御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十七
末部七
難題
難題
算術之學不外於線面體其間比例相求或借根借
方等法既已分門别類於前然設問中有紆廻繁襍
之不同者非審詳明辨則何以得其統緒兹又探賾
鉤深編為難題一卷俾學者殫思觀變以不迷於入
算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸
類而長之將以窮天下之變亦不難也
設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙
五日一次問三人何日同班
法以三日與四日相乘得十二日再與
五日相乘得六十日即三人同班之日
也此法葢因六十為三四五皆可以度
盡之數三與四相乘得十二日是甲乙
同班之日而不能與丙同班三與五相
乘得十五日是甲丙同班之日而不能
與乙同班四與五相乘得二十日是乙
丙同班之日而不能與甲同班惟六十
日為甲第二十次值班之日為乙第十
五次值班之日為丙第十二次值班之
日故為三人同班之日也
設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘
三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何
法先以三數之率定為七十五數之率
定為二十一七數之率定為十五乃以
三數之率七十與餘二相乘得一百四
十以五數之率二十一與餘三相乘得
六十三以七數之率十五與餘二相乘
得三十三數相併得二百三十三又以
三五七遞乘得一百零五於二百三十
三内減兩次餘二十三即總錢數也此
法以三數之率定為七十者以其用七
數五數皆盡惟用三數之餘一也今以
餘二相乘得一百四十則是用七數五
數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之
率定為二十一者以其用三數七數皆
盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘
得六十三則是用三數七數皆盡惟用
五數之餘三矣以七數之率定為十五
者以其用三數五數皆盡惟用七數之
餘一也今以餘二相乘得三十則是用
三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以
此三數相併自為三數餘二五數餘三
七數餘二之數又以三五七遞乘得一
百零五者此數用三五七皆可數盡故
二百三十三雖為三數餘二五數餘三
七數餘二之數然減去一百零五餘一
百二十八以三五七數之其所餘之數
仍同也即再減去一百零五餘二十三
以三五七數之其所餘之數亦同也是
以問數在一百零五以下必二十三如
問數在一百零五以上必一百二十八
或二百三十三如原數更在二百三十
三以上則遞加一百零五求之必有合
也至其作率之法不過一乘一減如以
三五七命算則以五七相乘得三十五
以三減之餘二不可為率以其所餘為
二難與他數相乘也故將三十五倍之
得七十以三減之餘一故七十即為三
數之率三七相乘得二十一以五減之
餘一故二十一即為五數之率三五相
乘得一十五以七減之餘一故十五即
為七數之率或以五數七數九數命算
皆倣此例推之
設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人
日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田
幾何
法以七畝三畝五畝連乘得一百零五
畝為治田總衰數以每日耘七畝除之
得十五日為耘田衰數以每日耕三畝
除之得三十五日為耕田衰數以每日
種五畝除之得二十一日為種田衰數
三數相併得七十一日為一率一百零
五畝為二率一日為三率得四率一畝
四分七釐有餘即每日自耕自種自耘
之數也此法葢因一日耘七畝則一百
零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一
百零五畝湏耕三十五日一日種五畝
則一百零五畝湏種二十一日併之得
七十一日是一人自耕自種自耘治田
一百零五畝即知一日治田一畝四分
七釐有餘也
設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖
仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利
銀抵兑問得月數幾何
法以今借銀八百両為一率原借銀一
千二百両為二率原欠利銀四月作一
百二十日為三率得四率一百八十日
以三十日歸之得六月為所求之日數
也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借
甲之銀數少故月數多而其利相等為
轉比例四率也
設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一
錢一分七釐今買大布一疋長二丈五尺闊一尺
六寸問價幾何
法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相
乘得二十三尺四十寸為一率價一錢
一分七釐為二率今布長二丈五尺闊
一尺六寸相乘得四十尺為三率求得
四率二錢即今布之價也凡物惟長不
同或惟闊不同則各以其長闊為比例
今長闊俱不同故以其長闊各相乘為
面與面之比例也
設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲
得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十
両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少
六両問四人各得銀數幾何
法先以總銀三百九十六両内減去甲
多十両丙多八両餘三百七十八両又
加乙少二十両丁少六両共得四百零
四両為各分之總銀數乃以甲分母二
乙分母五丙分母三丁分母四連乘之
得一百二十為總衰數於總衰一百二
十内取二分之一得六十為甲衰取五
分之三得七十二為乙衰取三分之一
得四十為丙衰取四分之一得三十為
丁衰併之得二百零二衰為一率以各
分總銀數四百零四両為二率一衰為
三率得四率二両乃以二両用甲衰六
十乘之得一百二十両加所多十両得
一百三十両即甲所分之銀數用乙衰
七十二乘之得一百四十四両内減所
少二十両餘一百二十四両即乙所分
之銀數用丙衰四十乘之得八十両加
所多八両得八十八両即丙所分之銀
數用丁衰三十乘之得六十両減所少
六両餘五十四両即丁所分之銀數將
四人所分之銀併之得三百九十六両
以合原數也
設如甲乙丙三商貨殖二年共得利銀八千五百八
十両甲原出本銀三千両至滿八月収回一千両
至滿十九月又添一千二百兩乙原出本銀二千
四百両至滿六月収回八百両至滿十五月又添
一千四百両丙原出本銀二千両滿七月悉収回
至滿十七月别出本銀一千六百両問各人分得
利銀若干
法以甲本銀三千両與八月相乘(滿八/月収)
(回一千両是八月/以前皆為三千両)得二萬四千両又以
収回一千両與原本銀三千両相減餘
二千両以八月與十九月相減餘十一
月(八月収回一千両餘二千両十九月/後方添一千二百両則是八月以後)
(十九月以前此十/一月皆為二千両)以十一月與二千両
相乘得二萬二千両又以二千両加所
添一千二百両得三千二百両以十九
月與二年之二十四月相減餘五月(十/九)
(月後添一千二百両是十九月以後二/十四月以前此五月皆為三千二百両)
以五月與三千二百両相乘得一萬六
千両以三得數相併共六萬二千両為
甲之共衰數乙本銀二千四百両與六
月相乘(滿六月収回八百両是六/月以前皆為二千四百両)得一
萬四千四百両又以収回八百両與原
本銀二千四百両相減餘一千六百両
以六月與十五月相減餘九月(六月後/収回八)
(百両餘一千六百両十五月後方添一/千四百両是六月以後十五月以前此)
(九月皆為一/千六百両)以九月與一千六百両相
乘得一萬四千四百両又以一千六百
両加所添一千四百両得三千両以十
五月與二年之二十四月相減餘九月
(十五月後添一千四百両是十五月以/後二十四月以前此九月皆為三千両)
以九月與三千両相乘得二萬七千両
三數相併共五萬五千八百両為乙之
共衰數丙本銀二千両與七月相乘(滿/七)
(月悉収回則七月/以前皆為二千両)得一萬四千両又以
十七月與二十四月相減餘七月與别
出本銀一千六百両相乘(七月悉収回/不算外至第)
(十七月方出本一千六百両是十七/月以後二十四月以前止七月也)得
一萬一千二百両二數相併共二萬五
千二百両為丙之共衰數以甲乙丙三
衰數相併(甲六萬二千乙五萬五千/八百丙二萬五千二百)共
得一十四萬三千両為一率總利銀八
千五百八十両為二率一両為三率求
得四率六分以各人衰數乘之甲得三
千七百二十両乙得三千三百四十八
両丙得一千五百一十二両為各人所
得利銀之數也
設如有一大石不知其重但知一小石重四両求大
石重幾何
法用一木杆結繫於中両端令平乃以
大石掛於一端以小石作砣稱之如大
石距提繫一寸小石距提繫六寸得平
則以一寸為一率小石重四両為二率
六寸為三率求得四率二十四両即大
石之重也如圗甲乙為大石距提繫一
寸甲丙為小石距提繫六寸丁為大石
戊為小石戊小石之重即甲乙之分丁
大石之重即甲丙之分故甲乙與戊小
石之比同於甲丙與丁大石之比也
設如有銀大小二錠共重十五両求大小錠各重幾
何
法用一木杆結繫於中両端令平乃以
大錠小錠各掛一端如大錠距提繫四
寸小錠距提繫六寸得平則以四寸六
寸相加得十寸為一率共重十五両為
二率大錠距提繫四寸為三率得四率
六両即小錠之重如以小錠距提繫六
寸為三率則得四率九両即大錠之重
也如圗甲乙為大錠距提繫四寸甲丙
為小錠距提繫六寸故以甲乙甲丙共
分與丁戊共重之比同於甲乙與戊小
錠之比亦同於甲丙與丁大錠之比也
設如以戥稱銀戥數不足將砣上加四兩稱之得二
百兩原砣重八兩問銀實重幾何
法以原砣重八兩爲一率又以原砣八
兩與加四兩相併得十二兩爲二率以
今稱二百兩爲三率得四率三百兩爲
原銀之重數也如圖甲乙爲二百兩之
分丙爲砣重十二兩試將甲乙戥衡引
長至丁甲丁爲三百兩之分戊爲原砣
重八兩甲乙乗丙砣卽與甲丁乗戊砣
之數等故以戊砣與甲乙之比同於丙
砣與甲丁之比爲轉比例四率也
設如戥子失去墜砣欲配一砣不知輕重以重三兩
之物用六錢之砣稱之得四兩問原砣重幾何
法以原重三兩爲一率今稱得四兩爲
二率今砣重六錢爲三率求得四率八
錢卽原砣之重也如圖甲乙爲戥盤距
提繫之分丙爲物重甲丁爲三兩之分
戊為原砣甲己為四両之分庚為今砣
以比例論之甲乙與戊砣之比同於甲
丁與丙重之比又甲乙與庚砣之比同
於甲己與丙重之比是甲丁乘戊砣即
與甲己乘庚砣之數等故以甲丁與庚
砣之比即同於甲己與戊砣之比為轉
比例四率也
設如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水
幾何
法以木板一塊置於水面用騐時儀墜
子候之看六十秒内木板流逺幾丈如
流逺十丈即以十丈變為一百尺乃以
河上寛十尺與下寛六尺相加折半得
八尺與河深五尺相乘得四十尺又與
木板流逺一百尺相乘得四千尺即六
十秒内所流之數又以六十秒収為一
分為一率水流四千尺為二率以每日
二十四小時化為一千四百四十分(一/小)
(時為四刻一/刻為十五分)為三率求得四率五千七
百六十萬尺即一日内所流之數也此
法先用木板以騐所流之緩急水急則
木随水流亦急水緩則木随水流亦緩
看木之緩急即知水流之多少故先求
得河口面積再以逺乘之即得水流之
積數也
設如有房一所不知間數亦不知房價但云每房六
間每年租銀二十四両五年後適得本銀每房八
間每年租銀三十五両八年後得本銀外又得利
銀二千一百六十両問房數房價各幾何
法以五年與每年二十四両相乘得一
百二十両以八年與每年三十五両相
乘得二百八十両是為每房六間租一
百二十両適足每房八間租二百八十
両盈二千一百六十両乃以六間互乘
二百八十両得一千六百八十両以八
間互乘一百二十両得九百六十両相
減餘七百二十両為一率以六間與八
間相乘得四十八間為二率以利銀二
千一百六十両為三率得四率一百四
十四間即房之總數也又以六間為一
率五年得一百二十両為二率總房一
百四十四間為三率得四率二千八百
八十両即房價或以八間為一率八年
得二百八十両為二率總房一百四十
四間為三率得四率五千零四十両内
減利銀二千一百六十両亦得二千八
百八十両為房價也此法葢因五年八
年之數不同故以五年八年與每年銀
數相乘作總得租銀算也
設如有銀買物不知銀數亦不知物價但云取銀六
分之五買之則多六両取銀四分之三買之仍多
二両問銀數及物價各幾何
法以前分母六互乘後分子三得十八
以後分母四互乘前分子五得二十相
減餘二分為一率盈六両與盈二両相
減餘四両為二率両分母互乘得二十
四分為三率求得四率四十八両即為
銀數取六分之五為四十両減盈六两
得三十四両為物價或取四分之三得
三十六両減盈二両亦得三十四両為
物價也
又先得物價之法以前分母六互乘後
分子三得十八以後分母四互乘前分
子五得二十又以十八互乘盈六両得
盈一百零八両為加十八倍以二十互
乘盈二両得盈四十両為加二十倍乃
以十八倍與二十倍相減餘二倍為一
率互乘所得両盈數相減餘六十八両
為二率一倍為三率求得四率三十四
両即物價加盈六両得四十両即原銀
六分之五乃用五歸六因得四十八両
為原銀數或於物價三十四両加盈二
両得三十六両即原銀四分之三乃用
三歸四因亦得四十八両為原銀數也
此盈朒單法因帶分母子不同故用通
分互乘以齊其分耳
設如有銀買米不知米數亦不知米價只云買米四
分之一用銀二十両則米少一石若買三分之一
用銀二十四両則米多二石問米數及米價各幾
何
法以前分母四互乘得分子一得四以
後分母三互乘前分子一得三乃以互
乘所得後分子四互乘二十両得八十
両互乘朒一石得朒四石又以互乘所
得前分子三互乘二十四両得七十二
両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石
與盈六石相加得十石為一率八十両
與七十二両相減餘八両為二率一石
為三率求得四率八錢即米一石之價
也既得米價乃以八錢除二十両得二
十五石減朒一石餘二十四石為米四
分之一以四因之得九十六石即米數
或以八錢除二十四両得三十石加盈
二石得三十二石為米三分之一以三
因之亦得九十六石為米數也葢以分
母互乘前則為十二分之三後則為十
二分之四(両分母互/乘得十二)又以分子互乘前
則為米十二分(両分子互乘/亦得十二分)用銀八十
两朒四石後則為米十二分用銀七十
二両盈六石夫米之分數既同而銀差
八両則盈朒差十石故知十石價八両
即知一石價八錢也此䨇套盈朒之法
但有米之分數又有石數故立法微不
同若止帶零分則惟用通分法餘俱與
䨇套盈朒之法同
又先得米數之法以銀數列於上分數
列於下乃以前分母四互乘後分子一
得四以後分母三互乘前分子一得三
又以二十両互乘後所得分子四得八
十分互乘盈二石得盈四十石以二十
四両互乘前所得分子三得七十二分
互乘朒一石得朒二十四石乃以七十
二分與八十分相減餘八分為一率朒
二十四石與盈四十石相加得六十四
石為二率両分母互乘得十二分為三
率求得四率九十六石即原米數也既
得米數四歸之得二十四石加朒一石
得二十五石以除二十両得八錢為米
價或將米數三歸之得三十二石減盈
二石餘三十石以除二十四両亦得八
錢為米價也葢用互乘前則為四百八
十両(二十両與二十四両/互乘得四百八十両)買米十二分
之七十二朒二十四石後則為四百八
十両買米十二分之八十盈四十石夫
銀數既同而米差八分則盈朒相差六
十四石故知八分為六十四石即知十
二分為九十六石也
又法以二十両朒一石俱用四因之得
八十両朒四石(因四分之一價二十両/故用四因為米總價)
又以二十四両盈二石俱用三因之得
七十二両盈六石(因三分之一價二十/四両故用三因為米)
(總/價)作盈朒單法算以朒四石與盈六石
相加得十石為一率八十両與七十二
両相減餘八両為二率一石為三率求
得四率八錢即米一石之價也此法葢
因分數整齊故可比例而得其全分之
價若有竒零則湏用前法或用通分法
算之
設如有一數不知幾何但云以三乘之再加一十又
以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以
六乘之再加四十共得六千七百問原數幾何
法先以所加之一十以四乘之又以五
乘之又以六乘之得一千二百再以所
加之二十以五乘之又以六乘之得六
百再以所加之三十以六乘之得一百
八十乃以所得之三數相加得一千九
百八十併所加之四十共二千零二十
與共數六千七百相減餘四千六百八
十為連乘之整數乃借一衰為原數以
三乘之仍得三又以四乘之得一十二
又以五乘之得六十又以六乘之得三
百六十衰為一率原數一衰為二率以
連乘整數四千六百八十為三率求得
四率十三即為原數也此法葢因三乘
原數外加一十而又用四乘五乘六乘
則此一十己用四乘五乘六乘矣四乘
後加二十而又用五乘六乘則此二十
已用五乘六乘矣五乘後加三十而又
用六乘則三十已用六乘矣故將一十
二十三十之數亦用連乘併後所加之
四十與共數相減然後為三四五六與
原數連乘之整分而以三四五六連乘
所得之三百六十與原數一為比例即
同於今三四五六連乘所得之四千六
百八十與原數十三之比例也
設如甲乙二車運糧甲車先行二日乙車後行五日
追及甲車比乙車運價少五錢又甲車先行二日
乙車後行七日追過甲車八十里甲車比乙車運
價少一両一錢問甲乙二車日行里數及運價各
幾何
法以乙車五日為正甲車七日為負里
數相等作一空位(甲車先行二日乙車/行五日追及是乙車)
(行五日甲車行七/日其里數相等)運價多五錢為正列
於上又以乙車七日為正甲車九日為
負過八十里為正運價多一両一錢為
正列於下乃以上乙五日遍乘下乙七
日甲九日多八十里多一両一錢得乙
三十五日仍為正甲四十五日仍為負
多行四百里運價多五両五錢仍為正
又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日
運價多五錢得乙三十五日仍為正甲
四十九日仍為負多三両五錢仍為正
相等無可乘仍為空位於是以上層為
主両下相較則乙各三十五日彼此減
盡甲両下相減餘四日本層少變負為
正里數無可加減仍得四百里為正價
両下相減餘二両依本層為正即甲車
四日行四百里運價二両也以四日除
四百里得一百里為甲車每日所行之
里數以四日除二両得五錢即甲車每
日之運價以乙車七日比甲車九日多
行八十里價多一両一錢計之則甲車
九日行九百里加多八十里共九百八
十里為乙車七日所行之里數以七日
除之得一百四十里即乙車每日所行
之里數甲車九日運價四両五錢加多
一両一錢共五両六錢為乙車七日之
運價以七日除之得八錢即乙車每日
之運價也此法因有里數運價二種或
名疊脚然不過除両次耳若里數為較
運價為和難以分列正負者則分両法
算之
設如甲乙丙三人有銀各不知數只云甲得乙銀二
分之一乙得丙銀三分之一丙得甲銀四分之一
則各得七百两問三人原銀各幾何
法先以甲三分乙一分共七百両列於
上(甲原銀四分丙得去一分餘三分又/得乙一分故為甲三分乙一分共七)
(百両丙無數作/空位以足其分)又以甲一分丙二分共
七百両列於下(丙原銀三分乙得去一/分餘二分又得甲一分)
(故為甲一分丙二分共七百両/乙無數亦作空位以足其分)乃以上
甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百
両得甲三分丙六分共二千一百両又
以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共
七百両仍得原數於是以下層為主両
下相較則甲各三分彼此減盡乙一分
無可減仍為一分依本層為正丙六分
無可減仍為六分本層無數則為負銀
両下相減餘一千四百両本層少爲負
即乙一分比丙六分少一千四百両也
次以乙一分為正丙六分為負少一千
四百両為負列於上又以乙一分丙一
分共七百兩列於下(乙原銀二分甲得/去一分餘一分又)
(得丙一分故為乙一分丙一分/共七百両因為和數故不用號)因首色
皆為一故省互乘両下相較則乙各一
分彼此減盡丙六與丙一相加得七分
銀一千四百與七百相加得二千一百
両即為丙七分之共數以七除之得三
百両為丙一分之數以丙原銀三分乘
之得九百両為丙之銀數以乙一分丙
一分共七百両計之則於七百両内減
去丙一分三百両餘四百両即乙一分
之數以乙原銀二分乘之得八百両為
乙之銀數以甲三分乙一分共七百両
計之則於七百両内減去乙一分四百
両餘三百両三歸之得一百両即甲一
分之數以甲原銀四分乘之得四百両
為甲之銀數也
設如有長方面積八百六十四歩一長二闊三和四
較共三百一十二歩問長闊各幾何
法以積數八因之得六千九百一十二
歩為大長方形積乃以長闊和較共數
三百一十二歩為長闊和折半得一百
五十六歩為半和自乘得二萬四千三
百三十六歩與六千九百一十二歩相
減餘一萬七千四百二十四歩開平方
得一百三十二歩為半較與半和一百
五十六歩相減得二十四歩為原闊數
以闊除原積八百六十四歩得三十六
歩為原長數也此法葢因三和内有三
長三闊加一長二闊共四長五闊如以
四較加於四闊則又成四長是共得八
長一闊此三百一十二歩即八長一闊
之共數今將原積八倍之成一大長方
形其闊即原闊其長為原長之八倍故
以三百一十二為長闊和求得闊即為
原闊以原闊除原積即得原長也
設如買果木樹不知樹數亦不知樹價但知樹每株
之價為樹共數之六倍而每株脚錢六文其脚錢
并樹價共三千六百文問樹每株價及樹數各幾
何
法先以共錢三千六百文六因之得二
萬一千六百文為長方積脚錢六文為
縱多爰以縱多六文折半得三文為半
較自乘得九文與二萬一千六百文相
加得二萬一千六百零九文開平方得
一百四十七文為半和内減半較三文
得一百四十四文為樹每株之價六歸
之得二十四為樹之共數也此法以樹
數為闊樹價併脚錢為長成長方形因
每株之價為樹數之六倍是長為闊之
六倍又多六文故六倍其積則長比闊
多六文故以帶縱開方法算之得闊為
樹價六歸之得樹數也
設如一河寛一丈二尺中間生一蒲草出水面三尺
斜引蒲稍至岸適與岸齊問蒲長水深各幾何
法以河寛一丈二尺折半得六尺為勾
以蒲稍出水三尺為股弦較乃以勾六
尺自乘得三十六尺以股弦較三尺除
之得一十二尺為股弦和加股弦較三
尺得一十五尺折半得七尺五寸為弦
即蒲之長内減股弦較三尺餘四尺五
寸為股即水之深也如圖甲乙為河寛
丙丁為蒲長與甲丁等戊丁為水深丙
戊為蒲稍出水三尺故戊丁為股甲戊
為勾甲丁為弦丙戊為股弦較用有勾
有股弦較之法求得股為水深得弦為
蒲之長也
設如圓柱髙二十一尺周四尺以繩自底至末繞柱
七周與柱適齊問繩長幾何
法以柱周四尺七因之得二十八尺為
股柱髙二十一尺為勾求得弦三十五
尺即繩之長也此法葢合七勾股為一
勾股算也如圖甲乙為柱髙二十一尺
甲丙為七分之一若將柱面平鋪之成
一平面則丙丁即柱周四尺甲丁即繩
繞柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙
為甲丙之七倍繩長為甲丁之七倍故
將柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲
乙為勾乙戊為股求得甲戊弦即繩長
也
設如一方匣内對角斜容一比例尺長一尺一寸寛
三寸問匣方邊幾何
法以比例尺寛三寸與長一尺一寸相
加得一尺四寸自乘折半開方得九寸
八分九釐九豪即方匣之邊數也如圗
甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺
丁乙為對角斜線癸壬為比例尺之長
壬乙與丁癸二叚與己庚寛度等葢以
己庚度作己子丑庚正方形則乙為方
之中心壬乙為己庚方邊之一半與壬
庚等而壬乙與丁癸両段即與己庚等
故以比例尺之長闊相加即為丁乙對
角斜線用斜求方之法自乘折半開方
即得方邊也
設如三角形底二丈八尺小腰與中垂線之較二尺
大腰與中垂線之較六尺問両腰各幾何
法借一衰為中垂線則小腰為一衰多
二尺小腰與中垂線之和為二衰多二
尺與小腰較二尺相乗得四衰多四尺
為小分底自乘方積大腰為一衰多六
尺大腰與中垂線之和為二衰多六尺
與大腰較六尺相乘得十二衰多三十
六尺為大分底自乘方積以両方積相
較則大分底方為小分底方之三倍多
二十四尺(大分底方十二衰為小分底/方四衰之三倍即將小分底)
(方四衰多四尺以三因之得十二衰多/十二尺與大分底方十二衰多三十六)
(尺相減仍餘/二十四尺)乃以底二十八尺自乘得
七百八十四尺内減去所多之二十四
尺餘七百六十尺為小分底自乘四正
方小分底乘大分底二長方積折半得
三百八十尺為小分底自乘二正方小
分底乘大分底一長方積共成一大長
方底二十八尺為長闊之較用帶縱較
數開平方法算之得闊十尺為小分底
自乘得一百尺以小腰較二尺除之得
五十尺為小腰與中垂線之和内加小
腰較二尺得五十二尺折半得二十六
尺即小腰又以小腰較二尺與大腰較
六尺相減餘四尺即大腰與小腰之較
與小腰二十六尺相加得三十尺即大
腰也如圗甲乙丙三角形甲乙為小腰
甲丙為大腰乙丙為底自甲角作甲丁
垂線則分為甲丁乙甲丁丙両勾股形
以甲乙甲丁股弦和與甲乙甲丁股弦
較相乘則得乙丁勾自乘之乙戊己丁
正方形(見勾/股法)以甲丁甲丙股弦和與甲
丁甲丙股弦較相乘則得丁丙勾自乘
之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形
既為乙戊己丁正方形之三倍多二十
四尺故於乙壬癸丙大正方形内減去
二十四尺餘者即與乙戊己丁三正方
等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己
庚子癸辛為大分底乘小分底二長方
共成丑寅卯丙一長方形折半得丑辰
己丙長方形乙丙即長闊之較故用帶
縱較數開平方法算之得闊為乙丁小
勾自乘以股弦較除之得股弦和故加
股弦較折半即得甲乙為弦也或求得
甲丙邊亦同
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一
丈二尺二寸甲乙甲丙両邊較三尺八寸求乙角
丙角度幾何
法依甲丙邊度截甲乙邊於丁餘乙丁
即両邊較自丙至丁作丙丁線成乙丁
丙鈍角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸
為一率乙丁邊三尺八寸為二率甲角
五十三度八分與一百八十度相減餘
一百二十六度五十二分折半得六十
三度二十六分即丁鈍角之外角(與丁/丙甲)
(角/等)其正弦八萬九千四百四十一為三
率求得四率二萬七千八百五十八為
丙分角正弦撿表得十六度十分為丙
分角與丁丙甲角六十三度二十六分
相加得七十九度三十六分即丙角度
以丙分角與丁外角相減餘四十七度
十六分即乙角度也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙邊一
丈一尺二寸甲乙乙丙両邊較二尺八寸求乙角
丙角度各幾何
法依乙丙邊度截甲乙邊於丁餘甲丁
即両邊較自丙至丁作丙丁線成甲丁
丙鈍角形乃以甲丁邊二尺八寸與甲
丙邊一丈一尺二寸相加得一丈四尺
為一率甲丁與甲丙相減餘八尺四寸
為二率甲角半外角六十三度二十六
分之正切線一十九萬九千九百八十
六為三率求得四率一十一萬九千九
百九十一為半較角切線撿表得五十
度十二分為半較角度與半外角相減
餘十三度十四分為丙分角倍之與甲
角相加得七十九度三十六分即丙角
度以甲角丙角相倂與半周相減餘四
十七度十六分即乙角度也葢以丙分
角與甲角相加則得丙丁乙角與丙大
分角等是丙大分角與一丙小分角一
甲角之度等故倍小分角與甲角相加
得丙全角也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一
丈二尺二寸甲乙甲丙両邊和二丈六尺二寸求
丙角乙角度各幾何
法以甲乙與甲丙相加得丙丁自乙至
丁作乙丁線成丁乙丙三角形乃以乙
丙邊一丈二尺二寸為一率丙丁邊二
丈六尺二寸為二率甲角五十三度八
分折半得二十六度三十四分即丁角
(與甲乙/丁角等)其正弦四萬四千七百二十四
為三率求得四率九萬六千零四十六
為丙乙丁角正弦撿表得七十三度五
十分為丙乙丁角内減半甲角二十六
度三十四分(即甲乙/丁角)餘四十七度十六
分即乙角度以甲角乙角相併與半周
相減餘七十九度三十六分即丙角度
也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙邊一
丈五尺甲丙乙丙両邊和二丈三尺四寸求乙角
丙角度幾何
法以甲丙與乙丙相加得甲丁自乙至
丁作乙丁線成甲乙丁三角形乃以甲
丁邊二丈三尺四寸與甲乙邊一丈五
尺相加得三丈八尺四寸為一率甲丁
邊與甲乙邊相減餘八尺四寸為二率
甲角五十三度八分與半周相減折半
得半外角六十三度二十六分其正切
線一十九萬九千九百八十六為三率
求得四率四萬三千七百四十七為半
較角切線撿表得二十三度三十八分
為半較角與半外角相減餘三十九度
四十八分為丁角度倍之得七十九度
三十六分即丙角度以甲角丙角相倂
與半周相減餘四十七度十六分即乙
角度也
設如有一旗杆不知其髙用日影測之問髙幾何
法先立一表長五尺看影長幾尺如得
四尺同時看旗杆影為幾尺如得二丈
四尺乃以表影長四尺為一率表髙五
尺為二率旗杆影長二丈四尺為三率
求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲
乙為旗杆乙丙為旗杆影丁戊為表髙
戊己為表影甲乙丙與丁戊己為同式
勾股形故己戊與丁戊之比同於乙丙
與甲乙之比也
設如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影測之
問塔髙幾何
法先立一表長六尺影長四尺同時看
塔影所至記之閲時看表影長五尺塔
影比先所記之處長幾尺如得八尺乃
以表影差一尺為一率表髙六尺為二
率影差八尺為三率求得四率四丈八
尺即塔之髙也如圗甲乙為塔髙乙丙
為先所記塔影乙丁為後所記塔影戊
己為表髙己庚為先所記表影己辛為
後所記表影戊庚辛與甲丙丁戊己庚
與甲乙丙皆為同式形故庚辛與戊己
之比同於丙丁與甲乙之比也
設如逺望一村欲知其逺用放鎗騐時儀墜子候之
問逺幾何
法令一人在村邊放鎗一見烟出即用
騐時儀墜子候之一聞鎗響即止計自
見烟至聞響得幾秒如得三秒即以一
秒為一率一百二十八丈五尺七寸為
二率三秒為三率求得四率三百八十
五丈七尺一寸即距村之逺也葢響與
烟一時並出其見烟而未聞響者聲未
至也故自見烟至聞響之分即路逺之
分嘗以其分較之路逺五里得七秒以
七歸之每秒得一百二十八丈五尺七
寸聞雷亦然自一見電光至聞雷響候
其秒數即得里數也
設如梭形闊四尺中長九尺求積幾何
法以中長九尺與闊四尺相乘得三十
六尺折半得十八尺即梭形積也如圗
甲乙丙丁梭形以乙丁與甲丙相乘則
成戊己庚辛長方形其積比梭形多一
倍故半之為梭形積也此法必甲乙與
乙丙等甲丁與丁丙等或甲乙與甲丁
等乙丙與丁丙等則其中長適為両三
角形之垂線故長闊相乘折半而得積
也若中長不得為垂線則湏先量得四
邊數及長數或闊數用三角形求中垂
線法算之
設如三廣形上闊三尺中闊五尺下闊四尺上截長
六尺下截長四尺求積幾何
法以中闊五尺與上闊三尺相加折半
得四尺與上截長六尺相乘得二十四
尺又以中闊五尺與下闊四尺相加折
半得四尺五寸與下截長四尺相乘得
十八尺両數相併得四十二尺即三廣
形積也如圗甲乙丙丁戊己三廣形以
乙戊線分之則成甲乙戊己乙丙丁戊
両梯形故用梯形求積之法(見第十九/卷直線形)
求得両梯形之積而併之即為三廣形
積也舊術以上下闊相加折半加中闊
與長相乘得積此必上下両截長數相
等者然後可算若上下不相等湏用両
梯形算之
設如眉形両尖相距弦長二十四尺外弧距弦九尺
内弧距弦四尺求積幾何
法以両尖相距二十四尺為弦外弧距
弦九尺為矢用弧矢求積法以矢九尺
為首率弦二十四尺折半得十二尺為
中率求得末率十六尺加矢九尺得二
十五尺為圜徑折半得半徑十二尺五
寸為一率半弦十二尺為二率半徑十
萬為三率求得四率九萬六千為半外
弧之正弦撿八線表得七十三度四十
五分為半外弧之度分倍之得一百四
十七度三十分為外弧之度分乃以三
百六十度為一率外弧一百四十七度
半為二率全徑二十五尺求得全周七
十八尺五寸三分九釐八豪為三率求
得四率三十二尺一寸七分九釐五豪
為外弧之數與半徑十二尺五寸相乘
折半得二百零一尺十二寸十八分為
自圜心所分弧背三角形積又以矢九
尺與半徑十二尺五寸相減餘三尺五
寸與弦二十四尺相乘折半得四十二
尺為自圜心至弦所分直線三角形積
與弧背三角形積相減餘一百五十九
尺一十二寸一十八分為外弧矢全積
(見第二十/卷曲線形)又以両尖相距二十四尺為
弦内弧距弦四尺為矢亦用弧矢求積
法求得内弧矢虚積六十五尺三十七
寸六十分與外弧矢積相減餘九十三
尺七十四寸五十八分即眉形積也如
圗甲乙丙丁眉形甲丙為弦乙戊為外
弧矢丁戊為内弧矢成甲乙丙戊甲丁
丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧
矢形積又求得甲丁丙戊弧矢形積相
減即得甲乙丙丁眉形積也
設如橄㰖形長二尺四寸闊八寸求積幾何
法以長二尺四寸為弦闊八寸折半得
四寸為矢用弧矢求積法求得弧矢積
六十五尺三十七寸六十分倍之得一
百三十尺七十五寸二十分即橄㰖形
積也如圗甲乙丙丁橄㰖形自甲至丙
作甲丙線平分乙丁於戊則成甲乙丙
戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形
積倍之即橄㰖形積也
設如錢形徑一尺二寸求積幾何
法以錢形徑一尺二寸求得圜面積一
尺一十三寸零九分七十三釐又求得
内容方積七十二寸相減餘四十一寸
零九分七十三釐倍之得八十二寸一
十九分四十六釐即錢形積也如圖甲
乙丙丁錢形作戊己己庚庚辛辛戊四
線則分為壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢
形故先求得圜形積又求得戊己庚辛
内方積相減餘壬癸子丑四弧矢形倍
之即得錢形積也
設如銀錠形徑一尺二寸求積幾何
法以銀錠形徑一尺二寸自乘得一尺
四十四寸折半得七十二寸即銀錠形
積也如圖甲乙丙丁戊己銀錠形以甲
丁徑自乘折半則得乙丙戊己正方其
所虚庚辛二弧矢形與所盈壬癸二弧
矢形之積等故乙丙戊己正方積即與
銀錠形之積等也
設如甲乙丙丁四平圜共積二百一十七尺五十五
寸五十三分一十釐甲圜徑比乙圜徑多三尺乙
圜徑比丙圜徑多三尺丙圜徑比丁圜徑多二尺
問四圜徑各幾何
法用圜積方積定率比例以圜積一○
○○○○○○○為一率方積一二七
三二三九五四為二率四平圜共積二
百一十七尺五十五寸五十三分一十
釐為三率求得四率二百七十七尺為
四平方共積乃以丙圜徑比丁圜徑所
多之二尺自乘得四尺又以乙圜徑比
丁圜徑所多之五尺(丙比丁多二尺乙/又比丙多三尺故)
(乙比丁/多五尺)自乘得二十五尺又以甲圜徑
比丁圜徑所多之八尺(乙比丁多五尺/甲又比乙多三)
(尺故甲比/丁多八尺)自乘得六十四尺三數相併
得九十三尺與四平方共積二百七十
七尺相減餘一百八十四尺為長方積
以丙圜徑比丁圜徑多二尺乙圜徑比
丁圜徑多五尺甲圜徑比丁圜徑多八
尺相加得十五尺為長闊之較用帶縱
較數開平方法算之得闊八尺二歸之
得四尺即丁圜徑加二尺得六尺即丙
圜徑再加三尺得九尺即乙圜徑再加
三尺得十二尺即甲圜徑也如圖甲乙
丙丁四平圜形變為甲乙丙丁四平方
形則四圜徑之較即四方邊之較故於
四方形内減去壬癸子三較方餘戊己
庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六長方
共成未申酉戌一長方戌亥為長闊之
較即三邊較之共數故用帶縱較數開
平方法算之得闊折半而得丁方邊即
丁圜徑遞加之即得甲乙丙各圜徑也
設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方邊離
圜界五丈方内圜外積三百二十一丈四十六尺
零一寸八十四分問方邊圜徑各幾何
法以方邊離圜界五丈自乘得二十五
丈四因之得一百丈與方内圜外積三
百二十一丈四十六尺零一寸八十四
分相減餘二百二十一丈四十六尺零
一寸八十四分乃以圜積定率七八五
三九八一六與方積定率一○○○○
○○○○相減餘二一四六○一八四
為一率方積一○○○○○○○○為
二率今減餘積二百二十一丈四十六
尺零一寸八十四分為三率求得四率
一千零三十一丈九十五尺八十四寸
五十八分為長方積又以二一四六○
一八四為一率一○○○○○○○○
為二率以方邊離圜界五丈四因之得
二十丈為三率求得四率九十三丈一
尺九寸五分為長闊之較用帶縱較數
開平方法算之得闊十丈即内圜徑加
方邊離圜界共十丈得二十丈即外方
邊也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形
以方邊離圜界五丈自乘四因與積相
減則減去己庚辛壬四小方形餘癸子
丑寅四長方形及卯辰巳午四隅積今
欲以卯辰巳午四隅積補足戊圜虚積
共成未申酉戌長方形應以定率之方
積圜積相減餘方内圜外積為一率方
積為二率今所餘之卯辰巳午方内圜
外積為三率則得四率為未亥方積而
戊圜虚積即補足在其中然今乃以卯
辰巳午四隅積并癸子丑寅四長方積
共為三率則戊圜虚積固已補足而癸
子丑寅四長方積必多補出之分是知
癸子丑寅四長方形其寛仍為戌酉而
亥酉之長必亦多補出之分矣(癸子丑/寅四長)
(方形為二平行線内直角方形其面之/互相為比同於其底之互相為比見幾)
(何原本八/卷第七節)故又以定率之方積圜積相
減餘方内圜外積為一率方積為二率
以方邊離圜界五丈四因之得亥酉之
長為三率求得四率即將亥酉之長亦
増補出之分乃以此為長闊之較求得
未申闊即為内圜徑也
設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方角離
圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外積一千
四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分問方
邊圜徑各幾何
法以方角離圜界二十一丈二尺一寸
三分自乘得四百五十丈倍之得九百
丈與方内圜外積一千四百四十二丈
九十二尺零三寸六十八分相減餘五
百四十二丈九十二尺零三寸六十八
分乃以定率弧矢積二八五三九八一
六為一率(方積一○○○○○○○○/方内容圜積七八五三九八)
(一六圜内容方積五○○○○○○○/相減餘二八五三九八一六為弧矢積)
圜内容方積五○○○○○○○為二
率今減餘積五百四十二丈九十二尺
零三寸六十八分為三率求得四率九
百五十一丈十六尺三十寸四十八分
為長方積又以二八五三九八一六為
一率五○○○○○○○為二率以方
角離圜界二十一丈二尺一寸三分用
斜求方法求得四隅方邊十五丈四因
之得六十丈為三率求得四率一百零
五丈一尺一寸六分為長闊和用帶縱
和數開平方法算之得闊十丈即内圜
所容方邊以四隅方邊十五丈倍之得
三十丈與内圜所容方邊十丈相加得
四十丈即外方邊以内圜所容方邊十
丈求得對角斜線十四丈一尺四寸二
分即内圜徑加方角離圜界共四十二
丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六
寸八分即外方對角斜線也如圖甲乙
丙丁方形内容戊圜形以方角離圜界
甲卯自乘倍之與積相減則減去己庚
辛壬四小正方形(以甲卯自乘折半得/己正方形積故甲卯)
(自乘倍之即得/四正方形積也)餘癸子丑寅四長方形
而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所
虚之未申酉戌四弧矢形變為卯辰巳
午一正方形應以定率弧矢積為一率
方積為二率未申酉戌四弧矢虚積為
三率則得四率為卯辰巳午虚方積然
今無未申酉戌四弧矢虚積而以癸子
丑寅四長方形内虚未申酉戌四弧矢
形之餘積為三率實積既變則虚積亦
變故求得四率為卯辰亥乾長方形而
内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四
長方實積與午巳亥乾長方積之比同
於弧矢積與方積之比則其所虚之未
申酉戌四弧矢形與卯辰巳午正方形
之比亦同於弧矢積與方積之比而癸
子丑寅之共長與長亥之比亦必同於
弧矢積與方積之比矣故以四長方之
共邊比例得辰亥邊為長闊和求得卯
辰闊為内圜所容正方形之每一邊也
設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離
方角五丈圜内方外積二百六十四丈十五尺九
十二寸六十四分問圜徑方邊各幾何
法以圜界離方角五丈自乗得二十五
丈四因之得一百丈又以圜積定率七
八五三九八一六為一率方積一○○
○○○○○○為二率今圜内方外積
二百六十四丈十五尺九十二寸六十
四分為三率求得四率三百三十六丈
三十三尺八十寸二十三分内減所得
一百丈餘二百三十六丈三十三尺八
十寸二十三分乃以定率弧矢積二八
五三九八一六(方積一○○○○○○/○○内容圜積七八五)
(三九八一六圜内容方積五○○○○/○○○相減餘二八五三九八一六)
用圜積變方積法通之得三六三三八
○二三為一率方積一○○○○○○
○○為二率今減餘積二百三十六丈
三十三尺八十寸二十三分為三率求
得四率六百五十丈三十八尺七十四
寸為長方積又以三六三三八○二三
為一率一○○○○○○○○為二率
以圜界離方角五丈四因之得二十丈
為三率求得四率五十五丈零三寸八
分七釐四豪為長闊之較用帶縱較數
開平方法算之得闊十丈即内方對角
斜線用斜求方法算之得七丈零七寸
一分即内方邊以内方對角斜線十丈
加圜界離方角共十丈得二十丈即外
圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以
圜積方積定率比例則變為丁戊己庚
辛壬癸子方環形而多丑寅卯辰四弧
矢形所變之積葢圜環變為方環今圜
内方外積比圜環積多丑寅卯辰四弧
矢形故所變之方環亦多丑寅卯辰四
弧矢形所變之積也以圜界離方角五
丈自乘四因與積相減則減去巳午未
申四小方形餘酉戌亥乾四長方形及
丑寅卯辰四弧矢形所變之積今欲以
丑寅卯辰四弧矢形所變之積補成辛
壬癸子正方形共成辛壬坎艮長方形
應以定率四弧矢形已變之積為一率
方積為二率(設方積為一○○○○○/○○○方内容圜積為七)
(八五三九八一六圜内容方積為五○/○○○○○○内圜積與内方積相減)
(餘二八五三九八一六是二八五三九/八一六與一○○○○○○○○相比)
(為弧矢積與外方積之定率也然今所/多之四弧矢積先已用圜率變為方率)
(故又以圜積七八五三九八一六為一/率方積一○○○○○○○○為二率)
(弧矢積二八五三九八一六為三率得/四率三六三三八○二三是三六三三)
(八○二三與一○○○○○○○○相/比為已變之弧矢積與外方積之定率)
(也/)今所多之丑寅卯辰四弧矢形已變
之積為三率則得四率為辛壬癸子正
方積然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已
變之積并酉戌亥乾四長方積共為三
率則辛壬癸子正方積固已補足而酉
戌亥乾四長方必多補出之分是知酉
戌亥乾四長方其寛仍為子癸而癸坎
之長必亦多補出之分矣故又以四弧
矢形已變之積為一率方積為二率以
圜界離方邊五丈四因之得癸坎之長
為三率求得四率即將癸坎之長亦増
補出之分乃以此為長闊之較求得辛
壬闊即内方對角斜線也
設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離
方邊十五丈圜内方外積一千一百五十六丈六
十三尺七十寸四十分問圜徑方邊各幾何
法以圜界離方邊十五丈自乘得二百
二十五丈四因之得九百丈又以圜積
方積定率比例圜積七八五三九八一
六為一率方積一○○○○○○○○
為二率今圜内方外積一千一百五十
六丈六十三尺七十寸四十分為三率
求得四率一千四百七十二丈六十七
尺六十寸四十六分内減所得九百丈
餘五百七十二丈六十七尺六十寸四
十六分乃以方内圜外積二一四六○
一八四(方積一○○○○○○○○内/容圜積七八五三九八一六相)
(減餘二一四/六○一八四)用圜積變方積法通之得
二七三二三九五五為一率方積一○
○○○○○○○為二率今減餘積五
百七十二丈六十七尺六十寸四十六
分為三率求得四率二千零九十五丈
八十八尺六十三寸六十一分為長方
積又以二七三二三九五五為一率一
○○○○○○○○為二率以圜界離
方邊十五丈四因之得六十丈為三率
求得四率二百一十九丈五尺八寸八
分為長闊和用帶縱和數開平方法算
之得闊十丈即内方邊加圜界離方邊
共三十丈得四十丈即外圜徑也如圖
甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定
率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方
環形而少丑寅卯辰四隅所變之積葢
圜環變為方環今圜内方外積比圜環
積少丑寅卯辰四隅故所變之方環亦
少丑寅卯辰四隅所變之積也以圜界
離方邊十五丈自乘四因與積相減則
減去巳午未申四小正方形餘酉戌亥
乾四長方形而内少丑寅卯辰四隅所
變之積今欲以所虚之丑寅卯辰四隅
形所變之積作為辛壬癸子正方形應
以定率四隅形已變之積為一率方積
為二率(設方積為一○○○○○○○/○方内容圜積為七八五三九)
(八一六相減餘二一四六○一八四是/三一四六○一八四與一○○○○○)
(○口○相比為圜外四隅積與外方積/之定率也然今所少者乃圜外四隅積)
(用圜積方積比例之數故又以圜積七/八五三九八一六為一率方積一○○)
(○○○○○○為二率圜外四隅積二/一四六○一八四為三率求得四率二)
(七三二三九五五是二七三二三九五/五與一○○○○○○○○相比為已)
(變之四隅積與外/方積之定率也)丑寅卯辰四隅形已
變之虚積為三率則得四率為辛壬癸
子虚方積然今無辛壬癸子四隅形已
變之虚積而以酉戌亥乾四長方内虚
丑寅卯辰四隅形之餘積為三率實積
既變則虚積亦變故求得四率為辛壬
坎艮長方形而内虚辛壬癸子正方形
葢酉戌亥乾四長方實積與子癸坎艮
長方形之比同於己變之四隅積與方
積之比則其所虚之丑寅卯辰四隅已
變之積與辛壬癸子正方形之比亦同
於己變之四隅積與方積之比而酉戌
亥乾之共長與壬坎之比亦少同於己
變之四隅積與方積之比矣故以四長
方之共邊比例而得壬坎邊為長闊和
求得辛壬闊為内方邊也
設如有一大球體内容四小球體大球徑一尺二寸
求小球徑幾何
法以大球徑一尺二寸自乘得一尺四
十四寸倍之得二百八十八寸為長方
積以大球徑一尺二寸四因之得四尺
八寸為長闊之較用帶縱較數開平方
法算之得闊五寸三分九釐三豪即内
容四小球之徑也如圖甲乙大球體内
容丙丁戊己四小球體試自四小球之
中心俱各作線聮之則成一四等面體
又以甲乙大球心為心丙丁戊己小球
心為界作一虚圓則成四等面體外切
圓球體其四面體之一邊即小球徑以
四面體外切丁庚虚球徑加一小球徑
即大球徑故以大球徑自乘得甲乙辛
壬正方形内甲癸丁子為小球徑自乘
方(即四面體每/邊自乘方)丁庚辛丑為四面體外
切圓球徑自乘方癸乙庚丁子丁丑壬
為四面體之每邊與外切圓球徑相乘
二長方凡四面體每邊自乘方為外切
圓球徑自乘方三分之二(見第二十八/卷球内容四)
(面體/法)故甲癸丁子正方形為丁庚辛丑
正方形三分之二將甲乙辛壬正方形
倍之則得甲癸丁子二正方丁庚辛丑
二正方癸乙庚丁四長方而丁庚辛丑
二正方為甲癸丁子正方形之三倍是
共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四長
方即與寅卯辰巳長方積等其巳午長
闊之較為甲乙球徑之四倍故四因大
球徑為較縱求得闊即小球徑也如先
有小球徑求大球徑則以小球徑為四
面體之一邊自乘二歸三因開平方得
四面體外切圓球徑再加一小球徑即
大球徑也
設如有一大球體内容六小球體大球徑一尺二寸
求小球徑幾何
法以大球徑一尺三寸自乘得一尺四
十四寸為長方積以大球徑一尺二寸
倍之得二尺四寸為長闊之較用帶縱
較數開平方法算之得闊四寸九分七
釐即内容六小球之徑數也如圖甲乙
大球體内容丙丁戊己庚辛六小球體
試自六小球之中心俱各作線聮之則
成一八等面體其八面體之一邊即小
球徑以八面體之對角線加一小球徑
即大球徑故以大球徑自乘得甲乙壬
癸正方形内甲子丙丑為小球徑自乘
方(即八面體每/邊自乘方)丙戌壬寅為八面體對
角線自乘方子乙戊丙丑丙寅癸為八
面體之每邊與對角線相乘二長方凡
八面體每邊自乘方為對角線自乘方
之一半(見第二十七/卷八面體法)故丙戊壬寅一正
方與甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸
一正方共為甲子丙丑三正方子乙戊
丙二長方與卯辰巳午長方積等其午
未長闊之較為甲乙球徑之二倍故倍
大球徑為較縱求得闊即小球徑也如
先有小球徑求大球徑則以小球徑為
八面體之一邊自乘加倍開方得對角
線再加一小球徑即大球徑也
設如一大球體内容八小球體大球徑一尺二寸求
小球徑幾何
法以大球徑一尺二寸自乘得一百四
十四寸折半得七十二寸為長方積以
大球徑一尺二寸為長闊之較用帶縱
較數開平方法算之得闊四寸三分九
釐二豪即内容八小球之徑數也如圖
甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛壬癸
八小球體試自八小球之中心俱各作
線聮之則成一正方體其正方體之一
邊即小球徑以正方體之丙壬對角斜
線加一小球徑即大球徑故以大球徑
自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰
為小球徑自乘方卯巳子午為正方體
對角斜線自乘方寅乙巳卯辰卯午丑
為小球徑乘正方體對角斜線二長方
凡正方對角斜線自乘方為每邊自乘
方之三倍(見第二十八卷球/内容正方體法)故卯巳子
午正方形為甲寅卯辰正方形之三倍
折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方
寅乙巳卯一長方共成未乙巳申一長
方甲乙球徑即長闊之較故用帶縱較
數開平方法算之得闊即小球徑也如
先有小球徑求大球徑則以小球徑為
正方體之一邊自乘三因之開平方得
正方體對角斜線再加一小球徑即大
球徑也
設如有三角形底十四尺中埀線十二尺大腰與小
腰之較二尺求両腰各幾何
法借一根為小腰則大腰為一根多二
尺以一根自乗得一平方為小腰之面
積内減中垂線十二尺自乗之一百四
十四尺餘一平方少一百四十四尺為
小分底之面積以一根多二尺自乘得
一平方多四根多四尺為大腰之面積
内減中垂線十二尺自乘之一百四十
四尺餘一平方多四根少一百四十尺
為大分底之面積又以底十四尺自乘
得一百九十六尺内減去大小両分底
之共面積二平方多四根少二百八十
四尺餘四百八十尺少二平方少四根
折半得二百四十尺少一平方少二根
為小分底乘大分底之面積此數與大
分底之面積及小分底之面積為連比
例三率葢大分底之面積為首率而小
分底乘大分底之面積為中率小分底
之積為末率也乃以首率大分底之面
積一平方多四根少一百四十尺與末
率小分底之面積一平方少一百四十
四尺相乘得一三乘方多四立方少二
百八十四平方少五百七十六根多二
萬零一百六十尺又以中率小分底乘
大分底之面積二百四十尺少一平方
少二根自乘得一三乘方多四立方少
四百七十六平方少九百六十根多五
萬七千六百尺此二數為相等両邊各
減一三乘方四立方二萬零一百六十
尺又各加四百七十六平方九百六十
根得一百九十二平方多三百八十四
根與三萬七千四百四十尺相等一百
九十二平方多三百八十四根既與三
萬七千四百四十尺相等則一平方多
二根必與一百九十五尺相等乃以一
百九十五尺為長方積以多二根作二
尺為長闊較用帶縱較數開平方法算
之得闊十三尺為一根之數即小腰加
二尺得十五尺即大腰也
設如有三角形底十四尺中垂線十二尺大腰與小
腰之和二十八尺求大小腰各幾何
法借一根為小腰則二十八尺少一根
為大腰以一根自乘得一平方為小腰
之面積内減中垂線十二尺自乘之一
百四十四尺餘一平方少一百四十四
尺為小分底之面積以二十八尺少一
根自乘得七百八十四尺少五十六根
多一平方為大腰之面積内減中垂線
十二尺自乘之一百四十四尺餘一平
方少五十六根多六百四十尺為大分
底之而積又以底四十尺自乘得一百
九十六尺内減去大小両分底之共面
積二平方少五十六根多四百九十六
尺餘五十六根少三百尺少二平方折
半得二十八根少一百五十尺少一平
方為小分底乘大分底之面積此數與
大分底之面積及小分底之面積為連
比例三率葢大分底之面積為首率而
大分底乗小分底之而積為中率小分
底之而積為末率也乃以首率大分底
之面積一平方少五十六根多六百四
十尺與末率小分底之面積一平方少
一百四十四尺相乘得一三乘方少五
十六立方多四百九十六平方多八千
零六十四根少九萬二千一百六十尺
又以中率小分底乘大分底之面積二
十八根少一百五十尺少一平方自乘
得一三乘方少五十六立方多一千零
八十四平方少八千四百根多二萬二
千五百尺此二數為相等両邊各減一
三乘方又各加五十六立方得四百九
十六平方多八千零六十四根少九萬
二千一百六十尺與一千零八十四平
方少八千四百根多二萬二千五百尺
相等両邊各減四百九十六平方各加
八千四百根又各加九萬二千一百六
十尺得一萬六千四百六十四根與五
百八十八平方多一十一萬四千六百
六十尺相等一萬六千四百六十四根
既與五百八十八平方多一十一萬四
千六百六十尺相等則二十八根必與
一平方多一百九十五尺相等故以一
百九十五尺為長方積以二十八根作
二十八尺為長闊和求得闊十三尺為
一根之數即小腰也
御製數理精藴下編巻三十七