歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書巻三十七

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　筆算巻四

　　通分法(併減乘除並有子母通分之用故别自為/巻其畸零以十百千萬為等者不用此法)

凡整數下有零分而不以十分成整當用通分其法以

一整數剖為若干分是為母數其所𢃄零分在母數中

得幾分之幾是為子數

　　通分子母列位法

通分列位其法有三曰化整為零曰以整𢃄零曰收零

為整

假如有物一斤四兩則以一斤通為十六兩加入所𢃄

四兩共二十兩而列之

　二○(斤以十六兩為母其所𢃄四兩是子今/化斤為兩則可乘除謂之以母從子也)

若欲通為銖則以毎兩二十四銖為母通二十兩為四

百八十銖

　四八○(此以斤通為兩兩又通/為銖是兩次用通分也)

若畸零累析有用通分三次四次以上者准此論之

如皇極經世一元有十二㑹一㑹有三十運兩次通之

則一元有三百六十運　一運有十二世一世有三十

年兩次通之則一運有三百六十年

若以元通為年則用四次(元通為㑹㑹又通為運運又/通為世世又通為年是四次)

(用通/分也)通得十二萬九千六百為一元年數

假如古歴十九年七閏謂之一章其月謂之章月

　二三五(此以毎年十二月通十九得二百二十八月加/入閏七月共得二百三十五月為一章之月)

　右化整為零　古通分法曰通以分母納以分子盖

　言以分母通其整數而以所𢃄零分加入也然亦有

　不納子而但通其整之時既以分母通之則整數不

　用全化為分故西學謂之化法

　别有變零為整之法與此化整為零之法似同而實

　不同所以為零乘之用盖化整則全化為零而不用

　整變零則全變為整而不用零其數則同(謂自一至/九之數)

其等則異(謂如零陞為單/單陞為十之類)詳見零除條

凡通分化整為零以便乘除不必更書其母若列位本法以整

𢃄零當以母數子數並而書之曰幾分之幾(若分下𢃄有小分/則曰幾分之幾又)

(幾分分/之幾)

假如有整數二十五𢃄有零分為整數十二分之七又仍𢃄零

秒為分數三十分之十四

　　　　　　　(此如歴算法一週十二宫一宫三十度今/算得星行二十五週又七宫十四度也)

假如有整數十六又𢃄零數為整數七分之五

　　　　　(此以一整數剖為七分而所𢃄零分/適得其五也七為分母五為分子)

假如有零數為整數三十分之十四又𢃄有小分為分數六之

五

　　　　　　　(此原無整數但有分又有小分其分以三十/為母十四為子是一整數剖為三十而得其)

　　　　　　　(十四也小分以六為母五為子是一大分又/剖為六而得其五也小分母古謂之秒母)

　右以整𢃄零

凡母數必大於子數其常也乗除之後有子數反多者法當以

母數收之為整而𢃄其零

假如有零分十六其分母九(此以子數反大當/以母數收為整)

　(九之/十六)　收得一(九之/七)　(十六分内除九分收為整餘七/分是為整一又九分之七也)

假如方田之法以方五尺為步其積二十五尺今有積七十尺

　　　　　　　(步法二十五尺而積有七/十尺子數反多法當收整)

　　　　　　　(七十尺内除五十尺收為二步剩二十尺不/能成步是為整二步又二十五分步之二十)

假如古厯法以十九年為一章四章為一蔀今距&KR1318;元中積一

百年問在第幾蔀第幾章

　畣曰第二蔀第二章之第六年

　　　　　　　(法先以章法十九收九十五年成五章剰五/年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章)

　　　　　　　(通列之成一蔀一章零五年是為已過之/數今正在交第二蔀第二章之第六年也)

　右收零為整(凡欲乗除必化整為零既乘除矣仍/必收零為整此二者相須為用也)

　此外仍有除零附整之法其法以分母為法分子為實實如

　法而一得零數為整數十分之幾或百分千分萬分之幾所

　謂退除為分秒也見除法命分

　　通分併子法

通分併子其類有三曰母同者曰母不同者曰大分又

𢃄小分者而所以併之之法有七曰徑併法曰變分母

法曰互乗法曰連乘法曰維乘法曰截并法曰通母納

子法

　徑併法

凡分母數同者徑并其子併滿母數收為整(數在三宗以上而/母同者皆可徑并)

(其子或大分之下𢃄有小/分而分母同者並用此法)

假如有絲五分斤之四又五分斤之三併之若干

　畣曰整一斤(又五分/斤之二)

　　　　　　　　　　　(此因兩母同為五故徑併其子且/子數七母數五是子滿母數而)

　　　　　　　　　　　(有餘也當以母數收之得整一零/五之二)

　　以上分母同者徑併其子為通分併法之一類

　變分母法

凡分母不同而有比例可求者變而同之可省互乘

假如有數(六之/三)又加(四之/一)共若干

　畣曰共四之三

　　　　　　　　(法以六之三母子各損三之一變為四/之二則兩母同為四而其子可併矣)

　　　　　　　　(所以然者四與六是倍半比/例故去三分之一即相同也)

假如有金(八分兩/之五)又(四分兩/之三)併之若干

　答曰一兩又八分兩之三

　　　　　　　　　　(八與四為折半比例然不以八折半/者其子奇數不可半也故以四之三)

　　　　　　　　　　(加倍即母數齊/同可相併矣)

　互乘法

凡分母不同而無比例可求者先互乘以同其母再以母互乘

其子而併之(數在三宗以上而母/不同者皆可用此法)

假如有物(四分石/之三)又(七分石/之四)共若干　答曰整一石又(卄八分/石之九)

　　　　　　　　　　　(先以右母四互乘左母七得卄八/又互乘子四得十六變七之四為)

　　　　　　　　　　　(卄八之十六三次以左母七互乘/右母四及子 變四之二為卄八)

　　　　　　　　　　　(之卄一之兩母既同遂併其子為/二十八 三十七)

　　　　　　　　　　　(以滿共母二十八収為整一仍餘/九)

凡三母内有兩母相乘與餘一母同者祇用一互乘即可相併

假如有甲乙丙丁四數乙得甲(七之/六)丙得甲(五之/四)丁得甲(卅五/之二)

(十/三)若合乙丙丁三數得甲數若干　答曰得甲數二(又三十五/之十一)

　　　　　　　　　　　(法以乙丙兩母相乘三十五與丁/母同數即用乙母七互乘丙五之)

　　　　　　　　　　　(四得三十五之卄八丙母五互乘/乙七之六得三十五之三十以併)

　　　　　　　　　　　(丁三十五之二十三共得卅五之/八十一以滿母卅五成整數合問)

　　　　　　　　　　　　(歸/整)得甲數二(又卅五/之十一)

　連乘法

凡數三宗以上者用母連乘為共母又以各母除之得數以乘

其子為子而併之併滿共母收為整

假如有數六(之/四)又加三(之/一)又加五(之/四)併之若干

　答曰整一(又九十之/七十二)　　(法以六乘三得一十八又以五/乘之得九十為連乘之共母)

　　　　　　　　　　　　　　　　(即六除共母得數以/乘之四之數)

　　　　　　　　　　　　　　　　(即三乘共母得數以/乘之一之數)

　　　　　　　　　　　　　　　　(即五除共母得數以/乘之四之數)

　　　　　　　　　　　　　　　歸整得一又(九十之/七十二)

　觧曰(此即互乘也試以五互乘六之四得三十之二十一又/以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之 得)

　(十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乗五/之四得三十之二十四又以三互乗之即成 十之七十二)

　維乘法(此古維乘法也與母除共/母以乘子之法所得同)

假如錢糧一次完過(九分/之一)又完(四分/之一)又完(六分/之一)又完(六分/之一)又完

(七分/之一)問共完若干　答曰五百○四之四百零一(約為十分/之八稍弱)

　法(以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘/之得三千○卄四又以四乘之即得一萬二千○九十六)

　約為五百○四之四百○一(卄四/約之)

　解曰(此即連乘法也但因分子皆為之一故即/以母除共母之數為子相併而省一乗)

試用維乘所得亦同

　　截併法

凡數件中有分母同者先取出併之然後與各件並列

則五件可作四件用(六件以/上倣論)而共母亦簡

如前圖有八之一四之一為加倍比例可先取併之(用/變)

(分母/法)

乃重列之(原數五宗今作四/宗入算餘並同前)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(解曰共母原/係一萬二千)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(○九十六今/只三千○二)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(十四簡四之/三故所得之)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(子皆於前式/為四之一)

凡宗數繁多而分母又各不同者可分作幾次併之

假如有物四宗甲數(五分斤/之三)乙數(六分斤/之一)丙數(三分斤/之二)丁數(七/分)

(斤之/四)併之若干

　答曰整二斤又六百三十分斤之三

如上圖依法互乘以四宗併作兩宗乃重列之

　　以上分母不同者為通分併子之又一類

　大分𢃄小分併法

凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法併之自小分起滿小

分之母進為大分滿大分之母進為整

若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同(餘如/上法)

若大分母不同者即通大分為小分再用互乘以同之

假如西厯以一日分二十四小時一時又析為六十分今算得

中㑹二十九日十七時三十六分實㑹該加七時四十分

依法併之得三十日零一時一十六分

　原二九　(卄四之/一七)　(六十之/三六)　(時為大分大分之母二十四/時下為小分小分之母六十)

　加　(丨丨卄四之/ ○□)　(六十之/四十)　(先併小分得七十六以滿六/十進為一時仍餘十六分)

併得三○日○一時十六分　(次併大分得二十五時以滿/二十四進為一日仍餘一時)

假如修築河堤新修七里○六十六歩一尺舊堤原存一十二

里二百九十三步四尺問堤長若干答曰長二十里

　新修○七　○六六　一　　(里法三百六十步法五先併/尺一四共五進一步次併步)

　原存□□　□□□　四　　(共三百六十進一里次併里/二七及所進之一共十里併)

　共長二○里○○○步○尺　(原十里是為堤長二十里合/問)

假如有硃砂八斤十兩○九銖又有三斤五兩十八銖共若干

　答曰十二斤○三銖

　　　八　一○　○九　　　(銖滿二十四進一兩/餘三兩滿十六進一)

　　　□　○□　□八　　　(斤斤共十二是為一/十二斤○三銖合問)

　共一二斤○○兩○三銖

　右大小分母俱同故徑以子併

假如甲數九(之/四)又小分(五之/四)乙數九(之/八)又小分(八之/三)併之若干

　答曰整一又九之四又小分四十之七

先同其小分之母

　　　　　　　　　　　　(先以小分母相乘得四十/為共母 又互乘其子變)

　　　　　　　　　　　　(五之四為四十之三十二/變八之三為四十之十五)

小分母既同乃重列而併之(餘同/上)

　(併/之)得九之十二又四十之四十七

　歸整一又(九之/四)又小分四十之七　(小分滿四卜收為大分/一大分滿九收為整一)

　右係大分母同而小分之母不同故互乘之使其同

假如有田二坵甲坵二畝(又四分/畝之三)又小分(五之/一)丙坵一畝(又三/分畝)

(之/二)又小分(四之/三)併之若干

　答曰整四畝(又六十分畝/之四十三)

　先以甲小分母五通大分四之三為小分二十之十五加入

　原𢃄小分一共二十之一十六為甲數

　又以丙小分四通大分三之二為小分十二之八加入原𢃄

　小分三共十二之十一為丙數

　解曰(此即古通分納子之法也以大分盡通為小/分而納小分焉實則以小分陞為大分也)

　(併/得)三又　　　　　二百四十之四百一十二

　歸整四又(二百四十之/一百七十二)約為六十之四十三

　右係大分母不同故盡通為小分而併之

　　以上大分𢃄小分法為通分併子之又一類

凡通分併法以通分減法還原(互見/後除)

　　通分子母減法

通分減法亦有三類曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者

而其減之之法有五曰徑減法曰變分母法曰互乘法曰子乘

母除法曰通母納子法(併之與減猶乘之與除可以互相還原/相反而適相成也故所用之法皆同)

　徑減法(數在三宗以上而/母同者並用此法)

凡分母同者徑以相減不足減者以分母通整數減之

假如有紵絲一疋零(五分疋/之三)用過五分疋之三問仍存若干

　答曰五分疋之四

　原一　五之二　　(此以之三減之二則減數反/大於原數不足減以借法作)

　減　　五之三　　(㸃於疋位借原數一疋通作/五分併之二共成五之七内)

　存○　五之四　　(減去五之三仍存五之四合/問)

　　以上分母同者徑以對減為通分減法之一類

　變分母法

凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘

假如有數六之三又有數四之三其較若干

　答曰四之一

　較　　　　四　之一

假如有整數一零八之三減去四之三該存若干

　答曰八之五

　整數一　八　(之/三)　(通/為)八　之(十/一)

　減數　　四　(之/三)　變八　之六

　存數　　　　　　八　之五

　互乘法

凡分母不同者先互乘以同其母冄以母互乗其子而減之

假如有兩數甲五之三乙七之四不知誰多

　　　　　　　　　　　　　　(法以兩分母五七相乘得/三十五為共母又互乘其)

　　　　　　　　　　　　　　(子變甲數為三十五之二/十一變乙數為三十五之)

　　　　　　　　　　　　　　(二十以相減則乙不及甲/者其較為三十五分之一)

　甲多　　三十五之　　一

凡分母同者視其子為大小(子數大者即/大小者即小)若子同而母不同者

反是(母數大者/子數反小)亦以互乘見之如後圖

　(甲六之四/乙五之四)互得三十(之二十/之卄四)　(丙四之三/丁五之三)互得二十之(十五/十二)

　乙多　　　三十分之四　丙多　　　　二十分之三

　右二則以分相較而辨其多寡即古課分之法也

凡三母内有兩母相乘與餘一母同者只用一互乘即可相減

假如有甲數二又(三十五/之十一)乙得甲(七之/六)丙得甲(五之/四)餘為丁數

該若干

　答曰丁得甲三十五之二十三

　　　　　　　　　　　　　　　　(先以分母通整數/為分而納入分子)

　　　　　　　　　　　　　　　　(次以減數分母相/乘為共母又互乘)

　　　　　　　　　　　　　　　　(其子而併之是為/三十五之五十八)

　丁存　　　　　　三十五之卄三　(以減甲數仍餘三/十五之卄三合問)

　子乘母除法

凡分母有可以相除者以分母除其分母得數轉以乘

子而減之其餘數仍以分母除之即得約分之數若原

係兩分母互乘而併者用此法可知原母(數在三宗以/上而母不同)

(者並用此法/可代維乘)

假如有沉香一石零(二十八分/石之九)用去七分石之四該餘

若干

　存　　卄八　之　　二十一　約為四之三

　(法以分母通共數一為二十八併子之九共三十七變共數/為二十八之三十七 又以減分母七除共數之分母二十)

　(八得存數原母四以乘減分子四得十六變減數為二十八/之十六兩相減得所存數為二十一於是仍以減分母七除)

　(之得存數原子三/變存數為四之三)

　(論曰此亦變分母法也其數與互乘所得無異但用互乘則/數益煩故用子乘母除之法變七之四為二十八之十六母)

　(既相同即可以相減矣若互用異/乘同除則成三率之比例如後圖)

　　一率(分母/七)　法以子之四乘所變分母二十八得一百

　　二率(分子/四)　十二為實分母七為法除之得所變分子

　　三率(分母/卄八)　為十六其比例為七與四若二十八與十

　　四率(分子/十六)　六也

　又論曰存數不用約分法而竟以分母七除何也曰約分之

　法以對減而得紐數今分母七既可以除其母二十八又可

　以除其子二十一即紐數也又何事於對減之煩乎况用之

　互乘還原尤為親切盖互乘之共母既以原母相乘而得即

　無不可以原母除之而盡也

假如有整數一又(九十之/七十二)甲得六(之/四)乙得三(之/一)餘為丙數該若

干

　答曰丙得五之四

　丙存　　五　之四　　　九十　之七十二

　法曰(先以分母通整一為九十併分子七十二是為九十之/一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以)

　(甲分子四乘之得六十為甲數三又以乙分母三除原母九/十得三十以乙分子一乘之仍 十為乙數)

　(合甲乙兩數得九十以減原數一百六十二仍餘七/十二為丙數以法約之為五之四 約分法詳後條)

　約分㨗法　置丙存數(九十之/七十二)為實以甲乙分母(六/三)相乘得

數(十/八)為法除之得五之四為丙存數(以十八除九十得五/十八除七十二得四)

　(約分本法用子數七十二減母數九十得十八以轉減子數/得五十四再遞減之亦餘十八是為紐數乃用為法以除子)

　(母數得約分五之四今改用甲乙兩母相乘亦得十八為法/何也以原數九十可以六除亦可以三除知其為三數維乘)

　(而得者也故/於還原最切)

　論曰此有分母三宜用維乘然其數益繁故改用子

　乘母除之法則三母齊同可用相減而法與數俱簡

　矣

試先減乙丙數則所存者即甲數(法同/上)

　甲存　(約/為)六　之四　　即九十　之六十

　若先減甲丙數則所存者必乙數其法並同兹不悉具

　按如此互求即知無誤可無假他法還原矣

假如有數五百○四之四百○一甲得(八之/一)乙得(六之/一)丙得(七/之)

(一/)丁得(九之/一)餘者為戊數該若干　答曰戊得四之一

　原數　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一

　甲減　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三

　乙減　六　之一　以各減母除原母得　　　　八十四

　丙減　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二

　丁減　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六

　共減　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五

　戊存　五百○四　　　　　　　　　　之一百二十六

　約為　四　之一(以所存之數/除原母即得)

　解曰此因分子俱係之一故即以除數為得數也

　　以上分母不同者為通分減法之又一類

　大分𢃄小分減法

凡大小分母並同者(謂原數之大小分母與減/數之大小分母也下倣此)竟以對減不足減

者借整數以分母通為分(小分不足減亦以小分之母通大分/為小分 其借上位皆作㸃誌之)

若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之餘如上法

若大小分母俱不同者用通分法盡通大分為小分而納小分

焉餘如上法

假如西厯算得某月平朔三十日○一時一十六分其實距時

七時四十分為減號問實朔在某甲子某時刻

　答曰壬辰日酉初二刻○六分(以二十九日命為壬辰日以/十七時命為酉初其小餘三)

　(十六分以三十分收為二刻尚餘六/分命為壬辰日酉初二刻○六分)

　　　　日　時　分(時為大分大分以二十四為母/時下為小分小分之母六十)

　平朔三□○□一□(先減小分四十原數只十六不足減/作直號於大分位借一分通為小分)

　(實距/時)　　七四□　(六十并原小分共七十六減四十餘/三十六 次減大分七原數一已借)

　實朔二□一□三□(去亦借整一通為二十四減七餘十/七 原數三十因借減一餘二十九)

　凡大小分母不同者(謂大分之母與小/分之母不同也)須作㸃以别之故借

　整化零之㸃改為直號

　右係大小分母並同故竟以對減

假如有整數一又(九之/四)又小分(四十/之七)甲得九(之/四)又小分五(之/四)餘

為乙數該若干

　答曰乙得九之八又八之三

乃重列之(小分既同/即可相減)

　乙存　　九　之八　二百之七十五　約為八之三

　法曰(先減小分減數大原數小不足減乃作直號於/大分位借一分通為小分納原數共二百三十)

　(五減一百六十餘七十五為次減大分原數四因借/減一變三亦借整數一通 九共十二減四餘八)

　(整數借/減盡)

試先減乙(用變分母法以代/互乘餘並同上)

　原數一　九　之□又　　　　　四十　之七

　減乙　　九　之八又八　之三變四十　之一十五

　存甲　　九　之四又五　之四即四十　之三十二

　解曰(四十與八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五/倍之即變為四十之一十五則兩母齊同可以對減矣)

　右係大分母同而小分母不同故用互乘以同之

假如甲丙兩坵田共四畝又六十分畝之四十三甲坵二畝又

四分畝之三又小分五之一餘為丙坵該若干

　答曰一畝又十二分畝之十一(即六十之五十五母子各/五約之為十二之十一)

　法先以甲小分母五通大分四之三為二十之十五加入原

　𢃄小分一共二十之十六乃列而減之(如此則大分小分合/而為一與原數無小)

　(分者/類矣)

　存丙一又　　　　　　　　六十　之五十五

　用變分母法以甲子母各加三倍變二十之十六為六十之

　四十八以減原數四十三不及減乃作直號於整數位借一

　數通為六十分納原數共一百○三減甲數四十八餘五十

　五次減整數整數四因借減一成三減甲二仍餘一是為整

　數一又六十之五十五即丙存數也

　右係大分母不同故通為小分而減之

　　以上大分𢃄小分法為通分減法之又一類

　　通分子母乘法

假如有田三十六畝六分毎畝徵銀三分錢之二問該銀若干

　答曰二兩四錢四分

　　　　　　　　法以分子之二乘田三十六畝六分得

　　　　　　　　七十三分二以分母三收之得二兩四

　　　　　　　　錢四分合問

　　　　　　　　何以知其為七十三分也曰原問毎畝

　　　　　　　　徴銀三分錢之二分故於右行實數内

　　　　　　　　尋毎畝之位為定位之根以横對左行

　　　　　　　　得數即命為分則上下俱定矣

假如有銀六十四兩毎兩買銅八斤十二兩該銅若干

　答曰五百六十斤

　　　　　　　　　先以斤法(十/六)收十二兩為斤下之七分

　　　　　　　　　五釐加八斤共八七五為法以乘銀六

　　　　　　　　　十四兩得五六○○○即於右行實數

　　　　　　　　　内尋毎兩位以横對左行得數命法尾

　　　　　　　　　釐推而上之定為五百六十斤

假如有米五石(又三分/石之二)毎石價銀九分兩之八該銀若干

　答曰五兩又二十七分兩之一

　　　　　　　　　法以分母三通五石為十五分納子二

　　　　　　　　　共十七分以價之八乘之得一百三十

　　　　　　　　　六又以兩分母(三/九)相乘得二十七收之

　　　　　　　　　合問

　通分子母除法

假如毎田一畝徴銀三分錢之二今完編銀二兩四錢四分該

田若干

　答曰三十六畝六分

　　　　　　　　　法以分母(三/)通二兩四錢四分為七十

　　　　　　　　　三分二為實以分子之二為法除之即

　　　　　　　　　得三十六畝六分合問(原所設三分之/二以錢為主故)

　　　　　　　　　(四分所通/為小分)

假如有米五石又三分石之二共價銀五兩又二十七分兩之

一問毎石該價若干

　答曰九分兩之八

　　　　　　法先以米分母(三/)通五石為十五分納子二共

　　　　　　十七分為法又以價分母(卄/七)通五兩為一百三

　　　　　　十五納子一共一百三十六分為實法除實得

　　　　　　八為毎石三分一之價以分母三乘之得二十

　　　　　　四分為毎石價命為二十七分兩之二十四約

　　　　　　為九之八

　又㨗法(以米分母三除銀分母二十七得九為毎/石價之母即以除出之數為子即九之八)

假如有絲一斤又六分斤之四共價一兩又四十二分兩之二

十問毎斤價若干　答曰七分兩之六又十之二

　法先通絲一斤為六分納子四共一十為法又通銀一兩為

　四十二分納子二十共六十二退一位(即一十/除也)命為單六又

　小分二即毎斤六分一之絲價也於是以分母六乘之得三

　十六又小分十二為毎斤價是為四十二分兩之三十六又

　小分十二也子母並六約之為七分兩之六又小分十之二

　㨗法(以絲分母六除價分母四十二得七為毎斤/絲價之母即命為七分兩之六又十之七)

　　通分子母三率法(即異乘/同除)

假如西厯太陽毎日平行(五十九分零/八秒二十微)今有二刻半該行若干分

　答曰一分三十二秒卄四微(又九十六分/微之卄六)

　法(先通五十九分為三千五百四十秒加原帯八秒共三千/五百四十八秒又通為二十一萬二千八百八十微加原)

　(𢃄二十微共二十一萬二千九百微在位以二刻半乘之得/五十三萬二千二百五十微為實以一日化九十六刻為法)

　(除之得五千五百四十四微不盡除滿三千六百微收為一/分又一千九百二十微收為三十二秒仍餘二十四微 不)

　(盡者以法命之是為一分三十二秒/二十四微又九十六分微之二十六)

　論曰此小數法也何則二十一萬二千九百者是每日九十

　六刻之數今以二刻半乘之於刻下多一位故截去得數尾

　一位命為百

假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一

　石又三分石之二該布若干　答曰三疋

一　粟六分石之二(母子各/減一倍)變為三之一

四　布五分疋之(十/五)　　　收為整三疋(兩粟母同為三省不/用只以布分母收之)

　用變分母法變一率六之二為三之一則兩粟母相同可省

　互乘而子變為之一又可省除只以三率一石用分母通為

　三納子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母

　五收之即得三疋合問

假如以銀換金毎銀二兩又三分兩之二換金九分兩之二今

有銀六分兩之四該金若干

　答曰十八分兩之一

四　金(十/八)分兩之一

　法以一率分母(三/)互乘三率六之四為十八之十

　二與二率之二相乘得二十四為實又用一率分

　母三通二兩為六分納子二共八是為三之八復

　以三率分母(六/)互乘之為十八之四十八以乘金母

　(九/)得四百三十二為法法大實小以法命之為四

　百三十二之二十四母子各二十四約之即十八

　分兩之一合問

若用變分母法則如後式

一　銀二兩(又三/之二)　　通為三之八乘得(七十/二)為法(以金母九/乘之八也)

四　金(七十/二分)兩之四　約為(十/八)之一(子母各/四約之)

　　解曰十八分兩之一即五分五氂五五不盡

　　畸零𢃄分子母乘法

假如以八之五乗四之三該若干

　答曰三十二之十五

　　　　　　　法以母乘母得三十二子乘子得十五即三

　　　　　　　十二之十五為乗得數也

又法以除代乗則倒位互除之

　　　　　　　法以五除四得八為母數以八除三得三七

　　　　　　　五為子數是為八之三七五與乗得之數同

　　解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得

　　三十二四因三七五亦得十五

　用法

假如穀一石價二十七分兩之十六今有穀四分石之三價若

干

　答曰九分兩之四

一　穀一石

四　價九分兩之四(因首率是一故省除/即以九之四為得數)

　解曰二十七分兩之十六即五錢九分二氂六毫弱也穀四

　分石之三即七斗五升也價九分兩之四即四錢四分四四

　不盡也

若用倒位除以代乘則徑得九之四

　　　　　　　　法用母四除十六得四為子用子三除二

　　　　　　　　十七得九為母是為九之四也

　　畸零𢃄分子母除法

假如以五之四除四之三該若干

　答曰八之七五

　　　　　　　法以母除母得八子除子得七五是為八之

　　　　　　　七半即除得數也

又法以乘代除則倒位互乗之

　　　　　　　法以母五乘子三得(十/五)為子以子四乗母四

　　　　　　　得(十/六)為母是十六之十五與除得之數同

　解曰十六即八之倍數十五即七五之倍數故其數同

　　用法

假如以絹易縀絹五分丈之四換縀七分丈之四問絹毎丈該

　縀若干

　答曰該換縀七分丈之五

一　絹五分丈之四　法以母除母得一四子除子得一○是

二　縀七分丈之四　為一十四之一十子母各半之為七分

三　絹一丈　　　　之五(三率是一省乘即/用縀七之四為實)

四　縀七分丈之五

　解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分

　强也七分丈之五者七尺一寸四分强也

若用倒位乘以代除所得亦同

　　　　　　　法用子四乘母七得卄八為母用母互乘子

　　　　　　　四得卄為子子母各取四之一即七之五也

論曰同文筭指有畸零乘除之法甚為簡妙然莫適所用今以

三率列之則實數可稽而用法亦明矣

　　畸零乘除定位

凡乘法得數必大於原問之數若畸零乗則其數反降凡除法

得數必降若畸零除則其數反陞盖即異乘同除之理諸家算

術皆未經說破故定位多訛兹以三率明之如左

假如換珠每珠一兩值銀二十四兩今有珠三分五釐該若干

　答曰八錢四分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　此首率是單兩

　　　　　　　　　　　　　　　　　　而三率有分釐

　　　　　　　　　　　　　　　　　　是單下有三位

　　　　　　　　　　　　　　　　　　零也故截去得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　數尾三位命法

　尾兩兩位空定所得為八錢四分

　論曰此即以乘出之數為四率者以首率是單一兩故

　省除耳試即以三率實尾位釐為單而定所得為八

　百四十兩為實亦陞首率單兩為千釐為法除實(即/以)

　(實數降/三位)亦仍得八錢四分合問(此條已詳二巻乘法/中兹以三率列之於)

　(定位之/理益明)

　又論曰乘除之難在於定位而畸零為尤難所以者

　何凡定位以單數為根而畸零無單位可言故也前

　於乘法中立本數大數小數三法以尋每位可以御

　畸零矣於除法猶未有以處也今皆歸之三率惟視

　三率中所有之數即命為單數(如金銀之類本以兩/為單今視三率中有)

　(分即以分為單而兩則為其百數又如米穀之類本/以石為單今三率中有斗即以斗為單而石則為其)

　(十數他/倣此)則雖畸零皆可作整數筭無論乗除一以貫

　之矣(是為以零變整而乗除之後得數無異/此所以别於通分化整為零之法也)

假如有珠三分五釐價銀八錢四分問每兩珠價若干

　答曰二十四兩

　　　　　　　　　　　　　　　　(此一率首位是分即/以分為單數以二率)

　　　　　　　　　　　　　　　　(陞兩位作八十四兩/為實以法三分五釐)

　　　　　　　　　　　　　　　　(對實分位列之位命/除畢於法上一)

　　　　　　　　　　　　　　　　(為單分推而上之定/得數為二十四兩合)

　　　　　　　　　　　　　　　　(問/)

　解曰二率陞二位為實者即百分乘也分原在單兩下二位

　今既陞為單則單兩亦陞二位成百分也

假如銀二錢四分買稻九十六斤毎兩該若干

　答曰四百斤

　　　　　　　　　　　　　　(此以錢為單數則三率單/兩成十錢而二率亦陞一)

　　　　　　　　　　　　　　(位成九百六十○斤為實/於是以法二錢對實○位)

　　　　　　　　　　　　　　(列之以單錢對單斤也單/除畢於法上一位命為)

　　　　　　　　　　　　　　(斤即得數為四百斤合問/)

假如以豆換油豆四斗八升換油十二斤今豆十石該油若干

　答曰二百五十斤

　　　　　　　　　　　　　　　　(此以斗為單數則三/)

　　　　　　　　　　　　　　　　(率十石成百斗故二/率亦陞兩位作一千)

　　　　　　　　　　　　　　　　(二百斤為實以法四/斗對實○斤位列之)

　　　　　　　　　　　　　　　　(亦以單斗對單斤也/餘亦同)

假如芝麻六斗四升四合換豆一石今芝麻四石八斗三升該

豆若干

　　答曰七石五斗

　若以斗為單則命實為四十八石三斗(以二率十/斗乘之也)而以法首

　六斗對實三斗列之除畢於法上位定為斗亦得七石五斗

　或以升為單以合為單得數亦無不同也(以升為單法上即/命為升以合為單)

　(法上即/命為合)

假如錢六百五十文價四錢八分七釐半每千該價若干

　　　　　　　　　　　　　　　(此問毎千錢價是以千/為單也今法首只有百)

　　　　　　　　　　　　　　　(即以百為單而陞單千/為十百則二率亦陞一)

　　　　　　　　　　　　　　　(位作四兩八錢七分五/釐為實四兩列之以單)

　　　　　　　　　　　　　　　(百對單兩也除畢於法/上位命為單兩兩位空)

　　　　　　　　　　　　　　　(定得數為七錢五分/)

　歴筭全書卷三十七