測圓海鏡
測圓海鏡
欽定四庫全書
測圓海鏡卷九
元 李冶 撰
大斜四問
或問甲丙俱在中心丙望南門直行不知步數而止甲
出東門直行不知步數望見丙斜行與丙相㑹二人
共行了六百八十步仍云甲直行少於丙直行一百
一十九步問答同前
法曰二數相減餘以為冪内却減差冪為平實二數
相減又四之於上又加入二之差步為益從二步常
法得皇極勾
草曰别得共步即皇極三事和少步即勾股差也立
天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元
加股得□□為和也以和減共步得□□為弦也弦
自之得□□□為一段弦冪(寄/左)然後置股以天元乘之
又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□
□為同數與左相消得□□□平方而一得一百三
十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實勾股
和減共步為法得城徑
又法云數併與云數差相乘(按此句有誤當云和數與/倍差相加相減二得數相)
(乘/)為平實云數併與二數差相併得數以減於八之
共步為益從(按此只云六因和/步為益從亦同)一步常法得皇極黄
方
草曰立天元一為黄方(即虚/弦也)副置之上位加共步得
□□為二和也下位減共步得□□為二弦也先以
二和自乘得丨□□為四段和冪又以二弦自乘得
丨□□為四段弦冪二數相減餘得□又倍之得下
式□為十六段直積於天元位(寄/左)然後副置二和上
位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得
□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數與左相消
得□□□平方而一得一百二步即皇極黄方也餘
各依法求之合問
或問甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數而立甲
向東行望見丙就丙斜行六百八十步與丙相㑹丙
云我南行步多於甲東行二百八十步問答同前
法曰以云數差乘云數併為實倍多步為從二為平
隅得大勾
草曰立天元為大平(按大平/即大勾)加差得□□為股倍天
元乘之得□□為二積(寄/左)然後以斜步多步併□與
斜步多步較□相乘得□為同數與左相消得□□
□開平方得三百二十步即大勾也合問
或問甲乙二人共立於艮隅乙南行過城外而立甲東
行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立於坤隅丁
向東行過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城
俱相直丙復就甲斜行六百八十步與甲相㑹乙丁
又云吾二人直行共得三百四十二問答同前
法曰二云數相乘倍之為實倍斜行於上以二云數
相減加上位為從一步常法開平方得城徑
草曰别得斜步即大弦也其共步則一徑一虚弦共
也其二數相併為一大和一虚弦共數也立天元為
徑減於共步得□□為虚弦也以虚弦復減於天元
得□□為虚和以斜步乘之得□□(寄/左)乃以天元加
斜步得□□為大和以虚弦乘之得□□□為同數
與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑
也合問
或問甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西
門向南直行壬從北門穿城南行四人遥相望悉與
城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共
行了六百三十一步問答同前
法曰共步自之得數以共步減斜餘自乘以減上為
實二之斜步加入共步減斜餘數為從一步常法得
城徑
草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇弦差
也甲丙相望即大弦也以共步減大弦餘□為皇極
弦上減一徑也立天元一為圓徑減於共步得□□
為皇極和也以自之得丨□□於上弦内減共步餘
□又以天元加之得□□為皇極弦以自之得丨□
□減上位餘得□□為兩个皇直積(寄/左)乃以天元乘
皇弦得下式丨□為同數與左相消得丨□□開平
方得二百四十步即城徑也合問
大和八問
或問庚從西門穿城東行二百五十六步而立壬從北
門穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱
在乾隅甲向東行丙向南行各不知步數而立四人
遙相望只云甲丙共行了九百二十步問答同前
法曰庚東行冪壬南行冪相併於上併庚壬步而倍
之内減大和餘復減於庚壬共得數(按或云併庚壬/步以減大和亦)
(同/)以自乘減上位為平實併庚壬步為益從半步為
隅法得城徑
草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減於
庚東行得□□為平弦也下以減於壬南行得□□
為髙弦也二弦相併得□□為皇弦虚弦共也倍此
數得□□為大弦虚弦共也以大弦虚弦共減於大
和餘□□為虚勾虚股共也天元内減虚勾虚股共
餘□□即虚弦也復置皇弦虚弦共内減虚弦餘□
□即皇極弦也以自之得□□(寄/左)然後以平弦自之
得下式□□□為勾冪也又以髙弦自之得□□□
為股冪也二冪相併得□□□為同數與左相消得
□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問
或問丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向
南行望見甲就甲斜行與甲相㑹甲直行丙直行共
九百二十步(甲步少/於丙步)又出東門南行有柳樹一株出
南門東行有槐樹一株戊己二人同在巽隅戊就柳
樹已從槐樹亦與甲乙遥相望只云已行少於戊行
數與兩樹相距數相併得一百四十四步其二數相
減餘六十步問答同前
法曰二云數相併而半之為虚弦以乘大和九百二
十步於上以一百四十四減大和以虚較乘之減上
位為平實以一百四十四減大和又二之於上以二
之虚較減上位(按或云倍甲丙直行共加己戊較與/兩樹距之較減三之己戊較與兩樹)
(距之和/亦同)為從四虚隅得太虚勾
草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳樹步即虚
股也已就槐樹步即虚勾也其一百四十四步即二
明勾其六十步即二叀股也立天元一為虚勾加明
勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也(又為虚/弦上三)
(事/和)二云數相併而半之得□即小弦也相減而半之
得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾
股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即
大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□(寄/左)
次以小弦乘大和得□□與左相消得下式□□□
開平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二
百四十步即城徑也合問
或問甲從乾隅東行乙從艮隅南行丙從乾隅南行丁
從坤隅東行四人遥相望見既而甲還至艮隅就乙
丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就
乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問答
同前
法曰併就數以減直行共復以所併就數乘之為實
併就數減直行共得數復加入直行共為法得虚弦
草曰别得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小
差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差
勾股共減於大股餘即虚勾也以小差勾股共減於
大勾餘即虚股也二數相併得□為大弦虚弦共也
二數相減餘□為通差及大虚勾股差共也又併二
數而半之得□為太極弦虚弦共又為太極勾股共
也立天元一為虚弦先以二共數減於大和餘□為
虚勾虚股和於上次以虚弦減於二共數餘□□為
大弦以乘上位得下□□(寄/左)然後以天元乘大和得
□為同數與左相消得□□上法下實得一百二步
即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問
又法併云數減大和復以二數相減乘之為實併云數
減大和得數復加入大和為法得虚差
草曰立天元一為虚較先以併云數減大和餘□為
虚和於上次以天元減於二就步較□得□□為通
差以乘之得□□(寄/左)然後以天元乘大和得□為同
數與左相消得□□上法下實得四十二步即虚差
也副置虚和為二位上加虚差而半之得九十即虚
股也下減虚差而半之得四十八即虚勾也勾冪股
冪相併得□開平方得一百二步即虚弦也加入虚
和得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云股圓差上勾弦差二百一十六
勾圓差上股弦差二十步問答同前
法曰以云數二十步減通和復以二十步乘之於上
以云數二百一十六減九百步(按即併二差/以減大和)而半之
乘上位為立實三因二十步以減通和得八百六十
以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數相
乗訖内減二十之九百步又以三百四十二及二百
一十六共得五百五十八又以之以減之為從方(按/取)
(從方内語有誤當云三因小差減大和併二差減大/和半之相乘於上三因大和加大差減三之小差半)
(之以小差乘之得/數減上位為從方)以二百一十六減通和又以三之
二十步減通和相併於上以二之五百五十八内却
減二十步餘以減上位為益亷(按取益亷内語亦有/誤當云三因大和減)
(六之小差/為益亷)四步常法得小差股
草曰别得小差上股弦差□加二股為大勾也大差
上勾弦差□加二勾為大股也立天元一為小差股
加□得□□為小差弦也小差弦上又加天元得□
□為通勾以減於和步得□□為通股也通股内減
大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差
之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□為大差弦
也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之
得□□□為一个大弦也(泛/寄)再置通勾以大差弦乘
之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大弦
(寄/左)乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數與左相
消得□□□□益積開立方得一百五十步為小差
股也合問
或問依見前大和只云髙弦平弦共得三百九十一步
髙弦平弦相較得一百一十九步問答同前
法曰以較數冪減於共數冪又半之為實以共數減
大和為益從一步常法開平方得圓徑
草曰别得髙數減於通股為邊股内減明股也平弦
減於通勾為邊勾内減明勾也其共數即大弦内減
皇極弦又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也
二云數相併即黄廣弦也二云數相減餘即黄長弦
也以共數減於大和餘□為皇極弦與圓徑共立天
元一為圓徑以減皇極弦與圓徑共得□□為皇極
弦也以共數自之得□於上以相較數自之得□減
上位餘□又半之得□為兩段皇極積(寄/左)乃以天元
乘皇極弦得卜□為同數與左相消得下□□□開
平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云大差弦四百八步小差弦一百
七十步問答同前
法曰以併云數減大和復以乘大和又倍之為平實
三之通和於上又以併云數減大和加上位為從二
步虚法得圓徑
草曰大差弦減和步餘□為大勾大差勾共也以小
差弦減大和餘□為大股小差股共也云數相併□
即大弦内減虚弦也云數相減得□為虚弦平弦共
也(按此二語因數/偶合而誤見前)以相併數減於大和餘□為大差
勾小差股共又為圓徑虚弦共也立天元一為圓徑
減於□得□□為虚弦也返以減於圓徑得□□為
小和也以天元減大和得□□為大弦以乘小和得
□□□(寄/左)乃再置虚弦以通和乘之得□□與左相
消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云黄廣弦五百一十步黄長弦二
百七十二步問答同前
法曰云數相併減大和復以相併數乘之為實云數
相併減大和得數復以加大和為法得虚弦
草曰别得黄廣弦又為大差弦虚弦共又為邊股叀
股共也黄長弦又為小差弦虚弦共又為底勾明勾
共也以黄廣弦減於大股餘即虚股以黄長弦減於
大勾餘即虚勾故併數以減於大和餘□為虚和也
以虚和減徑□□即虚弦也二云數相併得□為大
弦虚弦共也云數相減餘□為虚弦平弦共(按此句/誤同上)
立天元一為虚弦以減於七百八十二得□□為大
弦也以小和乘之得□□(寄/左)乃以天元虚弦乘大和
得□呔為同數與左相消得□□上法下實得一百
二步即虚弦也合問
或問依前見大和只云邊弦五百四十四步底弦四百
二十五問答同前
法曰云數相減自之為實以大和減併數為法得皇
極弦
草曰别得以邊弦減大股餘為半徑内減平勾又為
平弦内減勾圓差也以底弦減於大勾餘為髙股内
少半徑又為股圓差内少髙股也二云數相併得九
百六十九為大弦皇極弦共也二云數相減□為皇
極勾股差也併數内減通和餘□為皇極弦内減圓
徑也立天元一為皇極弦以自之於上以一百一十
九自之減上位得丨□□為二皇積(寄/左)復置天元内
減四十九得下式□□為黄方復以天元乘之得丨
□與左相消得□□上法下實得二百八十九步即
皇極弦也内減四十九餘即城徑也合問
按右大和八問每問於大和外復設二數然多有
大和外設一數即可求者細考其法草所載皆三
數並用婉轉求之蓋意在發明三數取用之理非
不知其可省也
測圓海鏡卷九