御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷三十九

　　末部九

　　　比例規解(平分線/分體線)　(分面線/更體線)　(更面線/五金線)

　　比例規解

比例尺代算凡㸃線面體乘除開方皆可以規度而

得然於畫圖製器尤所必需誠算器之至善者焉究

其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式

三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股

為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成

兩邊相等之三角形於中任截兩邊相等之各三角

形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰

平分線以御三率一曰分面線一曰更面線以御面

羃一曰分體線一曰更體線以御體積一曰五金線

以御輕重一曰分圓線一曰正弦線一曰正切線一

曰正割線以御測量併製平儀諸器凡此十線或總

歸一器或分為數體任意為之無所不可今將各線

之分法及用法併著於篇此外又有假數尺即用對

數及正弦割切諸線之對數為之用於三率比例測

量尤為簡捷亦詳其法於後

　　平分線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線依幾何原本十二卷十九節之

　　　　　法將甲乙甲丙二線俱平分為二百分

　　　　　即為平分線也尺之長短任意為之尺

　　　　　短則平分一百分尺長則平分四五百

　　　　　分或一千分亦可分愈多而用愈便也

設如一丁戊線欲加五倍問得幾何

　　　　　法以比例尺平分線第十分之己庚二

　　　　　㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平

　　　　　分線第五十分之辛壬二㸃相離之度

　　　　　作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分

　　　　　之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等

　　　　　之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為

　　　　　底又五十分之㸃為辛與壬而甲辛壬

　　　　　為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰

　　　　　辛壬相距為底此兩三角形為同式形

　　　　　故甲庚與己庚之比同於甲壬與辛壬

　　　　　之比而甲庚與甲壬之比亦同於己庚

　　　　　與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則

　　　　　辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁

　　　　　戊之五倍可知矣若欲將丁戊線加十

　　　　　五倍則仍以丁戊線度於十分上定尺

　　　　　取平分線第一百五十分之子丑二㸃

　　　　　相離之度作寅卯線即為丁戊線之十

　　　　　五倍也若欲將丁戊線加三分之二則

　　　　　將平分線第三十分之辰巳二㸃依丁

　　　　　戊線度展開勿令移動而取平分線第

　　　　　五十分之午未二㸃相離之度作申酉

　　　　　線即為丁戊線加三分之二也(以丁戊/線為三)

　　　　　(分而加二分共得五分因三與五之㸃/近樞難用故用三十與五十其比例同)

　　　　　(也/)若有丁癸丁戊二線欲定其比例之

　　　　　分數則將平分線第一百分之戌亥二

　　　　　㸃依丁癸線度展開勿令移動次取丁

　　　　　戊線度尋至平分線第二十分之乾坎

　　　　　二㸃其相離之度恰符即定為一百分

　　　　　之二十約為五分之一即丁癸丁戊兩

　　　　　線之比例也要之用尺之法不外於三

　　　　　率求四率如以一率為腰二率為底而

　　　　　定尺則三率復為腰而其底即四率也

　　　　　以一率為腰三率為底而定尺則二率

　　　　　復為腰而其底亦即四率也若以一率

　　　　　為底二率為腰而定尺則三率復為底

　　　　　而其腰則四率也諸線之用雖各不同

　　　　　其比例之理則一也

設如一丁戊線欲分為六分問每分幾何

　　　　　法以比例尺平分線第六十分之己庚

　　　　　二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取

　　　　　平分線第十分之辛壬二㸃相離之度

　　　　　截丁戊線於癸則丁癸即丁戊線六分

　　　　　之一也葢六十分之㸃為己與庚而甲

　　　　　己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚

　　　　　為腰己庚相距為底又十分之㸃為辛

　　　　　與壬而甲辛壬亦為兩邊相等之三角

　　　　　形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩

　　　　　三角形為同式形則甲庚與甲壬之比

　　　　　同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚

　　　　　六分之一則辛壬必為己庚六分之一

　　　　　而丁癸亦為丁戊線六分之一可知矣

　　　　　若欲分丁戊線為七分則將平分線第

　　　　　七十分之子丑二㸃依丁戊線度展開

　　　　　勿令移動次取平分線第十分之辛壬

　　　　　二㸃相離之度截丁戊線於寅則丁寅

　　　　　即丁戊線七分之一也又若丁戊線欲

　　　　　取七分之三則仍以丁戊線度於七十

　　　　　分上定尺而取平分線第三十分之卯

　　　　　辰二㸃相離之度截丁戊線於己則丁

　　　　　己即丁戊線七分之三也

設如有十三人每人給銀七兩問其銀幾何

　　　　　法以比例尺平分線第十分之丁戊二

　　　　　㸃依分釐尺七釐之度展開勿令移動

　　　　　次取平分線第一百三十分之己庚二

　　　　　㸃相離之度於分釐尺上量之得九分

　　　　　一釐即得共銀為九十一兩也葢十分

　　　　　之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等

　　　　　之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為

　　　　　底又一百三十分之㸃為己與庚而甲

　　　　　己庚亦為兩邊相等之三角形甲己甲

　　　　　庚為腰己庚相距為底此兩三角形為

　　　　　同式形故甲戊十分與甲庚一百三十

　　　　　分之比同於丁戊七釐與己庚九分一

　　　　　釐之比也又以十分當一人故以一百

　　　　　三十分當十三人以七釐當七兩故九

　　　　　分一釐即為九十一兩葢十分與一人

　　　　　之比同於一百三十分與十三人之比

　　　　　而七釐與七兩之比亦同於九分一釐

　　　　　與九十一兩之比也

設如每官一員每月給公費錢二千二百文共給錢

　八千八百文問官員幾何

　　　　　法以比例尺平分線第二十二分之丁

　　　　　戊二㸃依分釐尺一分之度展開勿令

　　　　　移動次取平分線第八十八分之己庚

　　　　　二㸃相離之度於分釐尺上量之得四

　　　　　分即得官四員也葢二十二分之㸃為

　　　　　丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角

　　　　　形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又八

　　　　　十八分之㸃為己與庚而甲己庚為兩

　　　　　邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚

　　　　　相距為底此兩三角形為同式形故甲

　　　　　戊二十二分與甲庚八十八分之比同

　　　　　於丁戊一分與己庚四分之比也又以

　　　　　二十二分當錢二千二百故以八十八

　　　　　分當錢八千八百以一分當官一員故

　　　　　四分即為官四員葢二十二分與二千

　　　　　二百之比同於八十八分與八千八百

　　　　　之比而一分與一員之比亦同於四分

　　　　　與四員之比也

設如原有粟五斗易布二疋今有粟三石問易布幾

　何

　　　　　法以比例尺平分線第二十分之丁戊

　　　　　二㸃(四倍五斗之數因五分近/樞難用故用四倍之數也)依分釐

　　　　　尺二分之度展開勿令移動次取平分

　　　　　線第一百二十分之己庚二㸃相離之

　　　　　度(四倍三石之數三石為三十/斗故四倍之得一百二十也)於分釐

　　　　　尺上量之得一寸二分即得布十二疋

　　　　　也葢二十分之㸃為丁與戊一百二十

　　　　　分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚

　　　　　為同式兩三角形故甲戊二十分與甲

　　　　　庚一百二十分之比同於丁戊二分與

　　　　　己庚一寸二分之比也又以二十分當

　　　　　五斗為四倍之數故以一百二十分當

　　　　　三石亦為四倍之數以二分當二疋故

　　　　　一寸二分即為十二疋葢二十分與五

　　　　　斗之比同於一百二十分與三石之比

　　　　　而二分與二疋之比亦同於一寸二分

　　　　　與十二疋之比也

設如有二十七及十八之兩數問其相連比例之三

　數幾何

　　　　　法以比例尺平分線第二十七分之丁

　　　　　戊二㸃依分釐尺一分八釐之度展開

　　　　　勿令移動次取平分線第十八分之己

　　　　　庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得

　　　　　一分二釐即相連比例之第三數為十

　　　　　二也葢二十七分之㸃為丁與戊十八

　　　　　分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚

　　　　　為同式三角形故甲戊二十七與甲庚

　　　　　十八之比同於丁戊十八與己庚十二

　　　　　之比也丁戊與甲庚既同為十八即連

　　　　　比例之中率則己庚十二為連比例之

　　　　　第三率無疑矣

設如有勾五尺股十二尺問弦幾何

　　　　　法以比例尺平分線甲丁四十分甲戊

　　　　　三十分之丁戊二㸃依本線五十分之

　　　　　度展開勿令移動次取平分線甲庚五

　　　　　十分(當勾/數)甲己一百二十分(當股/數)之己

　　　　　庚二㸃相離之度於本線上量之為一

　　　　　百三十分即得弦十三尺也葢勾三股

　　　　　四弦五為勾股弦之定數今以甲戊三

　　　　　十甲丁四十為兩腰而丁戊五十為底

　　　　　則其兩腰相交之甲角必為直角故以

　　　　　今有之勾股數為兩腰而取其底即為

　　　　　所求之弦數也若有勾五尺有弦十三

　　　　　尺而求股則取本線一百三十分之度

　　　　　自五十分之庚㸃尋至一百二十分之

　　　　　己㸃其相離之度恰符即得股十二尺

　　　　　矣

設如有圓徑三十五寸問圓周幾何

　　　　　法以比例尺平分線第二十一分之丁

　　　　　戊二㸃(徑率七之三倍也因七/分近樞故用三倍之數)依分釐

　　　　　尺三分五釐之度展開勿令移動次取

　　　　　平分線第六十六分之己庚二㸃相離

　　　　　之度(周率二十二之三倍也因徑/率用三倍故周率亦三倍之)於分

　　　　　釐尺上量之得一寸一分即一百一十

　　　　　寸為所求之圓周也葢二十一分之㸃

　　　　　為丁與戊六十六分之㸃為己與庚而

　　　　　甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲

　　　　　戊二十一與丁戊三分五釐之比同於

　　　　　甲庚六十六與己庚一寸一分之比而

　　　　　甲戊與甲庚既為徑與周之比例則丁

　　　　　戊與己庚亦必為徑與周之比例矣又

　　　　　甲戊為徑率之三倍故甲庚亦用周率

　　　　　之三倍而丁戊以一釐當一寸故己庚

　　　　　亦以一釐當一寸其比例俱相當也

　　分面線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線依幾何原本十二卷二十一節

　　　　　之法分之即為分面線也或設正方面

　　　　　界一百釐其積數一萬釐以二因之得

　　　　　二萬釐開平方得一百四十一釐為積

　　　　　二萬釐之根又以三因之得三萬釐開

　　　　　平方得一百七十三釐為積三萬釐之

　　　　　根照此屢倍積數開平方將所得之數

　　　　　於分釐尺上取其度按度截比例尺之

　　　　　甲乙甲丙二線即成分面線也

設如有甲乙丙三正方形甲形每邊一寸其積數之

　比例甲為一分乙為六分丙為九分今欲作一大

　正方形與甲乙丙三正方形之積等問其邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第一分之兩㸃(因/甲)

　　　　　(方之積為一分/故用一分也)依甲正方形每邊一寸

　　　　　之度展開勿令移動乃併三正方面積

　　　　　共十六分即取分面線第十六分兩㸃

　　　　　相距之度於分釐尺上量之得四寸即

　　　　　所求大正方形之每一邊用其度作正

　　　　　方形其積與甲乙丙三正方形之共積

　　　　　等也葢十六分所作正方形原比一分

　　　　　所作正方形大十六倍則十六分相距

　　　　　之度所作正方形亦必比一分相距之

　　　　　度所作正方形大十六倍矣一分相距

　　　　　之度即甲正方形之一邊其積為一分

　　　　　則以十六分相距之度所作正方形其

　　　　　積必為十六分與三正方形之共積相

　　　　　等也

設如有大小等邊三角形小形每邊一寸大形每邊

　四寸今欲將兩面積相減取其餘積作同式等邊

　三角形問其邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第一分之兩㸃依

　　　　　小形每邊一寸之度展開勿令移動次

　　　　　以大形每邊四寸之度於分面線上尋

　　　　　至第十六分之兩㸃其相距之度恰合

　　　　　即大形與小形之比例為十六與一相

　　　　　減餘十五為較積即取分面線第十五

　　　　　分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得

　　　　　三寸八分七釐即較形之每一邊也葢

　　　　　大小同式多邊形之比例同於相當界

　　　　　所作正方形之比例(見幾何原本/八卷第九節)今十

　　　　　六分所作正方形與一分所作正方形

　　　　　之比例為十六與一則十六分相距之

　　　　　度所作正方形與一分相距之度所作

　　　　　正方形之比例亦為十六與一矣夫大

　　　　　小兩距度即大小兩三角形之相當界

　　　　　其所作兩正方形之比例既為十六與

　　　　　一則大小兩三角形之比例亦必為十

　　　　　六與一矣既得兩形之比例乃相減以

　　　　　得較既得較積之比例復用積以求邊

　　　　　即得所求之邊數也

設如有五等邊形每邊二尺欲三倍其積作同式五

　等邊形問其每邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第一分之兩㸃依

　　　　　分釐尺二寸之度展開勿令移動次取

　　　　　第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量

　　　　　之得三寸四分五釐即三尺四寸五分

　　　　　為所求大形之每一邊用其度作五等

　　　　　邊形其積與原形之三倍等也葢大小

　　　　　同式形之比例同於相當界所作正方

　　　　　形之比例(見幾何原本/八巻第九節)今一分所作正

　　　　　方形與三分所作正方形之比例為一

　　　　　與三則一分相距之度所作正方形與

　　　　　三分相距之度所作正方形之比例亦

　　　　　必為一與三矣夫一分相距之度即原

　　　　　形之界則以三分相距之度為大形之

　　　　　界其積為原形之三倍可知矣又以二

　　　　　寸當原形之邊二尺故三寸四分五釐

　　　　　即為三尺四寸五分也

設如有六等邊形每邊三尺欲取其積四分之三作

　同式六等邊形問其每邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第四分之兩㸃依

　　　　　分釐尺三寸之度展開勿令移動次取

　　　　　分面線第三分兩㸃相距之度於分釐

　　　　　尺上量之得二寸六分即二尺六寸為

　　　　　所求小形之每一邊用其度作六邊形

　　　　　其積即為原形四分之三也葢大小同

　　　　　式形之比例同於相當界所作正方形

　　　　　之比例今四分所作正方形與三分所

　　　　　作正方形之比例為四與三則四分相

　　　　　距之度所作正方形與三分相距之度

　　　　　所作正方形之比例亦必為四與三矣

　　　　　夫四分相距之度即原形之界則以三

　　　　　分相距之度為小形之界其積為原形

　　　　　四分之三可知矣又以三寸當原形之

　　　　　邊三尺故二寸六分即為二尺六寸也

設如有三率相連比例數首率二尺末率八尺問中

　率幾何

　　　　　法以比例尺分面線第二分之兩㸃依

　　　　　分釐尺二寸之度展開勿令移動次取

　　　　　分面線第八分兩㸃相距之度於分釐

　　　　　尺上量之得四寸即四尺為相連比例

　　　　　之中率也葢相連比例三率其首率所

　　　　　作正方形與中率所作正方形之比同

　　　　　於首率與末率之比今首率為二尺末

　　　　　率為八尺則首率所作正方形與中率

　　　　　所作正方形之比例即如二與八之比

　　　　　例故以二分相距之度為首率之數則

　　　　　八分相距之度必為中率之數可知矣

　　　　　又首率用二寸當二尺故中率四寸即

　　　　　為四尺也

設如有正方面積一千六百尺問每一邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第一分之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以

　　　　　一寸之十分作十尺自乘得一百尺與

　　　　　積數一千六百尺相較其比例如一與

　　　　　十六即取分面線第十六分兩㸃相距

　　　　　之度於分釐尺上量之得四寸即四十

　　　　　尺為所求正方之每一邊也葢一分之

　　　　　積既為一百尺則十六分之積必為一

　　　　　千六百尺而一分相距之度既為方積

　　　　　一百尺之每一邊則十六分相距之度

　　　　　必為方積一千六百尺之每一邊矣又

　　　　　以一寸當十尺故四寸即為四十尺也

設如有正方面積九千零二十五尺問每一邊幾何

　　　　　法以比例尺分面線第一百分之兩㸃

　　　　　依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃

　　　　　以一寸之一百釐作一百尺自乘得一

　　　　　萬尺與積數九千零二十五尺相較其

　　　　　比例如一百與九十有餘即取分面線

　　　　　第九十分有餘相距之度於分釐尺上

　　　　　量之得九分五釐即九十五尺為所求

　　　　　正方之每一邊也葢一百分之積既為

　　　　　一萬尺則九十分有餘之積必為九千

　　　　　餘尺而一百分相距之度既為方積一

　　　　　萬尺之每一邊則九十分有餘相距之

　　　　　度必為方積九千餘尺之每一邊矣又

　　　　　以一寸當一百尺故九分五釐即為九

　　　　　十五尺也

　　更面線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線設積數一億用面部内面積相

　　　　　等邊線不同之定率比例得各形之邊

　　　　　線其方邊一萬圜徑一萬一千二百八

　　　　　十四三等邊一萬五千一百九十七五

　　　　　等邊七千六百二十四六等邊六千二

　　　　　百零四七等邊五千二百四十六八等

　　　　　邊四千五百五十一九等邊四千零二

　　　　　十二十等邊三千六百零五將各形邊

　　　　　數於分釐尺上取其度按度截比例尺

　　　　　之甲乙甲丙二線即成更面線也

設如有甲圓形徑一尺二寸欲作一正方形其積與

　圓積等問每邊幾何

　　　　　法以比例尺更面線圓號之兩㸃依分

　　　　　釐尺一寸二分之度展開勿令移動次

　　　　　取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上

　　　　　量之得一寸零六釐即一尺零六分為

　　　　　正方形之每一邊用其度作正方形其

　　　　　積與圜積等也葢圓號與方號之比例

　　　　　原為同積之圓徑與方邊之比例則其

　　　　　兩距度之比例亦必為圓徑與方邊之

　　　　　比例今圓號相距之度既為圓徑則方

　　　　　號相距之度必為方邊無疑矣又以一

　　　　　寸二分當圓徑一尺二寸故一寸零六

　　　　　釐即為方邊一尺零六分也

設如有甲三邊形每邊一十五尺又有乙五邊形每

　邊十尺欲併作一正方形問每邊幾何

　　　　　法以比例尺更面線三邊號之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸五分之度展開勿令移動

　　　　　次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得九分八釐七豪即九尺八寸

　　　　　七分為正方形之每一邊用其度作正

　　　　　方形其積與甲三邊形積等也又以五

　　　　　邊號之兩㸃依分釐尺一寸之度展開

　　　　　勿令移動次取方號之兩㸃相距之度

　　　　　於分釐尺上量之得一寸三分一釐即

　　　　　十三尺一寸為方正形之每一邊用其

　　　　　度作正方形其積與乙五邊形積等也

　　　　　乃將兩正方形用分面線求其積之比

　　　　　例以分面線第十分之兩㸃依小方邊

　　　　　九分八釐七豪之度展開勿令移動復

　　　　　以大方邊一寸三分一釐之度於分面

　　　　　線上尋至第十七分六釐之處其相距

　　　　　之度恰合即兩方形之比例為十分與

　　　　　十七分六釐併之得二十七分六釐即

　　　　　取分面線第二十七分六釐相距之度

　　　　　於分釐尺上量之得一寸六分四釐即

　　　　　十六尺四寸為正方形之每一邊用其

　　　　　度作正方形其積與甲乙兩形之積等

　　　　　也葢甲乙兩形不同類不能得其比例

　　　　　即不能相加故先用更面線將甲乙兩

　　　　　形俱變為正方形復用分面線求其比

　　　　　例而併之即得所求大正方形之一邊

　　　　　也

設如有甲八邊形每邊十二尺又有乙六邊形每邊

　六尺今將兩面積相減用其餘積作一七邊形問

　其邊幾何

　　　　　法以比例尺更面線八邊號之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸二分之度展開勿令移動

　　　　　次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得一寸三分八釐即十三尺八

　　　　　寸為七邊形之每一邊用其度作七邊

　　　　　形其積與甲八邊形積等也又以六邊

　　　　　號之兩㸃依分釐尺六分之度展開勿

　　　　　令移動次取七邊號兩㸃相距之度於

　　　　　分釐尺上量之得五分零七豪即五尺

　　　　　零七分為七邊形之每一邊用其度作

　　　　　七邊形其積與乙六邊形積等也乃將

　　　　　兩七邊形用分面線求其比例以分面

　　　　　線第十分之兩㸃依小七邊形之邊五

　　　　　分零七豪之度展開勿令移動復以大

　　　　　七邊形之邊一寸三分八釐之度於分

　　　　　面線上尋至第七十八分之處其相距

　　　　　之度恰合即兩七邊形之比例為十分

　　　　　與七十八分相減餘六十八分即取分

　　　　　面線第六十八分相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得一寸三分即十三尺為所求

　　　　　七邊形之每一邊用其度作七邊形其

　　　　　積與甲乙兩形相減之餘積等也葢甲

　　　　　乙兩形不同類不能得其比例即不能

　　　　　相減故先用更面線將甲乙兩形俱變

　　　　　為七邊形復用分面線求其比例而後

　　　　　相減即得所求七邊形之一邊也

設如有十等邊形積四千四百四十五尺問每一邊

　幾何

　　　　　法先以比例尺分面線第一分之兩㸃

　　　　　依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃

　　　　　以一寸之十分作十尺自乘得一百尺

　　　　　與積四千四百四十五尺相較其比例

　　　　　如一與四十四又九之五即取分面線

　　　　　第四十四分又九之五相距之度於分

　　　　　釐尺上量之得六寸六分又三之二即

　　　　　六十六尺又三分尺之二為方形之一

　　　　　邊用其度作正方形其積與十邊形積

　　　　　等也乃以更面線方號之兩㸃依方形

　　　　　每邊六寸六分又三分之二之度展開

　　　　　勿令移動次取十邊號兩㸃相距之度

　　　　　於分釐尺上量之得二寸四分即二十

　　　　　四尺為所求十邊形之每一邊也葢正

　　　　　方形為各面形比例之宗故凡有積求

　　　　　邊者必先用分面線求得方形之邊然

　　　　　後用更面線使方號兩㸃相距之度與

　　　　　方邊等而取所求形之號兩㸃相距之

　　　　　度即所求形之一邊自圓形三邊形以

　　　　　至九邊形皆同一法也

　　分體線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線依幾何原本十二卷二十二節

　　　　　之法分之即為分體線也或設正方體

　　　　　界一百釐其積數一百萬釐以二因之

　　　　　得二百萬釐開立方得一百二十六釐

　　　　　為積二百萬釐之根又以三因之得三

　　　　　百萬釐開立方得一百四十四釐為積

　　　　　三百萬釐之根照此屢倍積數開立方

　　　　　將所得之數於分釐尺上取其度按度

　　　　　截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體

　　　　　線也

設如有甲乙丙三正方體甲形每邊二寸其積數之

　比例甲為一分乙為三分丙為四分今欲作一大

　正方體與甲乙丙三正方體之積等問其邊幾何

　　　　　法以比例尺分體線第一分之兩㸃依

　　　　　甲正方體每邊二寸之度展開勿令移

　　　　　動乃併三正方體積共八分即取八分

　　　　　兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四

　　　　　寸即所求大正方體之每一邊用其度

　　　　　作正方體其積與甲乙丙三正方體之

　　　　　共積等也葢八分所作正方體原比一

　　　　　分所作正方體大八倍則八分相距之

　　　　　度所作正方體亦必比一分相距之度

　　　　　所作正方體大八倍矣一分相距之度

　　　　　即甲正方體之一邊其積為一分則以

　　　　　八分相距之度所作正方體其積必為

　　　　　八分與三正方體之共積相等也

設如有大小兩四等面體小體每邊一寸大體每邊

　三寸今將兩體積相減取其餘積作同式四面體

　問其邊幾何

　　　　　法以比例尺分體線第一分之兩㸃依

　　　　　小體每邊一寸之度展開勿令移動次

　　　　　以大體每邊三寸之度於分體線尋至

　　　　　第二十七分之兩㸃其相距之度恰合

　　　　　即大形與小形之比例為二十七與一

　　　　　相減餘二十六為較積即取分體線第

　　　　　二十六分兩㸃相距之度於分釐尺上

　　　　　量之得二寸九分六釐即較體之每一

　　　　　邊也葢大小同式體之比例同於相當

　　　　　界所作正方體之比例(見幾何原本/十卷第七節)今

　　　　　二十七分所作正方體與一分所作正

　　　　　方體之比例為二十七與一則二十七

　　　　　分相距之度所作正方體與一分相距

　　　　　之度所作正方體之比例亦必為二十

　　　　　七與一矣夫大小兩距度即大小兩體

　　　　　之相當界其所作兩正方體之比例既

　　　　　為二十七與一則大小兩四面體之比

　　　　　例亦必為二十七與一矣既得兩體之

　　　　　比例乃相減以得較既得較積之比例

　　　　　復用積以求邊即得所求之邊數也

設如有八等面體每邊一尺欲四倍其積作同式八

　等面體問其每邊幾何

　　　　　法以比例尺分體線第一分之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸之度展開勿令移動次取

　　　　　第四分兩㸃相距之度於分釐尺上量

　　　　　之得一寸五分九釐即一尺五寸九分

　　　　　為所求體之一邊用其度作八等面體

　　　　　其積與原體之四倍等也葢大小同式

　　　　　體之比例同於相當界所作正方體之

　　　　　比例今一分所作正方體與四分所作

　　　　　正方體之比例為一與四則一分相距

　　　　　之度所作正方體與四分相距之度所

　　　　　作正方體之比例亦必為一與四矣夫

　　　　　一分相距之度即原體之界則以四分

　　　　　相距之度為大體之界其積為原體之

　　　　　四倍可知矣又以一寸當原形邊一尺

　　　　　故一寸五分九釐即為一尺五寸九分

　　　　　也

設如有圓球徑三尺欲取其積五分之二作同式圓

　球體問其徑幾何

　　　　　法以比例尺分體線第五分之兩㸃依

　　　　　分釐尺三寸之度展開勿令移動次取

　　　　　分體線第二分兩㸃相距之度於分釐

　　　　　尺上量之得二寸二分一釐即二尺二

　　　　　寸一分為所求小體之一邊用其度為

　　　　　徑作圓球體其積為原體五分之二也

　　　　　葢大小同式體之比例同於相當界所

　　　　　作正方體之比例今五分所作正方體

　　　　　與二分所作正方體之比例為五與二

　　　　　則五分相距之度所作正方體與二分

　　　　　相距之度所作正方體之比例亦必為

　　　　　五與二矣夫五分相距之度即原體之

　　　　　徑則以二分相距之度為小體之徑其

　　　　　積為原體五分之二可知矣又以三寸

　　　　　當原體之徑三尺故二寸二分一釐即

　　　　　為二尺二寸一分也

設如有四率相連比例數一率八尺四率二十七尺

　求二率三率各幾何

　　　　　法以比例尺分體線第八分之兩㸃依

　　　　　分釐尺八分之度展開勿令移動次取

　　　　　分體線第二十七分之兩㸃相距之度

　　　　　於分釐尺上量之得一寸二分即十二

　　　　　尺為連比例四率之第二率既得二率

　　　　　乃用平分線有一率二率求連比例第

　　　　　三率之法以平分線第八分之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸二分之度展開勿令移動

　　　　　次取平分線第十二分兩㸃相距之度

　　　　　於分釐尺上量之得一寸八分即十八

　　　　　尺為連比例四率之第三率也葢相連

　　　　　比例四率其一率所作正方體與二率

　　　　　所作正方體之比例同於一率與四率

　　　　　之比例今一率為八尺四率為二十七

　　　　　尺則一率所作正方體與二率所作正

　　　　　方體之比例即如八與二十七之比例

　　　　　故以八分相距之度為一率之數則二

　　　　　十七分相距之度必為二率之數可知

　　　　　矣又一率用八分當八尺故二率一寸

　　　　　二分即為十二尺至於求第三率之法

　　　　　即平分線求連比例三率之理也

設如有正方體積二萬七千尺問每一邊幾何

　　　　　法以比例尺分體線第一分之兩㸃依

　　　　　分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以

　　　　　一寸之十分作十尺自乘再乘得一千

　　　　　尺與積數二萬七千尺相較其比例如

　　　　　一與二十七即取分體線第二十七分

　　　　　兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三

　　　　　寸即三十尺為所求正方體之每一邊

　　　　　也葢一分之積既為一千尺則二十七

　　　　　分之積必為二萬七千尺而一分相距

　　　　　之度既為方積一千尺之每一邊則二

　　　　　十七分相距之度必為方積二萬七千

　　　　　尺之每一邊矣又以一寸當十尺故三

　　　　　寸即為三十尺也

設如有正方體積八十三萬零五百八十四尺問每

　一邊幾何

　　　　　法以比例尺分體線第一百分之兩㸃

　　　　　依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃

　　　　　以一寸之一百釐作一百尺自乘再乘

　　　　　得一百萬尺與積數八十三萬零五百

　　　　　八十四尺相較其比例如一百與八十

　　　　　三有餘即取分體線第八十三分有餘

　　　　　相距之度於分釐尺上量之得九分四

　　　　　釐即九十四尺為所求正方體之每一

　　　　　邊也葢一百分之積既為一百萬尺則

　　　　　八十三分有餘之積必為八十三萬餘

　　　　　尺而一百分相距之度既為方積一百

　　　　　萬尺之每一邊則八十三分有餘相距

　　　　　之度必為方積八十三萬餘尺之每一

　　　　　邊矣又以一寸當一百尺故九分四釐

　　　　　即為九十四尺也

設如有銀正方體每邊二寸問重幾何

　　　　　法以比例尺分體線第九分之兩㸃(銀/正)

　　　　　(方一寸之定率為/九兩故用九分度)依分釐尺一寸之度

　　　　　展開勿令移動次取分釐尺二寸之度

　　　　　於分體線上尋至第七十二分之兩㸃

　　　　　其相距之度恰合即七十二兩為銀正

　　　　　方體之重數也葢各體重數之比例與

　　　　　積數之比例等相距之度一寸其積為

　　　　　九分相距之度二寸其積則為七十二

　　　　　分今相距一寸之九分既為正方一寸

　　　　　銀體之重數則相距二寸之七十二分

　　　　　必為正方二寸銀體之重數矣又以九

　　　　　分當九兩故七十二分為七十二兩也

設如有大銅球體徑二寸重三十一兩四錢一分今

　有小銅球體徑一寸二分問重幾何

　　　　　法以比例尺分體線第三十一分四釐

　　　　　之處依大球徑二寸之度展開勿令移

　　　　　動次取小球徑一寸二分之度於分體

　　　　　線上尋至第六分七釐有餘之處其相

　　　　　距之度恰合即六兩七錢有餘為小銅

　　　　　球體之重數也葢各體重數之比例與

　　　　　積數之比例等相距之度二寸其積為

　　　　　三十一分四釐相距之度一寸二分其

　　　　　積則為六分七釐今相距一寸之三十

　　　　　一分四釐既為徑二寸大銅球體之重

　　　　　數則相距一寸二分之六分七釐必為

　　　　　徑一寸二分小銅球體之重數矣又以

　　　　　三十一分四釐當三十一兩四錢故六

　　　　　分七釐即為六兩七錢也

　　更體線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線設積數一兆用體部内體積相

　　　　　等邊線不同之定率比例得各體之邊

　　　　　線其立方邊一萬球徑一萬二千四百

　　　　　零七四面體邊二萬零三百九十七八

　　　　　面體邊一萬二千八百四十九十二面

　　　　　體邊五千零七十二二十面體邊七千

　　　　　七百一十將各體邊線數於分釐尺上

　　　　　取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二

　　　　　線即成更體線也

設如有甲球體徑二尺欲作一正方體其積與球積

　等問每邊幾何

　　　　　法以比例尺更體線球號之兩㸃依分

　　　　　釐尺二寸之度展開勿令移動次取方

　　　　　號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之

　　　　　得一寸六分一釐即一尺六寸一分為

　　　　　正方體之每一邊用其度作正方體其

　　　　　積與甲球積等也葢球號與方號之比

　　　　　例原為同積之球徑與立方邊之比例

　　　　　則其兩距度之比例亦必為球徑與立

　　　　　方邊之比例今球號相距之度既為球

　　　　　徑則方號相距之度必為方邊無疑矣

　　　　　又以二寸當球徑二尺故一寸六分一

　　　　　釐即為一尺六寸一分也

設如有甲四面體每邊三尺又有乙八面體每邊四

　尺欲併作一正方體問每邊幾何

　　　　　法以比例尺更體線四面號之兩㸃依

　　　　　分釐尺三寸之度展開勿令移動次取

　　　　　方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之

　　　　　得一寸四分六釐即一尺四寸六分為

　　　　　正方體之每一邊用其度作正方體其

　　　　　積與甲四面體積等也又以八面號之

　　　　　兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移

　　　　　動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得三寸一分一釐即三尺一寸

　　　　　一分為正方體之每一邊用其度作正

　　　　　方體其積與乙八面體積等也乃將兩

　　　　　正方體用分體線求其積之比例以分

　　　　　體線第一分之兩㸃依小方體每邊一

　　　　　寸四分六釐之度展開勿令移動復以

　　　　　大方體每邊三寸一分一釐之度於分

　　　　　體線上尋至第九分五釐之處其相距

　　　　　之度恰合即兩方體之比例為一與九

　　　　　分五釐併之得十分五釐即取分體線

　　　　　第十分五釐相距之度於分釐尺上量

　　　　　之得三寸二分即三尺二寸為正方體

　　　　　之每一邊用其度作正方體其積與甲

　　　　　乙兩體之積等也葢甲乙兩體不同類

　　　　　不能得其比例即不能相加故先用更

　　　　　體線將甲乙兩體俱變為正方體復用

　　　　　分體線求其比例而併之即得所求大

　　　　　方體之一邊也

設如有甲正方體每邊二尺又有乙球體徑亦二尺

　今將兩體積相減用其餘積作十二面體問其邊

　幾何

　　　　　法以比例尺更體線方號之兩㸃依分

　　　　　釐尺二寸之度展開勿令移動次取十

　　　　　二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量

　　　　　之得一寸零一釐四豪即一尺零一分

　　　　　四釐為十二面體之每一邊用其度作

　　　　　十二面體其積與甲正方體積等也又

　　　　　以球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展

　　　　　開勿令移動次取十二面號兩㸃相距

　　　　　之度於分釐尺上量之得八分一釐七

　　　　　豪即八寸一分七釐為十二面體之每

　　　　　一邊用其度作十二面體其積與乙球

　　　　　體積等也乃將兩十二面體用分體線

　　　　　求其比例以分體線第十分之兩㸃依

　　　　　小十二面體每邊八分一釐七豪之度

　　　　　展開勿令移動復以大十二面體每邊

　　　　　一寸零一釐四豪之度於分體線上尋

　　　　　至第十九分其相距之度恰合即兩十

　　　　　二面體之比例為十分與十九分相減

　　　　　餘九分即取分體線第九分兩㸃相距

　　　　　之度於分釐尺上量之得七分九釐即

　　　　　七寸九分為所求十二面體之每一邊

　　　　　用其度作十二面體與甲乙兩體相減

　　　　　之餘積等也葢甲乙兩體不同類不能

　　　　　得其比例即不能相減故先用更體線

　　　　　將甲乙兩體俱變為十二面體復用分

　　　　　體線求其比例而後相減即得所求十

　　　　　二面體之一邊也

設如有二十面體積一萬七千四百五十五尺問每

　一邊幾何

　　　　　法先以比例尺分體線第一分之兩㸃

　　　　　依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃

　　　　　以一寸之十分作十尺自乘再乘得一

　　　　　千尺與積數一萬七千四百五十五尺

　　　　　相較其比例如一與十七又九之五即

　　　　　取分體線第十七分又九之五相距之

　　　　　度於分釐尺上量之得二寸五分九釐

　　　　　即二十五尺九寸為正方體之一邊用

　　　　　其度作正方體其積與二十面體積等

　　　　　也乃以更體線方號之兩㸃依正方體

　　　　　每邊二寸五分九釐之度展開勿令移

　　　　　動次取二十面號兩㸃相距之度於分

　　　　　釐尺上量之得二寸即二十尺為所求

　　　　　二十面體之每一邊也葢正方體為各

　　　　　體形比例之宗故凡有積求邊者必先

　　　　　用分體線求得方體之邊然後用更體

　　　　　線使方號兩㸃相距之度與方邊等而

　　　　　取所求體之號兩㸃相距之度即所求

　　　　　體之一邊自球體四面體至二十面體

　　　　　皆同一法也

　　五金線

　　　　　自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲

　　　　　丙二線用各體權度比例定率數金重

　　　　　十六兩八錢水銀重十二兩二錢八分

　　　　　鉛重九兩九錢三分銀重九兩銅重七

　　　　　兩五錢鐵重六兩七錢錫重六兩三錢

　　　　　為各體正方一寸輕重之比例(定率數/有三十)

　　　　　(餘種尺不能盡載惟此數/者其用為多故止載此)若重數相等

　　　　　則其積數必不同故又用轉比例之法

　　　　　求其體積之比例命金之積為十億則

　　　　　與金同重之水銀積為十三億六千八

　　　　　百零七萬八千一百七十五(水銀重十/二兩二錢)

　　　　　(八分為一率金重十六兩八錢為二率/金積十億為三率得四率即水銀積餘)

　　　　　(倣/此)鉛之積為十六億九千一百八十四

　　　　　萬二千九百銀之積為十八億六千六

　　　　　百六十六萬六千六百六十六銅之積

　　　　　為二十二億四千萬鐵之積為二十五

　　　　　億零七百四十六萬二千六百八十六

　　　　　錫之積為二十六億六千六百六十六

　　　　　萬六千六百六十六既得各體之積數

　　　　　乃開立方求其方根則金之數為一千

　　　　　水銀之數為一千一百一十鉛之數為

　　　　　一千一百九十一銀之數為一千二百

　　　　　三十一銅之數為一千三百零八鐵之

　　　　　數為一千三百五十八錫之數為一千

　　　　　三百八十六爰將各根數於分釐尺上

　　　　　取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二

　　　　　線即成五金線也

設如有金球徑二尺欲作一銀球其重與金球等問

　徑幾何

　　　　　法以比例尺五金線金號之兩㸃依分

　　　　　釐尺二寸之度展開勿令移動次取銀

　　　　　號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得

　　　　　二寸四分六釐即二尺四寸六分為銀

　　　　　球徑用其度作銀球即與金球重等也

　　　　　葢金號與銀號之比例原為同重之金

　　　　　體邊與銀體邊之比例則金號與銀號

　　　　　兩距度之比例亦必為同重之金體邊

　　　　　與銀體邊之比例今金號相距之度既

　　　　　為金球徑則銀號相距之度必為銀球

　　　　　徑可知矣又以二寸當金球徑二尺故

　　　　　二寸四分六釐即為二尺四寸六分也

設如有金正方體每邊一寸重十六兩八錢今欲作

　銀八面體其重與金正方體等問每一邊幾何

　　　　　法先以比例尺更體線正方體之兩㸃

　　　　　依正方每邊一寸之度展開勿令移動

　　　　　次取八面體兩㸃相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得一寸二分八釐有餘即為金

　　　　　正方體等重之金八面體之每一邊數

　　　　　乃以五金線金號之兩㸃依金八面體

　　　　　每邊一寸二分八釐之度展開勿令移

　　　　　動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺

　　　　　上量之得一寸五分八釐有餘即為銀

　　　　　八面體之每一邊用其度作八面體其

　　　　　重與金正方體等也葢兩體不同類不

　　　　　能得其比例故先用更體線變正方體

　　　　　為八面體而後用五金線比例之其法

　　　　　與前同也

設如有銅正方體每邊二寸重六十兩今有鉛一百

　兩欲鑄為球體問徑幾何

　　　　　法先以分體線第六十分之兩㸃(原重/六十)

　　　　　(兩故取/六十分)依銅正方體每邊二寸之度展

　　　　　開勿令移動次取分體線第一百分兩

　　　　　㸃相距之度(今重一百兩/故取一百分)於分釐尺上

　　　　　量之得二寸三分七釐即重一百兩之

　　　　　銅正方體之每一邊又以更體線正方

　　　　　號之兩㸃依正方每邊二寸三分七釐

　　　　　之度展開勿令移動次取球號兩㸃相

　　　　　距之度於分釐尺上量之得二寸九分

　　　　　四釐即重一百兩之銅球徑復以五金

　　　　　線銅號之兩㸃依銅球徑二寸九分四

　　　　　釐之度展開勿令移動次取鉛號兩㸃

　　　　　相距之度於分釐尺上量之得二寸六

　　　　　分八釐即重一百兩之鉛球徑也葢兩

　　　　　重數不同而兩體又不同不能得其比

　　　　　例故先用分體線變為同重之銅正方

　　　　　體又用更體線變為同重之銅球體乃

　　　　　用五金線銅與鉛之邊線以比例之而

　　　　　後得其徑數也

設如銀正方一寸重九兩問銅正方一寸重幾何

　　　　　法以五金線銀號之兩㸃依正方一寸

　　　　　之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相

　　　　　距之度於分釐尺上量之得一寸零五

　　　　　釐二豪即為重九兩之銅正方邊數乃

　　　　　以分體線九十分之兩㸃依一寸零五

　　　　　釐二豪之度展開勿令移動而以今銅

　　　　　正方一寸之度於分體線上尋至七十

　　　　　五分之兩㸃其相距之度恰合即七兩

　　　　　五錢為銅正方一寸重數也葢銀重九

　　　　　兩其方邊一寸則銅重九兩其方邊必

　　　　　為一寸零五釐二豪又銅方邊一寸零

　　　　　五釐二豪其重九兩則銅方邊一寸其

　　　　　重即為七兩五錢也

設如有銀正方體每邊二寸重七十二兩今欲作一

　銅二十面體其邊與正方體等問重幾何

　　　　　法先以比例尺更體線正方體之兩㸃

　　　　　依正方每邊二寸之度展開勿令移動

　　　　　次取二十面體兩㸃相距之度於分釐

　　　　　尺上量之得一寸五分四釐有餘即為

　　　　　銀正方體等重之銀二十面體之每一

　　　　　邊乃以五金線銀號之兩㸃依銀二十

　　　　　面體每邊一寸五分四釐之度展開勿

　　　　　令移動次取銅號兩㸃相距之度於分

　　　　　釐尺上量之得一寸六分三釐有餘即

　　　　　為銀二十面體同重之銅二十面體之

　　　　　每一邊復以分體線第七十二分之兩

　　　　　㸃依銅二十面體每邊一寸六分三釐

　　　　　之度展開勿令移動而以今所作銅二

　　　　　十面體每邊二寸之度於分體線上尋

　　　　　至第一百三十分有餘之處其相距之

　　　　　度恰合即一百三十兩有餘為銅二十

　　　　　面體之重數也葢兩體不同類不能得

　　　　　其比例故先用更體線變正方體為二

　　　　　十面體又用五金線變銀二十面體為

　　　　　銅二十面體復用分體線有邊求重之

　　　　　法比例之然後得其重數也

御製數理精藴下編卷三十九