歷算全書
歷算全書
欽定四庫全書
厯算全書卷五十二
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷三
内容外切(三角測量之用在邉與角而其内容/外切亦所當明故次于算例之後)
内容有二曰本形曰他形
一三角求積
積謂之冪亦謂之面乃本形所有
一三角容員
一三角容方
以上皆形内所容之他形
外切惟一
一三角形外切之員
三角求積第一術
底與髙相乗折半見積
内分二支
一句股形即以句股為底為髙
一銳角鈍角形任以一邉為底而求其垂線為髙
假如句股形甲乙股(一百二/十尺)乙丙句(三十/五尺)求積
術以甲乙股乙丙句相乗(四千二/百尺)折半得積
凡求得句股形積二千一百尺
如圖甲乙股與乙丙句相乗成甲
乙丙丁長方形其形半實半虚故
折半見積
或以句折半(十七/尺半)乗股亦得積(二/千)
(一百/尺)
如圖乙丙句折半於戊以乙戊乗
甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
補甲丁己也
或以股折半(六十/尺)乗句亦得積(二/千)
(一百/尺)
如圖甲乙股折半於己以己乙乗
乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
補戊丁丙也
右句股形以句為底以股為髙若以股為底則句又
為髙可互用也
句股形有立有平若平地句股以句為濶以股為長
其理無二
論曰凡求平積皆謂之冪其形如網目又似窓櫺之空
皆以横直相交如十字亦如機杼之有經緯而成布帛
故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半
則成正剖之半方形矣其他銳角鈍角或有直無横有
横無直必以法求之使成句股然後可算故句股者三
角法所依以立也
假如銳角形甲乙邉(二百三/十二尺)甲丙邉(三百四/十尺)乙丙邉(四/百)
(六十/八尺)求積
術先求垂線用銳角第三術任以
乙丙邉為底以甲丙甲乙為兩弦
兩弦之較數(一百零/八尺)總數(五百七/十二尺)
相乗(六萬一千七/百七十六尺)為實以乙丙底
為法除之得數(一百三/十二尺)轉減乙丙餘數(三百三/十六尺)半之得
乙丁(一百六/十八尺)依句股法以乙丁自乗(二萬八千二/百二十四尺)與甲
乙自乗(五萬三千八/百二十四尺)相減餘數(二萬五千/六百尺)平方開之得
甲丁垂線(一百六/十尺)以甲丁垂線折半乗乙丙底得積
凡求得銳角形積三萬七千四百四十尺
如圖移辛補壬移庚補癸則成長
方形即垂線折半乗底之積
右銳角形任以乙丙邉為底取垂
線求積若改用甲乙或甲丙邉為
底則所得垂線不同而得積無異故可以任用為底
假如鈍角形甲乙邉(五十/八步)甲丙邉(八十/五步)乙丙邉(三十/三步)求積
術求垂線立於形外用鈍角第三
術以乙丙為底甲乙甲丙為兩弦
總數(一百四/十三步)較數(二十/七步)相乗(三千/八百)
(六十/一步)為實乙丙底為法除之得數
(一百一/十七步)内減乙丙餘數(八十/四步)折半
(四十/二步)為乙丁(即乙丙/引長邉)依句股法乙丁自乗(一千七百/六十四步)甲
乙自乗(三千三百/六十四步)相減餘數(一千六/百步)平方開之得甲丁
(四十/步)為形外垂線以乙丙底折半(十六/步半)乗之得積
凡求得鈍角形積六百六十步
如圖甲乙丙鈍角形移戊補庚移
庚己補壬癸又移壬子補辛成辛
癸丑長方即乙丙底折半乗中長
甲丁之積
右鈍角形以乙丙為底故從甲角作垂線若以甲乙
為底則自丙角作垂線亦立形外而垂線不同然以
之求積並同若以甲丙為底從乙角作垂線則在形
内如銳角矣其垂線必又不同而其得積無有不同
故亦可任用一邉為底
凡用垂線之髙乗底見積必其線上指天頂底線之
横下應地平兩線相交正如十字故其所乗之冪積
皆成小平方可以虚實相補而求其積數鈍角形引
長底線以作垂線立於形外則兩線相遇亦成十字
正方之角矣
總論曰三角形作垂線於内則分兩句股鈍角形作垂
線於外則補成句股皆句股法也
三角求積第二術
以中垂線乗半周得積謂之以量代算
假如鈍角形乙丙邉(五十/八步)甲乙邉(一百一/十七步)甲丙邉(八十/五步)
求積
術平分甲乙兩角各作線㑹于心從
心作十字垂線至乙甲邉(如心/庚)即中
垂線也乃量取中垂線(心/庚)得數(一十/八步)
合計三邉而半之(一百三/十步)為半周以半周乗中垂線得積
凡求得鈍角形積二千三百四十步
又術如前取中垂線(心/庚)為濶半周為
長(如乙癸/及丁壬)别作一長方形(如乙壬/丁癸)即
與(甲乙/丙)鈍角形等積
解曰凡自形心作垂線至各邉皆等故中垂線乗半周
為一切有法之形所公用方員及五等面六等面至十
等面以上並同故以中垂線為濶半周為長其所作長
方形即與三角形等積
又解曰中垂線至邉皆十字正方角即分各邉成句股
形以乗半周得積即句股相乗折半之理
附分角術 有甲角欲平分之
術以甲角為心作虚半規截角旁兩
線得辛壬二㸃乃自辛自壬各用為
心作弧線相遇于癸作癸甲線即分
此角為兩平分
三角求心術
如上分角術於甲角平分之于乙角
又平分之兩平分之線必相遇成一
㸃此一㸃即三角形之心
解曰試再於丙角如上法分之則亦
必相遇於原㸃
三角求積第三術
以三較連乗又乗半總開方見積
假如鈍角形甲乙邉(一百一/十六尺)甲丙邉(一百七/十尺)乙丙邉(二/百)
(三十/四尺)求積
術合計三邉而半之(二百六/十尺)為半總
以與甲乙邉相減得較(一百四/十四尺)與甲
丙邉相減得較(九十/尺)與乙丙邉相減
得較(二十/六尺)三較連乗(以兩較相乗得/數又以餘一較)
(乗之/也)得數(三十三萬六千/九百六十尺)又以半總較之得數(八千七/百六十)
(萬零九千/六百尺)平方開之得積
凡求得鈍角形積九千三百六十尺
若係銳角同法
解曰此亦中垂線乗半周之理但所得為冪乗冪之數
故開方見積詳或問
三角容員第一術
以弦與句股求容員徑(此術惟句股形有之凡句股/相併為和以和與弦併為弦)
(和和以和與弦/相减為弦和較)
假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(二十/步)乙甲股(二十/一步)乙丙弦
(二十/九步)求容員徑
術以句股和(四十/一步)與弦相減得數為容員徑
凡求得内容員徑一十二步
解曰此以弦和較為容員徑
如圖從容員心作半徑至邉又作
分角線至角成六小句股形則各
角旁之兩線相等(如丙戊丙庚兩/線在丙角旁則)
(相等乙庚乙己在乙角旁甲戊/甲己在甲角旁並兩線相等)
其在正方角旁者(甲戊/甲己)乃弦和較也(于乙丙弦内分丙/庚以對丙戊又分)
(乙庚以對乙己則其餘為甲戊及甲己/此即句股和與乙丙弦相較之數也)然即為内容員
徑何也各角旁兩線並自相等而正方角旁之兩線又
皆與容員半徑等(正方角旁兩小形之角皆平分方角/之半則句股自相等而甲戊等心戊)
(甲己等/心己)然則弦和較者正方角旁兩線(甲戊/甲己)之合即容
員兩半徑(心戊/心己)之合也故弦和較即容員徑也
試以甲戊為半徑作員則戊心亦
半徑而其全徑(癸戊/甲)與容員徑(丁/心)
(己/)等以甲己為半徑作員則己心
亦半徑而其全徑(辛己/甲)與容員徑
(戊心/壬)亦等
三角容員第二術
以周與積求容員徑
内分二支
一句股形以弦和和為用(亦可/用半)
一銳角鈍角形以全周半周為用
假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(一十/六步)甲乙股(三十/步)乙丙弦
(三十/四步)求容員徑
術以句股相乗得數(四百八/十步)為實併句股弦數(共八/十歩)為
法除之得數倍之為容員徑
凡求得容員徑一十二步
解曰此以弦和和除句股倍積得容員半徑也
如圖從容員心作對角線分其形為三(一甲心丙一甲/心乙一丙心乙)
乃於甲丙句線兩端各引長之截子甲如乙甲股截丙
丑如丙乙弦則子丑線即弦和和也乃自員心作癸壬
直線與丑子平行兩端各聫之成長方又作辛丙線分
為三長方形其濶並如員半徑其長各如句如股如弦
而各為所分三小形之倍積(甲辛/長方)
(如甲丙句之長而以心戊半徑為/濶即為甲心丙分形之倍甲癸長)
(方如乙甲股之長而以同心己之/半徑為濶即為乙心甲形之倍丙)
(壬長方如丙乙弦之長而以同心/庚之半徑為濶即為乙心丙形之)
(倍/)合之即為本形倍積與句股相
乗同也(句股相乗為倍/積見求積條)故以弦和
和除句股相乗積得容員半徑
假如(甲乙丙/)句股形甲丙句(八十/八尺)甲乙股(一百零/五尺)乙丙
弦(一百三/十七尺)求容員徑
術以句股相乗而半之得積(四千六百/二十尺)為實併句股弦
數而半之(一百六/十五尺)為法除之得數倍之為容員徑
凡求得内容員徑五十六尺
解曰此以半周除句股形積而得容員半徑也(半周即/弦和和)
(之/半)
如圖從容員心分本形為六小句股則同角之句股各
相等可以合之而各成小方形(同甲/角之)
(兩句股成丁己小方形同丙角之兩/句股可合之成丁辛長方形以心辛)
(丙形等丙戊心也同乙角之兩句股/可合之成己庚長方形以乙庚心形)
(等心戊/乙也)乃移己庚長方為辛癸長方
則癸甲即同半周而癸己大長方即
為半周乗半徑而與句股積等也(六小形之句皆原形/之周變為長方則兩)
(兩相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之長並半/周壬癸及己甲辛丙之間並同心丁是半周乗半徑也)
(辛癸長方與己庚等積即與乙角旁兩句股等積又丁/辛長方與丙角旁兩句股等積再加丁己形即與原設)
(乙甲丙句股/形等積矣)然則以句股相乗而半之者句股形積也
故以半周除之即容員半徑矣
或以弦和和除四倍積得容員全徑並同前論
論曰句股形古法以弦和較為容員徑與弦和和互相
乗除乃至精之理測員海鏡引伸其例以為測望之用
其變甚多三角容員盖從此出故為第一支
假如(甲乙丙/)銳角形乙丙邉(五十/六尺)甲丙邉(七十/五尺)甲乙邉
(六十/一尺)求容員徑
術以乙丙邉為底求得甲丁中長線(六十尺○/法見求積)以乗底
得數(三千三百/六十尺)倍之(六千七百/二十尺)為實合計三邉(共一百/九十二)
(尺/)為法除之得容員徑
凡求得内容員徑三十五尺
解曰此以全周除四倍積得容員
徑也
如圖自容員心作對角線分為
小三角形三各以員半徑為髙
各邉為底若於各邉作長方而
各以邉為長半徑為濶必倍大
於各小三角形(如壬丙長方倍/大于丙心乙形)
(丙丑長方倍大于丙心甲形/甲丁長方倍大于甲心乙形)又
作加一倍之長方則四倍大於
各小三角(如未乙長方倍大于/丙壬長方必四倍于)
(丙心乙三角則夘甲亦四倍于丙/心甲而甲酉亦四倍于甲心乙)於是而通為一大長
方(移夘甲長方為亥丙移甲酉為/乙辰則成亥午大長方形矣)必四倍原形之冪而
以三邉合數為長以容員之徑為濶然則以中長線乗
底而倍之者正為積之四倍也以三邉除之豈不即得
員徑乎
或以全周除倍積得容員半徑
或以半周除積得容員半徑並同
若鈍角形亦同上法
論曰銳角鈍角並以周為法此與句股形用弦和和同
但必先求中長線故為第二支
三角容員第三術
以中垂線為員半徑曰以量代算
假如(甲乙丙/)三角形求容員徑(既不用算故不/言邉角之數)
如求積術均分甲乙二角之度各
作虚線交於己即己為容員之心
次以己為心儘一邉為界運規作
員此員界必切三邉
於是從己心向三邉各作十字垂線必俱在切員之㸃
而等為員半徑知半徑知全徑矣(半徑各如/己庚線)
論曰此容員心即三角形之心(故以容員半徑乗/半總即得積也)
又案此術亦句股及銳鈍兩角通用
三角容員第四術
用三較連乗
假如(甲乙丙/)鈍角形乙丙邉(四百三/十二尺)甲丙邉(五百/尺)甲乙
邉(一百四/十八尺)求容員徑
術以半總(五百四/十尺)求得乙丙邉較
(一百○/八尺)甲丙邉較(四十/尺)乙甲邉較
(三百九/十二尺)三較連乗得數(一百六十/九萬三千)
(四百四/十尺)以半總除之得數(三千一/百三十)
(六/尺)四因之(一萬二千五/百四十四尺)為實平方開之得容員徑
凡求得内容員徑一百一十二尺
銳角同法
解曰此所得者為容員徑上之自乗方冪故開方得徑
三角容方第一術
合底與髙除倍積得容方徑
内分二支
一句股形即以句股為底為髙(即句股和也其/容方依正方角)
一三角形以一邉為底求其垂線為髙(句股形以/弦為底銳)
(角形三邉皆可為底鈍角形以大/邉為底其容方並依為底之邉)
假如(甲乙丙/)句股形甲丙股(三十/六尺)乙丙句(一十/八尺)求容方
依正方角而以容方之一角切於弦
術以句股相乗得數(六百四/十八尺)為實以句股和(五十/四尺)為法
除之得所求
求到内容方徑一十二尺
如圖作寅乙線與股平行作寅甲
線與句平行成寅丙長方為句股
形倍積
次引寅甲線横出截之於癸引乙
丙句横出截之於夘使引出兩線
(甲癸及/丙夘)皆如甲丙股仍作夘癸線聫之
乃從癸作斜線至乙割甲丙股於戊則戊丙為所求容
方之邉又從戊作申未横線與上下兩線平行割甲乙
弦於己則己戊為所求容方之又一邉末從己作午辛
立線割丙乙句於辛則己辛及辛丙又為兩對邉而四
邉相等為句股形内所容之方
解曰寅夘大長方以癸乙斜線分兩句股則相等而寅
戊與戊夘兩長方等則寅丙長方與申夘長方亦等(寅/丙)
(内减寅戊而加相等/之戊夘即成申夘)夫寅丙者句股倍積而申夘者句
股和乗容方徑也(乙丙句丙夘股合之為申夘形之/長申乙及未夘並同方徑為濶)故
以句股和除倍積得容方徑
又解曰寅丙長方分兩句股而等則寅戊與午丙兩長
方等(寅己與己丙既等則于寅戊内减/寅己而加相等之己丙即成午丙)而寅戊原等戊
夘則午丙亦與戊夘等夫午丙形之丙甲與戊夘形之
丙夘皆股也則兩形等積又等邉矣其長等其濶亦等
(甲丙與丙夘既等則/辛丙與戊丙亦等)而對邉悉等即成正方形
論曰此以句為底股為髙也若以股為底句為髙所得
亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中長
除積盖生於此是為第一術之第一支
假如(甲乙丙/)句股形乙丙弦二十八尺其積一百六十
八尺求容方依弦線而以容方之兩角切於句股
術以弦除倍積(三百三/十六尺)得對角線(一十/二尺)與弦相併(四十/尺)
為法倍積為實法除實得所求
求到容方徑八尺四寸
如圖作寅丑線與乙丙弦平行又作
寅丙及丑乙與甲丁對角線平行成
丑丙長方為句股形倍積
次引乙丙弦至夘引寅丑線至癸使
癸丑及夘乙並同甲丁仍作癸夘線
聫之
次從癸向丙作斜線割丑乙線於子遂從子作申未線
與乙丙弦平行割甲乙股於庚割甲丙句於己則庚己
為容方之一邉末從庚作辰壬線從己作午辛線並與
甲丁平行而割乙丙弦於壬於辛則辛壬及庚壬及己
辛三線並與庚己等而成正方
解曰寅子長方與子夘長方等積(癸丙線分寅夘形為/兩句股而等則兩句)
(股内所作/之方必等)午壬長方又與寅子等(寅丁形以甲丙線分/為兩句股則寅己與)
(己丁等又丑丁形以甲乙線分為兩句股則丑庚與丁/庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚則午丁等寅戊)
(而辰丁等丑戊合/之而午壬等寅子)則午壬亦與子夘等而午壬之邉(午/辛)
(及辰/壬)子夘之邉(夘乙及/未子)並等甲丁對角線則兩形(午壬/子夘)
等積又等邉矣其長等其濶亦等(辰壬既等夘乙則辛/壬亦等子乙而庚壬)
(及己辛亦/不得不等)故四線必俱等也
又解曰寅子既與子夘等則寅乙必與申夘等(于寅乙/内移寅)
(子居子夘之/位即成申夘)而寅乙者倍積也申夘者底偕中長乗容
方徑也(乙丙弦也夘乙即甲丁對角中長線也合之為/丙夘之長其兩端之濶申丙及未夘並同方徑)
故合弦與對角線為法以除倍積得容方徑
論曰此以一邉為底中長線為髙也既以一邉為底其
容方即依此一邉而以兩方角切餘二邉也句股形故
以弦為底若銳角形則任以一邉為底但依大邉則容
方轉小亦如句股形依方角之容方必大於依弦線之
容方也鈍角形但可以大邉為底其求之則皆一法也
是為第一術之第二支
三角容方第二術
以圖算
内分二支
一以法截中長線得容方徑(句股形即/截其邉)
一以法截兩斜邉得容方邊(句股形即/截其弦)
假如銳角形求容方任以一邉為底
如圖以乙丙最小邉為底先從對角甲作中長垂線至
丁又從乙角作丑乙立線與甲丁平行而等乃從甲角
作横線過丑至癸截丑癸亦如甲
丁乃從癸向丙角作斜線割丑乙
立線於子末以子乙之度截中長
線(甲丁/垂線)於戊即戊丁為容方之徑
(從戊作己庚又從己作線至辛從/庚作線至壬成庚己辛壬即所求)
(容/方)
解曰甲戊與戊丁若甲丁與乙丙(子丑癸句股與子乙/丙形有子交角必相)
(似則丑子句與子乙句若丑癸股與乙丙股而丑子原/與甲戊等子乙與戊丁等丑癸與甲丁等則甲戊與戊)
(丁亦若甲/丁與乙丙)又甲戊與己庚若甲丁與乙丙(甲己庚三角/為甲丙乙之)
(截形必相似則甲戊與/己庚若甲丁與乙丙)
合兩比例觀之則甲戊與戊丁若甲戊與己庚而己庚
即戊丁
以上並銳角形
凡銳角三邉並可
為底而皆一法
假如句股形求容方以股為底則於句端甲作横線與
股平行而截之於癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作
斜線割甲乙句於戊則戊乙即容方之一邉末作己戊
與股平行作己辛與句平行即成容方(或以句為底則/從股端丙作丙)
(癸横線與股等亦作癸甲斜線割丙/乙股於戊其所得容方亦同圖如左)
論曰銳角鈍角皆截中長線為容方徑句股形以弦為
底亦然惟句股形以句為底即截其股為容方徑(用股/為底)
(即截/句)不另求中長而與截中長之法並同是為第二術
之第一支
假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉為底
如圖以乙丙底作正方形(即甲乙/丙戊方)
又作丁辛對角線次作甲辛及戊
辛兩斜線割原形之兩斜線於己
於庚乃作己庚線為所求容方之
一邉(末作己壬及庚癸兩線成/小方形於形内即所求)
解曰甲戊與己庚若子辛與午辛也(己庚辛三角形為/甲戊辛之切形則)
(其横與直之/比例相等)而甲戊與子辛同為方徑而等則己庚與
午辛亦同為小方徑而等
若底上方形大則其徑亦大於對
角線則如第二圖引丁辛線至子
其理亦同
有此二法則三邉並可為底
鈍角形用大邉為底句股形用弦為底並同第二圖
若句股形以句為底求容方如圖即用乙丙句作(丙辛/庚乙)
方形從方角庚向丙作斜線割丁乙弦於壬從壬作癸
壬及甲壬二線即所容方(或用股/上方則)
(引出句/邉如股)
解曰庚丙線分丙角為兩平分則
其横直線自相等(壬癸與癸丙相/等壬甲與甲丙)
(相等則四/線皆等)而成正方嘉禾陳䃤菴用分角法求容方與
此同理
論曰此皆以底上方形為法而得所求小方也故不論
頂之偏正其所得容方並同惟句股容方依正方角則
中長線與原邉合而為一法雖小異其用不殊是為第
二術之第二支
三角形外切平員第一術
句股形以弦為徑
假如甲乙丙句股形乙丙弦長四尺五寸二分求外切
員
術以弦折半取心得半徑二尺二寸六分其弦長四尺
五寸二分即外切平員全徑以平員周率三五五乗之
徑率一一三除之得員周一十四尺二寸
如圖乙丙員徑即句股形之弦折半於丁即員心也以
乙丁半徑為度從丁心運規作員
必過甲而句股形之角皆切員周
矣
論曰凡平員徑上從兩端各作直線至員周相㑹則成
正方角(如乙丙徑之兩端于丙于乙各作/直線㑹于甲則甲角必為正角)而為句股形
(假令兩線相遇于庚即成庚乙丙句/股形于辛亦然以其皆正角故也)故不問句股長短
而並以其弦為外切員之徑
又論曰徑一百一十三而周三百五十五此鄭端清世
子所述祖冲之術也(見律吕/精義)按古率周三徑一李淳風
等釋古九章以為術從簡易舉大綱而言之誠為通論
諸家所傳徑五十周一百五十七則魏劉徽所改謂之
徽率徑七周二十二則祖冲之所定謂之宻率由今以
觀冲之自有兩率(一為七與二十二一/為一一三與三五五)盖以其捷者為
恒用之須而存其精者明測算之理亦可以觀古人之
用心矣
三角形外切平員第二術
分邉取員心内分二支並以圖算
一句股形但分一邉即得員心(其心/在弦)
一銳角形鈍角形並分二邉可得員心(銳角形員/心在形内)
(鈍角形員/心在形外)
假如甲乙丙句股形求外切員
術任於句或股平分之作十字正線此線過弦線之㸃
即為員心
如圖甲乙丙形以甲乙股平分於
戊從戊作庚丁正十字線至乙丙
弦即分弦為兩平分而丁即員心
從丁運規作外切員則甲乙丙三
㸃並切員周而乙丁丙丁庚丁皆半徑
論曰若平分甲丙句於辛從辛作十字正線亦必至丁
故但任分其一邉即可得心
又論曰若依第一術先得丁心從丁心作直線與句平
行即此線能分股線為兩平分(如丁庚線與甲丙句平/行過甲乙股即平分股)
(線于/戊)若與股平行而分句線亦然(如丁辛線與甲乙股/平行即分句線于辛)
右句股形外切平員之心在弦線中央
假如銳角形求形外切員
術任以兩邉各平分之作十字線引長之必相遇於一
㸃即為員心
如圖甲乙丙銳角形任以甲丙邉
平分之于戊作庚戊丁十字線又
任以乙丙邉平分之於壬作癸壬
丁十字線兩直線稍引長之相遇
於丁以丁為心作員則甲乙丙三角並切員周而丁癸
丁庚皆半徑
論曰試於餘一邉再平分之作十字正線亦必㑹於此
㸃故此㸃必員心(如甲乙邉再平分之于辛作子/辛丁十字線亦必相遇于丁㸃)
右銳角形外切平員之心在形之内
假如鈍角形求形外切員 術同銳角
如圖甲乙丙形甲為鈍角任分甲
丙於戊分甲乙於辛各作十字線
㑹於丁心從丁作員則丁庚丁癸
皆半徑而三角並切員周若用大
邉平分于壬作壬丁子線亦同
論曰試於丁心作線至丙至乙至甲必皆成員半徑與
丁庚丁癸同故丁為員心也
右鈍角形外切平員之心在形之外
總論曰此與容員之法不同何也内容員之心即三角
形之心故其半徑皆與各邉為垂線而不能平分其邉
然從心作線至角即能分各角為兩平分此分角求心
之法所由以立也外切員之心非三角形之心其心或
在形内或在形外距邉不等而能以十字線剖各邉為
兩平分此分邉求心之法所由以立盖即三㸃串員之
法也
附三㸃串員
有甲乙丙三㸃欲使之並在員周
術任以甲為心作虚員分用元度
以丙為心亦作虚員分兩員分相
交於戊於辛作戊辛直線又任以
乙為心以丙為心各作同度之虚員分相交於庚於壬
作庚壬直線兩直線相遇於丁以丁為心作員則三㸃
並在員周
員周有三㸃不知其心亦用此法
厯算全書卷五十二