句股引蒙

欽定四庫全書

　勾股引蒙卷四

　　　　　　　　　　　　海寧　陳訏　撰

三角法

　　八線全圖

　　　　　　　　　　　　　　　(周天三百六十/度兩分之為半)

　　　　　　　　　　　　　　　(周四分之為一/象限 每一象)

　　　　　　　　　　　　　　　(限各九十度又/名弧度 六)

　　凡正方角(乙/)即直角即象限之角其所對弧必九

　　　十度

　　凡在一象限不及九十度者為鋭角(如丙/)

　　凡過一象限多於九十度者為鈍角

　　凡言角以中一字為所指之角(如甲乙癸/)

　　凡求某角者求其角之對弧度與分

　　凡求某角即本角之弧矢弦割切為正其外為餘

　　凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半

　　　徑無増減常為十萬弧中旋轉可如弦如句

　　凡正角以半徑全數為正弦

　　凡鈍角以外角之正餘弦為正餘弦

直角(即正方角一名勾股形/)

　　有角有邊求餘角餘邊(直角之一/)

假如(壬癸丁/)勾股形有丁角(五十七度/)壬丁弦(九十一/)

(丈八尺/)求餘角餘邊

　先求癸丁邊

　　　　　　　　　術曰以半徑全數比丁角之餘

　　　　　　　　　弦若壬丁弦與癸丁句

　　一率(原設/弦)半徑　　　　一○○○○○　為法

　　二率(原設/句)丁角(五十/七度)餘弦　　五四四六四　(相乗/)

　　三率(今有/弦)壬丁邊　　　九十一丈八尺　(為實/)

　　四率(今所/求句)癸丁邊　　　五十丈　　(法除實得所/求)

　　　右三率法後同　半徑即乙丁餘弦即甲丁

　求壬癸邊

　　以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股

　　一率(原設/弦)半徑　　　　一○○○○○

　　二率(原設/股)丁角(五十/七度)正弦　○八三八六七

　　三率(今有/弦)壬丁邊　　　　九十一丈八尺

　　四率(所求/股)壬癸邊　　　　七十七丈

　求壬角

　　以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十

　　三度為壬角

　　　右例先得弦以求勾股

假如(壬癸/丁)勾股形有丁角(六十/二度)癸丁勾(二十/四丈)求餘角餘

邊

　求壬角

　　以丁角(六十/二度)與象限相減得餘(二十/八度)為壬角　平

　　面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形(癸/)則

　　於一象限内減丁角之度其餘度自必壬角

　　　　　　　　　　　　戊丙丁勾股形以戊丙

　　　　　　　　　　　　切線為股丙丁半徑為

　　　　　　　　　　　　勾戊丁割線為弦是丁

　　角原有之線　今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股

　　形既同丁角則其比例等

　求壬丁邊

　　以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁弦

　　一率(原設/勾)半徑　　　　　一○○○○○

　　二率(原設/弦)丁角(六十/二度)割線　二一三○○五

　　三率(今有/勾)癸丁邊　　　　二十四丈

　　四率(所求/弦)壬丁邊　　　　五十一丈一尺

　求壬癸邊

　　以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股

　　一率(原設/勾)半徑　　　　　一○○○○○

　　二率(原設/股)丁角(六十/二度)切線　一八八○七三

　　三率(今有/勾)癸丁邊　　　　二十四丈

　　四率(所求/股)壬癸邊　　　　四十五丈一尺

　　　右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及

　　　勾亦同

　　　按半徑隨弧旋轉無有増減故可為弦為勾為

　　　股各隨比例之所取用視邊與線之縱横小大

　　　為比例

　　有邊求角(直角之二/)

假如(壬癸/丁)勾股形有壬丁弦(一百○二/丈二尺)癸丁勾(四十/八丈)求

二角一邊

　求丁角

　　　以丁壬弦比癸丁勾若半徑乙丁與丁角之餘

　　　弦甲丁

　　一　　壬丁邊　　一百○二丈二尺

　　二　　癸丁邊　　○四十八丈

　　三　　半徑　　　一○○○○○

　　四　　丁角餘弦　四六九六六

　　　　以所得餘弦檢表得六十二度為丁角度

　　　右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊

　　　為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角

　　　得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例

　　　矣然丁角必求餘弦為四率者蓋若求正弦正

　　　切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以

　　　癸丁邊比壬丁邊若餘弦(甲/丁)與正割(壬/丁)之例然

　　　餘弦尚未求得又無可為比故以壬丁弦比癸

　　　丁句若乙丁弦之半徑與甲丁勾之丁角餘弦

　　　相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數

　　　歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率

　　　應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無

　　　比例中尋出比例矣

　求壬角

　　以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為

　　壬角

　求壬癸邊

　　以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股

　　一　　半徑　　　　一○○○○○

　　二　　丁角(六十/二度)正弦　○八八二五九

　　三　　壬丁邊　　　一百○二丈二尺

　　四　　壬癸邊　　　○九十丈○二尺三寸

　　　右例以邊求角而先知方角故止用二邊

　　　此先有之邊是弦與勾故求壬癸邊之股者以

　　　壬丁邊之斜弦為比而正弦如股半徑旋轉如

　　　弦可線與線相比以為邊與邊相比之例也若

　　　先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例

　　　而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角

　　　法

假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九

十丈癸丁邊五十六丈求角

　求癸角

　　　　　　　　以壬丁大邊與丁癸邊相加得(一/百)

　　　　　　　　(六十/二丈)為總又相減得(五十/丈)為較以

　　　　　　　　較乘總得(八千一/百丈)為實以壬癸邊

　　　　　　　　(九十/丈)為法除之仍得(九十/丈)與壬癸

　　　　　　　　邊數等即知癸角為正方角

　求丁角

　　以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線

　　一　　丁癸勾　　五十六丈

　　二　　壬癸股　　九十丈

　　三　　半徑　　　一○○○○○

　　四　　丁角切線　一六○七一四

　　　　以所得切線檢表得五十八度○六分為丁

　　　　角

　　　有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角

　　　而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故

　　　先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之

　　　切線

　求壬角

　　以丁角(五十八度/○六分)與象限相減得餘三十一度五

　　十四分為壬角

　　　右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼

　　　用三邊

鋭角

　　有兩角一邊求餘角餘邊(鋭角之一/)

假如(乙丙丁/)鋭角有丙角(六十度/)丁角(五十度/)丙丁邊

(一百二十尺/)

　求乙角

　　　　　　　以丙角(六十/度)丁角(五十/度)相併得(一百/一十)

　　　　　　　(度/)以減半周一百八十度餘七十度

　　　　　　　為乙角

　　　　　　　右丙角丁角有度而無邊乙角有邊

　　　　　　　而無度先以兩角之度除半周而乙

　　　　　　　角之弧度得矣既得乙角之度即可

　　　　　　　以乙角之線比乙角相對之邊若他

　　　　　　　角之線與他角之邊

　求乙丁邊

　　以乙角正弦比丙丁邊若丙角正弦與乙丁邊

　　一　　乙角(七十/度)正弦　九三九六九

　　二　　丙丁邊(即乙角/對邊)　一百二十尺

　　三　　丙角(六十/度)正弦　八六六○三

　　四　　乙丁邊(即丙角/對邊)　一百一十尺○六寸

　　　　以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處

　　　　以線比邊下求乙丙邊同

　求乙丙邊

　　以乙角正弦比丙丁邊若丁角正弦與乙丙邊

　　一　　乙角(七十/度)正弦　九三九六九

　　二　　丙丁(乙角/對邊)　　　一百二十尺

　　三　　丁角(五十/度)正弦　七六六○四

　　四　　乙丙(丁角/對邊)　　　○九十七尺八寸

　　　右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與

　　　一角相對亦同

　　有一角兩邊求餘角餘邊(鋭角之二/)

假如(甲乙丙/)鋭角形有丙角(六十度/)甲丙邊(八千尺/)甲

乙邊(七千○三十四尺/)

　求乙角

　　　　　　　　　以甲乙邊比甲丙邊若丙角正

　　　　　　　　　弦與乙角正弦

　　一　　甲乙邊　　　　七千○三十四尺

　　二　　甲丙邊　　　　八千尺

　　三　　丙角(六十/度)正弦　八六六○三

　　四　　乙角　　正弦　九八四九六

　　　　檢表得八十度○三分為乙角

　　　凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大

　　　依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜

　　　邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大

　　　邊亦若正弦小之比大而可得角也此以小比

　　　大也

　求甲角

　　以丙角乙角相併得(一百四十/度○三分)以減半周餘三十

　　九度五十七分為甲角

　求乙丙邊

　　以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邊與乙丙

　　邊

　　一　　乙角(八十○度/三分)正弦　九八四九六

　　二　　甲角(三十九度/五十七分)正弦　六四二一二

　　三　　甲丙(乙角/對邊)　　　　　八千尺

　　四　　乙丙(甲角/對邊)　　　　　五千二百一十五尺

　　　乙角以乙丙為底其正弦從甲下垂故弦長甲

　　　角以甲丙為底正弦從乙下垂故弦短今乙丙

　　　邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之

　　　先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正

　　　弦為例也

　　　　右例有兩邊一角而角與一邊相對

假如(甲乙/丙)鋭角形有甲丙邊(四百/尺)乙丙邊(二百六十一/尺○八分)

丙角(六十/度)角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊

　先求中長線分為兩勾股形

　　　　　　　　　以半徑比丙角正弦若甲丙邊

　　　　　　　　　與甲丁中長線

　　　　　　　　　　(此下四則皆為求甲乙邊與/甲全角故先求分形之邊及)

　　　　　　　　　　(分形之角/)

　　一　　半徑　　　　　一○○○○○

　　二　　丙角(六十/度)正弦　　○八六六○三

　　三　　甲丙邊　　　　四百尺

　　四　　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分

　求丙丁邊(求中長線專為分邊而求/)

　　以半徑比丙角餘弦若甲丙邊與丙丁邊

　　一　　半徑　　　　一○○○○○

　　二　　丙角(六十/度)餘弦　○五○○○○

　　三　　甲丙邊　　　四百尺

　　四　　丙丁邊　　　二百尺

　　　求角者須先審四率之線應求某線而以邊之

　　　可比例者為一二率求邊者須先審二率應用

　　　某線可與四率之邊相比例而以一率三率比

　　　之盖邊有定在而線則隨所比例而變其所取

　　　也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙

　　　在八線餘弦限於正弦而不越於正弦之外與

　　　丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙

　　　故二率取為比例而得丙丁之分邊

　求乙丁邊

　　以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁

　求丁甲乙分角

　　以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切

　　線

　　一　　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分

　　二　　乙丁分邊　　○六十一尺○八分

　　三　　半徑　　　　一○○○○○

　　四　　甲分角切線　○一七六三三

　　　檢切線表得一十度為甲分角

　　　右求分角之線自必以分邊為例則所得之線

　　　乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角

　　　之對邊故分邊之線為分角之度

　求甲乙邊

　　以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊

　　一　半徑　　　　　一○○○○○

　　二　甲分角(十/度)割線　一○一五四三

　　三　甲丁中長線　　三百四十六尺四寸一分

　　四　甲乙邊　　　　三百五十一尺七寸五分

　　　右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊

　求甲全角

　　以丙角(六十度/)之餘角三十度(即分形甲丁/丙之甲分角)與求

　　得甲分角(一十度/)相併得四十度為甲全角

　求乙角

　　以甲分角(一十度/)減象限得八十度為乙角(或併/丙甲)

　　(二角減/半周同)

　　　右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對

　　　故用分形以取勾股

　　用切線分外角(梅本新増/)

假如(甲乙丙/)鋭角形有甲丙邊(四百尺/)乙丙邊(二百六/十一尺)

(○八分/)丙角六十度

　求甲角

　　　以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙

　　　角(六十/度)減半周得外角(一百二/十度)半之得半外角

　　　(六十/度)檢其切線依三率法求得半較角以減半

　　　外角得甲角

　　一　　兩邊總　　　六百六十一尺○八分

　　二　　兩邊較　　　一百三十八尺九寸三分

　　三　　半外角切線　一七三二○五

　　四　　半較角切線　○三六三九七

　　　檢切線表得二十度為半較角轉與半外角(六/十)

　　　(度/)相減得甲角四十度

　求乙角

　　以甲丙二角相併共(一百度/)以減半周得餘八十

　　度為乙角

　求甲乙邊

　　以甲角(四十/度)正弦　六四二七九

　　比丙角(六十/度)正弦　八六六○三

　　若乙丙邊　　　　　二百六十一尺○八分

　　與甲乙邊　　　　　三百五十一尺七寸五分

　　　按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不

　　　與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩

　　　而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角

　　　則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外

　　　角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角

　　　邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於

　　　外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外

　　　角既中分外角之半則此較角亦必中分較角

　　　之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率

　　　蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而

　　　半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶

　　　甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙

　　　角若干之半名半較角也所以求切線者盖切

　　　線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如

　　　勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割

　　　之半較角則莫如半外角之切線比半較角之

　　　切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増

　　　此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為

　　　補圖明之如左

　　　　　　　　　　　此平三角借弧以明其理

　　　　　　　　　　　若弧三角所容三角不止

　　　　　　　　　　　三個如平方立方有面體

　　　　　　　　　　　之别後同

　　有三邊求角(鋭角之三/)

假如(甲乙丙/)鋭角形有乙丙邊(二十丈/)甲丙邊(一十七丈五尺/)

(八寸五分/)乙甲邊一(十三丈○五寸/)

　求兩勾相減之數為勾較

　　　　　　任以(乙丙/)大邊為底從甲角作甲丁虚

　　　　　　垂線至底分為兩勾股形

　　　　　　一甲丁丙形以甲丙邊為弦丁丙為勾

　　　　　　一甲丁乙形以甲乙邊為弦丁乙為勾

　　　　　　兩弦相併為總相減為較　兩勾相併

　　　　　　(即乙丙/邊原數)為勾總　求戊丙勾較

　　以勾總比弦總若弦較與勾較

　　一　　兩勾之總(即乙/丙)　二十丈

　　二　　兩弦之總　　三十丈○六尺三寸五分

　　三　　兩弦之較　　四丈五尺三寸五分

　　四　　兩勾之較(即丙/戊)　六丈九尺四寸六分

　　　此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙

　　　至丙之勾似丙角之餘弦然餘弦長短必限於

　　　正弦今甲丁中垂線即丙角之正弦今若求丙

　　　角餘弦又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊

　　　既得勾較則可加分形之勾(戊/丁)而得丁丙分邊

　　　與丙角之餘弦等以之比例而得丙角之餘弦

　　　即查表得丙角之度

　求分形之兩勾

　　以勾較(六丈九尺/四寸六分)減勾總(二十丈/即乙丙)餘乙戊(一十三/丈○五)

　　(寸四/分)半之得丁乙(即戊/丁)六丈五尺二寸七分為甲

　　丁乙分勾之形

　　又以戊丁(六丈五尺/二寸七分)加勾較(六丈九尺四寸/六分 即戊丙)得丁

　　丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形

　求丙角

　　以甲丙弦比丁丙勾若半徑與丙角餘弦

　　一　　甲丙邊　　一十七丈五尺八寸五分

　　二　　丁丙分邊　一十三丈四尺七寸三分

　　三　　半徑　　　一○○○○○

　　四　　丙角餘弦　○七六六一六

　　　檢餘弦表得丙角四十度

　求甲角

　　　先求分形大半之甲角

　　以丙角(四十度/)減象限餘五十度為(丁甲丙/)分形

　　甲角

　　　次求分形小半之甲角

　　以甲乙弦比丁乙勾若半徑與分形甲角之正弦

　　一　　甲乙邊　　　一十三丈○五寸

　　二　　丁乙分邊　　○六丈五尺二寸七分

　　三　　半徑　　　　一○○○○○

　　四　　甲分角正弦　○五○○一五

　　　　(以甲丁為底則甲乙邊如半徑/而乙丁邊如甲分角之正弦)

　　　檢正弦表得三十度為(丁甲乙/)分形之甲角併

　　　分形兩甲角(先得五十度/次得三十度)得共八十度為甲全

　　　角

　求乙角

　　併丙甲二角共(一百二十度/)以減半周得餘六十

　　度為乙角

鈍角

　　有兩角一邊求餘角餘邊(鈍角之一/)

假如(乙丙丁/)鈍角形有丙角(三十六度半/)乙角(二十四/度)

丁乙邊(五十四丈/)

　求丁角

　　　　　　　　以丙丁二角併共(六十度半/)以減

　　　　　　　　半周得餘一百一十九度半為丁

　　　　　　　　鈍角

　求乙丙邊

　　以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邊與乙丙邊

　　一　　丙角(三十六度/三十分)正弦　五九四八二

　　二　　丁角(一百十九/度三十分)正弦　八七○三六

　　三　　乙丁邊　　　　五十四丈

　　四　　乙丙邊　　　　七十九丈○一寸

　　　右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度

　　　減半周用之凡鈍角同

　求丁丙邊

　　以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊

　　一　　丙角(三十六度/三十分)正弦　五九四八二

　　二　　乙角(二十/四度)正弦　四○六七四

　　三　　乙丁邊　　　　五十四丈

　　四　　丁丙邊　　　　三十六丈九尺二寸

　　　　　　　凡鈍角以外角之正弦為正弦蓋即

　　　　　　　此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙

　　　　　　　丙為丁角所對之弧乙丁甲為丁角

　　　　　　　之外角至於正弦皆以本角之勾為

　　　　　　　底以割線(半徑/同)與弧之相界處直線

　　　　　　　垂下與本角之底為正方直角如圖

　　　　　　　乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角

　　　　　　　之割線夘丁如外角之餘弦而夘乙

　　　　　　　則外角之正弦也至如丙角以丙丁

　　　　　　　為底其正弦丑丁近乙丁邊乙角以

　　　　　　　乙丙為底其正弦子丁近乙丙邊也

　　　　　　　補圖明之

　　有一角兩邊求餘角餘邊(鈍角之二/)

假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形(此/)

(鈍角所對之弧度分/)甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百

一十七尺

　　　(前則用他角求鈍角/此則用鈍角求他角)

　　　　　　　　　　乙角為鈍角

　　　　　　　　　　甲丙為鈍角所對之弧度

　　　　　　　　　　乙丁為丙角正弦

　　　　　　　　　　甲戊為鈍角用外角之正弦

　求丙角

　　以甲丙邊比甲乙邊若乙角正弦與丙角正弦

　　一　　甲丙邊　　　　　　四千尺

　　二　　甲乙邊　　　　　　三千五百一十七尺

　　三　　乙角(九十九度/五十七分)正弦　九八四九六(即八十度/三分正度)

　　四　　丙角　　正弦　八六六○三

　　　檢表得丙角六十度

　　　　按乙角為鈍角其所用外角之正弦即鈍角

　　　　九十九度五十七分減半周一百八十度所

　　　　餘八十度○三分之外角其所有之正弦也

　　　　(每度六十分/)求丙角者止丁外角之正弦可

　　　　比丙角之正弦故先以甲丙邊比甲乙邊為

　　　　例俱以長比短而縱與縱為同類

　求甲角

　　併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半

　　周得餘二十度○三分為甲角

　求乙丙邊

　　以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙邊與乙丙邊

　　一　　乙角(九十九度/五十七分)正弦　九八四六九

　　二　　甲角(二十度/○三分)正弦　三四二八四

　　三　　甲丙邊　　　　四千尺

　　四　　乙丙邊　　　　一千三百九十二尺

　　　　右甲角正弦以甲丙為底乙已即甲角正弦

　　　　與甲已為正方角此二則皆以大比小

　　　　右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊

　　　　一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如

　　　　左

假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊(一千○八十尺/)乙丙邊

(一千五百八十二尺/)乙角(二十四度/)

　　　　　　　丙戊為虚股　戊丁為虚勾

　　　　　　　乙角乙丁為底丑丁為正弦　乙丁

　　　　　　　即餘弦　丙角丙丁為底子丁為正

　　　　　　　弦

　　先以半徑比乙角正弦若乙丙邊與丙戊邊

　　一　　半徑　　　　一○○○○○

　　二　　乙角(二十/四度)正弦　○四○六七四

　　三　　乙丙邊　　　一千五百八十二尺

　　四　　丙戊邊(即虚/垂線)　○六百四十三尺

　　又以半徑比乙角餘弦若乙丙邊與乙戊

　　一　　半徑　　　　一○○○○○

　　二　　乙角(二十/四度)餘弦　○九一三五五

　　三　　乙丙邊　　　一千五百八十二尺

　　四　　乙戊邊(即乙丁/引長線)　一千四百四十五尺

　　　右以原邊乙丁(一千○/八十尺)與引長乙戊邊相減得

　　　丁戊(三百六/十五尺)為形外所作虚勾股形之勾(先得/丙戊)

　　　(垂線為股原有/邊之丁丙為弦)

　求丁丙邊

　　依勾股求弦法以丙戊股自乘(四十一萬三千/四百四十九尺)丁

　　戊勾自乘(一十三萬三千/二百二十五尺)併之得數(五十四萬六/千六百七十)

　　(四/尺)為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邊

　求丙角

　　以丁丙邊比丁乙邊若乙角正弦與丙角正弦

　　一　　　丁丙邊　　　○七百三十九尺

　　二　　　丁乙邊　　　一千○八十尺

　　三　　　乙角(二十/四度)正弦　四○六七四

　　四　　　丙角　正弦　五九四四二

　　　檢表得丙角三十六度二十九分

　求丁角

　　以丙乙二角併之共(六十度二十九分/)以減半周

　　得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角

　　　此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後

　　　丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有

　　　乙丁邊可為丙角正弦之比例(凡正弦必在本/角相對之邊)

　　　然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正弦比丙

　　　角正弦之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如

　　　勾股之斜弦當以勾股求弦法求之今丁戊無

　　　勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虚股再求乙

　　　戊邊以作虚勾而後用勾股求弦法而得丙丁

　　　之邊三邊既得則每角之正弦必近本角所對

　　　之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正弦

　　　相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正弦

　　　子丁近乙丁邊而乙角之正弦子丑近丙丁邊

　　　故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角

　　　又求得丙角則丁角半周減之即得矣

　　　　右兩邊一角而角不與邊對

　　用切線分外角(梅本新増/)

假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊(五百四十尺/)丙乙邊(七/)

(百九十一尺/)乙角(二十四/)度

　求丙角

　　以(丁乙/丙乙)兩邊相併為總相減為較又以(乙/)角(二十/)

　　(四度/)減半周得外角(一百五十六度/)半之得半外

　　角(七十八度/)

　　以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線

　　一　　兩邊之總　　一千三百三十一尺

　　二　　兩邊之較　　○二百五十一尺

　　三　　半外角切線　四七○四六三

　　四　　半較角切線　○八八七一九

　　　檢表得半較角(四十一度三十五分/)以減半外

　　　角(七十八度/)得餘(三十六度二十五分/)為丙角

　求丁角

　　併乙丙二角共(六十度二十五分/)以減半周得一

　　百一十九度三十五分為丁鈍角

　求丁丙邊

　　以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊

　　一　　丙角(三十六度/二十五分)正弦　五九三六五

　　二　　乙角(二十/四度)正弦　四○六七四

　　三　　乙丁邊　　　　五百四十尺

　　四　　丁丙邊　　　　三百六十九尺九寸八

　　　　　　　　　　　　分

　　　　右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與

　　　　前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾

　　　　股求弦法求丙丁邊先補虚勾虚股以求丙

　　　　丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其

　　　　法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在

　　　　求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外

　　　　角切線與半較角切線補圖明之如左

　　　　　　　　　　　　　　(甲庚癸為半周/子庚為半徑)

　　　　　　　　　　　　　　(甲壬為乙角度/壬辛癸為外角)

　　　　　　　　　　　　　　(壬辛為半外角割/子夘為半外角)

　　　　　　　　　　　　　　(線夘為半外角切/壬)

　　　　　　　　　　　　　　(線丑為半較角切/己)

　　　　　　　　　　　　　　(線辛為半較角/己)

　　新式三邊求角(鈍角之三/)

假如(乙丙丁/)鈍角形有乙丙邊(三百五十尺/)乙丁邊(六/)

(百○七尺/)丁丙邊(三百尺/)

　　　右有邊無角

　　　　　術自乙角作虚垂線至甲又引丁丙線横

　　　　　出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形

　　　　　又横線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁

　　　　　辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁

　　　　　邊為大形(乙甲/丁)之弦乙丙邊為小形(乙甲/辛即)

　　　　　(乙甲/丙)之弦兩弦相併為總相減為較

　先求勾總

　　　此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯

　　　丙丁句似丁角餘弦然丁角以乙丁為半徑則

　　　乙甲為正弦而餘弦應自丁至甲今止自丁至

　　　丙尚少丙甲之餘弦故必先求甲丁勾始與丁

　　　角餘弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以

　　　為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之

　　　餘弦以查表而得丁角也

　　一　　勾較(即丁/丙邊)　　　三百尺

　　二　　弦較(即乙丁邊減/乙丙之餘)二百三十二尺

　　三　　弦總(即乙丁乙丙/二邊相併)　九百八十二尺

　　四　　勾總(即丁辛/)　　七百五十九尺四寸

　　以勾較(三百/尺)減所得勾總(七百五十/九尺四寸)餘數(四百五/十九尺)

　　(四/寸)半之得數(二百二十/九尺七寸)為小形之勾甲丙

　　以甲丙小形之勾加丁丙較(三百/尺)得數(五百二十/九尺七寸)

　　為大形之勾甲丁

　求丁角

　　以乙丁弦比丁甲勾若半徑與丁角之餘弦

　　一　　乙丁弦　　　六百○七尺

　　二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸

　　三　　半徑　　　　一○○○○○

　　四　　丁角餘弦　　○八七二六五

　　　檢表得丁角二十九度一十四分

　求丙角(用乙甲丙小形/)

　　　鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股

　　　之弦乙丙即此鈍角丙之外角割線

　　以甲丙勾比乙丙弦若半徑與丙角之割線

　　一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸

　　二　　乙丙弦　　　三百七十五尺

　　三　　半徑　　　　一○○○○○

　　四　　丙角割線　　一六三二五六

　　　檢表得丙角(五十二度/一十四分)為本形之丙外角以減

　　　半周得丙鈍角一百二十七度四十六分

　　　按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故

　　　乙丙斜弦實即丙角之割線至於求丁角求丙

　　　角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作弦

　　　丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可弦顧

　　　隨所取用耳

　求乙角

　　併丁丙二角所得度分共(一百五十七度/)以減半

　　周得餘二十三度為乙角

　　　右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍

　　　角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線

　　　同鋭角之三

　　補圖　　　　　乙丙丁三角形　乙己為丙角

　　　　　　　　　弧度　乙辛為丙外角　丙戊

　　　　　　　　　即(乙/丙)為丙外角割線　乙壬壬

　　　　　　　　　辛為外角之丁角乙角

　　　　　　　　　乙甲即中長線　乙甲丙即小

　　　　　　　　　形勾股　乙甲丁即大形勾股

　　　　　　　　　乙丙即虚勾虚股之弦　戊辛

　　　　　　　　　為切線

　　　右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為

　　　割線求度分之法盖割線乃象限中所割各度

　　　之線必與切線相遇以為増減割線割於弧内

　　　切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角

　　　之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起

　　　今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割

　　　線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋

　　　大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止

　　　九十度而自一度至四十四度為平度自四十

　　　五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平

　　　度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四

　　　十四與四十五同表四十三與四十六同表以

　　　至○度○分則與八十九度六十分同表此作

　　　八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相

　　　反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象

　　　限之外在八線無半弧之表可查則用外角之

　　　線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧

　　　度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也

　勾股引䝉卷四