歷算全書

序

厯家所憑全恃測騐昔者蔡邕上書願匍匐渾儀之下

按度考數著於篇章以成一代盛典古人之用心蓋可

想見然則儒者端居斗室足不履觀臺目不睹渾象安

所得測騐之事而親之而安從學之曰所恃者有測騐

之法之理在則句股是也遭秦之厄天官書器散亡漢

落下閎鮮于妄人等追尋墜緒厯代相承攷訂加詳至

于今日厥理大著則句股之用于渾圓是也今夫測量

之法方易而圓難古用徑一圍三聊舉成數非有所不

知也自劉徽祖沖之各為圓率逮元趙友欽定為徑一

則圍三一四一五九二與今西術略同皆割圓以得之

非句股奚藉焉(西法割圓比例以直角三邊形為/主即句股也但異其名不異其實)然用

句股測平圓猶易用句股測渾圓更難厯家所測皆渾

圓也非平圓也古有黄赤道相準之率大約於渾器比

量僅得梗槩未能彰諸笇術近代諸家以相減相乘推

變其差損益有序稍為近之而未親也惟元郭太史守

敬始以弧矢命笇有平視側視諸圖推步立成諸數黄

赤相求斯有定率視古為密由今觀之皆句股也但其

立法必先求矢又用三乗方取數不易故但能列其一

象限中度率不復能求其細分之數厯書之法則先求

角既因弧以知角復因角以知弧而句股之形能預定

其比例又佐之八線互用以通其窮其法以三弧度相

交輒成三角則此三弧度者各有其相應之弦弧與弧

相割即弦與弦相遇而句股生焉茍熟其法則正反斜

側八線犁然各相得而成句股(八線比例以半徑全數/為弦正弦餘弦為句為)

(股又以割線為弦切線與半徑全數為/其句股表中所列句股形凡五千四百)於是乎黃可變

赤赤可變黃可以經度知緯可以緯度知經羅絡鉤連

旁通曲暢分秒忽微臚陳笇位求諸中心可無纎芥之

疑告諸同學亦如指掌之晰即不必匍匐渾儀之下可

以不窺牖而見天道賴有此具也全部厯書皆弧三角

之理即皆句股之理顧未嘗正言其為句股使人望洋

無際(彼云直角三邊形此云句股乃西國/方言譯書時不知此理遂生分别)又譯書者識

有偏全筆有工拙語有淺深詳略所載圖説不無滲漏

之端影似之談與臆參之見學者病之兹稍為摘其肯

綮從而䟽剔訂補以直截發明其所以然竊為一言以

蔽之曰析渾圓㝷句股而已蓋于是而知古聖人立法

之精雖弧三角之巧豈能出句股範圍然句股之用亦

必至是而庶無餘藴爾厯法之深㣲奥衍不啻五花八

門其章句之詰曲離竒不啻羊腸絙度而由是以啓其

扃鑰庶將掉臂游行若揭日月而騁康莊矣文雖不多

實為此道中開闢塗徑蓋積數十年之探索而後能㑹

通簡易故亟欲與同志者共之余老矣禹服九州之大

厯代聖人教澤所漸被必有好學深思其人所冀大為

闡發俾古人之意晦而復昭一綫之傳引而弗替則生

平之志願畢矣豈必身擅其名然後為得哉余拭目竢

之康熙二十三年上元甲子長至之吉勿菴梅文鼎書

於柏梘山中

欽定四庫全書

　厯算全書卷七

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　弧三角舉要卷一

弧三角體勢

弧三角與平異理故先體勢知體勢然後可以用算而

算莫先於正弧猶平三角之有句股形也故以為弧度

之宗正弧形之之角取法于黄赤交角則有定度而餘

角取法于過極圏交黄道之角則隨度而移互用之其

理益顯故有求餘角法弧三角以一角對一邊而比例

等與平三角同而其理迴别故有弧角比例法斜弧無

相對之弧角則比例之法窮故有垂弧法三角求邊則

垂弧之法又窮故有次形法垂弧與次形合用則有捷

法弧與角各有八綫而可以互視故有相當法(餘詳環/中秦尺)

(及塹堵/測量)

　弧度與天相應

弧三角之法以測渾員渾員之大者莫如天員之至者

亦莫如天故弧三角之度皆天度也

以平測員其難百倍以員測員其簡百倍而得數且真

是故測天者必以弧度而論弧度者必以天為法

　測弧度必以大圏

渾球上弧度有極大之圏乃腰圍之一綫也如赤道帶

天之紘原止一綫如黄道如子午規如地平規盡然

又如測得兩星相距之逺近亦為大圏之分(若以此兩/星之距弧)

(引而長之必匝於渾員之體而成/大圏不論從衡斜側皆同一法)

　球上大圏必相等

所以必用大圏者以其相等也　渾球上從衡斜側皆

可為大圏而其大必相等者以俱在腰圍之一綫也如

黄道赤道及子午規地平規俱係大圏必皆相等不相

等即非大圏故惟大圏可相為比例(任測兩星之距不/必當黄赤道而能)

(與二道相比例者/以其皆大圏也)

　球上兩大圏無平行者

大圏在渾球既為腰圍之一綫則必無兩圏平行之法

若平行即非大圏(如黄赤道並止一綫而無廣即無地/可容平行綫也子午規地平規亦然)

　球上圏能與大圏平行者皆小圏謂之距等圏

離大圏左右作平行圏皆曰距等圏謂其四圍與大圏

相距皆等(如于黄道内外作緯圏其與黄道相距或近/則四靣皆近或逺則四面亦皆逺無毫忽之)

(不同平行故也赤道/緯圏地平髙度並同)而其自相距亦等故曰距等也(如/黄)

(道内外或近或逺處處可作距等圏而皆與/黄道平行即其圏亦自相平行故並為等距)距等圏皆

小于大圏(如黄道内外緯圏但離數分其圍即小于黄/道其距益逺其圏益小小之極至一㸃而止)

(諸緯圏/並然)不能與大圏為比例(大圏惟一距等圏無數無/一同者無法可為比例)

故為比例者必大圏也

如圖甲乙為大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小

圏無數漸近圎頂己即其圏愈小而成一㸃大小懸殊

故不可以相為比例

　大圏之比例以度不拘丈尺

凡圏皆可分三百六十度(每圏平分之成半周四平分/之成象限象限又各平分之)

(為九十度成/三百六十度)而球大者其大圏大球小者其大圏小皆

以本球之圍徑自為比例不拘丈尺(儘本球之圍分為/全周之度其球上)

(之度即皆以此為準但在本球上為最/大故謂之大圏非以丈尺言其大小)古人以八尺渾

儀準周天蓋以此也又如古渾儀原有三重其在内之

環周必小于外而其度皆能相應者在内環周雖小而

在内之渾員以此為大圏即在内之各度並以此為準

故也

　大圏之度為公度

凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于

本球之大圏又大小不倫則其所分之細度亦皆小于

大圈而大小不倫矣惟本球腰圍大圏上所分之度得

為公度故凡言度者必大圏也

如圖甲乙為大圏一象限丙丁及戊庚各為距等小圏

一象限象限雖同而大小迥異又如甲辛為大圈三十

度丙壬及戊癸亦各為小圏之三十度其為三十度雖

同而大小亦異再細攷之至一度或至一分亦大小異

也故惟大圏之度為公度

　大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等

平員有徑有周渾員亦有徑有周立渾員于前則外周

可見即腰圍之大圏也旋而視之皆可為外周故大圏

之横直皆等(皆以外周度/為其度故等)

如圖子午規為渾儀外周其度三百六十乃横度也地

平為腰圍度亦三百六十乃横度也横度直度皆得為

外周故其度相等若依北極論之則赤道又為腰圍而

亦即外周也推是言之渾球上大圏從衡斜側皆相等

何則旋而視之皆得為腰圍即皆得為外周故也

　大圏上相遇有相割無相切大圏相割各成兩半分

球上從衡斜側既皆成大圏則能相割矣而皆為渾員

之外周則必無相切之理(若相切者必在外周/之内為距等小圈)

如圖甲丙乙為大圏半周能割大圏于甲于乙而不能

相切丙丁成小圈則能切大圏于丙于丁

如圖甲庚辛乙為大圏半周割外圏于甲于乙則甲己

乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于

辛而庚辛非半周

球上兩大圏相割必有二處此二處必相距一百八十

度而各成兩平分如黃赤二道相交於春分必復相交

於秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黃道成

兩半分赤道亦兩平分也若距等圏與大圏相割必不

能成兩平方

　兩大圏相遇則成角

球上大圏既不平行則其相遇必相交相割而成角弧

三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有銳鈍共

三種而角兩旁皆弧綫與直綫角異

如圖己午戊子為子午規辛午乙子為地平規兩大圏

正相交于南地平之午北地平之子則皆正角而四角

皆等並九十度角也(正角一名直角一名/十字角一名正方角)

如圖午辛子為地平規丁辛癸為赤道規兩大圏斜相

交于辛則丁辛子鈍角大于九十度丁辛午銳角小于

九十度兩角相並一百八十度減銳角其外角必鈍若

減鈍角亦得鋭角也故有内角即知外角　又兩銳角

相對兩鈍角相對其度分必等故有此角即知對角

凡此數端並與平三角同然而實有不同者以角兩旁

之為弧綫也

　弧綫之作角必兩

直綫剖平員作角形如分餅角旁兩綫皆半徑至周而

止弧綫剖渾冪作角形如剖𤓰角旁兩弧綫皆半周必

復相交作角而等(如黄赤道交于/二分其角相等)

　角有大小量之以對角之弧其角旁兩弧必皆九十度

弧綫角既如𤓰瓣則其相距必兩端狹而中濶其最濶

處必離角九十度此處離兩角各均即球上腰圍大圏

也故其度即為角度(如黄赤道之二分交角二十三度/半即二至時距度此時黄赤道離)

(二分各九十度乃/腰圍最濶處也)

　大圈有極

大圏能分渾員之面冪為兩則各有最中之處而相對

是為兩極兩極距大圏四靣各九十度

如圖甲辛乙為赤道大圈己為北極己為南極甲己丁

己等弧綫距北極各九十度距南極亦然　若己為天

頂甲辛乙為地平大圏亦同如甲正北辛正東乙正南

丁東北丙東南所在不同而甲乙等髙弧距天頂各九

十度皆等

　大圏上作十字弧綫引長之必過兩極兩極出弧綫

　至大圏必皆十字正交

如赤道上經圏皆與赤道正交為十字角則其圏必上

過北極下過南極也然則從兩極出弧綫過赤道必十

字正交矣

　大圏之極為衆角所輳

如赤道上逐度經圏皆過兩極則極心一㸃為衆角之

宗(經圏之弧在赤道上成十字者本皆平/行漸逺漸狹至兩極則成角形之銳尖)角無論大小

皆輳于極而合成一㸃離此一㸃外即成銳鈍之形而

皆與赤道度相應所謂量角以對弧度而角兩旁皆九

十度以此

如圖己為北極即衆角之頂鋭其所當赤道之度如乙

丙等則己角為鋭角如丙庚等則己角為鈍角　若己

為天頂外圏為地平亦然

　角度與角旁兩弧之度並用本球之大圏度故量角

　度者以角為極

有弧線角不知其度亦不知角旁弧之度法當先求本

球之九十度(其法以角旁二弧各引長之使復作角乃中/分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度)

(可/知)以角為心九十度為界作大圏(與角旁兩弧並本球/大圏而其分度等)

乃視角所當之弧(即角旁兩九/十度弧所界)於大圏上得若干度分

即角度也故曰以角為極

　三大圏相遇則成三角三邊

此所謂弧三角形也如黄道赤道既相交於二分又有

赤道經圏截兩道而過之則成乙丙甲弧三角形

知圖己為北極戊辛為赤道丁庚為黄道二道相交於

春分成乙角又己壬為過極經圏自北極己出弧線截

黄道於丙得丙乙邊為黄道之一弧亦截赤道於甲成

甲乙邊為赤道之一弧而過極經圏為二道所截成丙

甲邊為經圏之一弧是為三邊即又成丙角甲角合乙

角為三角

　弧三角不同於平三角之理

弧三角形有三角三邊共六件以先有之三件求餘三

件與平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一

百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度

必盈(三邊在一度以下可借平三角立算因/其差甚微然其角度視半周必有微盈)但不得滿

五百四十度(角之極大者合之以/比三半周必不能及)

平三角之邊小僅咫尺大則千百萬里弧三角邊必在

半周以下(不得滿一/百八十度)合三邊不得滿三百六十度(如滿/全周)

(即成全員而/不得成三角)

平三角有兩角即知餘角弧三角非算不知

平三角有一正角餘二角必銳弧三角則否(有三正角/兩正角者)

(其餘角有鈍有鋭或兩鋭/兩鈍或一鋭一鈍不等)

平三角有一鈍角餘二角必銳弧三角則否(其餘角或/鋭或正或)

(鈍甚有三/鈍角者)

平三角以不同邊而同角為相似形同邊又同角為相

等形弧三角則但有相等之形而無相似之形以同角

者必同邊也

平三角但可以三邊求角不可以三角求邊弧三角則

可以三角求邊(弧三角之邊皆員度也初無丈尺可言故/三角可以求邊若干三角邊各有丈尺則)

(必有先得之邊以為之例所以不同相前條言有相等/之形無相似之形亦謂其所得之度 等非謂其丈尺)

(等/也)

　弧三角用八綫之理

平三角用八綫惟用於角弧三角用八綫并用於邊平

三角以角之八綫與邊相比弧三角是以角之八綫與

邊之八綫相比平三角有正角即為句股若正弧三角

形實非句股而以其八綫輳成句股

平三角以角求邊是用弧綫求直綫也(有角即/有弧)以邊求

角是用直線求弧線也然角以八綫為用仍是以直綫

求直綫也句股法也弧三角以邊求角以角求邊並是

以弧綫求弧綫也而角與邊並用八綫仍是以直綫求

直綫也亦句股法也(蓋惟直綫/可成句股)所不同者平三角所成

句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在

其内外

　弧三角之㸃綫面體

測量家有㸃綫面體弧三角備有之其所測之角即㸃

也但其㸃俱在弧靣(如于渾球任指一星為所測之㸃/即角度從兹起如太陽太陰角度)

(並從其中心/一㸃論之)

弧三角之邊即綫也但其綫皆弧綫(如渾球上任指兩/星即有距綫或于)

(一星出兩弧綫與他星相距即/成角而角旁兩綫皆弧綫也)

弧三角之形即靣也但其靣皆渾球上面冪之分形

弧三角之所麗即渾體也剖渾員至心即成錐體而並

以弧三角之形為底(詳塹堵/測量)

　渾員内㸃綫面體與弧三角相應

前條㸃綫面體俱在球面可以目視器測但皆弧綫難

相比例(比例必用句股句/股必直綫故也)賴有相應之㸃綫面惟在渾

體内厯員可指雖不可以目視而可以算得弧三角之

法所以的確不易也　如渾球中剖則成平員即靣也

于是以球面之各㸃(即弧三角/之各角)依視法移于平員面即

渾員内相應之㸃也又以弧與角之八綫移至平面成

句股以相比例是渾員内相應之綫也　又如弧三角

之三邊各引長之成大圏各依大圏以剖渾員即各成

平員面是亦渾員内相應之面也二平員面相割成𤓰

瓣之體三平員面相割成三楞錐體若又依八線横割

之即成塹堵諸體是渾員體内相應之分體也此皆與

弧面相離在渾員之内非剖渾員即不可見而可以算

得即不啻目視而器測矣

　大圏與渾員同心

球上大圏之心即渾員之心(若依各大圏剖渾員成平/員面其平員心即渾員之)

(心/)若距等小圏則但以渾員之軸為心而不能以渾員

心為心同心者亦同徑(大圏以渾貟徑為徑若距/等圏則但以通弦為徑)渾體

内諸綫能與弧三角相應者以此(渾員體内諸綫皆宗/其徑弧三角既以大)

(圏相割而成必宗大圏/之徑徑同故内外相應)弧三角之邊不用小圏亦以此

也(距等圏既與大圏異徑則其度不齊不能成/邊而所作之角必非真角無從考其度分也)

　弧三角視法

弧三角非圖不明然圖弧綫於平面必用視法變渾為

平

平置渾儀從北極下視則惟赤道為外周不變而黄道

斜立即成撱形　其分至各經圏本穹然半員今以正

視皆成員徑是變弧綫為直綫也

立置渾儀使北極居上而從二分平視之則惟極至交

圏為外周不變其赤道黄道俱變直綫為員徑而成輳

心之角(即大距度/平面角)是變弧綫角為直綫角也(又距等圏/亦變横綫)

(而成各度正弦/與員徑平行)其赤道上逐度經圏之過黄赤道者雖

變撱形而其正弦不變且厯算可見如在平面而與平

面上之大距度正弦同角成大小句股比例是弧面各

綫皆可移于平面也故視法不但作圖之用即步算之

法已在其中

　　以上謂之正視(以黄赤道為式若于六合儀取/天頂地平諸綫亦同他可類推)

　　以上謂之旁視(渾員上有垜疊諸綫從旁側視之/庶幾可見雖不能按度肖形而大)

　　(意不失以顯弧三/角之理為用亦多)

　角之矢

如圖甲丙乙丁半渾員以甲戊乙弧界之則其弧面分

兩角為一鋭一鈍以視法移此弧度于相應之平面亦

一鋭一鈍即分員徑為大小二矢而戊丙正矢為戊甲

丙鋭角之度(戊乙丙/亦同)戊丁大矢為戊甲丁鈍角之度(戊/乙)

(丁亦/同)故得矢即得角

　角之八線

如前圖丙戊弧為甲銳角之度與丙庚等則丙戊之在

平面者變為直綫即爲甲鋭角之矢而戊巳為角之餘

弦戊庚為角之正弦丙辛爲角之切綫己辛為角之割

綫皆與平面丙庚弧之八綫等

丁巳戊過弧為甲鈍角之度與丁乙庚過弧等則丁戊

在平面者變為鈍角之大矢而戊巳餘弦戊庚正弦丙

辛切綫己辛割綫並與鋭角同(平面鈍角之八綫與外/角同用弧三角亦然)

　正弧斜弧之角與邊分為各類

凡三角内有一正角謂之正弧三角形三角内並無正

角謂之斜弧三角形

正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有

二正角一鈍角者(以上種種/不須用算)又有一正角兩鋭角者(内/分)

(二種一種兩銳角同度/一種兩銳角不同度)有一正角兩鈍角者(内分二種/一種兩鈍)

(角同度一種兩/鈍角不同度)有一正角一銳角一鈍角者(内分二種/一種銳鈍)

(角角合之成半周一種合/銳鈍兩角不能成半周)計正弧之角九種而用算者

六也

正弧三角形之邊有三邊並足者(足謂足/九十度)有二邊足一

邊小者(在象限以/下為小)有二邊足一邊大者(過象限以上為/大○以上三種)

(可不/用算)有三邊並小者(内分二種一種二邊/等一種二邊不等)有二邊大而

一小者(内分三種一種二大邊等一種二大邊/不等一種小邊為一大邊減半周之餘)計正弧

之邊八種而用算者五也

　二邊俱小則餘邊必不能大故無二小一大之形

　二邊俱大則餘邊亦不能大故無三邊並大之形

　一邊若足則餘邊亦有一足故無一邊足之形

正弧三角形圖一(計三種/)

正弧三角形圖二(訃三種/)

　以上正弧形三種有同度之邊與角謂之二等邊形

　内有己形雖無同等之邉角而有共為半周之邉角

　度雖不同而所用之正弦則同即同度也

　凡邉等者角亦等後倣此

正弧三角形圖三(計三種/)

　以上正弧形三種邊角與丁戊巳三種無異但無同

　度之邊凡正弧三角形共九種

斜弧三角形之角有三角並鋭者(内分三種一種有二/角相等一種三角不)

(相等一種/三角俱等)有二角銳而一鈍者(内分四種一種二銳角/相等一種二銳角不相)

(等一種鈍角為一銳角減半周之餘一種/二銳角相等而又並為鈍角減半周之餘)有二角鈍而

一銳者(内分四種一種二鈍角相等一種二鈍角不相/等一種銳角為一鈍角減半周之餘一種二鈍)

(角相等而又並為/銳角減半周之餘)有三角並鈍者(内分三種一種有二/角相等一種三角不)

(相等一種/三角相等)計斜弧之角十有四種

斜弧三角形之邊有一邊足二邊小者(内分二種一種/二小邊相等一)

(種二小/邊不等)有一邊足二邊大者(内分二種一種二大邊/等一種二大邊不等)有

一邊足一邊小一邊大者(内分二種一種大小二邊合/之成半周一種合二邊不能)

(成半/周)有三邊並小者(内分三種一種三邊不等一/種二邊等一種三邊俱等)有二

邊大而一小者(内分四種一種二大邊等一種二大邊/不等一種小邊為一大邊減半周之餘)

(一種二大邊等而又並/爲小邊減半周之餘)有二邊小而一大者(内分四種/一種二小)

(邊等一種二小邊不等一種大邊為一小邊減半周/之餘一種二小邊等而又並為大邊減半周之餘)有

三邊並大者(内分三種一種三邊不等一/種二邊等一種三邊俱等)計斜弧之邊

二十種

斜弧三角形圖一(計四種/)

　以上斜弧形四種並三角三邊同度謂之三等邊形内有二

　等邊者其一邊為等邊減半周之餘與三等邊同法(以同用/正弦故)

斜弧三角形圖二(計十二種/)

　以上斜弧三角形十二種並二等邊形内有四種以大小二邊

　度成半周與二等邊同法(小邊為大邊減半周/之餘則同用一正弦)

斜弧三角形圖三(計十種鋭厯書只九/種遺一 二鈍形)

　以上斜弧三角形十種並三邊不等(用算只/四種)

　凡斜弧三角形共二十六種

通共弧三角形三十五種(内除正弧三種不須/用算實三十二種)

乙丁寅為赤道乙丙癸為黄道乙與寅為春秋分癸為

夏至午癸丁辰為極至交圏午與辰為南北極午丙甲

為過極經圈

丙乙為黄道距二分之度甲乙為赤道距二分之度(卯/同)

(升/度)丙甲為黄赤距緯成丙乙甲三角弧形甲為正角乙

春秋分角與渾員心卯角相應

癸丁弧為黄赤大距(即乙角之弧亦/為夘角之弧)癸巳為乙角正弦

卯巳其餘弦戊丁為乙角切線戊卯其割線卯癸及夘

丁皆半徑成癸巳夘及戊丁夘兩句股形

又午夘半徑庚午為乙角餘切庚夘為乙角餘割成午

夘庚倒句股形

丙辛為丙甲距度正弦丙壬為丙乙黄道正弦作辛壬

線與丁卯平行成丙辛壬句股形

子甲為丙甲距度切線甲丑為甲乙赤道正弦作子丑

線與丙壬平行成子甲丑句股形

酉乙為丙乙黄道切線未乙為甲乙赤道切線作酉未

線與子甲平行成酉未乙句股形

　前二句股形在癸丁大距弧内外(癸巳邜用正餘弦/在弧内戊丁夘用)

　(割切線/出弧外)後三句股形在丙乙甲三角内外(丙辛壬在/丙角用兩)

　(正弦在渾員内子甲丑在甲角兼用正弦切線/半在内半在外酉未乙用兩切線在渾員外)

論曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安

從乙視之則丁乙象限與丁夘半徑視之成一線而辛

壬聨線甲丑正弦未乙切線皆在此線之上矣以其線

皆平安皆在赤道平面與赤道半徑平行故也(是為/句線)

赤道平安則黄道之斜倚亦平其癸乙象限與癸夘半

徑從乙視之亦成一線而丙壬正弦子丑聨線酉乙切

線皆在此線之上矣以其線皆斜倚皆在黄道平面與

黄道半徑平行故也(是為/弦線)

黄赤道相交成乙角而赤道既平安則從乙窺夘卯乙

半徑竟成一㸃而乙丑壬夘角合成一角矣

諸句股形既同角而其句線皆同赤道之平安其弦線

皆同黄道之斜倚則其股線皆與赤道半徑為十字正

角而平行矣是故形相似而比例皆等也(其夘午庚倒/句股形為相)

(當之用與諸句股形/亦相似而比例等)

又論曰丙辛壬形兩正弦(丙辛/丙壬)俱在渾體之内其理易

明子甲丑形甲丑正弦在渾體内子甲切線在渾體之

外已足詫矣酉未乙形兩切線(酉乙/未乙)俱在渾體之外雖

習其術者未免自疑厯書置而不言蓋以此耶今為補

説詳明欲令學者了然心目庶以用之不疑

　用法

假如有丙乙黄道距春分之度求其距緯丙甲法為半

徑癸夘與乙角之正弦癸巳若丙乙黄道之正弦丙壬

與丙甲距緯之正弦丙辛也

一　半徑全數　癸夘　弦

二　乙角正弦　癸巳　股

三　黄道正弦　丙壬　弦

四　距緯正弦　丙辛　股

若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度則反用

之為乙角之正弦癸巳與半徑癸夘(若欲用半徑為一/率以省除則為半)

(徑午夘與乙角之餘/割庚夘其比例亦同)若丙甲距緯之正弦丙辛與丙乙

黄道之正弦丙壬也

一　乙角正弦　癸巳　　半徑全數　午夘　股

二　半徑全數　癸夘　　乙角餘割　庚夘　弦

三　距緯正弦　丙辛　　　　　　　　　　股

四　黄道正弦　丙壬　　　　　　　　　　弦

　　右丙辛壬形用法

假如有甲乙赤道同升度求距緯丙甲法為半徑夘丁

與乙角之切線丁戊若甲乙赤道之正弦甲丑與丙甲

距緯之切線子甲也

一　半徑全數　卯丁　句

二　乙角正切　丁戊　股

三　赤道正弦　甲丑　句

四　距緯正切　子甲　股

若先有丙甲距緯而求甲乙赤道則反用之為乙角之

切線戊丁與半徑丁夘(或用半徑為一率則為半徑/夘午與乙角之餘切午庚)若

丙甲距緯之切線子甲與甲乙赤道之正弦甲丑也

一　乙角正切　戊丁　半徑全數　卯午　股

二　半徑全數　丁夘　乙角餘切　午庚　句

三　距緯正切　子甲　　　　　　　　股

四　赤道正弦　甲丑　　　　　　　　句

　　右子甲丑形用法

論曰以上四法厯書所有但于圖増一夘午庚句股形

則互視之理更明

假如有丙乙黄道距二分之度徑求甲乙赤道同升度

法為半徑夘癸與乙角之餘弦夘巳若丙乙黄道之切

線酉乙與甲乙赤道之切線未乙也

一　半徑全數　夘癸　弦

二　乙角餘弦　卯巳　句

三　黄道正切　酉乙　弦

四　赤道正切　未乙　句

若先有甲乙赤道而求其所當黄道丙乙法為半徑丁

夘與乙角之割線戊夘若甲乙赤道之切線未乙與丙

乙黄道之切線酉乙也

一　半徑全數　丁夘　句

二　乙角正割　戊夘　弦

三　赤道正切　未乙　句

四　黄道正切　酉乙　弦

論曰以上兩條酉未乙形用法予所補也有此二法黄

赤道可以自相求而正角弧形之用始備矣外此仍有

三弧割線餘弦之用具如别紙

　十餘年前曽作弧三角所成句股書一册稿存兒輩

　行笈中覓之不可得也庚辰年乃復作此至辛己夏

　復得舊稿為之惘然然其理固先後一揆而説有詳

　略可以互明不妨並存以徵予學之進退因思古人

　畢生平之力而成一事良自不易世有子雲或不以

　覆瓿置之乎康熙辛己七夕前兩日勿菴梅文鼎識

　是日也爲立秋之辰好雨生涼炎歊頓失稍簡殘帙

　殊散人懐

甲乙丙正弧三角形即測量全義第七卷原圖稍為酌

定又増一酉未乙形

測員之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北極二分

二至諸名皆人所習聞故仍借用其號以便識别

案圖中句股形凡五皆形相似

其一癸巳夘形

以癸卯半徑為弦(即黄道/半徑)癸巳正弦為股(即黄赤大/距弧之正)

(弦/)巳夘餘弦為句(即黄赤大距/弧之餘弦)

其二戊丁夘形

以戊夘割線為弦(即黄赤大距/弧之正割線)戊丁切線為股(即黄赤/大距弧)

(之正/切線)丁夘半徑為句(即赤道/半徑)

　以上二句股形生於黄赤道之大距度乃總法也兩

　句股形一在渾體之内一出其外同用夘角(即黄道/心亦即)

　(春分/角)

其三丙辛壬形

以丙壬正弦為弦(即黄經乙丙弧之正弦以丙夘黄/道半徑為其全數而夘壬其餘弦)丙

辛正弦為股(即黄赤距緯丙甲弧之正弦亦以丙夘/黄道半徑為其全數而辛夘其餘弦)辛

壬横線為句

　法於赤道平面上作横線聨兩餘弦成夘壬辛平句

　股形此形以距緯餘弦(夘/辛)為弦黄經餘弦(夘/壬)為股而

　辛壬其句也此辛壬線既為兩餘弦平句股形之句

　亦即能為兩正弦立句股形之句矣厯書以辛壬為

　丙辛之餘弦誤也然則當命為何線曰此非八線中

　所有乃立三角體之楞線也

其四子甲丑形

以子丑斜線為弦(此亦立三角體之楞/線也非八線中之線)子甲切線為股

(即黄赤距緯弧之正切線以赤道半/徑甲夘為其全數而子夘其割線也)甲丑正弦為句(即/赤)

(經乙甲弧之正弦亦以赤道半徑/甲夘為其全數而丑夘其餘弦也)

其五酉未乙形

以酉乙切線為弦(即黄經丙乙弧之正切線以黄赤半/徑夘乙為其全數而酉夘其割線也)

酉未立線為股(此亦立三角之楞/線非八線中之線)未乙切線為句(即赤/經乙)

(甲弧之正切線亦以黄赤半徑夘/乙為其全數而未夘其割線也)

　以上三句股形生於設弧之度第三形在渾體之内

　第四形半在渾體之内而出其外第五形全在渾體

　之外

　問既在體外其狀何如曰設渾圓在立方之内而以

　兩極居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心

　則黄赤兩經之切線酉乙未乙皆在方體之立面而

　未乙必為句酉乙必為弦于是作立線聨之即成

　酉未乙句股形矣此一形厯書遺之予所補也(詳/塹)

　(堵測/量)

論曰此五句股形皆同角故其比例等然與弧三角真

同者乙角也

第一(癸巳/夘形)第二(戊丁/夘形)兩形皆乙角原有之八線即春秋

分角也其度則兩至之大距也

　或先有角以求邊則以此兩形中線例他形中線得

　線則得邊矣

　或先有邊以求角則以他形中線例此兩形中線得

　線則亦得角矣(蓋夘角即乙角也○若欲求丙/角則以丙角當乙角如法求之)

第三形(丙辛/壬形)以黄經之正弦(丙/壬)黄赤距度之正弦(丙/辛)為

弦與股是以黄經與距緯相求

　或先有乙角有黄經以求距緯(用乙角實用/壬角下同)

　或先有乙角有距緯以求黄經

　或先有黄經距緯可求乙角亦可求丙角

第四形(子甲/丑形)以黄赤距緯之切線(子/甲)赤經之正弦(甲/丑)為

股與句是以距緯與赤經相求

　或先有乙角有赤經以求距緯(用乙角實用/丑角下同)

　或先有乙角有距緯以求赤經

　或先有赤經距緯可求乙角亦可丙角

第五形(酉未/乙形)以赤經之正切(未/乙)黄經之正切(酉/乙)為句與

弦是黄赤經度相求

　或先有乙角有黄經以求赤道同升度

　或先有乙角有赤道同升以求黄經

　或先有黄赤二經度可求乙角亦可求丙角

又論曰諸句股形所用之夘壬丑乙四角實皆乙角何

也側望則弧度皆變正弦而體心夘作直線至乙為夘

壬丑乙線即半徑也今以側望之故此半徑直線化為

一㸃則乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣

癸丁為乙角之度(即黄赤大距/二至緯度)癸乙為黄道半徑丁乙

為赤道半徑戊丁為乙角切線癸巳為乙角正弦戊乙

爲乙角割線已乙為乙角餘弦癸巳乙戊丁乙皆句股

形其乙角即夘角

丙甲為設弧距度其正弦丙辛其切線子甲

丙乙為所設黄道度其正弦丙壬(因側望弧度/正弦成一線)偕距度

正弦丙辛成句股形其乙角即壬角

甲乙爲所設赤道同升度其正弦甲丑(因側望弧度/正弦成一線)偕

距度切線子甲成句股形其乙角即丑角

酉乙為所設黄經切線未乙為赤道同升度切線此兩

線成一酉未乙句股形在體外真用乙角

正弧三角形求餘角法

凡弧三角有三邊三角先得三件可知餘件與平三角

同理前論正弧形以黄赤道為例而但詳乙角者因春

分角有一定之度人所易知故先詳之或疑求乙角之

法不可施於丙角兹復為之條析如左(仍以黄道上過/極經圏之交角)

(為/例)

假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角

則爲乙丙之正弦與乙甲之正弦若半徑與丙角之正

弦也

假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角則為丙

甲之正弦與乙甲之切線若半徑與丙角之切線

假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角則為乙

丙之切線與丙甲之切線若半徑與丙角之餘弦

又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度則為

半徑與丙角之正弦若乙丙之正弦與乙甲之正弦

或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度則以前率更之

為丙角之正弦與半徑若乙甲之正弦與乙丙之正弦

又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度則為丙

角之切線與半徑若乙甲之切線與丙甲之正弦

或先有丙甲距度而求乙甲同升度則以前率更之為

半徑與丙角切線若丙甲正弦與乙甲切線

又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度則為半徑與

丙角餘弦若乙丙切線與丙甲切線

或先有丙甲距度而求乙丙黄道則以前率更之為丙

角餘弦與半徑若丙甲切線與乙丙切線

論曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求餘邊

亦如其用乙角也所異者乙角定為春分角則其度不變

丙角為過極經圏交黄道之角隨度而移(交角近大距則/甚大類十字角)

(近春分只六十六度半弱中間交角/度度不同他形亦然皆逐度變丙角)有時大於乙角有時

小於乙角(乙角不及半象限則丙角大乙/角過半象限則丙角有時小)故必求而得之

又論曰丙交角既隨度移而甲角常為正角何也凡球

上大圏相交成十字者必過其極今過極經圏乃赤道

之經線惟二至時則此圏能過黄赤兩極其餘則但過

赤道極而不能過黄道極故其交黄道也常為斜角(即/丙)

(角/)交赤道則常為正角(即甲/角)

又論曰丙角與乙角共此三邊(一乙丙黄道一乙甲/赤道一丙甲距度)其

所用比例者亦共此三邊之八線(三邊各有正弦/亦各有切線)而所

成句股形遂分兩種可互觀也

乙角所成諸句股皆以戊丁夘為例

内角所成諸句股皆以亥辰夘為例

並如後圖

如圖丙角第一層句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也

在乙角兩正弦交于丙在丙角兩正弦交于乙皆弦與

股之比例而同弦不同股(乙角丙角並以乙丙黄道正/弦為弦而乙角所用之股為)

(丙甲正弦丙角所用則乙甲/正弦皆正弦也而弦同股别)

丙角第二層句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角

丙角並以一正弦一切線交于甲為句與股之比例而

所用相反(乙角于乙甲用正弦于丙甲用切線丙角則/于乙甲用切線于丙甲用正弦皆乙甲丙甲)

(兩弧之正弦切/線而所用逈别)

丙角第三層句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙

角以兩切線聨于乙在丙角以兩切線交于丙皆弦與

句之比例而同弦不同句(乙丙兩角並以乙丙切線為/弦而乙角以乙甲切線為句)

(丙角以丙甲切線為句/皆切線也而弦同句别)

球面弧三角形弧角同比例解

　第一題

正弧三角形以一角對一邊則各角正弦與對邊之正

弦皆為同理之比例

如圖乙甲丙弧三角形(甲為/正角)　法為半徑與乙角之正

弦若乙丙之正弦與丙甲之正弦更之則乙角之正角

與對邊丙甲之正弦若半徑與乙丙之正弦也又丙角

之正弦與其對邊乙甲之正弦亦若半徑與乙丙之正

弦也合之則乙角之正弦與其對邊丙甲之正弦亦若

丙角之正弦與其對邊乙甲之正弦

論曰乙丙兩角與其對邊之正弦既並以半徑與乙丙

為比例則其比例亦自相等而兩角與兩對邊其正弦

皆為同比例

又論曰甲為正角其度九十而乙丙者甲正角所對之

邊也半徑者即九十度之正弦也以半徑比乙丙之正

弦即是以甲角之正弦比對邊之正弦故以三角對三

邊皆為同比例

　第二題

凡四率比例二宗内有二率三率之數相同則兩理之

首末二率為互視之同比例(即斜弧比例之所/以然故先論之)

假如有甲乙丙丁四率甲(四/)與乙(八/)若丙(六/)與丁(十/二)皆

加倍之比例也

又有戊乙丙辛四率戊(二/)與乙(八/)若丙(六/)與辛(二十/四)皆

四倍之比例也

此兩比例原不同理特以兩理之第二第三同為乙

(八/)丙(六/)故兩理之第一第四能互用為同理之比

例(先理之第一甲四與次理之第四辛二十四若/次理之第一戊二與先理之四丁十二皆六倍)

(之比/例也)

論曰凡二率三率相乘為實首率為法得四率今兩理

所用之實皆乙(八/)丙(六/)相乘(四十/八)之實惟甲(四/)為法則

得十二若戊(二/)為法則得二十四矣法大者得數小法

小者得數大而所用之實本同故互用之即為同理之

比例也

試以先理之四率更為首率其理亦同(丁與辛若戊與/甲皆加倍比例)

若反之令兩四率並為首率亦同(甲與戊若辛與/丁皆折半比例)並如

後圖

　第三題

斜弧三角形以各角對各邊其正弦皆為同比例

乙丙丁斜弧三角形任從乙角作乙甲垂弧至對邊分

元形為兩正角形甲為正角

依前正角形論各對邊之正弦與所對角之正弦比例

皆等

乙甲丁形丁角正弦與乙角正弦若半徑(即甲角/正弦)與丁

乙正弦是一理也

乙甲丙形丙角正弦與乙甲正弦若半徑與乙丙正弦

是又一理也

兩理之第二同為乙甲第三同為半徑則兩理之首末

二率為互視之同比例故丁角之正弦與乙丙之正弦

若丙角之正弦與丁乙之正弦也

又如法從丁角作丁戊垂弧至對邊分兩形而戊為正

角則乙角正弦與丁丙正弦亦若丙角正弦與乙丁正

弦　又從丙作垂弧分兩形而壬為正角則乙角與丁

丙亦若丁角與乙丙

　一　丁角正弦　　　丙角正弦

乙丙丁斜弧三角形丁為鈍角　法從乙角作乙甲垂

弧於形外亦引丙丁弧㑹於甲成乙甲丁虚形亦凑成

乙甲丙虚實合形甲為正角

乙甲丁形丁角之正弦與乙甲邊若半徑與乙丁邊正

弦一理也　乙甲丙形丙角之正弦與乙甲邊若半徑

與乙丙正弦又一理也　准前論兩理之第二第三既

同則丁角正弦與乙丙正弦若丙角正弦與乙丁正弦

也

論曰丁角在虚形是本形之外角也何以用為内角曰

凡鈍角之正弦與外角之正弦同數故用外角如本形

角也

若用乙角與丁丙邊則作丙庚弧於形外取庚正角其

理同上或作丁戊垂弧於形内取戊正角分兩形則如

前法並同

　用法

凡弧三角形(不論正/角斜角)但有一角及其對角之一弧則其

餘有一角者可以知對角之弧而有一弧者亦可以知

對弧之角皆以其正弦用三率比例求之

假如乙丁丙三角形先有丁角及相對之乙丙弧則其

餘但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此

為角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可

求乙角此為弧求角也

一　丁角正弦　　　　　一　乙丙正弦

二　乙丙正弦　　　　　二　丁角正弦

三　丙角正弦　乙角正弦　三　乙丁正弦　丁丙正弦

四　乙丁正弦　丁丙正弦　四　丙角正弦　乙角正弦

　厯算全書巻七