測圓海鏡
測圓海鏡
欽定四庫全書
測圓海鏡卷三
元 李冶 撰
邊股一十七問
或問乙出東門南行不知歩數而止甲出西門南行四
百八十歩望見乙復就乙行五百一十步與乙相㑹
問答同前
法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實得城
徑
草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行
步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百
六十步得五萬七千六百步為平方實如法開之得
二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅東行
八十步望見甲問答同前
法曰倍南行步以東行步乘之為實東行歩為從方
一步常法得全徑
草曰立天元一為全徑以減於二之甲南行步得□
□為兩个大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑
冪(寄/左)然後以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平
方開之得二百四十步即城徑也合問
又法半之乙東行步乘南行步為實半之乙東行步為
從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大
差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪(寄/左)然後
以天元冪為同數與左相消得丨□□開帶縱平方
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅亦南
行一百五十步望見甲問答同前
法曰兩行步相乘為實南行步為從方一為隅得半
徑
草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為
半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪
(寄/左)然後以天元冪與左相消得丨□□開帶縱平方
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲出西門南行四百八十步乙出東門直行一十
六步望見甲問答同前
法曰以四之東行步乗南行冪為實從空東行為亷
一步為隅法得全徑
草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾
其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之
得□合以中勾除今不受除便以為小股也(内寄中/勾分母)
乃復以中股乗之得三百六十八萬六千四百又四
之得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪
(寄中勾分/母寄左)然後以天元徑自之又以中勾乘之得
□□為同數與左相消得丨□□□以𢃄縱立方開
之得二百四十步為城徑也合問
按不受除者無可除之理也凡二數此數於彼數
有可除之理則受除無可除之理則不受除也蓋
除有法有實實可二法不可二此題以中勾為法
而中勾内有一元又有十六步其為數已二矣又
何以均分不一之數乎故曰不受也寄分者姑寄
其應除之數也俟求得兩相等數而此數内尚少
一除不除此而轉乘彼則兩數仍相等猶之受除
者也此所謂以乘代除也
或問乙出南門東行七十二步而止甲出西門南行四
百八十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰以乙東行冪乗甲南行為實乙東行冪為從方
甲南行步内減二之東行步為益亷一步常法得半
徑
草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小
股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元
加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘
之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為
大勾(内寄小/股分母)又置天元半徑以分母小股乘之得□
□以減大勾得□□□為半个梯底於上以乙東行
七十二步為半个梯頭以乘上位得□□□為半徑
冪(内寄小/股分母)寄左然後置天元冪又以分母小股乘之
得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開
之得一百二十步倍之即城徑也合問
又法曰以二數相乘為實相減為從一虚法平開得半
徑
草曰别得二數相併為大股内少一虚勾其二數相
減為大差弦也立天元一為半徑副置之上位減於
四百八十得□□為股圓差(即大差/股也)下位加七十二
得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積
(寄/左)再以大差勾減於大差股餘□□為較又加入大
差弦四百單八共得□□為弦較共也以天元乘之
得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得
一百二十步即半徑合問 前法太煩故又立此法
以就簡也
或問乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四
百八十步望見乙與城㕘相直又就乙行四百零八
步與乙相㑹問答同前
法曰二行步相減以乘甲南行步為實甲東行步内
減相減步為益方一步常法得半徑
草曰識别得二行相減餘七十二步即是乙出南門
東行數也更不湏用弦遂立天元一為半城徑加乙
東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□
□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小
勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便
以此為大勾也(内帶小/股分母)又倍天元以小股乘之得下
式□□以減於大勾得□□□為勾圓差也合以股
圓差乘之縁此勾圓差内已帶小股分母(小股即股/圓差也)
更不湏乘便以此為半段黄方冪(更無分/母也)寄左乃以
天元自之又倍之得□□為同數與左相消得□□
□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門直行不知歩數而止甲出西門南行四
百八十步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙
相會問答同前
法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實從方
空半斜行半南行相減得數加入南行步為隅法得
半徑
草曰識别得二行相減餘六十四步即半徑為股之
勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減餘六
十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□
□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□
□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓
差也半之得□□□於上乃以天元減甲南行步得
□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪(寄/左)
然後以天元冪與左相消得下式□□□以平方開
之得一百二十步倍之即城徑也合問
按此問以小股為除法蓋因小股只一天元其數
不二猶有可除之理也然得數降於實數之下者
皆不可以命名至開方時仍湏各升一位以計之
是兩邊各加一乘猶是寄分之理也
又法以二數差乘二數併開方得邊勾復以邊股乘之
為實併二數而半之為法實如法得二百四十步即
城徑(此蓋用前勾/上容圓法也)
或問乙從乾地東行不知幾步而止甲出西門南行四
百八十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相
㑹問答同前
法曰併二行數以二行差乘之内減二行差冪為實
併二行步及二行差為從方二步常法得半徑
草曰識别得二行相減餘二百步即半圓徑與小差
勾之共數也立天元一為半城徑加於二百步得□
□為大勾也又以天元加於甲南行步四百八十得
□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪(寄/左)
乃置乙斜行六百八十步為大弦加入大股共得□
□於上再置二行差内減天元得□□為小差勾即
股弦較以乘上位得□□□為同數與左相消得□
□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合
問
又法求小差二行相減以自之又四之為實二行相減
八之於上二之南行步内減二之二行相減數又以
加上位為益方二步常法
草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑
以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪(寄/左)然
後以半城徑減於甲南行得□□又倍之得□□為
兩个大差也又以天元乘之得□□○為同數與左
相消得下式□□□以平方開之得八十步為小差
也
或問乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四
百八十步望乙與城㕘相直復就乙斜行二百五十
五步與乙相㑹問答同前
法曰甲南行内減二之兩行差餘以乘甲南行又倍
之為實二步為隅得半徑
草曰别得二行步相減餘二百二十五步乃是半徑
為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其
二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步
加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□
合以小股除今不受除(按此所謂不受除乃其數竒/零不能盡非無可除之理也)
(與前辭同/而意異)便以此為大勾(内寄小/股分母)乃倍天元以小股
乘之得□以減大勾餘丨□為一个小差於上(内寄/小股)
(分/母)乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上
位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪(内寄小/股分母)寄
左然後倍天元以自之又以小股乘之得□□為同
數與左相消得□○□以平方開之得一百二十步
倍之即城徑也合問
按此題止用股弦求勾法即得城半徑其必展轉
數次而後始得者益見其為發明立天元一之術
使人易曉也後多有倣此者
或問乙出南門直行一百三十五步而止甲出西門南
行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰二行步相減餘以自乘内減乙行冪為實二之
甲南行為益從一步常法得半徑
草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加
乙行步併以減於甲行步得□□為股率乃置乙南
行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以
股率除之今不受除乃便以此為小勾(内寄股/率分母)又置
乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得
□□合以股率除之今不受除便以此為大勾(内寄/股率)
(分/母)以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪(内帶股率/冪為分母)
寄左然後置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□
□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一
百二十步倍之即城徑也合問
按此草得數為九百六十立方少一三乘方與十
萬零八百平方等皆虚數也各降二位即如各以
平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬零
八百步等兩數等所降之位又等則兩數仍相等
而實積步數乃出矣故可以帶縱平方開之也此
係降位而得實數者與前升位而得實數者其理
互相發明草中不言蓋以為不待於言也
或問甲乙二人同出西門向南行至西南十字道口
分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通
行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰兩行相乘得數又以乙東行乘之為實二行相
乘於上位又置乙東行以二行相減數乘之得數加
上位為法
草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□
□為大股也下位減於甲行步得□□為小股也其
乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄
小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得
□□減於大勾得丨□□為半个矮梯底於上再置
乙東行内減天元得下式□□為半个矮梯頭以乘
上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以
自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相
消得□□上法下實得一百二十步即城之半徑也
合問
按草中相消法皆得兩邊數此獨得一邊二數蓋
此條共數比彼條共數少一數又多一數為相等
則多少二數其必為相等無疑矣多少數多者亦
倣此此又相消法中之一變也
又法二行步相乘為實倍甲南行内減乙東行為法
草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□
□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓
差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□
□内寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以
二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大勾餘
□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁内已有小
股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無分
母(寄/左)然後置天元冪以二之得□□為如積以左相
消得□□上法下實得一百二十步即半城徑也合
問
或問見邊股四百八十步□弦三十四步問答同前(此/題)
(在甲乙二人同出西門南行至十字道乙折東行一/百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望)
(見乙與城㕘/相直之後)
法曰□弦乘邊股半之為實半□弦半邊股相併為
從半步隅法平方得□股
草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾也又
以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股
相乘得□□□為半徑冪(寄/左)然後以天元乘邊股得
□為同數與左相消得下式□□□開平方得□股
三十步以乘邊股開平方倍之即圓城徑也合問
按此問原稿在三卷末
或問見邊股四百八十明弦一百五十三問答同前
法曰二云數相減復倍之内減邊股復以邊股乘之
於上又以明弦冪乘上位為實以邊股乘明弦冪又
二之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數
相減又倍之為第二益亷一常法開三乘方得明勾
草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也以
髙股減邊股餘□□為髙弦以倍之得□□為黄廣
弦也内減邊股得□□為□股復以邊股乘之得□
□於上又以明弦自乘得二萬三千四百零九為分
母以乘上位得□□為𢃄分半徑冪(寄/左)然後置黄廣
弦以天元乘之得□□復合以明弦除之不除寄為
母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得
□□□為同數與左相消得下式丨□□□□開三
乘方得七十二步即明勾也餘各依法求之合問
又法邊股内減二明弦以邊股乘之復以明弦冪乘之
為三乘方實亷從並同前
草曰識别得二數相減餘為髙股虚弦共又為髙弦
明勾共此餘數内又去半徑即明和也明和明弦相
併即股圓差相減則明黄方也又倍明弦加明黄亦
得股圓差也邊股内減明勾餘即大差弦也立天元
一為明勾減於云數相減數得□□即髙弦也以髙
弦減邊股得□□即髙股也以髙股減於云數相減
數得□□即虚弦也以天元又減虚弦得□□即□
股也乃置髙弦以天元乘之得□□合明弦除之不
受除便以此為髙勾也(即半/徑)髙勾自之得丨□□□
為半徑冪(内帶明弦/冪分母)寄左然後置邊股以□股乘之
得□□為半徑冪又以明弦冪二萬三千四百零九
分母通之得□□為同數與左相消得實從亷隅五
層如前式
或問邊股四百八十步髙弦二百五十五步問答同前
法曰以邊股減於二之髙弦復以邊股乘之開平方
得半徑
草曰立天元一為半徑先倍髙弦内減邊股餘□復
以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨
□□開平方得數倍之即城徑也合問
或問邊股四百八十步平弦一百三十六步答問同前
法曰置平弦以邊股再乘之為實以邊股自之為益
從平弦為益亷一虚隅開立方得半徑
草曰别得平弦即皇極勾也立天元一為半徑副之
上位加平弦得□□即邊勾也下位減於平弦得□
□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除
今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之
得□□為半徑冪(内𢃄邊/勾分母)寄左然後以天元為冪以
分母邊勾乘之得丨□□為同數與左相消得丨□
□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問邊股四百八十步明股明弦和二百八十八步問
答同前
法曰以云之云數相減餘加邊股復以減餘乘之訖
又折半於上又以減餘自之減上位為實併云數半
之為法得明勾
草曰别得二數相減餘為大差勾立天元一為明勾
減於大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得
□□為虚勾於上又以半徑加邊股得□□為通股
於下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪
(寄/左)然後以半徑冪丨□□為同數與左相消得□□
上法下實得七十二步即明勾也合問
或問見邊股四百八十步□勾□弦和五十步問答同
前
法曰半邊股半和步相併得為泛率以汎半減邊股
以自之又二之於上以和步乘泛率減上位為實以
汎率減邊股六之於上内又加半个邊股三个和步
為益從三步常法得□股
草曰别得和步得□股即小差也小差邊股共即二
中差(按此/句誤)立天元一為□股加和步得□□即小差
也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差
相併得□□即大差也以小差乘之得□□□為半
段徑冪(寄/左)然後置邊股内減大差得□□為半徑以
自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得
下式□□□開平方得三十步即□股也合問
按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即
勾股較小差即股弦較邊股即勾弦較與容圓半
徑和若設勾二十股二十一弦二十九則勾弦較
九容圓半徑六併之得十五為邊股股弦較八為
小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍
之僅得二則相差二十一矣是知細草乃因題數
之偶合而誤非正法也今依其術另設法草於後
以補其闕
法曰以□勾弦和自之邊股再乘為實倍邊股加□
勾弦和再以□勾弦和乘之為從又倍□勾弦和減
邊股餘為益亷一為隅𢃄縱立方開之得□股
草曰别得邊股即髙股弦和□股即髙股弦差□股
弦和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應以
□勾弦和除之不除便以為□勾弦較(内寄□勾/弦和分母)轉
以□勾弦和自之得□為□勾弦和加□勾弦較得
丨○□為倍□弦又以□勾弦和分母乘倍□股得
□為倍□股與倍□弦相加得丨□□為倍□股弦
和即倍平勾又於邊股内減□股得□□為倍髙股
倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又
以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓
徑冪又以□勾弦和分母乘之得□為同數與左相
消得丨□□□開帶縱立方得□股三十步合問
測圓海鏡卷三