莊氏算學

欽定四庫全書

　莊氏算學卷二

　　　　　　　　　　　淮徐海道莊亨陽撰

　幾何原本舉要

凡角度皆起於圓心而見於圓界圓不論大小俱有三

　　　　　　百六十度之數度有六十分分有六十

　　　　　　秒秒有六十微微有六十纎自此以下

　　　　　　又有不盡之數分之故執有度之圓界

為凡角大小之規也

二平行線若作一斜線交加於上則二横線内外所成

　　　之二角俱為相等

　　　在平行線上作一斜直線即成八角此八角之

庚戊乙甲戊己兩相等角謂之對角甲戊庚庚戊乙兩

角同心謂之並角庚戊乙戊己丁二角相等角一邊謂

内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖錯交謂相對

錯角庚戊乙丁己辛二角之等角一邊謂之外角乙戊

己丁己戊二角之相等角一邊謂之内角八角之中半

鈍半鋭各自相等推之三平行線四平行線皆然也

凡三角形之三角相並必與二直角等而具半周之度

凡三角形自一界線引長成一外角將三角形内所對

二角並之始與一外角等

凡三角有二形兩邊線之度各等二線所合之角俱等

則二形底線之度必等式亦等其下各二角皆等也

若二形三界線之度各相等則三角度亦必等而形内

所函亦等也

若二形一界線之度相等於相等線左右所生之二角

又相等則他線他角俱各等而二形之度俱等也

三角形有二邊等線者其底線之兩角度亦為相等也

蓋作一長線上剖角下剖底成兩直角三角形各相等

也則底線左右所成角必等可知

凡三角形之長界線必對大角最長對最大次長對次

大短者對小者

凡三角形必有二鋭角何也凡三角形將三角並之必

與二直角等故一鈍必兩鋭一直亦兩鋭即三等角亦

皆鋭也

凡自一㸃至一横線作衆線衆線内有一垂線必短於

他線而他線之與垂線相離愈逺者線愈長也

　　　　　　凡三角無論直鋭鈍合並二界線必長

　　　　　　於所餘之一界線所以凡自一㸃又至

一㸃畫㡬線其各線中僅一線直而短餘必曲而長矣

四邊形有五種一四方形邊角俱等也一長方形角等

而兩邊長兩邊短也若四邊等而角兩鈍兩鋭者謂斜

方形又兩邊長兩邊短而角兩鈍兩鋭者謂長斜方形

若四邊不等四角又不等者謂無法形

凡四邊平行線形其角之各兩對角必俱相等

於對角作線分為兩三角形是為對角線必将平行線

四邊形分為兩平分

凡平行線之四邊作兩對角線相交處為平分二線之

正中

凡於四邊形對角線之正中作一斜横線截開則將四

邊形為兩平分

　　　四邊形若於對角線不拘何處交加依兩界作

　　　二平行線即成四四邊形二形為對角線内之

　　　形二形為對角線旁餘之形此兩旁形其積必

等蓋對角線原属平分而等今交加線中所成兩大三

角兩小三角形亦属平分而等於原兩三角内對減兩

大三角兩小三角則所旁餘四邊形其積亦必等

　　　兩平行線内凡同底所成之四邊形其面積俱

　　　等何也如甲乙戊丁丙己兩三角形其甲丁戊

己二線之度俱與乙丙平行線為等故互相等也若於

甲丁戊己二線每加一戊丁線即甲戊丁己兩線俱等

因甲乙丙丁之四邊形為平行線則所各相對之線亦

俱等也再戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一

邊之内外角兩形為等自此兩三角形減去丁戊庚所

存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等於此所存之二形

每加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊己丙乙之相等積

四邊形矣故凡兩平行線内凡同立於一底者則線無

論短長所存之四邊形俱等積也

兩平行線内若同立一底凡所有各種三角形之面積

亦俱等也蓋三角為平行四邊形之一半四邊既等則

三角亦等也底度同亦然

凡衆角形自角至心作線有㡬界即成㡬角形若作六

界即成六三角形矣

　　　　欲知衆邊形角度之數将邊數加倍於得總

　　　　數内減四其所餘之數為直角數即為衆角

度也如七邊形是七個三角形凡三角形併三角等兩

直角則七三角形等十四直角而圓心所有之七角當

四直角矣故将十四直角減四直角餘十直角之度為

衆角之總度也

凡一直線切於圓界雖長過界而不與圓界出入交加

此謂之切線又兩圓之圓界相過相切而不相交加出

入謂之切圓

　　　　　　凡一直線横分圓界謂之弦如戊所分

　　　　　　圓界之一段謂之弧如甲乙丙弦線與

　　　　　　弧線相遇處成兩形如甲乙丙俱為圓

之弧分之角

凡自弦之兩頭作兩線外向圓界相遇此角名為圓分

内角又謂對弧立角

自圓心作二輻線至弧線成三角形謂之分圓面形

凡自與圓界相切輻線之末作垂線必在圓外

凡在圓弦線若自圓心作垂線可以平分弦線垂至圓

　　　　　　界便可平分弧線蓋自甲心作兩半徑

　　　　　　至乙丙二處其線相等則丙乙二角相

　　　　　　等故自甲角至乙丙底線之丁處作垂

線便是平分也

凡自圓外一㸃至圓界兩邊作二切線此二線必相等

蓋自圓心作二輻線與二切線相切則二切線與二輻

　　　　　　　　　線互為垂線而兩線相遇之角

　　　　　　　　　必俱為直角又於兩直角作一

　　　　　　　　　對角線是謂弦線而成丁乙丙

與甲乙丁兩三角形丙乙丙丁係輻線原等則底線兩

合角必等減圓内兩角數則甲乙丁甲丁乙二角乃兩

直角之所餘也二角既等二切線亦必等矣

凡圓有兩弦線若等其分圓弧面之積亦等若自心至

兩弦各作一垂線則二垂線度亦等又自心至兩弦線

之各兩頭作四輻線亦等則所成之兩三角形亦等

　　　　　　　於甲乙輻線末作垂線者切線也甲

　　　　　　　輻線割圓於戊而至丁者割線也戊

　　　　　　　垂線至己者正弦也凡立於乙戊弧

之角者欲求三角之度三邊之數皆於是取也

三角俱抵圓邊者界角也一角居心二角抵邊者心角也

心角交與界角有三種其圓心所生界角或在二直線

　　　　　　之一線者或在二直線之外者或在二

　　　　　　直線之間者此三種心角皆大於界角

　　　　　　一倍如第一圖心角在丁乙直線之内

　　　　　　則心角為甲丙丁鈍角形之外角外角

　　　　　　則兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙

　　　　　　甲為一圓之輻線相等則所合丁甲二

　　　　　　角亦必相等外角既兼有二角之度則

　　　　　　比丁角為大一倍可知矣第二圖心角

　　　　　　在丁乙直線之外則自丁過内心至戊

　　　　　　作一直線成甲丙戊一大心角甲丁戊

　　　　　　一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一

小界角凖前論大心角倍於大界角小心角亦倍於小

界角今於大心角減去小心角大界角減去小界角則

所減之心角倍於所減之界角而所存之原心角亦倍

於所存之原界角也第三圖心角在丁乙丁甲直線之

間自丁界過丙心至對界作一直線亦如第一圖論将

心角剖為二界角亦剖為二則分為兩心角各倍於兩

界角仍合為一心角則倍於一界角也

自圓之弧線凡一叚任與圓界何處其尖相切所成之

　　　　　　界角有㡬何其度俱為等也蓋同立一

　　　　　　弧者心角皆大於界角一倍如上節所

　　　　　　云則同弧之界角不論何處皆小於心

角一倍也因其俱為心角之半則不拘何處作界角皆

相等也

圓内有一心角一界角若心角所對弧度得界角所對

弧度之一半此兩角度必相等也盖同弧之心角大於

界角一倍今於心角弧度去一半則兩角必相等也

凡圓之界角若立於圓界之半必為直角蓋心角所對

弧線若是界角所對弧線之一半則二角之度必等今

界角對弧為半周将半周弧剖作二心角則二角皆為

直角既為直角則界角對弧乃兼兩心角對弧者安得

不為直角乎

凡圓之界角若在半圓分之小分内必為鈍角也如圖

甲乙丙為小半圓則所餘甲丁丙為大半圓若将甲丁

　　　　　　丙弧線於丁處平分又自圓心作戊丁

　　　　　　戊甲兩線丁甲弧大於圓周四分之一

　　　　　　為鈍角也又心角對弧若為界角對弧

之一半則二角度為相等今甲丁正得甲丁丙之半則

戊為鈍角乙亦為鈍角也

凡圓之界角若在半圓分之大分内必為鋭角也如圖

　　　　　　甲乙丙為大半圓所餘甲戊丙為小半

　　　　　　圓若将甲丙為弧線兩分於戊又自丁

　　　　　　作丁甲丁戊兩線成甲丁戊心角形此

心角形所對既不足圓界四分之一則為鋭角也既為

鋭角則甲乙丙角必為鋭角可知矣

函圓形者有函圓切三角形函圓切四方形有函圓切

多邊形圓内切形者有圓内切三角形圓内切四方形

圓内切多邊形函圓衆界形之度大於函於圓之界其

函衆界形之圓界度亦大於所函之衆界形在外者大

在内者小也故函形界必大於函於形界也

有一函圓衆界形又一直角三角形此三角形一直角

所生二直線内一直線度若與所函圓之輻線度等又

一直線度與函圓衆界形之各界共度等則三角形面

積與衆界形面積俱等也如自幾邊形之心至角作幾

線分為幾三角求三角之中長線即輻線也底等髙等

所作三角形俱等即所云二平行線内同底所作三角

形俱等也合衆三角形之底為一大三角形之底其面

積當無不等也

一圓所函之衆界形一直角三角形此三角形之一直

角所生二直線内一直線度與彼圓自心至衆界形界

所作垂線度若等再一直線度與彼衆界形之共界度

若等則兩形之面積俱等也

有一圓形有一勾股形若股如半徑勾若全周則兩形

之面積必等也蓋比前函圓之衆界形則為小比前函

於圓之衆界形則為大就中間取之恰合無疑也夫函

於圓之衆界形輻線及界而不及弧是比圓為小也函

圓之衆界形輻線雖及弧而衆界度共線又長是比圓

為大也今以圓周及輻線取直角三角形而合之相等

無疑則可得圓之面積也盖圓線式異於直線式難於

符合然苟將圓線作萬萬段亦與直線近也

衆界形或函圓或函於圓其界數愈多愈與圓界度相

近如自函三邊而為六邊六邊而為十二邊十二邊而

為廿四邊無論内外愈近圓界度數也試設一函於圓

九十六邊形又設一函圓九十六邊形而作一圓若将

函圓形作一千五百六十二分又將他形照此所分之

度分之則函於圓形僅得一千五百六十一分矣而圓

界度大於所函之衆界小於函圓之衆界必得一千五

百六十一分餘其圓界中心徑線必得四百九十七分

若即小數算之將圓界作二十二分則中心徑線必得

七分餘故在圓界可得直線之度在直線亦可得圓界

之度也

有一圓形又一衆界形此圓界度若與彼衆界度等則

圓形之面積必大于衆界形之面積也試凖前半徑作

股界度作勾之法求之則方周圓周之界度雖同而圓

之垂線長方之垂線短則方所成之三角不及圓所成

之三角而所函之面積方亦不及圓矣

凡平面上所立之線若無偏斜猶平階立直柱其各邊

所生之角若俱直是謂平面上之垂線

相對兩平面之角各垂線度若俱等此相對二平面謂

之平行面

平面上所立之平面若無偏斜猶平地上作直壁是謂

平面上之直平面

自三面四面以上其各瓣相並所存之角謂之厚角

　　　　　　成厚角之平面各角度不足於四直角

　　　　　　度也何也試将五面厚角尖使其平伸

　　　　　　共為一平面則五瓣各相離而有空處

不能成圓面故不足四直角也若欲將四直角顯尖作

厚角其瓣大而不能成平面厚角矣

平面三稜厚角其三面内若将兩面角並之必大於所

餘之一角度也試將三平面使之平伸而兩角相並一

角孤行則可見矣

凡平面上二直線相交處作一垂線莫偏斜則此線於

平面上在在俱為垂線也蓋若有偏則自平面上視之

或成鈍角或成鋭角既無偏斜則為直角既為直角則

移向平面上處處俱為垂線矣

衆線相交處立一垂線其角若俱直此所交之各線必

在平面一也

平面上作二垂線正直立之此二線必互為平行也蓋

於平面上作一直線而正直作二垂線則所交直線之

角皆為直角所謂二直線一邊成内外之二角也

凡平行二線之間任意自此一線至彼一線隨處作直

線斜線交線三角形線俱同原平行線在平面上

二線與他一線平行雖在别面此二線亦互相為平行

也

相對二平面間若横一線正垂在二平面上俱生直角

此相對二面互相為平行面也蓋於二平面上各作對

角斜線兩相交處為兩平面之中而垂線正當兩線相

交之處而俱成直角則兩平面上之兩對角四邊俱係

平行則兩平面亦必為平行者也

二平行而上凡相當之各二線俱為平行也

二平行面横穿一平面而皆成直角則中間縫線亦必

平行也如以木版穿木版之狀

各種面内積之處謂體依面之端名之也設如全身無

角只有一圓面此謂圓體全身各面俱平而有角此謂

平體立方是也其身有曲平兩相襍謂之襍體如半截

橄㰖是也全身相對之各二面俱平行此謂平行面體

長立方長斜立方是也全身相對之面不平行而獨兩

底面平行此謂底平行面體三角柱是也周圍圓形而

底與面平謂長圓體圓柱是也一平面底而立幾平面

俱合於一角而成大此總謂尖瓣體也底三角者為三

瓣尖體底四角者謂四瓣尖體底衆角者謂衆瓣尖體

若在平面上立圓面而成鋭尖此謂尖圓體也

所云圓體長圓體尖圓體此三種面俱生於一動之間

　　　　　耳以甲乙為樞心將甲乙丙作轉式旋轉

　　　　　一周即成為圓體也於甲乙丙丁平面形

　　　　　以甲乙為樞心以丙丁線界作轉式旋轉

　　　　　一周即為長圓體也於甲乙丙三角形以

　　　　　甲乙為樞心以丙界作轉式旋轉一周即

　　　　　尖圓體也樞心正則為正體樞心偏則偏

　　　　　體矣

凡體若面平行相當所對兩邊面積俱為等也如正方

體六面相當則六面面積俱等如長方體各底面相當

則底面之面積俱等也

凡體苟面積形式一同俱等謂全等體形不等而積等

謂等積體積不等而式等謂等式體

平行面三凡體形自對角線分為兩段此兩段為全等

體也

平行平面之間若同在一底立各平行體形其積俱為

等如面例

平行平面之間有在等積底所立之各平行體形其積

必俱等蓋所立之處不同而其度同也故等也

平行平面之間有在等積三角形兩底所立各三面體

形此所立各體之積必俱等也理如前節

平行平面之間同在一底作一平行體形作一三面體

形則三面體形必為平行體形之一半

各種體形難以發明必作圖以明然有空實二端空者

宗其空實者宗其實乃可耳

凡等式體苟立於等積之底其體之髙若等則其積俱

為等凡尖圓尖瓣皆然也蓋將大體截分為衆小體其

小體底度亦等也

有各種平行底之平面體與各種平面尖體兩底積若

等其髙數又等則此一平行底之平面體與彼平面尖

體三形之積等推之平行面體與四瓣尖體三形之積

等平行底之圓面體與圓面尖體三形之積等蓋三面

尖體為三平面平行底平面體三分之一四面尖體為

平行面體三分之一尖圓體為圓柱體三分之一也若

将實形作空形以水注之作比例可見

凡相等界度之體内其圓體所函之積數强於他種體

所函之積也如一圓一方一十二瓣體論積皆不及圓

蓋如論面函於圓界之積大於各等邊平形所函之積

也六面俱為等面八角俱為直角是謂正方體

厚角正體有五種觀於各面數而名之也一為四瓣面

之體此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是

謂四瓣體二為六瓣面之體即正方體也三為八瓣面

之體共八面面各三角各三界度若俱等是為八瓣面

體四為十二瓣面之體此每面有五角各五界度若俱

等是謂十二瓣體五為二十瓣面之體此每面有三角

每面各三角各三界度若俱等是謂二十瓣體此正體

五種外不生他形總不外三角四角五角之平面合而

成也蓋将三角平面形三瓣形合成一厚角餘一面求

角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣

體是也将三角平面四形合之復加四形八瓣體是也

将三角平面五形合之復加十五形二十瓣體是也然

欲以三角六形合之不能成厚角矣蓋六三角平面形

界於界角於角而對合之成六角之平面形能為平尖

不能顯也是故三角形所生只於四瓣八瓣二十瓣自

此而外無有也四角所成只於正方角此外無有也将

五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣體是也

此外不能成他角也至六角平面形則将三角相合已

等於四直角能為平而已不成厚角也六角如此七八

以上可知矣

凡比例面比面體比體線比線不同者不相謀也

凡将兩物度數互相比之此比出之度數為大為小謂

之比例其比者與所比於物者俱謂率齊數之謂也其

比之物謂前率其所比於之物謂後率也如甲乙二線

相比此所比出之甲線或為長或為多乙線或為短或

為少謂之比例也将此二線相比故謂之二率而所比

之甲線謂之前率其比於之乙線謂之後率矣

凡兩兩相比謂之四率如一率與二率之比同於三率

與四率之比此為同理比例也如一率甲二率乙三率

丙四率丁乙線為甲線六分之五丁線為丙線六分之

五則甲乙二線之比同於丙丁二線之比是謂同理比

例苟求得乙線有甲幾倍之數則可知丁線有丙幾倍

之數也

又凡四率将一率與三率分作幾分将分數相等定凖

此兩率分度雖不同而分數為等於是以二從一以四

從三㸔幾分為均其一與二之比即如三與四之比為

同理比例也

有兩不同之比例如二率四率之分數相等而一率於

二率為四之六三率於四率為四之五則不同矣而可

相比例謂一與二之比大於三與四之比也前比例之

數多再比例之數少也故又謂之兩不相同之比例也

有相連比例率如甲線一(一/率)乙線二(二三/率同)丙線四(四/率)甲

與乙之比同於乙與丁之比是謂相連比例倣此於相

連比例之内将一率甲與三率丙比者謂隔一位加一

倍之比例也将甲與丁比者謂隔二位加二倍之比例

也将甲與戊比者謂隔三位加三倍之比例也比例難

於講觧試作圓以明之於大圓内作小圓於圓之中心

作二線割小圓弧抵大圓弧則成大圓己甲庚小圓辛

甲壬之甲角此甲角之對弧己庚苟為大圓之六十度

　　　　　　則亦為辛壬小圓之六十度蓋圓之大

　　　　　　小雖不同而分數為等故以大圓周為

　　　　　　一率庚己弧為二率小圓周為三率壬

辛弧為四率一與二之比同於三與四之比也兩圓周

為比之之率為前率兩弧為比於之率為後率兩兩相

當分數俱等是為順理比例也倣此凡各率各度雖異

相當之數若等一二之比同於三四之比俱為順理比

例又有幾種論如左一種反比例反一為二反三為四

仍相等也如前大圓周為一率大弧界為二率小圓周

為三率小弧界為四率今以大弧界為一率大圓周為

二率小弧界為三率小圓周為四率比例亦同也

一種轉理比例謂一與三比二與四比也以大圓周為

一率小圓周為二率大弧界為三率小弧界為四率其

比例亦無不同也

一種分理比例謂於一率三率中各減與二率四率相

等之一分以比二率四率仍為相當比例也如二率四率

原於一率三率為六之一今各減一率三率之一分則

又為五之一比例亦然也

一種合理比例謂合原一率二率之數以比二率合原

三率四率之數以比四率原各為六之一今又各為七

之一也

一種更理比例謂換却二率四率之原數各更以他數

如原各為六之一今又各為六之五也

一種隔位比例如有兩項四率原為相當比例則以此

四率中之一率與四率為比又以彼四率中之一率與

四率為比合為一四率仍為相當比例率也

一種錯綜比例如此邊有相連比例三率彼邊亦有相

連比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟錯

綜之則取此中末之比例彼另設一線置於彼第一線

之比又取此上末之比例彼另設一線與彼中線之比

蓋彼雖另設一線仍是相連比例線此相連之比同於

彼相連之比此隔位之比亦同於彼隔位之比也

一種相減比例如甲丙乙丁二線所有之三倍内減去

丙戊丁己二倍互相之比同於原甲丙乙丁二線之比

　　　　　　也

一種相加比例如甲乙二線照本度各加三倍為丙丁

　　　　　　線互相之比同於原甲乙二線之比也

得此比例線之法則面之相當者為比例面體之相當

者為比例體也且線亦可以例面面亦可以例體也如

甲六分線與乙三分線相比丙六分面與丁三分面相

比戊六分體與巳三分體相比每每相當分數相等則

互相為比例也

以二數相乗所得兩數為均若以二線均為幾度每各

線度作小方形以此線小方乗彼線小方即成兩直角

四界形蓋以一線為横一線為縱彼此互乗形亦均也

又一線分為三度作小方形一線分為四度有竒作小

方形一線横一線縱乗成函十二長方形而竒數亦附

於方末也

又将前線所作方形取其半相乗亦得四方形也蓋取

三方之半而為六小方取四方之半而為八小方八六

四十八六八亦四十八便成兩函四十八之長方形而

其總度仍相等也蓋兼取其半而無改於原度故也

四方直角平面形凡在一線可以相乗也如甲乙形欲

　　　　　　　　　　　　　　乗丙丁線則將此

　　　　　　　　　　　　　　形作四小方體又

　　　　　　　　　　　　　　将丙丁依甲乙所

分之厚分比之若得三分則将甲乙形三層垜之遂成

函十二小方形之直角體也凡六面平行直角體必得

壘一四邊直角平面與一直線相乗而成也

凡兩直角平面形欲相比例有兩比例焉如大形之長

度與小形之長度幾倍為均大形之寛度與小形之寛

度幾倍為均是也然合(闕/)比兩比例仍是一比例如甲

　　　方之長與乙方之長三倍為均甲方之寛與乙

　　　　　方之寛兩倍為均二三相乗為六則甲方

　　　　　之形與乙方之形之比例為六倍為均也

　　　若長四倍為均寛三倍為均三四一十二則大

形與小形之比例為十二倍為均也再若大形之横度

比小形十二為均小形之直度比大横直度三倍為均

則以三除十二得四大形比小形四倍為均也若四倍

則以四除十二得三倍為均皆成一比例也

有兩直角形若此形之長倍於彼形之長而彼形之寛

反倍於此形之寛則此兩形之積為等也或一倍或三

四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率

相乗所得數必同於一率四率相乗所得數也如一率

二二率四三率三四率六以中率三四相乘為十二首

尾率二六相乗亦一十二也試将三度四度之線相乗

作長方形又将二度四度線相乗作長方形形雖不同

而積等也故一二三率已知者也所求四率未知者也

既求得四率則以一率與四率相乗所得數與二率三

率相乗所得數無以異也如東河之水流速三倍西河

之水流速六倍東河之流一秒十缸欲知西河之流一

秒幾何缸則以東河之三倍為一率西河之六倍為一

率東河之十缸為三率求得西河之流二十缸試相乗

之數為等也又如三個兵每月餉六兩今已五月應餉

幾何則以三兵為一率六兩為二率五月為三率求得

餉銀一十兩試相乗之數又等也

有兩個直角面苟此面之横界與他面之横界此面之

縱界與他面之縱界比例若等則此兩面相比之比例

即為兩界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相

　　連比例一條所云也蓋兩界之比例第為一倍之

　　比例而兩面之比例為加一倍之比例也如甲之

　　横界大于乙一倍而為二縱界亦大於乙一倍而

為二則甲之面大於乙之面三倍而為四為二倍為均

者二若甲之横界縱界各大於乙五倍則甲之面内與

乙之面内六倍為均者有六矣

丙乙之邊線為相連比例丙乙之面於相連比例中為

　　　隔一位加一倍比例今設一甲線為一分乙線

　　　為二分丙線為四分為相連比例則丙面與乙

　　　面之比同於丙線與甲線之比蓋丙面大於乙

　　　面三倍丙線長於甲線三倍共為隔一位加一

倍之比例也

前數節所論直角面之縱横界比例等者謂之同直角

面其兩相比例之横界俱謂之相當界也

在相同直角面縱横兩相當界之比例必等也

在相同直角面於兩面相當之一界作為兩方面則所

作兩方面互相之比即同於原面互相之比亦為隔一

位加一倍之比例也

直角體則有三比例長也寛也厚也如大形之長寛厚

各大於小形之長寛厚一倍則先成長寛倍之平面形

於平面形上又叠一相等之平面形則亦倍厚矣倍而

成平面則二倍為均者有二倍而成體則四倍為均者

有二矣

有直角兩體苟此一體之底與他一體之底為大一倍

而他一體之厚與此一體之厚亦大一倍則此二體之

積等蓋即一體之豎起與放倒也

有兩直角體苟此體之長寛厚界與彼體之長寛厚界

相比之比例若俱同謂之同式體而長寛厚各一邊相

比例之界俱謂相當界也

凡兩直角同式體互相比之比例為界比例之隔二位

加二倍之比例也如大體之長寛厚比小體各大一倍

則此兩體相比之比為隔二位相加之比例也蓋界線

為相連之比例者倍而為平面為隔一位相加之比例

又倍而為體則為隔二位相加之比例也苟作一相連

比線之率甲為一分乙為二分丙為四分丁為八分又

作一直角體與三界各加一倍之直角體則小體與大

體之比同於一率甲線與四率丁線之比若知甲線比

丁線為八分之一即可知大體比小體為八分之一也

有直角同式兩體在此兩體比例相當之二界立作兩

四方體互相以比之其比例仍同於原體之比也蓋原

體為隔一位加一倍之比例則於兩相當界所作體亦

為隔一位加一倍之比例均是八分之一也

凡二平行線内凡有直角面互相之比同於與此兩底

　　　　互相之比也如甲己面之丙己底界與戊丁

　　　　面之己丁底界若大三倍則甲己面與戊丁

　　　　面亦大三倍也試将戊己相兼之縱界依此

界分與丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面

四分總為大三倍也

凡二平行線内所有凡平行四邊面互相之比同於其

　　兩底界互相之比也蓋同底所立之直面斜面積

　　俱同則直面斜面之比例俱等故底若大三倍則

面亦大三倍也

凡在二平行線之間若有兩三角形以兩形積互相之

比必同於兩底界互相之比也蓋同底所作之三角形

為四邊形之一半四邊形之比例等則三角形之比例

亦等故三角底若大一倍則三角形積亦大一倍底若

大三倍則積亦大三倍也

凡三角幾形之底俱在於一直線又與各底相對之衆

角皆聚於一處則其三角衆形必在二平行線之間也

觀圖可見

　　凡三角形作與底線平行之線不拘何處截斷則

　　兩旁之線皆成四比例線如圖甲丁與丁乙之比

　　　同於甲戊與戊丙之比是二段互相比之比例

　　　同也又甲丁一段與甲乙全線之比同於甲戊

一段與甲戊全線之比是分線之比例同也故曰四相

比例也蓋自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二線分為

幾三角形此内之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在二平

行線之間又同立於丁戊之底則其積等也又各増入

甲戊丁三角形其積亦等也又甲丁戊丙丁戊兩三角

形其底線同在甲丙一直線而兩角又相遇於丁即如

前所云二平行線之間有兩三角形則兩形積互相之

比必同於兩形底界互相之比則甲丁戊形積比丙戊

丁形亦同於底線甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙

丁戊兩形積之比亦同於甲丁丁乙兩底線之比也再

甲乙戊甲丁丙兩形之積既等則甲丁戊形積與乙丁

戊形積之比同於甲丁段與乙丁段之比而又同於甲

戊段與丙戊段之比是以甲丁段與乙丁段之比必同

於甲戊段與丙戊段之比也故以甲丁為一率丁乙為

二率甲戊為三率可以求戊丙之四率也誠如是以甲

乙丙全形之三角或與所分甲乙戊三角或與所分甲

丙丁三角之比例俱為同也因其比例同而此三角全

形所分兩形之積既為等則甲丙丁所分形之甲丁底

與甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形

之甲戊底與甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱為同

也則甲丁段之一分為一率甲乙全線三分為二率甲

戊段一分為三率甲丙全線四分為四率亦為相比例

率也

凡在三角形内不論何處作與底平行直線則以所作

　　　　　平行線與原底線之比同於兩邊所截一

　　　　　段與各每邊全線之比也

如圖所截若甲丁段二分甲乙線六分則丁戊線亦為

　　　　二分乙丙線亦為六分可知也何也試将甲

　　　　乙丙三角形轉以乙甲線為底於戊丁線之

戊處至己處作與甲乙平行線則己乙之度即戊丁之

度準前節全線與截段相比之例則戊丁平行線與原

為底乙丙全線之比必同於甲戊與甲丙全線甲丁與

甲乙全線之比也故以甲戊為一率甲丙為二率戊丁

為三率乙丙為四率為四相比例以甲丁為一率甲乙

為二率戊丁為三率乙丙為四率亦四相比例率也

大小三角形每每相當角若等則其積雖異而其形為

　　　　　同謂同式三角形也再有一三角形自此

　　　　　形分之出一庚子癸三角形又出一子丑

壬三角形此所分出兩形與原形每每相當角俱等亦

謂同式形也

三角衆形内相當各二角度若等則餘一角度必等亦

謂同式三角形也蓋三角相合必與二直角等足半周

之度也

有衆大小三角形若同式将衆形相當界互相比之比

例為同俱為相比例率也如二勾股同式形則此股與

相當股之比必同於勾與勾之比股與股之比也試将

勾股如前截一小勾股可騐矣

同式直角兩形互相之比同於在此各一面相當界所

作方形相比之比例蓋三角積得方形之半全與全之

比若半與半之比也

同式直角兩形互相之比即是各一面相當界相比之

比例為加一倍之比例也如甲線一分乙線二分丙線

四分為相連比例線今兩形之三邊線若各大一倍則

亦如直角四邊形積為大三倍矣大三倍則非相連比

例線而為甲線一分與丙線四分隔一位加一倍之比

例也

同式鈍角鋭角互相之比亦同於此各一面相當界所

作方形互相比之比例而為在此各一邊相當界互相

比之比例隔一位加一倍之比例也理如前節

有多邊衆形其邊數同而相當角度等謂同式多邊形

則大形甲邊之比與小形甲邊之比同於乙邊與乙邊

之比也

有衆曲界形在曲界形之或内或外作相函之各種直

　　　　　　　　　　　　　　　　　　界形其

　　　　　　　　　　　　　　　　　　式若等

　　　　　　　　　　　　　　　　　　亦謂同

式曲界形也兩襍界形二圓分形亦於兩中間各作三

角形若同式即謂之同式襍界同式圓分也

大小各圓分之式若同其分限雖殊而分數必等與其

分相對所成之心角必俱等也

将同式大小多邊兩形内為三角以分此所分相當大

小三角形之式俱同也如兩五邊形各分為三三角形

　　　　　　　　　則甲乙丙與己庚辛相當為同

　　　　　　　　　式甲丙丁與己辛壬相當為同

式己壬癸與甲丁戊相當為同式蓋兩形相當角度等

則相當界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相當之

比同於甲丙己辛相當二界相比之比例由是甲丙己

辛之比同於丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦猶甲

丁己壬之比而甲丁己壬之比亦猶丁戊壬癸之比故

曰相同式也

　　　凡同式多邊大小衆形互相之比同於在此相

　　　當界所作四方形互相比之比例而與此各一

面相當界互相比之比例為加一倍之比例也理如前

　　　　　　　　凡大小同式直界形互相之比同

　　　　　　　　於在其形内外相函之同式形各

　　　　　　　　相當界立作平面方形互相比之

比例如圖甲乙丙庚辛壬相當三角各二形之比同於

在甲丙庚壬所作方形相比之比例也蓋大形所函者

甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故於甲丙

庚壬相當二界立作方形而得比例也

凡圓曲襍各種界形之内将每每一類同式形互相之

　　　　　　　　　　　比同於在所比形之内外

　　　　　　　　　　　相函同式形之每每相當

　　　　　　　　　　　所作方形相比之比例也如

　　　　　　圖大小二圓形内雖函六面同式多邊

兩形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四邊同式兩形函甲

丙丁庚壬癸三角同式兩形而但取所函四邊形甲丙

壬庚相當界所作之方形便得圓形比例也蓋衆界之

界愈多則於圓界愈近故将直角形分為千萬界形在

圓界可以近用之而圓曲形亦既可以為千萬直界形

以用之故将此二圓為同式直界互相之比同於在所

函同式形之相當二界所作方形相比之比例也然則

二圓互相之比同於或在輻線或在徑線所作方形相

比之比例可知矣

凡大小平面體之相當角度若俱等相當界互相比而

比例若同是謂同式體正方體四瓣面體皆然若圓柱

體則論其中所函尖瓣等體若同式則謂之同式圓體

各種體之式若同将每每一類體互相之比同於在每

每相當界作四方體相比之比例如於兩同式尖瓣體

之相當作四方體是也

同式各種體内将每每一類體互相比者同於在此内

外各所函者函於者同式體之每每相當界作方體互

相比之比例也如兩球體函於兩方體以小球則大球

則以小方為一率小球為二率大方為三率可以得大

球之四率也

　　　自直角三角形之直角至相對界作一垂線分

　　　為兩直角形則此大小三三角形俱為同式也

　　　盖中垂兩傍所成俱為直角而乙角又不變兩

角相等則一角亦等而丁變為甲甲變為丁矣丙角亦

　　　不變而與乙甲丁同為同式三三角形也

　　　自直角三角形之直角至於對界作一垂線截

　　　相對界為兩段則所截之兩段長者為一率短

者為三率而垂線為中率為相連比例三率也如甲乙

丙甲丁乙兩角俱為同式則比例必同以乙丁比甲丁

同於甲丁比丁丙也

　　　自直角作垂線至於對界在此垂線作四方形

　　　又将所分對界兩段一段為長一段為髙合作

　　　長方形兩積俱等也盖三線既為相連比例線

凡相連比例三線其中線自乗之積同於一線三線相

乗之積故也

凡直角三角形是謂勾股勾股上兩方合之與弦上方

　　　　　等積何也如圖以甲乙丙全形分為甲乙

　　　　　庚甲庚丙大小兩形是為同式形而每每

相當界互相比之比例同也於是以小形庚丙與全形

　　　甲丙之比同於全形甲丙與全形乙丙之比為

　　　相連比例率也則在甲丙中率所作四方形必

　　　同於一率庚丙為髙與三率乙丙為長相乗所

作長方形之積等也又大形乙庚與全形甲乙之比同

於全形甲乙與全形乙丙之比亦為相連比例率而在

甲乙中率所作方形同於一三合率所作方形之積等

也今庚丁乙壬所分之兩形與己丙戊乙兩方形每等

則将所分兩形相合則乙丁方形自然與己丙戊乙兩

方形等可知矣

在勾股弦三界作凡同式三形弦上積兼有勾股之積

也

在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圓在二小界

作甲庚乙兩半圓亦如前節為等也而甲庚乙半圓之

　　　　　甲戊乙弧一段甲己丙半圓之甲丁丙弧

　　　　　一段若減之則所餘甲庚乙戊甲己丙丁

　　　　　二段又與甲乙丙原三角形之積等也

一圓之内二弦線不拘何處相交以相交所截之段互

相轉比之比例俱同為四相比例率也如圖二線於己

處相交以此戊己段與己丙段相比之比例将己丁己

　　　　　　乙相比之位轉之為己乙己丁雖以後

　　　　　　為前以前為後比之其比例仍同而戊

　　　　　　己己丙己乙己丁四段為相比例率也

蓋乙戊己丁己丙兩形此兩形之乙角丁角既俱切於

圓界而又同立於戊丙之弧則此二角為等而二角之

己角為對尖之角其角亦為等二形之三角俱等即為

同式也同式則戊己己丙相當二線互相之比即同於

己乙己丁相當二線互相比之比例又戊己己丙己乙

己丁四段俱為相比例率也

於圓徑線不拘何處作一垂線將徑線截為兩段則所

截之兩段為一率三率而垂線為中率成相連比例也

即勾股垂線之理

　　　　　　　　自圓外之凡一㸃出二線過圓界

　　　　　　　　之二處至相對弧界則此兩全線

　　　　　　　　互相之比同於在圓界外所有之

二段轉位以比之比例而為四相比例率也如圓自丙

至丁自戊至乙相交作二線成甲丙丁甲乙戊兩三角

形則兩形之丙戊二角既同切於圓界同立於乙丁之

弧則丙戊等角也再甲角既係公共則亦等角也二角

既等則同式矣同式則甲丙甲戊相當二界互相之比

同於甲丁甲乙相當二界相比之比例以甲丙為一率

甲戊為二率轉位甲丁為三率轉位甲乙為四率俱為

相比例率也

将函於圓之三角形於甲角作平分角之甲戊直線則

甲乙傍線與甲丁段直線之比即同於甲戊全直線與

　　　　　　甲丙傍線之比也蓋甲乙戊甲丁丙形

　　　　　　之丙戊二角同弧同切其度為等而甲

　　　　　　乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角

而平分為兩角其度亦必等是為同式形也則以兩形

之相當甲乙小界與甲丁小界之比同於又相當甲戊

大界與甲丙大界之比也

將函於圓三角形之甲角為兩平分自甲角至底線作

甲丁直線分底線為兩段以乙丁與丁丙之比同於甲

　　　　　　乙傍線與甲丙傍線之比也蓋自丁處

　　　　　　作甲乙平行之丁戊線成戊丁丙小三

　　　　　　角形則全形之乙角與小形之丁角為

平行線一邊之内外角為等而丙角係公共角亦為等

為同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角為平行

線間之尖錯交角度為等而甲丁戊甲乙丁之甲角原

係平分亦為等是甲丁戊角之丁角甲角等可知兩角

既等則兩等角所對甲戊丁戊線亦必等也是故全形

甲乙線與甲丙線之比同於相當丁戊線與戊丙之比

而甲戊線與丁戊線等則甲乙比甲丙亦若甲戊比戊

丙也又丙乙丙甲二線既為丁戊平行線所截則乙丁

比丁丙若甲戊比甲丙也

　　　　　　　凡球體在長圓内苟此球徑線與長

　　　　　　　圓體之底徑髙度若俱等則此球積

　　　　　　　為長圓體三分之二也何則將球體

合長圓體於乙丁平分之又將半長圓體内減去半球

體餘乙己庚丁申丙癸凹面體為與己庚壬尖圓體等

積等也何以知之将尖圓凹面二體俱與己庚底平行分

為幾段之面則兩體之面積每段各相等也試将尖圓

體分癸夘申一段之面積必與分曲凹形午癸申戌一

　　　　　段周圍之面積等矣何也以壬癸半徑作

　　　　　正方與壬子子癸兩線作兩正方並之為

等也又以壬癸半徑線作一圓與以壬子子癸為兩半

徑線作兩圓並之為等也再壬乙與壬癸俱是一圓之

　　　　　　　　半徑線必等而壬乙與夘午俱為

　　　　　　　　一長方之平行線亦必等則卯午

　　　　　　　　與壬癸亦必等也是則以壬子子

癸為兩半徑作兩圓亦必等於卯午半徑線所作一圓

也今將夘午所作圓内減去與壬子線相等之癸卯線

所作之圓即餘癸午曲凹形一段周圍之面與癸子為

半徑線所作圓面等也夫卯癸線與癸子線既為等線

而卯癸與癸子為半徑作兩圓亦必等則癸午曲凹形

　　　　　　之面積必與卯癸為半徑作圓之面積

　　　　　　等矣再将壬未半徑作一圓以壬辰辰

　　　　　　未為兩半徑作兩圓等亦如前所云以

辰未為半徑作一圓與壬未相等辰已線為半徑作一

圓之面積内減去辰未作圓之面積所餘未巳曲凹形

一段周圍之面積與壬辰為半徑作圓之面積等而壬

辰與辰寅既為正方之等線則以尖體内之辰寅為半

徑作圓之面積與相對未巳曲凹形之面積等也夫兩

體每段所分既俱相等則全體亦必相等矣前云一尖

圓體與一長圓體其底積髙數若等則尖圓體與長圓

體為三分之一也所餘曲凹形既與尖圓等積則亦三

分之一而所減半球為半長圓體三分之二而全球為

全長圓體三分之二矣

有一尖圓體又一半球體苟尖圓體底徑與半球體徑

度等而尖圓體髙度與半球體半徑又等則此尖圓體

為半球體積之一半也盖尖圓為長圓三分之一而半

球為長圓體三分之二則尖圓為半球之半也又球體

徑度與尖圓體底徑度若等而球體半徑與尖圓體髙

又等則此一球體之積當四尖圓體之積也蓋將尖圓

加一倍則與半球等合四尖圓則與全球等也有一球

體又一尖圓體苟尖圓體底面積與球體外面總積若

等而尖圓髙度與球體半徑又等則此兩體之積為等

也何也将球體從外面至心分為千萬尖體此所分千

萬尖體之底積必與原球外面之總積等亦即與尖圓

體之底面積等也又原尖圓體之髙與所分千萬尖體

之髙旣等則一尖圓體之積與所分千萬尖體總積等

也如是其所分千萬尖體之總積既與原球之積等則

此尖圓體之積必與此球體之積等可知矣

凡有一球體苟以此球體之半徑作一圓則所作圓之

面積於此球體外面積為四分之一也如前節之言既

為相等又作一小尖圓體其底徑與原球徑等其髙與

原球體半徑等則於原球為四分之一而於前大尖圓

體亦為四分之一也此大小兩尖圓體之髙度既等其

兩底面積之比同於兩體積之比例體積為四分之一

底面積亦為四分之一而於球體外面之積亦為四分

之一也因其為四分之一而小尖圓體之半徑原與球

體半徑等則以此球體半徑作圓之面積亦與球體外

面積為四分之一可知矣

有一球體又一圓形苟此圓形之半徑與球體徑度若

等則此一圓形之面積為與一球體外面積等也蓋以

球之半徑作圓之半徑則其面積為球四分之一若以

球之全徑為圓之半徑則半徑所作之圓視全徑所作

之圓面積又為四分之一矣何則凡圓互相之比同於

相當界所作方形互相比之比例又為每相當界互相

比之比例為加一倍之比例也兹兩半徑之比為大一

倍而兩圓面之比又加一倍即是半徑作圓為一分全

徑作圓為四分既為四分則此圓面積與球體外面等

積可知矣有長圓體又一長方體苟此長方體底面積

與長圓體周圍面積若等又此長方體髙度與長圓體

　　　　　半徑之半又等則此長方體之積為與一

　　　　　長圓體之積等也何也将長圓體從壬癸

心線至外面分為千萬長體則此所分千萬長體之共

　　　　積為子己長方體積之一半也蓋子庚髙度

　　　　與所分千萬長體之壬丁髙度相等又長方

　　　　體之庚己底面積與所分千萬長體之底共

面積及長圓體甲丙周圍面積等如前所云所分千萬

長體之共積與子己長方體為一半亦如以子庚髙度

分一半為戊庚而戊己長體即與所分千萬長體相等

矣如是則戊己長方體積與甲丙長圓體等積可知也

有一球體一長圓體苟此長圓體之底徑度髙度與球

體徑度若等則此球體外面之積為與長圓體周圍之

面積等也

蓋將球體半徑乙壬分為六分用半徑之半三分與戊

　　　　　　　己庚辛長圓體之面積相乗得數照

　　　　　　　前節所云為長圓體之積也又用所

　　　　　　　分六分之二為乙壬半徑三分之一

與球體外面積相乗得數為球體之積也夫球體比長

圓體積為三分之二矣然用三與長圓體周圍之面積

相乗者為得長圓體積用二與球體外面積相乗者為

得球體積今以球體與長圓體相比之比例同於為乗

面積用三二兩數之比例如是則球體外面之積與長

圓體周圍之積等可知也

　　　　　　有一平面鴨卵形其大徑度與圓徑若

　　　　　　等則鴨卵形之平面積與圓面積之比

　　　　　　同於以鴨卵形之小徑與大徑相比之

比例也何也将與戊己徑線平行任分幾線此每線假

如庚辛與壬癸之比同於戊己與乙丁之比而為作鴨

卵形之定理也今每平行線俱依此之比例即平行鴨

蛋形之積與圓形之積相比同於乙丁小徑與戊己大

徑之比例也

長方面内有平面鴨卵形正方面内有圓形苟長方之

寛與鴨蛋形小徑度等長與大徑度等而正方一邊度

又圓徑度俱與鴨蛋形大徑度等則以長方面積與正

方面積之比例同於以鴨蛋形面積與圓形面積相比

　　　　　　之比例也又鴨蛋體大徑與球體徑度

　　　　　　若等則鴨蛋體外面積與球體外面積

　　　　　　相比之比例同於以鴨蛋體小徑與大

徑相比之比例也何則将兩體外面俱分幾平行圓此

每圓假如以子丑圓界與寅卯圓界之比同於以子丑

圓徑與寅卯圓徑之比也今照作鴨蛋形之定理而子

丑徑與寅邜徑之比同於戊己徑乙丁徑相比之比例

誠如是其每大圓界與相對小圓界俱依此為比例則

兩外面積之相比同於兩徑之相比可知矣

有能函鴨蛋體之長圓體則鴨蛋體外面之全積為與

長圓體周圍之積等也則試以鴨蛋體之大徑作球之

徑又作一函球之長圓則函球之長圓與函鴨蛋之長

圓周圍面積之比同於兩底圓界相比之比例亦同於

大徑線與小徑線相比之比例也又球體之面積與函

球體之周圍面積既等則以函球體周圍面積與函鴨

蛋體周圓面積之比亦同於大徑與小徑之比也則是

鴨蛋體面積與函鴨蛋體周圍面積二項與球體面積

相比皆同於大徑與小徑之比則鴨蛋與函蛋體兩項

面積相等可知矣

有一鴨蛋體函於一球體則兩積之比同於鴨蛋體小

徑線所作正方面與球體大徑線所作正方面相比之

比例也

有一鴨卵體有一恰函鴨蛋體此兩體積之比同於球

體積與函球體積相比之比例也

有一鴨蛋體恰函於長圓體内則鴨蛋體積為得長圓

體積三分之二也蓋蛋體與函卵體之比同於球體與

函球體之比則彼為三分之二此亦三分之二也

有一長方體恰函鴨蛋體有一見方體恰函球體則長

方體積與鴨蛋體積之比同於見方體積與球體積相

比之比例也又長方體積與見方體積之比同於鴨蛋

體積與球體積相比之比例也

有一球體恰函於長圓體内若将此兩體俱於寅邜處

　　　　　　　　分之此所分球體子丙丑一段之

　　　　　　　　凸面積與所分相對長圓體寅巳

　　　　　　　　庚卯一段之周圍外面積為等也

何則假如於癸子丑辰小長圓體内減去壬子丑小尖

圓體此所減小尖圓體積為小長圓體積三分之一其

所餘者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹體之

一段周圍面積與子丑線為徑作相對圓之面積等矣

如是則乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體與癸子

丑辰小長圓體此二體之底面積髙度既等其體積亦

等而乙寅子丑卯丁曲凹體之積與壬子丑小尖圓之

積等矣然因何為等蓋壬子丑小尖圓體所分每每圓

之面積與所分相對每每曲凸體周圓之面積等也

壬子丑小尖圓體積既為癸子丑辰小長圓體積三分

之一又此小長圓體積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一

段空心體積為相等則是乙寅子丑卯丁曲凹體之積

與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為三分之

一苟於乙子丑丁球段内減去壬子丑一小尖圓體餘

乙子壬丑丁球體一段之積與乙寅卯丁一長圓體積

為三分之二也若於乙寅卯丁長圓體内減去壬寅卯

尖圓體為此乙寅卯丁長圓體三分之一餘乙寅壬卯

丁長圓體一段之積與乙子壬丑丁球體一段之積等

也今将乙寅壬卯丁一段之體從外面至心之壬處分

為千萬尖體之共底面積相乗得數為乙寅壬卯丁一

段之體積數也又以此乙子壬丑丁一段之體從外面

至心之壬處分為千萬尖體若以乙壬半徑為髙度用

三分之一與所分千萬尖體之共底面積相乗得數為

乙子壬丑丁一段之體積數也如前所云此乙寅壬卯

丁一段體積與乙子壬丑丁一段體積既等則此兩體

面積亦必等而此乙丙丁半球體凸面積與乙己庚丁

半長圓體周圍外面積亦等若於半長圓内減去乙寅

邜丁一段外面積於半球體内減去乙子丑丁一段外

面積此所減之乙子丑丁一段面積與彼所減之乙寅

邜丁一段面積為相等此所餘子丙丑球體一段面積

與彼所餘寅己庚邜長圓體一段面積相等可知也

有鴨蛋體一半有球體一半若全球體徑度與全蛋體

大徑度等而半鴨蛋體髙度與半球體髙度亦等則此

半蛋體外面之積與半球體外面積同於以蛋體小徑

度與球體徑度相比之比例也理同前

有大小半鴨蛋體有大小半長圓體若全體之小徑與

全體之底徑等而大小半體之髙度又等則此大小半

鴨蛋體外面之積與大小半長圓體周圍外面之積等

　　　　　也何則試作一鴨蛋體外函以球體又外

　　　　　函以長圓體照甲己髙度截於寅丑為長

三分之一則全與全半與半之比亦若三分之一與三

分之一之比也是小半蛋體之外面積與小半球體外

面之積之比亦若函小半蛋體外面之積與函小半球

　　　　　　體長圓之外面積相比之比例而小半

　　　　　　球之外面積既與函球小半長圓之外

面積等則小半蛋體之外面積安得不與函蛋體小半

長圓之外面積等乎

有一鴨蛋體恰函於一球體内則以鴨蛋每段之積與

　　　　　　相對球體每段積之比同於以鴨蛋體

　　　　　　小徑之所作正方面積與球體徑度所

作正方面積之比也如圖甲寅邜一段與相對球體甲

子丑一段俱與乙丁戊己大小徑線平行分為幾圓面

此所分蛋體每圓之面積與所分相對球體之每圓面

積之比同於以乙丁小徑度所作正方面積與戊己大

徑度所作正方面積相比之比例如是則以甲寅邜之

體積與甲子丑之體積之比同於乙丁徑之方面積與

戊己徑方面積相比之比例可知矣

　　　在一直線一邊立垂線法如乙丁線欲於乙邊

　　　作垂線則将規矩一股任意立於甲丁線上或

丙處為心又以一股自乙處轉作一圓則於丁乙線之

甲處相交自相交丁處過丙心至相對圓界作一直線

此線於戊處與圓界合自戊處至乙處作一戊乙直線

即垂線也

分圓界為三百六十度法則照圓之輻線度分此界為

　　　六段六段分為十二段十二段各平分為三段

　　　則為三十六段三十六段各平分為五段則為

一　百八十段一百八十段又各平分為二段則成三百

六十段矣

一直線上欲作一三十度角則将甲乙線照分度圓之

　　　丙丁輻線度截於戊處又以規矩一股立於甲

　　　一股自戊處旋轉作一弧線乃以規矩取圓界

之丙庚度将弧線截於己處自己至甲作一直線即為

三十度角也

　　　　有丁戊直線欲於丙處作平行線則以規立

　　　　於丙向丁戊線作弧線如甲又以規取丙甲

　　　　度立於乙向丙㸃平行作一弧線又照甲乙

　　　　度以規立於丙向第二次所作弧線處再作

　　　　一弧線則二線於己處相交自丙至乙作一

　　　　直線則成平行線也

如甲乙線上作一四方形則以規矩立於甲作丙乙弧

　　　　線又立於乙作甲丁弧線又於甲乙兩頭如

　　　　法立甲丙乙丁垂線於丙丁二處相切又作

　　　　丙丁一直線即成為四方形矣

　　　　　如乙圓之外有甲㸃欲於此㸃作切圓線

　　　　　則於甲㸃至圓心作一直線又以乙為心

以甲為界作甲丙弧線又自甲乙線所割丁處作丁己

垂線截外圓界於丙又自丙至乙作一直線又於丙乙

線所割戊處作甲戊線則所求之切線也

欲知圓界内等角之角度則三角形各六十度四界形

角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一

百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七

秒(度各六十分/分各六十秒)八界形角各一百三十五度九界形角

各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形

角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各

一百五十度

作函圓多界等度之各種形法則自圓心作幾輻線(三/邊)

(作三線四邊作/四線餘倣此)

　　　　於輻線末各作切界線引至合角則成函圓

　　　　多界形也

　　　　作函多界俱等各種形圓法則照平分直線

　　　　法作垂線引二垂線相交處為心以角為界

　　　　即成函多界之圓形也

各形作内切圓亦照分直線法以交合處為心以邊為

界即是也

　　　　一三角形一圓形欲於此圓外作切界三角

　　　　形與原有之三角形同式如圖将乙丙底線

　　　　引長作辛壬線即成乙丙兩外角即於圖作

與辛乙甲等之子癸戊角作與壬丙甲等之己癸子角

　　　　於癸己子三輻線末作垂線引而合之即成

　　　　同式形也何也盖三角形之三角相並必與

　　　　兩直角等今丑戊癸子四邊形作戊子線分

為兩形此四邊形之四角相並必與四直角等就中減

戊子原作之兩直角所餘癸丑兩角相並亦與兩直角

等也又直線上内外並必與二直角等則辛乙甲外角

甲乙丙内角並之必為兩直角今戊癸子角既為效辛

乙甲所作則戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而

論則丙角必等於卯角甲角必等於寅角又可知矣

　　　　　　若欲於圓内作切界同式三角形如圖

　　　　　　任意作與甲角等度之辛角将角逐線

　　　　　　引至圓界作辛庚辛戊二線再自戊至

　　　庚作一直線又於戊處倣乙角作戊角引線至

　　　壬切圓界再自壬至庚作直線即成同式形何

　　　也盖戊壬庚庚辛戊兩形同立於戊庚之弧而

壬辛兩角同切於圓界則兩角為等因其為等此辛角

原倣甲角而為比壬等於辛則亦必等於甲也又戊角

乃倣乙角而為比亦必等也二角既等則庚角之等丙

角可知矣

勾股形作容方則以直角為心勾末為界規作一象限

　　　　将弧線兩平分處作直線至直角分弦線為

　　　　兩於弦線分處作一勾垂線又作一股垂線

即成兩直角也

有甲乙直線欲将此直線為正方對角線與正方邊相

較之所餘求作一正方則以甲乙線為一邊線作一小

正方作甲丙小對角線又以丙為心乙為界作一圓又

　　　　　引甲丙線至戊作甲戊為大正方一邊線

　　　　　作大正方即是所求之正方也何也引甲

乙線至己為對角線乙己之線與戊己之線等盖丙乙

丙戊同為小圓之輻線則戊乙兩角為等也若於丙乙

己丙戊己二直角内減去乙丙戊則所餘乙戊兩角又

等也兩角既等則兩邊亦等而甲乙為戊己相較之餘

也

有一直線将此線為底作一兩邊等度而兩邊各一角

為上一角之倍則将兩頭各作七十二度角兩線引長

相交則上角必三十六度也若以一直線為兩邊等度

線則作一三十六度角兩邊如線之長而止又作一底

線則下兩角各七十二度也

若欲以一直線為五邊形之一邊則如前於此線之兩

　　　　　頭各作七十二度之兩邊等形於此形外

　　　　　作切角圓形再於兩長邊弧線度各平分

之則成五邊形也何則丙乙弧之界角為三十六度若

為心角則七十二度則丙乙弧乃得圓分之七十二度

於圓分為五分之一也則於甲丙弧及甲乙弧各兩分

之合成五分故為五邊形也

理分中末線将全線求大小分則将全線為一邊線作

　　　　　一兩邊等度兩底角與上一角各大一倍

　　　　　之三角形又作五邊形乃自甲至乙作直

　　　線截於丙處則丁戊為全丁丙為大分戊丙為

　　　小分得相連比例也盖丁甲乙戊兩弧線度等

　　　則甲戊丁乙甲戊兩角度必等又戊甲乙角與

戊丁乙角共立於乙戊弧則角度亦等也再甲戊乙與

戊甲丁兩角本相等若以等角内減去甲丙戊形則所

餘丁甲乙丁戊乙兩角必等矣然則丁戊乙角原係與

乙丁戊角為大一倍作者則丁戊乙角比甲戊丙戊甲

丙兩角為等矣其丁丙甲角因為甲丙戊之一外角與

　　　　　丙甲戊丙戊甲兩内角為等而丁丙甲與

　　　　　丁甲丙兩角為等矣因其等則丁甲丁丙

　　　　　兩線為等也又丁甲甲戊兩線原等其甲

　　　　　丁戊角必與甲乙丁角等而丁戊甲甲戊

丙大小兩三角形内小三角形之丙甲戊角與大三角

形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角與丁戊甲之戊

　　角原係共角亦必等因大小兩三角形既等是為

　　同式則以戊丁線與甲丁線相比之比同於以戊

　　甲線與丙戊線相比之比例而丁甲與丁丙等戊

甲與丁甲等亦與丁丙等則以丁戊全線與大分丁丙

相比之比同於丁丙大分與丙戊小分相比之比例為

相連比例也

　　　欲平分甲乙一直線為數段則於甲乙末各作

　　　一直線如丙丁将丙丁各為平分作線割甲乙

線則甲乙線亦為平分也於是甲乙線與乙壬線之比

同於甲丁線與丁己線相比之比例矣

　　　　　　又如有甲乙線於己辛兩處分為三分

　　　　　　又有丙丁一線亦欲分為三分為相比

　　　　　　例三率則以甲乙線丙丁線為平行線

　　　　　　自甲乙之末各分直線切丙丁線末至

戊相㑹又自辛己兩處各作兩線亦合於戊則丙丁線

即分為三分而為甲乙線之相比例三率矣

有直線二率作與此相連比例三率線法如有八分

　　　　　　　甲乙四分甲丙之二線求作一二分

　　　　　　　之相連線則将甲丙甲乙二線合成

　　　　　　　甲角又於乙末増甲丙線度為甲戊

　　　　　　　線自乙至丙作一直線又於戊作乙

丙之平行線如戊己将甲丙線引至己處則所引丙己

線度即為二分之分而為甲乙甲丙相連比例第三率

也(甲乙甲丙乙戊丙己為比例四率乙戊同甲丙除去/不用則甲乙與甲丙之比同扵甲丙與丙己之比也)

　　　　　　有直線三率欲作相比例第四率線再

　　　　　　為相比例數率線則照様作甲丙線而

　　　　　　以甲乙線度截於乙處乃用規矩以甲

　　　　　　為心以乙為界作一弧線而取乙丁線

　　　　　　度一股立於乙一股交於弧線得相交

　　　　　　之丁處遂作乙丁線又作甲戊線切丁

末如甲丙度長又作與乙丁平行之戊丙線其戊丙線

即為第四率也盖甲丙全與甲乙段之比同於丁乙平

行線與戊丙底之比比例同也若欲作相比例數率則

　　　　　　将甲戊甲丙線引長如癸子中作平行

　　　　　　數線分為五叚即得十相比例率也故

　　　　　　以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙

　　　　　　之比例甲丙與甲己之比同於戊丙與

　　　　　　庚己之比例甲己與甲辛之比同於庚

己與壬辛之比例甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸

之比例也

比例尺二股各有平分線分為二百餘分假如有丁戊

　一線欲分為十分則以規矩取丁戊線度立於尺各

　二百分之乙丙二㸃将尺乙丙二處照丁戊線度開

　　　　之使不移動次以規矩立於尺之第二十分

　　　　之己庚二㸃取己庚之間度此間度即是平

　　　　分丁戊線為十分之度也何也如甲乙丙三

角形為己庚平行線所截則甲己與甲乙之比同於己

庚與乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分為十分之

一乙丙十分己庚一分亦為十分之一也

於比例尺作圓之諸弦線之總線法則自甲之合處至

乙丙二末作二線於甲乙之丁處為心以甲乙兩末為

界作半圓而分半圓界為百八十度自甲處至所分圓

界各作弦線而立規矩一股於甲處又以一股於戊二

十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十

度子百四十度丑百六十度等處取弦線度各作於甲

　　　　　乙甲丙兩線上即為諸弦線度之總線也

　　　　　其取用之法若欲知寅角之度則以規矩

　　　　　一股立寅處一股任意作夘辰弧線隨取

　　　　　寅夘輻線之度立於尺之六十度之丁未

　　　　　處将尺之丁未照輻線度開之勿動乃将

規矩取夘辰弧線之度放於尺兩股所容中間何處恰

好若恰容在八十度之申酉處則是現原有寅角八十

度之弦線也何則若作丁未申酉二直線則甲申酉之

三角形為平行之丁未線所截則甲丁與甲酉之比同

於丁未與申酉之比也然則甲丁為六十度弦線甲酉

為八十度弦線其與底平行之丁未線既與小圓輻線

等所以丁未線為小圓六十度之弦線申酉線亦為小

圓八十度之弦線以此知寅角夘辰度之為八十度也

如此凡大小圓之輻線度安於尺之六十度處照此開

之其大小圓之諸弦線之度俱現於兩股間也(以六十/度通弦)

(即半/徑故)

　　　　於比例作分平面線法自甲之合處至乙丙

　　　　二末作直線截甲丙線於丁處照甲丁度於

　　　　甲末作甲戊垂線自戊處至所截丁處作戊

　　　　丁線照戊丁線度将甲丙線截於己處自戊

　　　　至己作戊己線又照戊己線度将甲丙線截

　　　　於庚處自戊至庚作戊庚線照此不止作至

丙末又将甲乙線亦照甲丙所截截之即成分平面線

也何則於甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲

丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊兩方者

也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方

為大一倍甲庚方大甲丁方為二倍也由是推之甲庚

方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此則甲

辛甲壬等界上方俱是大於甲丁界上方三倍四倍可

知也苟有一癸子平面四方形欲大於此形二倍之四

方形則以規矩取癸子界度立於丁處将尺照此度開

之勿動次将規矩取尺庚寅處度作方即大於癸子方

二倍也盖於丁丑庚寅作二線而甲庚寅之三角為丑

丁平行線所分則以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲

庚既大於甲丁二倍則寅庚亦大於丑丁二倍矣

有二直線欲以此二線作中比例線法則将二直線相

連為圓徑以平分處為心以兩末為界作圓形然後於

二線連接處作垂線切圓界則為中比例線也

有二直線作中二率比例線如圖将二線合為直角又

　　　　　　引作十字線如丁與丙取矩尺庚癸二

　　　　　　角正跨兩引線上使矩尺壬辛股二處

　　　　　　正切於甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊

　　　　　　三線其所現乙癸乙庚則為中二率線

也蓋以戊癸之丑為心戊末為界作半圓以甲庚之寅

　　　　　　為心甲末為界作半圓則乙癸線者甲

　　　　　　庚半圓徑上之垂線為甲乙乙庚之中

　　　　　　率也乙庚線者戊癸半圓徑上之垂線

為乙戊乙癸之中率也則以甲乙線比乙癸線同於以

乙癸線比乙庚線也以乙癸線比乙庚線同於以乙庚

線比乙戊線也故曰中二率也

於比例尺作分體線法則於甲之合處至二股之乙丙

二末作甲乙甲丙二線以規矩取丁己方體之戊己界

　　　　度立於甲而截於甲乙線之庚處次作大於

　　　　戊己界一倍之辛壬線依前法求得中二率

　　　　為癸子丑寅二線将癸子界作見方體則此

體大於丁己見方體一倍也盖四線為相連比例率而

戊己與辛壬為加二倍之比例則丁己卯子二體為同

式而以戊己癸子各一界相比之比例為加二倍之比

例也戊己辛壬二線之比因同於丁己卯子二體之比

例若辛壬第四線大於戊己一倍則卯子體亦大於丁

己體一倍矣次将規矩取癸子界度一股立於甲一股

照此度截於甲乙線之辰處則此度所作方體大於原

丁己體一倍矣再作比原丁己體之戊己界長二倍之

　　　　己未線照前求中二率之申酉戌亥二線将

　　　　申酉第二率線度取於規矩一股立於甲一

　　　　股截甲乙線之乾處則甲乾界度所作方體

　　　　比原丁己體為二倍可知也照此不止作大

　　　　於丁己體之戊己界或三四倍或五六倍之

長線如前求得中二率将所求第二率度截於尺線上

即成比例尺之分體線也若有一坎庚見方體欲作一

大於此二倍之體則以規矩取坎庚體之艮庚界度将

比例尺之所截庚處照此開之勿動次将比例尺第三

所截乾處之開度取於規矩即是大於坎庚體二倍之

形界盖甲庚線與甲乾線之比同於以庚庚與乾乾線

之比例甲乾上方大於甲庚上方二倍則乾乾上方必

大於庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之

界度長一百釐則以此界一百釐自乘再乘則此體積

共乙百萬釐大此一倍之體數為二百萬釐其二百萬

釐體之一面界度為一百二十五釐又大二倍之體數

為三百萬釐其三百萬釐體之一面界度為一百四十

四釐如此累加将外界之釐數書明又将釐度分於尺

寸欲書入比例尺則将所書之數以規矩取所分之度

初照一百釐界度截比例尺之庚處次照一百二十五

釐界度截於辰處三照一百四十四釐界度截於乾處

不止至末與前法所分俱為同也

有一直角四界形作為與此等積之正方形如圖将甲

乙乙丙合為一直線求得中率之丁乙線作丁戊正方

　　　　形為與甲丙等積也盖相連比例三率其中

　　　　率自乘之積與首率末率相乗之積等故丁

　　　　己上方與甲乙乗乙丙之方等積也

　　　　凡有三角形知其一角之度及角兩旁之界

度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知

角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角為三十七

度角兩旁丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈則作與

丙角為等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作為十四

分長丁己界作為十三分長自戊至己作直線相㑹與

甲乙丙大形同式将戊角之度取於規矩安於分度圓

界看容多少便知戊角度若干若容七十度則大形甲

角之度亦為七十度矣又小形己角可知為七十三度

則大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九

分可知大形甲乙界之為九丈矣餘皆如此盖即小以

知大舉一以例餘也

作不用比筭測髙深廣逺各種三角形之儀器法先作

甲乙丙半圓界分為百八十度将此半圓之丁甲丁乙

丁丙三半徑線每每分為一百分各作直線縱橫相交

　　　　　　㑹如碁局再於徑線之兩末作兩立表

　　　　　　安住不動又於丁心處如圖作一逰表

　　　　　　如戊己将逰表亦如半徑度分為二百

　　　　　　分再於此儀器後面掛一墜線為庚即

　　　　　　可按線而測矣如欲測旗杆之髙則将

　　　　　　儀器之丁心安於所立之處定准墜線

以甲乙徑線兩末之立表與旗杆癸處對准為地平穏

住不動再将戊己逰表與旗杆尖之辛處相對准次量

所立之丁處至旗杆癸處得若干若得四十丈則看儀

器地平線上自丁心起用四十分當四十丈如子再㸔

子處垂線與上逰表相交處得若干若得三十分如丑

則旗杆之髙為三十丈也若欲測丁辛弦線數則㸔自

丁至丑相交處得若干分若得五十分則相當數為五

十丈也若欲測丁癸辛三角形之各角度則癸角既為

直角再㸔圓界自乙至遊表相交處得若干度為丁角

度與九十度相減所餘者為辛角度也

畫地圖者選戊己兩處可以盡見諸形先於戊處立儀

器指諸要𦂳數處看所成之數角各得幾何度記之次

移儀器到己處将不動表與己對准為地平亦指於諸

要𦂳數處看所成之數角亦各幾何度亦記之然後取

一幅紙任意作一線為戊己相當線将前所測角度倣

而作之一　一與前相當成數三角形其中邊所有之形

一一畫上即成圖也若将大圖蹲入小圖則将大圖分

為數正方形小圖亦分為數正方形與大圖相當将大

　　　　圖中某方形内所函之山河城渠村林依蹲

　　　　而入於小圖即與原大圖同也　凡有多界

　　　　形倣此或為大或為小之同式形方如甲乙

　　　　丙丁一無法形欲減各界之半作同式形則

　　　　任意自一壬處作諸對角線又任意将甲乙

　　　　界之度取其半為甲乙平行線作於甲壬乙

壬二線之間恰容癸子處照此於對角線間作諸界之平

行線則所成癸子卯己之形即是原有形每界減一半

之同式小形也苟欲作大於原有之形則将對角線任

意引長而照前任意加為界度與原界作平行線即成

所欲作之大形也或自一角發線亦可

凡兩數相乗者平行方數也如二三相乗為六是也三

數連乗者立方數也如二三乗得六又乗以四則為四

六二十四也(以上為幾/何原本)

凡一與三之比同於四與十二之比一與五之比同於

十二與六十之比二之比三亦猶四之比六也六之比

九也盖凡可以倍計者皆可為比例二其二而為四二

其三而為六三其二而為六三其三而為九故三與九

之比同於六與三十六之比(按末句/有誤數)

凡可以度盡大數之衆小數相合於此加數根之一所

得之總數與所度之大數等也如大數有六可以小數

二三度盡若加數根一則亦六也

大數二十八可以小數二四七十四度盡若将二四七

十四與數根之一并之則亦二十八也

有一比例數求與此比例相等之相連比例數法如三

與五之比例求與此比例相等之相連比例幾将三自

因得九又三與五因得十五又五自因得二十五則此

九與十五及二十五之三數為三與五比例相等之相

連比例三數也三與五之比同於九與十五之比例九

與十五之比同於十五與二十五之比為相連比例也

又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五與

七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十

七四十五七十五一百二十五之四數為三與五比例

相等之相連比例四數同於三與五之比例也

凡一數除衆數所除得數之比同於原衆數之比也如

以三歸十二而得四以三歸十五而得五則四與五之比

若十二與十五之比也而四與十二之比同於五與十

五之比也

有同相比例四數其首末相乗所得數與中兩數相乗

之得數等也有相等兩方數則此縱與彼縱之比同於

以彼横與此横之比也如四六相乗與三八相乗皆為

二十四則以此之六比彼之八以彼之三比此之四比

例為等也

凡以兩數除一數而盡此得之兩數相比若所用以歸

除兩數之比也如四除三十六而得九六除三十六而

得六則九六兩數之比若六四之比也

凡有平加衆數此衆數内之凡一數若作為原數将此

數以上有幾位平加幾次相差之數與首數並之得數

為與原數等也如上所列之數若将十五作原數此十

五以上有四位而衆數原平加之數係三若将三之四

次數而與首數三相並得十五與所作原數之數等也

由此推之若於平加衆數内凡減一位将所餘之位數

與原平加之數相乗得數與衆小數内至小數相並與

衆數内至大數為等也假如上六數内減一數餘五數

将此五與平加之三相因得十五與至小數三相並得

　(三六九二五八/ 一一一)　十八為與至大數相等矣

凡平加衆數若将此數内之兩數相並所得數與兩傍

相等隔位之他兩數相並得數等也如十二與九為廿

一十五與六亦廿一十八與三亦廿一也盖升愈升降

愈降合降與升則但見平也

又将此内凡一數之兩傍數相加折半即與中間數等

也如十五加九為廿四折半斯得十二矣十二加六為

十八折半斯得九矣十八加十二為三十折半斯得十

五矣其理則前節可推也

又此平加衆數若将首末兩數相加以所有幾位之位

數相乗得數折半則與原有衆數之總數等也如十八

加三為廿一以位數六乗之得乙百二十六折半得六

十三與衆數之總數等也盖照前節推六數相加合成

三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒數

理亦相同

凡平加之位若是竒數則以中一位之數與位數幾相

乗即得衆數之總數也如所列以中一位一○乗位數

五得五十即為衆數之總數也盖首尾相加乗位數折

半而得總數今中位乃首尾相加之一半故以乗位數

　(四七○三六/ 一一一)總數(○/五)　即為總數也

凡有自一每位平加二比例衆竒數之總與位數自乗

之得數等也如所列總數得四十九以位數七七自乗

亦四十九也若一三五七九五位總數二十五以位數

五自乗亦二十五也理如前節以中一位數乗位數同

盖七位則七為中五位則五為中故也亦如首乗相並

　(一三五七九一三/ 一一)　折半乗位數之理也

凡有自二每位平加二之比例衆偶數以位數加一以

與位數相乗即與衆數之總數等也如所列位數是七

加一為八以與位數七相乗為五十六即總數之數也

亦即首末相加折半乗中一位之理也若位數是偶則

　(二四六八○二四/ 一一一)　以位數自乗可得衆數之總數也

凡平加比例之衆數如所列以小數一與大數十一相

減餘十以平加數根二除之得五再加入小數一得六

　(一三五七九一/ 一)　即原有之位數也

凡平加比例知小數及位數與平加數根而求大數法

如所列知小數三知位數六知平加數根四将位數六

減一餘五與平加數四相因得二十加十入小數三即

大數為廿三也

若欲知小數則亦以位數六減一餘五與平加數四相

因得二十以與大數十三相減餘三則此三即為至小

數也

若知小數及位數及平加數根而求知總數則先察得

大數為二十三加入小數三為二十六以與位數六相

乗得一百五十六折半得七十八為所求之總數也

若知大數及平加數根及位數而求知總數法亦如之

若知大小兩數及位數求平加數根法則将三與廿三

相減餘二十又将位數六減一為五除之得四則此四

為平加數之根也

若知大小兩數及平加數根而求位數法則将大數與

小數相減餘二十以平加數四除之得五加一為六即

是所求之位數也

若知平加之數根與位數及衆位之總數而求至大至

小之兩數法則将總數七十八以位數六除之得十三

為首末兩數相加之一半又将十三加倍作廿六為首

末兩數相加之總數乃将位數六減一餘五與平加數

根四相乗得二十為至大數又将前所得之二十六與

此二十相減餘六為小數之加一倍數此數折半為三

是所求之至小數也将三加入二十得二十三為所求

之至大數也此法之理備於前矣

凡不等兩數求一數可以度盡之法如二十與廿四相

減餘四又将四與二十相減餘十六以十六與四相減

餘八以四減八則無餘則此四為度盡兩數之數也謂

之轉減亦謂之紐數

三邊無角不可以相比例則必先求中長線以為正弦

然後角可求也然中長線之數為正弦而僅有半徑無

角無餘弦則其數又不可知故以勾弦求股之術求之

除一邊為弦則總較之術所求者勾也盖兩弦之總之

較既具於上兩邊矣所求者欲破下邊以為兩勾而得

其較耳兩弦之總乗弦之較以兩勾之總除之必得較

矣(鈍角則以較/除而得總)以勾較之餘取其半以益較必得大勾

矣存其半必得小勾矣如此則中長線之數可明而勾

股弦相求之術可施既得勾股之數則用以與半徑正

餘弦相比例而角可得矣

一角有角無對邊數兩邊有邊無對角數則皆不可以

互求矣然此兩邊所對之角乃與得角合成半周度是

此角之外之弧度即兩角之度也但未知兩角之大小

何如剖分耳惟外角有平行之對角與兩角之一角等

度則雖其數未可知而其形可剖欲知其數者必以兩

角之較求之欲知兩角之較者又必以兩邊之較例之

兩邊有總有較半外角又有切線則可因是以求半較

角矣以半較角減半外角則小邊對角之度得矣其餘

一角則可以三隅反矣

三較連乗者求三角容圓之半徑也○三較者三邊與

半總相較之餘也三較連乗所得之數乃容員半徑自

乗又乗半總之數也故以三較連乗為中率而以半總

除之則得容員半徑之積數矣以積數開方則得半徑

矣○兩數所以相合者何也盖引伸三較於一邊則半

總也從兩邊之角直剖為長線於第一較處横斷作小

勾即容員半徑也至末總斷作大勾而以容員半徑乗

之即二較三較相乗之數也小勾自乗比乗大勾如第

一較與半總之比例則二較相乗以小勾自乗乗之亦

如第一較與半總之比例

(闕/)

錢百文買果百顆　梨一顆錢三文　柑一顆錢二文

橄欖七顆錢一文　算得梨四顆錢十二文　柑四十

顆錢八十文　橄欖五十六顆錢八文(按此條前後/皆有闕文)

　莊氏算學卷二