歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書卷四十七

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　句股闡微卷二

　句股積求句股弦句股積與弦較較求諸數

　　第一法

假如句股積(一百/二十)弦較較(十二/)

法以積四之得(四百/八十)弦較較自之(一百四/十四)兩數相減餘

(三百三/十六)折半(一百六/十八)為實弦較較(十/二)為法除之得句股

較(十/四)以加弦較較(十/二)共得(二十/六)為弦(有弦有句股較/即諸數可求)

論曰甲乙丙丁合形為弦自乗大方幂甲小方為句股

較幂弦幂内減句股較幂所餘丙乙丁磬折形原與四

　　　　　　　　　句股積等於中又減去乙小方

　　　　　　　　　為弦較較自乗幂仍餘丁丙二

　　　　　　　　　長方並以句股較為其長以弦

　　　　　　　　　較較為其濶故折半而用其一

為實以弦較較為法除之得句股較矣(是以濶求長/)

　　第二法

置四句股積(四百/八十)與弦較較自幂(一百四/十四)相加得共(六/百)

(二十/四)折半(三百/十二)為實弦較較(十/二)為法除之得(二十/六)為弦

弦内減去弦較(十/二)得餘(十/四)為句股較

論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形

如己為弦較自乗幂與乙等又丁丙二長方原相等於

是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣(並/以)

　　　　　　　　　(弦較較為濶/以弦為長)故折半而用其一

　　　　　　　　　為實以弦較較為法除之即得

　　　　　　　　　弦矣(亦是以濶求長/)

　　第三法

置四句股積(四百/八十)為實弦較較(十/二)為法除之得(四/十)為弦

較和以弦較較(十/二)加弦較和四十得(五十/二)折半(二十/六)為

弦以弦較較(十/二)減弦較和(四/十)得(二十/八)折半(十/四)為句股較

於前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊

　　　　　　　　　　　為乙丙戊長方其長如弦

　　　　　　　　　　　較和其闊如弦較較故以

　　　　　　　　　　　弦較較除之得弦較和(若/以)

　　　　　　　　　　　(弦較和除之/亦得弦較較)

　　又簡法

置句股積(一百/二十)為實以弦較較(十/二)半之得(六/)為法除之

得(二/十)為半弦較和以半弦較較(六/)加半弦較和(二/十)得(二/十)

(六/)為弦又以半較(六/)減半和(二/十)得(十/四)為句股較

論曰長方形濶(十/二)如弦較較長(四/十)如弦較和其積如四

　　　　　　　　　　句股今只用一句股積是四

　　　　　　　　　　之一也積四之一者其邊必

　　　　　　　　　　半觀圖自明

句股積與弦較和求諸數

　　第一法

假如句股積(一百/二十)弦較和(四/十)

法以積四之得四百八十弦較和自之得(一千/六百)兩數相

減餘(一千一/百二十)折半得(五百/六十)為實弦較和(四/十)為法除之得

(十/四)為句股較以減弦較和得(二十/六)為弦弦自乗(六百七/十六)

加四句股積(四百/八十)得(一千一百/五十六)平方開之得(三十/四)為句

股和以與句股較(十/四)相加得(四十/八)折半(二十/四)為股又相

減得(二/十)折半得(一/十)為句

　句(一十/)　　　股(二十四/)　　弦(二十六/)

　句股和(三十/四)　句股較(十四/)　弦較和(四十/)

　弦較較(十二/)

　　　　　　　　　　論曰總方為弦較和(四/十)自乗

　　　　　　　　　　之幂内分甲戊己方為弦自

　　　　　　　　　　乗幂乙小方為句股較自乗

　　　　　　　　　　幂於弦幂内減去戊己磬折

　　　　　　　　　　形即四句股積則所餘者甲

小方即句股較幂與乙方等以甲小方合丁長方即與

乙丙長方等(以丁丙小長/方原相等故)此二長方並以句股較(十/四)為

濶以弦較和為長(四/十)故折半而用其一為實弦較和(四/十)

為法除之即得句股較(是為以/長求濶)

　　第二法

弦較和自乗(一千/六百)與四句股積(四百/八十)兩數相加(二千○/八十)

折半(一千○/四十)為實弦較和(四/十)為法除之得(二十/六)為弦以

減弦較和得(十/四)為句股較餘如前(觀後圖自明/)

　　第三法

置四句股積(四百/八十)為實弦較和(四/十)為法除之得(十/二)為弦

較較餘同弦較較第三法

　　又簡法

句股積(一百/二十)為實弦較和(四/十)半之得(二/十)為法除之得(六/)

為弦較較之半餘並同弦較較簡法

　　　　　　　　　論曰乙丁丙甲戊己合形為弦

　　　　　　　　　較和(四/十)自乗之大方外加一庚

　　　　　　　　　辛長方為四句股積與戊己磬

　　　　　　　　　折形等於是中分之為兩長方

(乙丁庚辛合為左長方/丙甲己戊合為右長方)並以弦為濶(二十/六)弦較和(四/十)為

長故折半為實以弦較和除之得弦(亦為以長求濶/)

借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句

股積而其濶(十/二)如弦較較其長(四/十)如弦較和是(十/二)與(四/十)

相乗之積也故以弦較較除之得弦較和若以弦較和

除之即復得弦較較

若庚辛長方横直皆均剖之成四小長方則其濶皆(六/)

加半較其長(二/十)如半和而其積皆(一百/二十)為一句股積矣

此又簡法之理也

句股積與弦和較求諸數

　　第一法

假如句股積(六千七/百五十)弦和較(六/十)

法以弦和較自之得(三千/六百)與四句股積(二萬/七千)相減餘(二/萬)

(三千/四百)折半(一萬一/千七百)為實弦和較(六/十)為法除之得(一百九/十五)

為弦加較(六/十)得句股和(二百五/十五)弦幂内減四句股積開

方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半

得句

　句(七十五/)　　　股(一百八十/)　　弦(一百九十五/)

　句股和(二百五/十五)　句股較(百○五/)　弦和和(四百五/十)

　弦較和(三百/)　　弦和較(六十/)　　弦較較(九十/)

　　第二法

以弦和較自乗(三千/六百)與四句股積(二萬/七千)相加得(三萬○/六百)

折半(一萬五/千三百)為實弦和較(六/十)為法除之得(二百五/十五)為句

股和内減弦和較(六/十)得(一百九/十五)為弦

　　　　　　　　論曰丁丙方為句股和自乗方幂

　　　　　　　　内減甲戊方為弦自乗幂其餘丁

　　　　　　　　戊丙磬折形四句股積也内減戊

　　　　　　　　乙小方為弦和較自乗積則所餘

　　　　　　　　丁戊長方與戊丙長方等而並以

弦為長弦和較為濶故以弦和較除之得弦此第一法

減四句股積之理也

若於丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃

併之為庚戊長方與辛乙等並以句股和為長弦和較

為濶此第二法加四積之理也(兩法並以濶求長/)

　　第三法

置四句股積(二萬/七千)為實弦和較(六/十)除之得(四百/五十)為弦和

和以與弦和較相加折半為句股和又相減折半為弦

此如有句股積有容圓徑而求句股弦乃還元之法也

　　　　　　　　　論曰前圖中辛乙長方并戊丙

　　　　　　　　　長方是四句股積聯之為辛丙

長方則其濶丁辛弦和較也其長丁丙弦和和也

　　又簡法

置句股積(六千七/百五十)為實半弦和較(三/十)除之得(二百二/十五)為

半弦和和以與半弦和較相加得二百五十五為句股

和又相減得(一百九/十五)為弦　此如有容圓半徑以除句

股積而得半弦和和句股積與弦和和求諸數

　　第一法

假如句股積(六千七/百五十)弦和和(四百/五十)

法以積四之得(二萬/七千)弦和和自之得(二十○萬/二千五百)兩數相

減餘(十七萬五/千五百)折半(八萬七千/七百五十)為實弦和和(四百/五十)為法

除之得(一百九/十五)為弦以減弦和和得(二百五/十五)為句股和

　　第二法

以四句股積與弦和和幂兩數相加得(二十二萬/九千五百)折半

得(十一萬四千/七百五十)為實弦和和(四百/五十)為法除之得(二百五/十五)

為句股和以減弦和和得(一百九/十五)為弦

論曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也

　　　　　　　　　　與丁丙方等丁乙方句股和

　　　　　　　　　　自乗也於丁乙内減去丁丙

　　　　　　　　　　弦幂則所餘者四句股積即

　　　　　　　　　　壬乙丙戊二小長方也而己

　　　　　　　　　　辛小長方與丙戊等則己乙

長方亦四句股積也今於甲乙大方内減去己乙則所

餘者甲戊己戊二長方並以弦為濶弦和和為長故以

弦和和除之而得弦此第一法減四句股積之理也是

為以長求濶

又論曰若於甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而

中分之於癸戊則癸乙與癸庚兩長方等並以句股和

為濶弦和和為長故以弦和和除之而先得句股和此

苐二法加四句股積之理也亦是以長求濶

　　第三法

置四句股積(二萬/七千)為實弦和和(四百/五十)除之得弦和較(六/十)

此如併句股弦除四倍積而得容員徑

　　又簡法

置句股積(六千七/百五十)為實半弦和和(二百二/十五)除之得半弦

和較(三/十)此如合半句半股半弦除積得容員半徑

欲明加減用四句股之理當觀古圖

　　　　　　　　　　甲乙丙句股形　甲丙句六

　　　　　　　　　　　甲乙股八　乙丙弦十

　　　　　　　　　　甲丁句股和十四　壬辛句

　　　　　　　　　　股較二甲己大方句股和自

乗冪也其積一百九十六　丙戊次方弦自乗冪也其

積一百　壬庚小方句股較自乗冪也其積四　甲己

和冪内減弦冪所餘者四句股也　弦冪内減較冪所

餘者亦四句股也　句股之積並二十四

甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股較二甲丙方爲

句股和自乗冪(一百九/十六)内減癸辛弦冪(一/百)餘(九十/六)爲甲

己丙磬折形(亦卽四/句股積)内分甲己直形移置於丙戊成乙

戊長方卽爲弦(和較乗/弦和和)又壬丁小方爲句股較自乗其

冪四以減弦冪一百餘九十六爲癸壬辛巳磬折形(亦/卽)

　　　　　　　　　　　　　　(四句/股積)内分癸壬直

　　　　　　　　　　　　　　形移置於辛庚成

　　　　　　　　　　　　　　己庚長方卽爲弦

　　　　　　　　　　　　　　較較乗弦較和

假如方環田有積有田之濶問内外方各若干

法以積四之一爲實田濶除之得數爲内外二方半和

與田濶相加得外方又相減得内方(葢田濶卽如半較/)

若但知外方及内小方及環田積法即并大小方邊為

和以除積得數為較較與和相加折半為外周大方又

相減折半為小方以兩方之較折半為環田濶

若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但

只可求大小方邊不能知濶

總論曰弦較較乗弦較和之積與弦和較乗弦和和之

積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學

者所宜深玩

又如有辛庚壬圓池不知其徑法於乙作甲乙直線切

員池於庚又乙丙横線切圓池於壬乙為正方角又自

　　　　　　　　　　丙望甲作斜線切員池於辛

　　　　　　　　　　乃自丙取乙丙之度截斜線

　　　　　　　　　　於丁又自甲取甲乙之度截

　　　　　　　　　　斜線於戊末但量丁戊有若

干尺即圓池徑

解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙弦於丁則丁

甲為句弦較甲乙股截弦於戊則戊丙為股弦較而丁

戊為弦和較故即為圓徑　其句股弦不必問其丈尺

但取三直線並切員而乙為方角足矣故為測員簡法

(凡城堢墩臺錐塔員柱之/類形正員者並同一法也)

句股容方(係鮑燕/翌法)

句股形引股線法

即依正角作方形於形外　又即引小形成大形

甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令

　　　　　　　　乙丁與戊丁等

　　　　　　　　法曰以乙丙分甲乙得數減一餘

　　　　　　　　用歸甲乙得之

　　　　　　　　解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲

丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分數等

然則減一者雖似于甲乙分數内減乙丙之一分實于

甲丁分數内減丁戊之一分也(即乙丁/之一分)故以減餘分甲

乙而得

(勿菴又法句股相乗為實句股較為法/除之亦即得所引乙丁與乙戊同數)

句股形截股法

即依正角作方形於形内　又即截大形成小形

甲丁戊句股形内今欲截甲丁股於乙甲戊弦于丙而

　　　　　　　　令乙丁與乙丙等

　　　　　　　　法曰以丁戊分甲丁得數加一共

　　　　　　　　用歸甲丁得之　(勿菴又法句股/相乗為實句股)

　　　　　　　　(和為法除之亦即得所截乙丁/與丁丙同數即句股容方法)

解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁

與以乙丙分甲乙所得之分數等然則加一者雖似于

甲丁分數外加丁戊之一分實于甲乙分數外加乙丙

之一分也(即乙丁/之一分)故以加共分甲丁而得

若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之

按後一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所

設殊新要其理亦相通耳(勿菴/補例)

設甲乙股十六　乙丙句八　今引甲乙股長出至丁

　　　　　　　而令引出之乙丁股分與所當之丁

　　　　　　　戊句等問若干答曰乙丁十六

　　　　　　　法以乙丙句(八/)甲乙股(十/六)相乗得(一/百)

(廿/八)為實句股相減得較(八/)為法除之得乙丁引出一十

六與丁戊句相等　若如鮑法以句(八/)除股(十/六)得(二/)内

減去一仍餘一用為法以除股(十/六)仍得(十/六)為乙丁

又設甲乙股(四十八/)乙丙句(十二/)依法引出乙丁股(十/)

(六/)與丁戊句等

　　　　　　　　法以句十二乗股(四十八/)得積(五/百)

　　　　　　　　(七十/六)為實　句減股得較(三十/六)為

　　　　　　　　法除之得(十六/)為乙丁

或以句(十二/)除股(四十八/)得數(四/)内減(一/)餘(三/)為法以

除股(四十八/)亦得(十六/)為乙丁

又設甲乙股(六/)乙丙句(四/)依法引出乙丁股(十二/)與丁

戊句等法以句乗股得(二十四/)為實　句股較(二/)為法

除之得(十二/)為乙丁

或以句(四/)除股(六/)得(一半/)内減一餘(半/)為法以除股(六/)

　　　　　　　亦得(十二/)為乙丁

　　　　　　　解曰半為除法則得倍數此畸零除

　　　　　　　法也詳别卷

又設甲乙股(三十/)乙丙句(十二/)依法引出乙丁股(二十/)

與丁戊句等

法以句乗股得(三百六十/)為實句股較(十八/)為法除之

得乙丁(二十/)

　　　　　　　或以句(十二/)除股(三十/)得(二半/)内減

　　　　　　　一餘(一半/)為法以除股(三十/)亦得乙

　　　　　　　丁(二十/)

解兩法相同所以然之故　葢此是依句股正角(即乙/角)

作正方形於形之外也本法以句弦較為法除句股形

倍積(即句股/相乗)今不用句股較之本數而用其除過之句

股較為法(以句除股則股内所原帶句數及句股較數/並為句所除而減去其一即減去除過之句)

(也用減餘為法即是用其/除過之句股較為法也)故亦不用句股形之倍積而

用其除過之倍積為實(倍即是句股相乗之數若以句/除之必仍得股今徑以股數受)

(除即是用其除過/之倍積為實也)法實並為除過之數則其理相同而

得數亦同矣

　以上補第一條之例

設甲丁戊形甲丁股(廿/八)丁戊句(廿/一)甲戊弦(三十/五)欲截甲

　　　　　　　丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截

　　　　　　　之乙丁與乙丙等問其數若干

　　　　　　　答曰乙丁一十二

法以甲丁股(二十/八)丁戊句(二十/一)相乗得(五百八/十八)為實併

句股得和(四十/九)為法除之得(一十/二)為所截乙丁與乙丙

截句等

如鮑法以句(二十/一)除股(二十/八)得一(又三/之一)又外加一數共

二(又三/之一)為法(通作/七)用以除股二十八(通作八/十四)亦得(十二/)

為乙丁截股

設甲丁股(三百四/十五)丁戊句(一百八/十四)弦甲戊(三百九/十一)欲截

乙丁與乙丙等該若干　答曰一百二十

　　　　　　法以句(一百八/十四)股(三百四/十五)相乗得(六萬/三千)

　　　　　　(四百/八十)為實句股和(五百二/十九)為法除之得

　　　　　　所截乙丁(一百/二十)與截句乙丙等

或以句(一百八/十四)除股(三百四/十五)得一(又八之七/)又外加一

共二(又八之七/)通作(二十三/)為法以股(三百四/十五)通作(二/千)

(七百/六十)為實法除實亦得(一百二十/)為乙丁截股

解兩法相同所以然之故　葢此是依句股形正角作

方形於内(即句股/容方)也本法以句股和為法除句股形倍

積(即句股/相乗)今不用句股和本數而用其除過之句股和

為法(股被句除既變為除過之股而得數中之一其本/數皆與句同今於得數又加一是又加一除過之)

(句合之則共為除/過之句股和矣)故即用股為實以當除過之倍積法

與實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣

　以上補第二條之例

按數度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖

亦不真今于此第一例中生二法補之

分角線至對邊(亦係/鮑法)

甲乙丙句股形　今平分乙方角作乙丁線至對邊弦

欲知丁㸃之所在

法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形

　　　　　　次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙

　　　　　　弦或甲丁弦即得

甲乙丙句股形　今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知

丁㸃所在

法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜

　　　　　　　方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜

　　　　　　　方取甲子癸小句股形補壬寅丑虚

　　　　　　　句股形成甲寅長方此即句股相乗

實以句弦和除之也(甲乙為弦/乙壬即句)得壬寅邊

丙甲辛句股形中(即甲乙丙/原設形)作甲卯垂線至丙辛弦(法/另)

(具/)于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸(即丁/己)

成丁己乙戊四斜方形

次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或

丁甲即得

按上鮑法此寅甲長方為句弦和除句股形倍積所得

壬寅邊必小于句股容方之邊其内容丁己乙戊四斜

方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可

以得容方邊矣(容方邉除倍積得句股和以減/句弦和得股弦較即其他可知)

求丁己線法　一率甲丙股　二率甲乙弦　三率壬

寅　四率丁己(即壬丑/)

甲乙丙鋭角形　求分乙角作線至甲丙邊之丁㸃

　　　　　　　法於形中求得辰丙垂線(丙辛甲形/即甲乙丙)

　　　　　　　(形故其/垂線等)用丙長線乗乙丙所得即辛

　　　　　　　乙長斜方形自此以下至成丁己乙

　　　　　　　戊四斜方(並同/前法)

次用比例法　一率甲乙　二率甲丙　三率丁戊

四率得丁丙

或一率甲乙　二率甲丙　三率甲己　四率甲丁

甲乙丙鈍角形　法先從形外求得甲辰外垂線　引

乙丙線與之相遇　次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長

　　　　　　　斜方形　餘同前法

　　　　　　　甲乙丙鈍角形　甲辰垂線在形外

　　　　　　　與右圖同法

　　　　　　　鼎按若依幾何六卷三題法甚㨗

句股容員

甲乙丙句股形　求容員徑卯戌(即丁辛/)

法於甲丙弦上截丁丙如句(乙/丙)又截甲辛如股(乙/甲)因得

丁辛即容員之徑

試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形(自丁作弦之垂/綫至戊又引乙)

(丙句遇于戊/即成此形)又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形(自/辛)

(作弦之垂線長出至/氐引甲乙股遇于氐)又作戊戌房句股形(引戊丁股至/房如弦之度)

(自房作垂線/至戌即成)乃自甲自戊各為分角綫遇於己成十字

則己即容員心也又引十字綫透出而以甲己為度截

之於癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作

　　　　　　　　　　　辛氐及房戊之垂線穿而

　　　　　　　　　　　過之與癸辰線遇於辰又

　　　　　　　　　　　引氐辛線至癸引房戌線

　　　　　　　　　　　至女得女辰女房癸辰癸

　　　　　　　　　　　氐四線皆如甲丙弦女卯

　　　　　　　　　　　女亢癸丑癸未四線皆如

甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女

卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱

横相叠並以容員心己㸃為心此同心八句股形各線

相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而

立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原

形之弦而立即所謂弦和較也此兩形者皆相等而其

方邊並與容員徑等即容員徑上之方幂也

然則何以又為弦和較試即以原弦論之甲丙弦上所

截之丁丙即句也甲辛即股也句股相併即重叠此丁

辛一邊是句股和多於弦之數古人以弦和較為容員

徑葢謂此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各

有此重叠之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣

(因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股/形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯)

相似兩句股并求簡法

假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之

兩句股形今欲求兩形之兩句合線(兩句者一為己辛/大句一為壬乙小)

(句即辛甲也則己/甲為兩句合線)

法以兩弦(一癸己大弦/一癸乙小弦)并之為三率以癸角之正弦(兩/癸)

　　　　　　　　　　　　(角等只/用其一)為二率二三相

　　　　　　　　　　　　乗為實半徑全數為法

　　　　　　　　　　　　實如法而一得四率己

　　　　　　　　　　　　甲即(己辛/壬乙)兩句之合

　　　　　　　　　　　　數

　　　　　　　　　　　　何以知之曰試引癸己弦

至丁截己丁弦如癸乙則丁癸即兩弦合數也乃以癸角

之正弦乗之半徑(全/)除之即得丁丙而丁戊即壬乙(以/己)

(丁即癸乙也/亦即甲辛)戊丙即己辛(同在直線/限内也)則所得丁丙亦即

己甲矣

　　　　　　　　　　　有句股和有弦求句求股(量/法)

　　　　　　　　　　　乙甲句股和　丙甲弦

　　　　　　　　　　　原法以甲為心作乙己卯

　　　　　　　　　　　象限　又以丙甲弦半之

　　　　　　　　　　　於丁以丁為心作甲戊丙

　　　　　　　　　　　半圓

次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢

試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二綫

則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己㸃正

切處難真今别立法求己㸃

法曰自丁㸃作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界

作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲

作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問

如此則徑得辛㸃不用屢試得數既易且真確矣

論曰凡平員内作兩通弦至員徑兩端必為句股而員

徑常為弦今既以丙甲弦為半員徑則其辛丙與辛甲

兩通弦必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和

也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛

等為小員之半徑即等為句線矣於己甲句股和内截

己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也

又論曰半員内所容句股形以半方形為最大(即甲戊/丙也其)

(餘皆半長方形/之句股故小)其句股和亦最大(丙戊句甲戊股相等/其和甲戊庚為最大)

(其餘股長者句反甚小/故其和皆小于甲戊庚)即弦上方幂之斜徑也(甲未庚/丙為弦)

(上平方幂甲戊/庚為其斜徑)以此為象限之半徑(如辰庚亥象限其/半徑辰甲及亥甲)

(並與庚/戊甲等)則能容弦上平方(如甲未庚丙平方必/在辰庚亥象限内)又戊心

所作平方外切之平圓亦能容弦上平方(此員以戊為/心以平方四)

(角為界其全徑甲戊/庚即平方之斜徑也)三者相切于庚㸃惟相切不相割

其餘句股和並小(如乙甲和必/小于辰丙)不能包平方之角即不

能外切平員而與之相割矣(如乙甲和為半徑作乙己/卯象限不能包庚㸃即與)

(平員相/割如己)其自庚至丙並可為相割之己㸃而四十五度

之句股具焉(八線表所列之句股只四十五度互相為/正餘句為正弦股即餘弦也分言正弦則)

(初度小而九十度最大也若合正弦餘弦為和/數則初度與九十度皆最小惟四十五度最大)己足以

盡句股之變態矣(若過庚向末亦四十五度己㸃至此餘/其和數反小而與前四十五度為正)

句股和之最大者以略小於弦上斜線而止(凡句股有/和有較皆)

(長方形之半非正半方也若半方形/則有和無較可無用算非句股所設)其最小者以稍大

于弦線而止(若同弦線/即無句股)無有不割平圓故可以己㸃取

之也

又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為

半徑作半圓則能容方斜上平圓(如庚己丙甲未平圓/其徑甲戊庚方斜是)

(即方斜上之平圓也若以甲戊/庚半徑作大半圓即能容之)凡半圓内所容之圓度

每以兩度當外周半圓之一度何則論度必以角惟在

心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度(如辰/庚亥)

(半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度/辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從)

(甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚/己丙象限只作四十五度是兩度當一度以同用甲角)

(故/也)凖此論之則弦上半圓所作之戊甲丙角亦必四十

五度矣(既同用甲角則戊辛丙/象限亦兩度當一度)若是則庚己丙之度與

　　　　　　　　　　戊辛丙等(並同用甲角以/庚辰為度故也)而

　　　　　　　　　　己㸃所割之己丙弧及辛丙

　　　　　　　　　　弧亦必等度矣(己丙為方外/切員之度辛)

　　　　　　　　　　(丙為方内切員之度大小不/同而同用甲角以己乙為其)

　　　　　　　　　　(度角等者/度亦等)

又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度(以/同)

(用丙角/故也)而同為甲角之餘(丙角原為甲角之餘乃甲角/減象限是以己甲乙減象限)

(得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃/甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙)

(辛弧減半周/得辛戊甲也)又己庚丑未弧原為己丙減半周之餘即

與寅丑甲等於此兩弧内各減寅丑未則己庚寅與未

癸甲亦等於是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等

而寅己丙與甲丙己又等(于寅己及甲己/各加一己丙)則丙辛寅及

己辛甲兩直線亦等(皆句股/和也)兩和線相交於辛則交角

等(皆十字/正角)

又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等(己甲丙/三角形)

(與己寅丙等則對丙甲之/己角對己寅之丙角亦等)則角所對己辛邊丙辛邊亦

等矣　凖上論己辛與丙辛必等故用己㸃以求辛㸃

而和數中句股可分也

又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二

㸃其一為己其一為丑自丑作直線至甲心(象限/心也)割半

員於壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等(丑/甲)

(丙角為丙甲壬角之餘與壬丙甲角等而其度丑卯與/己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又)

(同以丙甲為弦是/兩句股形等也)凖此論之凡半員内所作句股皆兩

兩相似(句股之正角必負員周亦兩兩相對如辛㸃在/戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限與之相對)

(皆與象限上己㸃丑㸃相應/其所作句股形亦兩相似)故四十五度能盡句股之

變也(戊丙與戊甲兩象限並兩度當一度其真度/在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度)

試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬

而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲

以是知和數之大至庚甲而極也

凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理

句股和較

弦與句股較(相和即/弦較和)　(加句即/股弦和)　(减股即/句弦較)　(内减弦存/句股較)

　　　　　(相較即/弦較較)　(减句即/股弦較)　(加股即/句弦和)　(用减弦存/句股較)

弦與句股和(相和即/弦和和)　(减弦即/句股和)　(减股即/句弦和)　(减句即/股弦和)

　　　　　(相較即/弦和較)　(加句弦/較即股)　(加股弦/較即句)　(加句弦較股/弦較即弦)

弦與句弦較相和　　(加句即/兩弦)　(减句即兩/句弦較)　(减弦即/句弦較)

　　　　　相較(即/句)

句與股弦較(相和即/句較和)　(加句股/較即弦)　　(减股弦/較即句)　(加句弦較减/股弦較即股)

　　　　　(相較即/句較較)　(加句股較股/弦較即股)　(加股弦/較即句)　(加句股較股弦/較較即弦)

句與股弦和(相和即/句和和)　(减弦即/句股和)　(减股即/句弦和)　(减句即/股弦和)

　　　　　(相較即/句和較)　(减股即/句弦較)　(减弦即/句股較)　(加句即/股弦和)

句與句股較(相和即/股)

　　　　　相較　　(加句股/較即句)　(加兩句股/較即股)

句與句股和相和

　　　　　相較(即/股)　(减股即/兩句)　(加股即兩/句股和)

句與句弦較相和(即/弦)

　　　　　相較　(加句弦/較即句)　(加兩句弦/較即弦)

句與句弦和相和

　　　　　相較(即/弦)

句股較句弦較(相較即/股弦較)　　句股較股弦較(相較即句弦和内减/兩句又兩股弦較)

　　　　　　(相和即股弦/和内减兩句)　　　　　　(相和即/句弦較)

句弦較股弦較(相較即/句股較)

　　　　　　(相和即兩弦内/减一句一股)

句股和句弦和(相較即/股弦較)　　句股和股弦和(相較即/句弦較)

　　　　　　(相和即兩句/一股一弦)　　　　　　　(相和即兩股/一句一弦)

句弦和股弦和(相較即/句股較)

　　　　　　(相和即兩弦/一句一股)

句股較與(句/股)和(相和即/兩股)　句股較與(句/弦)和(相和即/股弦和)　句股較與股弦和相和

　　　　　　(相較即/兩句)　　　　　　　　　　　　　　　　　(相較即/句弦和)

句弦較句弦和(相和即/兩弦)　句弦較與(句/股)和(相和即/股弦和)　句弦較與股弦和相和

　　　　　　(相較即/兩句)　　　　　　　相較　　　　　　　　(相較即/句股和)

弦和較弦和和(相和半之/為句股和)　弦和較弦較和(相和半/之為股)

　　　　　　(相較半/之為弦)　　　　　　　　(相較半之/為句弦較)

弦和較弦較較(相和半/之為句)　　弦和較句較和(相和半/之為句)

　　　　　　(相較半之/為股弦較)　　　　　　　(相較半之/為股弦較)

弦和較句和較(相和半/之為句)　　弦和較句較較(相和半之仍/為弦和較)

　　　　　　(相較半之/為股弦較)　　　　　　　相較即减盡

弦和和弦較和(相和半之/為股弦和)　弦和和弦較較(相和半之/為句弦和)

　　　　　　(相較半/之為句)　　　　　　　　相較(半之/為股)

弦和和句較和(相和半之/為句弦和)　弦和和句和較(相和半之/即股弦和)

　　　　　　(相較半/之為股)　　　　　　　　相較(半之/為句)

弦和和句較較(相和半之/即句股和)　弦較和弦較較(相和半/之為弦)

　　　　　　(相較半/之為弦)　　　　　　　　(相較半之/為句股較)

弦較和句較和(相和半/之為弦)　　弦較和句和較(相和半之為股與句/弦較或弦與句股較)

　　　　　　(相較半之/為句股較)　　　　　　　相較恰盡

弦較和句較較(相和半/之為股)　　弦較較句較和(相和半之為/句與股弦較)

　　　　　　(相較半之/為句弦較)　　　　　　　相較恰盡

弦較較句和較(相和半/之為弦)　　弦較較句較較(相和半/之為句)

　　　　　　(相較半之/為句股較)　　　　　　(相較半之/為股弦較)

句較和句和較(相和半/之為弦)　句較和句較較(相和半/之為句)

　　　　　　(相較半之/為句股較)　　　　　　(相較半之/為股弦較)

句和較句較較(相和半/之為股)

　　　　　　(相較半之/為句弦較)

　厯算全書卷四十七