歷算全書

欽定四庫全書

　歴算全書卷五十六

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　方圓冪積一卷

　　方圓冪積說

歴書周徑率至二十位然其入算仍用古率(十一與十/四之比例)

(本祖冲之徑七周/二十二之宻率)豈非以乗除之際難用多位歟今以

表列之取數殊易乃為之約法則徑與周之比例即方

圓二冪之比例(徑一則方周四圓周三一四一五九二/六五而徑上方冪與員冪亦若四與三)

(一四一五九二六五尾/數八位並以表為用)亦即為立方立圓之比例(同徑/之立)

(方與圓柱若四與二一四有竒則同徑/之立方與立員若六與三一四有竒)殊為簡易直截

癸未歳匡山隠者毛心易乾乾偕其壻中州謝野臣惠

訪山居共論周徑之理因反覆推論方員相容相變諸

率庚寅在吴門又得錫山友人楊崑生定三方員訂註

圗說益覺精明甚矣學問貴相長也

　　方圎相容

新法厯書曰割圓亦属古法盖人用圭表等測天天圎

而圭表直與圎為異類詎能合歟此所以有割圎之法

也新法名為八線表云

又云徑一圍三絶非相凖之率然徑七圍二十二則盈

徑五十圍百五十七則朒或詳繹之則徑一萬圍三萬

一四五九雖亦小有竒零不盡然用之頗為相近

今算得平方與同徑之平圓其比例若四○○與三一

四五九平方内容平員平員内復容平方則内方與外

方内員與外員之冪皆加倍之比例

　　　　　　　假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁

　　　　　　　員員内又容甲乙丙丁小平方小方

　　　　　　　内又容壬丑癸子小平員如此逓互

　　　　　　　相容則其冪積皆如二與一也

假外大平方(戊己/庚辛)之積一百則内小平方之積(甲丁/乙丙)必

五十平員亦然

若求其徑則成方斜之比例大徑如斜小徑如方

假如内小平方積一百以甲丁或丙乙為徑(甲丙或丁/乙並同)

開方求一百之根得徑一十其外大平方積二百以甲

乙或丁丙為徑(或用戊庚或己辛或己/戊或辛庚為徑並同)開方求二百之

根得徑一十四一四有竒

甲乙為甲丁方之斜故斜徑自乗之冪與其方冪若二

與一而其徑與斜徑若一十與一十四(一四竒/)也折半

則為五與七(○七竒/)故曰方五則斜七有竒也

三邉形内容平員平員内又容三邉則其冪之比例為

　　　　　　　四與一甲乙丙三邉形内容丁戊己

　　　　　　　平員平員内又容丁戊己小三邉則

　　　　　　　内小三邉形為外大三邉形四之一

　　　　　　　内外兩平員之冪其比例亦為四與一

若有多層皆以此比例逓加

渾員内容立方立方内又容渾員如此逓互相容則外

員徑上冪與内員徑上冪為三倍之比例外立方與内

立方之徑冪亦然丙庚丁渾員内容丙甲丁乙立方丙

戊及戊甲皆立方邊(丙辛及甲辛並同丙/乙及甲丁等亦同)丙戊甲辛為

立方面(餘六面/並同)丙甲(為方面/斜線)丙丁(為立方體/内對角線)即渾員徑(乙/甲)

(同其辛壬及己戊皆/亦對角若作線亦同)丙乙及甲丁等又皆為立楞(戊壬及/辛己同)

　　　　　　　　解曰立方面上斜徑之冪為方冪之倍(句股/法也)

　　　　　　　　(斜為弦方為句又為股併句股實/成弦實故倍方冪即成斜徑之冪)又以斜徑

　　　　　　　　為股立方之立楞為句求得立方體内両對

　　　　　　　　角之斜徑為弦此弦實内有股實(即面上斜/徑之冪為)

　　　　　　　　(方冪/者二)有句實(即立楞之冪立楞原即方/邉故其冪即立方面冪)共得方

冪三而此丙對角斜徑即渾員之徑内小員徑又在立方體内

即以方徑為徑其徑之冪即立方面也故曰三倍比例也

立方内又容立員則内員徑即立方之徑

若求其徑則外徑大于内徑若一十七有竒與一十

内徑之冪百開方得一十為徑則外徑之冪三百開方得一

十七(又三十五/之一十一)為徑若有幾層互容皆以此比例逓加卽得

若求其體積則為五倍有竒之比例(若有多層亦以/此比例逓加)

假如内容立方積一千則外大立方積五千一百九十四有竒

解曰立積一千則其徑冪一百而外大立積之徑冪三

百又以徑一十七(又三十五/之一十一)乗之得五千一百九十四

(又七/之二)　此言大方積又在圗上渾員之外

積之比例

立方同徑之立員其比例為六○○與三一四

立方同徑之員柱其比例為四○○與三一四

員柱與同徑之立員其比例為三與二

　　方圎周徑相求

同積較徑　為方變員員變方之用

凡方圎同積則員徑大方徑小其比例若一一二八三

七九與一○○○○○○

解曰員徑一一二八三七九則方徑一○○○○○○也

法曰有員徑求其同積之方徑當以一○○○○○○乗

以一一二八三七九除

有方徑求其同積之員徑當以一一二八三七九乗以

一○○○○○○除

凡方員同積則員徑上平方與方徑上平方其比例若

四○○○○○○○○與三一四一五九二六五

解曰員徑自乗四○○○○○○○○則方徑自乗三

一四一五九二六五

法曰有員徑求其同積之方徑當以三一四一五九二

六五乗之四○○○○○○○○除之得數平方開之

得方徑

有方徑求其同積之員徑當以四○○○○○○○○

乗三一四一五九二六五除得數平方開之得員徑

凡方員同積則員徑與方徑若一○○○○○○與○

八八六二二六

解曰員徑一○○○○○○則方徑八八六二二六也

法曰有員徑求同積之方徑以八八六二二六乗員徑

一○○○○○○除之即得方徑

有方徑求同積之員徑以一○○○○○○乗方徑八

八六二二六除之即得員徑

約法

以一一二八二七九乗方徑去末六位得同積之員徑

以○八八六二二六乗員徑去末六位得同積之方徑

同積較周

凡方員同積則員周小方周大其比例若一○○○○

○○與一一二八三七九亦若八八六二二六與一○

○○○○○

解曰員周一○○○○○○則方周一一二八三七九

也

方周一○○○○○○則員周八八六二二六也

約法

以一一二八三七九乗員周去末六位得同積之方周

以○八八六二二六乗方周去末六位得同積之員周

凡方員同積則其徑與徑周與周為互相視之比例

解曰方周與員周之比例若員徑與方徑也

論曰凡同積之周方大而員小同積之徑則又方小而

員大所以能互相為比例

約法

以方周乗方徑為實員周除之得員徑若以員徑除實

亦得員周

以員周乗員徑為實方周除之得方徑若以方徑除實

亦得方周　皆用異乗同除例如左

一　員周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○

二　方周一一二八三七九　　二　員周○八八六二二六

三　方徑○二八二○九四(七五/)　三　員徑○二八二○九四(七五/)

四　員徑○三一八三○九(八八/)　四　方徑○二五○○○○

　　積七九五七七(四四八○○○/○○○)　　積六二五○○○○○○○○

一　員徑一○○○○○○　　　一　方徑一○○○○○○

二　方徑○八八六二二六　　　二　員徑一一二八三七九

三　方周三五四四九○四　　　三　員周三五四四九○四

四　員周三一四一五九二　　　四　方周四○○○○○○

　　積七八五三九(八一六○○○/○○○)　　積一○○○○○○○○○○○○

第四率並與一率乗得四倍積四除之得本積

論曰以上皆方員周徑互相求乃同積之比例方員交

變用之即比例規變面線之理

同徑較積較周　即方内容員員外切方

凡方員同徑則方積大員積小周亦如之其比例若四

○○○○○○○○與三一四一五九二六五

方徑一○○○○周四○○○○　積一○○○○○○○○

員徑一○○○○周三一四一五竒積○七八五三九八一六

方徑二○○○○周四○○○○　積四○○○○○○○○

員徑二○○○○周六二八三一竒積三一四一五九二六五

凡徑倍者周亦倍而其積為倍數之自乗亦謂之再加

比例授時厯謂之平差

徑二倍周亦二倍而其積則四倍徑三倍周亦三倍而

其積九倍乃至徑十倍周亦十倍而積百倍徑百倍周

亦百倍而積萬倍皆所加倍數之自乗數亦若平方謂

之再加也

同周較積較徑

凡方員同周則員積大方積小徑亦如之其比例若四

○○○○○○○○與三一四一五九二六五

方周一○○○○○○徑○二五○○○○積六二五○○○○○○○○

員周一○○○○○○徑○三一八三○九八八積七九五七七四七○○○○

方周四○○○○○○徑一○○○○○○積一○○○○○○○○○○○○

員周四○○○○○○徑一二七三二三九五四積一二七三二三九五四○○○○

論曰周四則徑與積同數但其位皆陞皆視周數之位

今用百萬為周則積陞六位成萬億矣故雖同而實不

同不惟不同而且懸絶定位之法所以當明也

問位既大陞而數不變何耶曰周徑相乗得積之四倍

於是四除其積即得所求平積此平冪之公法也兹方

員之周既為四則以乗其徑而復四除之即還本數矣

惟周數之四或十或百或千萬億無定而除法之四定

為單數故無改數而有進位也

又論曰周四倍之徑與周一之徑為四倍其積則十六

倍所謂再加之比例

渾圎内容立方徑一萬寸求圎徑　法以方斜一萬四

千一百四十二寸為股自乗得二億為股實以方徑一

萬寸為句自乗得一億為勾實併勾股實為三億為弦

實開方得弦一萬七千三百二十○半寸命為渾圎之

徑

又以渾圎徑求圍得五萬四千四百十四寸弱　周徑

相乗得九億四千二百四十七萬六九九四寸為渾冪

以四除渾冪得二億三千五百六十一萬九千二百四

十八寸竒為大平圎冪即立方一萬寸外切渾圎之腰

圍平冪也

圎柱積四萬○千八百十○億四三一八四九八四寸

　以渾圎徑乗平圎冪得之

倍圎柱積以三除之得渾圎積二萬七千二百○六九

五四五六六五六寸

約法　立方徑一千尺其積一十尺　外切之渾圎徑

一十七尺三二○五　渾圎積二千七百二十○尺六

九五四　約為二千七百二十一尺弱

試再用徑上立方求渾圎積法(即立方内求/所容渾圎)以渾圎徑

自乗再乗得渾圎徑上立方以圎率(三一/四竒)乗之得數六

除之得渾積並同

立方與員柱若四○○與三一四竒(同徑之/員柱也)

立方為六方角所成員柱為六員角所成其所容角體

並六而方與員異故其比例如同徑之周　此條為積

之比例

員周上自乗之方與渾員面冪若三一四竒與一○○

渾員面冪與員徑上平方形亦若三一四竒與一○○

皆員周與徑之比例

渾員面冪與員徑上平員若四與一

員柱面冪與員徑上平員若六與一(六員角之底皆/外向合成此數)

平員並為一而員柱冪為其六倍渾員冪為其四倍渾

員為員柱三之二即此可徴積之比例如其面也以上

四條並面冪之比例渾員體與員角體若四與一

渾員面既為平員之四倍從面至心皆成角體故體之

比例亦四倍

立方面與徑上平方若六與一(六面/故也)

立方體與渾員體若六○○與三一四竒

渾員面與徑上平方既若三一四竒與一○○而立方

面與徑上平方若六與一平方同為一○○而立方面

為其六倍渾員面為其三倍一四竒故立方之面與渾

員之面亦若六○○與三一四竒也而體之比例同面

故亦為六○○與三一四竒

立員得員柱三之二

　　　　　　　　論曰凡員柱之面及底皆立員徑

　　　　　　　　上平員也旁周似員筩亦如截竹

　　　　　　　　周圍並以員徑為髙即員徑乗員

　　　　　　　　周冪也為徑上平員之四倍與渾

員面冪同積(半徑乗半周得平員則全/徑乗全周必平員之四倍)合面與底共得

平員之六倍而渾員面冪原係平員之四倍是員柱冪

六而渾員冪四也而體積之比例凖此可知亦必為三

之二矣(三之二即六/之四之半)

問體積之比例何以得如面冪曰試於員柱心作員角

　　　　　　　　體至面至底成員角體二皆以半

　　　　　　　　徑為髙平員為底其餘則外如截

　　　　　　　　竹而内則上下並成虚員角于是

　　　　　　　　縱剖其一邉而令員筩伸直以其

　　　　　　　　冪為底以半徑為髙成長方錐(底/濶)

　　　　　　　　(如全徑直如員周髙/如半徑錐只一㸃)此體即同四

　　　　　　　　員角(或縱剖為四方錐亦同皆以/周四分之一為底濶以全徑)

　　　　　　　　(為底長以半徑為髙其體並同員/角何也以周四之一乗全徑與半)

　　　　　　　　(徑乗半周同故方底同員底/而其髙又同則方角同員角)合面

　　　　　　　　底二員用共六員角矣而渾員體

　　　　　　　　原同四員角(渾員面為底半徑為/髙作員錐即同四員)

　　　　　　　　(角/)是員柱渾員二體之比例亦三

與二也

員角體得員柱三之一　凡角體並同

凖前論員柱有六員角試從中腰平截為兩則有三員

角而員筩體原當四員角今截其半仍為二員角或面

或底原係一員角合之成三員角以為一扁員柱然則

員角非員柱三之一乎

若立方形各從方楞切至心則成六方角(皆以方面為/底半徑為髙)

從半徑平切之為扁立方則四周之四方角皆得一半

成兩方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成

一扁立方而方角體亦三之一矣

渾員體分為四則所分角體各所乗之渾冪皆與員徑

上平員冪等

甲戊丙丁渾員體　從丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半

徑各自其渾冪透至乙心而以半徑旋行而割切之則成上

下兩員角體一甲卯辰丑乙(以甲丑卯辰割渾員之面為/底乙為其銳此割員曲徑自)

(丑而甲而辰居/員周三之一)一丙癸寅子乙(以子丙寅癸渾員之割面為/底乙為其銳此割員曲徑亦)

　　　　　　　　(三之一如三百六/十之一百二十)此上下兩角體

　　　　　　　　相等皆居全渾體四之一中腰成

　　　　　　　　鼓形而上下兩面並穵空各成虚

　　　　　　　　員角(其外則周遭皆凸面如丑戊/子及辰丁癸之割員状此割)

　　　　　　　　(員曲徑自辰而丁而癸居員周/六之一為三百六十之六十)

此鼓形體倍大于上下兩角體居渾員全體之半若從

戊乙丁腰横截之為二則一如仰盂一如覆碗而其體

亦渾員四之一也

如此四分渾體而其割員之面冪即各與員徑上之平

員冪等故曰渾員面冪與徑上平員若四與一也

問何以知中腰鼓體能倍大于上下兩角體曰試于子

丙乙癸角體從子寅癸横切之則成子未癸午小員面

　　　　　　　　為所切乙子寅癸小員角體之底

　　　　　　　　乃子寅小半徑乗子未癸小半周

　　　　　　　　所成也然則以子寅小半徑乗子

　　　　　　　　未癸小半周又以乙寅半半徑為

髙乗之而取其三之一即小角體矣

　　　　　　　　試又于中腰鼓體從丑子及卯寅

　　　　　　　　及辰癸諸立線周遭直切之脫去

　　　　　　　　其外鼓凸形即成員柱體之外周

　　　　　　　　截竹形又從酉乙申横切之為兩

　　　　　　　　(一仰盂/一覆碗)則此覆碗體舉一式為例

　　　　　　　　可直切斷而伸之亦可成方角體

　　　　　　　　此體以乙寅半半徑乗子未癸午

　　　　　　　　小員全周為底(其形/長方)又以小半徑

　　　　　　　　子寅(子寅即/乙申)為髙而乗之取三之

　　　　　　　　一為長方角體此長方角體必倍

　　　　　　　　大于小員角體何也兩法並以小

　　　　　　　　半徑及半半徑兩次連乗取三之

　　　　　　　　一成角體而所乗者一為小員全

　　　　　　　　周一為小員半周故倍大無疑

　　　　　　　　也

　　　　　　　　又丙癸寅子亦可成角體與乙子

　　　　　　　　寅癸等覆碗體既倍大則兼此兩

　　　　　　　　角體矣

凖此而論仰盂體必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑兩角

體亦無疑也

　　　　　　　　又角體内既切去一小角體又穵

　　　　　　　　去一相同之小角體則所餘者為

　　　　　　　　丙癸寅子員底仰盂體

　　　　　　　　鼓體内既穵去如截竹之體則所

　　　　　　　　餘者為内平(如丑子/及辰癸)外凸(如子戊/丑及辰)

　　　　　　　　(丁/癸)之空圈體而此體必倍大于員

　　　　　　　　底仰盂體何以知之盖兩體並以

　　　　　　　　半徑為平面(丑子與癸/丙並同)並以員周

　　　　　　　　六之一為凸面而腰鼓之平面以

半徑循員周行員底仰盂之平面則以半徑自心旋轉

周行者兩頭全用旋轉者在心之一頭不動而只用一

頭則只得其半矣故决其為倍大也

凖此而甲丑卯辰亦為穵空之員覆碗體而只得鼓體

之半矣由是言之則上下角體各得中腰鼓體之半而

鼓體倍大于角形渾體平分為四夫復何疑

曰渾體四分如此真無纎芥之疑體既均分為四則其

渾體外冪亦勻分為四亦無可復疑但何以知此所分

四分之一必與徑上平員相等耶曰此易明也凡割渾

員一分而求其冪法皆從其所切平面員心作立線至凸

面心而以其髙為股員面心至邉之半徑為勾勾股求

其斜弦用為半徑以作平員即與所割圎體之凸面等冪

假如前圗所論上下兩角體從丑夘辰横線切之則以甲夘

為股夘丑為句求得甲丑弦與半徑同以作平員與丑夘辰

甲凸面等然則此角體之凸面豈不與徑上平員等冪乎

　　　　　　　　　甲亢半徑與甲丑同以作丑

　　　　　　　　　亢平員與甲丑夘辰凸面等

　　　　　　　　　冪

試又作甲戊線為半徑之斜線(甲乙與戊乙皆半/徑為句為股故也)以為

半徑而作平員必倍大于半徑所作之平員而渾員半

冪與之等則渾員半冪不又為平員之倍乎

　　　　　　　　(如圖甲丑為半徑作乙庚房平員/與丙戊甲平員等亦與甲辰夘丑)

　　　　　　　　(割員凸面等為/渾冪四之一也)

　　　　　　　　(甲戊為半徑作戊心亥平員與甲/丁乙戊半渾冪等而倍大于乙庚)

　　　　　　　　(房亦倍大于丙戊甲平員/則平員居渾冪四之一)

如是宛轉相求無不脗合則平員為渾員冪四之一信矣

取渾冪四之一法

當以半徑為通弦以一端抵圎徑之端為心旋而䂓之

則所割渾冪為四之一而其渾冪與圎徑上平員冪等

　　　　　　　　甲辰(即丁/乙)之自冪一百辰夘之自

　　　　　　　　乗冪(七十/五)如四與三則辰丑通弦

　　　　　　　　為徑以作平員亦丁戊全徑上平

　　　　　　　　員四分之三也大小兩平員各為

　　　　　　　　底以半徑為髙而作員角體其比

例亦四與三也

今渾員徑上平員(即下戊徑/上平員)所作之員角體既為渾積

四之一則辰丑通弦徑所作之員角體即渾體十六之

三矣(即甲丑夘辰角體及/乙丑夘辰角體之合)若以丑辰通弦上平員為底

半半徑為髙而作角體即渾體三十二之三

分渾體為四又法

甲乙丙渾員體　從員周分為三(一丑甲辰一辰癸丙/一丙子丑各得周三)

(之/一)又從辰從丙從丑依各半徑(辰乙丙乙/丑乙皆是)至乙心旋而

　　　　　　　　切之則成三角體者三各得渾體

　　　　　　　　四之一(一辰甲丑乙一丑子丙/乙一丙癸辰乙說見前)則

　　　　　　　　其所餘亦渾體四之一也(此餘形/有三平)

　　　　　　　　(員面以辰丑丑丙辰丙為員徑而/並穵空至乙心如員錐之冪有兩)

(凸面以辰丑丑丙辰丙之員周為界/以乙為頂皆弧三角形三角並銳)兩凸面各得渾員冪八之一

按辰丑即一百二十度通弦也凖前論以此通弦為圎

徑作平員為底半半徑為髙而成員角體此員角體積

即為渾員體積三十二分之三(即先所論員/角體八之三)

若依此切渾員體成半平半凸之體其積為渾積三十

二之五(即員角體/八之五)

環堵形面冪　錐形面冪

有正方正員面欲於周作立圍之堵牆而冪積與之倍

法於方面取半徑為髙即得

　　　　　　　　　甲乙丙平方於其周作立起之

　　　　　　　　　方圍形如環堵取平方乙丙半

　　　　　　　　　徑為髙則方圍面冪倍大於平方

論曰從平方心乙對角分平方為四成四三角形並以

方根為底半徑為髙于是以此四三角形立起令乙銳

上指則皆以乙丙半徑為髙而各面皆半冪故求平方

以半徑乗周得冪也然則依方周作方牆而以半徑為

髙豈不倍大於平方冪乎

凖此論之凡六等邉八等邉以至六十四等邉雖至多

邉之面而從其各周作牆各以其半徑為髙則其冪皆倍

于各平冪矣然則平員者多邉之極也若於其周作立

圈如環而以其半徑為髙則環形冪積亦必倍大於平員

有方錐員錐於其周作圍牆而冪積與之倍

法於錐形之各斜面取其至銳之中線(如乙/丙)以為環牆

之髙即得

　　　　　　　　　方牆如環堵底用方周髙如乙

　　　　　　　　　丙即斜面自銳至底之斜立中

　　　　　　　　　線

解曰此以錐體之斜面較冪也

論曰凡方錐皆有稜兩稜交于銳各成三角面而斜立

從此斜立之三角面自銳至根濶處平分之得中線(乙/丙)

于是自稜剖之成四三角面而植之則中線直指天頂

而各面皆圭形為半冪故凡錐體亦可以中線乗半周

得冪也然則于底周作方牆而以中線為髙四面補成

全冪豈不倍大乎

凖此論之凡五稜六稜以上至多稜多面之錐體盡然

矣而員錐者多稜多面之極也則以其斜立線為髙而

自其根作員環則其員環之冪亦必倍大于員錐之冪

前條所論切渾員之算得此益明盖員仰盂員覆碗及

穵空之鼓形其體皆一凸面一平面相合而成其凸面

弧徑皆割渾員圈六之一其平面之濶皆半徑然而不

同者其内面穵空之平冪一為錐形(仰盂覆碗之/内空如笠)一為

環形也(鼓體之内/空如截竹)准前論穵空之環冪必倍大於錐形

之冪則其所負之割渾員體亦必環形所負倍大於錐

形而穵空之鼓體必能兼員覆碗員仰盂之二體

　　撱圎算法(訂厯書之誤/)

偶查撱圎求體法見其截小分之法有誤今以數考之

假如撱圎形長徑為一千四百尺短徑七百尺大分截

長徑一千○五十尺

　　　　　　　　甲己三百五十戊乙七百相并得

　　　　　　　　一千○五十　以此乗

　　　　　　　　己乙一千○五十尺　以此除

　　　　　　　　兩數相同

右依厯書先求得庚壬甲圎角形為苐三率再用截大

分軸己乙為法為苐一率以截小分軸甲己并戊乙半

長徑為苐二率求得小分之容與圎角形等夫小分之

容形外為弧線圎角之容形外為直線小分必大于圎

角而今等是不合也况自此而截小分漸小則乙己大

分軸反大于甲己小軸及戊乙并之數而求小分之容

反將更小于圎角矣有是理哉(小分漸小如辛癸甲則/其甲己小于己戊而己)

(乙者己戊與戊乙并也則其/數亦大于甲己與戊乙并矣)

　　　　　　　　又如截大分長七百二十分己乙

　　　　　　　　為其軸甲己為其小分軸六百八

　　　　　　　　十分

依厯書法甲己小分軸(六百/八十)為一率甲乙長徑(一千/四百)并

戊乙短徑(七/百)共(二十/一百)為二率求到庚壬乙圎角體為三

率則所得四率為大分之容者比圎角容大三倍有竒

亦恐無是理也何也圎角在圎柱形為三分之一而撱

形必小于柱形不宜有三倍之比例也(雖壬庚畧小于/丙丁在中腰相)

(近可以/不論)今試求之(用苐/一圗)依勿庵改法

假如截己乙大分軸一千○五十尺求庚己壬平圎面

法先求庚己　依勿庵補法以己戊(三百五/十尺)自乗(一十/二萬)

(二千五/百尺)與甲戊(七百/尺)自乗(四十九/萬尺)相減餘(三十六萬七/千五百尺)

開方得己庚相當之原數　再以丙戊(三百五/十尺)乗之甲

戊(七百/尺)除之為己庚實數倍之為庚壬線

再以壬庚線上方變為平員今用簡法(因長徑甲乙與/短徑丙丁原是)

(折半之比/例故也)竟以減餘(三十六萬七/千五百尺)命為庚壬線上方以

十一乗之得(四百○四萬/二千五百尺)又以十四除之得(二十八萬/八千七百)

(五十/尺)為庚壬線上所截撱體之平圎面

法以平圎面各乗其(大分/小分)之軸(一千○五十尺/三百五十尺)皆成圎

柱形乃三除之為(大/小)分内所容之(大/小)圎角形

再以長徑(一千四/百尺)乗大圎角為實小軸(三百五/十尺)除之為

所截撱形之大分

以長徑(一千四/百尺)乗小圎角為實大軸(一千○/五十尺)除之為所

截撱形之小分

今用簡法　置平圎面三除之得(九萬六千二/百五十尺)以小分

軸(三百/五十)乗之得庚甲壬小圎角形(三千三百六十八/萬七千五百尺)

置小圎角四因三除之得(四千四百九十一萬六千/六百六十六又三之二)為

所截小圎分

又置圎面三除之積(九六二/五○)以大分軸(一千○/五十尺)乗之得

庚子乙大圎角形(一億○一百○六/萬二千五百尺)

置圎角形(一○一○六/二五○○)用四因之得(四億○四百/二十五萬尺)為所

截大圎分

小圎分大圎分兩形并之(共四億四千九百一/十六萬六六六六)為撱形

全積

另求撱形全積

置短徑(七/百)自乗得(四十/九萬)以長徑(一千/四百)乗之得(六億八千/六百萬)

以十一因之二十一除之得(三億五千九百三/十三萬三三三)為真撱

圎全積

以真撱圎積與兩截形并相較其差為九十分之一而

弱

若用厯書法　求得截小分(二千三百六十八/萬七千五百尺)與小圎

角同

截大分(六億○六百三/十七萬五千)為大圎角之六倍

相并得(六億四千○○六/萬二千五百尺)為撱圎全積　與撱圎真積

相較其差更甚

如是輾轉推求則知撱體大截分不可算今别立法

凡撱體皆先如法求其全積再如法求其小分截積以

小分截積減全積餘為大分截積此法無弊可存

　厯算全書卷五十六