歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書卷五十四

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　三角法舉要卷五

　測量(三角用法算例已具兹則舉髙深廣逺/以徴諸實事亦與算例互相補備也)

　　一測髙

　　一測逺

　　一測斜坡

　　一測深

　　　附隔水量田

　　　附解測量全義

三角測髙第一術

　自平測髙

假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限儀測得

髙二十六度三十四分弱依切線術求得塔髙一十六丈

　　　　　　　一半徑　　　　　　一○○○○○

　　　　　　　二戊角切線　　　　　五○○○○

　　　　　　　三距塔根(丙乙即/戊丁)　　　三十丈

　　　　　　　四塔頂髙(甲丁端是截/算表 以上)　十五丈

　加戊丙表一丈(即丁/乙)共得塔髙十六丈(甲/乙)

凡用象限儀以垂線作角與用指尺同理(指尺即闚衡亦曰/闚管亦曰闚筩)

若戊丙表立於髙所當更加立處之髙以為塔髙

　　　　　　　　　　省算法從表根丙平安象限

　　　　　　　　　　以一邉指塔根乙一邉指癸

　　　　　　　　　　乃順丙癸直線行至癸得三

　　　　　　　　　　十丈與丙乙等復於癸平安

　　　　　　　　　　象限作癸角與戊角等邉指

丙尺指壬則壬丙逺即甲丁之髙(亦加丁乙/為塔髙)

　　　　　　　　論曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙

　　　　　　　　與乙並正角則兩句股形等立面

　　　　　　　　與平面一也

　　　　　　　　又術自丙向癸却行以象限平安

　　　　　　　　邉指丙尺指乙求作戊之餘角得

己丙之距即同甲丁之髙

又省算法用有細分矩度自戊數至癸令其分如丙乙

　　　　　　　　之距(或兩倍/三倍)從癸數壬癸直線之

　　　　　　　　分即甲丁之距也(先以二分為丈/或三分為丈今)

　　　　　　　　(亦同/之)

　　　　　　　　用矩度以垂線作角其用亦同

三角測髙第二術

　平面則不知逺之髙法用重測

假如有山頂欲測其髙而不知所距之逺依術立二表

相距一丈二尺用象限儀測得髙六十度十九分退測

後表得五十八度三十七分查其兩餘切線以相減得

　　　　　　　　　較數為法表距乗半徑為實算

　　　　　　　　　得山髙三十一丈

　　　　　　　　　一　餘切線較○○四○○○

　　　　　　　　　二　半徑　　一○○○○○

　　　　　　　　　三　表距戊己　一丈二尺

　　　　　　　　　四　山髙甲丁　三十丈

　　　　　　　　　加表一丈共三十一丈

　　　　　　　　　省算法用矩度假令先測指線

　　　　　　　　　交於辛後測指線交于庚成辛

　　　　　　　　　庚戊三角形法于兩指線中間

　　　　　　　　　以兩測表距(即戊/己)變為分如壬

癸小線引長之至丙即丙戊所當測髙

論曰此即古人重表法也或隔水量山或於城外測城

内之山並同

三角測髙第三術

　從髙測髙　又謂之因逺測髙

假如人在山顛欲知此山之髙但知山左有橋離山半

里用象限測橋得逺度一十八度二十六分强依切線

法求得山髙一里半

　　　　　　　　　一　甲角切線　半徑(一○○/○○○)

　　　　　　　　　二　半徑　　　甲角餘切(三○○/○二八)

　　　　　　　　　三　橋逺(戊丁/)　一百八十步

　　　　　　　　　四　山髙(甲丁/)　五百四十步(○五/尺)

　　　　　　　　　省算法用矩度作壬癸線以當

　　　　　　　　　戊丁則己壬當甲丁

三角測髙第四術

　從髙測不知逺之髙　法用重測

假如人在山上欲知本山之髙然又無可㨿之逺但山

有樓或塔量得去山二十一丈以象限儀指定一處于

樓下測得五十五度二十六分又于樓上測得五十三

度五十分用餘切線求得山髙三百四十四丈五尺

　　　　　　　　　一　兩餘切較　　　四二

　　　　　　　　　二　下一測餘切　六八九

　　　　　　　　　三　樓髙(兩測/之距)　二十一丈

　　　　　　　　　四　山髙　　　三百四十四

　　　　　　　　　　丈五尺

　　　　　　　　　省算法用矩度上測交庚下測

　　　　　　　　　交辛成辛己庚三角形法于兩

　　　　　　　　　指線中間以上下兩測之距變

　　　　　　　　　為分如壬癸小線引長之至丙

　　　　　　　　　即壬丙當所測本山之髙

三角測髙第五術

　若山上無兩髙可測則先測其弦(但山上有兩所可/以並見此物即可)

　(測/矣)

　　　　　　　　　甲乙為山上兩所(不拘平斜/但取直線)任

　　　　　　　　　指一處如戊於甲於乙用噐兩

　　　　　　　　　測之成甲乙戊形此形有甲乙

　　　　　　　　　兩角又有甲乙之距為兩角一

　　　　　　　　　邉可求甲戊邉法為戊角之正

弦與甲乙邉若乙角之正弦與甲戊

再用甲戊丁句股形為半徑與甲戊若甲角餘弦與甲

丁即山之高也

三角測髙第六術

　借兩逺測本山之髙

有山不知其髙亦無距山之逺但山前有大樹從此樹

向山而行相去一百八十五丈又有一樹人在山上可

見兩樹如一直線即於山上以象限儀測此二樹一測

逺樹四十三度三十二分一測近樹三十度○七分用

切線較得本山髙五百丈

　　　　　　　　　一　切線較　　三七○○○

　　　　　　　　　二　半徑　　　一○○○○○

　　　　　　　　　三　兩逺之較　一百八十五丈

　　　　　　　　　四　本山髙　　五百丈

省算作壬癸小線當兩逺之距(己/戊)而丙甲當本山髙(甲/丁)

三角測髙第七術

　用山之前後兩逺測髙

　　　　　　　　　甲為山顛可見戊己兩樹其樹

　　　　　　　　　與山參相直(如山南樹直正/子北樹直正午)而

　　　　　　　　　不知其距但山外有路與此樹

　　　　　　　　　平行為庚辛其長三里(如兩樹/正南北)

　　　　　　　　　(此路亦自南/向正北行)即借庚辛之距為

兩樹之距以兩切線并為法求之

先從甲測巳得甲角一十七度○四分又從甲測戊得

甲角三十四度三十四分法為兩切線并與己戊若半

徑與甲丁也

　一率兩切線并(○九九/六○○)二率半徑(一○○/○○○)三率己戊

　即庚辛(三/里)求得四率甲丁(三里○四步/又三之一强)

三角測髙第八術

　測山上之兩髙

　　　　　　　　　甲山上有塔如乙欲測其髙如

　　　　　　　　　乙甲之距於戊安儀噐測乙測

　　　　　　　　　甲得其兩戊角之度(一乙戊丁/二甲戊丁)

　　　　　　　　　各取其切線相減得較法為半

徑比切線較若戊丁與乙甲

省算法數戊丙之分以當戊丁作壬癸丙小線則壬癸

之分即當乙甲

用矩度亦同

三角測髙第九術

　隔水測兩髙之横距

　　　　　　　　　有甲乙兩髙在水外欲測其相

　　　　　　　　　距之逺任於丙用儀噐以邉向

　　　　　　　　　丁窺筩指甲得甲丙丁角(一百/二十)

　　　　　　　　　(五/度)又指乙得乙丙丁角(五十/度)次

　　　　　　　　　依丙丁直線行至丁(得一/百步)再用

儀噐以邉向丙窺筩指甲得甲丁丙角(三十/九度)又指乙得

乙丁丙角(一百零/八度)又甲丁乙角(六十/九度)得三角形三(一甲/丁丙)

(二乙丁丙/三甲丁乙)

今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉

　一率甲角(一十/六度)正弦(二七五/六四)二率丁丙(一百/步)三率丙

　角(一百二/十五度)正弦(八一九/一五)求得四率甲丁邉(二百九/十七步)

次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉

　一率乙角(二十/二度)正弦(三七四/六一)二率丁丙邉(一百/步)三率

　丙角(五十/度)正弦(七六六/○四)求得四率乙丁邉(二百○/四步)

末乙丁甲形有甲丁邉(二百九/十七步)乙丁邉(二百○/四步)丁角(六/十)

(九/度)先求甲角

　一率兩邉之總(五百○/一步)二率兩邉之較(九十/三步)三率半

　外角(五十五/度半)切線(一四五/五○一)求得四率半較角切線(二/七)

　(○○/九)查表得一十五度○七分弱以減半外角得甲

　角四十度二十三分强

次求甲乙邉

　一率甲角正弦(六四七/九○)二率乙丁邉(二百○/四步)三率丁

　角正弦(九三三/五九)求得四率甲乙邉二百九十四步弱

論曰此所測甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙兩髙並在

一山之上於山麓測之或甲乙分居兩峯於兩峯間平

地測之或甲在水之東乙在水之西於一岸測之並同

若用有度數之指尺並可用省算之法

三角測髙第十術

　隔水測兩髙之直距

　　　　　　　　　有兩髙如乙與甲于戊于庚測

　　　　　　　　　之

　　　　　　　　　先以乙庚戊形求乙庚斜距次

　　　　　　　　　以甲庚戊形求甲庚斜距末以

乙甲庚形(有乙庚邉甲/庚邉及庚角)求乙甲邉即所求

三角測髙第十一術

若山之最髙顛為次髙所掩則用逓測

　　　　　　　　　山前後左右地勢不同則用環

　　　　　　　　　測環測者從髙測下與測深同

　　　　　　　　　太髙之山則用屢測

　　　　　　　　　癸極髙為甲次髙所掩則先測

　　　　　　　　　甲復從甲測癸謂之逓測

　　　　　　　　　乙丁與子丑居癸山之下為地

平而各不等則從癸四面測之如測癸辛之髙以辛乙

為地平又測癸戍之髙以戌子丑為地平則乙丁與子

丑之較為戍辛謂之環測

若山太髙太大則於乙測甲又於甲測癸或先測卯又

測寅又測丑測子再從子丑測癸細細測之則真髙自

見而地之髙下亦從可知矣謂之屢測

三角測逺第一術

　平面測逺

有所測之物如乙於甲立表安象限以邉指乙餘一邉

對丁從甲乙直線上任取九歩如丁於丁復安象限以

邉對甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切線

算得乙距甲二十七步

　　　　　　　　　一　半徑

　　　　　　　　　二　丁角切線

　　　　　　　　　三　丁甲

　　　　　　　　　四　乙甲

若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而開

方即得乙丁

若徑求乙丁則為以半徑比丁角之割線若甲丁與丁

乙也是為以句求弦

省算用矩度自丁數自癸取丁癸之分如丁甲之距(或/以)

　　　　　　　　　(分當步或二分或/三分當一步皆可)作壬癸丁小

　　　　　　　　　句股則壬癸之分即乙甲也(或/一)

　　　　　　　　　(分當步或二分三/分並如丁癸之例)而丁壬亦即

　　　　　　　　　當丁乙(若尺上有分/數即徑取之)

若先從丁測測以測噐向甲指尺向乙作丁角次依丁

甲直線行至甲務令測噐之一邉順丁甲直線餘一邉

指乙則甲為正方角如前算之即得(若甲非正方角則/于丁甲直線上或)

(前或後移測求/為正方角乃止)

三角測逺第二術

　省算法

　　　　　　　　　人在甲欲測乙之逺於甲置儀

　　　　　　　　　噐一邉向乙一邉向丁成正方

　　　　　　　　　角乃依甲丁直線行至丁以邉

　　　　　　　　　向甲闚管指乙作四十五度角

即甲丁與甲乙等

若用矩度以乙丁線正對方角則丁角為正方角之半

而甲丁等乙甲

論曰丁角為正方角之半則乙角亦正方角之半而句

與股齊故但量甲丁即知甲乙

　又省算法

　　　　　　　　　於甲置儀噐以邉向丁闚管指

　　　　　　　　　乙作六十度角順甲丁直線行

　　　　　　　　　至丁復作六十度角則甲丁等

　　　　　　　　　甲乙

論曰甲角丁角俱六十度則乙角亦六十度矣故三邉

俱等

若丁不能到則於甲丁線上取丙以儀噐二邉對甲對

乙成正方角則甲丙為乙甲之半

三角測逺第三術

　平面測逺用斜角

　　　　　　　　　人在甲測乙而兩旁無餘地可

　　　　　　　　　作句股則任指一可測之地如

　　　　　　　　　丁量得丁甲二十丈於丁安儀

　　　　　　　　　噐以邉向甲窺筩指乙得丁角

(四十/六度)又於甲安儀噐以邉指丁窺筩指乙得乙甲庚角

(二十/一度)加象限(九十/度)得甲鈍角(一百一/十一度)法為以乙角之正

弦(二十三度乃甲丁/二角减半周之餘)比丁甲若丁角之正弦與乙甲算

得乙甲三十六丈八尺二寸

若求乙丁則為以乙角之正弦比丁甲若甲角之正弦

與乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸(甲為銳/角法同)

省算法於儀噐作壬甲線與乙丁平行作壬癸線與乙

甲平行成壬癸甲小三角形與丁乙甲等則甲癸當甲

丁而壬癸當甲乙又壬甲當乙丁用矩度同(但于象限/内作横直)

(分用同/矩度)

論曰壬角既同乙角(壬甲與乙丁平行壬癸與/乙甲平行則作角必相等)癸鈍角

又同甲角則兩三角相似而比例等

　　　　　　　　銳角形於甲測乙用矩度之邉指

　　　　　　　　丁作甲角另用一矩度(其矩須於/兩面紀度)

　　　　　　　　從丁測之以邉向甲闚筩指乙作

　　　　　　　　丁角末移丁角作癸角於噐上作

　　　　　　　　壬癸線與乙丁平行則癸甲當丁

甲而壬甲當乙甲壬癸當乙丁

三角測逺第四術

　平面測逺借他線為比例

　　　　　　　　甲乙為兩所順甲乙直線行任取

　　　　　　　　若干步至丙又於丙任作直線至

　　　　　　　　丁得若干步於丁安儀噐以邉對

　　　　　　　　甲闚衡指丙作丁角順此直線至

　　　　　　　　戊復安儀噐邉對乙衡指丙作戊

角令與丁角等則丙丁比丁戊若丙甲與甲乙

　　　　　　　　　　省算法於乙甲直線上取丙

　　　　　　　　　　又從丙作丙戊直線截丁丙

　　　　　　　　　　如乙丙於丁用象限闚乙作

　　　　　　　　　　丁角再於戊闚甲作戊角令

　　　　　　　　　　與丁角等則丁戊即甲乙

　　　　　　　　　　又法甲置儀噐指乙指丁作

　　　　　　　　　　角以減半周成外角(己戊為/甲角之)

　　　　　　　　　　(度丙庚戊為/外角之度)於丁置儀噐指

甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙

論曰凡外角能兼内餘二角(乙/丁)之度丁角既為外角之

半則乙角亦外角之半矣角等者所對之邉亦等故甲

丁等甲乙

三角測逺第五術

　平面測逺借他形為比例法

　　　　　　　　　從甲測乙任立一表於丙從甲

　　　　　　　　　用儀噐以邉向乙闚管指丙得

　　　　　　　　　甲角復於丁加儀噐以邉向戊

　　　　　　　　　闚管指丙使丁丙甲為一直線

而作丁角與甲角等乃順儀噐邉取直線至戊令戊丙

乙為一直線則丁丙與丁戊若丙甲與甲乙(鈍角形句/股形並同)

(一/理)

　　　　　　　　　　論曰丙戊丁與丙甲乙兩三

　　　　　　　　　　角形相似以兩形之丙角為

　　　　　　　　　　交角必相等而丁角又等甲

　　　　　　　　　　角則戊角亦等乙角矣故其

　　　　　　　　　　比例等

三角測逺第六術　省算

　　　　　　　　有甲乙兩所欲測其距如前立丙

　　　　　　　　表以噐測得甲丙乙角之度又順

　　　　　　　　乙丙直線行至戊令丙戊之距同

　　　　　　　　甲丙而止再從戊行至丁從丁闚

丙至甲成一直線於此直線上進退移測使乙丁丙角

為乙丙甲角之半則但量丁戊即同乙甲(甲為鈍角或/丙為鈍角並)

(同/)

　　　　　　　　　　論曰甲丙與丙戊既相等乙

　　　　　　　　　　丁丙角為乙丙甲外角之半

　　　　　　　　　　則丙乙丁角亦外角之半是

　　　　　　　　　　乙丙與丁丙亦等也而丙交

　　　　　　　　　　角又等是甲丙乙三角形與

　　　　　　　　　　戊丙丁形等角等邉也故丁

　　　　　　　　　　戊即乙甲

三角測逺第七術　重測

　　　　　　　　甲乙為兩所欲測其距而俱不能

　　　　　　　　到則兩測之於戊於丁量得戊丁

　　　　　　　　之距(十六/步半)用噐測得戊角(五十度/四十三)

　　　　　　　　(分/)丁角(三十六度/一十分)兩角之餘切線

較(五五○/○○)為一率半徑(一○○/○○○)為二率戊丁(十六/步半)為三

率得四率為乙甲之距(三十/步)

若求戊甲之距以兩測之餘切較(五五○/○○)為一率先測

戊角之餘切(八一八/○○)為二率丁戊(十六/步半)為三率得四率

戊甲(二十四/步五四)

論曰此即古人重表測逺法也必丁戊甲直線與乙甲

線横直相遇使甲為正角其算始真假如乙甲正南北

距則丁戊甲必正東西斯能横直相交而成正角也

三角測逺第八術

　分兩處重測

　　　　　　　　乙岸在河東欲測其距西岸之逺

　　　　　　　　如甲則任於甲之左右取丁戊兩

　　　　　　　　所與甲參相直而距河適均測得

　　　　　　　　丁角(五十度四/十三分)戊角(五十五度/四十三分)用

　　　　　　　　兩角度之餘切線并(一五○/○○○)為一

率半徑(一○○/○○○)為二率丁戊之距(九十/六步)為三率求得四

率乙甲之距(六十/四步)為兩岸闊

論曰此法但取丁戊直距與河岸平行則不必預求甲

㸃而自有乙甲之距為丁戊之垂線尤便於測河視用

切線較更簡捷而穏當矣

三角測逺第九術

　用髙測逺

　　　　　　　　甲乙為兩所不知其逺而先知丁

　　　　　　　　乙之髙於甲用儀噐測丁乙之髙

　　　　　　　　幾何度分即知甲乙法為半徑比

　　　　　　　　甲角之餘切若丁乙髙與甲乙之逺

若人在髙處如丁用髙測逺則為半徑比丁角之切線

若丁乙與甲乙其理並同但於丁加儀噐而用正切

三角測逺第十術

　用不知之髙測逺

　　　　　　　　欲知丁乙之逺而不能至乙乙之

　　　　　　　　上有庚又不知庚乙之髙法用重

　　　　　　　　測先於丁測之得丁角(三十八度/一十三分)

　　　　　　　　又依丁乙直線進至甲測之得甲

　　　　　　　　角(五十三度五/十二分强)兩餘切較(○五四/○○一)

為一率丁角餘切(一二七/○○一)為二率丁甲之距(二十/步)為三

率得四率丁乙(四十七/步○三)　或丁後有餘地退後測之亦

同

省算作壬癸丙線以壬癸分當丁甲之距壬丙當丁乙

之逺

若人在髙處如庚於庚測丁測甲以求丁乙其法亦同

但於庚施儀噐而用正切(法為以兩庚角之切線較比/丁庚乙之切線若丁甲與丁)

(乙/)

三角測逺第十一術

　用髙上之髙測逺

　　　　　　　　甲乙為兩所而乙之根為物所掩

　　　　　　　　(如山麓有小阜坡陀礨砢林木/蔽虧或島嶼盤糾荻葦深阻)難

　　　　　　　　得真距若用兩測甲外又無餘地

　　　　　　　　但取其髙處如戊為山顛山上又

　　　　　　　　有石臺臺上有塔如丁丁戊之髙

原有定距以此為用從甲測丁又測戊得兩角(一丁甲/乙二戊)

(甲/乙)求其切線法為以切線較比半徑若丁戊與乙甲

省算作壬癸丙小線以壬癸當丁戊則甲丙當甲乙矩

度同

若從髙測逺則於丁於戊兩用儀噐測甲用丁戊兩角

之餘切較以當丁戊而半徑當甲乙其理亦同

三角測逺第十二術

　從髙測兩逺

　　　　　　　　甲乙兩逺人從髙處測之於丁用

　　　　　　　　儀器測甲測乙得兩丁角(一甲丁/丙二乙)

　　　　　　　　(丁/丙)法為以半徑比兩角之切線較

　　　　　　　　若丁丙髙與乙甲也

　　　　　　　　又法既得兩角則移儀噐窺戊作

戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窺己作己丁乙角如

乙丁丙之倍度則但量己戊即知乙甲

三角測逺第十三術

　連測三逺

丙乙為跨水長橋甲乙為橋端斜岸今於丁測橋之長

　　　　　　　　　并甲乙岸闊及其距丁之逺近

　　　　　　　　　法於丁安儀噐以邉指戊衡指

　　　　　　　　　甲指乙指丙作丁角五(一甲丁/戊二乙)

　　　　　　　　　(丁戊三乙丁甲四戊丁丙五/乙丁丙皆丁角而有大小)

　　　　　　　　　次順儀噐邉直行至戊得丁戊

之距於戊復用儀噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊

角三(一丁戊丙二乙戊丙三甲/戊丁皆戊角而有大小)

一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉

一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉

一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉

　　以上並二角一邉求餘邉得甲乙丙三處距丁之

　　逺近

一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉

一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉

　　以上並二邉一角求餘邉得岸闊與橋長

三角測斜坡第一術

　斜坡上平面測兩所之距

　　　　　　　　斜坡上有甲乙兩所欲量其相距

　　　　　　　　之數任立丙表測得乙丙甲角度

　　　　　　　　乃順甲丙直線進退闚乙至戊得

　　　　　　　　乙戊丙角為乙丙甲角之半又横

過至丁從丁闚丙至乙成一直線順此直線進退闚甲

至丁得甲丁丙角亦為丙角之半則丁戊即乙甲

又法不必立表但任指一㸃為丙而於甲丙直線上任

取己㸃乙丙直線上任取庚㸃作庚丙己三角形有己

角庚角即知丙角末乃如上作丁戊兩角為丙角之半

即所求

論曰此因乙甲在斜面髙處而不能到故借用丁丙戊

形測之以丁丙戊乙丙甲兩形相等故也何則丙交角

既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙兩角之度

戊角既分其半乙角亦半則兩角等而乙丙戊丙兩邉

亦等矣凖此論之則甲丁丙角為丙外角之半者丁甲

丙角亦必為丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣兩形之

角既等各兩邉又等則三邉俱等而戊丁即乙甲

若甲乙兩所在下而丁戊兩測在上亦同

三角測斜坡第二術

　斜坡測對山之斜髙

　　　　　　　　　　對山之斜髙如甲戊乙於對

　　　　　　　　　　山之斜坡測之如丙丁先量

　　　　　　　　　　得丙丁之距於丙安儀噐得

　　　　　　　　　　丙角二(一乙丙丁/二戊丙丁)於丁安儀

噐得丁角四(一乙丁丙二乙丁戊/三戊丁丙四乙丁甲)成各三角形

先用乙丙丁形(有丙角丁角/及丁丙邉)測乙丁邉　次用戊丙丁

形(有丙丁二角/及丁丙邉)測丁戊邉　三用乙丁戊形(有乙丁戊/丁二邉及)

(丁/角)測乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形(有乙角丁角/及乙丁邉)測

乙甲邉乙甲内減乙戊得戊甲邉(乙戊甲為垂/線之髙法同)

三角測斜坡第三術

　測對坡之斜髙及其巖洞

從丙從丁測對面之斜坡戊甲及乙戊

　　　　　　　　　　一乙丙丁形(有丙丁兩測之/距丙角丁角)

　　　　　　　　　　可求乙丁邉　二戊丙丁形

　　　　　　　　　　(有丙丁邉/丁角丙角)可求丁戊丙戊二

　　　　　　　　　　邉　三乙丁戊形(有乙丁邉/戊丁邉丁)

　　　　　　　　　　(角/)可求乙戊邉為所測對山

上斜入之巖　四丙丁甲形(有丁角丙/角丙丁邉)可求丙甲邉

五甲丙戊形(有丙戊邉丙/甲邉丙角)可求戊甲邉為所測對坡斜

髙

或戊為髙處基址乙為房檐亦同

三角測深第一術

　測井之深及濶

甲乙為井口之濶於甲作垂線至丁(或用磚石投/之以識其處)從乙

　　　　　　　　　　測之得乙角成甲乙丁句股

　　　　　　　　　　形即以甲乙井口為句得甲

　　　　　　　　　　丁股為井之深　既得乙丙

　　　　　　　　　　深(即甲/丁)即可用乙己戊形得

　　　　　　　　　　己戊為底濶法以半徑當井

　　　　　　　　　　深(乙/丙)以兩乙角(一戊乙丙/二己乙丙)之

　　　　　　　　　　切線并當井底之濶(己/戊)

　　　　　　　　　　若不知井口則立表於井口

　　　　　　　　　　如庚甲求庚甲二角成庚甲

　　　　　　　　　　丁形測之

三角測深第二術

　登兩山測谷深

　　　　　　　　先於二山取甲乙之平而得其距

　　　　　　　　數為横線即可用三角形求丙丁

　　　　　　　　垂線為谷之深與測髙同理(亦可/用以)

(測髙/也)法為甲乙兩角之餘切線并比半徑若甲乙與丙丁

論曰深與髙同理測深之法即測髙之法也存此數則

以發其例有不盡者於測髙諸術詳之可也

　附隔水量田法

　　　　　　　　　　　甲乙丙丁田在水中不可

　　　　　　　　　　　得量于岸上戊庚兩處用

　　　　　　　　　　　儀噐測之得諸三角形算

　　　　　　　　　　　得其邉(一甲乙二乙丙/三丙丁四丁甲)次

　　　　　　　　　　　求乙丁對角線分為兩三

角形(一甲乙丁/二丙乙丁)末用和較法求得分形之兩垂線(一甲/癸二)

(壬/丙)并兩垂線而半之以乗乙丁即得田積

或用三較連乗法求三角形積并之亦同

凡有平面形在峭壁懸崖之上及屋上承塵可以仰觀

者並可以此法測之

解測量全義一卷十二題加減法

　　　　　　　　　甲寅象限弧　甲乙半徑全數

　　　　　　　　　為首率

　　　　　　　　　丙寅弧之正弦丙辛為一率

　　　　　　　　　丁寅弧之正弦丁庚為三率

　　　　　　　　　戊己為四率

二三相乗為實首率為法法除實得四此本法也今以

加減得之則不用乗除

丙寅加丁寅(即辰丙/)為辰寅總弧其餘弦辰卯(即子癸/)

丙寅内減丁寅為丑寅(即丙丁/)存弧其餘弦癸丑

以子癸減癸丑餘子丑平分之於壬為壬子或壬丑即

　　　　　　　　　四率(其壬子壬丑/皆與戊己等)　此因總弧

　　　　　　　　　不及象限故以兩餘弦相減

　　　　　　　　　甲寅象限弧甲乙半徑全數

　　　　　　　　　為首率

　　　　　　　　　丙寅弧之正弦丙辛為二率

丁寅弧之正弦丁庚為三率

戊己為四率

　以上皆與前同

丙寅加丁寅(即辰丙/)為辰寅總弧(此總弧大/於象限)其餘弦卯

辰(即子癸/)　丙寅内減丁寅(即丙丑/)餘丑寅為存弧其

餘弦丑癸

以子癸加丑癸為子丑半之於壬分為壬子及壬丑二

線皆與戊己同即為四率如所求

此因總弧過象限故以兩餘弦相加

今訂本書之譌

　　　　　　　　　　甲寅皆象限弧　甲乙半徑

　　　　　　　　　　一○○○○○為首率

　　　　　　　　　　丙辛○五九九九五為二率

　　　　　　　　　　丁庚○二五○一○為三率

　　　　　　　　　　以三率法取之得○一五○

　　　　　　　　　　○四為四率

今用加减法

以丙辛線為正弦查其弧得丙寅三十六度五十二分

亦以丁庚線為正弦查其弧得丁寅十四度二十九分

以丙寅弧與丁寅弧相加得總弧辰寅五十一度二十

一分其餘弦○六二四五六如辰卯(即子癸/)

又以丙寅弧與丁寅弧相減得存弧丑寅二十二度二

十三分其餘弦○九二四六六如丑癸

因總弧小於象限當以兩餘弦相減其較○三○○一

○如子丑(於丑癸内减/子癸得之)乃平分子丑於壬其數○一五

○○五為壬丑或壬子皆與戊己同即為四率　此所

得與三率所推但有微差而不相逺

按此以加減代乗除依其法宜如此今刻本相減相并

訛為并而相減又於相并之弧訛為五十度二十分相

減之存弧訛為二十二度二十四分故其正弦皆訛而

所得之四率只一四三一與三率所推不合矣

又按以加減代乗除之法不過以明圖法之妙其中又

有此用耳若以入算終不如乗除之便何也設問毎多

整數而正弦之數皆有畸零不能恰合一也先用設數

求弧度必用中比例始得相合則於弧度亦有畸零二

也弧度既有畸零則其查餘弦又必用中比例三也兩

餘弦有用加之時有用減之時易至於訛四也及其所

得四率以較三率法之所得終有尾數之差五也盖論

數學則宜造其㣲而施之於用則貴其簡易若可以簡

易者而故引之繁重又何貴乎故曰不如乗除之便也

觀設例之時便有訛錯如此則其不便於用亦可見矣

又按此加減法即測量全義第七卷所言加減也其以

總存兩餘弦相加減而半之者即初得數也然彼以兩

正弦相乗得之此以加減得之而省一乗矣實弧三角

中大法而彼但舉例而隠其圖姑示其端於此而又不

直言其即弧度之初得數此皆譯書者祕惜之故耳

向後二圖發明所以然之故

甲寅象限弧　乙丙半徑為首率

丙寅弧之正弦丙辛為次率

丙丑弧之正弦丑戊為三率(辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊)

得戊巳為四率(丑壬及壬/子並同)

　　　　　　　　　論曰戊巳辰(或丑壬/戊亦同)句股形與

　　　　　　　　　丙辛乙句股形相似故其比例

　　　　　　　　　等法為乙丙與丙辛若丑戊與

　　　　　　　　　丑壬也(或辰戊與/戊巳亦同)

　　　　　　　　　又論曰凡兩十字垂線相交作

句股則其形俱相似如辰丑線即丙丑及丙辰之正弦

與丙乙半徑相交於戊㸃一十字也辰午線(辰寅弧之/正弦也)

丑癸線(丑寅弧/之餘弦)相交於子㸃一十字也此兩十字相交

而成諸句股形則俱相似矣故戊壬庚與丑壬戊相似

而戊壬庚原與丙辛乙相似則丑壬戊與丙辛乙不得

不為相似之形矣

解曰乙丙首率半徑也丙辛正弦為次率其弧丙寅丑

戊正弦為三率其弧丙丑丙丑既與丙辰同則以丙丑

(三率之/弧也)加丙寅(次率/之弧)成辰寅總弧而辰卯則總弧之餘

弦也以丙丑(三率/之弧)减丙寅(次率/之弧)其餘丑寅為存弧而丑

癸則存弧之餘弦兩餘弦相減其較為子丑(子癸同辰/卯故以子)

(癸减癸丑/得較子丑)子丑折半於壬而壬丑與壬子皆同戊巳是

為所求之四率也

如此以量法代算法的確不易但細數難分耳

若以酉丙為過象限之大弧丙丑為小弧則酉丑為總

弧其正弦丑丁餘弦丑癸(即丁乙/)

酉辰為存弧其正弦辰午餘弦辰卯(即子癸/)算法略同

但先所用者存弧之正弦小於總弧今則總弧正弦小

於存弧正弦大則餘弦小正弦小則餘弦反大加減之

用以小從大其理無二故其圖可通用也

又按壬丑即初得數也兩正弦相乗以半徑除之者也

乙亥即次得數也兩餘弦相乗以半徑除之者也今改

用加減則以兩弧相并為總弧而相較之餘為存弧存

總兩餘弦相加減而半之成初得數省兩正弦乗矣又

以初得數去減餘弦成次得數省兩餘弦乗矣

　　兩餘弦加減例

凡總存二弧俱在象限内或俱出象限外則兩餘弦相

減　若存弧在象限内總弧在象限外則兩餘弦相加

　　初得數減餘弧例

凡存弧之正弦小於總弧即用存弧之餘弦在位以初

得數減之餘為次得數　若總弧之正弦小於存弧即

用總弧之餘弦在位以初得數減之餘為次得數盖弦

　　　　　　　　　　　小者餘弦大其餘弦内

　　　　　　　　　　　皆兼有初得次得兩數詳

　　　　　　　　　　　見環中黍尺

　　　　　　　　　　　甲寅象限弧　乙丙半徑

　　　　　　　　　　　為首率

　　　　　　　　　　　丙寅弧之正弦(丙/辛)為次率

　　　　　　　　　　　丙丑弧之正弦丑戊為三

　　　　　　　　　　　率(辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊)

求得戊巳為四率(丑壬壬/子並同)

　以上皆與前圖同

論曰凖前論丙辛乙句股形與丑壬戊句股形相似法

為乙丙與丙辛若丑戊與丑壬也(或辰戊與/戊巳亦同)

解曰乙丙首率半徑全數也丙辛正弦為次率其弧丙

寅丑戊正弦為三率其弧丙丑而丙丑(三率/)即丙辰以

加丙寅(次率/之弧)成辰寅總弧而辰卯亦總弧之餘弦也以

丙丑(三率/之弧)減丙寅(次率/之弧)其餘丑寅為存弧而丑癸則亦

存弧之餘弦也兩餘弦相加成子丑(子癸同辰卯/皆總弧餘弦)子丑

折半於壬而壬丑同壬子亦同戊巳則所求之四率也

　厯算全書卷五十四