分之二

　　　　　即為正方體之三分之一而鼈臑體為

　　　　　塹堵體之三分之一即為正方體之六

　　　　　分之一也

設如上下不等正方體形上方毎邊四尺下方毎邊

　六尺高八尺問積幾何

　　　　　法以上方每邊四尺自乘得一十六尺

　　　　　下方每邊六尺自乘得三十六尺又以

　　　　　上方毎邊四尺與下方毎邊六尺相乘

　　　　　得二十四尺三數相併得七十六尺與

　　　　　高八尺相乘得六百零八尺三歸之得

　　　　　二百零二尺六百六十六寸有餘即上

　　　　　下不等正方體形之積也如甲乙丙丁

　　　　　上下不等正方體形戊丁上方邊自乘

　　　　　得甲戊丁己正方面形庚丙下方邊自

　　　　　乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方邊

　　　　　與庚丙下方邊相乘得壬癸子丑長方

　　　　　面形將此三方面形相併與高八尺相

　　　　　乘得三長方體形其一上下方面俱如

　　　　　甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙

　　　　　辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙

　　　　　庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多

　　　　　壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已

　　　　　巳四方廉體又多乙壬甲辰癸庚寅戊

　　　　　丁卯丙子已已丑辛四長廉體而壬癸

　　　　　子丑長方體比甲戊丁巳長方體多壬

　　　　　癸戊甲巳丁子丑二方廉體若將共多

　　　　　之六方廉體四長廉體俱截去則此三

　　　　　長方體之上下方面必皆如甲戊丁己

　　　　　乃以每一方廉體變為二塹堵體每一

　　　　　長廉體變為三陽馬體共得十二塹堵

　　　　　體十二陽馬體將甲戊丁已類三長方

　　　　　體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上

　　　　　下不等三正方體故三歸之而得甲乙

　　　　　丙丁上下不等一正方體形之積也

　　　　　又法以上方邊四尺與下方邊六尺相

　　　　　減餘二尺折半得一尺為一率高八尺

　　　　　為二率下方邊六尺折半得三尺為三

　　　　　率求得四率二十四尺為上下不等正

　　　　　方體形上補成一尖方體之共高乃以

　　　　　下方邊六尺自乘得三十六尺與所得

　　　　　共高二十四尺相乘得八百六十四尺

　　　　　三歸之得二百八十八尺為大尖方體

　　　　　之積又以高八尺與共高二十四尺相

　　　　　減餘十六尺為上小尖方體之高以上

　　　　　方邊四尺自乘得十六尺與上高十六

　　　　　尺相乘得二百五十六尺三歸之得八

　　　　　十五尺三百三十三寸有餘為上小尖

　　　　　方體之積與大尖方體積二百八十八

　　　　　尺相減餘二百零二尺六百六十六寸

　　　　　有餘即上下不等正方體形之積也如

　　　　　甲乙丙丁上下不等正方體形加戊甲

　　　　　丁小尖方體形遂成戊乙丙大尖方體

　　　　　形先以上方邊與丁方邊相減折半如

　　　　　巳庚下方邊折半如己辛依勾股比例

　　　　　巳庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛

　　　　　之比以戊辛與乙丙下方面相乘三歸

　　　　　之得戊乙丙大尖方體積以戊癸與甲

　　　　　丁上方面相乘三歸之得戊甲丁小尖

　　　　　方體積於戊乙丙大尖方體積内減去

　　　　　戊甲丁小尖方體積所餘必甲乙丙丁

　　　　　上下不等正方體形之積也

設如上下不等長方體形上方長四尺闊三尺下方

　長八尺闊六尺高十尺問積幾何

　　　　　法以上長四尺與上闊三尺相乘得十

　　　　　二尺倍之得二十四尺下長八尺與下

　　　　　闊六尺相乘得四十八尺倍之得九十

　　　　　六尺又以上闊三尺與下長八尺相乘

　　　　　得二十四尺以下闊六尺與上長四尺

　　　　　相乘得二十四尺四數相併得一百六

　　　　　十八尺與高十尺相乘得一千六百八

　　　　　十尺六歸之得二百八十尺即上下不

　　　　　等長方體形之積也如甲乙丙丁上下

　　　　　不等長方體形戊丁上長與甲戊上闊

　　　　　相乘得一甲戊丁庚長方面形倍之得

　　　　　二甲戊丁庚長方面形已丙下長與乙

　　　　　己下闊相乘得一乙己丙辛長方面形

　　　　　倍之得二乙己丙辛長方面形甲戊上

　　　　　闊與已丙下長相乘得一壬癸子丑長

　　　　　方面形乙己下闊與戊丁上長相乘得

　　　　　一寅卯辰巳長方面形將此六長方面

　　　　　形相併與高十尺相乘得六長方體形

　　　　　其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上

　　　　　下方面俱如乙己丙辛其一上下方面

　　　　　俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅

　　　　　卯辰巳葢二乙己丙辛長方體比二甲

　　　　　戊丁庚長方體為多二壬癸戊甲二戊

　　　　　卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方

　　　　　廉體又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二

　　　　　丁辰丙子二巳庚丑辛八長廉體而一

　　　　　壬癸子丑長方體比一甲戊丁庚長方

　　　　　體多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉

　　　　　體而一寅卯辰巳長方體比一甲戊丁

　　　　　庚長方體多一寅甲庚巳一戊卯辰丁

　　　　　二方廉體若將共多之十二方廉體八

　　　　　長廉體俱截去則此六長方體之上下

　　　　　方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉

　　　　　體變為二塹堵體每一長廉體變為三

　　　　　陽馬體共得二十四塹堵體二十四陽

　　　　　馬體將六長方體各加四塹堵體四陽

　　　　　馬體則皆成上下不等六長方體故六

　　　　　歸之而得甲乙丙丁上下不等長方體

　　　　　形之積也

　　　　　又法以上長四尺倍之得八尺加下長

　　　　　八尺共十六尺與上闊三尺相乘得四

　　　　　十八尺又以下長八尺倍之得十六尺

　　　　　加上長四尺得二十尺與下闊六尺相

　　　　　乘得一百二十尺兩數相併得一百六

　　　　　十八尺與高十尺相乘得一千六百八

　　　　　十尺六歸之得二百八十尺即上下不

　　　　　等長方體形之積也此法與前法同此

　　　　　法之以上長倍之加下長與上闊相乘

　　　　　之數即前法之上長上闊相乘倍之又

　　　　　加上闊與下長相乘之數也又此法之

　　　　　以下長倍之加上長與下闊相乘之數

　　　　　即前法之下長下闊相乘倍之又加下

　　　　　闊與上長相乘之數也圖解並同

　　　　　又法以上長四尺與上闊三尺相乘得

　　　　　十二尺下長八尺與下闊六尺相乘得

　　　　　四十八尺又以上長四尺與下闊六尺

　　　　　相乘下長八尺與上闊三尺相乘共得

　　　　　四十八尺折半得二十四尺三數相併

　　　　　得八十四尺與高十尺相乘得八百四

　　　　　十尺三歸之得二百八十尺亦即上下

　　　　　不等長方體形之積也葢此法與上下

　　　　　不等正方體求積之法同但正方體上

　　　　　下俱係正方面故止用上下方邊各自

　　　　　乘上方邊與下方邊相乘此則上下方

　　　　　面各有長闊既用上方長闊相乘下方

　　　　　長闊相乘又必以上長乘下闊下長乘

　　　　　上闊相加折半以取中數乃可相併而

　　　　　與高數相乘三歸之而得體積也

　　　　　又法以上長四尺與下長八尺相減餘

　　　　　四尺折半得二尺為一率高十尺為二

　　　　　率下長八尺折半得四尺為三率求得

　　　　　四率二十尺為上下不等長方體形上

　　　　　補成一尖長方體之共高乃以下長八

　　　　　尺與下闊六尺相乘得四十八尺與所

　　　　　得共高二十尺相乘得九百六十尺三

　　　　　歸之得三百二十尺為大尖長方體之

　　　　　積又以高十尺與共高二十尺相減餘

　　　　　十尺為上小尖長方體之高以上長四

　　　　　尺與上闊三尺相乘得十二尺與上高

　　　　　十尺相乘得一百二十尺三歸之得四

　　　　　十尺為上小尖長方體之積與大尖長

　　　　　方體積三百二十尺相減餘二百八十

　　　　　尺即上下不等長方體形之積也如甲

　　　　　乙丙丁上下不等長方體形加戊甲丁

　　　　　小尖長方體形遂成戊乙丙大尖長方

　　　　　體形先以上長與下長相減折半如己

　　　　　庚以下長折半如己辛依勾股比例己

　　　　　庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之

　　　　　比以戊辛與乙丙下長方面相乘三歸

　　　　　之得戊乙丙大尖長方體積以戊癸與

　　　　　甲丁上長方面相乘三歸之得戊甲丁

　　　　　小尖長方體積於戊乙丙大尖體積内

　　　　　減去戊甲丁小尖體積所餘必甲乙丙

　　　　　丁上下不等長方體形之積也

設如上下不等芻蕘體形上長十尺下長十四尺下

　闊五尺高十二尺問積幾何

　　　　　法以上長十尺與下闊五尺相乘得五

　　　　　十尺以高十二尺再乘得六百尺折半

　　　　　得三百尺為上下相等芻蕘體積又以

　　　　　上長十尺與下長十四尺相減餘四尺

　　　　　與下闊五尺相乘得二十尺以高十二

　　　　　尺再乘得二百四十尺三歸之得八十

　　　　　尺與先所得上下相等芻蕘體積三百

　　　　　尺相併得三百八十尺即上下不等芻

　　　　　蕘體之積也如甲乙丙丁戊上下不等

　　　　　芻蕘體形自其上稜之甲戊兩端直剖

　　　　　之則分為甲己辛壬戊一芻蕘體甲乙

　　　　　丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上

　　　　　長相等之己庚與己辛闊(與乙/丙等)相乘即

　　　　　得己辛壬庚芻蕘體之底面積與甲癸

　　　　　高相乘折半得甲己辛壬戊芻蕘體積

　　　　　又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘

　　　　　丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與

　　　　　乙丙闊相乘得乙辛與庚丁二尖方體

　　　　　之底面積與高相乘三歸之即得甲乙

　　　　　丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與甲己

　　　　　辛壬戊一芻蕘積相加即得甲乙丙丁

　　　　　戊一上下不等芻蕘體之總積也

設如兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸闊八寸

　高三尺七寸問積幾何

　　　　　法以長二尺四寸與闊八寸相乘得一

　　　　　尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得

　　　　　七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長

　　　　　方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜

　　　　　長方體形以乙丙闊與丙丁長相乘得

　　　　　乙丙丁庚長方面積以戊丙高再乘成

　　　　　己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之

　　　　　間所有立於等積底之各平行體其積

　　　　　必俱相等(見幾何原本五/巻第十九節)故甲乙丙丁

　　　　　戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛

　　　　　壬正立之長方體為相等也

設如空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問

　内外方邊各幾何

　　　　　法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之

　　　　　得六十四寸與共積一千二百一十六

　　　　　寸相減餘一千一百五十二寸六歸之

　　　　　得一百九十二寸用厚二寸除之得九

　　　　　十六寸為内方邊與外方邊相乘長方

　　　　　面積乃以厚二寸倍之得四寸為長闊

　　　　　之較用帶縱較數開平方法算之得闊

　　　　　八寸即内方邊得長一尺二寸即外方

　　　　　邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正

　　　　　方體其甲丑即空心正方體之厚以之

　　　　　自乘再乘八因之得壬辛子癸類八小

　　　　　隅體與空心正方體相減則餘空心正

　　　　　方體之六面丑寅巳子類六長方扁體

　　　　　六歸之得丑寅巳子一長方扁體用厚

　　　　　二寸除之得丑寅卯辰一長方面積其

　　　　　丑寅闊與戊己等即内方邊其丑辰長

　　　　　與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與

　　　　　甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長闊之

　　　　　較故以厚二寸倍之為帶縱求得闊為

　　　　　内方邊長為外方邊也

　　　　　又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊

　　　　　與外方邊之較自乘再乘得六十四寸

　　　　　與空心正方體積一千二百一十六寸

　　　　　相減餘一千一百五十二寸三歸之得

　　　　　三百八十四寸以内外方邊之較四寸

　　　　　除之得九十六寸為長方面積以内外

　　　　　方邊之較四寸為長闊之較用帶縱較

　　　　　數開平方法算之得闊八寸即内方邊

　　　　　加較四寸得一尺二寸即外方邊也如

　　　　　圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體以

　　　　　戊己庚辛空心小正方形移置乙角之

　　　　　一隅則空心正方體變為甲戊辛庚丙

　　　　　丁壬磬折體形其甲戊即磬折體之厚

　　　　　為甲乙外方邊與戊己内方邊之較依

　　　　　開立方次商法分之得癸子丑三方廉

　　　　　體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲

　　　　　戊厚度自乘再乘得巳一小隅體與共

　　　　　積相減餘三方廉體三長廉體三歸之

　　　　　則餘癸一方廉體寅一長廉體共成午

　　　　　甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲

　　　　　戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方

　　　　　體則得甲乙庚未之長方面形甲戊即

　　　　　長闊之較故用帶縱較數開平方法算

　　　　　之得乙庚闊與戊乙等即空心方體之

　　　　　内方邊以甲戊與戊乙相加得甲乙即

　　　　　空心方體之外方邊也

設如大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多

　四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊

　各幾何

　　　　　法以大正方邊比小正方邊所多之較

　　　　　四寸自乘再乘得六十四寸與大正方

　　　　　體比小正方體所多之積二千三百六

　　　　　十八寸相減餘二千三百零四寸三歸

　　　　　之得七百六十八寸以邊較四寸除之

　　　　　得一百九十二寸為長方面積乃以邊

　　　　　較四尺為長闊之較用帶縱較數開平

　　　　　方法算之得闊十二尺即小正方之邊

　　　　　數加較四尺得十六尺即大正方之邊

　　　　　數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己

　　　　　庚辛一小正方體試於甲乙丙丁大正

　　　　　方體減去戊己庚辛小正方體餘壬甲

　　　　　戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方

　　　　　積比小正方積所多之較甲戊為磬折

　　　　　體之厚即大正方邊比小正方邊所多

　　　　　之較此三面磬折體形依開立方次商

　　　　　法分之則得癸子丑三方廉體寅卯辰

　　　　　三長廉體巳一小隅體以甲戊邊較自

　　　　　乘再乘得巳一小隅體與磬折體積相

　　　　　減餘三方廉體三長廉體三歸之則得

　　　　　癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙

　　　　　庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等

　　　　　以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方

　　　　　面形甲戊即長闊之較故用帶縱開平

　　　　　方法算之得乙庚闊與戊乙等即小正

　　　　　方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙

　　　　　即大正方之邊數也

設如大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百

　零八尺問兩體之每邊及體積各幾何

　　　　　法以共邊二十四尺自乘再乘得一萬

　　　　　三千八百二十四尺内減共積四千六

　　　　　百零八尺餘九千二百一十六尺三歸

　　　　　之得三千零七十二尺以共邊二十四

　　　　　尺除之得一百二十八尺為長方面積

　　　　　乃以共邊二十四尺為長闊和用帶縱

　　　　　和數開平方法算之得闊八尺即小正

　　　　　方之邊數與共邊二十四尺相減餘十

　　　　　六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙

　　　　　丁一大正方體戊己庚辛一小正方體

　　　　　以共邊二十四尺自乘再乘則成壬乙

　　　　　癸子一總正方體内減甲乙丙丁與戊

　　　　　己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅

　　　　　　卯三方廉體辰巳午三長廉體三歸之

　　　　　　則得丑一方廉體辰一長廉體共成未

　　　　　　壬乙丙戊申一扁方體用壬乙共邊除

　　　　　　之則得未壬戊申之長方面形其未壬

　　　　　　闊與壬甲等其壬戊長與甲乙等故以

　　　　　　壬乙共邊為長闊和用帶縱和數開平

　　　　　　方法算之得未壬闊即小正方之邊數

　　　　　　與長闊和相減餘壬戊長即大正方之

　　　　　　邊數也

御製數理精蘊下編卷二十五