歷算全書

欽定四庫全書

　厯算全書卷五十五

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　解八線割圓之根

　　八線割圓説

天體至圓最中一㸃為心過心直線為徑圓面諸圏為

弧弧與徑古用徑一圍三之比例(有宻術徽術/各家不同)然終非

弧度之真葢圓為曲線徑為直線兩者為異類亘古無

相通之率夫日月星辰之道皆弧線也人目測視之線

皆直線也苟非由直線以得曲線縱推算極精皆非確

數於推歩測量諸用所關甚鉅其可畧歟西儒幾何等

書别立數法求得弧與徑相凖之率更以逐度之弧准

逐度之線内用弦矢外用割切于是始則因弧而求線

繼則因線而知弧交互推求雖分秒之弧度盡得其准

立法之善即𨽻首商髙復生無以易也苐割圓八線表

雖乆傳于世而立法之根未得専書剖晰大測中如十

邊五邊形之理皆缺焉弗講薛青州作正弦解亦僅依

式推衍未能有所發明予於厯算生平癖嗜凡有奧義

必欲直窮其所以然而後快竊思割圓八線乃厯算之

本源豈可習焉不察因反覆抽繹耿耿於心者數年積

思之乆乃得漸次㑹通遂著其圖衍其算理之隠賾者

明之法之缺畧者補之㑹而成帙以備好學者之採擇

云爾

　　立表之根有七

一大圓中止有徑線初無邊角可尋乃作者慿空結撰

求得七弧之通弦而全割圓表即從此推出又絶無假

借紐合之病割圓之巧孰有加於是焉

表根一　圓内作六等邉切形求得六十度之通弦

法曰六十度之通弦與圈之半徑等作表時命為十萬

亦曰全數

解曰如圖辛為心作甲丙丁圈甲丁為全徑辛丁為半

徑次取丁為心辛為界作戊庚辛圈與原圈相交於丙

于戊次引長丁辛線至庚必平分丙戊弧於丁亦平分

戊丙弧于辛(以丁為戊/庚圈心故)次作辛丙丙丁丁戊戊辛四線

成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何則丁為

　　　　　　　　　　心辛為界則丁辛與丁丙皆

　　　　　　　　　　為戊庚圏之半徑仍用辛丁

　　　　　　　　　　為度辛為心丁為界則辛丁

　　　　　　　　　　又為甲己圈之半徑辛丙亦

同則辛丁丁丙辛丙三線俱等而辛丁丙為三邉等形

丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也

則丙丁弧為六十度丙丁即六十度之通弦與辛丁半

徑等矣丁戊辛形倣此

次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角

俱與丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈為

六分次作丙丁等六線相連成六等邉内切形等邉等

角葢乙辛己丙辛戊兩交角之弧既當六分圈之四則

中間己戊乙丙二弧亦必各為六分圈之一故成六等

邉形皆以半徑為邉此天地自然之數也

表根二　圈内作四等邉切形求得九十度之通弦

法曰半徑上方形倍之開方得九十度之通弦

　　　　　　　　　解曰圈内四等邉切形即内切

　　　　　　　　　直角方形也　如圖甲癸丁圏

　　　　　　　　　庚為心作丁癸全徑又作甲己

　　　　　　　　　全徑與丁癸十字相交為凑心

四直角即平分大圓為四分每分九十度次作甲癸己

癸己丁甲丁四線相連成四邉等形其切圏之甲丁己

癸四角俱為直角(以各角俱/乗半圈故)所容之癸甲丁己為正方

形甲癸等為九十度之通弦用甲庚癸直角形甲庚半

徑上方與庚癸半徑上方并開方得甲癸弦句股求弦

術也

　巳上二根並仍厯書之舊

表根三　圈内作十等邉切形用理分中末線求得三

十六度之通弦

法曰圏徑上作理分中末線其大分為十邉等形之一

邉即三十六度之通弦今欲明十邉形之理先解理分

　　　　　　　中末線欲明理分中末線先解方形

　　　　　　　及矩形

　　　　　　　一解曰凡正方形内(如乙庚/戊丙方)依一角

復作正方形(如丁/庚方)以小方之各邉引長之如甲午辛壬

即分元方戊庚為四分小方之各邉與大方之各邉俱

兩兩平行其與小方丁庚相對之丁戊形亦必正方形

左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等

一解曰任設一線如甲戊兩平分之于乙又任引長之

為戊庚(長短/不論)其全線甲庚偕引長線戊庚(即子/庚)矩内形

　　　　　　　　　　(甲子/矩)及半元線甲乙(癸丑/等)上

　　　　　　　　　　方形(癸辛/方)并成子丑壬甲磬

　　　　　　　　　　折形此形與半元線(乙/戊)偕引

　　　　　　　　　　長線乙庚上之乙丙方形等

何則乙庚上方乙丙與磬折形子丑壬甲共用乙子矩

形今試以此兩率各試去乙子矩形兩所餘為乙壬矩

及丑丙矩夫此兩矩形邉各相等(辛丙與乙辛等辛丑/與壬辛亦等以壬丑)

(為正/方故)其冪亦必等則於乙子形加丑丙得乙丙方于乙

子形加乙壬得子甲壬磬折形亦無不等矣　又己辛

亦正方形以相對之己庚為正方故己辛方與壬丑方

亦等以同在甲庚癸子兩平行線内又甲乙乙戊相等

故也分中末線

解理分中末線　明上二圖可論理分中末線矣法曰

如圖任作甲戊線兩平分於乙以甲戊線自之作戊卯

方從乙平分處向丁作乙丁線次以甲戊引至庚令乙

庚與乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子與戊庚等

作癸子線分戊丁于己則戊己為戊丁元線之大分己

丁為小分戊己丁己戊丁三線成連比例戊丁與戊己

若戊己與己丁而戊己為中

解曰依上二圖之論甲庚線偕戊庚矩形及乙戊(即甲/乙)

上方形并與乙庚上方等今乙庚線既令與乙丁等則

　　　　　　　　　乙丁上方亦與乙庚上方等是

　　　　　　　　　甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方

　　　　　　　　　并與乙丁上方等而乙丁上方

　　　　　　　　　與乙戊丁戊上兩方之并等此

二率者共用乙戊上方試以此二率各減去乙戊上方

則所存之戊卯方與甲子矩形必等矣夫戊卯方既與

甲子矩等又共用甲己矩形試各減去甲己矩形則所

存戊子方與卯巳矩形必等矣卯巳與戊子兩矩形既

等又以巳直角相連則兩形之邉為互相似之比例癸

己與巳子若戊己與己丁夫癸己即戊丁也則戊丁與

戊己若戊己與己丁為連比例而戊己為中率戊己上

方(二三/率)與戊丁(一/率)偕己丁(四/率)矩形等戊丁全線為首率

戊己大分為中率減戊丁(甲戊/同)存己丁小分為末率葢

理分中末線云者於一直線上作連比例之謂也求之

法以所設甲戊半于乙為句甲戊為股(即戊/丁)求乙丁弦

即乙庚也減乙戊句存戊庚即戊己大分減戊丁元線

存己丁小分

又甲戊引長線止於庚者欲令乙庚等乙丁也若不為

連比例戊庚可任意引長之如前二圖之論然理分中

末線法實從二圖之理推出其關鍵全在乙庚乙丁二

線等也

解理分中末線大分為三十六度之通弦　觀上諸論

可明理分中末線之法然何以知其大分能為十等邉

形之一邊如圖任作甲乙線用上法分之於内為理分

中末線甲乙與甲丙若甲丙與丙乙甲丙其大分丙乙

其小分次用甲乙全線為半徑甲為心乙為界作圏又

從乙作乙丁合圏線令與甲丙等末從圏心作甲丁線

相連其甲乙甲丁兩半徑等即甲丙丁為兩腰等三角

形夫此三角形其腰間之甲乙丁甲丁乙二角必各倍

大於底上甲角何則試從丙作丙丁線于甲丙丁角形

外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形與甲

丙上方形等(因連比/例等)亦即與至規外之乙丁上方等而

乙丁切小圏于丁為切線即乙丁切線偕丁丙線所作

乙丁丙角與負丁甲丙圏分之甲角交互相等(見幾何/三巻三)

　　　　　　　　　　　(十/二)此二率者每加一丙丁

　　　　　　　　　　　甲角即甲丁乙全角與丙

　　　　　　　　　　　甲丁丙丁甲兩角並等夫

　　　　　　　　　　　乙丙丁外角與丁甲相對

　　　　　　　　　　　之内兩角并等即乙丙丁

角與甲丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與

乙丁兩線亦等夫乙丁原與甲丙等即丙丁與丙甲亦

等因丙甲丁丙丁甲兩角亦等又甲角既與乙丁丙角

等即乙丁丙甲丁丙兩角亦相等是甲丁乙倍大於丙

丁甲亦即倍大於相等之丙甲丁角也而甲乙邉與甲

丁等則甲乙丁角亦倍大於甲角也

次解曰丙丁乙角何以知其與丙甲丁角交互相等試

作未丁全徑與乙丁為直角又作未丙線成未丙丁直

角夫丙未丁丙丁未二角並與一直角等乙丁未亦一

直角此二率者各減去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁

二角必等夫丙未丁負圏角也丙甲丁亦負圏角也同

負丙丁弧則丙甲丁角與丙未丁角等夫未角與丙丁

乙角等也今既與丙甲丁等則丙甲丁角亦必與丙丁

乙角等

依上論顯甲乙丁形之乙丁二角俱倍大於底上甲角

形内之丙丁乙形與甲乙丁原形相似其丙乙二角亦

倍大於乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三線俱等夫甲丁乙

形之甲乙丁三角并等兩直角今乙丁二角既倍大於

甲角是合乙甲丁角而為五分兩直角矣則乙甲丁角

該五分兩直角之一為三十六度夫五分兩直角之一

與十分四直角(全周/)之一等則乙甲丁角或乙丁弧即

十分圏之一分乙甲丁甲又各為半徑則乙丁即十等

邊形之一邊夫乙丁與丙丁等丙丁與甲丙等則甲丙

與乙丁亦等而甲丙即理分中末線之大分故圏徑上

作理分中末線其大分為三十六度之通弦

圏内作十等邊切形法　先依上作甲丁乙兩腰等三

角形以甲乙甲丁各引至圏界為乙己丁戊其己戊弧

與乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二線各半

之於辛於壬又作癸丑子寅卯庚諸線俱過甲心各抵

圏界即平分大圓為十分末作戊己等十線相連即所求

　十邊形之理據厯書見幾何十三卷九題而幾何六

　卷巳後之書未經翻譯不可得見考之他書未有發

　明其義者余特作此解之

表根四　圈内作五等邉内切形求得七十二度之通弦

法曰六邉形上方形及十邉形上方形并開方得七十

二度通弦

解内切五等邉形法　法曰甲乙丁圈於圈内作甲丙

　　　　　　　　丁兩腰等乗圈角形令腰間丙丁

　　　　　　　　二角各倍大於甲角即甲角所乗

　　　　　　　　之丙丁弧為全圈五分之一何則

甲丙丁形之三角并等兩直角今丙丁二角既各倍大

於甲角則甲角為五分兩直角之一又甲為乗圈角所

乗之丙丁弧必更倍大於甲角之度為全圏五之一矣

(七十/二度)夫丙于二角又倍大于甲角則其所乗甲丙甲丁

二弧亦必倍大於丙丁為全圈五分之二即作丙戊丁

乙二線平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈

為五平分丙丁線即五等邉之一末作丁戊等四線相

連成五等邉内切形等邉等角　此係歴書原法

新増作五等邉形法

　　　　　　　甲庚壬平圓内作五邉等形法任作

　　　　　　　切圓直線如子丑切平圓於甲乃以

　　　　　　　切㸃甲為心任作半圈如子寅丑次

　　　　　　　勻分半圓周為五平分如子辰等次

從半圓上取五平分之各㸃作直線至切㸃甲此直線

必過半圓周(如甲辰線必過庚寅/甲線必過戊餘倣此)末於平圓内聯各㸃

作通弦即成五等邉形(庚甲乙甲本為通弦補作戊庚/丁戊乙丁三線並與庚甲乙甲)

　　　　　　　　(等皆七十二/度通弦也)

　　　　　　　　解曰卯甲寅負圈角正得丁心戊

　　　　　　　　分圓角之半卯甲寅既為十等面

　　　　　　　　凑心之角必三十六度也則丁心

戊角必七十二度而為五等邉角矣　或作半圓于外

如下圖亦同前論

解六邉十邉兩方并等五邉上方形　法曰依前理分

中末線法作己丁丁丙二邉為十分圏之一乙己乙丙

甲乙三線俱為中末線之大分與十邊形之一等乙丁

　　　　　　　　　　　　　　其小分次取己丁

　　　　　　　　　　　　　　弧之倍至丙作甲

　　　　　　　　　　　　　　丙線得己丙七十

　　　　　　　　　　　　　　二度為五分圏之

　　　　　　　　　　　　　　一(己丁丙為十分/圏之二即五分)

　　　　　　　　　　　　　　(圏之/一矣)作丙己線即

　　　　　　　　　　　　　　五等形之一邊也

己甲丙為七十二度之角次取己為心己丁大分為界

作丁未庚圏又以丙為心丙甲半徑為界作子甲丑圖

兩圏相交於辛末從丙心向交㸃(辛/)作丙辛線從己心

向交㸃(辛/)作己辛線成丙己辛三角形此形辛為直角

丙辛六邊形之邊(即子/丙)為股己辛十邊形之邊(即己/丁)為

句己丙五邊形之邊為弦用句股術得己丙七十二度

之通弦

解曰丙辛己形何以知辛㸃必為直角試觀乙己丁乙

丙丁俱為兩腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等

　　　　　　　　　　邉斜方形則丙己線必平分

　　　　　　　　　　乙丁小分于壬甲丁線因己

　　　　　　　　　　丙弧為己丁之倍亦平分丙

　　　　　　　　　　己弦于壬壬㸃為直角又形

内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱

自相等夫丙己邉上方形為壬己上方形之四倍(幾何/言全)

(線上方形為半元/線上方形之四倍)而壬己上方乃乙己上方減去乙壬

上方之數(句弦/求股)是以乙己上方四倍之(即己乙己丁丙/丁丙乙四線上)

(方之/并)減去乙丁小分上方(乙丁上方為乙壬上方之四/倍以乙壬為乙丁之半故也)

(即乙壬等四/小句方之并)所餘即與丙己上方等矣而此四乙己方

減乙丁上方之餘又與全數上方及中末線大分之方

并等(即十邉/形之一)何則試觀二圖(即理分中/末線圖)甲丁為全數甲

戊為全數上方丁乙為大分丁子為大分上方兩方之

并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四

則重一庚己小分之方(取丙丁與乙丁等則己丁壬乙/俱為大分之方而庚壬矩與丁)

(子方等甲壬矩又與庚壬矩等是共有大分上方形之/四倍而庚己小方則重叠在内庚己乃辛己小分之方)

(也/)今試於磬折形内減去重叠之方(癸辛/方)是即於四个

大分方内減一小分上方亦猶之前圖四乙己方内減

去乙丁上方而所餘必等矣夫此磬折形既與前四乙

己方内減乙丁上方之餘冪等而此餘冪又與丙己上

方等則此磬折形亦與五等邊之一丙己上方等而磬

折形乃甲戊丁子兩方之并也甲戊方之根甲丁即前

丙辛己形之丙辛邊丁子方形之根丁己即前丙己辛

形之己辛邊今丙辛己辛上兩方并既等於丙己上方

是丙辛己為句股形而辛為直角矣丙辛半徑股也己

辛大分句也丙子弧六十度之邊子丙即丙辛股己丁

弧三十六度之邊丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三

邊適凑成句股形故厯書言六邊上方并十邊上方與

五邊上方等葢以此也

若作戊乙線成戊丁乙句股形與前丙辛己形等戊乙

即五邊形之一益可見辛之必為直角矣

　求七十二度通弦法取逕甚竒大測止具算術未著

　其理(據云見幾何/十三卷十題)薛書及孔林宗説殊多牽附余此

　圖與原算脗合乃知古人立法之簡奥也因更推衍

　四法如下

如圖午丁大圈依理分中末線法作十邉等内切形丁

午等俱大分次從癸昴諸㸃(癸甲昴甲/俱為大分)作癸昴昴壁等

線俱為小分各連之則中末線之大小兩分成内外兩

十邉等形俱各兩兩平行一切于周一切于徑次任取

　　　　　　　　　　　　　戊為心甲為界作圈

　　　　　　　　　　　　　亦依上法用其大分

　　　　　　　　　　　　　小分作内外兩十邉

　　　　　　　　　　　　　等形末作乙丙乙丑

　　　　　　　　　　　　　等五線為五邉形之

　　　　　　　　　　　　　各邉諸線交錯得求

乙丙邉之法有五

一丁乙丙形有丁丙全徑有丁卯全數及卯乙大分并

為丁乙(丁乙與午/戊必平行)乙為直角用股弦求句法得乙丙邉

二乙丙寅形有乙寅小分為句有丙戊戌寅兩大分并

得丙寅為弦求得乙丙股

三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全數有甲辛大

分有辛壬為辛戊小分之半并為甲壬求壬丙勾倍之

得丙乙邉

四乙壬戊形有乙戊大分為弦有壬戊小分之半為句

求乙壬股倍之得乙丙邉

又形中兩圈相交内有甲卯乙戊未為小五邉形其各

邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚為小

六邉形其各邉亦即大分又小五邉形與午丑乙丙氐

大五邉形相似而體勢等則其各邉俱成比例乙甲全

數與甲卯大分若乙午與午丑則以甲卯與午乙相乗

全數除之亦得五邉形之一其午乙線以乙亢午直角

形用句弦求股術取之

表根五　圈内作三等邉内切形求得一百二十度通

　　　　　　　　　弦半之為六十度正弦

　　　　　　　　　法曰全徑上方形内減六邊形

　　　　　　　　　上方形開方得一百二十度之

　　　　　　　　　通弦

解曰甲為圏心甲乙為半徑作圏次乙為心仍用乙甲

為半徑作弧與大圏相交於丁於戊其所截之丁乙戊

弧即三分圏之一何則依前六邊形之論丁乙戊乙二

弧俱為六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大於丁乙必三

分圈之一矣(一百二/十度)即作丁戊線為三等邊形之邊次

以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏於丙以丙乙為

過心線既平分丁戊弧於乙亦必平分丁丙戊弧於丙

也從丙作丙戊丙丁二線成丁丙戊三邊等内切形求

之用乙丁丙三角形丁為直角(以丁角乗丙/戊乙半圏故)丁乙為六

邊形之一丙乙全徑上方減去丁乙半徑上方(丁乙即/乙甲)

餘開方得丙丁邊句弦求股術也

表根六　圏内作十五等邊内切形求得二十四度之

通弦

法曰三邊等形與五邉等形之較即十五分圏之一可

求二十四度通弦

解曰戊丙大圈丑為心作丙子全徑取丙㸃為宗依前

法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五邊等形丙

甲弧為三分圈之一(一百二/十度)丙戊乙弧為五分圈之二

(七十/二度)相較得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其

求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半於癸三邉形之邉

甲辛半於壬得乙癸與甲壬相減(丁壬即/乙癸)存甲丁為股

次作乙丑甲丑兩半徑成乙丑癸甲丑壬二直角形以

　　　　　　　　　　乙丑半徑上方減乙癸半弦

　　　　　　　　　　上方餘開方得癸丑邉又以

　　　　　　　　　　甲丑半徑上方減甲壬半弦

　　　　　　　　　　上方餘開方得丑壬邉次以

丑癸與丑壬相減得壬癸(即乙/丁)為句末用甲丁乙直角

形甲丁上方與丁乙上方并開方得甲乙為十五等邉

内切形之邊

又解曰甲乙弧何以知為十五分圏之一凡一圏内作

三邊等形又作五邊等形以其邊數三與五相乗得十

五即知可為十五等邊切形其兩弧之較必有十五分

圏之一如甲乙也餘倣此推　此亦厯書原法

表根七　圈内作九等邊内切形求得四十度之通弦(新/増)

求内切九等邊形　法曰甲為圓心于圓内先作庚子

辛三邊等形(法見/前)平分大圓為三分次用甲庚為度作

　　　　　　　　　　庚己線與庚辛為直角庚為

　　　　　　　　　　心己為界作己壬弧為全圏

　　　　　　　　　　六之一(六十/度)次於己壬弧上

　　　　　　　　　　任取癸㸃向甲心作癸甲直

線與庚辛交於戊其自癸至戊之度令與甲乙半徑等

次癸為心戊為界作圏與大圏相交於丙於庚(庚㸃為/己壬弧)

(圏心又癸戊半徑與/庚己等必相交于庚)從癸又作癸庚癸丙二線得庚戊

丙圈所割之庚乙丙弧必為庚辛弧三之二辛丙為三

之一即全圏九分之一也末作丙辛線為内切九等形

之邉依此作丙乙乙庚諸線成九等邉内切形等邉等角

解曰癸戊線既等甲乙半徑則兩圈相交之庚戊丙庚

乙丙兩弧必等又癸甲線既過兩心(甲大圓心癸/庚戊丙圈心)試作

庚丙通弦必平分通弦於丁亦平分庚丙弧於乙與丙

庚弧於戊而庚乙與丙乙等庚戊與丙戊等又兩弧(庚/乙)

(丙庚/戊丙)共用庚丙通弦則丙戊與丙乙庚戊與庚乙亦各

相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四線亦等又癸丙癸戊癸

庚三線俱即半徑(癸為庚戊/丙圈心故)則癸庚戊癸丙戊為兩腰

等三角形而兩癸角又等(庚戊丙戊/二弧等故)則兩形之邉角俱

自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何則戊角之餘

為丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸兩角之并亦

即癸丙戊癸戊丙兩角之并(癸戊庚角與癸戊丙等因/兩形為等形亦與癸丙戊)

(角/等)是丙戊辛角必與戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙

弧則辛角必得庚丙之半與乙丙弧等亦與丙戊等是

丙辛戊角亦與戊癸兩角等而辛丙戊為兩腰等形因

得戊丙與辛丙兩邉亦等夫丙戊邊本與戊庚等則丑

丙與戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙

乙乙庚三線等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前

庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又為庚辛三之一即

全圈九之一為四十度而庚乙即四十度通弦　按癸

丙線必與庚甲平行其交己壬弧之丑㸃必居癸壬弧

之中而壬丑丑癸癸己為三平分各得十二度

求九邊形之邊　法曰取十邊形相較可得九分圏之

　　　　　　　　　　邊如圖乙辛戊圓甲為心取

　　　　　　　　　　辛丙弧為十邊形之一(三十/六度)

　　　　　　　　　　戊乙弧為九邉形之一(四十/度)

　　　　　　　　　　辛丙為十邉形之邉乙戊為

九邊形之邊二線令平行則其較弧辛乙與丙戊相等

(各二/度)次作辛乙丙乙諸線成辛乙戊丙四邉形此形有

丙辛邊(前第五/根所得)有辛乙邊(一度正弦之倍/用後法所得)先求丙乙線

用丙辛乙鈍角形作辛丁垂線以辛丙半之因乙辛得

辛丁次以辛丁上方減辛乙上方開方得乙丁又以減

辛丙上方開方得丁丙并之得乙丙線與辛戊等次以

乙丙自乗方内減去辛乙自乗方餘以辛丙除之得乙

戍為九邊形之邊即四十度通弦也(上圖之/庚乙線)

解曰丙辛線既與戊乙平行則丙乙辛戊兩線相等辛

乙與丙戊亦等從辛從丙作辛己丙午二垂線所截戊

乙線之戊午己乙為丙辛戊乙二線相較之半亦必等

夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形

(辛乙與丙/戊等故)而丙乙上方乃丙午乙午上兩方之并丙戊

上方又丙午戊午上兩方之并則試於丙乙上方減去

丙午上方所餘為乙亥方丙戊上方減去丙午上方所

餘為午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形

減丙戊上方形是減去丙午上一方又減去巳子一方

(即戊午/上方形)所餘為午卯丑亥磬折形夫午乙與己戊二線

相等則午丑與巳酉兩方形亦等因得卯午矩與申酉

矩等移卯午補申酉則丑未矩形與午卯丑亥磬折形

等矣故以子丑除之(子丑即丙辛以/卯亥為正方故)得子未邊即乙戊

四十度通弦也

　按九邊形法諸書所無然缺此則九十度之正弦不

　備壬寅秋客潤州魏副憲官署時魏公鋭意厯學因

　作此圖補之

附求一度之通弦(一度為全圓三百六十之一亦/可名三百六十等邉内切形)

法曰一度之通弦取相近之數用中比例法得之

如圖庚乙弧為一度先設甲庚一度三十分依前法(表/根)

(六及表/法一)求其正弦甲癸○度○二六一七六八九又求

其通弦得○度○二六一七九二半之得○度○一三

　　　　　　　　　　　○八九六為己庚四十五

　　　　　　　　　　　分弧正弦己辛也三分之

　　　　　　　　　　　得己寅○度○○四三六

　　　　　　　　　　　三三為十五分弧略大線

加己辛(即未/丑)得壬丑○度○一七四五二八為一度弧

略大之正弦次於甲癸線内減己辛(即戊/癸)餘戊甲亦三

分之得丙戊○度○○四三六二四為十五分弧略小

線加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也為丁

庚一度略小弧之正弦夫大小兩弦其差八數為壬亥

半之得四壬申也(申亥/同)加小減大得乙子○度○一七

四五二四為乙庚一度之正弦若求其通弦用正弦與

正矢為句股求之(此薛儀甫歴/學㑹通法)

再細求一度正弦(係作枚法/)

前四十五分弧之正弦○度○一三○八九六法以四

十五分半之為廿二分三十秒求其正弦得六五四四

九又半之為十一分十五秒求得正弦三二七二四五

夫廿二分三十秒之弧倍於十一分十五秒而其弦亦

倍則知二十分以内之弧正弦若平分數(縱有叅差/非算所及)法

以廿二分三十秒為一率正弦六五四四九為二率十

五分為三率得四率十五分正弦○度○○四三六三

二六次以十五分正弦與四十五分餘弦○度九九九

九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八

六為先數以十五分餘弦○度九九九九九○四八與

四十五分正弦○度○一三○八九六相乗得○度○

一三○八九四七五三八為後數(相乗之理/見表法六)兩數相併

得○度○一七四五二三六一四五為一度正弦與薛

書略同但此法似宻

論曰弧與弦非平分數然一度以内弧弦相切曲直之

分所差極微故可以中比例法求也

　按上七根所求者皆各弧之通弦表中所列俱正弦

　葢論割圓必以通弦便算則惟正弦然正弦即通弦

　之半全與分之比例等其理一也

　　作表之法有七

　用上根數於大圓中求七弧之通弦以為造端之始

　而各度之弦尚無從可得爰立六種公法或折半或

　加倍或相總或相較轉輾推求以得象限内各度之

　正弦葢上諸法乃其體此則其用也二者相資表以

　成焉

表法一　有一弧之正弦求其餘弦及半本弧之正弦

與餘弦

解曰如圖甲為圈心乙丙戊弧為全圈四之一(九十/)乙

甲戊甲俱半徑設有戊丁丙弧其正弦為丙庚即從丙

作丙甲線成丙庚甲直角形法甲丙全數上方減丙庚

正弦上方餘開之得甲庚與丙辛等即丙戊弧之餘弦

也又用甲庚減甲戊半徑得庚戊矢又作丙戊線成丙

庚戊直角形法庚戊矢上方與丙庚上方并開方得丙

戊為戊丁丙弧通弦半之得丙己或戊己即半本弧丙

丁或丁戊之正弦又以丙甲己形(戊甲己/形同)用句弦求股

　　　　　　　術求己甲得半本弧之餘弦(癸丙/等)若

　　　　　　　再以丙己丁己二邊求丙丁弦半之

　　　　　　　又得半丙丁弧之正弦餘倣此逓求

　　　　　　　之

　　　　　　　論曰丙戊弧既平分于丁其丙戊弦

　　　　　　　亦必平分於巳故半丙戊為半本弧

之正弦試作丁甲壬象限則丙己正弦己甲餘弦尤了

然矣

表法二　有一弧之正餘弦求其倍本弧之正弦與餘弦

解曰甲丙象限内設有甲戊弧其正弦戊己餘弦己乙

今求倍甲戊之甲丁弧正弦丁癸與餘弦癸乙法先作

丁甲線為丁戊甲倍弧之通弦此線必為乙戊線平分

　　　　　　　　於壬則壬甲亦為甲戊弧正弦與

　　　　　　　　戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊

　　　　　　　　己則其餘弦壬乙亦必等己乙法

　　　　　　　　用己戊乙庚壬乙兩形乙戊全數

與戊巳正弦若乙壬餘弦(即乙/己)與壬庚而壬庚即辛癸

倍之得丁癸為倍弧甲丁之正弦

論曰乙戊己乙壬甲兩形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬

己乙等壬乙故壬乙得為餘弦又乙戊己乙壬庚兩形相

似故第四率可求壬庚(即辛/癸)而壬庚必為丁癸之半以

丁癸甲直角形丁甲弦既平分於壬從壬作壬辛垂線

亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸為倍弧甲戊

丁正弦又壬庚線亦平分甲癸句於庚用甲壬庚形依

句股術求甲庚倍之以減甲乙存癸乙或丁子即倍弧

之餘弦也

表法三　求象限内六十度左右距等弧之正弦

解曰六十度左右距等弧之正弦與其前後弧兩正弦

之較等如圖乙丙象限内設丙戊為六十度(不/動)有丙己

小弧(須在三十/度以上)丙巳丁大弧其大弧與丙戊六十度之

較戊丁令與丙己小弧與戊丙六十度之較戊己等其

大小兩弧正弦一為己辛一為丁庚相較為丁癸此丁

癸與己壬丁壬等則丁癸為戊丁戊己距等弧之正弦

壬甲為餘弦

論曰試從巳向子作巳子線則丁巳子為三邊等形何

則形中壬子丁壬子己兩形相等(丁子壬己子壬兩角/本等又同用壬子邊)

(則兩形/自等)而丁子壬角與乙甲戊角等(以丁庚與乙/甲平行故)為三

十度(乙甲戊為丙戊甲/角六十度之餘)則丁子巳角為丁子壬之倍必

六十度又丁子壬巳子壬兩角等則其餘壬丁子壬巳

子二角亦必各六十度而與丁子巳角等則丁子巳為

　　　　　　　　平邊三角形夫丁子巳既為平邊

　　　　　　　　三角形其巳癸垂線必平分丁子

　　　　　　　　於癸子壬垂線必平分丁巳於壬

　　　　　　　　兩分之丁癸與丁壬必等而丁癸

乃己丙丁丙大小二弧兩正弦(一巳辛/一丁庚)之較

　按此須先求得象限内六十率之正弦依上法可求

　左右三十率之正弦外此即不可用以六十度之餘

　止三十度故也

表法四　任設兩弧之正餘弦求兩弧并及較弧折半

之正弦

解曰戊壬象限内任設不齊之兩弧一置在上如戊丙

　　　　　　　　一置在下如丁壬中間所容丙丁

　　　　　　　　弧即戊丙丁壬兩弧并之餘今求

　　　　　　　　半丙丁弧丙乙(丁乙/同)之正弦法作

　　　　　　　　丁壬弧正弦丁辛餘弦丁癸戊丙

弧正弦丙壬(即癸/己)餘弦丙子又作丙丁線為較弧之通

弦成丙己丁直角形次以丁壬弧正弦(丁辛巳/子同)減戊丙

弧餘弦(丙/子)得丙己為股丁壬弧餘弦(丁/癸)減戊丙弧正弦

(癸/己)得丁己為句句股求弦得丙丁邉半於庚得丙庚或

庚丁為丙丁半弧丙乙之正弦

　巳上俱係厯書原法

表法五　有一弧之正弦求倍本弧之矢因得餘弦

解曰設戊乙弧其正弦乙丁戊丙為戊乙弧之倍其正弦

丙己正矢戊己丙戊為倍弧通弦半于辛其辛戊與乙

　　　　　　　　丁等法用戊丙己戊辛甲兩直角

　　　　　　　　相似形(二形同用戊/角故相似)甲戊與戊辛

　　　　　　　　若丙戊與戊己倍弧矢夫四率之

　　　　　　　　理二三相乗之矩内形與一四相

乗之矩等則丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛

戊所得矩形為辛戊上方形之倍(戊辛自乗得辛庚方/倍之為丙庚矩即丙)

(戊與戊庚相乗之/幂也戊庚即戊辛)而全數(甲戊/也)又省一除故以乙丁正

弦(即辛/戊)自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用減半徑得

倍弧餘弦己甲若反之以戊己矢折半進位開方即得

半本弧之正弦(丁/乙)　此孔林宗術勿菴稱為正弦簡法

余作此圖以著其理

表法六　任設不齊之兩弧求兩弧相并之正弦及相

較之正弦

解曰寅巳未圏甲為心寅巳為一象限設寅已弧内有

己辛弧若干度為前弧又有己戊弧小于己辛為後弧

戊子為後弧正弦子甲其餘弦午辛為前弧正弦午甲

　　　　　　　　　其餘弦次取辛丑弧與己戊後

　　　　　　　　　弧等則己戊丑為前後兩弧之

　　　　　　　　　并弧丑亥即并弧之正弦次作

　　　　　　　　　丑壬線為丑辛弧正弦與戊子

等其餘弦壬甲亦與子甲等辛壬亦與子巳等法用甲

午辛甲壬丁二相似形以後弧之餘弦壬甲因前弧之

正弦辛午全數(甲/辛)除之得壬丁為初數(卯亥/等)寄位　次

用甲辛午丑壬卯二相似形(甲辛午形之辛角與丑乙/辛角等因丑壬乙為直角)

(其丑壬卯角亦與丑乙壬角等則亦與甲辛午/角等又二形之卯午俱為直角則兩形相似)甲辛與

甲午若丑壬與丑卯則以前弧之餘弦甲午因後弧之

　　　　　　　　　　正弦丑壬全數(辛/甲)除之得丑

　　　　　　　　　　卯為次數末以五卯與初數

　　　　　　　　　　卯亥相并得丑亥為已戊丑

　　　　　　　　　　兩弧相并之正弦　若求兩

弧相較之正弦法以後弧丑壬正弦引長之抵圈界於

癸則丑癸為丑辛癸弧之通弦因壬㸃為直角其癸壬

與丑壬必等因得丑辛癸辛兩弧亦等夫丑辛弧原與

戊巳後弧等則辛癸與戊己弧亦等即以辛癸減辛己

前弧得癸己為兩弧之較癸庚即較弧之正弦癸酉其

餘弦法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角

形相等(丑癸辰句股形丑癸弦既平分于壬則從壬作/壬卯壬申二垂線亦必平分丑辰句于卯癸辰)

(股于申而癸申壬/丑卯壬兩形必等)因得壬申即丑卯次數(壬申等卯辰/卯辰即丑卯)

用以減初數壬丁存申丁即癸庚也為較弧癸巳之正

弦亦與戊辛弧正弦等

若兩弧相并在象限外如次圖巳寅丑弧理亦同(鈐記/同前)

有不齊之兩弧求相并相較弧正弦又法

法曰兩弧(小甲丙/大甲戊)相并曰總弧(甲/癸)相減曰多弧(戊/丙)置大

小兩弧以大弧正弦(戊/辛)因小弧較弦(子/庚)曰先數(庚/乙)以大

弧較弦(辛/庚)因小弧正弦(庚/午)曰後數(午/未)　視兩弧在象限

内者以後數(亥/壬)減先數(亥丙也以午亥丙形/與庚乙子形等故)為多弧正

弦(壬/丙)以後數卯丑加先數(丑已以庚巳丑形/與庚乙子形等故)為總弧正

弦(卯巳也以卯午巳形與庚/酉癸形等故卯己即酉癸)若兩弧過象限者加減各異

　　　　　　　　　　　　又或置大小兩弧(同/上)以

　　　　　　　　　　　　大弧正弦(戊/辛)因小弧正

　　　　　　　　　　　　弦午庚曰先數(庚/未)以大

　　　　　　　　　　　　弧較弦(庚/辛)因小弧較弦

(庚/子)曰後數(子/乙)　視兩弧在象限下以後數(午/亥)加先數得

多弧較弦(壬/庚)以後數(庚/丑)減先數(庚/未)得總弧較弦(丑未即/午卯亦)

(即庚/酉)若兩弧象限内外不等加減亦異

　此法詳三角會編五卷梅勿菴先生環中黍尺亦著

　其法然彼所論者弧三角形此則平圓中求正弦也

表法七　圓内有五通弦錯互成四不等邊形求不知

一弧之通弦

解曰甲為圓心戊庚為圓徑戊丙丙丁丁庚俱為通弦

成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚為對角線法丁戊偕

丙庚相乗之矩形内減丁庚偕丙戊相乗之矩形餘為

戊庚與丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩與戊

庚丁丙相乗之矩并與丁戊丙庚兩對角線相乗之矩

　　　　　　　　　　等也若有丙戊丁庚戊庚丙

　　　　　　　　　　庚丁戊五通弦用此可得丙

　　　　　　　　　　丁弧之通弦

　　　　　　　　　　論曰庚戊丁形與庚丙丁形

　　　　　　　　　　其戊丙兩角等(同乗丁/庚弧故)若以

丙丁弦引至己作庚己丙直角形則庚戊丁庚己丙兩

直角形相似庚戊與戊丁若庚丙與丙己夫四率之理

二三相乗矩形與一四相乗之矩等則庚丙與丁戊相

乗所得即庚丙與丙己相乗之己壬矩也(取己癸與/庚戊徑等)次

作丁辛線與己癸平行割圈於子其子庚弧與丙戊弧

等何則戊丁庚為直角丙丁子亦為直角同用戊丁子

角(子戊/弧)則丙丁戊庚丁子兩角必等其所乗之丙戊庚

子兩弧亦等矣因得庚子邊即丙戊通弦又庚子丁角

與庚戊丁角等(同乗丁/庚弧故)於庚作庚乙垂線與己丙平行

成子庚乙直角形與庚戊丁直角形相似戊庚與庚丁

若子庚與庚乙依四率之理庚子(即丙/戊)與丁庚相乗所

得即庚戊與庚乙相乗之己辛矩也(丁辛即庚戊/己丁即庚乙)用以

減己壬矩形餘丁壬矩形乃庚戊與丁丙相乗之幂故

以庚戊除之得丁丙為丁丙弧之通弦

　　　　　　　　若戊丙丁庚非半圈(或大或/小不論)則庚

　　　　　　　　戊為戊丙庚弧之通弦理亦同但

　　　　　　　　己壬為斜方形如上圖戊丁庚為

　　　　　　　　小半圈成己壬斜方其庚乙線不

　　　　　　　　與丁己平行法作己庚乙角令與

丁己庚角等則腰間相對丁乙二角亦等因得庚乙丁

己為等邊而庚乙子鈍角為丁乙庚之餘與丁己庚角

自等亦即與圓内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁為相

似形庚乙即丁己

　此上古多羅某法諸書未有能言其故者得余此圖

　庶不昧古人精意　已上二法係余所增

用上七法交互推求可得象限内各度之正弦細推之

又可每隔十五分(四分度/之一)得一正弦十五分以下用中

比例法以十五分正弦為實十五為法而一得一分之

正弦逓加之得每度内各分之正弦立割圓表又此正

弦算一象限巳足以適滿一直角故也

求切線角線矢線

割圓正弦而外又有切割矢三線并正弦為四線合其

餘為八線葢以八線凖一弧弧之曲度得其真矣切線

止切圈以一㸃全在圏外割線從圈心過規半在内半

在外正弦與矢全在圈内如圖甲為圈心庚丁為象限

庚甲丁甲俱半徑設有庚乙正弧即戊乙為正弦乙辛

(戊甲/同)為餘弦次於圏外作庚己線與戊乙平行切圈于

庚又從甲心過所截弧乙㸃作甲己線與庚己交於己

成甲己庚直角形此己庚為乙庚弧正切線己甲其正

割線也而甲己庚直角形與圓内戊甲乙形相似甲戊

與戊乙若甲庚與庚己故以餘弦除正弦半徑因之得

本弧正切又戊甲與甲乙若庚甲與甲己故以餘弦除

半徑全數因之得本弧正割以戊甲餘弦減甲庚半徑

得庚戊本弦正矢此皆庚乙弧相當之線也夫庚乙既

為正弧則乙丁為餘弧作乙辛線為餘弧之弦作丙丁

線切圏於丙為餘弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙為

餘弧之割成甲丙丁直角形與圓内甲乙辛形相似甲

　　　　　　　　　　辛與辛乙若甲丁與丁丙得

　　　　　　　　　　餘切甲辛與甲乙若甲丁與

　　　　　　　　　　甲丙得餘割乙戊(即甲/辛)正弦

　　　　　　　　　　減甲丁半徑得辛丁餘矢此

又丁乙餘弧相當之線也一正一餘共有八線若或以

丁乙為正弧即庚乙反為餘弧其八線正餘之名亦互

易葢此為正彼自為餘耳

論曰庚乙正弧之各線為甲庚己甲戊乙兩句股形所

成乙丁餘弧之各線為甲丁丙甲辛乙兩句股形所成

而甲庚己形與甲丁丙形相似(一為順句股/一為倒句股)又圓内之

乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦與甲丁丙甲庚

己二形相似是庚乙弧相當之線成相似之直角形四

設算可以用正亦可以用餘是一弧而能兼用八線此

八線表所由名也

　按表中不列矢線者以矢線用正餘弦減半徑即得

　且不常用故省之　又按割圓之難全在求正弦若

　切割線俱以比例得之

附求割線省法(用加減算/)

如乙己弧為二十度其切線乙戊求割線甲戊法先以

餘弦己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次

　　　　　　　　　以戊乙切線引長之令與戊甲

　　　　　　　　　等作甲戊辛兩腰等三角形而

　　　　　　　　　乙庚弧必與丁丙等即查乙庚

弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也

解曰乙庚弧何以與丁己弧等葢甲辛戊既為兩腰等

三角形則甲角之己庚弧必為丙己餘弧(己壬/也)之半壬

庚與己庚等而庚㸃居己壬弧之中夫丙己與己壬并

等兩直角則己庚弧之不滿直角者必為丙己之半今

丙己既半於丁則以丁己益己庚丁甲庚必為直角而

乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角(或丁/乙弧)則丙己與乙庚

等

求矢線　餘弦減半徑得正矢正弦減半徑得餘矢

求切線　餘弦除正弦半徑因之得正切正弦除餘弦

半徑因之得餘切

求割線　餘弦除半徑半徑因之得正割正弦除半徑

半徑因之得餘割

　按圓内弦矢二線當正弧初度則無九十度極大即

　半徑圈外切割二線切線當正弧初度亦無割線即

　半徑至九十度俱極大且切與割平行不能相遇名

　曰無窮之度然至此亦無切割之可言矣惟將近九

　十度㸃有極大之切割線

定八線正餘之界

庚戊丙半圓甲為心戊丙為象限設丙乙正弧在九十

度内則乙壬為正弦壬丙為正矢甲丁為正割丙丁為

　　　　　　　　正切其戊乙餘弧乙己為餘弦己

　　　　　　　　戊為餘矢甲辛為餘割戊辛為餘

　　　　　　　　切若設庚戊乙為正弧在九十度

　　　　　　　　外亦以乙壬為正弦丁丙為正切

甲丁為正割壬丙為正矢而庚壬亦為正矢又名大矢

其餘弧仍用戊乙(非乙/丙)在庚戊象限之外乙己為餘弦

戊己為餘矢戊辛為餘切甲辛為餘割葢乙壬正弦為

丙乙庚乙兩弧共用故總以戊乙為餘弧也凡算三角

形取用正餘諸線以此為凖

　厯算全書卷五十五