歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書巻八

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　弧三角舉要巻三

斜弧三角形作垂弧説

正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形無正

角如平三角之有銳鈍形也平三角銳鈍二形並以虚

線成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正

弦等線立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股

法也

斜弧三角用垂弧法

垂弧之法有三其一作垂弧于形内則分本形為兩正

角形其二作垂弧于形外則補成正角形其三作垂弧

于次形

總法曰三角俱銳垂弧在形内一鈍二鋭或在形内或

在形外(自鈍角作垂弧則在形内/自銳角作垂弧則在形外)兩鈍一銳或三角俱

鈍則用次形其所作垂弧在次形之内之外(次形無鈍/角垂弧在)

(其内有鈍角垂弧在其/外若破鈍角亦可在内)

第一法垂弧在形内成兩正角(内分五支/)

設甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊

求對邊及餘兩角

法于乙角(在先有乙丙邊之/端乃不知之角)作垂弧(如乙/丁)至甲丙邊分

甲丙邊為兩即分本形為兩而皆正角(凡垂弧之所到/必正角也角不)

(正即非垂弧故所分/兩角皆正後倣此)　一乙丁丙形此形有丁正角丙

角乙丙邊為兩角一邊可求丁丙邊(乃丙甲/之分)乙丁邊(即/垂)

(弧/)及丁乙丙角(即乙/分角)　次乙丁甲形有丁正角甲丁邊

(甲丙内減丁/丙其餘丁甲)乙丁邊為一角兩邊可求乙甲邊甲角及

丁乙甲分角　末以兩乙角并之成乙角

或如上圖丁甲角端作垂弧至乙丙邊分乙丙為兩亦同

　　右一角二邊而先有者皆角旁之邊為形内垂弧

　　之第一支(此所得分形丁丙邊必小於元設/邊即垂弧在形内而甲為鋭角)

設甲乙丙形有丙銳角有角旁相連之丙乙邊及與角

相對之乙甲邊求餘兩角一邊

法于不知之乙角(在先有二/邊之中)作乙丁垂弧分兩正角形

一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙邊邊可求乙

丁分線及所分丁丙邊及丁乙丙分角　次乙甲丁形

此形有丁正角有乙丁邊有乙甲邊可求甲角及丁乙

甲分角丁甲邊　末以兩分角(丁乙丙及/丁乙甲)并之成乙角

　以兩分邊(丁丙及/丁甲)并之成甲丙邊

　　右一角二邊而先有對角之邊為形内垂弧之第

　　二支

設甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊(在兩角/之間)求甲角及

餘邊

法于乙角作垂弧分兩形並如前(但欲用乙丙邊故/破乙角存丙角)

一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙邊可求乙丁邊丁丙

邊丁乙丙分角　次乙丁甲形有乙丁邊丁正角丁乙

甲分角(原設乙角内減丁/乙丙得丁乙甲)可求乙甲邊甲角及甲丁邊

　末以甲丁并丁丙得甲丙邊

或於丙角作垂弧亦同

若角一鈍一鋭即破鈍角作垂線其法並同

　　右二角一邊而邊在兩角之間不與角對為形内

　　垂弧之第三支(此必未知之角為銳/角則垂弧在形内)

設甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊(與丙角相對/與甲角相連)求乙

角及餘二邊

法于乙角(為未知/之角)作垂弧分為兩形而皆正角　一乙

丁甲形有丁正角甲角乙甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁

乙甲分角　次丁乙丙形有丁正角乙丁邊丙角可求

乙丙邊丁丙邊丁乙丙分角　末以甲丁丁丙并之成

甲丙邊　以兩分角(丁乙甲/丁乙丙)并之成乙角

　　右二角一邊而先有對角之邊為形内垂弧之第

　　四支(此先有二角必俱/銳則垂弧在内)

設乙甲丙形有三邊而内有(乙甲/乙丙)二邊相同求三角

法從乙角(在相同二/邊之間)作垂弧至丙甲邊(乃不同/之一邊)分兩正

角形(其形必相等而甲/丙線必兩平分)　乙丙丁形有丁正角乙丙邊

丁丙邊(即甲丙/之半)可求丙角乙分角(乃乙角/之半)倍之成乙角

而甲角即同丙角(不須/再求)

　　右三邊求角而内有相同之邊故可平分是為形

　　内垂弧之第五支(此必乙丙乙甲二邊並小在九/十度内若九十度外甲丙二角)

　　(必俱鈍當用次/形詳第三又法)

第二法垂弧在形外補成正角(内分七支/)

設甲乙丙形有丙銳角有夾角之兩邊(乙丙/甲丙)求乙甲邊

及餘兩角

法自乙角(在先有邊/之一端)作垂弧(乙/丁)于形外引丙甲邊至丁補成正

角形二(一丙乙丁半虛半實/形二甲乙丁虚形)　先算丙乙丁形此形有乙丙邊

丙角有丁正角可求丙乙丁角(半虛/半實)乙丁邊(形外/垂弧)丁丙邊(丙甲/引長)

(邊/)　次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁邊甲丁邊(丁丙内減内/甲得甲丁)

可求乙甲邊甲角及甲乙丁虚角末以甲角減半周得原設

甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角

　　右一角二邊角在二邊之中而為銳角是為形外垂弧之

　　第一支(此所得丁丙必大于原設邊/即垂弧在形外而甲為鈍角)

設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之(丙甲/乙甲)二邊求乙丙邊

及餘二角

法於乙角作垂弧(乙/丁)引丙甲至丁補成正角　先算乙

丁甲虚形此形有丁正角甲角(即原設甲角減半/周之餘亦曰外角)有乙

甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁乙甲虚角　次丁乙丙形

有乙丁邊丁丙邊(甲丙加丁/甲得之)丁正角可求乙丙邊丙角

丙乙丁角　末于丙乙丁内減丁乙甲虛角得原設乙

角

或從丙作垂弧至戊引乙甲邊至戊補成正角亦同

　　右一角二邊角在二邊之中而為鈍角乃形外垂

　　弧之第二支

設乙甲丙形有丙銳角有角旁之乙丙邊有對角之乙

甲邊求丙甲邊及餘二角

法從乙角作垂弧至丁成正角(亦引丙/甲至丁)　先算丙乙丁

形有丁正角丙角乙丙邊可求諸數(乙丁邊丁丙/邊丙乙丁角)　次

丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二邊可求諸數(乙甲/丁角)

(甲乙丁角/甲丁邊)　末以所得虚形甲角減半周得原設甲鈍

角于丙乙丁内減虛乙角得原設乙角於丁丙内減甲

丁得原設丙甲

　　右一角二邊角有所對之邊而為銳角乃形外垂

　　弧之第三支(此必甲為鈍角/故垂弧在外)

設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙

丙邊求乙甲邊及餘二角

法于丙角作垂弧至戊補成正角　先算虚形(甲丙/戊)有

戊正角甲角(甲鈍角減/半周之餘)甲丙邊可求諸數(丙戊邊甲戊/邊丙虚角)

　次虚實合形(乙丙/戊)有戊正角丙戊邊乙丙邊可求原

設乙角及諸數(乙丙戊角/乙戊邊)　末以先得虚形數減之得

原設數(丙角内減丙虛角得原設丙角乙戊/内減甲戊虚引邊得原設乙甲邊)

　　右一角二邊角有所對之邊而為鈍角乃形外垂

　　弧之第四支(此先得鈍角/垂線必在外)

設乙甲丙形有丙甲二角(一銳/一鈍)有丙甲邊在兩角之中

法於丙銳角作垂弧至丁(在甲鈍/角外)補成正角　丁丙甲

虛形有丁正角甲外角丙甲邊可求諸數(丙丁邊甲丁/邊丙虚角)

　次乙丙丁形(半虛/實)有丁正角丙丁邊丙角(以丙虛角/補原設丙)

(角得丁/丙乙角)可求原設乙丙邊乙角及乙甲邊(求得乙丁邊/内減虛形之)

(甲丁邊得原/設甲乙邊)

　　右二角一邊邊在兩角間為形外垂弧之第五支

　　(此亦可于甲鈍角作垂弧則在/形内法在第一法之第三支)

設乙甲丙形有乙甲二角(乙銳/甲鈍)有丙甲邊與乙銳角相

對(鈍角/相連)

法于丙銳角作垂弧至戊(在丙甲/邊外)補成正角　甲戊丙

虛形有戊正角有丙甲邊甲角(原設形/之外角)可求諸數(丙戊/甲戊)

(二邊丙/虛角)　次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊邊可求丙

角(求得乙丙戊角内減/丙虛角得元設丙角)乙丙邊乙甲邊(求到乙戊邊内/減甲戊得乙甲)

　　右二角一邊而邊對鋭角為形外垂弧之第六支

設乙甲丙形有乙銳角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相

對(銳角/相連)

法于丙銳角作垂弧至戊(在甲鈍/角外)補成正角　乙丙戊

形有戊正角乙角乙丙邊可求諸數(丙戊乙戊二/邊乙丙戊角)　次

甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊邊可求原設丙甲

邊甲乙邊(求到戊甲虚邊以減/乙戊得原設乙甲)丙角(求到丙虚角以減/乙丙戊角得原設)

(丙/角)

　　右兩角一邊而邊對鈍角為形外垂弧之第七支

第三垂弧又法　用次形(内分九支/)

設乙甲丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角間而兩角

並鈍求餘二邊及甲角

法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半周作戊己邊與乙

丙等而己與戊並乙丙之外角成甲戊己次形依法作

垂弧于次形之内(如己/丁)分為兩形(一己丁戊/一己丁甲)可求乙甲

邊(以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求/到甲丁合之成甲戊以減半周即得乙甲)丙甲邊(以/己)

(丁甲分形求到己甲/以減半周即得丙甲)甲角(以己丁甲分形/求到甲交角)

　　右二角一邊邊在角間而用次形為垂弧又法之

　　第一支

論曰舊説弧三角形以大邊為底底旁兩角同類垂弧

在形内異類垂弧在形外由今考之殆不盡然蓋形内

垂弧分底弧為兩成兩正角形所用者銳角也(底旁原/有兩銳)

(角分兩正角形/則各有兩銳角)形外垂弧補成正角形所用者亦銳角

也(底旁原有一銳角補成正角/形則虚實兩形各有兩銳角)故惟三銳角形作垂弧

于形内一鈍兩銳則垂弧或在形内或在形外若兩鈍

一鋭則形内形外俱不可以作垂弧(垂弧雖有内外而/其用算時並為一)

(正角兩銳角之比例若形有兩鈍角則雖作垂弧只能/成一正一鈍一銳之形無比例可求則垂弧為徒設矣)

故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得謂之形

内然則同類之説止可施于兩銳(若兩鈍雖亦同類而/不可于形内作垂弧)

異類之説止可施于一鈍兩銳(若兩鈍一銳而底弧之/旁一鈍一銳雖亦異類)

(然不可于形/外作垂弧)非通法矣(兩鈍角不用次形垂弧/之法己窮况三鈍角乎)

又論曰以垂弧之法徵之則大邊為底之說理亦未盡

蓋鈍角所對邊必大既有形外立垂線垂弧之法則鈍

角有時在下而所對之邊在上矣不知何術能常令大

邊為㡳乎此尤易見

設乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩

角俱鈍求乙角及餘邊

如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹于己成丙甲己次形作

己丁垂弧于次形内分次形為兩可求乙角(依法求到/分形兩己)

(角合之為次形己/角與乙對角等)甲丙邊(求到分形甲丁及/丁丙并之即甲丙)乙丙邊(求/到)

(次形己丙以/減半周得之)

　　右二角一邊邊與角對而用次形為垂弧又法之

　　第二支此三角俱鈍也或乙為鋭角亦同

設乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中

法用甲乙戊次形(有乙甲邊有乙戊邊為乙/丙減半周之餘有乙外角)作甲丁垂

弧分為兩形可求丙甲邊及餘兩角(以乙甲丁分形求/到丁乙及甲分角)

(人以甲戊丁形求到甲戊以減半周為丙甲又得甲分/角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙對角)

　　右二邊一角角在二邊之中而用次形為垂弧又

　　法之第三支

　　或丙為鈍角則于次形戊角作垂弧法同上條

設乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角

對

法用甲己戊次形(甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲/丙減半周之餘戊角為丙之外角)

作垂弧(甲/丁)于内分為兩形可求丙乙邊及餘兩角(以甲/丁戊)

(分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并/丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲)

(交角也又得己/角即乙外角也)

　　右二邊一角角與邊對而用次形為垂弧又法之

　　第四支若甲為鈍角亦同

論曰先得丙鈍角宜作垂弧於外而乙亦鈍角不可作

垂弧故用次形

設乙甲丙形有三邊内有(乙甲/丙甲)二邊相同而皆為過弧

求三角

法引相同之二邊各滿半周作弧線聨之成戊甲己次

形如法作甲丁垂弧分次形為兩(其形/相等)可求相同之二

角(任以甲丁戊分形求到戊角/以減半周得乙角亦即丙角)及甲角(求到甲半角/倍之成甲角)

　　右三邊求角内有相同兩大邊為垂弧又法之第

　　五支　若甲為鋭角亦同

　　以上垂弧並作於次形之内

設乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間

法引乙丙乙甲滿半周㑹於戊成甲戊丙次形自甲作

垂弧與丙戊引長弧㑹于丁補成正角可求乙甲邊乙

丙邊乙角(先求丙甲丁形諸數次求甲戊丁得甲戊以/減半周為甲乙又以丁戊減先得丁丙得丙)

(戊以減半周為乙丙又求得戊/虚角減半周為戊角即乙對角)

　　右兩鈍角一邊邊在角間而於次形外作垂弧為

　　又法之第六支

或自丙角作垂弧亦同

設乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對

法引設邊成丙戊甲次形(有甲外角有戊鈍角/為乙對角有丙甲邊)如上法

作丙丁垂弧引次形邊㑹於丁可求乙丙邊(先求甲丁/丙形諸數)

(次丙丁戊虛形求到丙/戊以減半周為乙丙)乙甲邊(先求到丁甲以虛線丁/戊減之得戊甲即得乙)

(甲/)丙角(先求到甲丙丁角内減丙虛/角得丙外角即得元設丙角)

　　右二角一邊邊與角對垂弧在次形外為又法之

　　第七支

設乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊(丙乙/丙甲)

法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹於丁可求乙

甲邊及甲乙二角(先以甲丁丙形求到諸數再以甲丁/戊虛形求甲戊即得乙甲又甲虚角)

(減先得甲角成甲外角/又戊虛角即乙外角)

　　右二邊一角角在二邊之中垂弧在次形外為又

　　法之第八支

設乙甲丙形有甲鈍角有一邊與角對(乙/丙)一邊與角連

(丙/甲)

法用丙戊甲次形自丙作垂弧與甲戊引長邊㑹于丁

可求乙甲邊及餘兩角(依法求到甲戊即得乙甲求戊/角即乙角以丙虛角減先得丙)

(角即丙/外角)

　　右二邊一角角有對邊垂弧在次形外為又法之

　　第九支

　　以上垂弧並作於次形之外

論曰三角俱鈍則任以一邊為底其兩端之角皆同類

矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益

可與前論相發也

　弧三角舉要卷四

弧三角用次形法

　次形之用有二

正弧三角斜弧三角並有次形法而其用各有二其一

易大形為小形則大邊成小邊鈍角成銳角其一易角

爲弧易弧為角則三角可以求邊亦二邊可求一邊

第一正弧三角形易大為小　用次形

如圖戊己甲乙半渾圜以(戊丙甲/己丙乙)兩半周線分為弧三角

形四(一戊丙乙二己丙戊三己丙/甲並大四乙丙甲為最小)今可盡易為小形

一戊丙乙形易為乙甲丙形(戊丙減半周餘丙甲又戊/乙減半周餘乙甲而乙丙)

(為同用之弧則三邊之正弦同也乙丙甲角為戊丙乙/外角甲乙丙為戊乙丙外角戊角又同甲角則三角之)

(正弦同也故算甲/丙乙即得戊丙乙)

二己丙戊形易為乙甲丙形(乙甲己及甲己戊並半周/内各減己甲則乙甲同己)

(戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之餘又甲戊/並正角丙為交角而乙角又為己角之外角故算乙丙)

(甲得己/丙戊)

三己丙甲形易為乙丙甲形(乙甲為己甲減半周之餘/乙丙為丙己減半周之餘)

(而同用甲丙又次形丙角為元形之外角乙角/同己角甲同為正角故算乙丙甲得己丙甲)

　用法

凡正弧三角内有大邊及鈍角者皆以次形立算但於

得數後以次形之邊與角減半周即得元形之大邊及

鈍角(其元形内原有小邊及銳角與次形/同者徑用得數命之不必復減半周)斜弧同

　　以上易大形為小形而大邊成小邊鈍角成鋭角

　　為正弧三角次形之第一用(大邊易小鈍角易鋭/則用算畫一算理易)

　　(明其算例並/詳第二用)

第二正弧三角形弧角相易　用次形(内分/四支)

一乙甲丙形易為丁丙庚次形

解曰丁如北極　戊己壬甲如赤道圈　己庚乙如黄

道半周　辛丁壬如極至交圈(壬如夏至/辛如冬至)　戊丁甲如

所設過極經圈　乙如春分己如秋分並以庚壬大距

爲其度　丙如所設某星黄道度　丙乙如黄道距春

分度其餘丙庚即黄道距夏至為次形之一邊　丙甲

如黄赤距度其餘丙丁即丙在黄道距北極度為次形

又一邊　庚丁如夏至黄道距北極而為乙角餘度是

角易為邊也(壬庚為乙角/度其餘庚丁)是為次形之三邊

又丙交角如黄道上交角　庚正角如黃道夏至　甲

乙如赤道同升度其餘壬甲如赤道距夏至即丁角之

弧是邊易為角也則次形又有三角

　用法

假如有丙交角乙春分角而求諸數是三角求邊也(乙/丙)

(兩角幷甲/正角而三)法為丙角之正弦與乙角之餘弦若半徑與

丙甲之餘弦得丙甲邊可求餘邊

一　丙角正弦　　　　　　　丙角正弦

二　乙角餘弦　　　　　　　丙角正弦

三　半徑(甲角/)　　　(在次形/)　半徑(庚角/)

四　甲丙餘弦　　　　　　　丁丙正弦

　　右以三角求邊也若三邊求角反此用之

若先有乙丙邊乙甲邊而求甲丙邊則為乙甲餘弦(即/次)

(形丁角/正弦)與乙丙餘弦(即庚丙/正弦)若半徑(甲角即次/形庚角)與甲丙

餘弦(即丁丙/正弦)

或先有乙丙邊甲丙邊而求乙甲邊則為甲丙餘弦(即/丁)

(丙正/弦)與乙丙餘弦(即庚丙/正弦)若半徑(甲角即/庚角)與乙甲餘弦

(即丁角/正弦)

或先有乙甲邊甲丙邊而求乙丙邊則為半徑(甲角即/庚角)

與甲丙餘弦(即丁丙/正弦)若乙甲餘弦(即丁角/正弦)與乙丙餘弦

(即庚丙/正弦)

　　右皆以兩弧求一弧而不用角也

　　以上爲乙甲丙形用次形之法本形三邊皆小一

　　正角偕兩銳角次形亦然所以必用次形者為三

　　角求邊之用也是為正弧三角次形第二用之第

　　一支

二己丙甲形(甲正角餘二角丙鈍己銳/丙甲邊小餘二邊並大)易為丁丙庚次

形

法曰截己甲於壬截己丙於庚使己壬己庚皆滿九十

度作壬庚丁象限弧又引丙甲邊至丁亦滿象限而成

丁丙庚次形此形有丁丙邊為丙甲之餘有庚丙邊為

己丙之餘(凡過弧内去象限其餘度正弦即過弧之/餘弦故己丙内減己庚而庚丙為其餘弧)有

庚丁邊為己角之餘乃角易為邊也(庚與壬皆象限即/庚壬為己角之度)

(而丁庚/為其餘)又有丙銳角爲元形丙鈍角之外角有庚正角

與元形甲角等(壬庚既為己角之弧/則壬與庚必皆正角)有丁角為己甲邊

之餘(己甲過弧以壬甲/為餘度説見上文)乃邊易為角也

　用法

假如有甲正角己銳角丙鈍角而求丙甲邊法為丙鈍

角之正弦(即次形丙銳角正弦蓋/外角内角正弦同用也)與己角之餘弦(即次/形丁)

(庚邊之/正弦)若半徑(即次形庚正/角之正弦)與丙甲邊之餘弦(即次形/丁丙邊)

既得丙甲可求己丙邊　法為半徑與丙角餘弦若甲

丙餘切(次形為丁/丙正切)與己丙餘切(次形為庚/丙正切)得數以減半

周為己丙下同(凡以八線取弧角度者若係大邊鈍角/皆以得數與半周相減命度後倣此)

求己甲邊　法為己角之餘弦(即庚丁/正弦)與丙角之正弦

若己丙之餘弦(即庚丙/正弦)與己甲之餘弦(即丁角正弦/其弧壬甲)

　　右三角求邊

又如有己甲己丙兩大邊求丙甲邊　法為己甲餘弦

(即丁角/正弦)與己丙餘弦(即庚丙/正弦)若半徑與丙甲餘弦(即丁/丙正)

(弦/)

或有己甲丙甲兩邊求己丙大邊　法為半徑與丙甲

餘弦(即丁丙/正弦)若己甲餘弦(即丁角/正弦)與己丙餘弦(即庚丙/正弦)

(得數減半周/為己丙下同)

或有丙甲己二邊求己甲大邊　法為丙甲餘弦與半

徑若己丙餘弦與己甲餘弦(即上法/之反理)

　　右二邊求一邊

　　以上己丙甲形用次形之法本形有兩大邊一鈍

　　角次形則邊小角銳而且以本形之邊易為次形

　　之角本形之角易為次形之邊(後二形/並同)是為正弧

　　三角次形第二用之第二支

三己丙戊形(戊正角己鈍角丙銳角/己丙與戊丙並大邊)易為丁丙庚次形

法曰以象限截己丙于庚其餘庚丙截戊丙于丁其餘

丁丙為次形之二邊作丁庚弧其度為己角之餘(己鈍/角與)

(外銳角同以壬庚之度取正弦其餘丁/庚為己外角之餘亦即為己鈍角之餘)角易邊也次形

又為元形之截形同用丙角又庚正角與戊角等而丁

角即己戊邊之餘度(試引己戊至辛成象限則戊辛等/壬甲皆丁角之度而又為己戊之)

(餘/)邊易角也

　用法

假如有丙銳角己鈍角偕戊正角求戊丙邊　法為丙

角正弦與己角餘弦(即庚丁/正弦)若半徑與戊丙餘弦(即丁/丙正)

(弦/)得數減半周為戊丙(下同/)

既得戊丙可求己丙　法為半徑與丙角餘弦若戊丙

餘切(即丁丙/正切)與己丙餘切(即庚丙/正切)

求己戊邊　法為戊丙餘弦(即丁丙/正弦)與半徑若己丙餘

弦(即庚丙/正弦)與己戊餘弦(即丁角/正弦)

　　以上己丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二

　　用之第三支

四乙丙戊形(戊正角乙丙並鈍角戊乙/戊丙並大邊乙丙小邊)易為丁丙庚次

形

法曰引乙丙邊至庚滿象限得次形丙庚邊(即乙丙/之餘)于

丙戊截戊丁象限得次形丁丙邊(為戊丙/之餘)而丁即為戊

乙弧之極(戊正角至丁九/十度故知之)從丁作弧至庚成次形庚丁

邊為乙角之餘是角易為邊也(試引庚丁至辛則辛丁/亦象限而辛為正角庚)

(亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙鈍角之/弧度内截丁辛象限而丁庚為乙鈍角之餘度矣)又

庚正角與戊等丙為外角丁角為乙戊邊之餘是邊易

為角也(乙戊丙截乙辛象限其/餘戊辛即丁交角之弧)

　用法

假如三角求邊以丙角正弦為一率乙角餘弦為二率

半徑為三率求得戊丙餘弦為四率以得數減半周為

戊丙餘並同前

　　以上乙丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二

　　用之第四支

論曰厯書用次形止有乙甲丙形一例若正角形有鈍

角及大邊者未之及也故特詳其法

又論曰依第一用法大邊可易為小鈍角可易為銳則

第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣

(己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易為乙甲/丙形而乙甲丙又易為丁丙庚是又次形也)

正弧形弧角相易又法　用又次形

甲乙丙正弧三角形易為丁丙庚次形再易為丁戊壬

形

法曰依前法引乙丙邊甲乙邊各滿象限至庚至己作

庚己弧引長之至丁亦引甲丙㑹于丁亦各滿象限成

丁丙庚次形

又引丙庚至辛引丙丁至戊亦滿象限作辛戊弧引之

至壬亦引庚丁㑹于壬則辛壬庚壬亦皆象限成丁戊

壬又次形此形與甲乙丙形相當

論曰乙丙邊易為壬角(乙庚及丙辛皆象限内減同用/之丙庚則辛庚即乙丙而辛庚)

(即壬角/之弧)乙甲邊易為丁角(乙甲之餘度己甲/即丁交角之弧)是次形之

兩角即元形之兩邊也乙角易為丁壬邊(丁己及庚壬/俱象限内減)

(同用之庚丁則丁壬即己/庚而為元形乙角之弧)丙角易為戊壬邊(丙交之弧/弧辛戊其)

(餘為次/形戊壬)是次形之兩邊即元形之兩角而次形戊丁邊

即元形丙甲次形戊角即元形甲角

　用法

若原形有三角則次形有戊直角有戊壬丁壬二邊可

求乙甲邊　法為乙角之正弦(即丁壬/正弦)與半徑若丙角

之餘弦(即戊壬/正弦)與乙甲之餘弦(即丁角/正弦)

求乙丙邊　法為乙角之切線(即丁壬/切線)與丙角之餘切

(即戊壬/正切)若半徑與丙乙之餘弦(即壬角/餘弦)既得兩邊可求

餘邊

　　以上又次形三角求邊為正弧三角第二用之又

　　法

論曰用次形止一弧一角相易今用又次形則兩弧並

易為角兩角並易為弧故於前四支並峙而為又一法

也

第三斜弧三角易大為小　用次形(内分/二支)

一甲乙丙二等邊形　三角皆鈍

如法先引乙丙邊成全圖又引甲丙甲乙兩邊出圜周

外㑹于丁又引兩邊各至圜周(如戊/如己)成乙丁丙及戊甲

己兩小形皆相似而等即各與元形相當而大形易為

小形

論曰次形(甲戊/甲己)二邊為元形邊減半周之餘則同一正

弦次形(己/戊)二角為元形之外角亦同一正弦(甲乙戊為/甲乙丙外)

(角而與次形己角等甲丙己為/甲丙乙外角亦與次形戊角等)而次形甲角原與元形

為交角戊己邊又等乙丙邊(戊乙丙及己戊乙並半周/各減乙戊則戊己等乙丙)

故算小形與大形同法惟於得數後以減半周即得大

邊及鈍角之度(置半周減戊甲得甲丙減己甲亦得甲/乙又置半周減己銳角得元形乙鈍角)

(減戊鋭角亦得元形丙鈍角其交角甲及/相等之戊己邊只得數便是并不用減)

論曰凡兩大圈相交皆半周故丁丙與丁乙亦元形減

半周之餘又同用乙丙而乙與丙皆外角丁為對角故

乙丙丁形與戊甲己次形等邊等角而並與元形甲乙

丙相當

　　右二邊等形易大為小為斜弧次形第一用之第

　　一支

二甲乙丙三邊不等形　角一鈍二銳

如法引乙丙作圜又引餘二邊(甲乙/甲丙)至圜周(己/戊)得相當

次形己甲戊(算戊甲得甲丙算己甲/得甲乙算己戊得乙丙)其角亦一鈍二銳

(算戊鈍角得丙銳角算己鋭角/得乙鈍角而甲交角一算得之)

又戊甲乙形　角一鈍二鋭　如法引戊乙作圜又引

乙甲至圜周(己/)成次形己甲戊與元形相當(算己甲得/甲乙算己)

(戊得戊乙又同用戊甲邊故相當算甲銳角得/甲鈍角算戊鈍角得戊鋭角算己角即乙角)

又甲己丙形　三角俱鈍　如上法引丙己作圜又引

丙甲至戊成次形己甲戊與元形相當(元形甲丙與戊/甲元形己丙與)

(己戊並減半周之餘又同用己甲又丙鈍/角即戊鈍角甲己兩銳角並元形之外角)

　　右三邊不等形易大爲小為斜弧次形第一用之

　　第二支

第四斜弧三角形弧角互易　用次形(内分/三支)

一乙甲丙形(三角/俱鈍)易為丑癸寅形(一鈍/二銳)

法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未並半周

次以甲為心作丁辛癸寅弧乙為心作戊丑癸壬弧丙

為心作丑子午寅弧三弧交處别成一丑癸寅形與元

形相當而元形之角盡易為邊邊盡易為角

論曰甲角之弧丁辛與次形癸寅等則甲角易為癸寅

邊(丁癸及辛寅皆象限減同/用之辛癸則癸寅同丁辛)乙角之弧己壬與次形丑

癸等則乙角易為丑癸邊(癸己及丑壬皆象限減同/用之癸壬即丑癸同壬己)丙

外角之弧午申(引丑午寅至申取亥/申與庚子等成午申)與次形寅丑等則

丙外角易為寅丑弧(丑午及寅申皆象限各加同/用之午寅即午申等丑寅)是元

形有三角即次形有三邊也　又甲乙邊之度易為癸

外角(乙己及甲辰皆象限内減同用之/甲己則乙甲同己辰為癸外角弧)甲丙邊易為寅

角(甲辛及丙子皆象限内減同用之丙/辛則甲丙等辛子而同為寅角之弧)乙丙邊易為丑

角(乙壬及午丙皆象限内減同用之丙/壬則乙丙等午壬而同為丑角之弧)是元形有三邊

即次形有三角也

又論曰有此法則三角可以求邊(既以三角易為次形/之三邊再用三邊求)

(角法求得次形三角即反為元形/之三邊 三邊求角法詳别卷)

又論曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外㑹于

申則庚亥與子申並半周内各減子亥即子庚同亥申

而子寅既象弧則寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅

與以丑午象限(午壬為丑角之弧/故丑午亦象限)加午寅必等而申午

者丙外角之度丑寅者次形之邊也故丙角能為次形

之邊也

又論曰凡引弧線出圜外者其弧線不離渾圜面幂因

平視故為周線所掩稍轉其渾形即見之矣但所引出

之線原為半周之餘見此餘線時即當别用一圈為外

周而先見者反有所掩如見亥申即不能見子庚故其

度分恒必相當亦自然之理也

又論曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形

丙酉甲形並可易為甲乙丙則又皆以癸丑寅為又次

形矣

　　右三角俱銳形弧角相易為斜弧次形第二用之

　　第一支

二未丙酉形(三角/俱鈍)易為丑癸寅形(一鈍/二銳)

法曰引酉未弧作圜又引兩邊至圜周(如乙/如甲)乃以未為

心作丁辛癸寅辰弧以酉為心作戊丑癸壬己弧以丙

為心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外㑹於申三

弧相交成丑癸寅形此形與元形相當而角盡易為弧

弧盡易為角

論曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧(癸丁及寅辛皆/象限内減同用)

(之癸辛則癸/寅即丁辛)酉外角之弧壬己成次形丑癸弧(壬丑及/癸己皆)

(象限各減癸壬/則丑癸即壬己)丙外角之弧申午成次形寅丑弧(準前/論庚)

(亥及子申並半周則申亥等子庚而申寅為/象限與午丑象限各減午寅即寅丑同申午)　是三角盡

易為邊也酉未邊成癸外角(酉戊及未丁皆象限各減/未戊則丁戊即酉未而為)

(癸外角之弧若以丁戊減戊乙己半周/其餘丁乙己過弧亦即為癸交角之弧)未丙邊減半周

其餘甲丙成寅角(甲辛及子丙皆象限各減辛丙/則辛子即甲丙而為寅角之弧)酉丙

邊減半周其餘乙丙成丑角(午丙及壬乙皆象限各減/丙壬則壬午即乙丙而為)

(丑角/之弧)是三邊盡易為角也(寅角丑角並原邊減半周則/原邊即兩外角弧與酉未成)

(癸外/角等)故三角減半周得次形三邊算得次形三角減半

周得原設三邊

　　右三角俱鈍形弧角相易為斜弧次形第二用之

　　第二支

論曰若所設為乙未丙形則未角易為次形癸寅邊(徑/用)

(丁辛子形内以當/癸寅不須言外角)乙外角為丑癸邊(亦以己壬當丑癸/與用酉外角同理)

丙角為丑寅邊(徑以丙交角之弧甲/午當丑寅不言外角)　若所設為甲酉

丙形則酉角易為丑癸邊(己壬徑當丑/癸不言外角)甲外角為寅癸

邊(用丁辛當癸/寅即甲外角)丙角為丑寅邊(亦申午當丑/寅不言外角)

又論曰此皆大邊徑易次形不必復言又次

三甲乙丙形(一鈍角/兩銳角)易為丑癸寅形

如法引甲乙邊作全圜引餘二邊各滿半周又以甲為

心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧

以丙為心作己午子丑寅夘弧三弧線相交成丑癸寅

次形與元形相當而角為弧弧爲角

論曰易甲角為次形丑癸邊(於癸丁象限減壬癸成丁/壬為甲角之弧於丑壬象)

(限亦減壬癸即成/癸丑邊其數相等)乙外角為次形癸寅邊(於癸戊象限/減癸辛成辛)

(戊為乙外角之弧于寅辛象限亦/減癸辛即成癸寅邊其數相等)丙角為次形丑寅邊

(于丑午象限減丑子成午子為丙角之弧于/寅子象限亦減丑子即成丑寅邊其數相等)則角盡為

邊又甲乙邊為癸角(于甲丁象限乙戊象限各減乙丁/則戊丁等甲乙而癸角角之弧)

乙丙邊成寅角(于乙辛及子丙兩象限各減丙辛/則辛子等乙丙而為寅角之弧)甲丙

邊為丑外角(于甲壬及午丙兩象限各減丙壬/則午壬等甲丙而為丑外角之弧)則邊盡

為角

　　右一鈍角兩銳角形弧角相易為斜弧次形第二

　　用之第三支

論曰若所設為甲丙酉形(三角俱鈍而/有兩大邊)則以甲外角為

次形丑癸邊酉外角為癸寅邊丙外角為丑寅邊又以

三邊為次形三外角(並與第二支未丙/酉形三鈍角同理)　若所設為丙

未酉形乙未丙形(並一鈍二銳/而有兩大邊)皆依上法可徑易為丑

癸寅次形觀圖自明

甲乙丙形(三邊並大/三角並鈍)易為次形

法以本形三外角之度為次形三邊(午己為乙外角之/度而與癸壬等丑)

(辛為甲外角之度而與癸寅等申/亥為丙外角之度而與寅壬等)以本形三邊減半周

之餘為次形三角(甲乙減半周其餘戊乙或子甲而並/與辰丁等即癸角之度甲丙減半周)

(其餘戊丙而與丑庚等即寅角之度乙丙減/半周其餘子丙而與午亥等即壬角之度)並同前術

論曰此即厯學㑹通所謂别算一三角其邊為此角一

百八十度之餘者也然惟三鈍角或兩鈍角則然其餘

則兼用本角之度不皆外角

　　右三角俱鈍形弧角相易同第二支(惟三邊/俱大)

子戊丙形(一大邊二小邊/一鈍角二銳角)

其法亦以次形(癸壬/癸寅)二邊為本形(子/戊)二角之度寅壬邊

為丙外角之度次形(寅/壬)二角為本形二小邊之度癸角

為大邊減半周之度

論曰此所用次形與前同而用外角度者惟丙角其子

角戊角只用本度為次形之邊非一百八十度之減餘

也　若設戊丙乙形子丙甲形並同(戊丙乙形惟次形/癸寅邊為戊外角)

(其餘癸壬邊之度為乙角寅壬邊之度為丙角則皆本/度子丙甲形惟次形癸壬邊為子外角其餘寅壬邊之)

(度為丙角癸寅邊之/度為甲角則皆本度)

　　右一鈍角二銳角與第三支同(惟為邊一/大一小)

第五斜弧正弧以弧角互易(内分/二支)

一甲乙丙形(甲乙邊適足九十度餘二/邊一大一小角一鈍二銳)易為丑癸寅正

弧形(癸正角餘銳/三邊並小)

法曰引乙丙小邊成半周(於乙引至夘補成丙乙夘象/限又于丙引至午成丙辛午)

(象限即/成半周)作夘亥庚丑寅午以丙為心之半周(截丙甲大/邊于庚使)

(丙庚與丙乙夘等乃作庚夘弧為丙角之度即庚與夘/皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙為心)

作甲丑癸辛戊以乙為心之半周(引甲乙象限至戊成/半周于甲于戊各作)

(正角聨之即又成半周而截乙辛成象限與乙/戊等即辛戊為乙外角度而此半周以乙為心)作乙壬

癸寅弧以甲為心(甲戊半周折半于癸成兩象限從癸/作十字正角弧一端至寅一端至乙)

(成癸乙象限其所截甲壬亦象限/即乙壬為甲角之弧而甲為其心)三弧線相交成一丑

癸寅次形與本形弧角相易而有正角

論曰次形丑寅邊即本形丙角之度(丑夘及寅庚皆象/限各減丑庚則丑)

(寅即庚夘而/為丙角之弧)癸寅邊即甲角之度(寅壬及癸乙皆象限/各減癸壬則癸寅即)

(壬乙而為/甲角之弧)癸丑邊即乙外角之度(丑辛及癸戊皆象限/各減癸辛則丑癸即)

(辛戊而為乙/外角之弧)是角盡易邊也又寅角為甲丙邊所成(庚/丙)

(及壬戊皆象限各減丙壬則寅角之/弧庚壬與甲丙減半周之丙戊等)丑角為乙丙邊所

成(午丙及辛乙皆象限各減辛丙/則丑角之弧午辛與乙丙邊等)癸正角為甲乙邊所

成(癸正角内外並九十度而甲乙象限為癸外/角弧若減半周則乙戊象限為癸交角弧)是邊盡

為角而有正角也

又辰戊丙形(辰戊邊象限/餘並同前)易為正弧形(並同前法/觀圖自明)

乙丙戊形(乙戊邊足一/象限餘並小)易為正角形則丑寅度即丙外

角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角為邊也又寅角

生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是邊為角

辰甲丙形(辰甲象弧餘二/邊大三角並鈍)易為正角形則丑寅邊為丙

外角丑癸邊為辰外角寅癸邊為甲外角角為邊也又

寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲(並/準)

(前條諸/論推變)是邊為角而且有正角也

　　右本形有象限弧即次形有正角而斜弧變正弧

　　為弧角互易之第一支

丙乙甲形(丙正角餘兩銳角相/等邊三小相等者二)易為己癸壬次形(角一/鈍二)

(銳銳/相等)

法以甲為心作寅己丑半周則甲角之度(子寅/弧)成次形

一邊(己/壬)以乙為心作夘己午半周則乙角之度(夘辰/弧)成

次形又一邊(己/癸)此所成二邊相等以丙為心作亥癸壬

未半周則丙角之度(癸壬/象限)即為次形第三邊　依法平

分次形以己壬酉形求壬角得原設甲丙邊(壬角之度/癸子與甲)

(丙/等)乙丙邊(壬癸兩銳角原同度而癸角之度/辰壬與乙丙等故一得兼得也)求半己角

倍之成己角以減半周得原設乙甲邊(己外角之度午/寅或丑夘並與)

(乙甲/等)

論曰本形有正角次形無正角而有象限弧得次形之

象限弧得本形之正角矣

若設丙戊丁形(丙正角兩鈍角同度/二大邊同度一邊小)易為己癸壬次形

與上同法惟丁戊用外角

若設甲丙戊形(丙正角餘一銳一鈍而銳角鈍角合成/半周邊二大一小而小邊與一大邊合)

(成一/半周)易為己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本

角而同度所得次形之邊亦同度(甲外角之度子寅成/次形巳壬邊戊本角)

(乏度辰夘成次形己/癸邊而四者皆同度)其轉求本形也用次形之壬角得

甲丙以減半周即得丙戊(或乙丙丁/形亦同)

　　右本形有正角而次形無正角爲弧角互易之第

　　二支

或三角形無相同之邊角而有正角(其次形必/有象限邊)或無正

角而有相同之邊角(其次形亦有/等邊等角)準此論之

次形法補遺(角一銳一鈍/邊二大一小)

　附算例　三角求邊　三邊求角

甲乙丙形(甲角一百二十度乙角一百一十/度丙角八十五度為一銳二鈍)三角求邊

如法易為丑寅癸次形(癸寅邊六十度當甲角丑癸邊/七十度當乙角寅丑邊當丙角)

(並以角度減/半周得之)

求甲乙邊(即次形/癸外角)法以(甲/乙)兩角正弦相乗半徑除之得

數(八一三/八○)為一率半徑(一○○/○○○)為二率(甲/乙)兩角相較(十/度)

之矢與丙角減半周(九十/五度)大矢相較得數(一○七/一九七)為三

率求得四率(一三一/七二四)爲次形癸角大矢内減半徑成餘

弦(三一七/二四)撿表得癸外角(七十一度/三十分)為甲乙邊(本宜求/癸角以)

(減半周得甲乙/今用省法亦同)

論曰三角求邊而用次形實即三邊求角也故其求甲

乙邊實求次形癸角得癸角得甲乙邊矣然則兩角正

弦仍用本度者何也凡減半周之餘度與其本度同一

正弦也(甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形/癸寅邊六十度之正弦乙角一百一十度之正)

(弦九三九六九即次形/丑癸邊七十度正弦)獨丙角用餘度大矢何也正弦

可同用而矢不可以同用也(丙以外角易為次形丑寅/邊九十五度其大矢一○)

(八七一六而丙角本八十五度是/銳角當用正矢故不可以通用)然則兩角較矢又何

以仍用本度曰兩餘度之較與本度同故也(甲角乙角/之較十度)

(所易次形之癸寅邊/丑癸邊其較亦十度)所得四率為大矢而甲乙邊小何

也曰餘度故也(甲乙邊易為癸外角而四率所得者/癸内角也故為甲乙減半周之餘度)用

餘度宜減半周命度矣今何以不減曰省算也雖不減

猶之減矣(四率係大矢必先得癸外角七十一度半以/減半周得癸内角一百○八度半再以癸内)

(角減半周仍得七十一度半為甲乙邊今徑/以先得癸外角之度為甲乙邊其理無二)

求甲丙邊　如上法以邊左右兩角正弦(甲八六六○/三丙九九六)

(一/九)相乘半徑除之得數(八六二/七三)為一率半徑(一○○/○○○)為

二率(甲/丙)兩角相較(三十/五度)矢(一八○/八五)與乙外角(七十/度)矢(六/五)

(七九/八)相較得數(四七七/一三)為三率求得甲丙邊半周餘度

之矢(五五三/○四)為四率(撿表得六十三/度二十七分)以減半周得甲丙

邊(一百一十六/度三十三分)

論曰此亦用次形三邊求寅角也(以甲角所易癸寅邊/丙角所易寅丑邊為)

(角旁二邊以乙角所易丑癸邊為對角之邊求得/寅角之度辛子與酉丙等即甲丙減半周餘度)

求乙丙邊　如法以邊左右兩角正弦(丙九九六一九/乙九三九六九)

相乘半徑除之得數(九三六/一二)爲一率半徑(一○○/○○○)為二

率(丙/乙)兩角較(二十/五度)矢(○九三/六九)與甲外角(六十/度)矢相較(四/○)

(六三/一)爲三率求得餘度矢(四三四/○三)為四率(撿表得五十分/五度三十二)

以減半周得乙丙邊(一百廿四/度廿八分)

論曰此用次形三邊求丑角也(丙角易寅丑邊乙角易丑癸邊/為角旁二邊甲角易癸寅為對)

(邊求得丑角度午壬與未丙/等即乙丙邊減半周餘度)又論曰此所用次形之三邊三角

皆本形減半周之餘度(甲乙同己辰即癸外角度則次形癸角/為甲乙邊之半周餘度也寅角之度子)

(辛與酉丙等甲丙邊之餘度也丑角之度午壬與未丙/等乙丙邊之餘度也是次形三角皆本形三邊減半周)

(之餘度矣其次形三邊爲本形/三角減半周之餘己詳前註)故所得四率為角之大

小矢者皆必減半周然後可以命度若他形則不盡然

必須詳審

如甲未丙形(甲角六十度丙角九/十五未角一百一十)易丑寅癸次形則其

角易為邊用本度者二(甲角弧丁辛六十度易次形癸/寅邊丙角弧申午九十五度易)

(次形寅/丑邊)用餘度者一(未角弧壬戊一百一十度其半周/餘度己壬七十度易次形丑癸邊)

而其邊易為角用本度者二(未丙邊五十五度三十二/分與午壬等成次形丑角)

(甲未邊餘度未酉七十一度三十分與丁戊等成癸外/角則次形癸角一百○八度三十分為甲未邊本度)

用餘者者一(甲丙邊一百十六度三十三分其餘度酉/丙六十三度二十七分與辛子等成次形)

(寅/角)若一槩用餘度算次豈不大謬

又如乙丙酉形(乙角七○丙角九/五酉角一二○)用(癸寅/丑)次形(前/圖)求丙

酉邊

如法以邊左右兩角正弦(丙九九六一九/酉八六六○三)相乗去末五

位得數(八六二/七三)為一率半徑(一○○/○○○)為二率以(酉外角/丙角)

相差(三十/五度)矢(一八○/八五)與乙角矢(六五七/九八)相較(四七七/一三)爲

三率求得正矢(五五三/○四)為四率(次形寅/角之矢)撿表得六十三

度二十七分為丙酉邊

論曰此所用四率與前條求甲丙邊之數同而邊之大

小迥異一為餘度一為本度也(前條為餘度之矢故甲/丙邊大此條為本度之)

(矢故丙/酉邊小)又所用矢較亦以不同而成其同(前條以兩角/相差此則以)

(酉外角與丙角相差不同也而相差三十五度則同前條/用乙外角之矢此條用乙本角又不同也而矢數六五)

(七九八/則同)其理皆出次形也

求酉乙邊　如法以兩角正弦(乙九三九六九/酉八六六○三)相乗去

末五位(得八一/三八○)為一率半徑為二率(酉外角/乙角)相差(十/度)之

矢與丙角(九十/五度)之矢相較(得一○六/一九七)為三率求得大矢

(次形癸/角之矢)為四率(一三一/七二四)撿表(得一百○八/度三十分)為酉乙邊(此/與)

(前條求甲乙邊參㸔即見次/形用法不同之理如前所論)

求乙丙邊　與前條同法(因丙乙兩内角之正弦及差/度並與兩外角同而酉角又)

(同甲角/故也)

論曰三角求邊必用次形而次形之用數得數並有用

求度餘度之異即此數條可知其槩

又論曰在本形為三角求邊者在次形為三邊求角故

此數條即三邊求角之例也(餘詳環/中黍尺)

垂弧捷法(作垂弧而不用/其數故稱捷法)　亦為次形雙法(用兩次形/故稱雙法)

設亥甲丁形有甲亥邊亥丁邊亥角(在二邊/之中)求甲丁邊

(對角/之邊)

本法作垂弧分兩形先求甲已邊次求亥已邊分丁巳

邊再用甲巳丁巳二邊求甲丁邊

今捷法不求甲已邊但求亥已邊分丁已邊即用兩分

形之兩次形以徑得甲丁

一　亥已餘弦　即次形亥戊正弦

二　亥甲餘弦　即次形亥丙正弦

三　已丁餘弦　即次形辛丁正弦

四　甲丁餘弦　即次形庚丁正弦

法引甲亥邊至丙引甲丁邊至庚引甲已垂弧至乙皆

滿象限又引分形邊亥已至戊引丁已至辛亦滿象限

末作辛庚乙丙戊半周與亥已遇于戊與丁已遇于辛

成亥丙戊次形與甲已亥分形相當丁亥辛次形與甲

已丁分形相當而此兩次形又自相當(戊角辛角同以/己乙為其度則)

(兩角等丙與庚又同為正/角則其正弦之比例皆等)

論曰半徑與戊角之正弦若戊亥之正弦與亥丙之正

弦又半徑與辛角(即戊/角)之正弦若辛丁之正弦與丁庚

之正弦合之則戊亥正弦與亥丙正弦亦若辛丁正弦

與丁庚正弦

又論曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道

半周甲如北極辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距

即夏至之緯乃二分同用之角度(即戊角辛/角之度)亥丙及丁

庚皆赤緯甲亥及甲丁皆距北極之度(即赤緯/之度)

一　戊亥正弦　黄經　　戊亥為未到秋分之度辛

二　亥丙正弦　赤緯　　丁為已過春分之度似有

三　辛丁正弦　黄經　　不同而二分之角度既同

四　丁庚正弦　赤緯　　故其比例等

一　亥已餘弦　　即亥戊正弦

二　亥甲餘弦　　即亥丙正弦

三　已丁餘弦　　即戊丁正弦

四　甲丁餘弦　　即庚丁正弦

論曰此理在前論中蓋以同用戊角故比例同也

又論曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊

角如秋分其弧己乙如夏至距緯(此兩黄經並在夏至/後秋分前其理易見)

或先有者是丁鈍角甲丁丁亥二邊則先求丁巳線(亦用/前圖)

一　丁已餘弦　　即戊丁正弦

二　甲丁餘弦　　即丁庚正弦

三　亥已餘弦　　即亥戊正弦

四　亥甲餘弦　　即亥丙正弦

又論曰假如星在甲求其黄赤經緯則亥丁如兩極之

距亥角若為黄經則丁角為赤經而亥甲黄緯丁甲赤

緯也若丁角為黄經則亥角為赤經而丁甲黄緯亥甲

赤緯也(弧三角之理隨處可/施故舉此以發其例)

　弧三角舉要卷五

八線相當法引

弧三角有以相當立法者何也以四率皆八線也弧三

角四率何以皆八線而不用他線(八線但論度他/線則有丈尺)渾體

故也(弧三角皆在/渾員之面)渾體異平而御渾者必以平是故八

線之數生于平員而八線之用專于渾員也曷言乎專

為渾員曰平三角之角之邊皆直線也同在一平面而

可以相為比例故雖用八線而四率中必兼他線焉(以/八)

(線例他線則用角可以求邊以他線例/八線則用邊可以求角皆兼用兩種線)弧三角之角之

邊皆弧度曲線也不同在平面故非八線不能為比例

而四率中無他線焉既皆以八線相比例則同宗半徑

(有角之八線有邊之八線各角各邊俱/非平面而可以相求者同一半徑也)相當互視之法

所由以立也錯舉似紛實則有條不紊故爲論列使有

倫次云

八線相當法詳衍

總曰相當分之則有二曰相當曰互視互視又分為二

曰本弧曰兩弧

但曰相當者皆本弧也又分為二曰三率連比例者以

全數為中率也其目有三曰四率斷比例者中有全數

也其目有六凡相當之目九

互視者亦相當也皆爲斷比例而不用全數若以四率

之一與四相乗二與三相乗則皆與全數之自乗等也

　本弧之互視其目有三兩弧之互視其目有九凡互

視之目十二

總名之皆曰相當其目共二十一内三率連比例三更

之則六四率斷比例十有八更之反之錯而綜之則百

四十有四共百有五十

　相當共九

一曰正弦與全數若全數與餘割

二曰餘弦與全數若全數與正割

三曰正切與全數若全數與餘切

　　以上三法皆本弧皆三率連比例而以全數為中

　　率

四曰正弦與餘弦若全數與餘切

五曰餘弦與正弦若全數與正切

六曰正割與正切若全數與正弦

七曰餘割與餘切若全數與餘弦

八曰正割與餘割若全數與餘切

九曰餘割與正割若全數與正切

　　以上六法亦皆本法而皆四率斷比例四率之内

　　有一率為全數

　互視共十二

一曰正弦與正切若餘切與餘割

二曰餘弦與餘切若正切與正割

三曰正弦與餘弦若正割與餘割

　　以上三法亦皆本弧皆四率斷比例而不用全數

　　然以四率之一與四二與三相乗則其兩矩内形

　　皆各與全數自乗之方形等

四曰此弧之正弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘割

五曰此弧之正弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘割

六曰此弧之正弦與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘割

七曰此弧之餘弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧正割

八曰此弧之餘弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧正割

九曰此弧之餘弦與他弧餘切若他弧之正切與此弧正割

十曰此弧之正切與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘切

十一曰此弧之正切與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘切

十二曰此弧之正切與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘切

　　以上九法皆兩弧相當率也其爲四率斷比例而

　　不用全數則同若以四率之一與四二與三相乗

　　其矩内形亦各與全數自乗之方形等

　相當法錯綜之理

此三率連比例也首率與中率之比例若中率與末率

故以首率末率相乗即與中率自乗之積等

假如三十度之正弦(○五○/○○○)與全數(一○○/○○○)之比例若

全數(一○○/○○○)與三十度之餘割(二○○/○○○)其比例皆為加

例也更之則餘割(二○○/○○○)與全數(一○○/○○○)若全數(一○/○○)

(○/○)與正弦(○五○/○○○)其比例為折半也

又如三十度之餘弦(○八六/六○三)與全數(一○○/○○○)若全數(一/○)

(○○/○○)與三十度之正割(一一五/四七○)更之則正割(一一五/四七○)與

全數(一○○/○○○)若全數(一○○/○○○)與餘弦(○八六/六○三)也

又如三十度之正切(○五七/七三五)與全數(一○○/○○○)若全數(一/○)

(○○/○○)與三十度之餘切(一七三/二○五)更之則餘切(一七三/二○五)與

全數(一○○/○○○)若全數(一○○/○○○)與正切(○五七/七三五)也

　用法

凡三率連比例有當用首率與中率者改為中率與末

率假如有四率其一三十度正弦其二全數改用全數

為一率三十度餘割為二率其比例同

凡四率之前後兩率矩内形與中兩率矩形等故一與

四二與三可互居也

右四率斷比例也一率與二率之比例若三率與四率

假如三十度之正弦(○五○/○○○)與其餘弦(○八六/六○三)若全數

(一○○/○○○)與其餘切(一七三/二○五)更之則餘切(一七三/二○五)與全數

(一○○/○○○)若餘弦(○八六/六○三)與正弦(○五○/○○○)也(第四法/)

又如三十度之正割(一一五/四七○)與其正切(○五七/七三○)若全數

(一○○/○○○)與其正弦(○五○/○○○)更之則全數(一○○/○○○)與正割

(一一五/四七○)若正弦(○五○/○○○)與正切(○五七/七三五)也(第六法/)

又如三十度之餘割(二○○/○○○)與其正割(一一五/四七○)若全數

(一○○/○○○)與其正切(○五七/七三五)更之則正切(○五七/七三五)與正割

(一一五/四七○)若全數(一○○/○○○)與餘割(二○○/○○○)也(第九法/餘倣此)

　用法

凡四率斷比例當用前兩率者可以後兩率代之假如有四率

其一正弦其二餘弦改用全數為一率餘切為二率其比例同

　互視

此本弧中互相視之率也其第一與第四相乗矩第二

與第三相乗矩皆與全數自乗方等故其邊為互相視

之邊而相與爲比例皆等

假如三十度之正弦(○五○/○○○)與其餘割(二○○/○○○)相乗(一/○)

(○○○○○/○○○○)其餘弦(○八六/六○三)與其正割(一一五/四七○)相乗(一○/○○)

(○○○/○○弱)皆與全數自乗之方等故以正弦為一率餘弦

為二率正割為三率餘割為四率則正弦(○五○/○○○)與餘

弦(○八六/六○三)若正割(一一五/四七○)與餘割(二○○/○○○)也(第三法/)

又如三十度之正切(○五七/七三五)與其餘切(一七三/二○五)相乗(一/○)

(○○○○/○○○弱)亦與全數之方等故以正弦為一率餘切為

二率正切為三率餘割為四率則正弦(○五○/○○○)與正切

(○五七/七三五)若餘切(一七三/二○五)與餘割(二○○/○○○)也(第一法/)

或以餘弦為一率餘切爲二率正切為三率正割為四

率則餘弦(○八六/六○三)與餘切(一七三/二○五)若正切(○五七/七三五)與正

割(一一五/四七○)也(第二法/)

　用法

此亦四法斷比例故當用前兩率者可以後兩率代之

假如有四率當以正弦與正切為一率二率者改用餘

切為一率餘割為二率以乗除之其比例亦同餘倣此

　本弧諸線相當約法

　其一為弦與股之比例　　反之則如股與弦

　全　正割　餘切　餘割　全　　餘弦　正切　正弦

　正弦　正切　餘弦　全　餘割　餘切　正割　全

　其二為弦與句之比例　　　反之則如句與弦

　全　　餘割　正切　正割　全　　正弦　餘切　餘弦

　餘弦　餘切　正弦　全　正割　正切　餘割　全

　其三為句與股之比例　　　反之則如股與句

　全　　餘弦　餘割　餘切　全　　正割　正弦　正切

　正切　正弦　正割　全　　餘切　餘割　餘弦　全

　　右括本弧七十八法

如圖甲丙甲乙甲丁皆半徑全數乙丙為正弧乙丁為

餘弧乙戊為正弦庚丙為正切線庚甲為正割線乙己

為餘弦辛丁為餘切線辛甲為餘割線

　　此皆一定比例觀圖自明

　外有餘切餘弦非弦與股之比例則借第二比例更

　之

　　一　甲乙全數(即甲/丁)　　辛丁餘切

　　四　辛丁餘切　　　　甲丁全數

　　全數與餘弦若餘割與餘切更之而餘切與餘弦

　　若餘割與全數也餘割與全數既為弦與股則餘

　　切與餘弦亦如弦與股矣

　正切正弦非弦與句之比例則借第一比例更之

　　一　甲乙全數(即甲/丙)　　庚丙正切

　　四　庚丙正切　　　　甲丙全數

　　全數與正弦若正割與正切更之而正切與正弦

　　若正割與全數也正割與全數既為弦與句則正

　　切與正弦亦如弦與句矣

　餘割正割非句與股之比例則仍借第一比例更之

　　一　餘割辛甲　　　　餘割辛甲

　　二　全數甲丁(即甲/丙)　　正割庚甲

　　三　正割庚甲　　　　全數甲丙

　　四　正切庚丙　　　　正切庚丙

　　餘割與全數若正割與正切更之而餘割與正割

　　若全數與正切也全數與正切既爲句與股則餘

　　割與正割亦如句與股矣

　　(互視自此而分以前為本弧所用共大法三更之/則二十有四合相當法則七十有八而總以三率)

　　(連比例三/大法為根)

　　(以後為兩弧所用共大法九更之七十/有二而仍以本弧之三率連比例為根)

九法

十二法

　　(以上大法三更之二十有四是以/本弧之正切餘切與他弧互視)

此皆兩弧中互相視之率也本弧有兩率相乗矩與全

數之方等他弧亦有兩率相乗矩與前數之方等則此

四率為互相視之邊互相視者此有一率贏于彼之一

率若干倍則此之又一率必朒于彼之又一率亦若干

倍而其比例皆相等故以此弧之兩率為一與四則以

他弧之兩率為二與三

假如有角三十度邊四十度此兩弧也角之正弦(○五/○○)

(○/○)與其餘割(二○○/○○○)相乗(一○○○○/○○○○○)與全數自乗等

邊之正弦(○六四/二七九)與其餘割(一五五/五七二)相乗(一○○○○/○○○○弱)

亦與全數自乗等則此四率為互相視之邊互相視者

言角之正弦(○五○/○○○)與邊之正弦(○六四/二七九)若邊之餘割

(一五五/五七二)與角之餘割(二○○/○○○)也(第四法/)

又如有二邊大邊五十度小邊三十度大邊之正弦(○/七)

(六六/○四)餘割(一三○/五四一)相乗與全數自乗等小邊之正切(○/五)

(七七/三五)餘切(一七三/二○五)相乗亦與全數自乗等則此四者互

相視互相視者言大邊之正弦(○七六/六○四)與小邊之正切

(○五七/七三五)若小邊之餘切(一七三/二○五)與大邊之餘割(一三○/五四一)

也(第六法/)

又如有兩角甲角三十度乙角五十度此亦兩弧也甲

角之正切(○五七/七三五)餘切(一七三/二○五)相乗與全數自乗等乙

角之正切(一一九/一七五)餘切(○八三/九一○)相乗亦與全數自乘等

則此　率為互相視之邊互相視者言甲角之正切(○/五)

(七七/三五)與乙角之正切(一一九/一七五)若乙角之餘切(○八三/九一○)與

甲角之餘切(一七三/二○五)也(第十法/)

　用法

假如别有四率以五十度正弦為第一三十度正切為第

二今改用三十度餘切第一五十度餘割第二其比例同

如圖壬丙爲本弧乙丙為他弧他弧小於本弧而並在

半象限以内

本弧(正弦壬癸/餘割未甲)　(餘弦壬丑/正割庚甲)　(正切庚丙/餘切未丁)

他弧(正弦乙戊/餘割酉申)　(餘弦乙巳/正割辛甲)　(正切辛丙/餘切酉丁)

論曰甲丙甲丁皆半徑乃本弧他弧所共也半徑自乗

之方冪為甲丙夘丁而本弧中以正弦乗餘割以餘弦

乗正割以正切乗餘切所作矩形既各與半徑方冪等

則他弧亦然故可以互相視而成相當之率

如上圖壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外

亦同

如上圖壬丙本弧小于乙丙他弧而並在半象限外並

同

　厯算全書卷八