歷算全書
歷算全書
欽定四庫全書
厯算全書卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程論卷二
極數
吾論方程至和較之雜之變盡矣雖然不知帶分疊脚
重審之法無以窮其致故極數次之
極數有三一帶分二疊脚三重審皆不離乎和較之四術
帶分方程例
法曰視原問中有云㡬分之㡬者則以分母通其全數
而列之或云有物㡬數又㡬分之㡬者以分母通其
全數而納其子如法列位遍乗減併以求一法一實
既得法以除實而得者即所求物之一分也以所得
一分之數分母乗之則為物之全數矣
或云㡬分之㡬又㡬分之㡬者以兩分母相乗為全
數而列之又以兩分母互乗其子為所用之分而列
之所用之分同在一行者併而列之分用于兩行者
不併也併之而所用之分反大於全數者以全
數除之命為幾全數又幾分之幾其入算乗除
仍用所併之分得數後則只以全數之分乗之為全
數(以上兩法皆化整為零乗除/竟用零分故先得一分之數)
又法
凡較數有以此之全數當彼之㡬分之㡬者則通其
一行之内皆以分母乗之而後列焉則其所得即為
全數而非其一分也(如云乙得甲三分之二則以分/母三乗乙全數得全乙者三乗)
(甲之二分得六分是為全甲者二則以三乙當二甲/而列之驟視之如倒列其子母其實皆全數耳)
若有正負之數亦以分母乗而列之(亦全數非零分/也是為以零變)
(整與化整為零之法不同故徑得其/全數所用乗除皆整數非分故也)得即為整(其所/用分)
(母只在本一行中如一物有兩分母又/分用于各行則各以其行中分母為用)凡和數中有
一位帶分而餘只全數者亦可以分母通乗而列之
其所得亦為全數而非分(如甲三乙二又三之一共/十六則以分母三乗甲得)
(九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也併得整七/乗共十六得四十八是為甲九乙七共四十八變零)
(為整徑以整數乗/除所得即為整數)
又法
凡帶分之法或化整為零或變零為整取其畫一也
此外又有雜用零整之法亦所當知(如行中有幾位/或原帶有零分)
(者以化整為零法列之其原未帶分者只以整數列/之但乗除得數後整列者所得即為整數零分列者)
(所得只為零分之數仍/須以分母乗之為全數)
又法
視所帶之分有可以分母除之而盡者則以所除分
秒附于整數而列之則其乗除後得數亦為所求之
全數(若分母除其子不能/盡者則不用此法)
今有甲字庫貯金丁字庫貯銀各不知總但云取甲四
之三加丁五之二則一百一十萬若以甲加丁之倍
數則四百四十萬問各若干
畣曰甲庫金四十萬 丁庫銀二百萬
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得
十分列左
依和數法互乗對減餘丁之分二十二為法餘八百
八十萬為實
法除實得四十萬為丁之一分以丁之分母五乗丁之
一分得二百萬為丁庫銀數 乃以丁庫數倍之得
四百萬減四百四十萬餘四十萬為甲庫金數
此化整從零法也(原列零分故得/亦零分之數)
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁
之二得八列右乂以兩分母(五/四)相乗得二十為甲丁
共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以
甲丁共母乗一百一十萬得二千二百萬列右乗四
百四十萬得八千八百萬列左(分母相乗為母母互/乗子只是通分之法)
(妙在以分共母乗其和數而零/數皆為整用矣此用法之妙)
上 中 下
依法乗減餘丁四百四十為法 八億八千萬為實
以法除實得二百萬為丁數以丁四十計八千萬減八千
八百萬餘八百萬以甲二十除之得四十萬為甲數
此變零為整法也(原列整數故所/得即為整數)
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除
之二得四分列之則其餘數皆不變
左甲一乗右行皆如原數 右甲○七分五秒乗左
行各得四分之三甲各○七分五秒盡減 丁餘一
一(上一整數下一一/分乃十分之一)為法共數減餘二百二十萬為
實 法除實得二百萬為丁數 以丁數倍之減共
數餘四十萬即為甲數
此除零附整法也(零分既除為分秒則乗除之際/皆以整數為主故所得亦即為)
(整/數)
今有甲乙二數不知總但云取乙五之三又取乙四之
一以益甲則甲之數倍取甲三之二又取甲七之二
以與乙較則乙多數二百四十問甲乙本數各㡬何
畣曰甲本數一千○七十一 乙本數一千二百六
十
法以較數帶分取之 本二色也却有三位以分母通
之仍二位也 先以乙分母(五/四)相乗得二十以當乙
之全數 又以分母五互乗分子一得五以分母四
互乗分子三得十二併之得十七以當乙所益甲之
分 是為乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母(三/七)相乗得二十一以當甲之全數 又
以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二
得十四併之共二十以當甲所與乙較之分 是為
甲二十一分之二十以與乙較也
于是分正負列位
依較數法乗減 乙餘八十分為法 負數無減就
以五千○四十為實 法除實得六十三為乙之一
分 以乙全分二十乗之得一千二百六十為乙本
數 乙本數同減負二百四十餘一千○二十即甲
與乙較之分也以左行甲之二十分除之得五十一
為甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十
一為甲本數
乃細攷之 置乙本數(三/)因(五/)除之得七百五十六
為五之三 又置一本數(四/)除之得三百一十五為
四之一 併兩數共一千○七十一則與甲數同故
以此益甲而甲倍也 置甲本數(二/)因(三/)除之得七
百一十四為三之二 又置甲本數(二/)因(七/)除之得
三百○六為七之二 併兩數共一千○二十以此
較乙則不及二百四十
此只是以乙之分與甲較又以甲之分與乙較也末
卷所列諸率則是以乙之分益甲而轉與乙所存之
分相較又以甲之分益乙而轉與甲所存之數相較
故自不同合而觀之則見
今有寳泉寳源二局鑄錢不知總但云取寳源五之四
又四之三以益寳泉則寳泉之數倍 若取寳泉三
之二以與寳源較則多于寳源四十二貫
畣曰寳泉原數一千九百五十三貫 寳源原數一
千二百六十貫
法先以寳源分母(五/四)相乗得二十分為全數 又以分
母五互乗分子(三/)得十五分母(四/)互乗分子(四/)得十
六併之共三十一分為寳源所以益寳泉之分 全
數二十分所用以益寳泉者反有三十一分是為以
寳源全數又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉
只一分母故不用乗併
乃列位
如法乗減 中位餘二分為法 下位餘一百二十
六貫為實
法除實得六十三貫為寳源局二十分之一分 以分
母二十乗之得一千二百六十貫為寳源數 以寳
源數異加正四十二貫共一千三百○二貫即寳泉
局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得
一千九百五十三貫為寶泉數(置寳源數四因五除/之得一千○八為五)
(分之四又置寶源數三因四除之得九百四十五為/四之三併兩數亦恰得一千九百五十三貫如寳泉)
(數以加寳泉是/為寶泉者倍也)
論曰乗得數後寶泉分數同惟右行之寳源多于左行
者二分而遂能與寳泉等若左行之寳源少此二分
而其少于寳泉者遂一百二十六貫然則此一百二
十六貫者正是寳源之二分矣(知分數即知全數/知寳源即知寳泉)
此二則皆化整為零而分母不同也
今有貨泉刀貝四種之幣各不知數但云泉八之一兼
刀布七之二則如貨數也 若刀布七之三兼貝六
之四則其數如泉也若貝六之五又外加數八千九
百七十則如刀布也 若貨數自加九之一則其數
如貝也問本數各㡬何
畣曰貨五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一萬三千七百二十 貝五千七百
法以各分母通其原數然後以正負列之 貨分母九
泉分母八 刀布分母七 貝分母六 (丁行貨/合數一)
(又九分之一共十是為九分/之十凡全數帯分者準此)
先以甲行貨正九分為法徧乗丁行得數 又以丁
行貨負十分為法徧乗甲行得數(因首位異名故變/一行以相從而以)
(丁從/甲)乃以甲丁兩行得數相減 貨同減盡 甲行
泉負十分刀布負二十分皆無對不減 丁行貝負
五十四分亦無對不減 下適足無乗無減仍為適
足
乃以泉刀同名在甲行者為一類 貝同名在丁行
者為一類分正負重列而求之(丁行之負甲/行之正也)
因餘行已無貨位當以泉為乗法尋乙行中有泉徑用
與減餘相對
如法徧乗得數乃相減併 泉同減盡 刀布異併
得(正/)一百九十分 貝同減餘負三百九十二分
以減餘為主命其正負而重列之
因餘行又已無泉當以刀布為乗法尋丙行有刀布徑
用與減餘相對
上 中 下
如法徧乗得數 刀布同減盡貝同減餘一千七百
九十四分為法正一百七十萬四千三百無減就為
實 法除實得九百五十為負之一分 以丙行貝
之五分該四千七百五十異加正八千九百七十共
一萬三千七百二十為刀布原數 以刀布分母七
除原數得一千九百六十為刀布之一分 以刀布
之三分該五千八百八十貝之四分該三千八百併
之得九千六百八十為泉數(用乙/行也)以泉分母八除泉
數得一千二百一十為泉之一分 以泉之一分加
刀布之二分三千九百二十共五千一百三十為貨數
(用甲/行也)以貨分母九除貨數得五百七十為貨之一分
以貨數加一分共五千七百為貝數(用丁/行也)
甲丁兩行乗減論曰既互乗則甲丁之貨等而甲行之
泉若刀布及丁行之貝又各與其首位之貨等則甲
之泉若刀布必與丁之貝等也故對減去貨而徑以
甲之泉若刀布與丁之貝分正負而命之適足也
此即西學中比例之理然方程中自有之且簡快如
此
乙行減併論曰左右兩行之正負皆適足若于右正數
内減左正右負數内減左負其所餘者亦必適足也
今右正内既減去同名之泉右負内又減去同名之
貝而左負内有刀布不與右同名不能相減故反用
以加加則正數多正數多則負數少而其數亦必適
足矣
又論曰隔行之異名乃同名也今兩行之正與負既皆
適足若以左之正(泉/)益右之負(貝/)而共為負以左之
負(刀布/貝)益右之正(泉刀/布)而共為正則亦適足也于是
以兩者(右泉刀布左刀布貝為/一類左泉右貝為一類)對減其相同之物(泉/各)
(減八十分貝/各減四十分)則其所餘之物必亦適足也(左右刀布/為正右貝)
(減餘/為負)
又論曰右行刀布正數也正多于負之數也左行刀布
負數也正少于負之數也合此二數則是右正之多
于左正者此兩行之刀布也然刀布之數右正雖多
于左正而貝之數右負亦多于左負故兩行皆適足
也然則右正之所多與右負之所多亦必相當適足
矣
丙行乗減論曰刀布本同惟右之貝多于左右之貝多
則左之貝少左之貝少則刀布多矣然則左之刀布
布獨有盈數者正是此相差之貝也
此亦化整為零而又有整帯零(四色有空/之例也)
問品官月俸六品為五品八之五七品為六品四之三
八品為七品十五之十三九品為七品十五之十一
倍九品加八品六品七品各一則如五品之倍數而
多三石各若干
法以分母各通其原數而正負列之 五品通為八
六品通為四 七品通為十五 八品九品以全數
原無分母故也(五品倍則/為十六)
先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得數(餘/空)
(位無/乗) 次以乙行五品五分遍乗甲行得數 乃對
減 五品各八十分同名對減盡 六品同名對減
餘四十四分乙行之負物也為乙類
七品八品九品并禄米較數皆無對不減皆甲行之負
物負數也為一類 分正負列之與丙行相對
如法以減餘六品分遍乗丙行六品七品分得數(餘/空)
(無/乗)
又以丙行六品分遍乗減餘得數 乃以對減 六
品得數各一百三十二分同名減盡 七品同名減
餘四百三十五分丙行之負物也自為一類 其餘
三位無減皆減餘之負物負數也共為一類 分正
負列之與丁行相對
又因丁戊兩行皆有七品是多一算也乃更置之以
八品列首位
上 中 下
如法以丁行八品負一遍乗減餘皆如故(首行同名/故兩行之)
(正負亦/皆不變)又以減餘八品負十五分遍乗丁行八品七
品得數 乃對減 八品同減盡 七品同減餘二
百四十分右行之正物也為一類 九品三十無減
禄米四十五石亦無減皆右行之負物負數也同
名共為一類 乃分正負重列之與戊行相對
如法以左右七品分互遍乗得數(首行同名故兩行/之正負皆不變)
七品同減盡 九品同減餘九十為法 祿米四
百九十五石無減就為實 法除實得五石五斗為
九品月俸 置九品俸以相當之七品之十一分除
之得五斗為七品月俸十五分之一而以與八品相
當之十三乗之得六石五斗為八品月俸 又以七
品之分母十五乗其一分得七石五斗為七品月俸
又置七品俸以相當之六品之三分除之得二石
五斗為六品四之一而以其分母四乗之得十石為
六品月俸 置六品俸以相當之五品之五分除之
得二石為五品八之一而以其分母八乗之得十六
石為五品月俸
計開 五品毎月十六石 六品毎月十石 七
品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品
毎月五石五斗
論曰此所列有二種 六品通為四分者問原云四之
三是可以四分者也七品通為十五分者原云十五
之十三之十一是可以十五分者也五品通為十六
分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六
則為八分者二矣此皆以分立算化整從零之法也
八品則只是原數九品亦是原數而又有倍數然
只是原數之倍非如五品倍其分也此兩者皆不用
分只用整 合而言之乃零整雜用之法也 零與
整雜似不倫矣然乗除得數則同 但用分者所得
數亦為一分之數故必以分母乗之乃合原數而其
原不用分者得即原數更不湏乗能知此理則用分
無誤矣
甲乙兩行論曰兩行正數内五品本同而甲有負多于
正之較乙則無有是此較數乃甲負多于乙負之較
也于是以兩負相減以去其同之分而觀其所不同
之處則甲有諸品而乙惟六品之減餘然則甲負之
獨多此較者乃甲諸品多于乙六品減餘之較矣
丙行乗減論曰兩得數對減而六品減盡是其數同也
其與六品為正負者又減去相同之七品分而左仍
餘七品之餘分右仍餘諸品之全分則是兩行諸數
皆同而惟此二者有差也然則右之獨有盈于六品
之較者正此二者之差數也
丁行論曰兩行對減而于負數内減去相同之八品惟
餘九品于正數内減去相同之七品分惟餘七品之
餘分然則右行負數獨有盈于正數者正是右行九
品與其七品餘分之較也何也與之對減者乃左行
適足之數故于較數無闗也(重列三/次皆然)
戊行論曰右行内減去左行適足數惟餘九品數則其
下盈數必所餘九品之數也 此條逓減歸一其理
較明學者翫之
此零整雜列也亦五色方程有空例也有減無併
可悟偶加竒減之非
問有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三
仍不足單六丙所分如乙七之三而多二數各幾何
畣曰甲數一百一十二 乙數四十二 丙數二十
(甲數三因七除得四十八多于乙數六/乙數三因七除之得十八少于丙數二)
法列位 以甲乙分母七化整為零 丙無分仍用整
(○/) 乙之三分(正/) 丙一(負/)負二(此行無甲數存與減餘重列/)
此三色有空先以和較雜法用兩行甲互遍乗之
和數甲全分七乗較行得數(依其/正負)以較數甲正三分
乗和行得數(從乗法皆/命為正) 甲各二十一分同減盡
乙異併七十分(正/)丙三無減(正/)下數同減餘四百八
十(正/)皆同名不分正負以和數重列與第三行較數
求之
上 中 下
如法互乗減併 乙同減盡 丙異併七十九為法
下數異併一千五百八十為實 法除實得二十
為丙數 丙數同減負二得一十八為乙七之三乃
以三分除之得六為乙七之一以分母七乗之得四
十二為乙數 乙數異加正六共四十八當甲七之
三乃以三分除之得十六為甲七之一以甲分母七
乗之得一百一十二為甲數 此亦零整雜用之法
也
若依變零從整法則以分子母倒位列之其正負以分
母乗之乃與和數列而求之
論曰倒位何也非倒位也分母遍乗則然也以分母七
乗子三而皆七之則為三分者七為三分七是為全
全數者三矣而其所當者全數也七之則為全數者
七矣是乙以全數當甲七之三者七乗之則七乙當
三甲也故如倒位然皆全數也非分也故非倒位
正負亦分母乗何也乙一當甲七之三而少六則七
乙當三甲而共少七个六為四十二也丙一當乙七
之三而多二則七丙當三乙而共多七个二為十四也
如法以前兩行遍乗減併又重列之與第三行遍乗
減併 乙減盡丙異併七十九為法 下數異併一
千五百八十為實 法除實得二十為丙數
七因丙數得一百四十同減負十四餘一百二十六
以乙三除之得四十二為乙數
七因乙數得二百九十四異加正四十二共三百三
十六以甲三除之得一百一十二為甲數
此變零從整而分母同者也亦有分母不同但取
其本一行中所用之分母遍乗本行以為用不必
齊同如後條
問有數不知總以三人分之亦不知各所分之數但云
甲如乙丙共數二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙
四之三而不足四又四分之一總數分數各幾何
畣曰總數十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十
其二之一則五如甲 甲丙共九其三之二則六如
乙 甲乙共十一其四之三則八义四之一以丙相
較不足四又四之一也
法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙/有二之一又有四之三丙有二)
(之一又有三之/二皆有兩分母)宜用變零從整之法以不同同之(用/分)
(則不同變而用整/則不同而同矣)以分母各遍乗其本行而列之
右行分母二 中行三左行四
如法互乗減併以三色較數變為二色而重列之(雖/減)
(併不同皆仍為/較數不變宜翫)
如法互乗 乙同減盡 丙同減餘負三十四為法
正一百三十六無減就為實 法除實得四為丙
數 六乗丙數得二十四以相當適足之四乙除之
得六為乙數 以原列右行乙丙各一共十以相當
適足之甲二除之得五為甲數
論曰甲為乙丙二之一則是二甲當一乙一丙也皆二
因之也 乙為甲丙三之二則是三乙當二甲二丙
也皆三因之也 丙為甲乙四之三而不足四又四
之一則是四丙以當三甲三乙而不足十七也皆四
因之也(甲乙丙各有兩分母若化整為零當以分母矣/相乗為原數母互乗子為所用之分殊多事)
二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正
四又四之一得正十七(以一丙與甲乙四之三較不/足四又四之一若以四丙與)
(四个甲乙四之三較亦不足四/个四又四个四之一是為十七)
問有數九百六十以四人差等分之乙與甲如二與八
丙與乙如三與七丁與丙如四與六各幾何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二
丁四十八
法以共數命為和相當數命為較依和較襍法列之
乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可當二甲也
丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可當三乙也
丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可當四丙也
(推此知二八三七四六各/種差分皆可以方程御之)
首次兩行如法互乗減併訖重列之取出第三行與
之為耦
如法減併訖又重列之(兩次減餘皆和數/可見立負之非)
又取末行與之為耦而列之
如法乗 丙減盡 丁併得四百八十為法 正二
萬三千○四十無減就為實 法除實得四十八為
丁數 六因丁數得二百八十八以相當之四丙除
之得七十二為丙數 七因丙數得五百○四以相
當之三乙除之得一百六十八為乙數 八因乙數
得一千三百四十四以相當之二甲除之得六百七
十二為甲數
試以甲併乙共八百四十以八因之得甲數若二因亦
得乙數是乙數甲二八差分也 試以丙併乙共二
百四十以七因之得乙數若三因亦得丙數是丙與
乙三七差分也 併丙丁共一百二十以六因之得
丙數若四因亦得丁數是丁與丙四六差分也
又試以八除甲數得八十四以二除乙數亦得八十四
若以八十四除甲數必得八以八十四除乙數必得
二也 又試以七除乙數以三除丙數皆得二十四
若以二十四除乙數必得七除丙數必得三也 以
六除丙數以四除丁數皆得十二若以十二除丙數
必得六除丁數必得四也
問有數七百四十一以四人分之乙于甲為三之二丙
于乙為五之三丁于丙為七之五各㡬何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十
六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙當二甲也丙得乙五之三
是五丙當三乙也丁得丙七之五是七丁當五丙也
故皆命以適足而列之
先以孟仲兩行如法互乗減併訖列其餘數取出叔行相對
如法減併又列其餘與季行相較
如法減併 丁二百四十七為法 正二萬二千二
百三十為實 法除實得九十為丁數
七因丁數五除之得一百二十六為丙數 五因
丙數三除之得二百一十為乙數 三因乙數二除
之得三百一十五為甲數
問有數七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如
甲五之二丁如甲七之二各幾何
因前問中有疉數故作此問以互明之
乙三當甲二而丙五又當乙三是丙五亦當甲二也
丙五當甲二而丁七又當丙五是丁七亦當甲二也
(又丁七亦當乙三今/云兩者以甲為主也)
在西法謂之連比例
上 中 下
首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲減盡
乙異併得五(正/)丙二(正/)丁二(正/)正一千四百八十
二皆無減(皆仍為和同名/在一行故也)
次行乗三行因兩首位同不用乗竟以對減 甲減
盡乙三(次行/負也)丙五(三行/負也)皆無減命為正負適足(同名在兩行/故為較數)
三行末行首位亦同亦徑減 甲減盡 乙空 丙
五(三行/負也)丁七(末行/負也)皆亦無減命為正負適足(亦同名/在兩行)
乃以減餘重列之如三色有空之法
如法減併得二百四十七為法二萬二千二百三十
為實 法除實得丁數以次求得甲乙丙數皆如前
問之數
問有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六
差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出
率則如上户六之四
畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九
十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十
户共一百九十五石二斗
法以和較列位
如法互乗得四 甲同減盡 乙異併三百一十六
户為法 米一千五百四十二石○八升無減就為
實 法除實得四石八斗八升為下等戸則例 以
下等六户乗其則例得二十九石二斗八升以相當
之上等四户除之得七石三斗二升為上等户則例
問有米三百一十七石給與四色人户甲二十户乙三
十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙
每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各幾何
畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石
乙每户二石一斗 三十户共六十三石
丙每户一石四斗 四十户共五十六石
丁每户六斗 五十户共三十石
法列位
首行甲二十户十倍於次行甲正二但以首行甲退
一位作二則齊同矣甲退十為單其下各位皆退十
為單即如互遍乗而可以對減矣
乃以減併之餘重與第三行列之
又以減併之餘重與第四行列之
依法求得六百三十四為法 三百八十石○四斗
為實 法除實得六斗為丁户則例 七因丁則得
四石二斗丙三除之得一石四斗為丙則 六因丙
則四除之得二石一斗為乙則 四因乙則得八石
四斗為甲則
(此條有省算/法說見後卷)
此上數條皆變零從整法也
有兩數相較而為十之八十之七者即非二八三七
差分也有二例見末卷
瓔珞方程例
瓔珞者言其聨綴而垂象瓔珞也謂之疉脚
凡算方程皆以多色逓減至一法一實以先知一色之
數然此所先求之一色却原帶有不同之數則法一
而實非一故以一總法而除多實非疉脚之法不可
也(亦有以下為法上為實者則實一而法有/多名在合問者之所求而定之詳刋誤條)
今有大江南北兩處糧艘載米不同因氷程逺近給耗
米亦不等但云南船三隻北船兩隻共運米一千九
百七十石外給耗米共六百六十八石又南船一隻
北船四隻共運米一千九百九十石外給耗米五百
五十六石問各船正耗米數以便稽核
畣曰北船每隻正運米四百石 給耗米一百石
共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升
南船每隻正運米三百九十石 給耗米一百五
十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石給耗米四斗
法各列位
先以左行南船一遍乗右行各得原數
次以右行南船三遍乗左行得數 南船三與右減
盡 北船十二減去右二餘十隻為總法
正運米五千九百七十石減去右一千九百七十石
餘四千石為運米實
耗米一千六百六十八石減去六百六十八石餘一
千石為耗米實
以總法除正運米實得四百石為北船每隻運數
以總法除耗米實得一百石為北船每隻耗米數(總/計)
(正耗得北船毎/隻米五百石)
任于左行總運米一千九百九十石内減北船四隻
該運米一千六百石餘三百九十石為南船一隻運
數(一故不除運或于右行運一千九百七十石内減/北船二隻 八百石餘一千一百七十石以南船)
(三隻除之亦得/三百九十石)
于左行總耗米五百五十六名内減北船四隻該耗
四百石餘一百五十六石為南船一隻運數(或于右/行耗六)
(百六十八石内減北船二隻耗二百石餘四百六十/八石以南船三隻除之亦得一百五十六石)總
計正耗得南船每隻米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石給耗米二
斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六
石得每石給耗四斗
此問每船米數故以船為法米為實
若問每米一萬石該用幾船則以減餘船十隻用異乗
同除以一萬乗得十萬為總船實 以運米減餘四
千石為法 法除實得二十五為每運米一萬石用
北船之數 于是任以右行北船二隻亦用異乗同
除以一萬石乗之二十五船除之得八百石以減共
米一千九百七十石餘一千一百七十石又用為法
以右行原列南船三乗一萬石得三萬石為實法除
實得二十五隻又三十九分之二十五為每米一萬
石用南船之數
若問耗米給過五千石該得幾船者則亦用異乘同除
以五千石乘減餘十隻為北船實 以減餘耗米一
千石為法除實得五十隻為每耗米五千石給北船
之數 任以右行北船二隻五千石乘之五十隻除
之得二百石以減共耗六百六十八石餘四百六十
八石又用為法以原列南船三乘五千石為實法除實
得三十二隻又三十九分之二為每耗米五千石給南船
之數
假如有南運艘二隻以比北三隻則南船運米不及北
四百二十石其南船帶耗米反多于北一十二石若
以南船三當北船五則南船運米不及北八百三十
石其耗米亦不及北三十二石問各幾何
法以正負列位
上 中 下
如法乗減餘北船一隻為總法
運米同減餘四百石為運米實即為北船每隻運數
(總法一故/不除下同)耗米異併得一百石為耗米實即為北船
每隻耗數
任以右行北船三乗其運數得一千二百石同減負
四百二十石餘七百八十石以南船二除之得三百
九十石為南船運數
以右行北船三乗其耗數得三百石異加正十二石
共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石
為南船耗數
若問毎米一萬石須幾船運者則以減餘北船一以一
萬石乘之為船實 以減餘四百石為運米法法除
實得二十五隻為北船每運一萬石之數 又以一
萬石任乗右行北船三以二十五隻除之得一千二
百石同減負四百二十石餘七百八十石又為法以
一萬石乘南船二為實法除實得二十五隻又三十
九分船之二十五為南船毎運一萬石之數
若問耗米五千石該給幾船者則亦以五千石乘減餘
北船一隻為船實 以減餘一百石為耗米法法除
實得五十隻為北船耗米五千石之船數 又以五
千石乗右行北船三以五十隻除之得三百石異加
正十二石共三百一十二石又為法以五千石乗南
船二為實實如法而一得三十二隻又三十九分船
之二為南船耗米五千石之船數
此因耗米與正運不同故也若耗米亦以一萬石
為問則北船之實皆同
今有墨一百二十七錠研六十六枚給與修史局六十
人校書局六十三人又有墨五十八錠研三十二枚
給與修史局二十四人校書局四十二人問各㡬何
畣曰史局每人墨一錠又六分之四(六人十/錠也)研四分
之三(四人共/三研)校書局毎人墨七分之三(七人共/三錠)研三
分之一(三人共/一研)
法各列位
如法乗減餘校書一千○○八人為總法
墨餘四百三十二為墨實
研餘三百三十六為研實
以總法除墨實得七分之三為校書局給墨數(七人/得墨)
(三/錠) 就以七人除右行校書六十三人以墨三錠乘
之得二十七錠以減總給一百二十七錠餘一百錠
以史局六十人除之得一錠又六分之四(六人得四/錠并整數)
(為六人/十錠)為史局給墨數
又以總法除研實得三分之一為校書局給研數(三/人)
(共/一) 就以三除校書六十三人得二十一研以減總
給研六十六餘四十五研以史局六十人除之得四
分之三(四人/三研)為史局給研數
問修艌船隻内有舊船二隻新船一隻共用桐油二百
六十斤麻一百三十斤釘十七斤石灰二百一十斤
計工兩月有半又舊船一隻新船三隻共用桐油二
百八十斤麻一百四十斤釘十六斤灰二百三十斤
工兩月有半其新舊船各㡬何
畣曰每新船一隻 用桐油六十斤 麻三十斤
釘三斤 灰五十斤 每工一月修兩隻
每舊船一隻 用桐油一百斤 麻五十斤 釘七
斤 灰八十斤 每工一月修一隻
法各列位
先以左舊船一遍乗右行如故
次以右舊船二遍乗左行得數 乃相減 上位舊
船對減盡中位新船減餘五為總法
下位油相減餘三百斤為新船油實(以總法除之得六/十斤為新船油數)
麻相減餘一百五十斤為新船麻實(以總法除之得三/十斤為新船麻數)
釘相減餘一十五斤為新船釘實(以總法除之得三/斤為新船釘數)
灰相減餘二百五十斤為新船灰實(以總法除之得五/十斤為新船灰數)
任以左行新船三隻乗其油數得一百八十斤以減總
油二百八十斤餘一百斤為舊船一隻油數
以新船三隻乗其麻數得九十斤以減總麻一百四
十斤餘五十斤為舊船一隻麻數
以新船三隻乘其釘數得九斤以減總釘一十六斤
餘七斤為舊船一隻釘數
以新船三隻乘灰數得一百五十斤以減總灰二百
三十斤餘八十斤為舊船一隻灰數
此為以船求油麻等故以船為法以麻油等為實
乃以減餘新船五隻為總實
以減餘工兩月半為法 法除實得二隻為每工一
月修新船之數就以二隻除左行新船三隻得一月
有半以減總工兩月半餘一月以除舊船一隻如故
得每工一月修舊船一隻
此以工求船故以工為法船為實與前相反
重審方程例
凡算方程皆以有總數無各數故逓減以求之然有并
其總數亦隠者此當用兩次求之故曰重審
假如品官祿米不知數但云甲支三品俸四个月又帶
支四品俸五个月乙支三品俸六个月又帶支四品
俸五个月亦不知甲乙各得數但云以甲十三分之
一益乙則三百五十石若以乙十一分之三益甲亦
三百五十石問兩品禄米各幾何
荅曰三品毎月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此當先求出甲乙兩家支過禄米再求各品月俸
謂之重審先以帶分法列位
上 中 下
左甲之一分遍乗右行如故
右甲之十三分遍乗左行得數
甲減盡 乙減餘一百四十分為法 餘俸四千二百
石為實 法除實得三十石為乙之一分 以乙分
母十一乗其一分得三百三十石為乙支過米數
以乙支過米數減總三百五十石餘二十石為甲之
一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石為
甲支過米數
既得兩家支過米數乃重列之以求品俸
如法左右乗減 餘四品十月為法 餘俸米二百
四十石為實 法除實得二十四石為四品每月俸
以四品五月計一百二十石減甲支二百六十石
餘一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石
為三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知數但云甲支一品俸四
个月又帶支二品俸五个月乙支一品俸六个月又
帶支二品俸十个月亦不知甲乙支過數但云取乙
本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本
色三分之二以益乙則八百六十五石 取乙折色
五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之
一以益乙則五百七十九石問各幾何
畣曰一品月俸八十七石
内實支本色一半四十三石五斗 折色鈔一
半數同二品月俸六十一石
内實支本色六分三十六石六斗 折鈔四分
二十四石四斗
法當重審 先求本色依帶分法列位
上 中 下
如法乗減 餘乙之七分為法 餘本色一千四百
六十三石為實實如法而一得二百○九石為乙本
色之一分以減右行共本色五百六十六石餘三百
五十七石為甲支過本色數 又以乙分母三乗其
一分得六百二十七石為乙支過本色數
計開
甲支過本色三百五十七石(内一品俸四个月/二品俸五个月)
乙支過本色六百二十七石(内一品俸六个月/二品俸十个月)
次求折色 亦依帶分列位
如法左右乗減 乙餘十八分為法 餘折色一千
八百一十八石為實 法除實得一百○一石為乙
折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石為乙
支過折色數 以乙之二分乗其一分得二百○二
石以減共折色四百九十八石餘二百九十六石為
甲支過折色數
計開 甲支過折色二百九十六石(内亦一品俸/四个月二品)
(俸五/个月)
乙支過折色五百○五石(内亦一品俸六/个月二品俸十)
(个/月)
既得甲乙兩家支過本折然後乃求各品月俸
依疊脚法列其所得本折而重測之
如法遍乗得數 上位一品減盡 中位二品餘十
个月為總法 下位本色餘三百六十六石為本色
實
折色餘二百四十四石為折色實
乃以總法除本色實得三十六石六斗為二品毎月俸
本色數 以乙二品十个月計三百六十六石減乙
共本色六百二十七石餘二百六十一石以乙一品
六个月除之得四十三石五斗為一品月俸本色
又以總法除折色實得二十四石四斗為二品月俸折
色 以乙二品十个月計二百四十四石減乙共折
色五百○五石餘二百六十一石以乙一品六个月
除之亦得四十三石五斗為一品月俸折色(其右行/亦可互)
(求則先得/甲數也)
于是以一品本色折色併之得每月俸八十七石(本折/各半)
(支/)
以二品本折併之得毎月俸六十一石(四六支本色/六分折色四)
(分/)
厯算全書卷四十一