KR7a0003

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十八卷目錄

　算法部總論

　　隋書〈律曆志備數〉

　　明唐順之本集〈句股測望論　句股容方圓論　弧矢論　分法論　六分論〉

　算法部藝文

　　明算　　　　　　　　　　冊府元龜

　　測圓海鏡序　　　　　　　　　李冶

　算法部紀事

曆法典第一百二十八卷

算法部總論

《隋書》律曆志備數

五數者，一十百千萬也。《傳》曰：物生而後有象，滋而後有數。是以言律者，云數起於建子，黃鐘之律，始一而每辰三之，歷九辰至酉，得一萬九千六百八十三。而五數備成，以為律法。又參之終亥，凡歷十二辰，得十有七萬七千一百四十七，而辰數該矣。以為律積，以成法除該積，得九寸，即黃鐘宮律之長也。此則數因律起，律以數成。故可歷管萬事，綜覈氣象。其算用竹，廣二分，長三寸，正策三廉，積二百一十六枚，成六觚乾之策也。負策四廉，積一百四十四枚，成方坤之策也。觚方皆經十二，天地之大數也。是故探賾索隱，鉤深致遠，莫不用焉。一十百千萬，所同由也。律度量衡歷率，其別用也。故體有長短，檢之以度，則不失毫釐；物有多少，受之以器，則不失圭撮；量有輕重，平之以權衡，則不失黍絲；聲有清濁，協之以律呂，則不失宮商；三光運行，紀以曆數，則不差晷刻；事物糅見，御之以率，則不乖其本。故幽隱之情，精微之變，可得而綜也。夫所謂率者，有九流焉：一曰方田，以御田疇界域；二曰粟米，以御交質變易；三曰衰分，以御貴賤廩稅；四曰少廣，以御積冪方圓；五曰商功，以御功程積實；六曰均輸，以御遠近勞費；七曰盈朒，以御隱雜互見；八曰方程，以御錯糅正負；九曰句股，以御高深廣遠。皆乘以散之，除以聚之，齊同以通之，今有以貫之。則算數之方，盡於斯矣。古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈圓周，盈數二丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓周三百五十五，約率圓徑七周二十二又設開差冪，開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為綴術，學官莫能究其深奧。是故廢而不理。

明《唐順之本集》句股測望論

句股，所謂矩也。古人執數寸之矩，而日月運行，朓朒遲速之變，山谿之高深廣遠，凡目力所及，無不可知。蓋不能逃乎數也。句股之法，橫為句，縱為股，斜為弦。句股求弦，句股自乘，相併為實，平方開之，得弦。句股求股，句弦自乘，相減為實，平方開之，得股。股弦求句，同法。蓋一弦實，藏一句一股之實；一句一股之實，併得一弦實也。數非兩不行，因句股而得弦，因股弦而得句，因句弦而得股：三者之中，其兩者顯而可知，其一者，藏而不可知，因兩以得三，此句股法之可通者也。至如遠近可知，而高下不可知，如卑則塔影，高則日影之類。塔影之在地者可量，而人足可以至於戴日之下，而日與塔高低之數不可知，則是有句而無股弦，三者缺其二，數不可起，而句股之法窮矣。於是有立表之法，蓋以小句股求大句股也。小句股每一寸之句為股長幾何，則大句股每一尺之句，其長幾何可知矣。此以人目與表，與所望之高，三相直而知之也。人目至表，小弦也；人目至所望之高，大弦也。又法：表為小股，其高幾何，與至塔下之數相乘，以小句除之，則得塔高。蓋橫之則為小股，至塔之積；縱之則為小句，至塔頂之積。縱橫之數，恰同是變句以為股，因橫而得縱者也。句、股、弦三者有一可知，則立表之法可得而用。若其高與遠之數皆不可知，而但目力可及，如隔海望山之類，則句、股、弦三者無一可知，而立表之法又窮矣。於是有重表之法，蓋兩表相去幾何為影差者，幾何因其差以求句股，亦可得矣。立表者以通句股之窮也，重表者以通一表之窮也，其實重表一表也，一表句股也，無二法也。

句股容方圓論

凡奇零不齊之數，準之於齊；圓準之於方，不齊之圓，準於齊之圓，不齊之方，準於齊之方，句股容圓準於句股容方。假令句五股五弦七，有奇，此為整方均齊無較之句股，其容方徑，該得句之半，蓋容方積得句股全積四分之一，其取全積時，句股分在兩廉，則句五股五，五五二十五內，一半為句積，一半為股積。其求容方，則併句股為縱。一廉得十為長之數，得闊二五與原句相半，蓋始初，則一半句積，一半股積，橫列之而為正方。及取容方，則股積在上，句積在下，而為長方矣。其容方，所以止得半句者，則以句股之數均也。若句短股長，則容方以漸，而闊不止於半句矣。故大半為股積，小半為句積，其始橫列時，句積與股同長而不同闊；其從列時，則股積之闊如故，而句積截長以為闊，則闊與股積同而長與股積異，與橫列正相反。此變長為闊，而取容方之法也。其謂之句積股積者，從容方，徑與句股相乘之數而名之也。若取容圓徑，則用句股自之，而倍其數。以句股與弦併為法，蓋容圓之徑多於容方。方有四角，與弦相礙，故其數少。圓循弦宛轉，故其數多。若以求容方，與求容圓相比，則積中恰少一段圓徑與半弦和較相乘之數。弦和較者，勾股併，與弦相較之數也。假令勾五股五相乘，亦倍之，得五十。如求容方，則亦倍勾股為法，得二十，亦恰得二寸五分之徑。如求容圓，則不用倍勾股為法，而用一句股併與一弦，是以一弦代一句股併也。以一弦代一句股併，恰少一弦和較，加一弦和較，則亦兩句股矣。假令一句股，得十倍句股，得二十，是取容方之徑。一句股得十，一弦得七，恰少一弦和較。三是取容圓之徑，其所以少一弦和較者，圓徑多於方徑也。假令取容圓不用句股倍積，而止用句股本積，則宜用句股併為廉，而除去半弦和較，亦得或約得圓徑。之後與半弦和較相乘添積，而以句股併為廉，不除亦得。或用句股倍積，用兩句股相併為廉，而以全弦和較，與約得圓徑相乘添積，亦得此改方為圓之妙。其機括只寓之於弦和較間也。至於句股積與弦積，亦只於句股較中求之，蓋數起於參伍，參伍起於畸零，不齊也。假令股五句五齊數之句股，則句股冪倍之，即得弦冪。蓋兩句股積，而成弦積也。至於句短股長相乘之積，則成一長方倍之。而弦側不當中徑，亦不成弦冪，惟以一句股較積補之，乃能使長方為一正方，而得弦積。蓋句股之差愈遠，則長方愈狹；長方愈狹，則句股之差積愈多。故句股差者，所以權長方不及正方之數以相補，輳此補狹為方之法也。

弧矢論

凡弧矢算法，準之於矢，而參之於徑。背徑求矢之法，先求之背弦差，而半背弦差藏之，矢冪與徑相除之中，倍矢冪，與徑相除，則全背弦差也。半法簡捷，故用其半冪者，方眼也。自乘之數必方，故謂之冪。假令徑十寸截矢一寸，一寸隅無開方，即以一寸為矢冪，而以十寸之徑除之，該得一分，是半背弦差一分。若二寸矢，開方得四寸，是為一寸者四，半背弦差得四分。三寸矢開方得九，是為一寸者九半背弦差得九分。皆準之於十寸之徑。故一寸之冪，而差一分遞，而上之視其冪，以為差之多少。又假令徑十三寸矢，冪一寸，則以十三寸之徑與一寸相除，每寸該差七釐七毫，弱以為半背弦差，若二寸矢，開方得四，該四箇七釐七毫併之，得三分八毫，以為二寸矢半背弦差，此準之十三寸之徑亦遞，而上之視其冪，以為差之多少，蓋徑長則背弦之差減，故一寸矢而差止七釐有奇。徑短則背弦之差增，故一寸矢而差及一分雖。其數有增減，而準之於一寸之冪與徑相除，而以漸開之。每得一寸，則得元差，而相併以為背弦之差，則其法之一，定不可易者也。背徑求矢、矢背求徑諸法，消息管於是矣。至於徑積求矢一法，古法以倍截積自乘為實四，因截積為上廉四，因直徑為下，廉五為負隅，與矢相乘，以減下廉；而以上下廉與矢除實。今立一法，但以截積自乘為實，而遂以截積為上廉，直徑為下廉，每一寸矢帶二分五釐，二寸矢則帶五分。四分而增其一，以減徑其倍積四，因之法，悉去不用，頗為簡捷。蓋徑積求矢，準於矢徑之差。矢徑差者，矢徑互為升降也。矢一寸則該減徑一寸二分五釐，矢二寸則該減徑二寸五分，而矢徑之差起於積數之不足。且夫圓準於方，而畸零之圓又準於均齊之圓。以方為率，徑十寸，矢一寸，則積必是十寸；矢二寸，則積必是二十寸，但得積為實，只約矢與徑為從平方開之，足矣。蓋方無虛隅也。又以整圓為率，徑十寸，矢五寸，則圓積必居方積四分之三，而以四之一為虛隅，足矣。蓋雖有虛隅，而其數易準也。惟是矢以漸而短，則積以漸而減。有不能及四分之三虛隅，以漸而加。有不止於四分之一者矣，於是平方法與四分，而一為虛隅之法，皆不可用。惟是乘平方之積為三乘，而以四分之矢減五分之徑，則不問矢之長短，積與虛隅之多寡，而其數皆至此，而均齊猶之平方之法。數有多寡，而減來減去必得一均齊之數，以為準。而後不齊者，皆齊此天然之妙也。夫積，自乘而為三乘方之實，則一整方耳，而矢數藏焉。及立法求矢，則分為上下兩廉，而矢數著焉蓋整方。所以聚積而分廉，所以散積，補短截長，而方圓斜直通融為一，此亦天然之妙也。假令徑十寸，矢一寸，積該三寸五分，自乘該十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘方開之，而一寸無開方，則上下廉如，元數共得十三寸五分，為廉法與一寸矢相乘，除實恰少一寸二分五釐，是為負隅之數。所以用每矢一寸，則帶二分五釐為準，以減徑，然後法實相當也。又如徑十寸，矢二寸，積該十寸自乘該百寸，上廉十寸，下廉亦十寸，以三乘方開之，則須以矢數乘上廉，上廉該得三十寸。蓋長十寸而高二寸之數，以矢數自乘得四而乘下廉，下廉該得四十寸。蓋高十寸而闊四寸之數，上下廉共得六十寸。又以矢二寸為方面與上下廉相乘，除實共二箇六十寸，該得一百二十寸，其數乃足。而元數止得百寸，恰少積二十寸，所以用二寸五分，以除下廉，則該止得七寸五分，為下廉。其下廉減去高二寸五分，中闊該四寸，則四箇二寸五分該得十寸方，面二寸，與十寸相乘，共二十寸，恰勾負隅之數。所以二寸矢，則用二寸五分減法也。遞而上之每寸，以二分五釐為準，蓋雖徑有極長極短，而一寸寸矢帶二分五釐，減徑之法，則定數也。徑積求矢，矢積求徑，徑矢求積諸法，消息管於是矣。然此二法者，背弦之差，則隨徑而不隨矢，所以均為一寸之矢。而其差則有多寡之不齊。矢徑之差，則隨矢而不隨徑，所以但得一寸之矢，則不問徑之長短。而一例為差，此二法之異也。若以今法與舊法相通，今法不倍積。所以不用四因。四因者，生於倍積也，古法之五為負隅，即今之一寸帶二分五釐也。蓋以五乘之矢除，四因之徑，則亦一寸矢而減一寸三分五釐之徑也。然有廉而無方隅者，蓋截積止得廉數也。即此二法，可見截弧截積之法，皆從邊起，而準之於邊，以漸消息之矣。既得一寸之定差，則雖倍蓰十伯錯綜變化，而皆不能出乎範圍之外，此天然之妙也。故曰：握其機而萬事理矣。其弦矢求徑法，半弦自乘為實，而以矢除之，加矢得徑，是徑之數藏於半。弦冪與矢相除，而加矢之中也。今環而通之，以為背弦求矢諸法。背弦求矢，其半背冪中藏一箇半弦冪，與矢相除，而加矢之徑數，藏一箇矢冪以徑數相除，為背弦差之數，二數消息恰得半背冪本數，則矢數見矣。假令徑十寸，矢一寸，半背弦差一分，半背數三寸一分，自乘得九寸六分一釐，其九寸為弦冪，所謂中藏半弦冪與矢相除，而加矢之徑數，其六分一釐，乃是兩半背冪，而空其一差，亦名差與半背相開方之數，即以與其差一分相乘之數。所謂一箇矢冪，以徑數相除，為背弦差之數也。二數消息，以盡背冪，而法可立矣。其背矢求弦法，若背矢，先求出徑，而後以矢徑求弦，則為簡捷。蓋半背冪中所藏弦冪，與背弦差冪。今以矢冪約徑，而以徑除矢冪，為背弦差。又以矢截徑，以矢乘之，為半弦冪。二數消息恰得半背冪本數。則徑數見矣。得徑而弦在其中矣。其矢弦求背，亦須先得徑，而後得背。蓋半弦冪為實，乃以矢約徑，以矢減之，以矢乘之，恰得半弦冪本數。則徑數見矣。得徑而背在其中矣。假令矢一寸半，弦三寸，自乘九寸，為半弦冪為實。以矢約寸得十寸，以矢一寸減之得九寸，以矢一寸乘之得九寸，恰與半弦冪相同，則為徑十寸矣。此背弦矢徑四者相乘除，循環無窮之妙也。至於徑積求矢，則既然矣。因而通之積矢求徑。假令徑十寸，矢一寸，積三寸五分自乘，該十二寸二分五釐，乃以原積三寸五分為上廉，一寸之矢為下廉，以除自乘之積，餘數得八寸七分五釐，加矢帶數一寸二分五釐，則為徑十寸矣。又如徑十寸，矢二寸，積十寸自乘，寸百為實，矢乘積得二十寸為上廉，再矢自乘得八為下廉，以二乘上廉，消積四十，以八消餘積六十，得七寸五分，加入矢帶數二寸五分，則徑十寸矣。徑積求矢，則積為上廉，而徑為下廉。矢積求徑，則亦積為上廉，而矢為下廉，此其縱橫往來相通之妙，而一乘上廉，再乘下廉，則三乘開方之定法也。積矢求弦，則倍其積，以矢除積，而減矢。弦矢求積，則并矢於弦，以矢乘積，而半其積，蓋矢弦并之為長，以矢乘之，而得兩積，故半之，而積可見也。倍之，則為矢弦相併之積，以矢除之，而得矢弦相併之本數，除矢而弦可見也。徑矢求積，則先得弦，而後得積，蓋以矢減徑，以矢乘之四，因得數面弦冪藏於其中平方開之得弦乃以矢自乘以矢與弦相乘，合二數而半之，則得積矣。此又積矢徑弦四者相乘除，循環無窮之妙也。其徑背求矢法，則以半背自乘為實，而約矢以減徑，以矢乘之，為半弦冪，而平方開之，以減背，其減餘之數，恰與矢之背弦差數相當，則矢數見矣。蓋半背數中，藏一半弦數，藏一背弦差數，故合二數而消息之也。徑十寸，矢一寸，半背三寸一分，十寸之徑，每一寸矢該差二分，二寸矢該差四分，為定差。今約矢一寸，以減徑，得九寸，以矢乘亦得九寸，平方開之得三寸，為半弦。以除半背，而餘一分，恰勾一寸差數，則矢之為一寸也，無疑矣。又如徑十寸，半背四寸四分，約得矢二寸，以減徑，餘八寸，以矢乘，得十六寸，為弦冪平方開之為四寸，以減半背四寸，而餘四分，恰得二寸，矢之定差，則矢之為二寸也，無疑矣。又法，半背冪，自乘為實，中藏一箇半弦，自乘之數，一箇背弦差與兩半背，而空出一差，相乘之數，亦名背弦差與背相開方之數，以此兩數與實相消，而矢數見矣。假令徑十寸，半背三寸一分，其半背冪，該九寸六分一釐，約矢一寸，與徑相減，相乘如前法，得九寸，以除實九寸，而以一寸之差一分，與兩半背而空出一差之數，得六寸一分，與上差一分相乘，得六分一釐，并二數九寸六分一釐，除實，恰盡。以是知矢之為一寸也。又如半背四寸四分，自乘得十九寸三分六釐，為實約，矢二寸與徑相減，相乘如前法，得十六寸，以除十六寸，而以二寸之差四分與兩半背，而空出一差之數，得八寸四分，與上差四分相乘，得三寸三分六釐，併二數十九寸三分六釐，除實恰盡以是知矢之為二寸也此其法亦始於先得定差，而約矢與徑，兩相消息，以得矢也。其徑數有長短，差數有多寡，亦準。此法而通之也，在先得定差，而已又法半徑，自乘為徑，冪半背，自乘為背冪，二冪相乘為實，乃約矢，以減徑，以矢乘之，為半弦冪，與徑冪相乘，以除實，又以徑冪除其餘實，恰得矢數之定差，則矢可得矣。蓋二冪相乘，中藏一箇徑冪，與弦冪相乘之數，藏一箇徑冪，與半背弦差冪相乘之數，而背弦差者，矢之所藏也。假令徑十寸，矢二寸，背差八分，半徑自乘，得二十五寸，半背自乘，得十九寸三分六釐，相乘得四百八十四寸，為實及約矢，得二寸，以減徑，而乘之得十六寸，為弦冪，與徑冪相乘，得四百，以除實，餘八十四寸；又以徑冪除之，得三寸三分六釐，恰與二寸矢之定差相合，然二寸矢之定差四分，而乃有三寸三分六釐者，蓋始求背冪之時，以兩背數相乘，則四分寓，其間恰得此數，所謂差與背相開方之數也。以四分與八寸四分相乘，得三寸三分六釐，故定差四分，而其積則三寸三分六釐也。以八寸四分除之，則定差本數也。夫背弦差者，矢之所藏也。以差立法，古未有之，而實求矢之大機也。差徑求矢，以差與徑相乘，平方開之得矢；差矢求徑，矢自乘以差，為從平方開之得徑，而差與弦亦可以求矢徑半弦之冪，矢除徑，而矢乘徑之數也。差者，矢冪而徑除之之數也。先約徑矢數與弦冪相同，而又以徑除矢冪，與差數同，則得矢徑差與背，求矢徑減差，則得弦，即差弦求矢徑也。積者，矢與弦并，以矢除而半之之數也。積弦求矢，倍積為實，約矢而加之於弦，為從方，以矢為法除之，則得矢也。矢積求弦，矢自乘，而置虛積與元積相當，然後減去矢自乘之冪，而以矢除其虛積與元積之并，則得弦也。假令矢一寸，積三寸五分，矢自乘，得寸添積二寸五分，乃與元積相當。然後減去矢自乘之寸，餘六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二寸，積十寸，矢自乘，得四寸，加虛積六寸，與元積相當。減去矢自乘之寸，餘十六寸，以矢除之，得弦八寸也。如不以矢徑求弦得積，而遂以矢徑求積，則矢每寸截徑寸二分五釐，而以矢自乘，再乘，以乘截餘之徑，為徑積，然後以徑約積，而以積與矢自乘之數相乘，添入徑積，合為積冪，而復以約積自乘，亦與前積冪同數，則積亦可得矣。然不如得弦而後得積之為簡捷也。至於殘周與弦求矢，則亦用半弦自乘為實，而約出矢數，以除半弦冪，而加矢為徑，乃以徑補出全周之數，而以半背數除半弦數，餘為半背弦差，恰得矢之定差，則矢可得矣。假令弦六寸，殘周二十三寸八分，則以半弦自乘，得九為實，而約出矢一寸，以除實而加之，得十寸為徑，該周三十寸，除殘周數，得半背三寸一分，除半弦三寸，而餘一分，恰得一寸矢之定差，則矢一寸也。又如弦八寸，殘周二十一寸二分，半弦自乘，得十六為實，約出矢二寸，以除實而加之，得十寸為徑，該周三十寸，除殘周數，得半背四寸四分，除半弦四寸，而餘四分，恰得二寸，矢之定差，則矢二寸也。數雖如是，而起筭極周折惟求之，弦、矢、徑三相權，則其數可準，蓋徑、矢求弦，則以矢減徑，以矢乘之，為半弦冪徑、弦求矢，則以半弦自乘為實，而以徑為益方，以矢減益方，而相乘，除實，亦是以矢減徑，以矢乘之，而得半弦冪也。弦、矢求徑，則以半弦自乘，以矢除之，加矢而得徑，由是三者輾轉求之，則是半弦冪，中藏卻以矢減徑，以矢乘之之定數，以是約出矢徑，而因徑以為周，減其殘周，而得背。以半背與半弦相較，而得差，恰與矢之定差相同，則矢數無所失矣。其有不合，則更約之，此數雖若眇茫，然準之，於以矢減徑，即以矢乘，必須與半弦冪相當，則亦未嘗無繩墨也。此意元之又元也，至神莫知也，積也，矢也，徑也，弦也，背也，殘周也，差也，凡七者轉相為法，而轉相求，共得三百二十六法，而後盡渾然一圓圈，而中含錯綜變化，乃至於此。嗚呼。豈非所謂至妙至妙者哉。

分法論

差分方程，盈朒粟米，總是一分法也。物有多寡，價有貴賤，兩物相形，已知物之孰貴孰賤，各有定價矣。若使兩物總共若干，兩價亦總共若干，則兩物混雜。雖則兩物混雜，而總價固相差也。於是以價權物，則因價之貴賤而差之也。未知兩物之孰貴孰賤，而但知兩物相參伍之總價，若使此三而彼五，則價共增若干。此五而彼三，則價共減若干，則兩價混雜，而物數固相形也。於是以物權價，則因物之參伍，而推出價之貴賤，謂之方程。方程者，言物價相檢，括有定式，而不可亂也。差分方程之所不能盡，於是有盈朒。盈者有餘，朒者不足，盈朒者，因其外露畸零可見之數，而推知其中藏隱，雜不可見之數，以據末穎而窺全，錐也。假令物共若干，兩價共若干，兩兩物混雜，而法有不盡於差分也，於是而盈朒之。假令總是貴物，則原總價不足若干；總是賤物，則原總價有餘若干。於是推乘，以齊其數。以不足之數乘賤物，以有餘之數乘貴物，兩物各得其所乘之數，以為實，而并有餘；不足之數，以為法，而各歸之，則物之多寡，可得矣。此差分之盈朒也。未知兩物之孰貴孰賤，而但知此三而彼五，則價共增若干。此五而彼三，則價共減若干。兩價混雜，而法有不盡於方程也，於是而盈朒之。假令此賤若干，彼貴若干，則原總價有餘幾何。此貴若干，彼賤若干，則原總價不足幾何。於是維乘，以齊其數，以有餘乘。此貴彼賤，亦以不足乘。彼貴此賤，令兩賤自相減，兩貴自相減，為實有餘。不足，亦自相減為法，則價之貴賤可得矣。此方程之盈朒也。差分以價，權物方程，以物權價，差分露價而混物，方程露物而混價，露價而混物，故以價相轄；露物而混價，故以物相參。而盈朒通乎其間矣。至於物有以多而易寡，價有以貴而易賤，於是有粟米，則乘除互換之，間而多遂與寡相當，賤遂與貴相當，而其數齊矣。以粟易米，則以粟率乘，以米率除；以米易粟，則以米率乘，以粟率除；以貴物易賤物，則以貴率乘，以賤率除；以賤物易貴物，則以賤率乘，以貴率除；以賤物易，皆以本率乘，以所易之率除。謂之粟米者，因粟米以名諸物也。

六分論

數欲以繁而從簡，而數之有分者，不可以常法約也。於是有約分之法，則以子減母，以母減子，至於等，而後止。等數者，母子之數所共止齊也，必相減，而後得之，所謂減損求原也。然後以等約母，以等約子，而繁者簡矣。數有以少而合多，以聚其零散；亦有以少而減多，以較其多寡。而數之有分者，不可以常法，合而減也，於是有合分。課分之法，分母不同，分子亦異，於是母互乘子，以齊其數。假令二分之一與三分之一相乘，二分之母數本少也，與子之二數相乘而為四，則雖少而多。三分之母數本多也，與子之數相乘，而為三，則雖多而少一，互乘而裒多，益寡之義著矣。諸分皆母互乘子而合，分則相併以為實，所以為合也。課分，則相減，以為實，所以為減也。其實有相乘相減之異，而其法則皆以母相乘，蓋其始皆母互乘子，以為實，則其母亦互相乘，以為法也。合分觀其所總，而聚散著矣。減分觀其所餘，而多寡著矣。數有多寡損益以取平，而數之有分者，不可以常數平也。於是有平分之法。亦母互乘子而副置之，其一相併以為平實，其不相併而據諸分之位數，凡幾謂之列數名，以列數乘其不相併之分子，以為列元，是三位相併，則以三為列數。原是四位相併，則亦以四為列數，以三數乘，不相併，則亦與三數相併相當矣。以四數乘，不相併，則亦與四數相併相當矣。但相併，則諸分。總得其相乘之數。不相併，則諸分各得其相乘之數耳。以各較總而有餘，不足見矣。故平實者，總也；列實者，各也。非總無以準各，非各無以自準，有總有各而有餘，不足見矣。列實有餘者，以平實準之，而得其減數。列實不足者，以平實準之，而得其益數。減有餘之列，實益不足之列實，皆齊於平實而後止，是若齊於總也。於是以諸母相乘猶之母互乘子也。亦以列數乘，諸母之相乘者，猶之列數乘諸分子也，則分母恰與分子相當。以為法，以命平實，而諸分平矣。乘分者，乘法之有分者也。除分者，除法之有分者也。其乘分、除分皆用通分法。假如有銀十兩三分，兩之二，則無分之全數，與有分之零數，相礙而不相通。於是以分母三乘全兩，其十兩得三十分，帶分子二，共三十二分。所謂分母乘其全分子，從之也。通分，則全數與零數均為一法。而不相礙通分之後乘分，則以各通分相乘，為實分母相乘，為法除分，則以實分母乘法，以法分母乘實，而法與實之數始相當，而無偏，亦所謂變而通也。算經曰：學者不患乘除之為，難而患分法之為，難然必精於無分之乘除，而後能通於有分之乘除，非二致也，法有淺深而已矣。天地之間聚散分合，而已天氣下降，地氣上騰，而天地合。天氣上騰，地氣下降，而天地判合。則氣發洩於其外判，則氣凝結於其中其分，所以為合也。兵之用，聚散分合而已矣。分不分，謂之縻軍；聚不聚，謂之孤旅。然聚易，而分難，其分所以為聚也。韓信多多益辨，兵家以為分數明也。數之用聚散分合而已矣。聚小以為大，謂之乘；散大以為小，謂之除。聚小以為大，則無畸零不盡之數；散大以為小，則多有畸零不盡之數矣。是以乘法省，而除法繁；乘法易，而除法難也。可知矣。

算法部藝文

明算　　　　　　　　　　冊府元龜

自隸首作算，容成造曆，後之學者，不絕英華。或玅盡其能，或略窮其理。忘寢廢食，精騖心游。耳不聞於雷霆，行或墜於坎窞。嘗齠齔而耽味，射隱伏以冥符。小則括毫釐之形，大則周天地之數。聊屈指而洞明，運隻著而無爽。若非苦志名山，尋師遠道，則何以臻此哉。

測圓海鏡序　　　　　　　　　李冶

數本難窮，吾欲以力強窮之，彼其數不惟不能得其凡，而吾之力且憊矣。然則數，果不可以窮耶。既已名之數矣，則又何為而不可窮也。故謂數為難窮，斯可謂數為不可窮。斯不可，何則彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之數也。非自然之數，其自然之理也。數一出於自然，吾欲以力強窮之，使隸首復生，亦末如之，何也。已苟能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣。予自幼喜算數，恆病夫考圓之術，例出於牽強，殊乖於自然。如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截背之互見。內外諸角，析會兩條，莫不各自名家，與世作法，反反覆研究，而卒無以當吾心焉。老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹而鄉之，病我者始去之而無遺餘。山中多暇客，有從余求其說者。於是乎，又為衍之，遂累一百七十問。既成編，客復目之《測圓海鏡》，蓋取夫天臨海鏡之義也。昔半山老人集唐百家詩選，自謂廢日力於此，良可惜。明道先生以上蔡謝君記誦，為玩物喪志，夫文史尚矣。猶之為不足貴，況九九賤技能乎。嗜好酸鹹，平生每痛，自戒敕，竟莫能已。類有物憑之者，吾亦不知其然而然也。故嘗私為之解，曰：由技進乎道者，言之、石之、斤扁之，輪庸非聖人之所予乎。覽吾之編，察吾苦心。其憫我者，當百數；其笑我者，當千數。乃若吾之所得，則自得焉耳，寧復為人憫笑計哉。

算法部紀事

《通鑑前編》：黃帝有熊氏，命隸首作數。〈注〉《外紀》曰：帝命隸首定數，以率其羡，要其會，而律度、量、衡，由是而成焉。

《史記》：張蒼明習天下圖書計籍，又善用算律曆，故令蒼以列侯，居相府，主領郡國上計者。

《冊府元龜》：漢許商為博士，治《尚書》為算，能度功用，嘗著《五行論曆》〈注〉《藝文志》，有《許商算術》二十六卷，《杜忠算術》十六卷。

桑弘羊，武帝時以計算。羊年十三為侍中。

耿壽昌，宣帝時為大司農丞，以善算為算工，得幸於帝。

《後漢書·馮勤傳》：勤為司徒，八歲善計〈注〉計算術也。《冊府元龜》：張衡為尚書，尤致思於天文陰陽曆算。王子山與父叔師，到泰山，從鮑子真學算。

《西京雜記》：漢安定，皇甫嵩、真元菟、曹元理並善算術，皆成帝時人。真嘗自算其年壽七十三，於綏和元年正月二十五日晡時死，書其屋壁，以記之。二十四日晡時死，其妻曰：見算時，常下一算，欲以告之。慮脫有旨，故不告。今果先一日也。真又曰：北邙青塚上，孤檟之西，四丈所鑿之入七尺，吾欲葬此地。及真死，依言往掘，得古時空槨，即以葬焉。

曹元理，嘗從真元菟友人陳廣漢，廣漢曰：吾有二囷米，忘其石數，子為吾計之。元理以食箸十餘轉，曰：東囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八斗。遂大署囷門，後出米，西囷六百九十七石七斗九升中，有一鼠大堪一升；東囷不差圭合。元理後歲復遇廣漢。廣漢以米數告之元理，以手擊狀，曰：遂不知鼠之食米，不如剝面皮矣。廣漢為之取酒鹿脯數臠，元理復算曰：甘蔗二十五區，應收一千五百三十六枚；蹲䲭三十七畝，應收六百七十三石千；牛產二百犢；萬雞將五萬雛。羊豕鵝鴨皆道其數；果蓏殽核悉知其所。乃曰：此資業之廣，何供具之褊。廣漢慚，曰：有倉卒客，無倉卒主人。元理曰：俎上蒸肫一頭，廚中荔枝一盤，皆可以為設。廣漢再拜謝罪，入取，盡日為歡。其術後傳南季，南季傳項滔，項滔傳子陸，皆得其分數，而失其元妙焉。

《後漢書·鄭元傳》：元以永建二年七月戊寅生，八九歲能下算乘除。年十一二，隨母還家，臘日宴會，同時十許人皆美服盛飾，語言通了。元獨漠然狀，如不及。母私督數之，乃曰：此非元之所志也。

《異苑》：鄭元在馬融門下，三年不相見。高足弟子，傳授而已。常算渾天不合，問諸弟子，弟子莫能解。或言：元。融召令算，一轉便決，眾咸駭服。及元業成辭歸，融心忌焉。元亦疑有追者，乃坐橋下，在水上據屐。融果轉式逐之，告左右曰：元在土下水上，而據木，此必死矣。遂罷追。元竟以免。一說鄭康成師馬融，三載無聞。融鄙而遣還。元過樹陰，假寐，見一老父，以刀開腹心，謂曰：子可以學矣。於是寤而即返，遂精洞典籍。融歎曰：詩、書、禮、樂，皆已東矣。潛欲殺元。元知而竊去。融推式以算元，元當在土木上，躬騎馬襲之。元入一橋下，俯伏柱上。融踟躕橋側，云：土木之間，此則當矣。有水非也。從此而歸。元用免焉。

《冊府元龜》：鄭元造太學，受業師事京兆第五。元先始通《春秋》、《三統曆》、《九章》、《算術》，又因盧植事馬融，融素貴元。在門下三年，不得見會。融集諸生，考論《圖緯》，聞元善算，乃召見。元因質諸疑義，後徵大司農，不起〈注〉三統曆，劉歆所撰九章、算術，周公作凡有九篇：方田一，粟布二，差分三，少廣四，均輸五，方程六，旁要七，盈不足八，鉤股九。

《三國·魏志·王粲本傳》：粲子仲宣，山陽高平人也。性善算，作算術，略盡其理。

《冊府元龜》：吳顧譚為左節度，每省簿書，未嘗下籌。徒屈指心計，盡發疑謬。下吏以此服之。

趙達，明算術，事大帝。帝令達算：作天子之後，當復幾年。達曰：高祖建元十二年，陛下倍之。帝大喜，左右稱萬歲。果如達言。黃武三年，魏文帝在廣陵，大帝令達算之。曰：曹丕走矣。雖然吳衰庚子歲。帝曰：幾何。達屈指而計之，曰：五十八年。帝曰：今日之憂，不暇及遠，此子孫事也。達治九宮一算之術，究其微，旨是以能應機立成，對問若神。至計飛蝗射隱伏，無不中。效或難。達曰：飛者，固不可校。誰知其然，此殆妄耳。達使人取小豆數斗，播之席上，立處其數驗，覆果信。嘗過知故，知故為之具食。畢，謂之曰：倉卒乏酒，又無佳肴，無以敘意，如何。達因取盤中隻箸，再三縱橫之，乃言：卿東壁有美酒一斛，又有鹿肉三斤，何以辭無。時適坐有他賓，內得主人情。主人慚，曰：以卿善射有無，欲相試耳，竟效如此。遂出酒酣飲。又有書簡上作千萬數，著空倉中封之，令達算之。達處如數，云但有名無實。其精微若是。達又閒居，無為引算自較，乃歎曰：吾筭訖盡，某年月日其終矣。達妻數見達效，聞而哭，泣達，欲弭妻意，乃更步算，言：向者謬誤耳，尚未也。後如期死。大帝聞達有書，求之不得。乃錄問其女，及發達棺，無所得。法術絕焉。

宋關康之，字伯愉，河東楊人。世居京口，寓屬南平昌，少而篤學，筭術妙盡其能。太宗詔徵，不起。

祖沖之為長水校尉，善算，注九章，造綴術數十篇。後魏安豐王猛，子延明，為尚書右僕射。以河間人信都芳，工筭術，引之在館，共撰古今樂事、九章、十二圖。高允為太常，明算法，為筭術三卷。

殷紹，長樂人。少聰敏，好陰陽術數。游學諸方。達九章、七曜。太武時，為算生博士。

《北齊書·信都芳傳》：芳，河間人。少明算術，為州里所稱。有巧思，每精研究，忘寢與食，或墜坑坎。嘗語人云：算之妙，機巧精微。我每一沉思，不聞雷霆之聲也。其用心如此。以術數干高祖，為館客，授參軍丞相倉曹。祖珽謂芳曰：律管吹灰，術甚微妙，絕來既久。吾思所不至，卿試思之。芳遂留意十數日，便云：吾得之矣。然終須河內葭莩灰。後得河內葭莩，用其術，應節便飛，餘灰即不動也。不為時所重，竟不行，故此法遂絕云。《冊府元龜》：信都芳，初為魏安豐王延明所館。延明家有群書，欲抄集五經算事，為五經宗。又聚渾天欹器地動銅烏候風諸圖。為器準，並令芳算之。會延明南奔，芳乃自撰注。芳注重差句股，撰史宗，仍自注之，合數十卷。

北齊許遵，明易，善算。高祖引為館客。後文宣無道，日甚遵，語人曰：多折算來，吾筮此狂夫，何時當死。遂布算滿床，大言曰：不出冬初，我乃不見。遵果以九月死。隋蕭吉，字文休。為上儀同。博學多通，尤精陰陽算術。劉炫為旅騎尉，撰算術一卷行於世。

唐傅仁，均為太史令，善曆算。

李淳風為太史令，尤明天文曆算陰陽之學。與算學博士梁，永太學助教王真儒等，注釋五曹、孫子等十部算經，分二十卷，顯慶元年左僕射于志寧等奏之，付國學行用。

僧一行，姓張氏，公謹之孫也。初求訪師，資以窮。大衍至天台山國清寺，見一院古松，數十門有流水。一行於門屏間，聞院僧於庭布算聲，而謂其徒曰：今日當有弟子，自遠求吾算法，已合到門，豈無人導達也。即除一筭，又謂曰：門前水當卻西流，弟子亦至。一行承其言而趨入，稽首請法，盡授其術。而門前水果卻西流。

《稽神錄》：後唐表弘禦，為雲中從事，尤精算術。同府令筭庭下桐樹葉數，即自起量樹，去地七尺圍之，取圍徑之數布筭。良久曰：若干葉眾，不能覆。命撼去二十二葉。復使算，曰：已少向者二十一葉矣。審視之，兩葉差小，止當一葉耳。節度使張敬達有二玉碗，弘禦量其廣深，算之，曰：此碗明年五月十六日巳時當破。敬達聞之，曰：吾敬藏之，能破否。即命貯大籠藉，以衣絮鎖之庫中。至期，庫屋梁折，正壓其籠，二碗俱碎。太僕少卿薛文美同府親見。

《宋史·徽宗本紀》：大觀三年冬十一月丁未，詔算學，以黃帝為先師，風后等八人，配饗巫咸等七十人從祀。