古今律歷考

欽定四庫全書

　古今律厯考卷六十九　　明　邢雲路　撰

　　厯原三

　　　厯原

　　　求黄赤道弧矢勾股割圓差率度

周天徑一百二十一度七十五分少(少不/用)

半徑六十○度八十七分半(又黄赤道大弦/又立勾股弦)

黄赤道内外半弧背二十四度(所測/就整)

黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒

黄赤道大勾二十三度八十分七十秒

黄赤道大股五十六度二分六十八秒(又為/立股)

如問半弧背一度下黄赤道矢度若干

　答曰八十二秒(微以下/不用)

術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背冪

置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二

　十三度六分二十五秒為徑冪(又為/上廉)

置二冪相乘得一萬四千八百二十三度○六二五為

　正實

置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周徑一

　百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○

　七度八十五分九十三秒七五為益從方

置半弧背一度倍之得二度以周徑乘之得二百四十

　三度五十分為下廉

　初商八十秒

置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六

　二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百

　八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百

　八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從

　方

置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四

　十三度四九九九三六以八十秒乘之得一度九四

　七九九九四八八為從廉併從方共得一百八十○

　萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下

　法除正實餘實三百八十六度三十三分二七一七

　○○四○九六(置秒自之得微者葢八十秒自之原/得六十四分以萬定分定萬秒為分)

　(筭得微/也餘同)

　次商二秒

置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一

　分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六

　二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從

　方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七

　六二五為從方

置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒

　自之之數得一秒三十一微以減下亷二百四十三

　度五十分餘二百四十三度四九九八六九以前所

　得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七

　八七七八為從亷併從方共得一百八十○萬四千

　四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下

　法除餘實又餘實二十五度四三八三(不足一秒/不用下同)

　是求得矢度八十二秒即授時厯元所謂立天元一

　也

問黄道半弧背一度下赤道積度若干

　答曰一度○八分六十五秒

術曰置半徑六十○度八十七分五十秒(又為黄赤/道大弦)内

　減矢度八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道

　小弦

置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六十

　八秒乘之得三千四百一十○度一七二○三○二

　四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得五十六

　度○一分九十二秒為黄赤道小股(又為赤/道小勾)

置矢度八十二秒自之得六十七微以周天徑一百二

　十一度太而一得五十五纖為黄道半背弦差(微以/下不)

　(用下/同)

置黄道半弧背一度内減黄道半背弦差餘為黄道半

　弧弦(今黄道半背弦差在/微以下所以不減)即為黄道半弧弦

置黄道半弧弦一度自之得一度為弦冪

置黄赤道小股五十六度○一分九二自之得三千一

　百三十八度一十五分○七六八六四為股冪

置二冪相併得三千一百三十九度一五○七六八六

　四以平方法開之得五十六度○二分八一為赤道

　小弦(弧中以至黄/道小勾股隅)

置黄道半弧弦一度以黄赤道大弦乘之得六十○度

　八七五以赤道小弦五十六度○二八一而一得一

　度○八分六十五秒為赤道半弧弦

置黄赤道小股五十六度○一九二(又為赤道/横小勾)以乘黄

　赤道大弦六十○度八七五得三千四百一十○度

　一六八八以赤道小弦五十六度○二分八一而一

　得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大勾

置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度

　八六五三餘九十七秒為赤道横弧矢

置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以周

　天徑而一得七十七纖為赤道背弦差

置赤道半弧弦一度○八分六十五秒内加赤道背弦

　差為赤道積度(今赤道背弦差/在微以下不加)即為赤道積度

　是求得赤道積度一度○八分六十五秒

問半弧背二度下黄赤道矢度若干

　答曰三分二十八秒

術曰置半弧背二度自之得四度為半弧背冪

置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二

　十三度○六二五為徑冪(又為/上廉)

置二冪相乘得五萬九千二百九十二度二五為正實

置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周天徑

　一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百

　○七度八五九三七五為益從方

置半弧背倍之得四度以周天徑一百二十一度太乘

　之得四百八十七度為下廉

　初商三分

置初商三分乘上廉一萬四千八百二十三度○六二

　五得四百四十四度六九一八七五以減益從方一

　百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一

　百八十○萬四千二百六十三度一六七五為從方

置初商三分自之得九秒以減下廉四百八十七度餘

　四百八十六度九九九一以初商三分乘之得一十

　四度六○九九七三為從廉併從方共得一百八十

　○萬四千二百七十七度七十七分七四七三為下

　法除正實餘實五千一百六十三度九一六六七五

　八一

　次商二十秒

置初商三分倍之加次商二十秒得六分二十秒乘上

　廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百一十

　九度○二九八七五以減益從方一百八十○萬四

　千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬三

　千七百八十八度八十二分九十五秒為從方

置初次商三分二十秒自之得一十○秒二四加初商

　三分自之之數得一十九秒二四以減下廉四百八

　十七度餘四百八十六度九九八○七六以前所得

　六分二十秒乘之得三十○度一九三八八○七一

　二為從廉併從方共得一百八十○萬三千八百一

　十九度○二三三八○七一二為下法除餘實又餘

　實一千五百五十六度二七八六二九○五

　又商八秒

置初次商三分二十秒倍之得六分四十秒加三商八

　秒共得六分四十八秒乘上廉一萬四千八百二十

　三度○六二五得九百六十○度五三四四五以減

　益從方餘一百八十○萬三千七百四十七度三二

　四九二五為從方

置初次三商三分二十八秒自之得一十○秒七五八

　四加初次商三分二十秒自之得一十○秒二四内

　共得二十○秒九九八四以減下廉四百八十七度

　餘四百八十六度九九七九○○一六以六分四十

　八秒乘之得三十一度五五七四六三九三為從廉

　併從方得一百八十○萬三千七百七十八度八八

　二三八八九三為下法除餘實又餘實一百一十三

　度二五五五

　是求得矢度三分二十八秒

問半弧背二度下赤道積度若干

　答曰二度一十七分二十八秒

術曰置半徑六十○度八七五(又為黄赤/道大弦)内減矢度三

　分二十八秒餘六十○度八十四分二十二秒為黄

　赤道小弦

置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六八

　乘之得三千四百○八度七九三七七○九六以黄

　赤道大弦而一得五十五度九九六六一二為黄赤

　道小股(又為赤/道小勾)

置矢度三分二十八秒自之得一十○秒七五八四以

　周天徑一百二十一度太而一得八微八為黄道半

　背弦差

置黄道半背二度内減黄道半背弦差餘為黄道半弧

　弦(今黄道半背弦差/在微以下不減)即為黄道半弧弦

置黄道半弧弦二度自之得四度為弦冪

置黄赤道小股五十五度九九六六一二自之得三千

　一百三十五度六二○五五五四七為股冪

置二冪相併得三千一百三十九度六二○五五五四

　七以平方法開之得五十六度○三二三一六為赤

　道小弦(弧中以至黄/道小勾股隅)

置黄道半弧弦二度以黄赤道大弦乘之得一百二十

　一度七五以赤道小弦五十六度○三二三一六而

　一得二度一十七分二十八秒為赤道半弧弦

置黄赤道小股五十五度九九六六一二(又為赤道/横小勾)以

　乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百○八

　度七九三七五五五以赤道小弦五十六度○三二

　三一六而一得六十○度八三六二為赤道横大勾

置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度

　八三六二餘三分八十八秒為赤道横弧矢

置赤道横弧矢自之得一十五秒○四六六四以周天

　徑而一得一十二微為赤道背弦差

置赤道半弧弦二度一十七分二十八秒内加赤道背

　弦差為赤道積度(今赤道背弦差/在微以下不加)即為赤道積度

　是求得赤道積度二度一十七分二十八秒

置一度下積度一度○八分六十五秒與二度下積度

　二度一十七分二十八秒相減餘一度○八分六十

　三秒為黄道一度下赤道度率後皆倣此

置一度下矢度八十二秒與二度下矢度三分二十八

　秒相減餘二分四十六秒為黄道一度下差率後皆

　倣此

問半弧背二十四度下黄赤道矢度若干

　答曰四度八十四分八十二秒

術曰置半弧背二十四度自之得五百七十六度為半

　弧冪

置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二

　十三度○六二五為徑冪(又為/上廉)

置二冪相乘得八百五十三萬八千○百八十四度為

　正實

置徑冪以周天徑乘之得一百八十○萬四千七百○

　七度八五九三七五為益從方

置半弧背倍之得四十八度乘周徑一百二十一度太

　得五千八百四十四度為下廉

　初商四度

置初商四度乘上廉得五萬九千二百九十二度二十

　五分以減益從方餘一百七十四萬五千四百一十

　五度六○九三七五為從方

置初商四度自之得一十六度以減下廉餘五千八百

　二十八度以四度乘之得二萬三千三百一十二度

　為從廉併從方共得一百七十六萬八千七百二十

　七度六○九三七五為下法除正實餘實一百四十

　六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒

　次商八十分

置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八

　十分乘上廉得一十三萬○四百四十二度九五以

　減益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九

　○九三七五為從方

置初次商四度八十分自之得二十三度○四加初商

　四度自之之數得三十九度○四以減下廉餘五千

　八百○四度九六以乘八度八十分得五萬一千○

　八十三度六四八為從廉併從方共得一百七十二

　萬五千三百四十八度五五七三七五為下法除餘

　實又餘實八萬二千八百九十四度七一六六

　又商四分

置初次商四度八十分倍之加又商四分得九度六四

　乘上廉得一十四萬二千八百九十四度三二二五

　減益從方餘一百六十六萬一千八百一十三度五

　三六八七五為從方

置初次三商四度八十四分自之得二十三度四二五

　六加初次商自之之數共得四十六度四六五六以

　減下廉餘五千七百九十七度五三四四以乘九度

　六十四分得五萬五千八百八十八度二三一六一

　六為從廉併從方共得一百七十一萬七千七百○

　一度七六八四九一為下法除餘實又餘實一萬四

　千一百八十六度六四五八六○三六

　又商八十秒

置初次三商四度八十四分倍之加又商八十秒共得

　九度六十八分八十秒乘上廉得一十四萬三千六

　百○五度八二九五以減益從方餘一百六十六萬

　一千一百○二度○二九八七五為從方

置初次三四商四度八十四分八十秒自之得二十三

　度五○三一○四加初次三商自之之數共得四十

　六度九二八七○四以減下廉餘五千七百九十七

　度○七一二九六以乘九度六八八得五萬六千一

　百六十二度○二六七一五六四八為從廉併從方

　共得一百七十一萬七千二百六十四度○五六五

　九○六四八為下法除餘實又餘實四百四十八度

　五三三四○七六三四八一六

　又商二秒

置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九

　度六十九分六二以乘上廉得一十四萬三千七百

　二十七度三七八六一二五以減益從方餘一百六

　十六萬○九百八十○度四八○七六二五為從方

置初次三四五商得四度八四八二自之得二十三度

　五○五○四三二四加初次三四商自之之數共得

　四十七度○○八一四七二四以減下廉餘五千七

　百九十六度九九一八五二七六以乘九度六九六

　二得五萬六千二百○八度七九二四○二七三一

　五一二為從廉併從方共得一百七十一萬七千一

　百八十九度二七三一六五二三一五一二為下法

　除餘實又餘實一百○五度○九五五五三

　是求得矢度四度八十四分八十二秒

問半弧背二十四度下赤道積度若干

　答曰二十五度七十七分五十二秒

術曰置周天半徑内減矢四度八四八二餘五十六度

　○二六八為黄赤道小弦(即黄赤/道大股)

置黄赤道小弦與黄赤道大股相乘(今同即/自之)得三千一

　百三十九度○○二三一八以半徑而一得五十一

　度五六四七為黄赤道小股

置矢度四度八四八二自之得二十三度五○五以周

　天徑而一得一十九分三為黄赤道背弦差在半弧

　背二十四度内減之餘二十三度八○七為黄道半

　弧弦(又為黄赤/道大勾)自之得五百六十六度七七三二四

　九為弦冪

置黄赤道小股自之得二千六百五十八度九一八二

　八六○九為股冪併弦冪共得三千二百二十五度

　六九一五三五○九以平方法開之得五十六度七

　十九分五十一秒為赤道小弦(弧中以至黄/道小勾股隅)

置黄道半弧弦以半徑乘之得一千四百四十九度二

　五一一二五以赤道小弦而一得二十五度五一七

　一為赤道半弧弦

置黄赤道小股五十一度五六四七以乘半徑得三千

　一百三十九度以赤道小弦而一得五十五度二六

　八八為赤道横大勾在半徑内減之餘五度六○六

　二為赤道横弧矢自之得三十一度四二九四七八

　四四以周天徑而一得二十五分八十一秒為赤道

　背弦差加入赤道半弧弦内共得二十五度七十七

　分五十二秒為赤道積度

　是求得赤道積度二十五度七十七分五十二秒

問半弧背四十四度下矢度若干

　答曰一十六度五十六分八十二秒

術曰置周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六

　二五為徑冪(又為/上廉)

置半背四十四度自之得一千九百三十六度為半弧

　背冪以乘徑冪得二千八百六十九萬七千四百四

　十九度為正實

置徑冪以乘周天徑得一百八十○萬四千七百○七

　度八五九三七五為益從方

置半弧背倍之得八十八度以乘周徑得一萬○七百

　一十四度為下廉

　初商一十度

置初商乘上廉以減益從方餘一百六十五萬六千四

　百七十七度二三四三七五為從方

置初商自之得一百度以減下廉餘一萬○六百一十

　四度以初商一十度乘之得一十○萬六千一百四

　十度為從廉併從方共得一百七十六萬二千六百

　一十七度二三四三七五為下法除正實餘實一千

　一百○七萬一千二百七十六度六五六二五

　次商六度

置初商倍之得二十度加次商六度共得二十六度以

　乘上廉得三十八萬五千三百九十九度六二五以

　減益從方餘一百四十一萬九千三百○八度二三

　四三七五為從方

置初次商得一十六度自之得二百五十六度加初商

　自之之數共得三百五十六度以減下廉餘一萬○

　三百五十八度以乘二十六度得二十六萬九千三

　百○八度為從廉併從方共得一百六十八萬八千

　六百一十六度二三四三七五為下法除餘實又餘

　實九十三萬九千五百七十九度二五

　又商五十分

置初次商倍之加三商五十分共得三十二度五乘上

　廉得四十八萬一千七百四十九度五三一二五以

　減益從方餘一百三十二萬二千九百五十八度三

　二八一二五為從方

置初次三商得一十六度五自之得二百七十二度二

　五加初次商自之之數共得五百二十八度二五以

　減下廉餘一萬○一百八十五度七五以乘三十二

　度五得三十三萬一千○三十六度八七五為從廉

　併從方共得一百六十五萬三千九百九十五度二

　○三一二五為下法除餘實又餘實一十一萬二千

　五百八十一度六四八四三七五

　又商六分

置初次三商倍之加又商六分共得三十三度○六乘

　上廉得四十九萬○○五○四四六二五以減益從

　方餘一百三十一萬四千六百五十七度四一三一

　二五為從方

置初次三四商得一十六度五六自之得二百七十四

　度二三三六加初次三商得一十六度五自之之數

　共得五百四十六度四八三六以減下廉餘一萬○

　一百六十七度五一六四以乘三十三度○六得三

　十三萬六千一百三十八度○九二一八四為從廉

　併從方共得一百六十五萬○七百九十五度五○

　五三○九為下法除餘實又餘實一萬三千五百三

　十三度九一八一一八九六

　又商八十秒

置初次三四商得一十六度五六倍之加又商八十秒

　共得三十三度一二八乘上廉得四十九萬一千○

　五十八度四一四五以減益從方餘一百三十一萬

　三千六百四十九度四四四八七五為從方

置初次三四五商得一十六度五六八自之得二百七

　十四度四九八六二四加初次三四商得一十六度

　五六自之之數共得五百四十八度七三二二二四

　以減下廉餘一萬○一百六十五度二六七七七六

　以乘三十三度一二八得三十三萬六千七百五十

　四度九九○八八三三二八為從廉併從方共得一

　百六十五萬○四百○四度四三五七五八三二八

　為下法除餘實又餘實三百三十○度六八二六三

　二八九三三七六

　又商二秒

置初次三四五商倍之加又商二秒共得三十三度一

　三六二乘上廉得四十九萬一千一百七十九度九

　六三六一二五以減益從方餘一百三十一萬三千

　五百二十七度八九五七六二五為從方

置初次三四五六商得一十六度五六八二自之得二

　百七十四度五○五二五一二四加初次三四五商

　得一十六度五六八自之之數共得五百四十九度

　○○三八七五二四以減下廉餘一萬○一百六十

　四度九九六一二四七六以乘三十三度一三六二

　得三十三萬六千八百二十九度二四四五八九二

　六為從廉併從方共得一百六十五萬○三百五十

　七度二四○三五一七六為下法除餘實又餘實六

　十一分

　是求得矢度一十六度五十六分八十二秒

問半弧背四十四度下赤道積度若干

　答曰四十六度三十分八十五秒

術曰置周天半徑内減矢度一十六度五六八二餘四

　十四度三○六八為黄赤道小弦

置黄赤道小弦以乘黄赤道大股得二千四百八十二

　度三六八二二二二四以黄赤道大弦而一得四十

　○度七七八一為黄赤道小股

置矢度一十六度五六八二自之得二百七十四度五

　○五二五一二四以圓徑而一得二度二五四六為

　黄赤道背弦差以減半弧背四十四度餘四十一度

　七四五四為黄道半弧弦(又為赤/道小股)自之得一千七百

　四十二度六七八四二一一六為弦冪

置黄赤道小股四十○度七七八一自之得一千六百

　六十二度八五三四三九六一為股冪併弦冪共得

　三千四百○五度五三一八六○七七以平方法開

　之得五十八度三五六九為赤道小弦(弧中以至黄/道小勾股隅)

置黄道半弧弦四十一度七四五四以乘半徑得二千

　五百四十一度二五一二二五以赤道小弦而一得

　四十三度五十四分六十七秒為赤道半弧弦

置黄赤道小股四十○度七七八一(又為赤/道小勾)乘半徑得

　二千四百八十二度三六六八三七五以赤道小弦

　而一得四十二度五十三分七六為赤道横大勾以

　減半徑餘一十八度三三七四為赤道弧矢自之得

　三百三十六度二六○二三八七六以圓徑而一得

　二度七六一八為赤道背弦差加入赤道半弧弦内

　共得四十六度三○八五為赤道積度

　是求得赤道積度四十六度三○八五

以新法密率推

周天徑一百一十六度八十四分五十秒(就/整)

黄道内外半弧背二十四度(所測/就整)

黄赤道大弦五十八度四十二分二十五秒(即半徑又/名勾股弦)

黄赤道弧矢五度○五分八十秒

黄赤道大句二十三度七十七分八十五秒(即半/弧弦)

黄赤道大股五十三度三十六分四十五秒(以矢減/大弦得)

問黄赤道内外二十四度為半弧背為矢若干

　答曰五度○五分八十秒

術曰置半弧背自之得五百七十六度為半弧冪

置周天徑一百一十六度八十四分五十秒自之得一

　萬三千六百五十二度七五四○二五為徑冪(又為/上廉)

置徑冪以半背弧冪乘之得七百八十六萬三千九百

　八十六度三一八四為正實

置徑冪以周天徑乘之得一百五十九萬五千二百五

　十六度○四四○五一一二五為益從方

置周天徑以倍半弧背得四十八度為全弧背乘之得

　五千六百八十八度五六為下廉

置初商五度以因上廉得六萬八千二百六十三度七

　七○一二五以減益從方餘一百五十二萬六千九

　百九十二度二七三九二六一二五為從方

置初商五度自之得二十五度以減下廉餘五千六百

　六十三度五六以初商五度因之得二萬八千三百

　一十七度八為從廉併從方共得一百五十五萬五

　千三百一十○度○七三九二一二五為下法以除

　正實得五度餘實八萬七千四百三十五度九四八

　七六八九三七五

置初商五度倍之得十度加次商五分共得一十○度

　○五分以乘上廉得一十三萬七千二百一十○度

　一七七七八六五以減益從方餘一百四十四萬八

　千○四十五度八六六二六四六二五為從方

置初次商五度○五分自之得二十五度五○二五以

　加初商自之之數二十五度共得五十○度五○二

　五以減下廉餘五千六百三十八度○五七五以倍

　初商加次商一十○度○五分乘之得五萬六千六

　百六十二度四七七八七五為從廉以併從方得一

　百五十○萬四千七百○八度三四四一九六二五

　為下法以除餘實得五分餘次餘實一萬二千二百

　○○度五三一五六一九五六二五

置初次商倍之得一十○度一十○分再加再商八十

　秒共得一十○度一十○分八十秒以乘上廉得一

　十三萬八千七百二十二度○三七六八四七以減

　益從方餘一百四十五萬六千五百三十四度○○

　六三六六四二五為從方

置初次再三商五度○五八自之得二十五度五八三

　三六六四再加初次商自之之數二十五度五○二

　五共得五十一度○八五八六四以減下廉餘五千

　六百三十七度四七一三六以初次商倍之再加再

　商之數共一十○度一十○分八十秒乘之得五萬

　六千九百八十三度五八八七九四○四為從廉以

　併從方共得一百五十一萬三千五百一十七度五

　九五六○四六五以除次餘實得八十秒餘再次餘

　實九十七度一七四八五八二七五三

置黄赤道大股自之得二千八百四十七度七六九八

　六○二五為股冪

置黄赤道大弦自之得三千四百一十三度一八八五

　○二五為弦冪

置二冪相減餘五百六十五度四一八六四六以平方

　法開之得二十三度七十七分八十五秒為大句(又/為)

　(立/句)

右二法前乃授時舊法後乃新推密率且如黄鍾之率

推者非一古率圍三徑一魏劉徽以一百五十七之五

十為密率宋祖冲之以二十二之七為密率皆未善也

須以圓取實量圓中求徑乃得真率圓徑相取皆三一

二六為率虚實積取率皆十三為準以此步筭周天三

百六十五度二十五分七十五秒得周天徑一百一十

六度八十四分五十秒弱較授時所用圍三徑一之古

法差四度九十分有奇徑差則矢句股弦皆差矣雖曰

圍三徑一與新推密率以步割圓分至於碎數亦相符

然圍三徑一非正法也須密率所求方為正法

　古今律厯考卷六十九