歷算全書

欽定四庫全書

　歴算全書卷三十六

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　筆算卷三

　　異乘同除法

以先有之數知今有之數兩兩相得是生比例莫善於

異乘同除乃古九章之樞要也先有者二今有者一是

已知者三而未知者一用三求一故西法謂之三率

今先明同異名之説以著古法次詳三率之用以顯通

理

異者何也言異名也同者何也言同名也假如以粟易

布則粟與粟為同名布與粟為異名也

何以為異乗同除也主乎今有之物以為言也假如先

有粟若干易布若干今復有粟若干將以易布則當以

先所易之數例之是先易之布與今有之粟異名也則

用以乗是謂異乗若先有之粟與今有之粟同名也則

用以除是謂同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以

為言也(置今有粟以異名之布乘之為實再以同名之/粟為法除之是皆以今粟為主而以先有之二)

(件乘除/之也)

問何以不先除後乗曰以原總物除原物總價則得每

物之價以乗今有總物亦可得今有之總價然除有不

盡則不可以乗故變為先乗後除其理一也

假如原有豆一百○八石價銀三十六兩今有豆一百

三十五石問價若干

　答曰四十五兩

　法曰置今豆一百三十五石以原豆價三十六兩乗之

　得四千八百六十兩為實以原豆一百○八石為法除

　之得四十五兩為今豆應有之價(見以物求價也若/還原則以價求物)

假如原有銀四十五兩買豆一百三十五石今有銀三十

　六兩問豆若干

　答曰一百○八石

　法以豆一百三十五石乘價三十六兩得四千八百六十

　石為實以價四十五兩為法除之得一百○八石合問

　　西人三率法

其法以先有之二件為一率二率今有之二件為三率

四率則前兩率之比例與後兩率之比例等故其數可

以互求

　(今冇之二率先只有其一合前有之二率共為三率/以求之而得今有之餘一率是以三求一故曰三率)

　(法實四/率也)

假如一率是三二率是四三率是九則四率必為十二何也三

與四之比例若九與十二也故以四(二/率)九(三/率)相乘(卅/六)為實以三

(一/率)為法除之必得十二(四/率)

若互用之以四率為一率則十二與九之比例若四與三故曰

可以互求(此即還/原之理)

　(解曰以三比四以九比十二並三分加一之比例以十二比/九以四比三並四分減一之比例凡言比例等者皆如是)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(此以上圖/之四率為)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(一率也故/其序皆倒)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(而所得四/率即上圖)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(之一/)

又更而互之

凡二三相乘與一四相乘等積此立法之根觀右圖可明(四九/相乘)

　(三十六而十二與三相乘亦三十六故以三除三十六得十/二以十二除三十六亦復得三此前兩圖互求之理若更一)

　(四為二三其實同為三十六故以四除之得/九以九除之亦復得四此後兩圖互求之理)

又錯綜之

　此又以前圖之二與三更之則前兩率之第二變為

　後兩率之第一而其比例亦等(凡一率二率為前兩/率乃先有之二件也)

　(三率四率為後兩率乃今有之兩件也今以二率三/率相易則是先有之次率變為今有之首率也然以)

　(比例言之在前圖為三與四若九與十二/者在此圖則三與九亦若四與十二也)

　若以一率除二率得數以乗三率亦得四率(如以一/率三除)

　(二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率/四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先)

　(除後乗多有不盡之分故異乗同除/為算家大法乃中西兩術所同也)

試仍以古圖明之

　　　原有小麥十二石　換食鹽九石　(俱四分之三比/例若以上□左)

　　　今有小麥　四石　換食鹽三石　(右更置即成三/率之前四圖)

　　更之(以縱為横/)

　　原有粱米　三石　換棉布九疋　(俱三倍之比例/若以上下左右)

　　今有粱米　四石　換棉布(十/二)疋　(更置即成三率/之錯綜四圖)

　　辨法實

凡三率之用皆以二率乘三率為實首率為法除之以

得所求為四率

然何以定其孰為一率孰為二率三率也曰此則古人

同異名之法不可易也訣曰凡今有之已知者常定為

三率(其未知者待算而/知則常為四率)視先有之物與三率之今有同

名者定為首率其與今有異名必為二率矣

又訣曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未

知而三件則巳知也此已知之三件中必有兩件同名

(如價與價物/與物之類)就以此同名之兩件審其孰為先有定為

首率(其今有者則為三率而其餘異名/之一件亦必先有也恒為二率)

假如有句股形田長一百三十五步闊四十五步今截

相似形長一百○八步問闊若干

　答曰截闊三十六步

　定法實訣

　　以今截長一百○八步定為三率長與長同名以

　　原長一百三十五步定為首率濶與長異名以原

　　濶四十五步定為二率

　又訣(此巳知之三件是原長原闊截長内長與長同/名以原長是先有之數定為首率截長是今有)

　(之數為三率原濶/與長異名為次率)

　按原長與原濶即大句大股截長截濶即小句小股

　也四者皆可以遞互相求三率中更互錯綜之理尤

　為易見

　以比例言之大股與大句若小股與小句也更之則

　小股與小句亦若大股與大句也此為以股求句反

　之而以句求股則大句與大股亦若小句與小股也

　又更之則小句與小股亦若大句與大股也

　又錯綜之則大股與小股若大句與小句也而大句

　與小句亦必若大股與小股矣又小句與大句若小

　股與大股也而小股與大股亦必若小句與大句矣

　是為三率之八變

　　異乘同除定位法

三率定位與乗法除法無異(乗法以實單位為根定所/對得數為法尾數除法以)

(法首上一位作識定所對得/數為所求單數並詳前巻)但所用之實以二率三率

相乗而得握算者或疑其數之驟陞而不能守其定法

則定位必訛而其理益晦矣故復論之(諸家算術往往/有定位不確者)

(皆由見乘後數多未免/驚怖而輙為酌改故也)

假如六箇時辰馬行二百一十里今行五箇時辰當有

若干里

　答曰一百七十五里

　論曰試以六時除馬行(二百一/十里)得每時行(三十/五里)以乘

　(五/)時亦得(一百七/十五里)原無可疑今先乗後除故以(一千/○五)

　(十/里)為實驟觀之似乎太多究竟除後適得其本數

　而已

假如銀(三十/二兩)換錢(三萬六/千文)今有銀(二十/八兩)問錢若干

　答曰三萬一千五百文

　若以(三十/二兩)除(三萬/六千)得毎兩錢(一千一百/二十五文)以乗(二十/八兩)亦

　得三萬一千五百文(知得數之同則知一/百萬零八千之非誤)

　　異乗同除約分法

三率内有兩率相凖可用約分者即改用所約之數易

繁為簡如法乘除所得無誤而用加㨗矣(兩率者其一/首率其一次)

(率或三率也凡以法約之必兩率相準次率三率祗則/用其一皆取其與首率相凖也 或兩率並為偶數)

(俱折半或兩率並可均剖為四則折半兩次或兩率並/可均分為三則各取三之一或兩數互減而得等數則)

(以等數約之/並如約分法)

　(論其比例/為十八比)　(半之則/九與八)　(以三約之/則六與十)　(以九約之/則二與十)　(再約之/則為一)

　(十六若九/十九與八)　(之比例/亦若九)　(六之比例/若三十三)　(六之比例/若十一與)　(與八若/十一與)

　(十八也/)　　(十九與/八十八)　(與八十八/)　(八十八/)　　(八十八/)

假如賃房九箇月銀七十八兩問住二年該若干

　答曰二百零八兩(法以二年成二十/四个月依式列之)

四　　　　　　　　　　二百零八(八乗廿六/即得此數)

假如八色金六十兩換銀二百八十八兩今有九色金

五十兩該若干

　答曰二百七十兩(此以金折成足色六十兩作四十/八兩五十兩作四十五兩算之)

四　　　　　　　　　　　二百七十(十八乘十/五得此數)

　(右皆約得一數為首率故不須除但/以二率乗三率即得所求為四率)

　　重測法(三率有疊用兩次者謂之/重測即兩箇異乘同除)

假如有夏布四十五丈欲換棉布但云毎夏布三丈價二錢棉

布七丈價七錢五分問換棉布若干　答曰二十八丈

　一　夏布　三丈　　先用為法

　四　價　三兩　法除實得此數

重列

　一　價(七錢/五分)　　　　又用為法

　四　棉布　(二十/八丈)　法除實得此數

　此因兩布各有其價故先用法求得第四率以夏布

　變為銀就以此定為重列之第三率(即今/價也)而以棉布

　價(七錢/五分)為首率(以與今價/同名也)棉布(七/丈)為次率(以與今價/異名也)

　如法乘除得所換棉布為四率

　　併乗除法

以兩次乘除併而為一是合兩三率為一三率也即古法之同

乘同除(古以併乘為異乗同乗以併除為異除同/除今乘除俱用併法故謂之同乘同除也)

假如今有芝麻五十四石欲換黄米但云芝麻三石換

緑豆五石換黄米三石問該換黄米若干

　答曰六十七石五斗

本法　　　　　　　重列

　一　麻　　三石　　豆　　四石

　二　豆　　五石　　米　　三石

　三　今麻　(五十/四石)　　今豆九十石(此重列之第三即先/得之第四乃本法也)

　四該豆　(九十/石)　　　米(六十七石/五斗)

簡法(即併法/)

　　　　　　　　　　　　　　　　(今以兩首率相/乘為首率)

　　　　　　　　　　　　　　　　(亦以兩次率相/乘為次率)

　　　　　　　　　　　　　　　　(以兩九十石對/去不用故三率)

　　　　　　　　　　　　　　　　(省乗是為併法/實簡法也)

論曰本用兩次乘除今以豆(四/石)乘麻(三/石)得(十二/石)以除是

併兩次除為一次除也以米(三/石)乘豆(五/石)得(十五/石)以乗是

併兩次乘為一次乗也依法求之即得所換米(六十七/石五斗)

與兩次求者數同(又因一率二率可用約分/約之為四與五而法益簡)

然則第三率何以獨異(第三率徑用今麻不以豆九十/石乗之是與併兩首率為首率)

(併兩次率為/次率者逈别)曰重列之第三即先得之第四故可以對

去不用不惟不用亦可不求(重列之第三率既無乗併/之用則原列之第四率不)

(必更求/其數)而乗除之用已偹(今麻原係第三率今仍用為/第三是三率之用本無所缺)

即所求之得數已清矣(若第三率用豆九十石乗過之/則所得第四率亦必為豆九十)

(石乘過之米得數後必以九十石除之始能清出米數/反多曲折今對去豆九十石不用則所得四率即米數)

(直截/了當)故為簡法

　　又式

假如有戰兵七百名毎年額餉一萬二千六百兩内有

新着伍兵三百名已經應役七个月問該餉銀若干

　答曰三千一百五十兩

依重測併乘除法當以(十二/月)乘(七百/名)得(八四/○○)為法以(七/箇)

(月/)乗(一萬二/千六百)得(八八二/○○)又以(三百/名)乘之得(二六四六/○○○○)為實

法除實得三千一百五十兩為兵三百名七箇月之餉

今用約分以(七/百)與(三/百)約為七與三(皆百/約之)則首率次率各

有(七/)對去不用可省併乘

重列之時徑以(十二/)為首率餉銀(一二六/○○)為次率(三/)為三率依

法乘除而得四率　又以首率(十二/)三率(三/)約為四與一則

徑以餉(一二六/○○)為實以四為法除之得(三千一/百五十)合問

　　變測法(古謂之同乗異除在三率謂之/變測即幾何原本之互視法也)

凡異乘同除皆以先有之一率為法(即首/率)以先有之又

一率乘今有之一率為實(即二率三/率相乗)

若同乘異除則反以今有之一率為法(同文算指列於/第三今依法實)

(之序定/為首率)以先有之兩率自相乘為實(同文算指列於第/一第二今定為第)

(二第/三)雖亦以法除實得今所求之又一率(即四/率)與諸三

率同而法實相反故曰變測

假如用秤稱物物重秤不能稱外加一錘稱得(八十/四斤)本

錘(一斤/五兩)加錘(一斤/三兩)問其物實重若干

　答曰一百六十斤

一　錘重二十一兩　　　　　為法

四　實重一百六十斤　　法除實得數

　法以錘(一斤五兩作/二十一兩)加錘(一斤三兩/作十九兩)共重(四十/兩)為先

　有之一率稱重(八十/四斤)為先有之又一率相乘(三三/六○)為

　實以本錘重(二十/一兩)為今有之一率為法法除實得實

　重(一百六/十斤)為所求今有之又一率合問

假如秤失去錘有所稱物(重一百/六十斤)今以他物代錘(重四/十兩)

稱得重(八十/四斤)問錘重若干　答曰一斤五兩

　一　物重一百六十斤

　二　稱得重八十四斤

　三　(他物/代錘)重四十兩

　四　錘重二十一兩

假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶

一尺五寸如式作幔該用若干

　答曰二十二丈

一　今濶一尺五寸

二　原濶二尺

三　原長十六丈五尺

四　今長二十二丈

假如儲粟方窖長(一丈/二尺)濶(九/尺)深(一/丈)今欲别穿一窖藏粟

與之等長亦(一丈/二尺)但深加(二尺/五寸)該濶若干

　答曰濶七尺二寸

　一　今深十二尺五寸

　二　原深十尺

　三　原濶九尺

　四　今濶七尺二寸

　(此原長不動而加深減濶也長今深今濶相乘得九/十尺與原深乘原濶等以乘 一十二尺得一千零)

　(八十尺亦等/則其藏粟等)

又問若依原窖之濶(九/尺)但加長(三/尺)該深若干

　答曰深八尺

　一　今長十五尺

　二　原長十二尺

　三　原深十尺

　四　今深八尺

　(此原濶不動而加長減深也今長乘今深得一百二/十尺與原長乘原深等以乘濶九尺並得一千零八)

　(十/尺)

假如有方倉高(一丈/八尺)濶(二/丈)深(二丈/一尺)今更造一倉亦深(二/丈)

(一/尺)但高減三尺問闊若干

　答曰濶加四尺(共濶二十四尺所儲/米石即同原倉之容)

　一　今高十五尺

　二　原高十八尺

　三　原濶二十尺

　四　今濶二十四尺

　(此原深不動而減高増濶也當與右二條/叅㸔倉之高即窖之深倉之深即窖之長)

　(今高乘今濶得三百六十尺與原高乗原濶等再以深/二丈一尺乘之得七千五百六十尺與原倉之容積)

　(等/)

假如原借八五色銀四十八兩今還九六色銀問該若干

　答曰四十二兩五錢

　一　今銀色九六　　　　　為法

　四　今還四十二兩(五/錢)法除實得數

　(解曰原銀八五色是毎兩實折八錢五分故以乘原銀得四/十兩零八錢乃折實紋銀之數也還銀九六色是毎九錢六)

　(分成一兩故以除折實紋銀得四十二兩五錢為/應還之數凡零乘數反損零除數反增詳别巻)

假如有田一區用三十二人耕治五日而畢今用四十

人問該幾日　答曰四日

　一　今用四十人

　二　原用三十二人

　三　原耕五日

　四　今耕四日

假如決水修池水竇濶三尺十二日涸出今開濶八尺

問水涸幾日

　答曰四日有半

　一　今濶八尺

　二　原濶三尺

　三　原十二日

　四　今四日半

假如額兵五千六百設有一年之餉今祗留兵三千三

百六十名問其餉可支幾時

　答曰一年零八箇月

　一　今兵三千三百六十

　二　原兵五千六百

　三　原設餉十二箇月

　四　今可支二十箇月

　歴算全書巻三十六