測圓海鏡

欽定四庫全書

　測圓海鏡卷八

　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰

　　明叀後一十六問

或問出南門向東有槐樹一株出東門向南有柳樹一

　株丙丁俱出南門丙直行丁往至槐樹下甲乙俱出

　東門甲直行乙往至柳樹下四人遥相望見各不知

　所行步數只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四

　十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問答同

　前

　法曰以二共相減數又以減距數為實二為法得平

　勾

　草曰識别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相

　距步即極弦也二共相併即極弦内少个虚黄也又

　為極和内少个虚和也二共相減餘為平勾髙股差

　也又為虚差極差共也又為通差内減極差也立天

　元為平勾加入二共相減數得□□為髙弦又加天

　元得□□為極弦(寄/左)以相距步二百八十九與左相

　消得□□上法下實如法得六十四即平勾也以二

　共相減數加平匀得二百二十五為髙股復以平勾

　乘之得一萬四千四百步開平方得一百二十步即

　城半徑也合問

又法二共數併以減相距數餘者半為泛率以泛率加

　丙丁共為長以泛率加甲乙共為闊長闊相乘為平

　方實得半徑

　草曰置極弦内減二共併數餘三十六步即虚黄也

　半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙

　股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘

　得一萬四千四百步開平方得一百二十步即半徑

　也合問

或問依前見丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云

　二樹相去一百二步問答同前

　法曰以甲乙共乘樹相去步得數又以自之為平實

　從空併二共數為冪於上内減甲乙共自之數丙丁

　共自之數(按或云二共數/相乘倍之亦同)為益隅得叀弦

　草曰識别得兩樹相去步即虚弦也餘數具前立天

　元一為叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便

　以□為明弦也(内帶□/和分母)乃置虚弦以分母叀和乘之

　得□加入明弦得□□為極股也内帶叀和分母以

　自之得下式□□□為極股冪(内寄叀和/羃為分母)又以天元

　加虚弦得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和

　冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相併得□□□

　為兩積一較冪也内有叀和冪分母(寄/左)然後置明弦

　□於上以叀和乘天元得□加上位得□為二弦併

　又置虚弦以叀和乘之得□併入上位得下式□□

　為極弦以自之得□□□為同數與左相消得□□

　□開平方得三十四步即叀弦也

又法以樹相去步自之又以甲乙共乘之為平實從空

　倍丙丁共為虚隅得叀弦

　草曰立天元一為叀弦依前術求得明弦□便以為

　皇極勾弦差也(内帶叀/和分母)以天元□弦便為皇極股弦

　差以乘之又倍之得□□為虚弦冪(内有叀和/分母寄左)然後

　以虚弦自之又以分母□乘之得四十七萬八千五

　百八十四為同數與左相消得□○□開平方得三

　十四步即叀弦也合問

或問皇極大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十

　六步問答同前

　法曰後數自乘為實前後數相減餘為法得虚黄方

　草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六

　即太虚大小差共也又二數相併得□即明叀二和

　共若以相減餘□即明叀四差共也立天元一為太

　虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加

　天元得□□即城徑也又以虚弦加皇極大小差得

　□□即極弦也以極弦乘城徑得□□□為兩段皇

　極勾股積(寄/左)再以極弦虚弦相併得□□即皇極勾

　股共也自之得□□□内減皇極弦冪丨□□得□

　□□為同數與寄左相消得□□上法下實如法得

　三十六步即太虚黄方靣也合問

或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直

　行丙出東門直行甲丙槐柳悉與城㕘相直既而甲

　就柳樹斜行三十四步至柳樹下丙就槐樹斜行一

　百五十三步至槐樹下問答同前

　法曰云數相乘倍之便為平方實開方得虚弦一百

　二步以此弦加甲行步即極勾以此弦加丙行步即

　極股餘各依法求之　識别甲斜行即叀弦也丙斜

　行即明弦也　無草

或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直

　行丙出南門直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直

　既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不

　知步數只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳

　至東門步共得六十四步問答同前

　法曰二云數相乘於上以六十四步自之又二之減

　上位為平實十四之六十四於上倍丙行減上位為

　從(按倍丙行乃數偶合當云九/个半六十四内減丙行為從)二十常法得甲直行

　步

　草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾

　也内甲斜行即叀弦也柳至東門步即叀股也又云

　二數相併即明差與極弦共也二云數相減即明差

　與平勾髙股差共也又平勾内減叀勾即虚勾也立

　天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復以六十四

　除之得□□呔為明勾也又以天元減於六十四得

　□□為虚勾也併虚明二勾□□為半徑也以自之

　得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪(寄/左)

　乃以天元加六十四得□□為勾圓差於上又以明

　勾加丙共步得□□□為股圓差於下上下相乘得

　□□□□為同數與左相消得□□□開平方得一

　十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門直行步也餘

　皆依數求　合問

或問東門南有柳樹一株南門東有槐樹一株甲出東

　門直行丙出南門直行二人遥相望槐柳與城邊悉

　相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下

　各不知步數只云甲共行五十步丙斜行與槐至南

　門步共得二百二十五步問答同前

　法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪

　於上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數復

　折半減上位為平實置二百二十五步自之數以二

　云數相減數乘之又倍之於上倍五十步在地以二

　百二十五步自之數乘之復折半加上位為益從云

　數相減自乘於上以云數相乘復折半減上位為常

　法得明股

　草曰識别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五

　即髙股也内丙斜行即明弦槐至南門步即明勾也

　又二云數相併即極弦内減一个叀差也云數相減

　即叀差與髙股平勾差共也又髙股内減明股即虚

　股也立天元一為明股即丙出南門直行步也置五

　十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為

　叀股也内帶髙股□分母再置髙股内減天元得□

　□為虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股

　得□□即半徑也以自增乘得下□□□為半徑冪

　也内帶髙股冪為母(寄/左)然後置甲共步以分母髙股

　乘之得□加入叀股得□□為勾圓差於上(内帶髙/股分母)

　又以天元加髙股得□□為股圓差於下上下相乘

　得□□□又以分母髙股乘之得□□□復折半得

　□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百

　三十五步即明股也合問

或問通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步問答同

　前

　法曰置一千減二之五十步為汎率以自乘復半之

　於上又置泛率復以五十乘之加上位為平實二十

　二之泛率於上(按二十二乃此題叀和除通和所得/通倍叀數加二數之數易題則數不)

　(同矣當直云通倍叀/數加二數乘泛率)以四十二(按四十二乃此題倍/通倍叀數加二數之)

　(數當直云倍通/倍叀數加二數)乘五十得數内減泛率加上位為益

　從二百(按二百乃此題通倍叀數加二數自乘折半/於上又倍通倍叀數併二數以減上位之數)

　(當同上不/必載數)為常法得叀股

　草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十

　除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即

　小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦減一

　千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑

　也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差

　乘之得□□□(寄/左)然後置圓徑以自之得□□□折

　半得□□□與左相消得□□□開平方得三十步

　即叀股也合問

　　按此題通勾弦和為叀勾弦和度盡之數則不用

　　寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其餘

　　也

或問通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步

　問答同前

　法曰以後數再自乘又以前數乘之為平實以後數

　為冪又以前數乘之為從以前數冪為常法得明股

　草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一為明

　股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□

　為通股(内帶髙/股為母)以天元加髙股□□即大差也置大

　差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減

　於通股餘□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左

　(内𢃄髙股/冪分母)然後置一千以髙股分母通之得□内減

　帶分大差得□□為兩个通勾也内減兩个圓徑得

　□□為兩个小差也以帶分大差乘之得下式□□

　□為同數與左相消得□□開平方得一百三十五

　步即明股也合問

或問通股通弦共一千二百八十步叀股叀弦共六十

　四步問答同前

　法曰云數相乘為平實前數為益從置前數以後數

　除之得二十為泛率泛率減一以自乘於上又倍泛

　率減一加上位為常法倒積開得叀勾

　草曰别得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置

　前數以天元乘之以後數除之得□即通勾也又置

　天元加後數得□□即小差也以小差減通勾餘□

　□即圓徑也以自之得□□□(寄/左)然後以小差減於

　前數得□□為二通股内減兩个圓徑得□□為二

　大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□

　□開平方得一十六步即叀勾也合問

或問通股通弦共一千二百八十步明股明弦共二百

　八十八步問答同前

　法曰二數相減以後數乘之内減後數冪又半之為

　泛率以自乘為平實(按或云前數内減二後數餘/以後數乘之折半自之亦同)置

　前數加二之後數而半之為次率以乘泛率於上以

　後數乘泛率減上位(按或云二數相加以/乘前折半數亦同)為益從次

　率自乘之於上以前數加次率復以後數乘之減上

　位(按或云前數折半内減後/數又以半前數乘之亦同)為隅法得明勾

　草曰别得二數相減餘□為通勾通股及明勾共也

　立天元一為明勾置前數以天元乘之合以後數除

　之不除便以此□為通勾也(内寄後/數分母)又以二數相減

　得數内又減天元得□□為通和也乃以分母二百

　八十八乘之得下式□□内減通勾餘□□為通股

　也又以天元加後數又以分母(即後/數也)通之得□□為

　大差也以此大差減於通股得下式□□為一个圓

　徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪(寄/左)然

　後以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之

　又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數與左

　相消得□□□開平方得七十二步即明勾也合問

或問明股明弦併二百八十八步叀勾叀弦併五十步

　又云明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前

　法曰前二數相併内減二之多步即圓徑又只以前

　二數相乘便是半徑冪

　草曰識别得前二數相減而半之即極差也其多步

　名傍差又圓徑不及極弦數

或問平差髙差共一百六十一步明股叀勾併多於虚

　弦四十九步問答同前

　法曰二數相減又半之以自乘為實後數為法得平

　勾

　草曰立天元一為平勾以加前數得□□為髙股也

　又以天元加髙股得□□為極弦内減後數得□□

　又半之得□□為半徑以自之得丨□□(寄/左)然後以

　天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法

　下實得六十四步即平勾也合問

或問平勾髙股差一百六十一步明差叀差併七十七

　步又云極弦多於城徑四十九步問答同前

　法曰併上二位而半之為平率其四十九即旁率也

　副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實倍旁差

　為法得勾圓差(按求實數有誤當云併上二位而半/之内減後數於上又置上前數内減)

　(後數以乘上/位為實方合)

　草曰識别得平勾髙股差名為角差副置角差上加

　七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之

　得□即虚差也角差加極差得□即通差也又極弦

　多於城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為

　兩个髙段上勾股較下減傍差得□為兩个平段上

　勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上

　勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元

　一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大

　差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪(寄/左)乃置大

　差□□内減股圓差上勾股較□餘有□□為股圓

　差之勾於上再置天元内加勾圓差上勾股較□得

　□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數與

　左相消得□□上法下實得八十歩即勾圓差也

又依前問見角差一百六十一步見明差叀差併七十

　七步又見太虚弦較較六十步問答同前

　法曰前二數相減而半之得數加入半之太虚弦較

　較為泛率以自乘為平實置一百六十一内減二之

　泛率為從一常法得平勾

　草曰别得□即二叀股也立天元一為平勾先以前

　二數相減而半之得□為虛差以虚差加叀股得□

　即明勾也以明勾加天元得丨□為平弦以自之得

　丨□□内減天元冪得□□為半徑冪(寄/左)然後以天

　元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同

　數與左相消得丨□□開平方得六十四步即平勾

　也

又法曰前數内加半之太虚弦較較以自乘(按此語内/有誤當云)

　(倍角差加半太虚較/以半太虚較乘之)為實前數内減太虚弦較較為

　從一常法開平方得平勾此更不用明差叀差併也

　草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□為髙弦

　也以自之得丨□□於上位内減髙股冪丨□□餘

　得□□為半徑冪(寄/左)然後以天元乘髙股得丨□為

　同數與左相消得下丨□□開平方得六十四步即

　平勾也合問

或問髙差平差併一百六十一步明差叀差併七十七

　步問答同前

　法曰以前數自乘於上二數相併而半之以自乘減

　上位得數復自增乘為平實前數自之於上又以四

　之前數乘之寄位以前數自之於上併二數而半之

　以自乘減上位得數又以四之前數乘之(按此下落/又倍之三)

　(字/)減於寄位為從前數自之又四之於上又以四之

　前數為冪加上位權寄以前數為冪於上併二數而

　半之以自乘減上位得數復八之加上位又以四之

　前數為冪加入上位併以減於權寄為常法(按或云/二和併)

　(而自之又半之以減髙平共/差冪又四之為常法亦同)得平勾

　草曰識别得二位相併而半之得□即極差也立天

　元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股内

　又加天元得□□為極弦以自之得□□□於上内

　減極差冪一萬四千一百六十一餘□□□為兩段

　極積合以極弦除不除寄為母便以此為城徑以自

　增乘得□□□□□為圓徑冪(内有極弦冪/分母寄左)然後以

　天元乘髙股又四之得□□又以分母極弦冪□□

　□通之得□□□□呔為同數與左相消得□□□

　開平方得六十四步即平勾也合問

或問見明和二百七步叀和四十六步問答同前

　法曰二和上下相減數同則止名為泛率又以二和

　直相減餘為泛實(此則角/差也)乃以泛率除汎實所得為

　差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應者其

　泛率便為和率其泛實便為較率乘和率也若不相

　應則直取差率以消息之定為相管和率(其勾股數/少得見弦)

　(黄而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾/五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五)

　(則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則/其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和)

　(二十九而其較一十一也此/消息之大畧也餘皆倣此)乃以和率約二和其明

　和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置

　和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而

　半之則為勾率也既見勾股及差三率各以壘率乘

　之即各得勾股及差之真數也

　　按此用約分以勾股率數求之甚為省便然必兩

　　數度盡而得數最小者方可用若兩數不能度盡

　　或雖度盡而得數尚大者轉屬繁難故又設後法

又法二云數相併以自乘於上二之云數相乘又四之

　以相併以四分半乘之又四之以併入上位為從方

　以七十步零四分三釐七毫五絲為常法得叀小差

　四步

　　按此法未求實數其求從隅皆用本題數不可通

　　用今依細草意另演一法於後亦惟二和數可以

　　度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便

　法曰二和數相減自之為平方實叀和除明和得數

　自而倍之内減四之除得數再加二單數以乘二和

　相併之數為從除得數自而四之於上又以除得數

　自乘内減四之除得數外加一單數自之以減上位

　為常法得叀小差

　草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數

　大小差率並同又别得明小差叀大差俱為半虚黄

　也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大

　差也又為明小差又為半虚黄置此□大差又以四

　步半乘之得□為明大差也其四差相併得□減於

　二和併得□□即兩段太虚大小差併也内加三段

　虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圓城徑

　也以自增乘得□□□為徑冪(寄/左)乃置叀和加半虚

　黄得□□為平勾又置明和内加半虚黄得□□為

　髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同

　數與左相消得下式□□□開平方得四步即叀小

　差也合問

或問明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五

　步問答同前

　法曰先識别得二大差共二小差共及四差共乃以

　二大差二小差相乘為實以四差共為法如法得半

　之虚黄方

　草曰先置前後云數以約法約之得一十一即壘率

　也復各置前後數如壘率而一前得八即勾率也後

　得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率

　二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二

　即見諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得

　□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共

　□四差共□已上皆為明叀所得之共數也乃立天

　元一為半虚黄便為明小差又為叀大差也以減於

　大差共得□□即明大差也又以減於小差共得□

　□即叀小差也以二數相增乘得丨□□(寄/左)以天元

　冪與寄左相消得□□上法下實得一十八步即半

　之虚黄方也以倍之得□又加於二黄共六十六共

　得一百二即明勾叀股共也又為極黄方又為虚弦

　也又以三十六減於一百八十七餘一百五十一即

　明股叀勾共也此數内減虚弦餘□為明叀二差較

　也此名傍差以旁差減二弦共一百八十七餘得□

　即太虚和也却加入虚弦一百二併得□為太虚三

　事和即圓城徑也合問

又或以虚黄方加於上和共二百五十三得□為極弦

　也以旁差減極弦餘二百四十步亦同

又或前後副置勾股較和弦黄六率在地前以小差率

　二因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄

　得□即叀段各數也後以大差率九因之則勾得□

　股得□較得□和得□弦得□黄得□即明段各數

　也既得明叀各數餘可知(按此因明弦即皇極形勾/弦差叀弦即皇極形股弦)

　(差故以小差率乘各率即得叀段各數/以大差率乘各率即得明段各數也)

　　按右二卷明叀前十八問後十六問在集中尤為

　　神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故

　　耳

　測圓海鏡卷八