御製歷象考成

　欽定四庫全書

御製厯象考成上編卷二

　　弧三角形上

　　　弧三角形總論

　　　弧三角形綱領

　　　弧三角形凡例

　　　正弧三角形論

　　　正弧三角形圖說

　　　正弧三角形八線勾股比例圖說

　　　正弧三角形用次形圖說

　　　正弧三角形邊角相求法

　　　正弧三角形設例七則

　　　弧三角形總論

弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黄赤相準

之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟

元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率視古為

密但其法用三乘方取數甚難自西人利瑪竇湯若

望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交

成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相

交即線與線相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道

可以知赤道有赤道可以知黄道有經可以知緯有

緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而

極矣

　　弧三角形綱領

　　　　　凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一

　　　　　線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規戊

　　　　　己為赤道庚辛為黄道壬乙癸丁為地

　　　　　平規如此之類皆為大圈其周度皆相

　　　　　等故可以相為比例凡圈皆有極極距

　　　　　圈皆九十度如赤道則有南北極黄道

　　　　　則有黄極若圈不相等則為距等圈如

　　　　　子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而

　　　　　與大圈平行雖亦為三百六十度其分

　　　　　則小於大圈距大圈愈逺距極愈近則

　　　　　其圈愈小至極一㸃而止不能與大圈

　　　　　為比例故弧三角形之角度邊度皆大

　　　　　圈之度也

　　　　　凡兩弧相交所成角相距皆半周一百

　　　　　八十度名其角度則必取其兩弧各足

　　　　　象限九十度其對角之弧即為本角之

　　　　　度如甲乙丙丁為黄道甲戊丙己為赤

　　　　　道甲丙二處相交相距各半周一百八

　　　　　十度即如春秋分試於甲丙弧之各平

　　　　　分九十度處作丁己乙戊垂弧(凡言垂/弧皆曲)

　　　　　(線畫圖於平面不能顯/出故作虚線以别之)則丁己弧為甲

　　　　　丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三

　　　　　角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三

　　　　　角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之

　　　　　丙角度即如冬夏至之大距為春秋分

　　　　　之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰

　　　　　圈所謂大圈者是也

　　　　　凡弧三角形之三弧不足九十度者必

　　　　　引長至九十度其對角之弧方為本角

　　　　　之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足

　　　　　九十度則将甲乙弧引長至丁甲丙弧

　　　　　引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即

　　　　　甲角之度也又将乙甲弧引長至己乙

　　　　　丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之

　　　　　度即乙角之度也又将丙甲弧引長至

　　　　　辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬

　　　　　弧之度即丙角之度也

　　　　　凡弧三角形其角適足九十度者為直

　　　　　角為正弧三角形甲圖是也大於九十

　　　　　度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱

　　　　　為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊

　　　　　皆弧故與直線三角形不同直線三角

　　　　　形有一直角或一鈍角餘二角必銳弧

　　　　　三角形則有一直角二銳角者如丁形

　　　　　有一直角二鈍角者如戊形有一直角

　　　　　一鈍角一銳角者如己形有二直角一

　　　　　銳角者如庚形有二直角一鈍角者如

　　　　　辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角

　　　　　二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子

　　　　　形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三

　　　　　角之形勢大概盡於此數端矣

　　弧三角形凡例

一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角

　形之三角相加最小者亦必大於一百八十度但

　不得滿五百四十度(因其有三鈍角每一鈍角不/得滿一百八十度故三鈍角)

　(不得滿五/百四十度)

一直線三角形知兩角即知其所餘一角弧三角形

　雖知兩角其餘一角非算不知

一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實有

　尺度之可量弧三角形之邊俱係弧度必在半周

　一百八十度之内但合三邊不得滿三百六十度

　(葢三百六十度則成/全圜而不得成角矣)

一直線三角形之八線惟用於角弧三角形之八線

　并用於邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股

　為比例也

一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩

　形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有

　相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊

　必各相同也

一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而

　弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊

一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其餘理

　與直線三角形同

一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件

　可求其餘理與直線三角形同

一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線

　三角形作中垂線之理同

一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角

　為比例理與直線三角形同

一正弧三角形弧角不相對者則用次形法

一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求

　邊者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用

　總較法

一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用

　總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之

　間者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用

　總較法或用垂弧法

　　正弧三角形論

正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道

之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經圈與

赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十

度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相

交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形

夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之

八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形

盖以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生

於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所

成故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也

其法可易弧為角易角為弧(若斜弧三角形可易大/形為小形易大邊為小)

(邊易鈍角/成銳角)邊與角雖不相對可易為相對且知三角

即可以求邊其理實一以貫之也今以黄道赤道與

過極經圈所成之三角形設例而正弧三角形比例

推算之法無不統於是矣

　　正弧三角形圖說(設黄赤大距二/十三度三十分)

　　　　　　　　　　如甲乙丙丁為赤道甲戊

　　　　　　　　　　丙己為黄道相交於甲丙

　　　　　　　　　　甲為春分丙為秋分戊為

　　　　　　　　　　夏至己為冬至庚為北極

　　　　　　　　　　辛為南極庚戊乙辛己丁

　　　　　　　　　　為二極二至交圈戊至乙

　　　　　　　　　　己至丁俱二十三度三十

　　　　　　　　　　分為黄赤大距今作庚壬

　　　　　　　　　　癸辛為過南北二極經圈

　　　　　　　　　　與黄道交於壬與赤道交

　　　　　　　　　　於癸成甲癸壬正弧三角

　　　　　　　　　　形甲為黄道赤道交角當

　　　　　　　　　　戊乙弧二十三度三十分

　　　　　　　　　　癸為直角葢庚辛二極即

　　　　　　　　　　赤道之極皆距赤道九十

　　　　　　　　　　度故凡過南北極經圈與

　　　　　　　　　　赤道所成之角皆為直角

　　　　　　　　　　其相當之弧皆九十度又

　　　　　　　　　　如子丑為黄道兩極若從

　　　　　　　　　　子丑二處作子寅卯丑過

　　　　　　　　　　黄極經圈與黄道交於卯

　　　　　　　　　　與赤道交於寅成甲寅卯

　　　　　　　　　　正弧三角形則卯亦為直

　　　　　　　　　　角葢子丑為黄道兩極皆

　　　　　　　　　　距黄道九十度故凡過黄

　　　　　　　　　　極經圈與黄道所成之角

　　　　　　　　　　皆為直角其相當之弧皆

　　　　　　　　　　九十度由此推之凡有一

　　　　　　　　　　圈必有兩極其過兩極圈

　　　　　　　　　　與本圈相交必為直角其

　　　　　　　　　　所成三角形必皆為正弧

　　　　　　　　　　三角形可知矣

　　正弧三角形八線勾股比例圖說(設黄道四/十五度)

　　　　　　　　　　甲為黄道赤道交角甲乙

　　　　　　　　　　為黄道四十五度甲丙為

　　　　　　　　　　赤道同升度乙丙為黄赤

　　　　　　　　　　距度成甲乙丙正弧三角

　　　　　　　　　　形甲丁甲戊皆象限丁戊

　　　　　　　　　　為黄赤大距二十三度三

　　　　　　　　　　十分即甲角度己為北極

　　　　　　　　　　庚為南極己丁庚壬為二

　　　　　　　　　　極二至交圈甲為春分丁

　　　　　　　　　　為夏至辛為秋分壬為冬

　　　　　　　　　　至癸為地心己乙丙庚為

　　　　　　　　　　過南北二極經圈其甲乙

　　　　　　　　　　丙三角形之八線各成相

　　　　　　　　　　當比例之勾股形丁子為

　　　　　　　　　　甲角之正弦子癸為甲角

　　　　　　　　　　之餘弦丑戊為甲角之正

　　　　　　　　　　切丑癸為甲角之正割戊

　　　　　　　　　　癸丁癸皆為半徑成丑戊

　　　　　　　　　　癸及丁子癸同式兩勾股

　　　　　　　　　　形乙寅為乙丙距緯弧之

　　　　　　　　　　正弦乙卯為甲乙黄道弧

　　　　　　　　　　之正弦将兩正弦之寅卯

　　　　　　　　　　二處作虚線聨之成乙寅

　　　　　　　　　　卯勾股形(兩正弦之末立/於各半徑寅卯)

　　　　　　　　　　(二處而寅卯二處皆未抵/於弧界故不得為正弦今)

　　　　　　　　　　(以虚線聨之者為/眀勾股之理也)辰丙為

　　　　　　　　　　乙丙距緯弧之正切丙己

　　　　　　　　　　為甲丙赤道弧之正弦将

　　　　　　　　　　正切正弦之辰巳二處作

　　　　　　　　　　虚線聨之成辰丙巳勾股

　　　　　　　　　　形午甲為甲乙黄道弧之

　　　　　　　　　　正切未甲為甲丙赤道弧

　　　　　　　　　　之正切将兩正切之午未

　　　　　　　　　　二處作虚線聨之成午未

　　　　　　　　　　甲勾股形此三勾股形與

　　　　　　　　　　前二勾股形皆為同式形

　　　　　　　　　　夫甲癸辛原係一線如将

　　　　　　　　　　甲癸辛平視之則甲癸辛

　　　　　　　　　　合成一㸃而辛癸卯己甲

　　　　　　　　　　五角皆合為一角甲戊象

　　　　　　　　　　限亦成一直線而戊癸半

　　　　　　　　　　徑寅卯聨線丙己正弦未

　　　　　　　　　　甲正切亦皆合為一線矣

　　　　　　　　　　赤道既平置則黄道斜倚

　　　　　　　　　　従辛視之甲丁象限亦成

　　　　　　　　　　一直線而丁癸半徑乙卯

　　　　　　　　　　正弦辰巳聨線午甲正切

　　　　　　　　　　亦皆合為一線矣夫五勾

　　　　　　　　　　股形既同角而各股皆合

　　　　　　　　　　為赤道之一線各弦皆合

　　　　　　　　　　為黄道之一線則各勾必

　　　　　　　　　　皆與赤道徑線相交成直

　　　　　　　　　　角而自将平行故皆為相

　　　　　　　　　　當比例之勾股形而可以

　　　　　　　　　　互相比例也

　　正弧三角形用次形圖說

　　　　　　　　　　如甲乙丙形可易為乙己

　　　　　　　　　　丁次形葢甲戊甲丁己丙

　　　　　　　　　　己戊四弧皆象限九十度

　　　　　　　　　　於甲丁象限弧内減去甲

　　　　　　　　　　乙弧餘乙丁弧即次形之

　　　　　　　　　　乙丁邊於己丙象限弧内

　　　　　　　　　　減去乙丙弧餘己乙弧即

　　　　　　　　　　次形之己乙邊於己戊象

　　　　　　　　　　限弧内減去丁戊弧(即甲/角度)

　　　　　　　　　　餘己丁弧即次形之己丁

　　　　　　　　　　邊於甲戊象限弧内減去

　　　　　　　　　　甲丙弧餘丙戊弧即次形

　　　　　　　　　　之己角度是次形之三邊

　　　　　　　　　　一角即本形三邊一角之

　　　　　　　　　　餘度而用弦形之餘弦餘

　　　　　　　　　　切實即用次形之正弦正

　　　　　　　　　　切也弦次形之丁角為直

　　　　　　　　　　角與本形之丙角等乙為

　　　　　　　　　　交角其度又等故算乙己

　　　　　　　　　　丁形即得甲乙丙形也

　　　　　　　　　　又甲乙丙形可易為己庚

　　　　　　　　　　辛次形葢庚丁為象限弧

　　　　　　　　　　與己戊等則庚己與丁戊

　　　　　　　　　　等(丁戊即/甲角度)故本形之甲角

　　　　　　　　　　即次形之庚己邊乙辛壬

　　　　　　　　　　庚乙壬皆為象限弧與甲

　　　　　　　　　　丁等則壬丁即與甲乙等

　　　　　　　　　　故本形之甲乙邊即次形

　　　　　　　　　　之庚角(庚壬與庚丁俱象/限故壬丁弧為庚)

　　　　　　　　　　(角/度)乙壬與乙辛既皆為象

　　　　　　　　　　限則辛壬弧即乙角之度

　　　　　　　　　　故象限内減去乙角之辛

　　　　　　　　　　壬弧餘即次形之庚辛邊

　　　　　　　　　　丙戊弧即己角之度故於

　　　　　　　　　　甲戊象限弧内減去甲丙

　　　　　　　　　　弧餘丙戊弧即次形之己

　　　　　　　　　　角又次形之辛角為直角

　　　　　　　　　　與本形之丙角等次形之

　　　　　　　　　　辛己邊與本形之乙丙邊

　　　　　　　　　　等(辛乙與己丙等故/辛己與乙丙等)故算

　　　　　　　　　　己庚辛形亦得甲乙丙形

　　　　　　　　　　也

　　正弧三角形邊角相求法

正弧三角形邊角相求錯綜變換共三十則用黄赤

交角所生八線勾股比例者九用黄道交極圏角所

生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類

列目於前按法循序設問於後以便觀覽

　　有直角有黄赤交角有黄道求距緯(第/一)

　　有直角有黄赤交角有黄道求赤道(并見/第一)

　　有直角有黄赤交角有黄道求黄道交極圏角

　　(并見/第一)

　　有直角有黄赤交角有赤道求距緯(第/二)

　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道(并見/第二)

　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道交極圏角

　　(并見/第二)

　　有直角有黄赤交角有距緯求黄道(第/三)

　　有直角有黄赤交角有距緯求赤道(并見/第三)

　　有直角有黄赤交角有距緯求黄道交極圏角

　　(并見/第三)

　　有直角有黄道有赤道求黄赤交角(第/四)

　　有直角有黄道有赤道求距緯(并見/第四)

　　有直角有黄道有赤道求黄道交極圏角(并見/第四)

　　有直角有黄道有距緯求黄赤交角(第/五)

　　有直角有黄道有距緯求赤道(并見/第五)

　　有直角有黄道有距緯求黄道交極圏角(并見/第五)

　　有直角有赤道有距緯求黄赤交角(第/六)

　　有直角有赤道有距緯求黄道(并見/第六)

　　有直角有赤道有距緯求黄道交極圏角(并見/第六)

　　有直角有黄道交極圏角有黄道求赤道(與第/一之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有黄道求距緯(與第/一之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有黄道求黄赤交角

　　(與第一/之理同)

　　有直角有黄道交極圏角有距緯求赤道(與第/二之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有距緯求黄道(與第/二之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有距緯求黄赤交角

　　(與第二/之理同)

　　有直角有黄道交極圏角有赤道求黄道(與第/三之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有赤道求距緯(與第/三之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交極圏角有赤道求黄赤交角

　　(與第三/之理同)

　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求黄道

　　(第/七)

　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求赤道

　　(并見/第七)

　　有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求距緯

　　(并見/第七)

設如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度

　求距緯度及赤道度併黄道交極圏角各㡬何(第/一)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲為

　　　　　　　　　　黄赤交角丙為直角甲乙

　　　　　　　　　　為黄道弧求乙丙距緯弧

　　　　　　　　　　則以丙直角為對所知之

　　　　　　　　　　角其正弦即半徑一千萬

　　　　　　　　　　為一率甲角二十三度三

　　　　　　　　　　十分為對所求之角其正

　　　　　　　　　　弦三百九十八萬七千四

　　　　　　　　　　百九十一為二率甲乙弧

　　　　　　　　　　四十五度為所知之邊其

　　　　　　　　　　正弦七百零七萬一千零

　　　　　　　　　　六十八為三率求得四率

　　　　　　　　　　二百八十一萬九千五百

　　　　　　　　　　八十二為乙丙弧之正弦

　　　　　　　　　　檢表得一十六度二十二

　　　　　　　　　　分三十八秒即乙丙距緯

　　　　　　　　　　弧之度也如圖丁癸為半

　　　　　　　　　　徑丁子為甲角之正弦乙

　　　　　　　　　　卯為甲乙弧之正弦乙寅

　　　　　　　　　　為乙丙弧之正弦丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形與乙寅卯勾股形

　　　　　　　　　　為同式形故以丁癸與丁

　　　　　　　　　　子之比同於乙卯與乙寅

　　　　　　　　　　之比也

　　　　　　　　　　求甲丙赤道度則以半徑

　　　　　　　　　　一千萬為一率甲角二十

　　　　　　　　　　三度三十分之餘弦九百

　　　　　　　　　　一十七萬零六百零一為

　　　　　　　　　　二率甲乙弧四十五度之

　　　　　　　　　　正切一千萬為三率仍得

　　　　　　　　　　四率九百一十七萬零六

　　　　　　　　　　百零一為甲丙弧之正切

　　　　　　　　　　檢表得四十二度三十一

　　　　　　　　　　分二十二秒即甲丙赤道

　　　　　　　　　　弧之度也如圖丁癸為半

　　　　　　　　　　徑子癸為甲角之餘弦午

　　　　　　　　　　甲為甲乙弧之正切未甲

　　　　　　　　　　為甲丙弧之正切丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形與午未甲勾股形

　　　　　　　　　　為同式形故以丁癸與子

　　　　　　　　　　癸之比同於午甲與未甲

　　　　　　　　　　之比也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　用次形法以甲乙弧四十

　　　　　　　　　　五度之餘弦七百零七萬

　　　　　　　　　　一千零六十八為一率甲

　　　　　　　　　　角二十三度三十分之餘

　　　　　　　　　　切二千二百九十九萬八

　　　　　　　　　　千四百二十五為二率半

　　　　　　　　　　徑一千萬為三率求得四

　　　　　　　　　　率三千二百五十二萬四

　　　　　　　　　　千六百八十三為乙角之

　　　　　　　　　　正切檢表得七十二度五

　　　　　　　　　　十四分三十四秒即黄道

　　　　　　　　　　交極圈之乙角度也如圖

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形之次

　　　　　　　　　　形為乙己丁葢甲乙弧之

　　　　　　　　　　餘弦即乙己丁次形之丁

　　　　　　　　　　乙弧之正弦為丁子而甲

　　　　　　　　　　角之餘切即乙己丁次形

　　　　　　　　　　之己丁弧之正切為丑丁

　　　　　　　　　　又乙角之正切亦即乙己

　　　　　　　　　　丁次形之乙角之正切為

　　　　　　　　　　寅壬而丑丁子勾股形與

　　　　　　　　　　寅壬癸勾股形為同式形

　　　　　　　　　　故以丁子與丑丁之比同

　　　　　　　　　　於壬癸與寅壬之比也此

　　　　　　　　　　法用乙己丁次形有丁乙

　　　　　　　　　　邊(甲乙/餘弧)己丁邊(甲角/餘弧)及丁

　　　　　　　　　　直角求乙角即與有赤道

　　　　　　　　　　有距緯求黄赤交角之理

　　　　　　　　　　同葢乙角即如黄赤交角

　　　　　　　　　　丁乙即如赤道己乙即如

　　　　　　　　　　黄道己丁即如距緯其八

　　　　　　　　　　線所成之勾股皆由乙角

　　　　　　　　　　而生故其相當之比例皆

　　　　　　　　　　同也

設如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度

　三十一分二十二秒求距緯度及黄道度併黄道

　交極圈角各㡬何(第/二)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲為

　　　　　　　　　　黄赤交角丙為直角甲丙

　　　　　　　　　　為赤道弧求乙丙距緯弧

　　　　　　　　　　則以半徑一千萬為一率

　　　　　　　　　　甲角二十三度三十分之

　　　　　　　　　　正切四百三十四萬八千

　　　　　　　　　　一百二十四為二率甲丙

　　　　　　　　　　弧四十二度三十一分二

　　　　　　　　　　十二秒之正弦六百七十

　　　　　　　　　　五萬八千八百二十一為

　　　　　　　　　　三率求得四率二百九十

　　　　　　　　　　三萬八千八百一十九為

　　　　　　　　　　乙丙弧之正切檢表得一

　　　　　　　　　　十六度二十二分三十八

　　　　　　　　　　秒即乙丙距緯弧之度也

　　　　　　　　　　如圖戊癸為半徑丑戊為

　　　　　　　　　　甲角之正切丙己為甲丙

　　　　　　　　　　弧之正弦辰丙為乙丙弧

　　　　　　　　　　之正切丑戊癸勾股形與

　　　　　　　　　　辰丙己勾股形為同式形

　　　　　　　　　　故以戊癸與丑戊之比同

　　　　　　　　　　於丙已與辰丙之比也

　　　　　　　　　　求甲乙黄道度則以甲角

　　　　　　　　　　二十三度三十分之餘弦

　　　　　　　　　　九百一十七萬零六百零

　　　　　　　　　　一為一率半徑一千萬為

　　　　　　　　　　二率甲丙弧四十二度三

　　　　　　　　　　十一分二十二秒之正切

　　　　　　　　　　九百一十七萬零六百零

　　　　　　　　　　一為三率仍得四率一千

　　　　　　　　　　萬為甲乙弧之正切檢表

　　　　　　　　　　得四十五度即甲乙黄道

　　　　　　　　　　弧之度也如圖子癸為甲

　　　　　　　　　　角之餘弦丁癸為半徑未

　　　　　　　　　　甲為甲丙弧之正切午甲

　　　　　　　　　　為甲乙弧之正切丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形與午未甲勾股形

　　　　　　　　　　為同式形故以子癸與丁

　　　　　　　　　　癸之比同於未甲與午甲

　　　　　　　　　　之比也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　用次形法以半徑一千萬

　　　　　　　　　　為一率甲丙弧四十二度

　　　　　　　　　　三十一分二十二秘之餘

　　　　　　　　　　弦七百三十七萬零九十

　　　　　　　　　　八為二率甲角二十三度

　　　　　　　　　　三十分之正弦三百九十

　　　　　　　　　　八萬七千四百九十一為

　　　　　　　　　　三率求得四率二百九十

　　　　　　　　　　三萬八千八百二十為乙

　　　　　　　　　　角之餘弦檢表得七十二

　　　　　　　　　　度五十四分三十四秒即

　　　　　　　　　　黄道交極圈之乙角度也

　　　　　　　　　　如圖甲乙丙正弧三角形

　　　　　　　　　　之次形為己庚辛葢甲丙

　　　　　　　　　　弧之餘弦即己庚辛次形

　　　　　　　　　　之己角之正弦為卯辰而

　　　　　　　　　　甲角之正弦亦即己庚辛

　　　　　　　　　　次形之己庚弧之正弦為

　　　　　　　　　　庚己又乙角之餘弦即己

　　　　　　　　　　庚辛次形之庚辛弧之正

　　　　　　　　　　弦為庚午而庚午巳勾股

　　　　　　　　　　形與卯辰癸勾股形為同

　　　　　　　　　　式形故卯癸與卯辰之比

　　　　　　　　　　同於庚己與庚午之比也

　　　　　　　　　　此法用己庚辛次形有己

　　　　　　　　　　角(甲丙/餘弧)己庚邊(與甲/角等)及辛

　　　　　　　　　　直角求庚辛邊(乙角/餘弧)即與

　　　　　　　　　　有黄赤交角有黄道求距

　　　　　　　　　　緯之理同葢己角即如黄

　　　　　　　　　　赤交角己庚即如黄道己

　　　　　　　　　　辛即如赤道庚辛即如距

　　　　　　　　　　緯其八線所成之勾股皆

　　　　　　　　　　由己角而生故其相當之

　　　　　　　　　　比例皆同也

設如黄赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度

　二十二分三十八秒求黄道度及赤道度併黄道

　交極圈角各㡬何(第/三)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲為

　　　　　　　　　　黄赤交角丙為直角乙丙

　　　　　　　　　　為距緯弧求甲乙黄道弧

　　　　　　　　　　則以甲角二十三度三十

　　　　　　　　　　分為對所知之角其正弦

　　　　　　　　　　三百九十八萬七千四百

　　　　　　　　　　九十一為一率丙直角為

　　　　　　　　　　對所求之角其正弦即半

　　　　　　　　　　徑一千萬為二率乙丙弧

　　　　　　　　　　一十六度二十二分三十

　　　　　　　　　　八秘為所知之邊其正弦

　　　　　　　　　　二百八十一萬九千五百

　　　　　　　　　　八十二為三率求得四率

　　　　　　　　　　七百零七萬一千零六十

　　　　　　　　　　八為甲乙弧之正弦檢表

　　　　　　　　　　得四十五度即甲乙黄道

　　　　　　　　　　弧之度也如圖丁子為甲

　　　　　　　　　　角之正弦丁癸為半徑乙

　　　　　　　　　　寅為乙丙弧之正弦乙卯

　　　　　　　　　　為甲乙弧之正弦丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形與乙寅卯勾股形

　　　　　　　　　　為同式形故丁子與丁癸

　　　　　　　　　　之比同於乙寅與乙卯之

　　　　　　　　　　比也

　　　　　　　　　　求甲丙赤道度則以甲角

　　　　　　　　　　二十三度三十分之正切

　　　　　　　　　　四百三十四萬八千一百

　　　　　　　　　　二十四為一率半徑一千

　　　　　　　　　　萬為二率乙丙弧一十六

　　　　　　　　　　度二十二分三十八秒之

　　　　　　　　　　正切二百九十三萬八千

　　　　　　　　　　八百一十九為三率求得

　　　　　　　　　　四率六百七十五萬八千

　　　　　　　　　　八百二十一為甲丙弧之

　　　　　　　　　　正弦檢表得四十二度三

　　　　　　　　　　十一分二十二秒即甲丙

　　　　　　　　　　赤道弧之度也如圖丑戊

　　　　　　　　　　為甲角之正切戊癸為半

　　　　　　　　　　徑辰丙為乙丙弧之正切

　　　　　　　　　　丙己為甲丙弧之正弦丑

　　　　　　　　　　戊癸勾股形與辰丙己勾

　　　　　　　　　　股形為同式形故丑戊與

　　　　　　　　　　戊癸之丙同於辰丙與丙

　　　　　　　　　　己之比也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　用次形法以乙丙弧一十

　　　　　　　　　　六度二十二分三十八秒

　　　　　　　　　　之餘弦九百五十九萬四

　　　　　　　　　　千二百六十七為一率甲

　　　　　　　　　　角二十三度三十分之餘

　　　　　　　　　　弦九百一十七萬零六百

　　　　　　　　　　零一為二率半徑一千萬

　　　　　　　　　　為三率求得四率九百五

　　　　　　　　　　十五萬八千四百一十七

　　　　　　　　　　為乙角之正弦檢表得七

　　　　　　　　　　十二度五十四分三十四

　　　　　　　　　　秘即黄道交極圈之乙角

　　　　　　　　　　度也如圖甲乙丙正弧三

　　　　　　　　　　角形之次形為乙己丁葢

　　　　　　　　　　乙丙弧之餘弦即乙己丁

　　　　　　　　　　次形之己乙弧之正弦為

　　　　　　　　　　己未而甲角之餘弦即乙

　　　　　　　　　　己丁次形之己丁弧之正

　　　　　　　　　　弦為巳申又乙角之正弦

　　　　　　　　　　亦即乙己丁次形之乙角

　　　　　　　　　　之正弦為辛酉而巳申未

　　　　　　　　　　勾股形與辛酉癸勾股形

　　　　　　　　　　為同式形故巳未與巳申

　　　　　　　　　　之比同於辛癸與辛酉之

　　　　　　　　　　比也

設如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分

　二十二秒求黄赤交角及距緯度併黄道交極圈

　角各幾何(第/四)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙為

　　　　　　　　　　直角甲乙為黄道弧甲丙

　　　　　　　　　　為赤道弧求黄赤相交之

　　　　　　　　　　甲角則以甲乙弧四十五

　　　　　　　　　　度之正切一千萬為一率

　　　　　　　　　　甲丙弧四十二度三十一

　　　　　　　　　　分二十二秒之正切九百

　　　　　　　　　　一十七萬零六百零一為

　　　　　　　　　　二率半徑一千萬為三率

　　　　　　　　　　仍得四率九百一十七萬

　　　　　　　　　　零六百零一為甲角之餘

　　　　　　　　　　弦檢表得二十三度三十

　　　　　　　　　　分即黄赤相交之甲角度

　　　　　　　　　　也如圖午甲為甲乙弧之

　　　　　　　　　　正切未甲為甲丙弧之正

　　　　　　　　　　切丁癸為半徑子癸為甲

　　　　　　　　　　角之餘弦午未甲勾股形

　　　　　　　　　　與丁子癸勾股形為同式

　　　　　　　　　　形故午甲與未甲之比同

　　　　　　　　　　於丁癸與子癸之比也

　　　　　　　　　　求乙丙距緯度則用次形

　　　　　　　　　　法以甲丙弧四十二度三

　　　　　　　　　　十一分二十二秒之餘弦

　　　　　　　　　　七百三十七萬零九十八

　　　　　　　　　　為一率半徑一千萬為二

　　　　　　　　　　率甲乙弧四十五度之餘

　　　　　　　　　　弦七百零七萬一千零六

　　　　　　　　　　十八為三率求得四率九

　　　　　　　　　　百五十九萬四千二百六

　　　　　　　　　　十六為乙丙弧之餘弦檢

　　　　　　　　　　表得一十六度二十二分

　　　　　　　　　　三十八秒即乙丙距緯弧

　　　　　　　　　　之度也如圖甲乙丙正弧

　　　　　　　　　　三角形之次形為乙己丁

　　　　　　　　　　葢甲丙弧之餘弦即乙己

　　　　　　　　　　丁次形之己角之正弦為

　　　　　　　　　　丙辰而甲乙弧之餘弦即

　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙丁弧之

　　　　　　　　　　正弦為乙子又乙丙弧之

　　　　　　　　　　餘弦即乙己丁次形之乙

　　　　　　　　　　己弧之正弦為乙未而丙

　　　　　　　　　　辰癸勾股形與乙子未勾

　　　　　　　　　　股形為同式形故丙辰與

　　　　　　　　　　丙癸之比同於乙子與乙

　　　　　　　　　　未之比也此法用乙己丁

　　　　　　　　　　次形有己角(甲丙/餘弧)乙丁邊

　　　　　　　　　　(甲乙/餘弧)及丁直角求乙己邊

　　　　　　　　　　(乙丙/餘弧)即與有黄赤交角有

　　　　　　　　　　距緯求黄道之理同葢己

　　　　　　　　　　角即如黄赤交角己乙即

　　　　　　　　　　如黄道己丁即如赤道乙

　　　　　　　　　　丁即如距緯其八線所成

　　　　　　　　　　之勾股皆由己角而生故

　　　　　　　　　　其相當之比例皆同也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　以甲乙弧四十五度為對

　　　　　　　　　　所知之邊其正弦七百零

　　　　　　　　　　七萬一千零六十八為一

　　　　　　　　　　率甲丙弧四十二度三十

　　　　　　　　　　一分二十二秒為對所求

　　　　　　　　　　之邊其正弦六百七十五

　　　　　　　　　　萬八千八百二十一為二

　　　　　　　　　　率丙直角九十度為所知

　　　　　　　　　　之角其正弦即半徑一千

　　　　　　　　　　萬為三率求得四率九百

　　　　　　　　　　五十五萬八千四百一十

　　　　　　　　　　六為乙角之正弦檢表得

　　　　　　　　　　七十二度五十四分三十

　　　　　　　　　　四秒即黄道交極圈之乙

　　　　　　　　　　角度也如圖甲申為甲乙

　　　　　　　　　　弧之正弦甲酉為甲丙弧

　　　　　　　　　　之正弦戌癸為半徑戌亥

　　　　　　　　　　為乙角之正弦甲酉申勾

　　　　　　　　　　股形與戌亥癸勾股形為

　　　　　　　　　　同式形故甲申與甲酉之

　　　　　　　　　　比同於戌癸與戌亥之比

　　　　　　　　　　也此與有黄道有距緯求

　　　　　　　　　　黄赤交角之理同葢乙角

　　　　　　　　　　即如黄赤交角甲乙為黄

　　　　　　　　　　道乙丙即如赤道甲丙即

　　　　　　　　　　如距緯其八線所成之勾

　　　　　　　　　　股皆由乙角而生故其相

　　　　　　　　　　當之比例皆同也

設如黄道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分

　三十八秒求黄赤交角及赤道度併黄道交極圈

　角各㡬何(第/五)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙為

　　　　　　　　　　直角甲乙為黄道弧乙丙

　　　　　　　　　　為距緯弧求黄赤相交之

　　　　　　　　　　甲角則以甲乙弧四十五

　　　　　　　　　　度為對所知之邊其正弦

　　　　　　　　　　七百零七萬一千零六十

　　　　　　　　　　八為一率乙丙弧一十六

　　　　　　　　　　度二十二分三十八秒為

　　　　　　　　　　對所求之邊其正弦二百

　　　　　　　　　　八十一萬九千五百八十

　　　　　　　　　　二為二率丙直角九十度

　　　　　　　　　　為所知之角其正弦即半

　　　　　　　　　　徑一千萬為三率求得四

　　　　　　　　　　率三百九十八萬七千四

　　　　　　　　　　百九十一為甲角之正弦

　　　　　　　　　　檢表得二十三度三十分

　　　　　　　　　　即黄赤相交之甲角度也

　　　　　　　　　　如圖乙卯為甲乙弧之正

　　　　　　　　　　弦乙寅為乙丙弧之正弦

　　　　　　　　　　丁癸為半徑丁子為甲角

　　　　　　　　　　之正弦乙寅卯勾股形與

　　　　　　　　　　丁子癸勾股形為同式形

　　　　　　　　　　故乙卯與乙寅之比同於

　　　　　　　　　　丁癸與丁子之比也

　　　　　　　　　　求甲丙赤道度則用次形

　　　　　　　　　　法以乙丙弧一十六度二

　　　　　　　　　　十二分三十八秒之餘弦

　　　　　　　　　　九百五十九萬四千二百

　　　　　　　　　　六十七為一率甲乙弧四

　　　　　　　　　　十五度之餘弦七百零七

　　　　　　　　　　萬一千零六十八為二率

　　　　　　　　　　半徑一千萬為三率求得

　　　　　　　　　　四率七百三十七萬零一

　　　　　　　　　　百一十三為甲丙弧之餘

　　　　　　　　　　弦檢表得四十二度三十

　　　　　　　　　　一分二十二秒即甲丙赤

　　　　　　　　　　道弧之度也如圖甲乙丙

　　　　　　　　　　正弧三角形之次形為乙

　　　　　　　　　　己丁葢乙丙弧之餘弦即

　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙己弧之

　　　　　　　　　　正弦為乙未而甲乙弧之

　　　　　　　　　　餘弦即乙己丁次形之乙

　　　　　　　　　　丁弧之正弦為乙子又甲

　　　　　　　　　　丙弧之餘弦即乙己丁次

　　　　　　　　　　形之己角之正弦為丙辰

　　　　　　　　　　而乙子未勾股形與丙辰

　　　　　　　　　　癸勾股形為同式形故乙

　　　　　　　　　　未與乙子之比同於丙癸

　　　　　　　　　　與丙辰之比也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　與前第四問有黄道有赤

　　　　　　　　　　道求黄赤交角之理同葢

　　　　　　　　　　乙角即如黄赤交角甲乙

　　　　　　　　　　為黄道乙丙即如赤道其

　　　　　　　　　　勾股比例同也

設如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧

　一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄

　道度併黄道交極圈角各㡬何(第/六)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙為

　　　　　　　　　　直角甲丙為赤道弧乙丙

　　　　　　　　　　為距緯弧求黄赤相交之

　　　　　　　　　　甲角則以甲丙弧四十二

　　　　　　　　　　度三十一分二十二秒之

　　　　　　　　　　正弦六百七十五萬八千

　　　　　　　　　　八百二十一為一率乙丙

　　　　　　　　　　弧一十六度二十二分三

　　　　　　　　　　十八秒之正切二百九十

　　　　　　　　　　三萬八千八百一十九為

　　　　　　　　　　二率半徑一千萬為三率

　　　　　　　　　　求得四率四百三十四萬

　　　　　　　　　　八千一百零九為甲角之

　　　　　　　　　　正切檢表得二十三度三

　　　　　　　　　　十分即黄赤相交之甲角

　　　　　　　　　　度也如圖丙己為甲丙弧

　　　　　　　　　　之正弦辰丙為乙丙弧之

　　　　　　　　　　正切戊癸為半徑丑戊為

　　　　　　　　　　甲角之正切辰丙己勾股

　　　　　　　　　　形與丑戊癸勾股形為同

　　　　　　　　　　式形故丙己與辰丙之比

　　　　　　　　　　同於戊癸與丑戊之比也

　　　　　　　　　　求甲乙黄道度則用次形

　　　　　　　　　　法以半徑一千萬為一率

　　　　　　　　　　甲丙弧四十二度三十一

　　　　　　　　　　分二十二秒之餘弦七百

　　　　　　　　　　三十七萬零九十八為二

　　　　　　　　　　率乙丙弧一十六度二十

　　　　　　　　　　二分三十八秒之餘弦九

　　　　　　　　　　百五十九萬四千二百六

　　　　　　　　　　十七為三率求得四率七

　　　　　　　　　　百零七萬一千零六十八

　　　　　　　　　　為甲乙弧之餘弦檢表得

　　　　　　　　　　四十五度即甲乙黄道弧

　　　　　　　　　　之度也如圖甲乙丙正弧

　　　　　　　　　　三角形之次形為乙己丁

　　　　　　　　　　葢甲丙弧之餘弦即乙己

　　　　　　　　　　丁次形之己角之正弦為

　　　　　　　　　　丙辰而乙丙弧之餘弦即

　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙己弧之

　　　　　　　　　　正弦為乙未又甲乙弧之

　　　　　　　　　　餘弦即乙己丁次形之乙

　　　　　　　　　　丁弧之正弦為乙子而丙

　　　　　　　　　　辰癸勾股形與乙子未勾

　　　　　　　　　　股形為同式形故丙癸與

　　　　　　　　　　丙辰之比同於乙未與乙

　　　　　　　　　　子之比也

　　　　　　　　　　求黄道交極圈之乙角則

　　　　　　　　　　與求黄赤交角之理同葢

　　　　　　　　　　乙角即如黄赤交角乙丙

　　　　　　　　　　即如赤道甲丙即如距緯

　　　　　　　　　　其勾股比例同也

設如黄赤交角二十三度三十分黄道交極圈角七

　十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度

　併距緯度各㡬何(第/七)

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲為

　　　　　　　　　　黄赤交角丙為直角乙為

　　　　　　　　　　黄道交極圈角求甲乙黄

　　　　　　　　　　道弧則用次形法以乙角

　　　　　　　　　　七十二度五十四分三十

　　　　　　　　　　四秒之正切三千二百五

　　　　　　　　　　十二萬四千六百八十三

　　　　　　　　　　為一率半徑一千萬為二

　　　　　　　　　　率甲角二十三度三十分

　　　　　　　　　　之餘切二千二百九十九

　　　　　　　　　　萬八千四百二十五為三

　　　　　　　　　　率求得四率七百零七萬

　　　　　　　　　　一千零六十八為甲乙弧

　　　　　　　　　　之餘弦檢表得四十五度

　　　　　　　　　　即甲乙黄道弧之度也如

　　　　　　　　　　圖甲乙丙正弧三角形之

　　　　　　　　　　次形為乙己丁葢乙角之

　　　　　　　　　　正切亦即乙己丁次形之

　　　　　　　　　　乙角之正切為寅壬而甲

　　　　　　　　　　角之餘切即乙己丁次形

　　　　　　　　　　之丁己弧之正切為丑丁

　　　　　　　　　　又甲乙弧之餘弦即乙己

　　　　　　　　　　丁次形之丁乙弧之正弦

　　　　　　　　　　為丁子而寅壬癸勾股形

　　　　　　　　　　與丑丁子勾股形為同式

　　　　　　　　　　形故寅壬與壬癸之比同

　　　　　　　　　　於丑丁與丁子之比也

　　　　　　　　　　求甲丙赤道弧亦用次形

　　　　　　　　　　法以甲角二十三度三十

　　　　　　　　　　分之正弦三百九十八萬

　　　　　　　　　　七千四百九十一為一率

　　　　　　　　　　乙角七十二度五十四分

　　　　　　　　　　三十四秒之餘弦二百九

　　　　　　　　　　十三萬八千八百二十為

　　　　　　　　　　二率半徑一千萬為三率

　　　　　　　　　　求得四率七百三十七萬

　　　　　　　　　　零九十八為甲丙弧之餘

　　　　　　　　　　弦檢表得四十二度三十

　　　　　　　　　　一分二十二秒即甲丙赤

　　　　　　　　　　道弧之度也如圖甲乙丙

　　　　　　　　　　正弧三角形之次形為己

　　　　　　　　　　庚辛葢甲角之正弦亦即

　　　　　　　　　　己庚辛次形之庚己弧之

　　　　　　　　　　正弦為庚己而乙角之餘

　　　　　　　　　　弦即己庚辛次形之庚辛

　　　　　　　　　　弧之正弦為庚午又甲丙

　　　　　　　　　　弧之餘弦即己庚辛次形

　　　　　　　　　　之己角之正弦為卯辰而

　　　　　　　　　　庚午己勾股形與卯辰癸

　　　　　　　　　　勾股形為同式形故庚己

　　　　　　　　　　與庚午之比同於卯癸與

　　　　　　　　　　卯辰之比也

　　　　　　　　　　求乙丙距緯弧亦用次形

　　　　　　　　　　法以乙角七十二度五十

　　　　　　　　　　四分三十四秒之正弦九

　　　　　　　　　　百五十五萬八千四百一

　　　　　　　　　　十七為一率半徑一千萬

　　　　　　　　　　為二率甲角二十三度三

　　　　　　　　　　十分之餘弦九百一十七

　　　　　　　　　　萬零六百零一為三率求

　　　　　　　　　　得四率九百五十九萬四

　　　　　　　　　　千二百六十七為乙丙弧

　　　　　　　　　　之餘弦檢表得一十六度

　　　　　　　　　　二十二分三十八秒即乙

　　　　　　　　　　丙距緯弧之度也如圖甲

　　　　　　　　　　乙丙正弧三角形之次形

　　　　　　　　　　為乙己丁葢乙角之正弦

　　　　　　　　　　亦即乙己丁次形之乙角

　　　　　　　　　　之正弦為辛酉而甲角之

　　　　　　　　　　餘弦即乙己丁次形之己

　　　　　　　　　　丁弧之正弦為巳申又乙

　　　　　　　　　　丙弧之餘弦即乙己丁次

　　　　　　　　　　形之己乙弧之正弦為己

　　　　　　　　　　未而辛酉癸勾股形與巳

　　　　　　　　　　申未勾股形為同式形故

　　　　　　　　　　辛酉與辛癸之比同於巳

　　　　　　　　　　　申與巳未之比也

御製厯象考成上編卷二