五經算術

欽定四庫全書

　五經算術卷上

　　　　　　　　　　　　周　甄　鸞　撰

　　　　　　　　　　　　唐　李淳風　注

　　尚書定閏法

帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以閏月定四

時成歲孔氏注云咨嗟曁與也帀四時曰朞一歲十二

月月三十日(案原本脱一月字/今據書孔傳補)正三百六十日除小月

六為六日是為一歲(案原本作是為歲脱/一字今據書孔傳補)有餘十二日

未盈三歲足得一月則置閏焉以定四時之氣節成一

歲之厯象甄鸞按一歲之閏惟有十日九百四十分日

之八百二十七而云餘十二日者理則不然何者十九

年七閏今古之通軌以十九年整得七閏更無餘分故

以十九年為一章今若一年有餘十二日則十九年二

百二十八日若七月皆小則賸二十五日若七月皆大

猶餘十八日先推日月合宿以定一年之閏則十九年

七閏可知

　　推日月合宿法

置周天三百六十五度于上四分度之一于下又置月

行十三度十九分度之七除其日一度餘十二度以月

分母十九乘十二度積二百二十八内子七(案内郎納/字古通用)

得二百三十五為章月以度分母四乘章月得九百四

十為日法又以四分乘度三百六十五内子一得一千

四百六十一乃以月行分母十九乘之得二萬七千七

百五十九為周天分以日法九百四十除之得二十九

日不盡四百九十九即是一月二十九日九百四十分

日之四百九十九與日合宿也

　　求一年定閏法

置一年十二月以二十九日乘之得三百四十八日又

置十二月以日分子四百九十九乘之得五千九百八

十八以日法九百四十除之得六日從上三百四十八

日得三百五十四日餘三百四十八以三百五十四日

減周天三百六十五度不盡十一日又以餘分三百四

十八減章月二百三十五而章月少不足減上減一日

加下日法九百四十分得一千一百七十五以實餘三

百四十八乃減下法餘八百二十七是為一歲定閏十

日九百四十分日之八百二十七

　臣淳風等謹按此五經算一部之中多無設問及術

　直據本條畧陳大數而已今竝加正術及問仍舊數

　相符其有汎説事由不須術者竝依舊不加據此問

　宜云注一歲有餘十二日未盈三歲足得一月則置

　閏焉按十九年為一章有七閏問一年之中定閏幾

　何曰十日九百四十分日之八百二十七其術宜云

　置十二月以章法十九乘之納七閏為章月以四乘

　之為蔀月又置周天分以十九乘之為蔀日以蔀月

　除之得一月之日及分以十二乘之所得以減周天

　分餘即一年閏數也

　　求十九年七閏法

置一年閏十日以十九年乘之得一百九十日又以八

百二十七分以十九年乘之得一萬五千七百一十三

以日法九百四十除之得十六日餘六百七十三以十

六加上日得二百六日以二十九除之得七月餘三日

以法九百四十乘之得二千八百二十以前分六百七

十三加之得三千四百九十三以四百九十九命七月

分之適盡是謂十九年得七閏月月各二十九日九百

四十分日之四百九十九

　臣淳風等謹按其問宜云一年閏十日九百四十分

　(案原本訛作九百/四分脱十字今補)日之八百二十七一月二十九日

　九百四十分日之四百九十九問一章十九年凡閏

　日及月數各幾何曰閏二百六日九百四十分日之

　六百七十三閏月有七其術宜云置一年閏日通分

　内子以章法十九乘之為實以日法九百四十除之

　得閏日數以一月之分二萬七千七百五十九除之

　得閏月之數

　　尚書孝經兆民注數越次法

天子曰兆民諸侯曰萬民甄鸞按吕刑云一人有慶兆

民頼之注云億萬曰兆天子曰兆民諸侯曰萬民又按

周官乃經土地而井牧其田野九夫為井四井為邑四

邑為邱四邱為甸四甸為縣四縣為都以任地事而令

貢賦凡税斂之事所以必共井者存亾更守入出相伺

嫁娶相媒有無相貸疾病相憂緩急相救以所有易以

所無也兆民者王畿方千里自乘得兆井(案原李作得/之兆井衍之)

(字今/删)王畿者因井田立法(案原本訛作因井田/之立法衍之字今删)故曰兆

民若言兆井之民也如以九州地方千里者九言之則

是九兆其數不越于兆也諸侯曰萬民者公地方百里

自乘得一萬井故曰萬民所以言侯者諸侯之通稱也

按注云億萬曰兆者理或未盡何者按黄帝為法數有

十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝

澗正載也三等者謂上中下也其下數者十十變之若

言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之

若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數

窮則變者言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也若以下

數言之則十億曰兆若以中數言之則萬萬億曰兆若

以上數言之則億億曰兆注乃云億萬曰兆者正是萬

億也若從中數其次則須有十萬億次百萬億次千萬

億次萬萬億曰兆三數竝違有所未詳按尚書無此注

故從孝經注釋之(案今孝經亦無此注考天子曰兆民/諸侯曰萬民本左氏春秋閔公元年)

(卜偃之語鄭康成注内則降徳于衆兆民云萬億曰兆/天子曰兆民諸侯曰萬民然則此所引尚書及孝經注)

(皆鄭氏/説也)

　　詩伐檀毛鄭注不同法

不稼不穡胡取禾三百億兮不狩不獵胡瞻爾庭有縣

特兮注云萬萬曰億獸三歲曰特箋云十萬曰億三百

億禾秉之數也甄鸞按黄帝為法數有十等及其用也

乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載三等者

謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億

曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬

萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬

曰億億億曰兆兆兆曰京也據此而言鄭用下數毛用

中數矣

　　詩豐年毛注數越次法

豐年多黍多稌亦有髙廩萬億及秭毛注云豐大稌稲

廩所以藏齍盛之穗數萬至萬曰億數億至億曰秭箋

云豐年大有之年萬億及秭以言榖數多也甄鸞按毛

注云數萬至萬曰億者此即是中數萬萬曰億也又云

數億至億曰秭者或有可疑何者按黄帝數術云中數

者萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京萬萬京曰垓萬

萬垓曰秭此應云數億至垓曰秭而言數億至億曰秭

者有所未詳

　　周易策數法

凡天地之數五十有五此所以成變化而行鬼神也乾

之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六

十當朞之日二篇之策萬有一千五百二十當萬物之

數也是故四營而成易十有八變而成卦八卦而小成

引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣甄鸞按天以

一生水地以二生火天以三生木地以四生金天以五

生土天數竒二十五地數耦三十并天地之數合五十

五謂之大衍之數揲蓍得乾者三十六策然後得九一

爻爻有三十六策合二百一十六揲蓍得坤者二十四

策然後得六一爻爻有二十四策合一百四十四并乾

坤之策三百六十當一朞之日者舉全數也上下經有

六十四卦卦有六爻合三百八十四爻陰陽各半陽爻

稱九陰爻稱六九六各百九十二也陽爻以三十六策

乘之得六千九百一十二陰爻以二十四策乘之得四

千六百八并陰陽之策合得一萬一千五百二十也四

營者仰象天俯法地近取諸身遠取諸物也十八變者

三變而成爻十八變而六爻也八卦而小成者言雖成

易猶未備也

　　論語千乘之國法

子曰道千乘之國注云司馬法六尺為步步百為畆畆

百為夫夫三為屋屋三為井井十為通通十為成成出

革車一乘然則千乘之賦其地千成也今有千乘之國

其地千成計積九十億步問為方幾何答曰三百一十

六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六

萬二千五百七十六術曰置積步為實開方除之即得

按千乘之國其地千成方十里置一成地十里以三百

步乘之得三千步重張相乘得九百萬步又以千成乘

之得積九十億步以開方除之即得方數也開方法曰

借一算為下法步之常超一位至萬而止置上商九萬

于實之上又置九億于實之下下法之上名曰方法命

上商九萬以除實畢倍方法九億得十八億乃折之方

法一折下法再折又置上商四千于上以次前商之後

又置四百萬于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆

命上商四千以除實畢倍隅法得八百萬上從方法得

一億八千八百萬乃折之方法一折下法再折又置上

商八百于上以次前商之後又置八萬于方法之下下

法之上名曰隅法方隅皆命上商八百以除實畢倍隅

法得十六萬上從方法得一千八百九十六萬乃折之

方法一折下法再折又置上商六十于上以次前商之

後又置六百于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆

命上商六十以除實畢倍隅法得一千二百上從方法

得一百八十九萬七千二百乃折之方法一折下法再

折又置上商八于上以次前商之後又置八于方法之

下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八以除實畢倍

隅法得一十六上從方法下法一亦從之得一十八萬

九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六以里

法三百步除之得三百一十六里不盡六十八步即得

方三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十

七分步之六萬二千五百七十六也

　　周官車葢法

參分弓長以其一為之尊注云尊高也六尺之弓近部

平者二尺(案原本脱此六字/今據周禮注補)爪末下于部二尺二尺為

句(案此四字原本訛作為句/也三字今據周禮注補正)四尺為弦求其股股十二

(案此六字原本訛作其股十/二四字今據周禮注補正)開方除之面三尺幾半甄

鸞按句股之法横者為句直者為股邪者為弦若句三

則股四而弦五此自然之率也今此車葢句二弦四則

股三此亦自然之率矣求之法句股各自乘并而開方

除之即弦也股自乘以減弦自乘其餘開方除之即句

也句自乘以減弦自乘其餘開方除之即股也假令句

三自乘得九股四自乘得十六倂之得二十五開方除

之得五弦也股四自乘得十六弦五自乘得二十五以

十六減之餘九開方除之得三句也句三自乘得九弦

五自乘得二十五以九減之餘十六開方除之得四股

也今車葢崇二尺弓四尺以崇下二尺為句弓四尺為

弦為之求股求股之法句二尺自乘得四弦四尺自乘

得十六以四減十六餘十二開方除之得三即股三尺

也餘三倍方法三得六又以下法一從之得七即股三

尺七分尺之三故曰幾半也

　臣淳風等謹按其問宜云車葢之弓長六尺近上二

　尺連部而平(案部原本訛作步考周禮注云六尺之/弓近部平者二尺即此所本今訂正)

　為高四尺邪下宇曲為弦爪末下于部二尺為句欲

　求其股問股幾何曰三尺七分尺之三術曰句自乘

　以減弦自乘其餘開方除之即得股也

　　儀禮喪服絰帶法

苴絰大搹左本在下(案原本訛作左平在/下今據儀禮改正)去五分一以

為帶齊衰之絰斬衰之帶也去五分一以為帶大功之

絰齊衰之帶也去五分一以為帶小功之絰大功之帶

也去五分一以為帶緦麻之絰小功之帶也去五分一

以為帶注云盈手曰搹搹㧖也中人之㧖圍九寸以五

分一為殺者象五服之數今有五服衰絰迭相差減五

分之一其斬衰之絰九寸問齊衰大功小功緦麻絰各

幾何答曰齊衰七寸五分寸之一大功五寸二十五分

寸之十九小功四寸一百二十五分寸之七十六緦麻

三寸六百二十五分寸之四百二十九甄鸞按五分減

一者以四乘之以五除之置斬衰之絰九寸以四乘之

得三十六為絰實以五除之得齊衰之絰七寸五分寸

之一以母五乘絰七寸得三十五内子一得三十六以

四乘之得一百四十四為實以五乘下母五得二十五

為法除之得大功絰五寸二十五分寸之十九以母二

十五乘絰五寸得一百二十五内子十九得一百四十

四以四乘之得五百七十六為實以五乘下母二十五

得一百二十五為法以除之得小功絰四寸一百二十

五分寸之七十六以母一百二十五乘絰四寸得五百

内子七十六得五百七十六又以四乘之得二千三百

四為實以五乘下母一百二十五得六百二十五為法

以除之得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二

十九

　臣淳風等謹按其術宜云置斬衰之絰九寸以四乘

　之丘而一得齊衰之絰其求大功已下者準此有分

　者同而通之即合所問

　　喪服制食米溢數法

朝一溢米夕一溢米注云二十兩曰溢一溢為米一升

二十四分升之一甄鸞按一溢米一升二十四分升之

一法置一斛米重一百二十斤以十六乘之為積一千

九百二十兩以溢法二十兩除之得九十六溢為法以

米一斛為百升為實實如法得一升不盡四升與法俱

再半之名曰二十四分升之一稱法三十斤曰鈞四鈞

曰石石有一百二十斤也所以名斛為石者以其一斛

米重一百二十斤故也

　臣淳風等謹按其問宜云喪服朝一溢米夕一溢米

　鄭注云二十兩曰溢為米一升二十四分升之一欲

　求其指如何術曰置一斛升數為實又置一斛米重

　斤數以斤法十六兩乘之所得以溢法二十除之為

　法實如法得一升不盡者與法俱再半之即得分也

　　禮記王制國及地法

凡四海之内有九州大界方三千里三三而九計方一

千里者有九也今為里田之法方一千里為廣一里則

長一百萬里也分方一千里為畿内餘為八州州各得

方一千里各以方里自乘為積里諸國皆倣方一百里

國三十一國萬里(方百里/自相乘)三十國合三十萬里方七十

里國六十一國四千九百里六十國合二十九萬四千

里方五十里國一百二十一國二千五百里一百二十

國合三十萬里上法一州有二百一十國合地八十九

萬四千里以減一州之地大數一百萬里餘一十萬六

千里為閒田此據一州而言若八州則地七百一十五

萬二千里以減八州八百萬里餘八十四萬八千里為

閒田

　臣淳風等謹按其問宜云今有州方千里其中封百

　里之國三十七十里之國六十五十里之國百二十

　問三等國别及當色總數并都合積里餘為閒田得

　地幾何曰百里之國一國得積萬里總積三十萬里

　七十里之國一國得積四千九百里總積二十九萬

　四千里五十里之國一國得積二千五百里總積三

　十萬里都合得積八十九萬四千里閒田積十萬六

　千里術宜云置方里各自乘為一國之積里各以本

　方國數乘之得當方總數并之即都合積里以減一

　州方里自乘大數餘即閒田也

畿内方百里國九一國萬里九國合九萬里方七十里

國二十一一國四千九百里二十一國合十萬二千九

百里方五十里國六十三一國二千五百里六十三國

合十五萬七千五百里上法畿内有九十三國計地三

十五萬四百里以減一百萬里餘六十四萬九千六百

里為閒田以八州之地七百一十五萬二千里并畿内

三十五萬四百里九州之國合地七百五十萬二千四

百里以減九州之地大數九百萬里餘一百四十九萬

七千六百里為閒田此商制也

　臣淳風等謹按其問宜云今有畿内方千里其中封

　百里之國九七十里之國二十一五十里之國六十

　三問三等國别及當色總數并畿内都合積里餘為

　閒田各幾何曰百里之國一國得積萬里總九萬里

　七十里之國一國積四千九百里總十萬二千九百

　里五十里之國一國積二千五百里總十五萬七千

　五百里都合積三十五萬四百里閒田積六十四萬

　九千六百里其術宜云方里各自乘為一國之積里

　各以本方國數乘之得當方總數并之即都合積里

　以減畿内方里自乘大數餘即閒田也

鄭注云周公制禮九州大界方七千里七七四十九即

四千九百萬里計方一千里者四十九也分方千里為

畿内餘為八州州各得一千里者六一州合地六百萬

里方五百里國四一國二十五萬里四國合一百萬里

方四百里國六一國十六萬里六國合九十六萬里方

三百里國十一一國九萬里十一國合九十九萬里方

二百里國二十五一國四萬里二十五國合一百萬里

方一百里國一百六十四一國一萬里一百六十四國

合一百六十四萬里上法一州二百一十國計地五百

五十九萬里以減一州之地大數六百萬里餘四十一

萬里為附庸閒田按周禮據千里為法則公國四侯國

六伯國十一子國二十五男國一百六十四合二百一

十國者非周之數矣據地方一千里為地一百萬里五

國合為地五百萬里方百里者五十九方百里為地一

萬里五十九國合為地五十九萬里上二法計得地五

百五十九萬里容前二百一十國餘方百里者四十一

方百里為地一萬里百里之國四十一為地四十一萬

里上據地以下三法合地六百萬里一州之大數

　臣淳風等謹按其問宜云今有一州方千里者六其

　中封方五百里之國四四百里之國六三百里之國

　十一二百里之國二十五一百里之國一百六十四

　問五等國别及當色總數并都合積里餘為附庸閒

　田各幾何曰五百里之國四一國得積二十五萬里

　總積一百萬里四百里之國六一國十六萬里總九

　十六萬里三百里之國十一一國九萬里總九十九

　萬里二百里之國二十五一國四萬里總一百萬里

　一百里之國一百六十四一國一萬里總一百六十

　四萬里都合二百一十國總積五百五十九萬里附

　庸間田積四十一萬里術宜云置五等方里各自乘

　得一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并

　之得都合積里以減一州方里自乘積一百萬里餘

　四十一萬里即附庸閒田

古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步古者

百畝當今東田百四十六畝三十歩古者百里當今百

二十一里六十歩四尺二寸二分注云周尺之數未之

詳聞按禮制周猶以十寸為尺蓋六國時多變亂法度

或言周尺八寸則歩更為八八六十四寸以此計之古

者百畝當今百五十六畝二十五歩古者百里當今百

二十五里也甄鸞按古者以周尺八尺為步今以周尺

六尺四寸為歩古者一百畝當今東田一百四十六畝

三十步計之法置古步八尺以八寸乘之為六十四寸

自相乘得四千九十六寸為古步法又置今步六尺以

八寸乘之内四寸得五十二寸自相乘得二千七百四

寸為今步法置田一百畝以百步乘之得一萬步以古

步法乘之得四千九十六萬寸為實以今歩法二千七

百四寸除之得一萬五千一百四十七步不盡二千五

百一十二寸約之得一百六十九分步之一百五十七

以畝法一百步除積步得一百五十一畝餘四十七步

及分以經中東田一百四十六畝三十步減之計賸五

畝一十七步及分此即經自不合

　臣淳風等謹按其問宜云古者以周尺八尺為步今

　以周尺六尺四寸為步周制八寸為尺問古者百畝

　當今幾畝又與經中當今畝數所較幾何曰一百五

　十一畝四十七步一百六十九分步之一百五十七

　多于經中五畝一十七步一百六十九分步之一百

　五十七術宜云置古步尺數以八寸乘之又自相乘

　為古步法又置今步尺數亦以八寸乘之内子自相

　乘為今步法列田百畝步數以古步法乘之今步法

　除之所得以經中當今畝數減之餘即所多之數

　　求經云古者百里當今一百二十一里六十步四

　　尺二寸二分法

置百里以三百步乘之得三萬步以古一步六十四寸

乘之得一百九十二萬寸以今步法五十二寸除之得

三萬六千九百二十三步餘四寸以里法三百步除積

步得一百二十三里不盡二十三步四寸以經中一百

二十一里六十步四尺二寸二分減之計賸一里二百

六十二步一尺三寸八分亦經自不合

　臣淳風等謹按其問宜云周制八寸為尺古以周尺

　八尺為步今以周尺六尺四寸為步問古者百里當

　今幾里又與經中當今里數所較幾何曰一百二十

　三里二十三步四寸多于經中一里二百六十二步

　一尺三寸八分術宜云置百里步數以古步寸數乘

　之以今步寸數除之以里法三百步除之即得以經

　中當今里數減之餘即所多之數

　　求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十

　　五步依鄭計之法

置經中古者八十寸今六十四寸相約古步率得五今

步率得四古步率五自乘得二十五為古步法今步率

四自乘得十六為今步法置田一百畝為一萬步以古

步法二十五乘之得二十五萬以今步法十六除之得

一萬五千六百二十五步以畝法一百步除之得一百

五十六畝不盡二十五步

　臣淳風等謹按其問宜云鄭注禮王制周猶以十寸

　為尺或言周尺八寸則步更為八八六十四寸以此

　計之古者百畝當今一百五十六畝二十五步欲求

　其旨趣如何術宜云置古步寸數與今步寸數相約

　所得各自為率二率各自乘為步法又列田百畝步

　數以古步法乘之今步法除之即得

　　求鄭注云古者百里當今一百二十五里法

置一百里以三百步乘之得三萬步以古步率五乘之

得一十五萬為實以今步率四乘里法三百步得一千

二百為法實如法而一得一百二十五里按經自不合

鄭注又不與經同未詳所以

　臣淳風等謹按其問宜云鄭意以周猶以十寸為尺

　或謂周尺八寸以此計之古者百里當今一百二十

　五里求其旨趣如何術宜云以今步寸數等約古步

　寸數各自為率古步率得五今步率得四置百里步

　數以古步率乘之以今步率四而一以里法三百步

　除之即得

　五經算術卷上