新法算書
新法算書
欽定四庫全書
新法算書卷五十八 明 徐光啟等 撰
恒星厯指三
以恒星之黄道經緯度求其赤道經緯度第一 三章
前論恒星以本行依黄道漸移而東既有平行經度而緯
度南北移就為數甚少非歴嵗久遠不可得見以此互
相推較其經度差無時不同緯度相距遠近又無從可
改必至數百年後測騐差數乃得依法推變也若論赤
道經緯度則否星行既依黄道其向赤道時時遷改欲
從赤道求之無法可得故求赤道經緯必用黄道經緯
蓋星之去離赤道無恒而去離黄道有恒黄道赤道之
相去離也又有恒以兩有恒求一無恒無患不得矣其
推步則有多法或用曲線三角形依乘除三率推算為
第一此初法也或用曲線三角形加减推算為第二此
約法也或用簡平儀量度加减推算為第三此簡法也
或造立成表簡閲得數并免臨時推算之煩為第四此
因法也第一法前第一卷已備論之今所論者每具二
則為第二第三法如左方若立成表作者甚難用者甚
佚但恐狥末忘本則繇而不知者多矣今附載之
求恒星赤道緯度前法(即第/二法)
前法用曲線三角形加减推算如圖有星在甲甲辛為黄
道緯度其餘弧甲乙為甲乙丙三角形
之一邊辛戊為黄道經度以加戊己象
限得甲乙丙角又乙丙為兩極距度則
是甲乙丙角形有甲乙乙丙兩邊有乙
角可求甲丙邊甲丙之餘弧甲丁則本星距赤道之緯
度也其法以三角形内之小弧加于大弧之餘弧得總
弧求其正弦(求緯恒用正弦/求經恒用切線)為先得數其總弧或正得
九十度或較多或較寡若正得九十度即半先得之弦
為次得之弦又以大小兩弧所包之見角求其倒弦(為/角)
(之弧過象限故用倒弦倒/弦者對本角過弧之正弦)則後得之弦也今用三率法
為全數與次得之弦若後得之倒弦與他弦既得他弦
以减先得之弦所存為三角形内第三弧之餘弦即所
求赤道緯之正弦也
假如參宿腰星之西有五等小星其黄道經度于崇禎
元年推得七十四度二十二分其緯度距黄道南二十
三度三十二分使黄道在南距赤道二十三度三十二分
(云使者假設之/數不用實分秒)則三角形内甲乙大弧得六十六度二十
八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙
丙角對辛戊經度弧及戊己象限弧共得
一百六十四度二十二分甲辛為甲乙大
弧之餘弧得二十三度三十二分依法加
于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分
其正弦七三二一五為先得之弦即半之(適足一/象限故)得三
六六○七為次得之弦次求甲乙丙角之倒弦(即己辛/弧之弦)
一九六三○一(首一者己/戊全弦也)為後得之弦依三率法以乘
次得之三六六○七得七一八五九為他弦以减先得
之七三二一五餘一三五六為甲丙弧之餘弦即甲丁
弧之正弦為本星距赤道圏緯度四十六分三十五秒
若三角形内之總弧過一象限即次得之弦非折半可
得法以大弧之餘弧减小弧所存求其弦以加于先得
之總弦半之為次得之弦其後得者甲乙丙角之倒弦
依前用三率法但所求得之他弦若小于先得之弦其
法同前若等則所求三角形内第三弧之弦正為九十
度之弦而星必在赤道上無距度若他弦大于先得之
弦則以小弦减大弦(不論何弦但/以小减大)餘為本星距赤道之
弦假如畢宿大星于崇禎元年距黄道
南五度三十一分在甲其黄道經度為
辛戊六十四度三十五分三十秒即甲
乙為大弧八十四度二十九分乙丙為
小弧二十三度三十一分三十秒(兩極之/距度)兩弧所包甲
乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧
甲乙之餘弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十
三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒
求其弦四八五四四為先得之總弦又以餘弧甲戊减
小弧乙丙存一十八度○分三十秒其弦三○九一五
以加先得之總弦四八五四四得七九四五九然後半
之得三九七二九為次得之弦其後得者甲乙丙角之
倒弦一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二
九得他弦七五六一四因他弦大于先得之弦故于他
弦内减先得之四八五四四存二七○七○查得十五
度四十二分為甲庚弧是本星距赤道之度
若總弧不及一象限則如前求先得之總弦次以小弧
减大弧之餘弧所存查其正弦又以减先得之弦所存
半之為次得之弦其餘同前第一法
假如崇禎元年大角星距黄道北三十
一度○二分三十○秒其經度過秋分
一十九度○二分三十○秒其兩弧間
之角甲乙丙得一百○九度○二分三
十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小
弧二十三度三十一分三十秒今大弧之餘弧甲己三
十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分
三十秒得五十四度三十四分其弦八一四七九為先
得數又甲己内减乙丙小弧存七度三十一分其弦一
三○八一以减先得之弦存六八三九八半之得三四
一九九為次得之弦次依三率法以乘甲乙丙角之倒
弦一三二六一二得四五三五一為他弦以减先得之
八一四七九存三六一二八為本星距赤道之弦查得
甲己弧二十一度一十○分五十四秒
求赤道緯度後法(即第/三法)
後法用簡平儀或量度或加减推算(簡平儀者以圓平面/當渾儀也圓平面者)
(以極至交圈為界作過心平面也以面當球與平渾儀/同意論球則半在面前可見今以直線當弧半在面後)
(不可見其直線當弧與前半同理下文言/某線為某弧或言前弧後弧等俱本此)量度者用規
器量度所有之見度分即於分度等圈上量取所求之
隱度分也加减者亦於本儀取數其算法即前法也量
度則省算然每星當作一圖亦不能得細分秒加减則
一圖能算多星可省圖可得細分秒特未免乘除之煩
總之先得各星之黄道經緯度即從星作直線與赤道
平行至外周從線尾起算至赤道為本星之赤道緯度
弧可量亦可算也今并具二法用者擇焉試先解儀上
諸線如丙壬寅子大圈為極至交圏壬丑線為赤道大
圏辛寅線為黄道大圏春秋二分俱在癸若星距黄道
北則辛為夏至寅為冬至星距黄道南則寅為夏至辛
為冬至今所測星為乙癸甲線為星之黄道緯度對丙
辛弧甲乙線為星之黄道經度對
辰卯弧丙乙子線為過星之距等
小圏與黄道平行丙卯辰子即過
星距等圏之半在儀上為立面與
儀面為直角在弧為丙卯辰子在儀面為丙乙甲子自
人視之卯㸃即乙㸃辰㸃即甲㸃也卯辰為星之黄道
經度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁線與赤道平行截
極至交圏於午即從午至赤道壬為所求本星之赤道
緯度弧矣今用規器量度則先定黄道緯度之丙辛弧
經度之辰卯弧從經緯線相交之乙星上出乙午線則
壬午弧必所指赤道距度也以加减推算則用直線三
角形先從丙出垂線至己半之得己戊從戊作線與丁
乙平行必至甲(丙甲為丙子之半故/丙戊為丙己之半)又從子出子己底
線偕丙己垂線作丙己子直角即成三角形者三而求
丙丁弦以减丙庚正弦存丁庚弦為星之赤道緯度
假如乙為句陳大星其黄道經于崇禎元年為八十三
度二十五分二十七秒黄道緯六十
六度○二分當用第二圖推本星距
赤道之緯度法以星距黄道之丙辛
(六十六度/○二分)加于黄道距赤之壬辛(二/十)
(三度二十一/分三十○秒)得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正
弦丙庚九九九九七今欲推己庚線(己庚者子丑弧之正/弦子丑者星距等圏)
(近赤/之弧)法以黄道距赤之丑寅(二十三度三十/一分三十○秒)减星距黄道
之子寅(六十六度/○二分)得丑子弧四十二度三十分三十秒其
正弦己庚六七五六九以减丙庚餘丙己三二四二八半
之得丙戊弦一六二一四又勾陳黄道經度甲乙八十三
度二十五分二十七秒以减全數十萬(一/率)存乙丙六五八
(二/率)以乘丙戊弦(三/率)得一○六為丙丁弦(四/率)也次以一○六
减丙庚正弦得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九
分為勾陳大星距赤道之度其比例甲丙與乙丙若戊
丙與丙丁也更之甲丙與戊丙若乙丙與丙丁(幾何六/卷四)
算恒星赤道緯度以右法為例若各星纒度不同即加
减法亦異今為六圖畧率論次如
左
凡星距黄道北其緯在二十三度
三十一分三十○秒以内其黄道
經度自春分起至秋分止用第一
圖推算或星距黄道南亦在二十
三度三十一分三十秒以内而經
度過秋分至春分止者同
凡星距黄道北過二十三度三十
一分三十○秒而不過六十六度
二十八分三十○秒(在本象/限之内)其黄
道經度自春分至秋分用第二圖
推算若星距黄道南過二十三度
三十一分三十○秒又不過六十
六度二十八分三十○秒而過秋
分至春分者同
凡星在黄道北其緯過六十六度
二十八分三十秒經度自春分至
秋分用第三圖推算若在黄道南
緯度同前而經度自秋分至春分
亦用三圖為兩至距赤度星距黄
度并之(壬丙/弧也)過九十度而丙庚正
弦亦不在癸辛象限之内故
凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内而
經度自春分至秋分用第四圖若星距黄道北亦二十
三度三十一分三十○秒以内而經度自秋分至春分
者同
凡星距黄道南過二十三度三十一分三十○秒而不
過六十六度二十八分三十○秒其經度自春分至秋
分用第五圖若星距黄道北緯度同上而經度反過秋
分至春分亦用五圖
凡星距黄道南過六十六度二十
八分三十○秒其經度自春分至
秋分用第六圖若星距黄道北緯
度同前而經度自秋分至春分即
壬丙總弧過九十度亦用六圖總之星距黄道之弧任
在南在北其與黄赤距弧於圖右推算即相加於圖左
推算即相减為恒法也
凡星黄距度大於黄赤距度則以其較弧之正弦减先
得總弧之正弦若小則以較弧之弦加先得總弧之正
弦如第三圖子寅(星黄/距)大於丑寅(黄赤/距)則以其較弧(子/丑)
之正弦(子未或/己庚)减丙壬總弧之正弦丙庚而得丙己若
小如第一圖子丑(星赤/距)為寅丑(黄赤/距)之較弧則以較弧
之正弦庚己加丙壬總弧之正弦丙庚而得丙己
凡星黄距黄赤距之總弧大於一象限用其通餘弧之
正弦如第三圖壬丙過九十度壬丙丑為通弧丙丑為
通餘弧則用其正弦丙庚
凡星之經度弧少不及二至圏則取其正弦加减于全
數以得其餘矢若大而過二至之圏則取其通餘弧之
正弦求其餘矢求法在前三圖用减在後三圖用加如
各圖從甲辰分節起算至卯乙辰卯為經度弧其正弦
甲乙(俱在前/半圏)若過至節之界或子或丙至卯乙則卯辰
為經度之加弧(在後/半圏)又前三圖内甲乙减甲丙得乙丙
後三圖内加之得乙丙皆為餘矢也(以正弦减半徑為/餘矢大弧過九十)
(度其限外弧為加弧/并九十度為過弧)
各圖皆以丙丁弦减丙庚正弦惟星在兩道間如第四
圖丙丁大于丙庚則以丙庚减丙丁而得丁庚(赤道/緯)其
餘法簡各圖自明
求恒星赤道經度前法(第二/法)
前法求緯度用曲線三角形并兩腰分盈縮適足三等加
减得之此為黄經緯求赤經緯以二求二故也既得赤
緯則以三求一故不拘大小皆歸一法止用兩緯度之
餘弧及見角之餘角以推他角所對赤道經度之餘弧
如圖甲丙為星赤道緯之餘弧甲乙為黄道緯之餘弧
甲乙丙為對黄經度之見角丁乙庚其
餘角是甲乙丙三角形内有三邊有乙
角今求甲丙乙他角以推戊己是為赤
道經度之餘弧
假如甲為大角星其赤道緯于崇禎元年得二十一度
一十分五十一秒為甲戊其餘弧甲丙六十八度四十
九分得正弦九三二四四為第一率黄道緯三十一度
○二分三十秒為庚甲其餘弧甲乙五十八度五十七
分三十秒得正弦八五六七九為第二率其黄道經度
過秋分辛一十九度○二分三十秒為辛庚即甲乙丙
角之餘弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正弦九
四五二八為第三率求得八六八五六為戊己弧之正
弦查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限
存二十九度四十二分三十○秒為大角星秋分後之
赤道經度
求赤道經度後法(第三/法)
用簡平儀與前求緯法同今所求者為辰卯弧而先得者
赤黄二緯度故三角形之底線與黄道平行星緯弧與
兩道距弧在圖之左即相加在圖之右即相减
如圖乙為勾陳大星其黄道緯六
十六度○二分其先得之赤道緯
甲癸八十七度一十九分辛壬為
黄赤距弧(二十三度三十/一分三十秒)以加赤
道緯度弧壬丙(八十七度/一十九分)得辛丙(一百一十度五/十分三十秒)總弧
其通餘弧丙寅之正弦(九三四/五七)為丙庚也又因星在圖
之右應以星緯弧兩道距弧相减得(六十三度四十/七分三十秒)為
寅子弧其正弦(八九七/二○)為子未或己庚以减丙庚正弦
餘(三七/三七)為丙己半之存(一八/六八)為丙戊今本星黄道緯弧
(六十六度/○二分)為辛午其弦(九一三/七八)為丁庚以减丙庚正弦
得丙丁(二○/七九)因以丙戊為第一率丙甲全數為第二丙
丁為第三得丙乙弦(一一一/二九六)去其首位(丙甲/全數)存(一一二/九六)
為甲乙弦所對辰卯弧(六度二十九/分一十秒)即本星之赤道經度
並求恒星赤道經緯度(第四/法)
依前法用立成表可並求經緯度且省算如圖星在甲其
黄道緯甲丁經丁庚而求赤道緯甲乙經乙庚即用此
兩曲線三角形取之其法于甲乙丙三
角形内因三表可得甲乙弧為赤緯及
丙乙弧以得乙庚赤經先用赤道升度
表查取相當之黄道經度如圖戊庚為
赤道弧辛庚為黄道弧今反之以辛庚為赤道即原黄
道之丁庚升度今以當赤道之弧即可得相當之庚丙
上度也次以黄赤距度表用其經弧查其緯弧既得經
弧之度丙庚即知兩道相距之緯度丙丁也更用過極
圏截黄交角表因辛庚當赤道即星上過極之壬丙弧
截見當黄道之戊庚弧於丙則得甲丙乙交角次以黄
緯甲丁加兩道距丁丙得甲丙為第一三角形之弧夫
甲乙丙既為直角又有後得之甲丙乙角即先推甲乙
弧為星之赤道緯後得乙丙以减先得
之丙庚存乙庚為星距分節之經弧
假如婁宿東星于崇禎元年距黄道北
(九度五/十七分)距春分節(三十二度二十/九分四十八秒)為見
當赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宮查升度表
于大梁宮得其度分其相當者為見當黄道上之度(三/十)
(四度四/十八分)庚丙也又用兩道距度表以庚丙弧四度四十
八分于大梁宮查其相當之距緯得(一十三度/一十○分)為黄赤
距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宮之
四度四十八分得(七十度二十○/分二十四秒)為甲丙乙角今以甲
丁(九度五/十七分)加于丁丙(十三度/一十分)得(二十三度/○七分)為三角形之
弧甲丙其正弦(三九二/六○)為第二率甲丙乙角之正弦(九/四)
(一六/七)為第三率甲乙丙直角全數為第一率求得(三六/九九)
(九/)為四率即甲乙弧之正弦查得(二十一度四十/二分五十三秒)為本
星距赤道之緯弧又以甲乙丙角全數為一率甲丙乙
餘角(一十九度三十/九分三十六秒)之弦(三三六/四四)為二率甲丙弧之切
線(四二六/八八)為三率而求乙丙底弧之切線得(一四三/六四)為
四率查得(八度一十分/二十六秒)以减庚丙弧(三十四度/四十八分)存(二十/六度)
(三十七分/三十四秒)為本星赤道之經弧乙庚
若經少緯多星越赤道極之軸線戊丁
而近黄道極法當先用升度表次用黄
赤距表又次用交角表以三率求乙丙
則甲丙乙角之餘弦與甲丙弧之切線相乘得數為乙
丙弧之切線内减先升度表所取之丙丁弧餘丁乙以
减三百六十度所餘環周之大丁乙即赤道經也再以
丙角甲丙正弦相乘得數即赤道緯甲乙
若黄緯過九十度之外諸法同前但去九十度而用零
數法以零數之餘弧取其正弦乘丙角之正弦得甲乙
緯又以零餘弧之切線乘兩角之餘弦得丙乙之餘切
線又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减
全周所存通弧為本星之赤道經度
假如紫微垣新増少弼外南星其黄經五十○度○九
分黄緯八十○度三十八分查升度表
得五十二度三十五分為丙丁查距度
表得一十八度二十九分為丙己查交
角表得七十五度一十二分為丙角今
以距度丙己加黄緯甲己得甲丙九十九度○七分為
過象限則去九十度獨用其零數九度○七分以其餘
弧八十○度五十三分查八線表得九八七三七為正
弦以乘丙角之正弦九六六八二得九五四五○一為
赤緯甲乙之正弦查得七十二度三十九分又查零餘
弧八十○度五十三分其切線六二三一六○以乘丙
角之餘弦二五五四五得一五九一○六為丙乙之餘
切線查得三十二度○九分以加前所去九十度得一
百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五
分存六十九度三十四分以减全周三
百六十存二百九十○度二十六分為
本星之赤道經度
若星在黄赤道之間法以黄緯减黄赤
距度其餘同前用相乘之數减丙丁所得數為赤經數
若星在兩道南丙丁為赤經法當以乘出之乙丙數加
乙丁為赤道經度是黄經短赤經長也
前所求在降婁大梁實沈三宮則可若
在鶉首鶉火鶉尾其法異是何也此星
方位出象限之外經度已轉過至節故
前减者此宜加前加者此宜减又前黄
緯過九十度即越北極軸線故减于三百六十度内方
得所求今從春分轉至秋分雖過九十度而無軸線可
越(不得至黄/南極故也)故不必减于全周自秋分以往對待六宮
如壽星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在
南右用北左法此為異耳
以度數圖星象第二 三章
平渾儀義
古之作者造渾天儀以準天體以擬天行其來尚矣後世
増修遞進乃有平面作圖為平渾儀者形體不甚合而
理數甚合為其地平圏地平距等圏及過天頂横截之
弧與天夫黄赤二道黄赤距等圏及過兩極横截之弧
皆確應天象故以此言天特為著明能畢顯諸星之經
緯度數也厯家稱為至公至便超絶衆器今詳其應用
多端不後于渾儀其要約簡易則勝渾儀且渾儀所用
大環欲其纖毫不爽勢不可得未若平面之直線當一
環圓界當一環直者必直圓者必圓無可疑也然論其
本原即又從渾儀出何者凡于平面圖物體若依體之
一面繪之定不合于全體必依視學以物影圖物體或
圓或方或長短各用其遠近明暗斜直之比例則像在
平面儼然物之元體矣但光體變遷出光之處無數則
所作影亦無數而受影之半面有正有偏則影之變態
又無數故視學家分為二品一為有法物像一為無法
物像(以可用為有/法不則無法)今論渾儀之影能生平儀儀本于此
必求平面之上能為實用可顯諸曜之度數以資推算
者則為有法而於諸無法像中擇其有法者特有三一
設光于最遠處照渾儀正對春分或秋分則極至交圏
為平面之圏界以面受影即顯赤道及其距等圏皆如
直線而各過極經圏皆為曲線之弧此有法之第一儀
也次設光切南極則赤道為平面之圏界諸赤道距等
皆作平面上圓形而極至交圏又如直線此為有法之
第二儀也又次設光切春分或秋分在極分圏與赤道
之交則亦以極至交圏為平面之圓界以面受影即赤
道與極分交圏為直線而其餘皆為曲線之弧此有法
之第三儀也今繪星圖惟用第二儀次則第三以其正
對恒星之度其第一儀不用也為是平渾所須并論之
總星圖義
設渾儀以北極抵立平面其軸線為平面之垂線有光或
目切南極正照之儀上設㸃其影或像必徑射于平面
即北極居中設㸃之影去北極漸遠者其在平面之兩
距亦漸遠乃至南極則為無窮影終不及
于平面矣又平面之上北極所居㸃為過
兩極軸線之影為渾儀衆圏之心平面上
諸赤道距等圏離此愈遠即其影愈寛大
至近南極者則平面無可容之地也假有
渾儀為甲丙乙丁甲為南極乙為北極以
乙極抵丑乙子平面有光或目在甲極先
照近北極之圏辰己即其影自己迄辰為
本圏之全徑因以乙為心己辰為界即平
面作圏準渾儀之實環也又照夏至圏癸壬之圓界其
影至卯寅即以卯寅為徑次照赤道圈丙丁之圓界影
至己戊以己戊為徑各如前作圏各得準其本環次有
冬至圏辛庚雖近甲南極小于赤道之丙丁圏而影在
平面為丑子反大于赤道影己戊蓋乙甲丑角大于乙
甲己角故也若至午未南極圏其影在平面更遠而終
竟可至惟甲南極為左右直影與子丑平行終不至于
平面也今作星圖不用兩至兩極圏獨用赤道之左右
度分度分近乙北極即平面上影相距亦愈近遠亦愈
遠經度既爾緯度亦然蓋經度從心向外出線
其左右各侣線愈遠心相距亦愈廣緯度從心
向外作圏其内外各侣圏愈遠心相距亦愈寛
也問經度遠心即愈廣易見矣何以知星之緯
度在平儀之上愈遠心相距愈寛乎曰以幾何
徴之設有甲乙丙丁圏以全徑甲丙抵戊己平
面為垂線若平分圏界如一十二從甲出直線
各過所分圏界至戊己庚辛平面上各㸃得戊
庚寛于庚辛面庚辛又寛于辛壬餘線盡然蓋
從甲出各侣線至平面以各㡳線連之其各腰與各底為
比例則甲庚與庚辛若甲壬與壬辛也今甲庚大于甲壬
則庚辛必大于辛壬(見幾何第六/卷第三題)試以丙為心作壬辛庚
三侣圏其在儀各所分圏界則為距等而壬辛之相距與
辛庚之相距廣狹大異矣依此作圖則去心遠者各所限
經緯度漸展漸大與近心者不等而經緯度之比例恒
等即所繪星之體勢與天象恒等不然者經度漸展緯
度平分依經緯即失體勢依體勢即失經緯乖違甚也
斜圏圖圓義
渾儀諸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及諸過
極經圏也斜者如黄道圏地平圏及其各距等圏也以
視法作為平面圖設照本(或光或/人目)在南極則正受照之
圏影至平面必成圏形或直線如前說矣若斜受照之
圏其影在平面當作何形像乎此當用角體之理明之
按量體法(測量全/義六卷)中論角體有正角有斜角兩者皆以
平圓面為底皆以從頂至底心之直線為軸線其為正
與斜則以垂線分之若自角下垂線至底與軸線為一
如第一圖甲乙垂線即甲丙丁戊角形之軸線則甲丙
丁戊為正角體若兩線相離如第二
圖甲己為軸線甲乙為垂線則甲丙
戊庚丁為斜角體也更以斜角體上
下反截之為甲辛壬小角體(既斜截/為上下)
(兩體更若從軸線自上而下縱截之/為兩平分其截面三角形大小比例)
(相似則名反截之角體/若不合比例則為無法)依斜角體之本理則小體之底
與大體之底相似不得不成圓形今欲推黄道等斜圏
不能正受照本之光則于平儀面所顯何像法依第二
斜角圖以甲當南極照本之㸃壬辛為渾儀上斜圏丙
戊庚為平面上斜圏之影次用三圖徴
為圓影焉
假如甲乙丙為極至交圏甲當南極為
照本之㸃斜受光之圏為乙丁從甲照
之過乙丁邊直射至己戊平面為甲己
甲戊兩線即得甲己戊及甲乙丁皆直
線三角形此為渾儀平面形影之體勢
以角體法論之己戊為乙丁圓圏之影
即甲己戊為全角體而甲乙丁其反截之小角體矣又
甲丙垂線非甲庚樞線即甲己戊為斜角體而己戊其
底自與甲乙丁小角體其底乙丁各相似也
問反截之角體與平面所得三角形何云
兩相似乎凡相似兩三角形必三角各等
三邊之比例各等此有諸乎曰有之甲為
共角從乙作直線至辛與己戊為平行即
甲丙之垂線而甲乙辛角與甲己戊角俱
在平行線上必等又甲乙辛甲丁乙俱在
界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛兩弧等
即兩角必等而甲丁乙與甲己戊兩角亦等其餘角甲
乙丁及甲戊己亦等則乙丁小角體之底與其所照平
面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近于照本其影必
長距遠則短如從南極照黄道斜圏其半弧乙在赤道
南近甲即甲己必長于甲戊然分較之雖南影長于北
影合較之則平面上圓影不失黄道之圓影矣
問以視法圖黄道既為圓形從何知其心乎曰從照本
之㸃出直線為斜圏徑之垂線引至平面則黄道之心
也蓋本圖大小三角形既相似而甲丙與甲庚兩線又
相離即各分為兩三角形各相似其甲丙
戊與甲丙己一偶也甲辛乙與甲辛丁一
偶也是以甲己庚角與己甲庚角等而甲
庚線與庚己線亦等又甲戊庚角與戊甲
庚角等何者因前圖得己角與丁角等此
圖得丁角與乙甲辛角等即己角與乙甲辛角亦等因
得乙戊兩角等又得乙角與庚甲戊角等即戊角與庚
甲戊角亦等而戊庚與甲庚兩線亦等因得戊庚與庚
己兩線等而庚為己戊徑之心
繪總星圖第三
古法繪星圖以恒見圏為紫微垣以恒隱圏界為總圖之
界過此南偏之星不復有圖矣西歴因恒見圏南北隨
地不同又漸次不同故以兩極為心以赤道為界平分
為南北二圖以全括渾天可見之星此兩法所繇異也
赤道平分南北二總星圖
以規器作赤道圏即本圖之外界也縱横作十字二徑平
分為四象限限各九十又三分之分各三十又五分之
分各六又六分之分各一此為全周三百六十度矣次
從心至界上依度數引直線為各經度其作緯度有二
法一用幾何則依界上經度于横徑之左定尺于横徑
之右上下游移之每得一界限度(界限度者或一度二/度為一限或五度十)
(度為一限/以至九十)即于直徑上作識則直徑上下所得度與界
限度各相應而疎密不等經緯相
稱矣用數則依切線表求界限度
之相當數以規器取之(用比例規/甚便無規)
(先作半徑百平/分之用以取數)若表中求一十度
即徑上下得二十度表中求二十
徑上下得四十所得比所求恒多一倍也
假如欲依界限度以分徑如第一圖甲乙丙丁為赤道
所分徑為甲丙于乙上定尺從右徑末丁
向上移尺至一十二十等限于甲丙徑上
作戊己等一十二十諸識各識愈離心其
侣距愈遠矣若以數分之依第二圖如求
四十度癸庚則表中查二十度之切線相
當數為三十六用規器向庚辛直線取庚
子三十六移至甲乙徑上自中心乙至己
為三十六即得四十度矣蓋以丁為心作乙丙象弧其
半弧乙壬之切線為平面之半徑甲乙即乙己為二十
度弧乙戊之切線若引丁戊割線至庚則癸庚得四十
度與前法合也
見界總星圖
見界總星圖者以北極為心以恒隱圏為界此巫咸甘石
以來相傳舊法也然兩極出入地平隨地各異而舊圖
恒見恒隱各三十六度三十六者嵩高之北極出地度
耳自是而南江淮間可見之星本圖無有也更南閩粤
黔滇可見之星本圖更無有也則此為嵩高之見界總
圖而非各省直之見界總圖也又赤道為天之大圏其
左右距等侣圏以漸加小至兩極各一㸃耳于平面作
圖而平分緯度自極至于赤道緯度恒平分而經度漸
廣廣袤不合即與天象不合向所謂得之經緯失之形
勢得之形勢失之經緯者也况過赤道以南其距等緯
圏宜小而愈大其經度宜翕而愈張若復平分緯度即
不稱愈甚其相失亦愈甚矣今依此作圖宜用滇南北
極出地二十度為恒隱圏之半徑以其圏為隱見之界
則各省直所得見之星無不備載可名為總星圖矣又
依前法為不等緯距度向外漸寛則經緯度廣袤相稱
而星形度數兩不相失矣但前以赤道為界設照本在
南極所求者止九十緯度則所用切線半之止四十五
度至赤道止矣用為平圖之半徑經緯度猶未甚廣足
可相配若此圖則否其半徑過赤道而外尚七十度并
得一百六十度半之為八十度從南極㸃出直線必割
圓八十度乃合于百六十度之切線也此其長比赤道
内之半徑不啻五倍經緯皆愈出愈寛以比近北極之
度分大小殊絶矣如圖甲為平圖之心乙為南極甲丙
為半徑亦即為
四十五度甲戊
弧之切線若從
乙出直線割八十度之弧甲丁然後與甲丙引長百六
十度之線遇于己其長于甲丙幾及六倍也如是而依
本法作圖若圖幅少狹即北度難分若北度加寛即圖
廣難用矣今改立一法設照本稍出南極之外去極二
十度起一直線以代乙己其與甲丙之引線不交于己
而稍近丙以歛所求之度定平圖之半徑則廣狹大小
皆適中矣但照本所居宜有定處去極遠則切線太促
不能分七十度之限太近則半徑過長畧同前說也今
法如上圖甲為平圖之心欲其外界出丙己壬赤道之
外遠至七十度先
求照本隨所照光
圖之作甲丙直線
去赤道徑甲癸七
十度正次作乙丙
垂線為二十度之正弦次作丙丁線為二十度之切線
令丁㸃在南極之外為照本則甲丙與乙丙若丙丁與
乙丁何者甲乙丙乙丙丁兩三角形相似故也次引丁
丙切線與甲癸之引長線遇于辛則辛㸃定百六十度
之限為平圖之半徑矣次以緯度分甲辛線恒令丁戊
與戊己若丁甲與甲庚則赤道内庚分向北之緯度赤
道外庚分向南之緯度也欲得各丁戊線以加减取之
向南距度之正弦以减甲丁割線得小丁戊因得大甲
庚向北距度之正弦以加甲丁割線得大丁戊因得小
甲庚也蓋正弦雖在癸己左右因甲戊其平行線即與
正弦等故(左邊為北/右邊為南)
問赤道緯度其内
外廣狹既爾不齊
則欲作黄道圏用
何法乎曰此因照
本不切南極以照
黄道斜圏之邊不能為直角即不能為軸邊之心而有
二心故其影不能為正圓而微成撱圓與前南北平分
總圖稍異法也當于甲辛徑上從赤道向内數黄赤距
二十三度三十一分三十○秒若所得為子午即作午
壬直線平分之于未從未出垂線向甲辛徑上得黄道
向北半圏之心為下庚而其邊依緯度之狹則小次于
赤道外自癸至辛數得二道距度如前求得黄道向南
半圏之心為上庚其邊因緯度之寛則大也
極至交圏平分左右二總星圖
前分有法物象三儀其第一照本在最遠者星圖所不用
其用者第二第三也第二法照本在南極以赤道圏為
平面界則前説赤道平分二圖是己第三法照本在二
分以極至交圏為平面界今解之設照本切春分即用
所照平面之心以準秋分以極至交圏為界赤道圏極
分交圏則為直線諸赤道距等圏諸過極經圏則為曲
線之弧以此定經緯度及半天恒
星之方位也又設照本切秋分則
以春分為心其餘圏影皆同上可
定餘半天恒星之方位矣圖法先
作極至交圏為圖界假設甲乙丙
丁圏為赤道(本極至交圏假為/赤道借用第一圖)平分三百六十度借丙
㸃為赤道與極分圏之交從丙向己庚等邊界引直線
過乙丁徑作辛壬等識即各過極圏之經度限也次即
用甲乙丙丁圏為極至交圏(即第/一圖)則甲辛丙甲壬丙等
過極經圏之弧可定恒星之赤道
經度矣次欲作赤道距等圈先假
設甲乙丙丁為極分交圏(本極至/交圈假)
(為極分借/用第二圖)借乙㸃為赤道與極分
圈之交從乙向己庚等邊界引直
線過甲丙徑上作辛壬等識即各赤道距等圏之緯度
限也次即用甲乙丙丁為極至交圏(即第/二圖)則己辛庚壬
等皆赤道距等之弧而丁戊乙為赤道可定恒星之赤
道緯度也若欲以黄道為心作圖則以乙丁線當黄道
甲丙為黄道之兩極而乙丁上下距等之弧皆可定恒
星之黄道緯度平面界圏亦為過黄道極之經度圏如
前所作赤道平分二圖皆改赤道極為黄道極赤道面
為黄道面皆可定恒星之黄道經緯度也
恒星有等無數第四 三章
恒星以芒色分氣勢以大小分等第所載者有數不能載
者無數可盡也今畧論其體等及其大數别定黄赤二
道之經緯度作圖作表如後卷
恒星分六等
古多祿某推太陽太陰本體之容積先測其視徑及月食
時之地影及地球之徑容展轉相較乃能得之(詳見三/大論)
後巴徳倪借用其法以考五星及恒星離地之遠又測
諸大星之視徑如圖甲辛為太陽離地之遠其視徑甲
乙為太陽居最高及最高衝折中之半徑也今設丙為
鎮星其離地為辛丙即太陽之半徑至此見如丙戊而
鎮星居此所見大僅得
太陽視半徑一十八分
之一為丙丁用三率法
辛丙與丙戊若辛甲與甲乙次以地徑推得丙戊總線
數即可得丙丁分線數古法推七政及恒星之體大畧
如此蓋因其視徑及距地之遠可得渾體之容積也但
恒星已知離地最遠而無視差可考止依其視徑以較
五星即其體之大小十得七八矣第谷則以鎮星較之
因測鎮星得其視徑一分五十秒亦微有視差為一十
五秒弱推其離地以地半徑為度得一萬○五百五十
因得其全徑大于地之全徑二倍又一十一分之九是
鎮星之渾體容地之渾體二十有二矣此測為鎮星居
最高最高衝折中之數也若在最高測其距地為地半
徑一萬二千九百(後論五星/更詳此理)而恒星更遠居其上設加
一千即約為一萬四千因以所測之視徑分其等差○
先測明星如心宿中星大角參宿右肩等其視徑二分
即得大地四徑有奇何也因設星離地一萬四千依圏
界與圏徑之比例(徑七圍/二十二)即星所居之圏界得八萬八
千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又
六十分之每分得四視徑二分得八有奇是恒星之全
徑二分當渾地之八半徑也即四全徑也又以立圓法
推之即此星渾體之容大于渾地之容六十有八倍此
為第一等星也此一等内尚有狼星織女等又見大一
十五秒其體更加二十餘倍若見小一十五秒如角宿
距星等即反之其體减二十餘倍
次測北斗上相北河等其視徑一分三十秒設其距地
與前等推其實徑大于地徑三倍有奇而其渾體大于
地之渾體二十八倍有奇此為第二等
又次測婁箕尾三宿等星其視徑一分○五秒依前距
地之遠其實徑大于地徑二倍又五分之一其體大于
地體近一十一倍為第三等
又次測參旗柳宿玉井等星其視徑四十五秒其實徑
與地徑若三與二其體大于地體四倍有半為第四等
又次測内平東咸從官等小星得視徑三十秒其實徑
與地徑若五十與四十九其體比于地體得一又一十
八分之一為第五等
又次測最小星如昴宿左更等得視徑二十秒其實徑
與地徑若一十五與二十二即其體比于地體得三分
之一為第六等
右恒星相比約分六等若各等之中更有微過或不及
其差無盡則匪目能測匪數可算矣
問前言恒星居鎮星之上離地皆等故依其視徑以推
其體之大小則不等若設其遠近不等即其實徑不隨
其視徑從何推知其體乎曰假令諸恒星之體實等因
其中更有遠近不等故見有大小不等即以六等星比
第一等所見小大乃爾必更遠于前率十餘倍矣蓋測
此大小星比其視徑如天田西星與大角星差一分五
十五秒即其遠近距當得一十四萬一千大地之半徑
與鎮星最高及大角之距地畧等此中空界安所用之
且小大彬彬雜以成文物之理也若何舍此而強言等
體乎七政恒星遠近大小皆從視徑視差展轉推測理
數實然無庸不信然而宏濶已甚猶有未經測算難于
遽信者焉况此遠近等體之說非理非數則是虚想戲
論而已又誰信之哉
恒星無數
自古掌天星者大都以可見可測之星求其形似聯合而
為象因象而命之名以為識别是有三垣二十八宿三
百座一千四百六十一有名之星焉世所傳巫咸石申
甘徳之書是也西厯依黄道分十二宮其南北又三十
七像亦以能見能測之星聯合成之共得一千七百二
十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一
百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次
六等二百九十五蓋有名者一千二百六十六餘皆無
名矣然而可圖者止此若依法仰觀所見實無數也何
謂依法今使未諳星厯者漫視之漫數之樊然淆亂未
足實證其無數也更使諳曉者按圖索象則依法矣如
是令圖以内之星悉皆習熟若數一二然而各座之外
各座之中所不能圖不能測者尚多有之可見恒星實
無數也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣於晦朔之
夜比弦朢之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼
比鈍眼又多矣至若用遠鏡以窺衆星較多于平時不
啻數十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿傳云
七星或云止見六星而實則三
十七星鬼宿四星其中積尸氣
相傳為白氣如雲耳今如圖甲
為距星乙為本宿東北大星其
間小星三十六瞭然分明可數也他如
牛宿中南星尾宿東魚星傳說星觜宿
南星皆在六等之外所稱微茫難見者
用鏡則各見多星列次甚遠假如觜宿南一星數得二
十一星相距如圖大小不等可徴周天諸星實無數也
天漢
渾天衆圏有大有小如黄赤二道過極經圏極至極分交
圏地平圏等凡與地同心者皆大圏也如冬夏二至圏
常見常隱圏各距等圏凡與地不同心者皆小圏也若
天漢者論其界不可謂圏凡圏以圓線為界此以廣面
為界故也論其心實與黄赤二道相等不可謂非大圏
蓋其心必同地心且兩交黄道兩交赤道旁過二極皆
一一相對正與黄道相反斜絡天體平分為二故也欲
測其廣無定數大約兩至之外廣于兩至之中從天津
又分為二至尾宿復合為一過夏至圏以井宿距星為
限正切鶉首初度過北極西距二十三度半前過冬至
圏則星紀初度約居其中又轉至南極東距亦二十三
度半而復就夏至總為過兩至與黄道相反之斜圏也
古多祿某測其兩涯所過星宿與近世不異在赤道北
則從四凟始南三星當其中北一星不與焉次水府次
井西四星切其左邊天關一星五車口切其右更前積
水在左大陵從北第二星在右王良所居在其中若洲
渚然次天津横截之兩端平出其左右河鼓中星在右
其對邊為天市垣齊星此赤道北兩涯所經諸星也在
赤道南者以天弁東星為界次斗第三星次箕南二星
其對邊則天市垣宋星尾宿第一星而入于常隱之界
迨過南極以來復起于天稷過弧矢天狼以至赤道此
為赤道南所經諸星也
問天漢何物也曰古人以天漢非星不置諸列宿天之
上也意其光與映日之輕雲相類謂在空中月天之下
為恒清氣而已今則不然遠鏡既出用以仰窺明見為
無數小星蓋因天體通明映徹受諸星之光并合為一
直似清白之氣與鬼宿同理不藉此器其誰知之然後
思天漢果為氣類與星天異體者安能亘古恒存且所
當星宿又安得古今寰宇覯若畫一哉甚矣天載之𤣥
而人智之淺也温故知新可為惕然矣
新法算書卷五十八