九章算術

欽定四庫全書

　九章算術卷九　　　　　晋　劉　徽　注

　　　　　　　　　　　　唐　李淳風　注釋

句股以御髙深廣逺

今有句三尺股四尺問為弦㡬何答曰五尺

今有弦五尺句三尺問為股㡬何答曰四尺

今有股四尺弦五尺問為句㡬何答曰三尺

句股

　短面曰句長面曰股相與結角曰弦句其股短股短

　其弦將以施于諸率故先具此術以見其源也

術曰句股各自乘并而開方除之即得

　句自乘為朱方股自乘為青方令出入相補各從其

　類因就其餘不移動也合成弦方之幂(案注内以朱/青分句股之)

　(方幂則知舊有圖/而缺今補圖于後)開方除之即弦也

又股自乘以減弦自乘其餘開方除之即句

　淳風等按此術以句股幂合成弦幂句方于内則句

　短于股今股自乘以減弦自乘餘者即句幂也故開

　方除之即句也又句自乘以減弦自乘其餘開除之即股

　句股幂合以成弦幂令去其一則餘在者皆可得而

　知之

今有圓材徑二尺五寸欲為方版今厚七寸問廣幾何

答曰二尺四寸

術曰令徑二尺五寸自乘以七寸自乘減之其餘開方

除之即廣

　此以圓徑二尺五寸為弦版厚七寸為句所求廣為

　股也

今有木長二丈圍之三尺葛生其下纏木七周上與木

齊問各長幾何答曰二丈九尺

術曰以七周乘三圍為股木長為句為之求弦弦者葛

之長

　㩀圍廣求從為木長者(案此句有舛誤當云㩀/圍廣木長求葛之長)其形

　萬卷裏袤以筆官青線宛轉有似葛之纏木解而觀

　之則每周之間自有相間成句股弦則其間葛青七

　弦周乘三圍并合衆句以為一句木長而股短術云

　木長謂之股言之倒(案此數句訛舛不可通當云則/其間木長股圍為之為句葛長)

　(為弦弦七周乘三圍是并合衆句以為一句則句長/而股短故術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互)

　句互與股求弦亦無圍二十五青弦之自乘幂出上

　第一圍(案此亦訛舛當云句與股求弦亦如前圖句/三自乘為味幂股四自乘為青幂合朱青得)

　(二十五為弦五自/乘幂出上第一圍)句股幂合為弦幂明矣然二幂之

　數謂倒在于弦幂之中而已可更相裏者則成方幂

　其居表者老成矩幂二表裏形訛而數均又按此圖

　句幂之矩青卷白表是其幂以股弦差為廣股弦并

　為袤而股幂方其裏股幂之矩青卷白表是其幂以

　句弦差為廣句弦并為袤而句幂方其裏是其幂之

　與并用除之短長互相乘也(案此上亦多訛舛又非/本術所該特因論句幂)

　(股幂合為弦幂旁推交相言之據君卿注周趙髀算/經云凡并句股之實即成弦實或矩于外或方于内)

　(形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差為廣/股弦并為袤而股實方其裏股實之矩以句弦差為)

　(廣句弦并為袤而句實方其裏君卿漢人此注葢用/其説而傳冩失真加以後人竄改遂不可通其圖已)

　(見/上)

今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸適與

岸齊問水深葭長各幾何答曰水深一丈二尺葭長一

丈三尺

術曰半池方自乘

　此以池方半之得五尺為句水深為股葭長為弦以

　句弦見股故令自乘先矩見幂也(案此注有脱誤當/云以句及股弦差)

　(求弦股故令句自/乘先見矩幂也)

以出水一尺自乘減之

　出水者股胘差減此差幂于矩幂則除之(案此三字/舛誤當云)

　(餘為倍股弦差/乘股為之矩幂)

餘倍出水除之即得水深

　差為矩廣之幂(案此句有脱誤當云/倍差為矩幂之廣)水深是股令此

　幂得出水一尺為長故為矩而得葭長也(案此二字/有脱誤當)

　(云欲先見葭長者出水一尺自乘以加于半池方自/乘尺数倍出水除之即得令此幂得出水一尺為袤)

　(故為矩而/得葭長也)

加出水數得葭長

　淳風等按此葭本出水一尺既見水深故加出水尺

　數而得葭長也

今有立木繫索其末委地三尺引索卻行本去八尺而

索盡問索長幾何答曰一丈二尺六分尺之一術曰以去本自乘

　此以去本八尺為句所求索者弦也引而索盡開門

　去閫者句及股弦差同一術(案此句有脫誤當云與/閫者去閫者句及股弦)

　(差求股弦/同一術)去本自乘者先張矩幂

今如委數而一

　委地者股弦差也以除矩幂即是股胘并也

所得加委地數而半之即索長

　子不可半者倍其母加差者并而成長故又半之其

　減差者并而半之也(案此注脫誤不可通據句自乘/之矩幂如股弦差而一得股弦)

　(并加差為兩弦減差為兩股當云加差于并則成/兩索長故又半之其減差于并而半之得木長也)

今有垣髙一丈倚木于垣上與垣齊引木卻行一尺其

木至地問木長幾何答曰五丈五寸

術曰以垣髙一十尺自乘如卻行尺數而一所得以加

郤行尺數而半之即木長數

　此以垣髙一丈為句所求倚木者為弦引卻行一尺

　為股弦差為術之意與繫索問同也

今有圓材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道

長一尺問徑幾何答曰材徑二尺六寸

術曰半鐻道自乘

　此術以鐻道一尺為句材徑為弦鐻深一寸為股弦

　差之一半鐻長是半也(案此五字舛誤當云/故鐻長亦半之也)

　淳風等按下鐻深得一寸為半股弦差注云為股弦

　差者鐻道也(案此言下鐻道得一寸為半股弦差即/注所謂鐻深一寸為股弦差之一半也)

　(更綴注云為股弦差者鐻道五寸字舛誤不可通據/割圓術鐻深寸即一可為股弦差半鐻道五寸為句)

　(材半徑為弦若以/此言之尤合術意)

如深寸而一以深寸増之即材徑

　亦以半増之如上術去本當半之今此皆同半差不

　復半也

今有開門去閫一尺不合二寸開門廣幾何答曰一尺

一寸

術曰以去閫一尺自乘所得以不合二寸半之而一所

得増不合之半即得門廣

　此去閫一尺為句門廣為股不合二寸以半之得一

　寸為股弦差求弦故當半之今次以兩弦為廣数(案/次)

　(字誤當云今即/以兩弦為廣数)故不復半之也

今有户髙多于廣六尺八寸兩隅相去適一丈問户髙

廣各幾何答曰廣二尺八寸髙九尺六寸

術曰令一丈自乘為實半相多令自乘倍之減實半其

餘以開方除之所得減相多之半即户廣加相多之半

即户髙

　今户廣為句髙為股兩隅相去一丈為弦髙多于廣

　六尺八寸為句股差按圖為位弦幂適滿萬守倍之

　減句股差幂開方除之其所得即高廣并數以差減

　并而求之即廣户加相多之數即户髙也今此術先

　求其半一丈自乘為朱幂四黄幂一半差自乘又倍

　之為朱幂(案此處脱誤當云為/黄幂四分之二減實)半其餘有朱幂二黄

　幂四半一丈(案此亦訛當云/黄幂四分之一)其于大方棄四分之二

　故開方除之即户廣并數半并数(案此亦訛當云棄/四分之三適得四)

　(分之一故開方除之/得髙廣并数之半)減差半得廣加得户髙又按此

　圓幂(案圓字誤當作圖據注文知/舊有圖而缺今補圖于後)句股相并而加其

　差幂亦減弦幂為積葢先見其弦然後知其句與股

　(案此亦訛舛據句股并自乘加差幂為兩弦幂半之/開方得弦今倍弦幂減差幂求句葢并葢先見其弦)

　(然後知其/句股也)今適自等乘亦各為方先見其弦然而後

　知其句與股適等者今自乘亦今為弦幂(案此亦訛/舛據句股)

　(適等者并而自乘即為兩弦幂皆各為方先見其弦/然後知其句與股者倍弦幂即為句股適等者并兩)

　(自乘/之幂)令半相多而自乘倍之亦為弦幂而差数復先

　此各自乘之而與相乘数各為門實(案此亦訛舛不/可通據半相多)

　(自乘倍之又半句股并自乘亦倍之合為弦幂其無/差数者句股各自乘并之為實與句股相乘倍之為)

　(實皆開方得弦弦幂半/之為實開方即得句幂)及股長句股同源而分流焉

　假令句股各五弦幂五十開方除之得七尺有餘一

　不盡假令弦十其幂有百半之為句股弦三幂各得

　五十(案此句舛誤當云為/句股二幂各得五十)當亦不可開故曰圓三徑

　一方五斜七雖不正得盡理亦可言相近耳其句股

　合而自相之乘幂者令自乘為四幂以減之開方除

　之其餘為句股差加于合而半為股減差于合而半

　之為句(案此亦訛舛當云其句股合而自乘之幂令/弦自乘而之為兩弦幂以減之其餘開方除)

　(之為句弦差于合而合而半之/為股減差于合而半之為句)股弦即髙廣袤其出

　此圖也其倍弦為廣袤今矩句即為幂得廣即句股

　差(廣此亦訛舛據趙君卿注周髀算經云其倍弦為/ 袤合而令句股見者自乘為其實四實以減之)

　(開其餘所得為差以差減合半其餘為廣減廣于弦/即所求也此注似用其説而傳寫舛誤後人又妄加)

　(改竄遂不可通就君卿説攷之倍弦自乘得弦實四/内有句實股實各四減四句實餘即四股實開之得)

　(倍股減四股實餘即四句實開之淂倍句所謂開其/餘所得為差也減即四于倍弦半其餘為股弦差減)

　(倍句于倍弦半其餘為句弦差所謂以差減合半其/餘為廣也減股弦差于弦即股減句弦差于弦即句)

　(所謂減廣于弦即所求也凡股弦差為廣股弦并為/袤其幂即向幂句弦差為廣句弦并為袤其幂即股)

　(幂合廣袤皆成倍弦故曰倍弦為

廣袤合而倍/句倍股即廣袤差此云廣即句股差其謬甚矣)其倍

　句之幂倍為從法開之亦句股差其餘以句股幂減

　半其餘差為從法開法除之即句也(案此亦訛舛據/趙君卿云減矩)

　(句之實于弦實開其餘即股倍股在兩邉為從法開/矩句之角即股弦差減矩股之實于弦實開其餘即)

　(句倍句在兩邉為從法開矩服之角即句弦/差此注亦用其説而殘缺失次遂不可通)

今有竹髙一尺末折抵地去本三尺問折者髙幾何答

曰尺四二十分尺之一十一

術曰以去本自乘

　以去三尺為句折之餘髙為股以先令自乘之幂(案/此)

　(句有脱誤當云末折折地為弦以句及/股弦并求朕故先令句自乘見矩幂)

令如髙而一

　凡為髙一丈為股弦并之(案此句有舛誤當云/竹髙一丈為股弦并)以除

　此幂得差

所得以減竹髙而半餘即折者之髙也

　此術與繫索之類更相反覆也亦可如上術令自乘

　為朕弦并幂(案此句脱一髙字當云/令髙自乘為股弦并幂)去本自乘為矩

　幂減之餘為實倍髙為法則得折之髙数也

今有二人同所立甲行率七乙行率三乙東行甲南行

十步而斜東北與乙㑹問甲乙行各㡬何答曰乙東行

一十步半甲斜行一十四步半及之

術曰令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率斜

行率減于七自乘餘為南行率以三乘七為乙東乙率

(案此問甲行率七者設句弦并七也乙南率者三設股/三也術令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率)

(者句股并自乘加股自乘半之即弦乘句弦并所得数/以為弦率斜行率減于七自乘餘為南行率者句弦并)

(自乘減弦乘句弦并餘即句乘句弦并所得數以為句/率弦率句率皆句弦并乘出之率故所設股三亦以乘)

(句弦并七及為股率句率二十股率二十一弦率三/十九則句之十步股必十步股必十步半步半矣)

　此以南行為句東行為股斜行為弦并句率七(句并/ 二)

　(字誤當云/句弦并七)欲行者當以為幂(案此亦訛舛當云欲知/弦者當以股自乘為幂)

　如并而一所淂為句弦差加半之半為率以率減餘

　為句率(案此亦訛舛當云加差于并而/半之為弦以弦減差餘為句)如是或有分

　當通而約之及定術以可使為分母(案此亦說誤當/云乃定術以句)

　(弦并為分母/差為分子)故令句自乘為朱黄相連之方弦并股

　自乘為青矩之矩以句弦并為袤差為廣今有相引

　之直加損同上(案上當/作之)其圖大體(案圖原本訛/作圖今改正)以兩

　弦為袤句股為廣(案此句誤當云/句股并為廣)引黄㫁其半為弦

　率七自乘者句弦并之率故弦減之餘為句率同立

　䖏是中停也列用率(案此三字原本訛在上斷/其半為弦率之下今訂正)皆句

　弦并為率故亦以句率同其袤也(案此亦說誤當云/皆句弦并為袤弦)

　(與句各為之廣故亦/以股率同其袤也)

置南行十步以甲斜行率乘之副置十步以乙東行率

乘之各自為實實如南行率而一各淂行数

　南行十步者所見有句求見弦股故以弦股率如句

　率而一

今有向五步股十五步問句中容方㡬何答曰方三步

十一七分步之九術曰并句股為法句股相乘為實實如法而一得方(案/方)

(字下原本衍一步二字/乃後人妄加今刪正)

　句股相乘為朱黄幂青各二(案此及下注舊皆有圖/而缺今各補圖于後)

　令黄袤于隅朱青各以其類令從以兩徑共幂共成

　脩之幂(案此有訛舛據後容圓術注云可用畫于小/紙分裁正之㑹令顛倒相補各各以類合成)

　(修幂則此亦謂令黄幂連于下隅朱/青各以其類移而相補共成脩幂也)方中黄(案此三/字下有)

　(脫文當云中/方黄為幂)并句股為袤故并句股為法幂圓方在

　句中(案圓字誤/當作圖)則方之兩亷各自成小股袤(案此句/誤當云)

　(各自成/小句股)而其相與之勢不失本率也句中之小股股

　面之半為中率(案此亦訛舛當是言句面之小股股/面之小句從連相連合而成中方)

　合股為中方率并句股焉(案此四字之下有脱文/當云并句股為廣率)據

　見句五步而今有之得中方也復令句為中率以句

　股為率(案此二句有脫誤當云復令句/為中方率以并句股為袤率)據股十二步

　而今有之則中方又何如(案此句舛誤當云/則中方又可知)此則雖

　不效而法實有法由生矣(案此亦舛誤據上以粟米/章今有術及衰分章列衰)

　(之意解此術大小句股互求并句股即所有率中方/率即所求率見句見股即所有數于事雖不同而意)

　(相倣效實術所生由/也注意當是如此)不容圓率而似今有衰分言之

　(案此二句舛誤當云下容/下容而以今有衰分言之)可以見之也

令有句八步股十五步一問句中容圓徑幾何答曰六

步術曰八步為句十五步為股為之求弦三位并之為法

以句乘股倍之為實實如法得徑(案徑字下原本衍一/步二字乃後人妄加)

(今刪/正)

　句股相乘為圓本體朱青黄幂各二之則田為各四

　(案此注訛舛當云句股相乘為圖之/本體朱青黄幂各二則倍之為各四)可用畫于小紙

　分裁邪正之㑹令倒顛相補各以類合成修幂圓徑

　為廣并句股弦為袤故并句股弦以為法又以圓大

　體言之(案圓字誤/當作圖)股中青必令立規于横廣句股又

　邪三徑均而復連規(案此亦舛誤據容圓之徑即減/弦于句朕并之餘也取半徑規)

　(之又以半徑減句股其餘并之適為弦如是截句股/弦各為二三半徑均而復連于規之中央注意葢以)

　(此為言而殊缺/失次遂不可通)從横量度句股必合而成小方矣又

　畫中弦以規除㑹則句股之面中央小句股弦(案此/亦訛)

　(舛當是言又畫中弦以觀其㑹/則句股之中成小句股弦者四)句之小股面面中句

　(案此二句誤當作句面/之小股股面之小句)皆小方之面皆圓徑之半其

　数故可衰以句股弦為列衰副并為法以小句乘未

　并者各自為實實如法而一得句面之小股可知也

　以股乘列衰為實則得股面之小句可知(案以小句/乘未并者)

　(至此訛舛不可通或後人妄加改竄又援衰分章之/文入于此遂漫無辦䖏當是言令股為列衰以見句)

　(乘之為實實如法而一則句面之小股可知也今句/為列衰以見股乘之為實實如法而一則股面之小)

　(句可可此在粟米章即今有實以所求率乘所有數/所有率除之古算家謂之異乘同除注以解大小句)

　(股互乘句率股率為所有率及所求率見句或見/股為所有數不可以見句乘句率見股乘股率也)言

　雖異矣及其所以成法之實則同歸矣則圓徑又可

　以句乘之差并(案此句亦訛舛當云則又/可以句弦差減句為圓徑)句弦差減

　股為圓徑(案此下有脱文當補云句弦差/股弦差并之以減弦餘為圓徑)又弦減句

　股并餘為圓徑以句弦差乘股弦差而倍之開方除

　之亦圓徑也

今有邑方二百步各中開門出東門一十五步有木問

出南門幾何步而見木答曰六百六十六步太半步

術曰出東門步數為法

　以句率為法也

半邑方自乘為實實如法得一(案原本此句之下衍步/字及後人妄加今刪正)

　此以出門十五步為句率東門南至隅一百步為股

　率南門東至隅一百步為見句步欲以見句求股以

　為出南門数正合半邑方自乘者股率當乘見句此

　二者數同也今有邑東西七里南門九里各中開門出東門一十五

里有木問出南門幾何步而見木答曰三百一十五步

術曰東門南至隅數步以乘南門東至隅步數為實以

木去門步數為法實如法而一

　此以東門南至隅四里半為句率出東門一十五里

　為股率南門東至隅三里半為見股所問出南門即

　見股之句為術之意與上同也

今有一方不知大小各中開門出北門三十步有木出

西門七百五十步見木問邑方幾何答曰一里

術曰令兩出門步數相乘因而四之為實開方除之即

得邑方

　按半邑方令半方自乘出門除之即步(案此注不分/曉應有說誤)

　(據前出東門術半邑方自乘出東門步數/除之即出南門步数似似之以互相證明)今之出相

　乘(案今之二字誤當/云今兩出門相乘)故為半方邑自乘居一隅之積

　分因而四之即得四隅之積分故為實開方除即邑

　方也

今有邑方不知大小各出開門出北門二十步有木出

南門一十四步折而西行一千七百七十五步見木門

邑方幾何答曰二百五十步術曰出以北門步数乘西行步數倍之為實

　此以折而西行為股自木至邑一十四步為句(案邑/下脱)

　(南字當云自木至/邑南十四步為句)以為北門二十步為率為丈(弦字/當云)

　(為南/率)北門至西隅為單望半廣数(案單望二字誤當/云為弦率即半廣)

　(數/)故以出北門乘至南行股以半率乘句之幂(案此/二句)

　(訛舛當云故以出北門句率乘/西行股得半廣股率乘句之幂)然北門居半以西行

　故又倍之合東盡之也(案此亦訛舛當云然此幂居/半以西故又倍之合半以東)

　(也/)

并出南門步數為從法開方除之即邑方

　此術之幂東西南北邑自木盡邑南四十步之幂(案/此)

　(三句訛舛當云東西南北邑/南北自木盡邑南十四步)各南北步為廣邑方為

　袤故連兩廣為法從并(案此八字訛舛當云/故建并兩廣為從法)以為隅

　外之幂也

今有邑方一十里各中開門甲乙俱從邑中央而出乙

東出甲南出出門不知步數邪向東門磨邑適與乙㑹

率甲行五乙行三問甲乙行各幾何答曰甲出南門八

百步邪東北行四八八百八十七步半及乙乙東行四

千三百一十二步半

術曰令五自乘三亦自乘并而半之為邪行率邪行率

減于五自乘者餘為南行率三三乘五為乙東行率

　求三率之意與上甲乙同

置邑方半之以南行率乘之如東行率而一即得出南

門步數

　今半方南門東隅五里半邑者謂為小股也求以為

　出南門步數(案此注有脱誤當云邑半方自南門至/東隅五里以為小股求出南門步數為)

　(小股之句以東行為/股率南行為句率)故置邑方半之以南行句率乘

　之如股率而一

以増邑方半即南行

　半邑者謂從邑心中停也

置南行步求弦者以邪行率乘之求東者以東行率乘

之各自為實實如法而率得一(案原本訛作實如法南/行率得一步據前甲乙)

(術云實如南行率而一各得行數則/此文法字步字乃後人妄増今刪正)

　此術與上甲乙同

今有木去人不知逺近立四表相去各一丈令左兩表

與所望参相直從後右表望之入前右表三寸問木去

人㡬何答曰三十三丈三寸三尺少半寸

術曰令一丈自乘實如法三寸為法實如法而一

　此以入前右表三寸為句率右兩表相去一尺為股

　率左右兩表相去一丈為見句所問木去人者見句

　之股以右行(案此三字乃/衍文當刪)股率當乘見句此二率俱

　一丈故曰自乘之以三寸為實實如法得一

今有山居木西不知其高山去木五十三里木髙九丈

五尺(案原本訛作九/尺五寸今改正)人立木東三里望木末適與山峯

斜平人目髙七尺問山髙㡬何答曰一百六十四丈九

尺六寸太半寸

術曰置木髙減人目髙七尺

　此以木髙減人目髙七尺餘有八丈八尺為句率去

　人目三里為股率山去木五十三里為見股以木髙

　為見股求句加人目之髙(案此二句訛舛當云以句/率乘見股如股率而一得)

　(句加木/之髙)故為山髙也

餘以乘五十三里為實以人去木三里為實法如法而

一所得加木髙即山髙

　此術句股之義(案丄節注文似應接此/句之下衍注端一此字)

今有井徑五尺不知其深立五尺木于井上從木末望

水岸入徑四寸問井深㡬何答曰五丈七尺五寸術曰置井徑五尺以入徑四寸減之餘以乘立木五尺

為實以入徑四寸為法得一法得一(案此句之下原本/衍寸字乃後人妄)

(加今/刪正)

　此以入徑四寸為句率立木五尺為股率井徑四尺

　六寸為見句問井深者見句之股也

今有户不知髙廣竿不知長短横之不出四尺從之不

出二尺邪之適出問户髙廣袤各㡬何答曰廣六尺髙

八尺袤一丈

術曰從横不出相乘倍而開方除之所得加從不出即

戸廣

　此以户廣為句户髙為股戸袤為弦凡句之在股(案/此)

　(句有訛舛當云凡并/句股之幂即為弦幂)或矩于表或方于裏連之者舉

　表矩而端之又句句方裏令為青矩之表未滿黄方

　滿此方則兩端之邪(案邪字誤/當作亷)重于隅中各以股弦

　差為廣句弦并為袤(案并字誤當作差又據注文/舊有圗而缺今補圖于後)故

　兩端差相乘又倍之則成黄方之幂開方除之得黄

　方之面其外之幂知亦以股弦差為廣故以股弦差

　加則為句也

加横不出即戸髙兩不出加之得户袤

　九章算術卷九