周髀算經
周髀算經
周&KR1660;算經卷上(南陵徐乃昌/校勘經籍記)
漢 趙 君卿 注
北周漢中郡守前司隸臣甄鸞重述
唐朝議大夫行大史令上輕車都尉臣李淳風等奉勑注釋
明 趙 開美 校
昔者周公問於商高曰竊聞乎大夫善數也(唐/寅)
(曰經/文也)
周公姓姬名旦武王之弟商高周時賢大夫
善算者也周公位居冡宰德則至高尚自卑
巳以自牧下學而上逹況其凡乎(唐寅曰此/趙注也)
請問古者包犧立周天曆度
包犧三皇之一始畫八卦以商高善數能通
乎微妙逹乎無方無大不綜無幽不顯聞包
犧立周天曆度運章蔀之法易曰古者包犧
氏之王天下也仰則觀象於天俯則觀法於
地此之謂也
夫天不可階而升地不可將尺寸而度
邈乎懸廣無階可升蕩乎遐遠無度可量
請問數從安出
心昧其機請問其目
商高曰數之法出於圓方
圓徑一而周三方徑一而匝四伸圓之周而
爲勾展方之匝而爲股共結一角邪適弦五
政圓方邪徑相通之率故曰數之法出於圓
方圓方者天地之形隂陽之數然則周公之
所問天地也是以商高陳圓方之形以見其
象因竒耦之數以制其法所謂言約㫖遠微
妙幽通矣
圓出於方方出於矩
圓䂓之數理之以方方周匝也方正之物出
之以矩矩廣長也
矩出於九九八十一
推圓方之率通廣長之數當須乘除以計之
九九者乘除之原也
故折矩
故者申事之辭也將爲勾股之率故曰折矩
也
以爲勾廣三
廣圓之周横者謂之廣勾亦廣廣短也
股修四
應方之匝從者謂之修股亦修修長也
徑隅五
自然相應之率徑直隅角也亦謂之弦
旣方之外半其一矩
勾股之法先知二數然後推一見勾股然後
求弦先各自乘成其實實成勢化外乃變通
故曰旣方其外或并勾股之實以求弦實之
中乃求勾股之分并實不正等更相取與互
有所得故曰半其一矩其術勾股各自乘三
三如九四四一十六并爲弦自乘之實二十
五減勾於弦爲股之實一十六減股於弦爲
勾之實九
環而共盤得成三四五
盤讀如盤桓之盤言取而并減之積環屈而
共盤之謂開方除之其一面故曰得成三四
五也
兩矩共長二十有五是謂積矩
兩矩者勾股各自乘之實共長者并實之數
將以施於萬事而此先陳其率也
故禹之所以治天下者此數之所生也
禹治洪水決流江河望山川之形定高下之
勢除滔天之災釋昏蟄之厄使東注於海而
無浸溺乃勾股之所由生也
勾股圓方圖 弦實二十五朱及黃
朱實六黃實一
勾股方圓圖注
趙君卿曰勾股各自乘併之爲弦實開方除
之即弦也案弦圖又可以勾股相乘爲朱實
二倍之爲朱實四以勾股之差自相乘爲中
黃實加差實亦成弦實以差實減弦實半其
餘以差爲從法開方除之復得勾矣加差於
勾即股凡并勾股之實即成弦實或矩於内
或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之
矩以股弦差爲廣股弦并爲袤而股實方其
裏減矩勾之實於弦實開其餘即股倍股在
兩邊爲從法開矩勾之角即股弦差加股爲
弦以差除勾實得股弦并以并除勾實亦得
股弦差令并自乘與勾實爲實倍并爲法所
得亦弦勾實減并自乘如法爲股股實之矩
以勾股差爲廣勾弦并爲袤而勾實方其裏
減矩股之實於弦實開其餘即勾倍勾在兩
邊爲從法開矩股之角即勾弦差加勾爲弦
以差除股實得勾弦并以并除股實得勾弦
差令并自乘與股實爲實倍并爲法所得亦
弦股實減并自乘如法爲勾兩差相乘倍而
開之所得以股弦差增之爲勾以勾弦差增
之爲股兩差増之爲弦倍弦實列勾股差實
見弦實者以圖考之倍弦實滿外大方而多
黃實黃實之多即勾股差實以差實減之開
其餘得外大方大方之面即勾股并也令并
自乘倍弦實乃減之開其餘得中黃方黃方
之面即勾股差以差減并而半之爲勾加差
於并而半之爲股其倍弦爲廣袤合令勾股
見者自乘爲其實四實以減之開其餘所得
爲差以差減合半其餘爲廣減廣於弦即所
求也觀其迭相䂓矩共爲反覆互與通分各
有所得然則統叙羣倫弘紀衆理貫幽入微
鈎深致逺故曰其裁制萬物唯所爲之也
釋圓方勾股注
按君卿注曰勾股各自乘并之爲弦實開
方除之即弦
臣鸞曰假令勾三自乘得九股四自乘得
十六并之得二十五開方除之得五爲弦
也(寅曰五五二十五/弦實四面之一也)
注云按弦圖又可以勾股相乘爲朱實二
倍之爲朱實四以勾股之差自相乘爲中
黃實(寅曰勾股相乘/其數一十二也)
臣鸞曰以勾弦差二倍之爲四自乘得一
十六爲左圖中黃實也(寅曰甄氏止注以/勾股十二字之義)
臣淳風等謹按注云以勾股之差自乘爲
中黃實鸞云倍勾弦差自乘者苟求異端
雖合其數於率不通(寅曰勾股之差其數/一也自乘得一一如)
(一)
注云加差實亦成弦實
臣鸞曰加差實一并外矩青八得九并中
黃十六得二十五亦成弦實也
臣淳風等謹按注云加差實一亦成弦實
鸞曰加差實并外矩及中黃者雖合其數
於率不通(寅曰加差實之一於前文所言/朱實四之上朱實之四爲二十)
(四加一爲弦/實二十五也)
注云以差實減弦實半其餘以差爲從法
開方除之復得勾矣
臣鸞曰以差實九減弦實二十五餘十六
半之得八以差一加之得九開之得勾三
也
臣淳風等謹按注宜云以差實一減弦實
二十五餘二十四半之爲十二以差一從
開方除之得勾三鸞云以差實九减弦實
者雖合其數於率不通(顧應祥曰以差實/一減弦實二十五)
注云加差於勾即股
臣鸞曰加差一於勾三得股四也
注云凡并勾股之實即成弦實
臣鸞曰勾實九股實十六并之得二十五
也
注云或矩於内或方於外形詭而量均體
殊而數齊勾實之矩以股弦差爲廣股弦
并爲袤
臣鸞曰以股弦差一爲廣股四并弦五得
九爲袤左圖外青也
注云而股實方其裏
臣鸞曰爲左圖中黃十六
注云減矩勾之實於弦實開其餘即股
臣鸞曰減矩勾之實九于弦實二十五餘
一十六開之得四股也
注云倍股在兩邊爲從法開矩勾之角即
股弦差
臣鸞曰倍股四得八在圖兩邊以爲從法
開矩勾之角九得一也
注云加股爲弦
臣鸞曰加差一於股四則弦五也
注云以差除勾實得股弦并
臣鸞曰以差一除勾實九得九即股四弦
五并爲九也
注云以并除勾實亦得股弦差
臣鸞曰以九除勾實九得股弦差一
注云令并自乘與勾實爲實
臣鸞曰令并股弦得九自乘爲八十一又
與勾實九加之得九十爲實
注云倍并爲法
臣鸞曰倍股弦并九得十八者爲法
注云所得亦弦
臣鸞曰除之得五爲弦(寅曰以法十/八除實九十)
注云勾實減并自乘如法爲股
臣鸞曰以勾實九減并自乘八十一餘七
十二以法十八除之得四爲股也
注云股實之矩以勾弦差爲廣勾弦并爲
袤
臣鸞曰股實之矩以勾弦差二爲廣勾弦
并八爲袤
注云而勾實方其裏減矩股之實于弦實
開其餘即勾
臣鸞曰勾實有九方在右圖裏以減矩股
之實十六於弦實二十五餘九開之得三
勾也
注云陪勾在兩邉
臣鸞曰各三也(寅曰倍/之得六)
注云爲從法開矩股之角即勾弦差加勾
爲弦
臣鸞曰加差二於勾三則弦五也
注云以差除股實得勾弦并
臣鸞曰以差二除股實十六得八勾三弦
五并爲八也
注云以并除股實亦得勾弦差
臣鸞曰以并除股實十六得勾弦差二
注云令并自乘與股實爲實
臣鸞曰令并八自乘得六十四與股實十
六加之得八十爲實
注云倍并爲法
臣鸞曰倍勾弦并八得十六爲法
注云所得亦弦
臣鸞曰除之得弦五也
注云股實減并自乘如法爲勾
臣鸞曰以股實十六減并自乘六十四餘
四十八以法十六除之得三爲勾也
注云兩差相乘倍而開之所得以股弦差
增之爲勾
臣鸞曰以股弦差一乘勾弦差二得二倍
之爲四開之得二以股弦差一増之得三
勾也
注云以勾弦差增之爲股
臣鸞曰以弦差二增之得四股也
注云兩差增之爲弦
臣鸞曰以股弦差一勾弦差二増之得五
弦也
注云倍弦實列勾股差實見弦實者以圖
考之倍弦實滿外大方而多黃實黃實之
多即勾股差實
臣鸞曰倍弦實二十五得五十滿外大方
七七四十九而多黃實黃實之多即勾股
差實也
注云以差實減之開其餘得外大方大方
之面即勾股并
臣鸞曰以差實一減五十餘四十九開之
卽大方之面七也亦是勾股并也
注云令并自乘倍弦實乃減之開其餘得
中黃方黃方之面卽勾股差
臣鸞曰并七自乘得四十九倍弦實二十
五得五十以減之餘卽中黃方差實一也
故開之卽勾股差一也
注云以差減并而半之爲勾
臣鸞曰以差一減并七餘六半之得三勾
也
注云加差於并而半之爲股
臣鸞曰以差一加并七得八而半之得四
股也
注云其倍弦爲廣袤合
臣鸞曰倍弦二十五爲五十爲廣袤合
臣淳風等謹按列廣袤術宜云倍弦五得
十爲廣袤合今鸞云倍弦二十五者錯也
(寅曰勾廣一袤/九股廣二袤八)
注云而令勾股見者自乘爲其實四實以
減之開其餘所得爲差
臣鸞曰令自乘者以七七自乘得四十九
四實大方勾股之中有四方一方之中有
方十二四實有四十八減上四十九餘一
也開之得一卽勾股差一
臣淳風等謹按注意令自乘者十自乘得
一百四實者大方廣袤之中有四方若據
勾實而言一方之中有實九四實有三十
六減上一百餘六十四開之得八卽廣袤
差此是股弦差減股弦并餘數若據股實
而言之一方之中有實十六四實有六十
四減上一百餘三十六開之得六卽廣袤
差此是勾股差減勾弦并餘數也鸞云令
自乘者以七七自乘得四十九四實者大
方勾股之中有四方一方之中有方十二
四實者四十八減上四十九餘一也開之
得一卽勾股差一者錯也(寅曰大方之中/有四弦實故四)
(其勾實得三十六減之餘六十四開其餘/得八爲勾之廣袤差四其股實得六十四)
(減之餘三十六開得六爲股之廣袤差所/謂廣袤差者勾廣一而袤九股廣二而袤)
(入廣袤相/減之餘也)
注云以差減合半其餘爲廣
臣鸞曰以差一減合七餘六半之得三廣
也
臣淳風等謹按注意以差八六各減合十
餘二四半之得一二一卽股弦差二卽勾
弦差以差減弦卽各袤廣也鸞云以差一
減合七餘六半之得三廣者錯也(寅曰以/勾之廣)
(袤差八減廣袤合十餘二半之爲勾之廣/以股袤差六減廣袤合十餘四半之爲股)
(之廣二注/皆未瑩)
注云減廣於弦卽所求也
臣鸞曰以廣三減弦五卽所求差二也
臣淳風等謹按注意以廣一二各減弦五
卽所求股四勾三也鸞云以廣三減弦五
卽所求差二者此錯也(寅曰甄鸞/述說終此)
周公曰大哉言數(唐寅曰此/經文也)
心逹數術之意故發大哉之數(唐寅曰此/趙注也)
請問用矩之道
謂用表之宜測望之法
商高日平矩以正繩
以求繩之正定平懸之體將欲愼毫釐之差
防千里之失
偃矩以望高覆矩以測深臥矩以知遠
言施用無方曲從其事術在九章
環矩以爲圓合矩以爲方
旣以追尋情理又可造製圓方言矩之於物
無所不至
方屬地圓屬天天圓地方
物有圓方數有竒耦天動爲圓其數竒地靜
爲方其數耦此配隂陽之義非實天地之體
也天不可窮而見地不可盡而觀豈能定其
圓方乎又曰北極之下高人所居六萬里滂
沲四隤而下天之中央亦高四旁六萬里是
爲形狀同歸而不殊塗隆高齊耽而易以陳
故曰天似葢笠地法覆槃
方數爲典以方出圓
夫體方則度影正形圓則審實難蓋方者有
常而圓者多變故當制法而理之理之法者
半周半徑相乘則得方矣又可周徑相乘四
而一又可徑自乘三之四而一又可周自乘
十二而一故圓出於方(典實/也)
笠以寫天
笠亦如葢其形正圓戴之所以象天寫猶象
也言笠之體象天之形詩云何簑何笠此之
義也
天青黑地黃赤天數之爲笠也青黑爲表丹黃
爲裏以象天地之位
旣象其形又法其位言相方類不亦似乎
是故知地者智知天者聖
言天之高大地之廣遠自非聖智其孰能與
於此乎
智出於勾
勾亦影也察勾之損益加物之高遠故曰智
出於勾
勾出於矩
矩謂之表表不移亦爲勾爲勾將正故曰勾
出於矩焉
夫矩之於數其裁制萬物唯所爲耳
言包含幾微轉通旋環也
周公曰善哉
善哉言明曉之意所謂問一事而萬事逹
昔者榮方問於陳子
榮方陳子是周公之後人非周&KR1660;之本文然
此二人共相解釋後之學者謂之章句因從
其類列於事下又欲尊而遠之故云昔者時
世官號未之前聞
曰今者竊聞夫子之道
榮方問陳子能述商高之㫖明周公之道
知日之高大
日去地與圓徑之術
光之所照
日旁照之所及也
一日所行
日行天之度也
遠近之數
冬至夏至去人之遠近也
人所望見
人目之所極也
四極之窮
日光之所遠也
列星之宿
二十八宿之度也
天地之廣袤
袤長也東西南北謂之廣長
夫子之道皆能知之其信有之乎
而明察之故不昧不疑
陳子曰然
言可知也
榮方曰方雖不省願夫子幸而說之
欲以不省之情而觀大雅之法
今若方者可教此道邪
不能自料訪之賢者
陳子曰然
言可教也
此皆算術之所及
言周&KR1660;之法出於算術之妙也
子之於算足以知此矣若誠累思之
累重也言若誠能重累思之則逹至微之理
於是榮方歸而思之數日不能得
雖濳心馳思而才單智竭
復見陳子曰方思之不能得敢請問之陳子曰
思之未熟
熟猶善也
此亦望遠起高之術而子不能得則子之於數
未能通類
定高遠者立兩表望懸邈者施累矩言未能
通類求勾股之意
是智有所不及而神有所窮
言不能通類是情智有所不及而神思有所
窮滯
夫道術言約而用博者智類之明
夫道術聖人之所以極深而研幾唯深也故
能通天下之志唯幾也故能成天下之務是
以其言約其㫖遠故曰智類之明也
問一類而萬事逹者謂之知道
引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣故
謂之知道也
今子所學
欲知天地之數
算數之術是用智矣而尚有所難是子之智類
單
算術所包尚以爲難是子智類單盡
夫道術所以難通者旣學矣患其不博
不能廣博
旣博矣患其不習
不能究習
旣習矣患其不能知
不能知類
故同術相學
術教同者則當學通類之意
同事相觀
事類同者觀其㫖趣之類
此列士之愚智
列猶别也言視其術鑒其學則愚智者别矣
賢不肖之所分
賢者逹於事物之理不肖者闇於照察之情
至於役神馳思聦明殊别矣
是故能類以合類此賢者業精習智之質也
學其倫類觀其指歸唯賢智精習者能之也
夫學同業而不能入神者此不肖無智而業不
能精習
俱學道術明不察不能以類合類而長之此
心遊目蕩義不入神也
是故算不能精習吾豈以道隱子哉固復熟思
之
凡教之道不憤不啓不悱不發憤而悱之然
後啓發旣不精思又不學習故言吾無隱也
爾固復熟思之舉一隅使及之以三也
榮方復歸思之數日不能得復見陳子曰方思
之以精熟矣智有所不及而神有所窮知不能
得願終請說之
自知不敏避席而請說之
陳子曰復坐吾語汝於是榮方復坐而請陳子
說之曰夏至南萬六千里冬至南十三萬五千
里日中立竿測影
臣鸞曰南戴日下立八尺表表影千里而
差一寸是則天上一寸地下千里今夏至
影有一尺六寸故其萬六千里冬至影一
丈三尺五寸則知其十三萬五千里
此一者天道之數
言天道數一悉以如此
周&KR1660;長八尺夏至之日晷一尺六寸
晷影也此數望之從周城之南千里也而周
官測影尺有六寸盖出周城南千里也記云
神州之土方五千里雖差一寸不出畿地之
分先王知之實故建王國
&KR1660;者股也正晷者勾也
以&KR1660;爲股以影爲勾股定然後可以度日之
高遠正晷者日中之時節也
正南千里勾一尺五寸正北千里勾一尺七寸
候其影使表相去二千里影差二寸將求日
之高遠故先見其表影之率
日益表南晷日益長候勾六尺
候其影使長六尺者欲令勾股相應勾三股
四弦五勾六股八弦十
卽取竹空徑一寸長八尺捕影而視之空正掩
日
以徑寸之空視日之影&KR1660;長則大矩短則小
正滿八尺也捕猶索也掩猶覆也
而日應空之孔
掩若重䂓更言八尺者舉其定也又曰近則
大遠則小以影六尺爲正
由此觀之率八十寸而得徑一寸
以此爲日&KR1660;之率
之爲六十寸以兩表相去二千里乘得十
二萬里爲實以影差二寸爲法除之得日
底地去表六萬里求從&KR1660;至日八萬里者
先置表高八尺上十之爲八十寸以兩表
相去二千里乘之得十六萬爲實以影差
二寸爲法除之得從表端上至日八萬里
也
若求邪至日者以日下爲勾日高爲股勾股各
自乘并而開方除之得邪至日從&KR1660;所旁至日
所十萬里
旁此古邪字求其數之術曰以表南至日下
六萬里爲勾以日高八萬里爲股爲之求弦
勾股各自乘并而開方除之即邪至日之所
也
臣鸞曰求從&KR1660;邪至日所法先置南至日
底六萬里爲勾重張自乘得三十六億爲
勾實更置日高八萬里爲股重張自乘得
六十四億爲股實并勾股實得一百億爲
弦實開方除之得從王城至日十萬里今
有十萬里問徑幾何曰一千二百五十里
八十寸而得徑一寸以一寸乘十萬里爲
實八十寸爲法即得
以率率之八十里得徑一里十萬里得徑千二
百五十里
法當以空徑爲勾率竹長爲股率日去人爲
大股大股之勾即日徑也其術以勾率乘大
股股率而一此以八十里爲法十萬里爲實
實如法而一即得日徑
故曰日晷徑千二百五十里
臣鸞曰求以率八十里得徑一里十萬里
得徑千二百五十里法先置竹孔徑一寸
爲十里爲勾更置邪去曰十萬里爲股以
勾十里乘股十萬里得一億爲實更置日
去地八萬里爲法除實得日晷徑千二百
五十里故云日晷徑也
臣淳風等謹按夏至王城望日立兩表相
去二千里表高八尺影去前表一尺五寸
去後表一尺七寸舊術以前後影差二寸
爲法以前影寸數乘表間爲實實如法得
萬五千里爲日下去南表里又以表高八
十寸乘表間爲實實如法得八萬里爲表
上去日里仍以表寸爲日高影寸爲日下
待日漸高候日影六尺用之爲勾以表爲
股爲之求弦得十萬里爲邪表數目取管
圓孔徑一寸長八尺望日滿筒以爲率長
八十寸爲一邪去日十萬里日徑即千二
百五十里以理推之法云天之處心高於
外衡六萬里者此乃語與術違勾六尺股
八尺弦十尺角隅正方自然之數盖依繩
水之定施之於表矩然則天無别體用日
以爲高下術旣隨乎而遷高下從何而出
語術相違是爲大失又按二表下地依水
平法定其高下若北表地高則以爲勾以
間爲弦置其高數其影乘之其表除之所
得益股爲定間若北表下者亦置所下以
法乘除所得以減股爲定間又以高下之
數與間相約爲地高遠之率求遠者影乘
定間差法而一所得加表日之高也求邪
去地者弦乘定間差法而一所得加弦日
邪去地此三等至皆以日爲正求日下地
高下者置戴日之遠近地高下率乘之如
間率而一所得爲日下地高下形勢隆殺
與表間同可依此率若形勢不等非代所
知率日徑求日大小者徑率乘間如法而
一得日徑此徑當即得不待影長六尺凡
度日者先須定二矩水平者影南北立勾
齊高四尺相去一丈以二弦候牽于勾上
并率二則擬爲候影勾上立表弦下望日
前一則上畔後一則下畔引則就影合與
表日參直二至前後三四日間影不移處
即是當以候表亦望人取一影亦可日徑
影端表頭爲則然地有高下表望不同後
六術乃窮其實 第一後高前下術高爲
勾表間爲弦後復影爲所求率表爲有所
率以勾爲所有數所得益股爲定間 第
二後下術以其所下爲勾表間爲弦置其
所下以影乘表除所得減股餘爲定間
第三邪下術依其北高之率高其勾影合
與地勢隆殺相似餘同平法假令&KR1660;邪下
而南其邪亦同不須别望但弦短與勾股
不得相應其南里數亦隨地勢不得校乎
平則促若用此術但得南望若北望者即
用勾照南下之術當北高之地 第四邪
上術依其後下之率下其勾影此謂廻望
北極以爲高逺者望去取差亦同南望此
術弦長亦與勾股不得相應唯得北望不
得南望若南望者即用勾影北高之術
第五平術不論高下周&KR1660;度日用此平術
故東西南北四望皆通遠近一差不須别
術 第六術者是外衡其徑云四十七萬
六千里半之得二十三萬八千里者是外
衡去天心之處心高於外衡六萬里爲率
南行二十三萬八千里下校六萬里約之
得南行一百一十九里下校三十里一百
一十九歩差下三十歩則三十歩大强差
下十歩以此爲准則不合有平地地旣平
而用術尤乖理驗且自古論晷影差變毎
有不同今略其梗槩取其推歩之要尚書
攷靈曜云日永影尺五寸日短一十三尺
日正南千里而減一寸張衡靈憲云懸天
之晷薄地之儀皆移千里而差一寸鄭玄
註周禮云凡日影於地千里而差一寸王
蕃姜岌因此爲說按前諸說是數並同其
言更出書非直有此以事考量恐非實矣
謹按宋元嘉十九年歳在壬午遣使徃交
州度日影夏至之日影在表南三寸二分
太康地理志交趾去洛陽一萬一千里陽
城去洛陽一百八十里交趾西南望陽城
洛陽在其東南較而言之令陽城去交趾
近於洛陽去交趾一百八十里則交趾去
陽城一萬八百二十里而影差尺有八寸
二分是六百里而影差一寸也况復人路
迂廻羊腸曲折方於鳥道所較彌多以事
驗之又未盈五百里而差一寸眀矣千里
之言固非實也何承天又云詔以土圭測
影考校二至 三日有餘從來積歳及交
州所上驗其增減亦相符合此則影差之
驗也周禮大司徒職曰夏至之影尺有五
寸馬融以爲洛陽鄭玄以爲陽城尚書攷
靈曜日永影一尺五寸鄭玄以爲陽城日
短十三尺易緯通卦驗夏至影尺有四寸
八分冬至一丈三尺劉向洪範傳夏至影
一尺五寸八分是時漢都長安而向不言
測影處所若在長安則非晷影之正也夏
至影長一尺五寸八分冬至一丈三尺一
寸四分向又云春秋分長七尺三寸六分
此即緫是虗妄後漢曆志夏至影一尺五
寸後漢洛陽冬至一丈三尺自梁天監巳
前並同此數魏景𥘉夏至影一尺五寸魏
𥘉都許昌與頴川相近後都洛陽又在地
中之數但易緯因漢曆舊影似不别影之
冬至一丈三尺晉姜岌影一尺五寸宋都
建康在江表驗影之數遥取陽城冬至一
丈三尺宋大明祖冲之曆夏至影一尺五
寸宋都秣陵遥取影同前冬至一丈三尺
後魏信都芳注周&KR1660;四術云按永平元年
戊子是梁天監之七年也見洛陽測影又
見公孫崇集諸朝士共觀祕書影同是夏
至之日以八尺之表測日中影皆長一尺
五寸八分雖無六尺近六寸梁武帝大同
十年太史令虞鄺以九尺表於江左建康
測夏至日中影長一尺三寸二分以八尺
表測之影長一尺一寸七分强冬至一丈
三尺七分八尺表影長一丈一尺六寸二
分弱隋開皇元年冬至影長一丈二尺七
寸二分開皇二年夏至影一尺四寸八分
冬至長安測夏至洛陽測及王邵隋靈感
志冬至一丈二尺七寸二分長安測也開
皇四年夏至一尺四寸八分洛陽測也冬
至一丈二尺八寸八分洛陽測也大唐正
觀二年己五五月二十三日癸亥夏至中
影一尺四寸六分長安測也十一月二十
九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分長
安測也按漢魏及隋所記夏至中影或長
短齊其盈縮之中則夏至之影尺有五寸
爲近定實矣以周官推之洛陽爲所交會
則冬至一丈二尺五寸亦爲近矣按梁武
帝都金陵云洛陽南北大較千里以尺表
令其有九尺影則大同十年江左八尺表
夏至中影長一尺一寸七分若是爲夏至
八尺表千里而差一寸弱矣此推驗卽是
夏至影差降升不同南北逺近數亦有異
日高圖注
趙君卿曰黃甲與黃乙其實正等以表高乘
兩表相去爲黃甲之實以影差爲黃甲之廣
而一所得則變得黃甲之袤上與日齊按圖
當加表高今言八萬里者從表以上復加之
青丙與青已其實亦等黃甲與青丙相連黃
乙與青已相連其實亦等皆以影差爲廣
臣鸞曰求日高法先置表高八尺爲八萬
里爲袤以相兩表相去二千里爲廣乘袤
八萬里得一億六千萬里爲黃甲之實以
影差二寸爲二千里爲法除之得黃乙之
袤八萬里卽上與日齊此言王城去天名
曰甲日底地上至日名曰乙上天名青丙
下地名青戊據影六尺王城上天南至日
六萬里王城南至日底地亦六萬里是上
下等數日夏至南萬六千里者立表八尺
於王城影一尺六寸影寸千里故王城去
夏至日底地萬六千里也
法曰周&KR1660;長八尺勾之損益寸千里
勾謂影也言懸天之影薄地之儀皆千里而
差一寸
故曰極者天廣袤也
言極之遠近有定則天廣長可知
今立表高八尺以望極其勾一丈三寸由此觀
之則從周北十萬三千里而至極下
謂冬至日加卯酉之時若春秋分之夜半極
南兩旁與天中齊故以爲周去天中之數
榮方曰周&KR1660;者何陳子曰古時天子治周
古時天子謂周成王時以治周居王城故曰
昔先王之經邑奄觀九隩靡地不營土圭測
影不縮不盈當風雨之所交然後可以建王
城此之謂也
此數望之從周故曰周&KR1660;
言周都河南爲四方之中故以爲望主也
&KR1660;者表也
用其行事故曰&KR1660;由此捕望故曰表影爲勾
故曰勾股也
日夏至南萬六千里日冬至南十三萬五千里
日中無影以此觀之從南至夏至之日中十一
萬九千里
諸言極者斥天之中極去周十萬三千里亦
謂極與天中齊時更加南萬六千里是也
北至其夜半亦然
日極在極北正等也
凡徑二十三萬八千里
并南北之數也
此夏至日道之徑也
其徑者圓中之直者也
其周七十一萬四千里
周匝也謂天戴日行其數以三乘徑
臣鸞曰求夏至日道徑法列夏至日去天
中心十一萬九千里夏至夜一日亦去天
中心十一萬九千里并之得夏至日道徑
二十三萬八千里三乘徑得周七十一萬
四千里也
從夏至之日中至冬至之日中十一萬九千里
冬至日中去周十三萬五千里除夏至日中
去周一萬六千里是也
北至極下亦然則從極南至冬至之日中二十
三萬八千里從極北至其夜半亦然凡徑四十
七萬六千里此冬至日道徑也其周百四十二
萬八千里從春秋分之日中北至極下十七萬
八千五百里
春秋之日影七尺五寸五分加望極之勾一
丈三寸
臣鸞曰求冬至日道徑法列夏至去冬至
日中十一萬九千里從夏至日道北徑亦
十一萬九千里併之得冬至日中北極下
二十三萬八千里從極至夜半亦二十三
萬八千里并之得冬至道徑四十七萬六
千里以三乘徑卽冬至日道周一百四十
二萬八千里
從極下北至其夜半亦然凡徑三十五萬七千
里周一百七萬一千里故日月之道常縁宿日
道亦與宿正
内衡之南外衡之北圓而成規以爲黃道二
十八宿列焉日之行也一出一入或表或裏
五月二十三分月之二十一道一交謂之合
朔交會及月蝕相去之數故曰縁宿也日行
黃道以宿爲正故曰宿正於中衡之數與黃
道等
臣鸞曰求春秋分日道法列春秋分日中
北至極下十七萬八千五百里從北極北
至其夜半亦然并之得春秋分日道徑三
十五萬七千里以三乘徑卽日道周一百
七萬一千里求黃道徑法列從北極南至
夏至日中一十一萬九千里以從極北去
冬至夜半二十三萬八千里并之得黃道
三十五萬七千里從極南至冬至日北至
夏至日夜半亦黃道徑也以三乘徑周得
一百七萬一千里也
南至夏至之日中北至冬至之夜半南至冬至
之日中北至夏至之夜半亦徑三十五萬七千
里周一百七萬一千里
此皆黃道之數與中衡等
春分之日夜分以至秋分之日夜分極下常有
日光
春秋分者晝夜等春分至秋分日内近極故
日光照及也
秋分之日夜分以至春分之日夜分極下常無
日光
秋分至春分日外遠極故日光照不及也
故春秋分之日夜分之時日所照適至極隂陽
之分等也冬至夏至者日道發歛之所生也至
晝夜長短之所極
發猶往也歛猶還也極終也
春秋分者隂陽之修晝夜之象
修長也言隂陽長短之等
晝者陽夜者隂
以明暗之差爲隂陽之象
春分以至秋分晝之象
北極下見日光也日永主物生故象晝也
秋分至春分夜之象
北極下不見日光也日短主物死故象夜也
故春秋分之日中光之所照北極下夜半日光
之所照亦南至極此日夜分之時也故曰日照
四旁各十六萬七千里
至極者謂璇璣之際爲陽絶隂障以日之時
而日光有所不逮故知日旁照十六萬七千
里不及天中一萬一千五百里也
人望所見遠近宜如日光所照
日近我一十六萬七千里之内及我我自見
日故爲日出日遠我十六萬七千里之外日
則不見我我亦不見日故爲日入是爲日與
目見於十六萬七千里之中故曰逺近宜如
日光之所照也
從周所望見北過極六萬四千里
自此以下諸言減者皆置日光之所照若人
目之所見十六萬七千里以除之此除極至
周十萬三千里
臣鸞曰求從周所望見北過極六萬四千
里法列人目所極十六萬七千里以王城
周去極十萬三千里減之餘六萬四千里
卽人望過極之數也
南過冬至之日三萬二千里
除冬至日中去周十三萬五千里
臣鸞曰求冬至日中三萬二千里法列人
目所極十六萬七千里以冬至日中去王
城十三萬五千里減之餘卽過冬至日中
三萬二千里也
夏至之日中光南過冬至之日中光四萬八千
里
除冬至之日中相去十一萬九千里
臣鸞曰求夏至日中光南過冬至日中光
四萬八千里法列日高照十六萬七千里
以冬夏至日中相去一十一萬九千里減
之餘卽南過冬至之日中光四萬八千里
南過人所望見一萬六千里
夏至日中去周萬六千里
臣鸞曰求夏至日中光南過人所望見萬
六千里法列王城去夏至日中光南過人
所望見萬六千里加日光所及十六萬七
千里得十八萬三千里以人目所極十六
萬七千里減之餘卽南過人目所望見一
萬六千里也
北過周十五萬一千里
除周夏至之日中一萬六千里
臣鸞曰求夏至日中光北過周十五萬一
千里法列日光所及十六萬七千里以王
城去夏至日中一萬六千里減之餘卽北
過周十五萬一千里
北過極四萬八千里
除極去夏至之日十一萬九千里
臣鸞曰求夏至日中光北過極四萬八千
里法列日光所及十六萬七千里以北極
去夏至夜半十一萬九千里減之餘卽北
過極四萬八千里也
冬至之夜半日光南不至人所見七千里
倍日光所照里數以減冬至日道徑四十七
萬六千里又除冬至日中去周十三萬五千
里
臣鸞曰求冬至夜半日光南不至人目所
見七千里法列日光十六萬七千里倍之
得三十三萬四千里以減冬至日道徑四
十七萬六千里餘十四萬二千里復以冬
至日中去周十三萬五千里減之餘即不
至人目所見七千里
不至極下七萬一千里
從極至夜半除所照十六萬七千里
臣鸞曰求冬至日光不至極下七萬一千
里法列冬至夜半去極二十三萬八千里
以日光一十六萬七千里減之餘卽不至
極下七萬一千里
夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相
接
倍日光所照以夏至日道徑減之餘卽相接
之數
臣鸞曰求夏至日中日光與夜半相接九
萬六千里法列倍日光所照十六萬七千
里得徑三十三萬四千里以夏至日過徑
二十三萬八千里減之餘卽日光相接九
萬六千里也
冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千
里不至極下七萬一千里
倍日光所照以減冬至日道徑餘卽不相及
之數半之卽各不至極下
臣鸞曰求冬至日光與夜半日不及十四
萬二千里不至極下七萬一千里法列冬
至日道徑四十七萬六千里以倍日光所
照三十三萬四千里減之餘卽日光不相
及十四萬二千里半之卽不至極下七萬
一千里也
夏至之日正東西望直周東西日下至周五萬
九千五百九十八里半
求之術以夏至日道徑二十三萬八千里爲
弦倍極去周十萬三千里得二十萬六千里
爲股爲之求勾以股自乘減弦自乘其餘開
方除之得勾一十一萬九千一百九十七里
有竒半之各得周半數
臣鸞曰求夏至日正東西去周法列夏至
道徑二十三萬八千里爲弦自相乘得五
百六十六億四千四百萬爲弦實更置極
去周十萬三千里倍之爲二十萬六千里
爲股重張自相乘得四百二十四億三千
六百萬爲股實以減弦實餘一百四十二
億八百萬卽勾實以開方除之得正東西
去周一十一萬九千一百九十七里二十
三萬八千三百九十五分里之七萬五千
一百九十一半之卽周東西各五萬九千
五百九十八里半經曰竒者分也若求分
者倍分母得四十七萬六千七百九十卽
一方得五萬九千五百九十八里半四十
七萬六千七百九十分里之七萬五千一
百九十一本經無所餘算之次因而演之
也
冬至之日正東西方不見日
正東西方者周之卯酉日在十六萬七千里
之外不見日
以算求之日下至周二十一萬四千五百五十
七里半
求之術以冬至日道徑四十七萬六千里爲
弦倍極之去周十萬三千里得二十萬六十
里爲勾爲之求股勾自乘減弦之自乘其餘
開方除之得四十二萬九千一百一十五里
有竒半之各得東西數
臣鸞曰求冬至正東西方不見日法列冬
至日道徑四十七萬六千里爲弦重張相
乘得二千二百六十五億七千六百萬里
爲弦實更列極去周十萬三千里倍之得
二十萬六千里爲勾重張相乘得四百二
十四億三千六百萬以減弦實餘一千八
百四十一億四十萬卽股實開方除之得
周直東西四十二萬九千一百一十五里
八十五萬八千二百三十一分里之三十
一萬六千七百七十五半卽周一方去日
二十一萬四千五百五十七里半亦倍分
母得一百七十一萬六千四百六十二分
里之三十一萬六千七百七十五
凡此數者日道之發歛
凡此上周徑之數者日道徃還之所至晝夜
長短之所極
冬至夏至觀律之數聽鐘之音
觀律數之生聽鐘音之變知寒暑之極明代
序之化也
冬至晝夏至夜
冬至晝夜日道徑半之得夏至晝夜日道徑
法置冬至日道徑四十七萬六千半之得夏
至日中去夏至夜半二十三萬八千里以四
極之里也
差數及日光所還觀之
以差數之所及日光所還以此觀之則四極
之窮也
四極徑八十一萬里
從極南至冬至日中二十三萬八千里又日
光所照十六萬七千里凡徑四十萬五千里
北至其夜半亦然故日徑八十一萬里八十
一者陽數之終日之所極
臣鸞曰求四極徑八十一萬里法列冬至
日中去極二十三萬八千里復加冬至日
光所極十六萬七千里得四十萬五千里
北至其夜半亦然并南北卽是大徑八十
一萬里
周二百四十三萬里
三乘徑卽周
臣鸞曰以三乘八十一萬里得周二百四
十三萬自此以外日所不及也
從周至南日照處三十萬二千里
半徑除周去極十萬三千里
臣鸞曰求周南三十萬二千里法列半徑
四十萬五千以王城去極十萬三千里減
之餘卽周南至日照處三十萬二千里
周北至日照處五十萬八千里
半徑加周去極十萬三千里
臣鸞曰求周去冬至夜半日北極照處五
十萬八千里法列半道徑四十萬五千里
加周夜半去極十萬三千里得冬至夜半
北極照去周五十萬八千里
東西各三十九萬一千六百八十三里半
求之術以徑八十一萬里爲弦倍去周十萬
三千里得二十萬六千里爲勾爲之求股得
七十八萬三千三百六十七里有竒半之各
得東西之數
臣鸞曰求東西各三十九萬一千六百八
十三里半法列徑八十一萬里重張自乘
得六千五百六十一億爲弦實更置倍周
去北極二十萬六千里爲勾重張自乘得
四百二十四億三千六百萬以減弦實餘
六千一百三十六億六千四百萬卽股實
以開方除之得股七十八萬三千三百六
十七里一百五十六萬六千七百三十五
分里之十四萬三千三百一十一半之卽
得去周三十九萬一千六百八十三里半
分母亦倍之得三百一十三萬三千四百
七十分里之十四萬三千三百一十一也
周在天中南十萬三千里故東西矩中徑二萬
六千六百三十二里有竒
求矩中徑二萬六千六百三十二里有竒法
列八十一萬里以周東西七十八萬三千三
百六十七里有竒減之餘卽矩中徑之數
臣鸞曰求矩中徑二萬六千六百三十二
里有竒法列八十一萬里以周東西七十
八萬三千三百六十七里有竒減之餘二
萬六千六百三十三里取一里破爲一百
五十六萬六千七百三十五分減一十四
萬三千三百一十一餘一百四十二萬三
千四百二十四卽徑東西矩二萬六千六
百三十二里一百五十六萬六千七百三
十五分里之一百四十二萬三千四百二
十四
周北五十萬八千里冬至日十三萬五千里冬
至日道徑四十七萬六千里周一百四十二萬
八千里日光四極當周東西各三十九萬一千
六百八十三里有竒
此方圓之法
此言求圓於方之法
萬物周事而圓方用焉大匠造制而䂓矩設焉
或毁方而爲圓或破圓而爲方方中爲圓者謂
之圓方圓中爲方者謂之方圓也
七衡圖註
趙君卿曰靑圖畫者天地合際人目所遠者
也天至高地至卑非合也人目極觀而天地
合也日入青圖畫内謂之日出出青圖畫外
謂之日入青圖畫之内外皆天也北辰正居
天中之央人所謂東西南北者非有常處各
以日出之處爲東日中爲南日入爲西日没
爲北北辰之下六月見日六月不見日從春
分至秋分六月常見日從秋分至春分六月
常不見日見日爲晝不見日爲夜所謂一歳
者卽北辰之下一晝一夜黃圖畫者黃道也
二十八宿列焉日月星辰躔焉使青圖在上
不動貫其極而轉之卽交矣我之所在北辰
之南非天地之中也我之卯酉非天地之卯
酉内第一夏至日道也出第四春秋分日道
也外第七冬至日道也皆隨黃道日冬至在
牽牛春分在婁夏至在東井秋分在角冬至
從南而北夏至從北而南終而復始也
凡爲此圖以丈爲尺以尺爲寸以寸爲分分一
千里凡用繒方八尺一寸今用繒方四尺五分
分爲二千里
方爲四極之圖盡七衡之意
吕氏曰凡四海之内東西二萬八千里南北二
萬六千里
吕氏秦相吕不韋作吕氏春秋此之義在有
始第一篇非周&KR1660;本文爾雅云九夷八狄七
戎六蠻謂之四海言東西南北之數者將以
明車轍馬跡之所至河圖括地象云而有君
長之州九阻中國之文德及而不治又云八
極之廣東西二億二萬三千五百里南北二
億三萬三千五百里淮南子地形訓云禹使
大章歩自東極至于西極孺亥歩自北極至
于南極而數皆然或其廣濶將焉可歩矣亦
後學之徒未之或知也夫言億者十萬曰億
也
凡爲日月運行之圓周
春秋分冬夏至璿璣之運也
七衡周而六間以當六月節六月爲百八十二
日八分日之五
節六月者從冬至至夏至日百八十二日八
分日之五爲半歲六月節者謂中氣也不盡
其日也此日周天通四分一之倍法四以除
之卽得也
臣鸞曰求七衡周而六間以當六月節六
月爲一百八十二日八分日之五此爲半
歲也列周天三百六十五日四分日之一
通分内子得一千四百六十一爲實倍分
母四爲八除實得半歲一百八十二日八
分日之五也
故日夏至在東井極内衡日冬至在牽牛極外
衡也
東井牽牛爲長短之限内外之極也
衡復更終冬至
冬至日從外衡還黃道一周年復於故衡終
於冬至
故曰一歲三百六十五日四分日之一一歲一
内極一外極
從冬至一内極及一外極度終於星月窮於
次是爲一歲
三十日十六分日之七月一外極一内極
欲分一歲爲十二月一衡間當一月此舉中
相去之日數以此言之月行二十九日九百
四十分日之四百九十九則過周天一日而
與月合宿論其入内外之極六歸粗通未心
得也日光言内極月光言外極日陽從冬至
起月隂從夏至起往來之始易曰日徃則月
來月往則日來此之謂也此數置一百八十
二日八分日之五通分内子五以六間乘分
母以除之得三十以三約法得十六約餘得
七
臣鸞曰求三十日十六分日之七法列半
歲一百八十二日八分日之五通分内子
得一千四百六十一爲實以六間乘分母
八得四十八除實得三十日不盡二十一
更置法實求等數平於三即以約法得十
六約餘得七即是從中氣相去三十日十
六分日之七也
是故 衡之間萬九千八百三十三里三分里
之一卽爲百歩
此數夏至冬至相去十一萬九千里以六間
除之得矣法與餘分皆半之
臣鸞曰求一衡之間一萬九千八百三十
三里三分里之一法置冬至夏至相去十
一萬九千里以六間除之卽得法與餘分
半之得也
欲知次衡徑倍而增内衡之徑
倍一衡間數以増内衡
二之以增内衡徑
二乘所倍一衡之間數以増内衡徑卽得三
衡徑
次衡放此
次至皆如數
内一衡徑二十三萬八千里周七十一萬四千
里分爲三百六十五度四分度之一度得一千
九百五十四里二百四十七歩千四百六十一
分歩之九百三十三
通周天四分之一爲法又以四乘衡周爲實
實如法得一百歩不滿法者十之如法得十
歩不滿法者十之如法得一歩不滿者以法
命之至七衡皆如此
臣鸞曰求内衡度法置夏至徑二十三萬
八千里以三乘之得内外衡周七十一萬
四千里以周天分母四乘内衡周得二百
八十五萬六千里爲實以周天分一千四
百六十一爲法除之得一千九百五十四
里不盡一千二百六卽而三之爲三千六
百十八以法除之得二百歩不盡六百九
十六歩上十之如法而得四十歩不盡一
千一百一十六復上十之如法而一得七
歩不盡九百三十三卽是一千九百五十
四里二百四十七歩一千四百六十一分
歩之九百三十三
次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百
歩周八十三萬三千里分里爲度度得二千二
百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之
千三百三十二
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得里數不滿者求歩數不盡者命分
臣鸞曰求第二衡法列一衡間一萬九千
八百三十三里少半里倍之得三萬九千
六百六十六里太半里増內衡徑二十三
萬八千里得第二衡徑二十七萬七千六
百六十六里二百歩是三分里之二又以
三乘之歩滿三百成一里得二衡周八十
三萬三千里以周天分母四乘周得三百
三十三萬二千爲實更置周天三百六十
五度四分度之一通分内子得一千四百
六十一爲法除之得二千二百八十里不
盡九百二十以三百乘之得二十七萬六
千復以前法除之得一百八十八歩不盡
一千三百三十二卽是度得二千二百八
十里一百八十八歩一千四百六十一分
歩之一千三百三十二
次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百
歩周九十五萬二千里分爲度度得二千六百
六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七
十
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得里數不滿法者求歩數不盡者命分
臣鸞曰求第三衡法列倍一衡間得三萬
九千六百六十六里三分里之二增第二
衡徑二十七萬七千里六百六十六里二
百歩卽三分里之二得第三衡徑三十一
萬七千三百三十三里一百歩以三乘徑
歩歩滿三百成里得周九十五萬二千里
又以分母四乘周得三百八十萬八千爲
實以周天分一千四百六十一爲法以除
實得二千六百六里不盡六百三十四以
三百乘之以法除之得一百三十歩不盡
二百七十卽是度得二千六百六里一百
三十歩一千四百六十一分歩之二百七
十
次四衡徑三十五萬七千里周一百七萬一千
里分爲度度得二千九百三十二里七十一歩
千四百一十分歩之六百六十九
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得里數不滿法者求歩數不盡者命分
臣鸞曰求第四衡法列倍一衡間三萬九
千六百六十六里三分里之二増第三衡
徑三十一萬七千三百三十三里一百歩
歩滿三百成里得徑三十五萬七千里以
三乘之得周一百七萬一千里以分母乘
之得四百二十八萬四千里爲實以周天
分一千四百六十一除之得二千九百三
十二里不盡三百四十八以三百乘之以
法除之得七十一歩不盡六百六十九卽
是度得二千九百三十二里七十一歩一
千四百六十一分歩之六百六十九
次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百
歩周一百一十九萬里分爲度度得三千二百
五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六
十八
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得里數不滿法者求歩數不盡者命分
臣鸞曰求第五衡法列倍第一衡間三萬
九千六百六十六里三分里之二増第四
衡徑三十五萬七千里滿三百成里得第
五衡徑三十九萬六千六百六十六里二
百歩以三分乘徑得周一百一十九萬里
又以分母四乘周得四百七十六萬爲實
以周天分一千四百六十一爲法除之得
三千二百五十八里不盡六十二以三百
乘之以法除之得十二歩不盡一千六十
八卽是度得三千二百五十八里十二歩
一千四百六十一分歩之一千六十八
次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百
歩周一百三十萬九千里分爲度度得三千五
百八十三里二百五十四歩千四百六十一分
歩之六
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得一里不滿法者求歩不盡者命分
臣鸞曰求第六衡法列倍第一衡間三萬
九千六百六十六里三分里之二以増第
五衡徑三十九萬六千六百六十六里一
百歩又三乘徑得周一百三十萬九千里
又以分母四乘周得五百二十三萬六千
爲實以周天分一千四百六十一爲法除
之得三千五百八十三里不盡一千二百
三十七以三百乘之以法除之得二百五
十四歩不盡六卽是度得三千五百八十
三里二百五十四歩一千四百六十一分
歩之六
次七衡徑四十七萬六千里周一百四十二萬
八千里分爲度得三千九百九里一百九十五
歩千四百六十一分歩之四百五
通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如
法得里數不滿法者求歩數不盡者命分
臣鸞曰求第七衡法列倍第一衡間三萬
九千六百六十六里三分里之二増第六
衡徑四十三萬六千三百三十三里一百
歩得第七衡徑四十七萬六十里以三乘
之得周一百四十二萬八千里以分母四
乘之得五日七十一萬二千爲實以周天
分一千四百六十一爲法除之得三千九
百九里不盡九百五十一又以三百乘之
所得以法一千四百六十一除之得一百
九十五歩不盡四百五卽是度得三千九
百九里一百九十五歩一千四百六十一
分歩之四百五
其次曰冬至所北照過北衡十六萬七千里
冬至十一月日在牽牛徑在北方因其在北
故言照過北衡
爲徑八十一萬里
倍所照増七衡徑
周二百四十三萬里
三乘倍増七衡周
分爲三百六十五度四分度之一度得六千六
百五十二里二百九十三歩千四百六十一分
歩之三百二十七過此而徃者未之或知
過八十一萬里之外
或知者或疑其可知或疑其難知此言上聖不
學而知之
上聖者智無不至明無不見攷靈曜曰微式
出冥唯審其形此之謂也
故冬至日晷丈三尺五寸夏至日晷尺六寸冬
至日晷長夏至日晷短日晷損益寸差千里故
冬至夏至之日南北遊十一萬九千里四極徑
八十一萬里周二百四十三萬里分爲度度得
六千六百五十二里二百九十三歩千四百六
十一分歩之三百二十七此度之相去也
臣鸞曰求冬至日所北照十六萬七千里
并南北日光得三十三萬四千里増冬至
日道徑四十七萬六千里得八十一萬里
三之得周二百四十三萬以周天分母四
乘之得九百七十二萬里爲實以周天分
一千四百六十一爲法除之得六千六百
五十二里不盡一千四百二十八以三百
乘之得四十三萬八千四百復以法除之
得二百九十三歩不盡三百二十七卽是
度得六千六百五十二里二百九十三歩
一千四百六十一分歩之三百二十七
其南北游日六百五十一里一百八十二歩一
千四百六十一分歩之七百九十八
術曰置十一萬九千里爲實以半歳一百八十
二日八分日之五爲法
半歳考從外衡去内衡以爲法除相去之數
得一日所行也
而通之
通之者數不合齊以法等得相通入以八乘
也
得九十五萬二千爲實
通十一萬九千里
所得一千四百六十一爲法除之
通百八十二日八分日之五也
實如法得一里不滿法者三之如法得百歩
一里三百歩當以三百乘而言之三之者不
欲轉法便以一位爲百實故從一位命爲百
不滿法者十之如法得十歩
上下用三百乘故此十之便以位爲十實故
從一位命爲十
不滿法者十之如法得一歩
復十之者但以一位爲實故從一位命爲一
不滿法者以法命之
位盡於一歩故以法命其餘分爲殘歩
臣鸞曰求南北游法置冬至十一萬九千
里以半歲日分母八乘之得九十五萬二
千爲實通半歳一百八十二日八分日之
五得一千四百六十一以除得六百五十
一里不盡八百八十九以三百乘之得二
十六萬六千七百復以法除之得一百八
十二歩不盡七百九十八卽得日南北遊
日六百五十一里一百八十二歩一千四
百六十一分歩之七百九十八
周&KR1660;算經卷上
周&KR1660;音義
假承務郞秘書省鈞考算經文字臣李籍撰
序
周&KR1660;(步米切周&KR1660;算經者以九數勾股重差算/日月周天行度遠近之數皆得於股表卽)
(推步盖天之法也&KR1660;者股也以表爲股周天曆/度本包犧氏立法其傳自周公受之於大夫商)
(高周人志之/故曰周&KR1660;)趙君卿撰(雛免切述也君卿趙/爽字也不詳何代人)恢
(苦回切/大也)廓落(上枯郭切/下歷各切)晷儀(居洧切/日影也)度量(上達/各切)
(下録/章切)探賾(上吐南切下上革切賾者含蓄含/蓄者探之可及故易中有曰探𦣱)索
隱(上色白切下於謹切隱者隱匿/隱匿者索之可得故易曰索隱)詭異(上居委/切下於)
(冀切詭/譎怪也)渾天(胡昆切渾天者言天地之體譬如/鳥卵天包地外猶殼之褁黄也周)
(旋無端其形渾渾然故曰渾天史官候臺所用/銅儀則其法也立八尺圓體具天地之形以正)
(黄道古察發歛以行日月以歩五緯精微深/妙不代百易之道也官有其器而無其書)蓋
天(居大切盖天之說即周&KR1660;是也其言天似蓋/笠地似覆槃天地各中高外下北極之下爲)
(天地之中其地最高而滂沱四隤三光隱映以/爲晝夜天中高於外衡冬至日之所在六萬里)
(北極下地二萬里天地隆高相從日去地常八/萬里日麗天而平轉分冬夏之間日前行道爲)
(七衡六間毎衡周徑里數各依算術用勾股重/差推晷影極游以爲逺近之數皆得於表股者)
(也故曰周&KR1660;又周&KR1660;家云天圓如張盖地方如/棋局天旁轉如推磨而左行日月右行隨天左)
(轉故日月實東行而天牽之以西没譬之於蟻/行磨石之上磨左旋而蟻右去磨疾而蟻遲故)
(不得不隨磨以左廻焉天形南高而北下日出/高故見日入下故不見天之形如倚盖故極在)
(人北是其證也極在天之中而今/在人北所以知天之形如倚盖也)靈憲(詐建切/靈憲張)
(衡所述其說/主於渾天)重仞(上直龍切下音/刅八尺曰仞)奥(於到/切)迥(戸/頂)
(切逺/也)
卷上
甄鸞(上之人切下歷官切/甄鸞北周司隷校尉)重述(上直龍切下時/律切趙爽旣加)
(注釋甄鸞又從而/發明故曰重述)善數(色具切/數算也)包犧(上蒲交切/下虚宜切)
曆度(徒箇/切)而度(大各切/量也)
勾股圓方圖(勾古侯切股公土切圓徑一而周/三方徑一而匝四伸圓之周而爲)
(勾展方之匝而爲股共結一角邪適/五乃圓/方邪徑相通之率也勾股圓方圖盖以此設學)
(者觀之思/過半矣)弦(胡田切共/結一角也)率(朔律切數相/與也又音律)竒耦(上/居)
(宜切下/烏口切)矩(俱雨/切)折(之列/切)更相(上古衡切/下息羊切)共盤(上/渠)
(用切下/蒲官切)昏墊(都念切下也書/曰下民昏墊)并(卑政/切)勾股之差
(楚佳切不齊也勾股之差/其數差一謂勾三股四也)量均(力仗/切)爲袤(莫候/切長)
(也)偃矩覆矩(偃於憲切仰也覆敷目切俯也矩/表也仰表所以望高俯表所以測)
(深)方属地(殊玉切/下同)滂沲(上普郎切/下唐何切)四隤(徒回/切)列
星之宿(思救切二十八宿之度也/禮記月令宿離不忒是也)不省(息井切/省窹也)
(不省言不窹也/猶言不敏也)累思(魯水/切)累重也(直能/切)才單(德/寒)
(青/戊)極者(竭憶切諸言極者斥天/中極去周十萬三千里)奄(衣檢切/覆也)九隩
(於到切土/可居也)靡地(母被切/無也)斥(昌石切/指也)緣宿(息救切/二十八)
(宿/也)蝕(乘力切日月虧曰蝕稍小/侵虧如蠧食草木之葉也)適至(施直切/恰也)發
歛(力冉切發/徃歛還也)璿璣(上音璇/下音機)逮(音迨/及也)有竒(居宜切/數之餘)
(也易曰歸/竒於扐)冬至夏至觀律之數聽鍾之音(律吕/戍切)
(聽陀定切此謂冬夏二至合八能之士以觀律/之數而聽鐘音之清濁也晉律曆志曰隂陽和)
(則景至律氣應則灰除是故天子常以冬夏至/日御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷影)
(侯鍾律權土炭效隂陽冬至陽氣應則灰除是/故樂均清影長極黄鍾通土炭輕而衡仰夏至)
(隂氣應則樂均濁影短極㽔賓通土炭重而衡/低進退於先後五日之中八能各以候狀聞太)
(史令封丄效/則和否則占)
七衡圖(何庚切七衡者七䂓也謂䂓爲衡者取/其衡運則生䂓䂓者正圓之謂也內一)
(衡徑二十三萬八千里次二衡徑二十七萬七/千六百六十六里二百歩次三衡徑三十一萬)
(七千三百三十三里一百歩次四衡徑三十五/萬七千里次五衡徑三十九萬六千六百六十)
(六里二百歩次六衡徑四十三萬六千三百三/十三里一百歩次七衡徑四十七萬六千里即)
(其徑而三之則各得其周也凡日月運行之圖/周七衡周而六間一衡之間萬九千八百三十)
(三里一百歩以六衡乘之即夏/至冬至相去十一萬九千里也)青圖畫者(胡卦/切界)
(也俗/作畫)合際(上胡閤切/下子例切)常處(昌據切/所也)躔(呈延切/次也)卯
酉(上莫飽切下以久切皆辰/名也卯正東也酉正西也)牽牛(上輕烟切下/如字率牛北)
(方宿也冬至/日在牽牛)婁(盧侯切婁西方宿/也春分日在婁)東井(子郢切/南方宿)
(也夏至日/在東井)角(記岳切東方宿/也秋分日在角)用繒(慈陵切/帛也)呂氏
(兩舉切呂氏者呂氏春秋也呂不韋爲秦相國/集當世儒士使著所聞爲十二紀八覽六論合)
(十餘萬言備古今之/事名爲呂氏春秋)四海(呼改切吕氏春秋曰/几四海之内東西二)
(萬八千里南北二萬六千里爾雅云九夷八狄/七戎六蠻謂之四海言東西南北之數者将明)
(車轍馬跡之所至河圖括地象亦云里數而有/君長之州九阻中國之文德及而不治又云八)
(極之廣東西二億二萬三千五百里南北二億/三萬三千五百里淮南子地形訓云禹使大章)
(歩自東極至于西極孺亥歩/自北極至于南極而數皆然)河圖括地象(括音/䀨河)
(圖括地象/緯書名也)淮南子(並如字漢淮南王/安所著之書也)大章(音泰/人名)
六間(古閑切兩衡/相去之間也)粗通(徂五切/略也)放此(甫兩切效/也下同)
卷下
四和(戶戈切調也四和者謂之極子午卯酉得/東西南北之中天地之所合四時之所交)
(風雨之所會隂陽之所和然則/百物阜安草木蕃庻故曰四和)阜安(房缶切/盛也)蕃
庻(符袁切/茂也)易處(夷益切/交也)蓋笠(上居大切/下音立)覆槃(上/方)
(六切下/蒲官切)離地(力智切/去也)障蔽(上之亮切隔也/下必䄃切奄也)日兆
月(直紹切日者陽之精譬猶火光月者隂之精/譬猶水光月含影故月光生於日之所照魄)
(生於日之所蔽當日則光盈就日則明/盡月禀日光而成形兆故云日兆月也)魄(匹陌/切月)
(之明消也康誥曰惟三月哉生魄孔安國曰三/月始生魄月十六日眀消而魄生楊子曰旣望)
(則終魄於東/亦此意也)行列(胡剛/切)極樞(春朱切爾雅曰樞/謂之棖郭璞云門)
(戸扉樞也此言極樞者取/其居中而臨制四方也)繩繫(古詣切/結也)表顛(多/年)
(切頂/也)中折(之列切/屈也)漏(盧候切漏以銅受水刻節/晝夜百刻晷漏中星畧例)
(曰日行有南北晷漏有長短然二十四氣晷差/遲疾不同勾股使然也直䂓中則差遲與勾股)
(數齊則差急隨辰極高下所遇不同如黄道刻/漏此乃數之淺者近代且猶未曉今推黄道去)
(極與晷影漏刻昏距中星四術反覆相/求消息同率施相爲中以合九股之變)揆度(上/巨)
(癸切下/大各切)釋(施隻切/散也)朝生(陟遥切/旦也)暮獲(胡麥/切)穫(胡/郭)
(切収/也)葶藶(上音亭/下音歷)薺麥(在禮/切)正勾(上音政/下音鈎)無令
(離呈切/使也)纎微(思廉切/細也)督(音篤/察也)分度(徒固切/數也)經緯
(上堅丁切下子貴切/南北爲經東西爲緯)圓定正(音/政)則復(扶富切/又也)須
女(如字星/名也)游儀(如字游儀所以望星也眞觀中/李淳風造四游儀元樞爲軸以)
(連結玉衡游筩而貫約䂓矩又元樞北立北辰/南距地軸旁轉於内玉衡在元樞之間而南北)
(游仰以觀天之辰宿下以識器之晷度開元九/年率府兵曹叅軍梁令瓉以木爲游儀一行是)
(之乃奏黄道游儀古有其術而無其噐昔人潜/思未能得今令瓉所爲日道月交皆自然契合)
(於推步尤要請㫖更/鑄以銅十年儀成)車輻(方六切所以實論而/凑轂者也以圓度爲)
(輻)爲轂(古禄切所以受輻也/以經緯之交爲轂)二十八宿(息救/切)副
置(敷救切别也别/置算也下同)地恊(檄頰切/合也)相應(於證/切)叅正
(上倉含切/下音正)八節(並如字二至者寒暑之極二分/者隂陽之和四立者生長収藏)
(之始是/爲八節)二十四氣(並如字一歳凡八節節三氣/三而入之故爲二十四氣)
氣損益九寸九分六分分之一(並如字損者減/也破一分爲六)
(分然後減之益者加也加/以小分滿六分得一從分)冬至(並如字至極也/冬至夏至寒暑)
(之/極)啓蟄(直立切藏也易曰龍蛇之蟄以/存身也左氏傳曰啓蟄而郊)春分(府/文)
(切分之言中也春分爲/陽之中秋分爲隂之中)芒種(上莫郎切/下之用切)處暑(昌/據)
(切所/也)時舎(音捨不/用也)虚誕(音但/謾也)一概(古代/切)矛楯(上/莫)
(浮切下食閏切矛所以勾楯所以蔽噐不/同不相爲用凡言矛楯者况其所趣異也)後天
(並如字月後天者月東行者也此見日月與天/俱西南游一日一夜天一周而月在昨夜之東)
(故曰/後天)故舎(式夜切舎謂二/十八宿之舎也)積後天(資昔切以月/後天分看小)
(歲積分則積/後天分也)大歲(徒盖切大歳者十/三月爲一歳也)經歲(堅丁/切經)
(常也經歳者通十/二月十九分之七)小月(並如字小月者二/十九日爲一月)大月
(徒盖切大月者/三十日爲一月)經月(堅丁切經月者以十九/乘周天分則經月之積)合
朔(上曷閤切/下色角切)覆九(敷救切盖/也下同)當(音/當)正南方(音/政)三
十六頭(並如字考靈曜曰分周天爲三十六頭/頭有十度九十六分之十四長日分於)
(寅行二十四頭入於戌行十二頭短日分於/辰行十二頭入於申行二十日頭北之謂也)坎
(苦感切正北/方之卦也)巽(蘇困切東南/隅之卦也)坤(苦混切西南/隅之卦也)離
(吕支切正南/方之卦也)乾(渠焉切西北/隅之卦也)艮(古恨切東北/隅之卦也)章
(止良切條也十九歳爲一章/言餘閏盡爲暦法章條也)蔀(薄口切蔀之言/齊同日月之分)
(也而又衆殘齊合羣數畢滿故謂/之蔀四章爲一蔀凡七十六歳也)遂(徐醉切遂/者終也言)
(五行之德一終盡極日月辰終也/二十蔀爲一遂凡千五百二十歳)首(始九切始/也言日月)
(五星終而復始也三遂爲一/首凡四千五百六十歳也)極(如字終也言日/月星辰弦望晦)
(朔寒暑推移萬物生育終而復始故謂之極/七首爲一極凡三萬一千九百二十歳也)乾
鑿度(徒固切乾鑿/度易緯書也)
周&KR1660;音義(終)
附算學源流
晉書律曆志黄帝紀三綱而闡書契乃使羲龢
常儀占月車區占星氣伶倫造律吕大撓造甲
子隷首作算數容成緫斯六術攷定氣象建行
察發飮起消息正閏餘述而著焉謂之調歷
漢書律曆志一曰律數二曰和聲三曰審度四
曰嘉五曰權衡
數者一十百千萬也所以算數事物順性命
之理也其算法用竹徑一分長六寸二百七
十一枚而成六觚爲一握度長短者不失毫
釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍叅
紀於一協於十長於百大於千衍於萬其法
在算術乎
附算法歌訣
開平方法少人通起手先呼九數重百與萬
同并百萬二三隔位一相從千同十萬和千
萬三四連身九九終除盡虚加一倍回還折
半復原宗