測圓海鏡
測圓海鏡
欽定四庫全書
測圓海鏡卷四
元 李冶 撰
底勾一十七問
或問乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二
百步見之就乙斜行二百七十二步與乙相㑹問答
同前
法曰二行差數乘甲東行又四之為平方實得全徑
草曰識别得二行相減餘即乙出南門東行數也以
甲東行減於就乙斜行餘七十二步以乘甲東行歩
得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為
實以平方開之得二百四十步即城徑也合問
或問乙從坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百
步見之問答同前
法曰二行步相乘倍之為實乙南行為從一步常法
得城徑
草曰立天元一為城徑以減於二之甲東行步得(□/)
□為兩个小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪
(寄/左)然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方
開之得二百四十步即城徑也合問
又法半之乙南行步乘甲東行為實半乙南行為從一
步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差
半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半
徑冪(寄/左)然後以天元冪丨□與左相消得下式丨□
□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門東
行二百步見乙問答同前
法曰兩行步相乘為實甲東行為從乙為隅得半徑
草曰立天元一為半徑減於乙東行得□□以甲行
步乘之得□□為半徑冪(寄/左)然後以天元冪丨□與
左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之
即城徑也合問
或問乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二
百步見乙問答同前
法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實從空乙
行為亷一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其
甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之
得□合以股率除今不除受便以此為小勾(寄股率/為母)
乃以甲東行步乘之得□ 又四之得□為一段城
徑冪(寄/左)然後以天元城徑自之又以股率分母通之
得丨□□為同數與左相消得下式丨□□□以立
方開之得二百四十步即城徑也合問
又法二行相乘又以自乘為實以二行相乘倍之為益
方南行冪為亷八步益隅立方開得小勾七十二
草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百
步為大勾也置大勾内減天元得□□為中勾也以
小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股
即城徑也以自之得□□□為城徑冪也(寄/左)又以天
元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數與
左相消得□□□□開立方得七十二步即小勾也
以乘通勾二百步為實平方開得一百二十步倍之
即城徑也合問
又法求半徑以南行步乘東行冪為實從空東行步為
亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為
股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以
勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母
便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑
冪(寄/左)再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得
□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一
百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門南行三十步而止甲出北門東行二百
步望乙與城㕘相直問答同前
法曰以甲東行步乗乙南行冪為實以乙南行冪為
從甲東行内減二之乙南行為益亷一步隅得半徑
草曰立天元一為半城徑減於甲東行步得□□為
小勾以天元加於乙南行步得□□為小股乃以天
元加東行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得
丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股(内/帶)
(小勾/分母)又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減於
大股餘□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑
冪(内有小/勾分母)寄左然後以天元為冪又以小勾通之得
□□□為同數與左相消得下式□□□□以立方
開之得一百二十步倍之即城徑也合問(翻法在記/)
又法乙南行乘甲東行為平實二數相減為法一隅翻
開得半徑
草曰别得二數相併為大勾内少一虚股其二數相
減為小差弦也 立天元一為半徑副置之上位減
於二百步得□□為勾圓差(即小差/勾也)下位加三十步
得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差
積(寄/左)再以小差勾減小差股餘□□為一較也又以
此較減於小差弦得下式□□為一个弦較較以天
元一乘之得下式□□為同數與左相消得□□□
開平方得一百二十步即半城徑也合問(翻法在記/)
再立此法者蓋從簡也
按此乃以小差勾為平弦上弦較較半徑為平股
故以小差弦上弦較較與半徑相乘等於平弦上
弦較較與小差股相乘為一段小差積也
或問乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二
百步望乙與城㕘相直復就乙斜行一百七十步與
乙相㑹問答同前
法曰以二行差乘甲東行為實甲就乙斜行為方一
步常法得半徑
草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行
步也(更不湏/用弦)立天元一以為半城徑加乙南行得□
□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□
為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以
小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以
此為大股(内𢃄小/勾分母)又倍天元以小勾乘之得□□以
減於大股得□□□又倍之得下□□□為兩个股
圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更
不須乘便以此為黄方冪(更無/分母)寄左然後倍天元以
自之得□□為同數與左相消得□□□上下俱半
之(俱半之者/蓋從簡也)得□□□以平方開之得一百二十步
倍之即半徑也合問
或問乙出南門直行不知步數而止甲出北門東行二
百步見之復就乙斜行四百二十五步與乙相㑹問
答同前
法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實從空四之甲
東行於上倍兩行差加上位為隅得半徑
草曰識别得二行差二百二十五步即半徑為勾之
股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是
小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股
乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又
倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□
□為兩个股圓差於上乃以天元減甲東行得□□
為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪(寄/左)
然後倍天元一以自之得□□為同數與左相消得
□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
(按此係得數各升/一位然後開平方)
又法併二數以二數差乗之開方得底股復以甲東行
二百步乘之為實併二數而半之以為法如法得二
百四十步即城徑也合問(此用股上容圓求之/比前法極為簡易)
或問乙從乾隅南行不知步數而止甲出北門東行二
百步望見之復就乙斜行六百八十步與乙相會問
答同前
法曰併二行以二行差乘之内減二行差冪為實併
二行步及二行相減數(按即倍/乙斜行)為從二步常法得半
徑
草曰識别得斜行六百八十步即大弦也其二行相
減餘四百八十步即乙南行步内減半徑也立天元
一為半城徑副置之上位加二行相減數得□□為
大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大
股自增乘得丨□□為大股冪(寄/左)乃併大勾大弦得
□□於上又以大勾減大弦得□□為大差以乘上
位得□□□為同數與左相消得□□□開平方得
一百二十步倍之即城徑也合問
又法求大差
法曰二行差自乘為實置二之二行差於上乃以甲
東行步減二行差又半之以減於上為益方(按三因/斜行步)
(二因東行步相/減折半亦同)半步常法
草曰立天元一為大差減於二行差得□□為半城
徑以自之得丨□□為半徑冪(寄/左)乃以半城徑減於
甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□
又以半之得□□為同數與左相消得下式□□□
以平方開之得三百六十步即大差也合問
或問乙出東門不知步數而立甲出北門東行二百步
望乙與城叅相直復就乙斜行一百三十六步與乙
相㑹問答同前
法曰甲東行步内減二之二行差(按倍斜行步内/減東行步亦同)餘
以乘甲東行為實一步常法得半徑
草曰别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾
立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率
也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股
率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股
(内𢃄勾/率分母)乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨
□為一个大差於上(内𢃄勾/率分母)乃以天元減甲東行得
□□為小差以乘上位□□□為半段黄方冪(内寄/勾率)
(為/母)寄左然後以天元自之又以勾率乘之又倍之得
□□為同數與左相消得下式丨□□以平方開之
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門直行一十六步而止甲出北門東行二
百步望見乙與城叅相直問答同前
法曰二行步相減餘以自乘内減乙東行冪為實二
之甲東行為益從一步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑加乙行步併以減於甲
行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃
置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以
勾率除之今不受除便以此為小股(内帶勾/率分母)又置乙
東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□
合以勾率除之今不受除便以此為大股(内寄勾/率為母)以
此小股大股相乘得□□□為半徑冪(内寄勾率/冪為母)寄
左然後以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數
相消得□□□□開平方得一百二十步倍之即城
徑也合問(按此係得數各降/二位然後開平方)
或問甲乙二人同出北門向東行至東北十字道口分
路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前後
通行了二百步廻望乙恰與城相直問答同前
法曰以二行步相乘於上又以南行步乗之為實二
行步相乘於上又以乙南行減於甲東行得數復以
乙南行乘之加上位共為法得半徑
草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□
□為大勾也下位減於甲行步餘□□為小勾也其
乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内
寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘
之得□□減於大股餘丨□□為半个矮梯底於上
(内寄小/勾為母)再置乙折行步内減天元得□□為半个矮
梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪(寄/左)乃以小勾
分母乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得
□□上法下實如法而一得一百二十步即城之半
徑也合問
又法 法曰二行步相乘為實倍甲東行内減乙南
行為法
草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□
□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便
是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘
之得下式□□内寄小勾□□為母便以為大股也
再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以
減於大股餘得□□□為股圓差也合以勾圓差乘
之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段
之半徑冪也更無分母(寄/左)再置天元以自之又二之
得□□為同數與左相消得□□上法下實一百二
十步即半城徑也合問
或問見底勾二百步明弦一百五十三步問答同前
法曰半底勾乘明弦為平實併二云數而半之為從
五分常法得明勾
草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也又
以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股
相乘得□□□為半徑冪(寄/左)然後以天元乘底勾得
下式□為同數與左相消得□□□開平方得七十
二步即明弦也以明弦乗底勾為平方實如法開之
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問見底勾二百步□弦三十四步問答同前
法曰底勾□弦相減餘倍之内減去底勾(按倍□弦/減底勾亦)
(同/)復以底勾乗之於上又以□弦冪乘上位為三乗
方實倍底勾以□弦冪乗之為從二云數相減餘以
自之為第一亷二云數相減餘又倍之為第二益亷
一步隅法得□股
草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾以平
勾減底勾餘□□為平弦以倍之得□□為黄長弦
也此弦内却減底勾餘得下式□□為明勾也復以
底勾乘之得□□於上又□弦自乘得一千一百五
十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪(寄/左)然
後置黄長弦以天元乗之得□□合以□弦除之不
除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑
(内帶□/弦分母)以自之得丨□□□為同數與左相消得丨
□□□□開三乗方得三十步即□股也餘各依數
求之合問
又法底勾内減二□弦復以底勾乘之復以□弦冪乘
之為三乗方實餘亷從並與前同
草曰識别得二數相減餘一百六十六為平勾虚弦
共又為平弦□股共於此餘數内又去半徑即□和
也□和□弦相併即勾圓差也相減則□黄方也又
倍□弦加□黄亦得勾圓差也底勾内減□股餘即
小差弦也 立天元一為□股減於云數相減數得
□□為平弦以平弦減底勾得□□即平勾以平勾
減於云數相減數得□□即虚弦以天元又減虚弦
得□□即明勾也乃置平弦以天元乘之得□□合
□弦除不除寄為母便以此為平股也(即半/徑)平股自
之得丨□□□○為半徑冪(内帶□弦/冪分母)寄左然後置
底勾以明勾乗之得□□又以□弦冪一千一百五
十六通之得下式□□為同數與左相消得丨□□
□□亷從一一如上
或問見底勾二百步平弦一百三十六步問答同前
法曰倍平弦内減底勾復以底勾乗之開平方得半
徑
草曰立天元為半徑先倍平弦内減底勾餘□為明
勾復以底勾乗之得□為半徑冪(寄/左)然後以天元冪
為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步
又倍之即城徑也合問
或問底勾二百步髙弦二百五十五步問答同前
法曰底勾冪乗髙弦為立實底勾冪為從髙弦為亷
一為隅得半徑
草曰識别得髙弦即皇極股也立天元一為半徑副
之上位加髙弦得□□即底股也下位減於髙弦得
□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底
股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得
□□為半徑冪(内帶底/股分母)寄左然後以天元冪乗底股
得丨□□與左相消得丨□□□開立方得一百二
十步倍之即城徑也合問
或問底勾二百步□勾□弦和五十步問答同前
法曰以二云數相減餘加底勾復以減餘乗之半之
於上以減餘自之減上位為實併云數半之為法得
□股
草曰别得二數相減餘為小差股立天元一為□股
減於小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得
□□為虚股於上又以半徑加底勾得□□為通勾
於下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪
(寄/左)然後以半徑自之得下式丨□□為同數與左相
消得□□上法下實得三十步即□股也合問
或問見底勾二百步明股明弦和二百八十八步
問答同前
法曰二數相減又半之得數又減於底勾餘為泛率
以泛率自之又倍之於上位又二數相減而半之以
乗和步所得減於上倍為實倍泛率於上位又半底
勾減和步加上位為法得明勾
草曰别得和步得明勾為大差也大差得底勾為二
中差 立天元一為明勾加和步得□□為股圓差
也(即大/差)内又加底勾得□折半得□□即通勾通股
差也(此即/中差)置大差減中差得下□□即小差也大小
差相乘得□□□為半段圓徑冪(寄/左)乃置底勾内減
小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式
□□□為同數與左相消得□□上法下實得七十
二步即明勾也合問
按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差
者同誤依問另設於後
法曰以底勾乘明股弦和冪為實倍底勾以明股和
乗之加入明股弦和冪為從倍明股弦和内減底勾
為亷一為隅開帶縱立方得明勾
草曰别得明弦得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾
為平勾弦和明勾為平勾弦較平股即半徑也立天
元一為明勾自之得丨□應以明股弦和除之不除
便以為明股弦較(内寄明股/弦和分母)明股弦和自之得□為
股弦和以加股弦較得丨□□為倍明弦以分母乗
倍天元得□為倍明勾與倍明弦相加得丨□□為
倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股
相乘得□□□□為城徑冪(内寄明股/弦和分母)寄左又倍天
元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同
數與左相消得丨□□□開立方得明勾合問
測圓海鏡卷四