歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書巻三十八

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　筆算巻五

　　開平方法

測量句股全恃開方開方有平有立而平之用博以其

有實無法故别為一術以佐乘除之所窮

平方者面羃也其形正方故亦為自乘之積開平方者以

自乘之積求正方之邉故西法謂之測面其邉謂之方根

法先列實　依除法作兩直線以所用方積列於右直

線之右自上而下至單位止無單作○

次作㸃定位　自單位作一㸃起毎隔一位㸃之有一

㸃則商一位(如有二㸃則商數有十/有三㸃則商數有百)

次定初商　皆自原實最上一㸃截定為初商之實(如/㸃)

(在首位即以一位為初商實㸃/在次位即合兩位為初商實)以自乘數約而商之皆

以㸃處為本位㸃上一位為進位(本位者單數也如一/商一四商二九商三)

(其自乘皆本位不論百與萬以上皆作單數用進位者十數也/如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有進位不論)

(千與萬以上上/皆作十數用)

又法　以初商實入表皆視初商實有與表同數或稍大於表

數者用之以命初商(如一商一四商二此與表數相同也如二/三亦商一五六七八皆商二此比表數稍)

(大也若至九則商三又為相同之數矣十至十五皆商三/皆比表數稍大至十六商四又為相同之數他皆倣此)

　　初商表(凡初商三以下減積在本位四/以上減積合兩位此表明之)

用表㨗法(但視初商實不滿表上自乘積者退一格即商數/如不滿○四即商一不滿○九即商二他倣此)

既得商數即書於左直線之右皆對初㸃之進位書之(凡商得/一二三)

(四書於㸃/之上一位)五以上又進一位(凡商得五六七八九/書於㸃之上兩位)

次減實　以初商數自乘書於左直線之左皆以本位對初㸃

(如初商一二三自乘一四九皆本位即對初㸃書之如初/商四五六七八九其自乘皆有進位則以下一字對初㸃)

就以此命為減數以對減右直線所列方積如減積不盡則有次商

次商之法　倍初商得數為次商亷法對原實位書於右直線

之左(視實冇二㸃則初商是十有三㸃初商是百四㸃初商是/千各取倍數對原列方積千百十零之位書之倍而言十)

(者亦進/位對之)截原實第二㸃為次商之實(次商減積/至此㸃止)以廉法約實為

次商數(並依除/法約之)挨書於初商之下即用次商數為隅法亦書於

廉法之下為次商廉隅共法(省曰次/商法)以與次商數相乘書其數

於左直線之左(皆以法首位所乘之進位對次商數書之若言/如之數亦以○位對之法有幾位徧乘而挨書)

(之㸃至次㸃止上又法先以法尾位隅法乘次商數以本位對/次 書之進位 一字書之依乘法例自下而上法有幾位皆)

(徧乘而迭進書之/至次商數止亦同)命為次商減積數以對減右直線餘積而定

次商(皆减積至/次㸃止)如減數大於餘積則改次商(亦改/隅法)如上乘減及

減而止次商減積不盡則有三商

三商之法　合初商次商數倍之為廉法(簡法只以隅法加倍/増入次商法内即三)

(商廉/法)截原實第三㸃為三商之實(三商減積至/三㸃而止)餘並同次商如

減積不盡則有四商

四商以上並同三商法

審○位之法　若次商廉法大於苐二㸃以上餘積或數適相同是商

得○位也(凡商得一數者其減積必與廉法同而多一數以為/隅故僅同者無隅積也即不能商一數而成○位)

則書○於初商之下以當次商亦增○於亷法之下為三商亷

法三商以上有○並同(若應商幾位而於初商或次商即已減積/至盡是末幾位皆商得○也俱補作○)

命分之法　若已商得單數而仍有餘積當以法命之(以商得/方根倍)

(之加隅一為分母不盡之/數為分子命為幾分之幾)雖未商得單數而餘積甚少不能成

單一數亦以法命之(前審○位云亷法大於餘積者但取第二/㸃以上相較不論千百十零其所謂不能)

(商一數者或是一千或是一百不拘定是/單一也故商○之後仍有所商與此不同)

還原法以商得方根自之有不盡者以不盡之數加入之即得原實

又簡法作直線於左方以應減之積依併法併之必合原實有

不盡數亦加入之並同除法還原

　　初商本位式(凡初商一二三者減積言如在本位然初商/一二三四者書商數於㸃之上一位 以書)

　　(商數之位言之亦本位也兩/本位法此一式中皆可明之)

假如有方田積二百五十六步問每面方若干

　答曰每面方十六步

　　　　　　　　列實(作兩直線列方積於右直線之右/)

　　　　　　　　作㸃定位(自單位起毎隔一位作一㸃共/兩㸃宜商兩次 初商是十)

　初商(㸃在實首位即以實首位○二為初商實以自/乘數約之得一為初商初商是一宜對㸃上一)

　(位書於左直線之右有兩㸃初商是一十自乘一百/為減數書左線之左遙對右行初㸃○二百書之就)

　(以對減初商實於二百内減一百仍餘/餘一百改書之初商減積未盡有次商)

　次商(倍初商一十作二十對原列方積十步位書於/右線之左為亷法 以第二㸃餘實一五六為)

　(次商實用亷法約實可商七步因無隅積只約六步/為次商以書於初商之下即用六步為隅法以書於)

　(亷法之下合亷隅共二十六步為次商法以乘次商/六步得亷積一百二十步隅積三十六步皆對次商)

　(位書起每挨一位書之至次㸃止共得次/商減數一百五十六以對減餘實恰盡)共開得平

　方根一十六步合問

　　　　　　　　甲乙丙丁四形合為正方形(四面皆一/十六步)

　　　　　　　　甲分形正方(四而皆十步積一百步即/初商積)

　　　　　　　　丙丁二分形皆長方(廣六步長十步積/六十步兩形共積)

　　　　　　　　(一百二十步/即次商廉積)

　　　　　　　　乙小分形亦正方(面皆六步積三十六/步即次商隅積)

　　　　　　　　自乘還原法置方一十六步為實即以

　　　　　　　　十六步為法乘之得二百五十六步合

　　　　　　　　原數

　　初商進位式(凡初商四五六七八九減積言十在進位凡/初商五六七八九書商數於㸃之上兩位)

　　(書商數以㸃上一位為本位則此其/進位也兩進位法此一式中皆有之)

假如方積三十五萬八千八百零一尺問方若干

　答曰方五百九十九步

　　　　　　　　　　列位(同/前)

　　　　　　　　　　作㸃定位(有三㸃宜商三/次初商是百)

　初商(㸃在實次位即合兩位三五為初商實入表表中有小/於三五者是二五其方根五即以五為初商數對實初)

　(㸃上兩位書左直綫之右又即以表中自乘數二五遙對實/三五書於左直綫之左就以對減初商實餘一○改書之以)

　(待次/商)

　次商(倍初商五百作一千○百對實千百位書於右直綫之/左為亷法 以第二㸃上餘實一○八八為次商實用)

　(亷法約之得九為次商續書於初商之下即以次商九為隅/法書亷法之下合亷隅共一○九為次商法以乘次商九得)

　(亷積九隅積八一對次商位書起至次㸃止共得減數九/萬八千一百以減次商實餘一○七改書之以待三商)

　三商(以次商隅法九十倍作一百八十於次商法一千之下/抹去○九改書一八共一一入為亷法 以第三㸃上)

　(餘積一○七○一為三商實用亷法約之得九為三商續書/於次商下即以三商九為隅法書於亷法之下合亷隅共一)

　(一八九為三商法以乘三商九步得亷積一萬○六百二十/隅積八十一對三商位書起至第三㸃止共得減數一萬○)

　(七百○一以對/減三商實恰盡)凡開得方根五百九十九尺

　　　　　　　　　　　初商甲(方五百尺積/二十五萬尺)

　　　　　　　　　　　次商(丁/戊)二亷(各長五百尺濶九/十尺共積九萬尺)

　　　　　　　　　　　隅乙(方九十尺積/八千一百尺)

　　　　　　　　　　　三商(已/庚)二亷(各長五百九十尺濶/九尺共積一萬○六)

　　　　　　　　　　　(百二/十尺)隅丙(方九尺積/八十一尺)

　　　　　　　　　　　七形合成正方共積(三十五萬八千/八百○一○)

　　商○位式

假如方積八十二萬六千二百八十一尺問方若干

　答曰九百○九尺

　　　　　　　　　　列位

　　　　　　　　　　作㸃定位(並同/前條)

　初商(㸃在次位合兩位八二為初商實表入表得八一小於/八二其方根九即為初商在五以上對初㸃上兩位書)

　(之亦以表數八一對實八二書於左綫之/左以減初商實餘○一改書之以待次商)

　次商(倍初商九百作一千八百對原實位書之為亷法以第/三㸃上餘實○一六二為次商實以亷法約之法大實)

　(小不能商一數是商得○位也紀○於初/商之下即於實首位銷去一○餘俟三商)

　三商(因次商是○增○於廉法之下共一八○為亷法以第/三㸃上餘實一六二八一為三商實用亷法約實得九)

　(尺為三商書於次商○之下即以九為隅法書於亷法之下/共亷隅法一八○九以乘三商九得亷積一萬六千二百隅)

　(積八十一減/三商實恰盡)凡開得方根九百○九尺

計開

　初商方九百尺　積八十一萬尺

　續商亷(各濶九尺/長九百尺)共積(一萬六千/二百尺)　隅方九尺積(八十/一尺)

　通共八十二萬六千二百八十一尺

假如方積二十五億○七百○○萬四千九百尺問方若干

　答曰五萬○七十尺

　　　　　　　　　　　　　　列位(原積尾位是百/補作兩○列之)

　　　　　　　　　　　　　　作㸃定位(有五㸃當商五/次 初商是萬)

　初商(以實首兩位二五為初商實入表得五為初商/書於㸃上兩位次以自乘數對實列之相減盡)

　次商(倍初商五萬尺得一十○萬為亷法對原實位書之以/第二㸃上餘實○○○七為次商實實有三○無可商)

　(是次商○也書○於初商五之下/亦於實首銷去一○以待三商)

　三商(因次商○增○於亷法下得一○○為亷法○以第三/㸃上餘實○○七○○為三商實實仍有兩 位是三)

　(商亦○也又書○於次商○之下/於實首復銷去一○以待四商)

　四商(因三商亦○又增○於亷法之下得一○○○為亷法/ 以第四㸃上○七○○四九為四商實用亷法約之)

　(得七十尺書於三商○之下即以七為隅法增於亷法下共/亷隅法一○○○七以乘四商七得亷積七百萬隅積四千)

　(九百以對減/四商實恰盡)

　五商(五㸃宜有五商而四商已減/實盡無可商作○於四商)

　凡開得方根五萬○○七十○尺

　　命分式

假如方積五百七十六萬四千八百尺問方根若干

　答曰二千四百尺(又四千八百○一/分尺之四千八百)

　　　　　　　　　　　　列位(實盡於百位如前/法補作兩圏列之)

　　　　　　　　　　　　作㸃定位(有四㸃宜商四/次初商是千)

　初商(以實首○五為初商實入表得二為初商以/自乘數○四減實○五改書餘一以待次商)

　次商(倍初商二千得四千為亷法約以第二㸃上餘/實一七六為次商實用廉法 之得四為次商)

　(即以為隅法書廉法下共亷隅法四四以乘次商四/得亷積一百六十萬隅積一十六萬共減積一百七)

　(十六萬次/商實減盡)

　三商(倍次商隅法四作八增入次商法共四八為三/商亷法以第三㸃上餘實○○四八為三商實)

　(有兩○無可商作○於三商/位消去實首一○以待四商)

　四商(三商○亦增○於亷法下共四八○為亷法與/以第四㸃上餘實○四八○○為四商實僅)

　(亷法相同是無隅積也不能商一數作○於四商位/其不盡之數以法命之法以亷法四千八百○加隅)

　(一共四千八百○一為命分之母以不盡之數四千/八百為分子命為四千八百○一分尺之四千八百)

　(即一尺/弱也)

　共開得平方二千四百尺又四千八百○一之四千

　八百

此雖未開至單尺之位而餘實甚少不能成一單尺故

即以法命之若餘實是四千八百○一尺則商得平方

二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不

能成一單尺也

　　開方分秒(凡開方欲知分秒法於餘實下毎増兩○位則/多開一位為分秒之數 平方之積尺有百寸)

　　(寸有百分皆以百/為母故增兩○)

假如有平方積二十四尺平方開之得方四尺不盡八尺問分

秒若干　答曰方四尺零八寸九分八釐九毫有竒

　　　　　　　　　　　　如常列位作㸃㸃在次位即以

　　　　　　　　　　　　二四兩位合商得方四尺減其

　　　　　　　　　　　　自乘一十六尺餘八尺用命分

　　　　　　　　　　　　法以商四尺倍作八尺又加隅

　　　　　　　　　　　　一得九為命分母不盡為分子

　　　　　　　　　　　　命為方四尺又九分尺之八

今欲知其寸(九分尺之八者是以尺作九分而今有其八/言毎方四尺之外仍𢃄此畸零是其中有寸)

　法於餘實下加兩○化八尺為八百寸(毎尺縱横十/寸故其積百)

　(寸/)用為次商實以初商四尺倍之得八尺亦化八十

　寸(商數是毎邉之/數故尺只十寸)對餘實十寸位書之(即第一/○位)為亷

　法用廉法約實可商九寸因恐無隅積只商八寸書

　於初商四尺之下亦即以次商八寸為隅法書於廉

　法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得

　亷積六百四十寸隅積六十四寸共亷隅積七百○

　四寸自次商位書起至第二○位止以對減餘實仍

　餘九十六寸命為竒數

凡商得毎方四尺八寸有奇

再求其分

　法於實下又加兩○以餘九十六寸化九千六百分(解/見)

　(上/)為三商實　商數四尺八寸亦化四百八十分倍

　之為九百六十分移對餘實百分十分之位書之為

　亷法以亷法約實商得九分為三商書次商之下亦

　即以三商九分為隅法書於亷法九百六十分之下

　共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷積八千

　六百四十分隅積八十一分共積八千七百二十一

　分自三商位書起至第四○位止以對減餘實仍餘

　八百七十九分命為竒數

凡商得每方四尺八寸九分有竒

再求其釐

　法於餘實下又加兩○以餘八百七十九分化八萬

　七千九百釐為四商實　次倍商數四尺八寸九分

　作九尺七寸八分化為九千七百八十釐移對餘實

　依千百十之位書之為亷法　用亷法約實得八釐

　為四商書於三商之下即以四商八為隅法增於亷

　法末共亷隅法九千七百八十八釐以乘四商八釐

　得亷積七萬八千二百四十釐隅積六十四釐自四

　商位書起至第六○位止以減餘實仍餘九千五百

　九十六釐

凡商得每方四尺八寸九分八釐有竒

再求其毫

　如法於餘實下又加兩○化餘實為九十五萬九千六

　百毫為五商實　次倍商數四八九八作九尺七寸

　九分六釐化為九萬七千九百六十毫為亷法移對

　餘實萬千百十之位書之用亷法約實得九毫為五

　商書四商下亦即以五商九為隅法增入亷法下共

　亷隅九萬七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷

　積八十八萬一千六百四十毫隅積八十一毫對五

　商位書起至第八○位止以減餘實仍餘七萬七千

　八百七十九毫

凡商得方四尺八寸九分八釐九毫又九萬七千九百

七十九之七萬七千八百七十九即竒數也

　右單數下已開四位(尺為單位析為寸/分釐毫凡四位)其不盡者

　是不滿一毫之數于單數為十萬分之一(如欲再/求忽微)

　(亦如/上法)

　　開方𢃄縱(𢃄縱者長方形也以方為濶加縱數為長其法/與開方無異但須以商得數乘縱數為縱積併)

　　(入方積以減原積不及減者改商之其次商亦倍初/商加縱為亷法但倍方而不倍縱 三商以上並同)

假如有長田積六百二十四步濶不及長二步問長濶各若干

　答曰長二十六步濶二十四步

　列位(以實列右綫之右步以縱二步/列右綫之左對實 位列之)

　如常作㸃定位

　初商(以○六為初商實商得二十步自乘應減方積/四百步又以商數乘縱二步得縱積四十步如)

　(法列之以減原實仍/餘一百八十四步)

　次商(倍初商二十步作四十步加縱二步共四十二/歩為亷法以約餘實得商四步即以為隅法合)

　(亷隅縱共四十六用乘次商四得亷積一百六十步/隅積十六步縱積八步共減積一百八十四步恰盡)

　　命為濶二十四步　　加縱二步為長二十六步

　合問

以圖明之

　　　　　　　　　　甲為初商方形(長濶各二十/步積四十步)

　　　　　　　　　　已初商縱形(濶二步四長亦二/十步積 十步)

　　　　　　　　　　戊丙並次商廉(長各二十步十濶/四步 積八 步)

　　　　　　　　　　乙次商隅(方四步步積/一十六)

　　　　　　　　　　丁次商縱亷(長四步八濶二/步 積 步)

　　　　　　　　　　(以上五者合之為一長方形步/共長二十六步 濶二十四)

　　　　　　　　　　(積六百二十/四步合原數)

若縱數有比例可求者先以比例分其積平方開之得

濶因以知長

假如有直田積四百五十步但云長多濶一倍問長濶

若干

　答曰濶十五步　長三十步

　法平分其積得二百二十五步平方開之得濶十五

　步

　置濶十五步倍之得長三十步合問

假如有長田積二百五十二步但云長比濶多四分之

三問長若干

　答曰　濶一十二步長二十一步

　法以多三分加分母四共七為法以分母四乘積為

　實法除實得一百四十四步開方得濶一十二步

　置濶一十二步七因四除之得二十一步為長(長比/濶多)

　(九步於十二步/為四分之三)

　　開立方法

平方者方田之屬也但取面羃之積立方者方倉之屬

也必求其内容之積故平方曰面立方曰體有面而後

有體有線而後有面故皆以線為根

假如長二尺者線數也線有長短而無廣狹若以此線

横展之長亦二尺濶亦二尺則其積四尺為面面者平

方形也面有濶狹而無厚薄又以此面層累而厚之長

濶皆二尺高亦二尺則其積八尺為體體者立方形也

立方有虚有實如築方臺則實鑿方池作方窖則虚然

其立方之積數一也

法先立位(同平/方)　作㸃(自單位起每隔二位㸃之/以最上一㸃為初商實)　定

位(視有若干㸃則商幾位如有二㸃則商/數有十有五㸃則商數有百並同平方)

初商法　以自乘再乘數約而商之(如一商一八商二/二七商三之類)

書商數於左線之右(凡商得一數者書於㸃上一位商/得二三四五者書於㸃上兩位商)

(得六七八九者/書於㸃上三位)即以自乘再乘數書於左線之左以對

減初商實(初商減積/至初㸃止)

次商法　以初商自乘而三之為平亷法(亦曰/方法)　以初商三之

為長亷法(亦曰/亷法)皆對原實千百位書之　截第二㸃上餘實為

次商實(次商減積/至次㸃止)以平亷法約實得次商(列初/商下)即以次商為隅

法列長亷次(亦按千百/位列之)乃以次商乘平亷法為平亷積又以次

商自乘以乘長亷及隅法為長亷小隅積俱挨書之以減餘積

不及減者改商

三商法　以餘實另列之　合初商次商自乘而三之為平亷

法　合初商次商三之為長亷法　截第三㸃上餘實為三商

實(三商減積/至此㸃止)　亦即以三商為隅法(餘並/同前)

四商以上並同三商

命分法　合平亷長亷法再加隅一為命分母不盡之數為命

分子(並同/平方)

還原法　置商數自乘得數再以商數乘之即合原實(有不盡者以不/盡之數加入之)

　　初商表(用法與平/方表同)

假如立方積五千八百三十二尺問方若干

　答曰方一十八尺

　　　　　　　　　列實

　　　　　　　　　作㸃定位(有兩㸃初/商是十)

　初商(以五千為初商實約商一十自乘再/乘得一千為應减積減原實餘四千)

　次商(以初商自乘而三之得三百為平亷法二又以初商三/之得三十為長亷法 以平亷法約第 㸃上餘實得)

　(八尺為次商即以為隅法並如法列之乃以次商乘平亷法/得二千四百為平亷積又以次商自乘得六十四以乘長亷)

　(及隅法得長廉一千九百二十隅積五百/一十二共減積四千八百三十二恰盡)

以圖明之

　　　　　　　　　　　甲為初商方形(長濶皆十尺/積一千尺)

　　　　　　　　　　　乙為次商平亷凡三以輔於

　　　　　　　　　　　方之三面(長濶皆十尺厚八/尺積八百尺共積)

　　　　　　　　　　　(二千四/百尺)

　　　　　　　　　　　丙為次商長亷亦三以輔三

　　　　　　　　　　　平亷之隙(長十尺濶與厚皆/八尺積六百四十)

　　　　　　　　　　　(尺共積一千/九百二十尺)

　丁為次商隅如小立方以補三長亷之隙(長濶高皆八尺積/五百一十二尺)

假如立方積二千二百五十九億七千七百八十一萬一千五

百七十尺問方根若干答曰方六千零九十尺(又一億一千/一百二十八)

　(萬二千五百七十一之一億一千/一百二十八萬二千五百七十)

　　　　　　　　　　　　　　　列實(實尾無單/位補作○)

　　　　　　　　　　　　　　　作㸃定位(有四/㸃初)

　　　　　　　　　　　　　　　(商是/)

　　　　　　　　　　　　　　　千

　初商(合實三位約之商六千對初㸃上三位列之以六千自/乘再乘得減積二千一百六十億其餘積改書以待次)

　(商/)

　次商(日乘初商而三之得一億○八百萬為平亷法位/以初商三之得一萬八千為長亷法各對原實)

　(列之次以第二㸃上餘實為次商實實首有兩○無可/商是 商○也作○於初商之下即於實首消去兩○)

　(餘俟/三商)

　三商(次商○即以次商法為三商法尺以第三㸃上餘實為/三商實以平亷法約之商九十 即以為隅法對實十)

　(位列之乃以九十乘平亷法得平亷積九十七億二千萬又/以九十自乘得八千一百以乘長亷及隅法得長亷積一億)

　(四千五百八十萬隅積七十二萬九千共/減積九十八億六千六百五十二萬九千)

　四商(以第四㸃上餘實另列之二合三次商數六○九自乘/而三之得一億一千一百 十六萬四千三百為平亷)

　　　　　　　　　　　　　　　　(法得又以六○九三/之 一萬八千二百)

　　　　　　　　　　　　　　　　(七十為長亷法亷以/法約實僅與兩 法)

　　　　　　　　　　　　　　　　(之數相同無隅積不/能成一單數以法命)

　　　　　　　　　　　　　　　　(之合平廉長亷數加/隅一為命分母餘實)

　　　　　　　　　　　　　　　　(為命/分子)

　命為立方六千○九十尺又(一億一千一百二十八萬二千/五百七十一尺之一億一千一)

　(百二十八萬二/千五百七十)

　自乘　　　　　　再乘

　厯算全書卷三十八