測圓海鏡

欽定四庫全書

　測圓海鏡卷十一

　　　　　　　　　　　　　元　李冶　撰

　　雜糅一十八問

或問城南有槐樹一株城東有柳樹一株甲出北門東

　行丙出西門南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙

　就柳行五百四十四步至柳樹下甲就槐行四百二

　十五步至槐樹下問答同前

　法曰甲就步自之於上以二行相減數自之減上位

　為實二之二行相減數併入二之甲就步為從一步

　常法得平弦

　草曰别得丙就步為邊弦也甲就步為底弦也邊弦

　即皇弦髙弦共也底弦即皇弦平弦共也二行相併

　即大弦皇弦共也二行相減即皇極勾股較也倍皇

　弦以減於大弦餘即虚弦也倍皇弦内減邊弦餘即

　叀弦也倍皇弦内減底弦餘即明弦也皇極弦加一

　差(按一差即皇/極勾股較)則大差弦也内減一差則小差弦也

　立天元一為平弦加一皇極勾股差得□□即髙弦

　也髙弦自之得丨□□内加天元冪得□□□為皇

　弦冪(寄/左)然後以天元減底弦得下式□□自之得丨

　□□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三

　十六步即平弦也餘各依法求之合問

或問出南門東行有槐樹一株甲出北門東行斜望槐

　樹與城相直就槐樹行二百七十二步出東門南行

　有柳樹一株丙出西門南行斜望柳樹與城相直就

　柳樹行五百一十步問答同前

　法曰云數相併而半之以自乘於上半丙斜行以為

　冪半甲斜行以為冪併二冪減上位為實併云數為

　益從一步平隅得虚弦

　草曰别得丙斜行為黄廣弦也亦為兩个髙弦也此

　勾則城徑也甲斜行即黄長弦也亦為兩个平弦也

　此股則城徑也二數相併得□即大弦虚弦共也二

　數相減餘□即兩个皇極差也二數相併而半之得

　□即皇極和也立天元一為虚弦以減于皇極和得

　□□即皇極弦也以自之得丨□□為皇弦冪(寄/左)然

　後以髙弦自之得□以平弦自之得□二自乘數相

　併得□與左相消得□□□開平方得一百二即虚

　弦也合問

或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅南行一

　百五十步望見甲復斜行五百一十步與甲相㑹問

　答同前

　法曰斜行自之於上倍南行減斜餘自之以減上為

　實倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑

　草曰别得南行即小差股斜行即黄廣弦也小差股

　内減半徑餘即半个黄廣積上股弦差也全徑即其

　勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□

　即一个黄廣即上股弦差也以減于斜行步餘□□

　即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之

　得□□為大勾冪加入大股冪得□□□(寄/左)然後以

　斜行冪□與寄左相消得下式□□□開平方得一

　百二十步即半徑也合問

或問乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一

　百九十二步望見乙復斜行二百七十二步與乙相

　㑹問答同前

　法曰倍東行減斜行得數自為冪以減于斜行冪為

　平實倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開平

　方得半徑

　草曰别得甲東行即大差勾也斜行則黄長弦也大

　差勾内減半徑餘即半个黄長積上勾弦差也全徑

　即其股也立天元一為半徑減於東行倍之得□□

　即一个黄長積上勾弦差也以減于斜行步得□□

　即黄長勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元

　以自之得□□加上位得下式□□□為弦冪(寄/左)然

　後以斜行冪□為同數與左相消得□□□平開得

　一百二十步即半城徑也合問

或問甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五

　十步望見之問答同前

　法曰二行相乘倍之為平實如法得圓徑

　草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二數相

　乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為

　圓徑冪(寄/左)然然立天元為圓徑以自之與左相消得

　丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問

又法以二行相減數減于二行相併數餘者半之于上

　復以二行相減數加于上即城徑

　草曰别得甲東行減于徑為虚勾也丙南行減于徑

　為虚股也二行共為一徑一虚弦共也二行相減即

　虚和也以相併數相減數又相減即兩个虚弦也如

　法求得虚和□虚弦□相併得□即城徑也合問

　　按又法未合蓋以二行相減為虚較而草中誤以

　　為虚和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘

　　然亦可以決其為當日未定之稿矣

或問出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六

　十四步望塔正當城徑之半問答同前

　法曰二行相乘為平實一步常法得半徑

　草曰别得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之

　股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二

　數相併即太極弦也二數相減即中差内去皇極差

　也又别得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭

　相乘其意正同今且以弦上容圓取之立天元一為

　半徑副之上加南行得□□為股也下加東行步得

　□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元

　半徑除之得□□□為勾股和(寄/左)然後併勾股得□

　□與左相消得丨○□開平方得一百二十步即半

　徑也合問

或問丙從乾隅南行丁從艮隅亦南行甲從乾隅東行

　乙從坤隅亦東行各不知步數四人悉與城相直只

　云丙行内減丁行餘四百五十步甲行内減乙行餘

　一百二十八步問答同前

　法曰二行相乘為實一步常法得城徑

　草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即

　大勾乙行即大差之勾也其□即黄廣股其□即黄

　長之勾也立天元一為城徑先置黄廣股□為股方

　差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪(寄/左)然後以

　天元冪與左相消得下式丨□□開平方得二百四

　步合問

或問出南門東行有槐樹一株出東門南行有柳樹一

　株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁

　直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲

　直東行四人遥相望見只云丙行多于丁行一百六

　十八步乙行多于甲行七十步問答同前

　法曰云數相乘為實二數相減又半之為法得城徑

　草曰别得□即大差勾股較也其□即小差上勾股

　較也二數相併為大差弦内減小差弦也二數相較

　又半之皇極弦與城徑差也二數相併而半之即皇

　極差也立天元一為圓徑二云相減數又半之加天

　元得□□為極弦也併二數而半之得□為極差也

　副置極弦上位加極差得□□為弦較和也下位内

　減極差得□□為弦較較也上下相乘得丨□□為

　二直積(寄/左)然後以天元一乘極弦得下式丨□為同

　數與左相消得□□上法下實而一得二百四十步

　即城徑也合問

或問甲從坤東行丙從艮南行適相見斜行一百二步

　甲丙相㑹丙云我南行不及汝四十二步問答同前

　法曰二數相併以斜行乘於上二數相併而半之以

　乘相併數減上位為平實不及步為從一步常法得

　虚勾

　草曰别得一百二步即虚弦四十二步即虚較也又

　斜行得虚股為乙東行此便為大差勾也斜行步得

　虚勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虚勾

　加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差

　股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為

　半段黄方冪(寄/左)然後再置虚勾加不及步得□□為

　虚股又加入天元得□□為虚和又加入虚弦得□

　□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄

　左相消得丨□□平方開得四十八步即虚勾也合

　問

或問甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬

　從巽隅北行四人遥相望見各不知步數只云甲丙

　共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問答

　同前

　法曰云數相乘為實相併為法得虚弦

　草曰别得甲丙共為皇極和也又為極弦極黄共庚

　壬共為太虚和也又為虚弦虚黄共立天元一為皇

　極黄方靣(亦為虚/弦也)減于甲丙共得□□即極弦也又

　以天元減于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太

　虚黄方靣乘極弦得丨□□(寄/左)然後以天元冪與左

　相消得□□上法下實如法得一百二步即皇極黄

　方靣也合問(按此亦係相消後/得一邊之二數者)

或問甲從乾隅東行不知步數而止丙向南行亦不知

　步數望見甲就甲斜行七百八十步與甲相㑹甲云

　我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則

　汝止得二步四分問答同前

　法曰斜步自之為平實除步自之又加一步為隅得

　甲東行

　草曰此問所求城徑與諸問並同其勾股則與前後

　諸率不同今特為此草者欲使後學有以考較諸率

　當否也立天元一為甲東行(即大/勾)以乗二步四分得

　□為長以自之得□□為股冪又併入天元冪得□

　□為弦冪(寄/左)乃以斜行自之得□為同數與左相消

　得□□□開平方得三百即甲東行也以二步四分

　乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東

　行乘之得四十三萬二千為實以三事和一千八百

　為法除之得二百四十步即城徑也合問

或問小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄

　方靣少于皇極黄方靣六十六步問答同前

　法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半

　之為小差又中小差相併為大差乃以小差乘大差

　為平實半步常法得虚黄

　草曰别得八十四為兩个虚積中差其六十六為虚

　積大小差併半八十四得□為虚中差也以中差減

　六十六餘二十四半之得□即虚小差也以小差反

　減六十六餘□即虚大差也又别得小差黄方為兩

　叀股大差黄方為兩明勾也立天元一為虚黄方置

　三位上加小差得□□為虚勾也中加大差得下□

　□為虚股也下加大小差併得□□為虚弦也三位

　併之得□□即城徑也倍虚勾減城徑得□□為大

　差黄方靣也又倍虚股減城徑得□□為小差黄方

　靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□

　□為一个虚直積(寄/左)乃以虚勾虚股相乘得丨□□

　為同數與左相消得□□□平方開得三十六步即

　虚黄方靣也其餘依法求之合問據此問既别得大小

　差正數自可以求得黄方靣也諸如此數實不湏草

　今特為細草者庶使後學知其來歴

或問大差弦較較減皇極弦餘四十九步小差弦較和

　減太虚弦餘一百三十八步又皇極差一百一十九

　步問答同前

　法曰併前二數為冪内減極差冪為平實從空二益

　隅得虚弦

　草曰别得大差弦較較與小差弦較和皆同為圓徑

　也又二數相併得□為明弦叀弦共又為極和内少

　兩个虚弦也其一百三十八即虚和也□則旁差也

　立天元一為虚弦加入一百三十八得□□為圓徑

　也又加入□得□□為極弦以自之得丨□□又倍

　之得□□□内却減極差冪□得下式□□□為和

　冪(寄/左)乃倍天元加併數得□□為極和以自增乘得

　□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百

　二步即虚弦也加入一百三十八得二百四十步為

　圓徑合問(前二數相併加/虚弦便是極弦)

或問小差不及平弦五十六步髙弦不及大差一百五

　步問答同前

　法曰以前數自之為實二數相減為法得平勾

　草曰别得云數相併得□為平勾不及髙股也此數

　得極差則通差也此數内減虚差則極差也云數相

　減餘□即城徑不及極弦也以前數減于半徑餘即

　平勾以後數加于半徑即髙股也倍前數加小差則

　為股圓差之勾也此與前數加平弦同倍後數減于

　大差則為勾圓差之股也此與後數減于髙弦同立

　天元一為平勾加相併數得□□即髙股也又加天

　元得□□即極弦也内減二云數差得□□為城徑

　也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪(寄/左)然後

　以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上

　法下實得六十四步即平勾也合問

又法云數相得為實相減為法得半徑

　草曰立天元為半徑副之上内減五十六得□□為

　平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□

　□為半徑冪(寄/左)以天元冪與左相消得下式□□上

　法下實得一百二十步即半徑也合問

或問通勾通弦共一千步大差小差共得四百四十步

　問答同前

　法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實以

　二差共減于一千又半之加入二之前數為縱(前數/謂一)

　(千也數按此語有誤應加入二/之後 後數謂大小差共也)二步二分五釐益隅

　得勾圓差

　草曰立天元一為小差數加入後數得□□却以減

　于前數得□□折半得□□為一个圓徑也以自之

　得下式□□□(寄/左)然後以天元減後數得□□為大

　差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□

　開平方得八十步即勾圓差也

或問皇極三事和六百八十步太虚弦和較三十六問

　答同前

　法曰二數相得為實半之後數為益從五分常法平

　開得城徑

　草曰别得皇極三事和即大弦也立天元一為城徑

　減三个後數□而半之得□□為太虚大小差併也

　却加入兩个後數□得下□□為虚和也又以虚和

　減天元得下□□為虚弦也置通弦(即皇極三/事和也)内加

　天元得下式□□即通和也乃置通和以虚弦乘之

　得下式□□□(寄/左)再置虚和以通弦乘之得下□□

　為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步

　即城徑也合問

或問出南門行一百三十五步有樹出北門行一十五

　步折而東行二百八步望見問答同前

　法曰以東行步乘南行步得數又自乘為實以東行

　步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上併

　南北二行步以減于東行步餘數自之為冪以減上

　再寄位又併南北二行步以東行步乘而倍之内減

　再寄為第一益亷四之東行步于上又併南北二行

　步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虚

　隅開三乘方得半徑

　草曰立天元一為半徑(即髙/勾也)置南行步加天元得□

　□為髙弦也置大勾□以髙弦乘之得□□復以髙

　勾除之得下式□□為大弦也令之自乘得□□□

　(寄/左)又置二之天元加南北行併得□□為大股復用

　大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□

　為較冪以減寄左得□□□□□為二直積(寄/左)再置

　大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得

　□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘

　方得一百二十步即城徑之半也合問

或問出北門一十五步折而東行二百八步有樹出西

　門八步折而南行四百九十五步見之問答同前

　法曰先置南行步内減一東二西併步餘二百七十

　一為前泛率次併一南二北内減東行步餘三百一

　十七為中泛率次併東西步以南行步乘之于上位

　又以西行乘南北併得數減上位餘一十萬二千八

　百四十為後泛率乃以後泛率自乘得一百五億七

　千六百六萬五千六百為三乘方實以前中二泛相

　減餘四十六以乘後法數為從前中二泛相乘得八

　萬五千九百七加入二之後泛數共得二十九萬一

　千五百八十七于上位又併東西行以乘南北併得

　二十二萬三百二十加上位通得五十一萬一千九

　百七為第一亷二之前泛數加入四之東西併得一

　千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十

　六減上位餘一千四百六為第二亷一步常法得半

　徑(按此法乃取於又法草中其求第二亷云二之前/泛數句誤當云二之四數併若二之前泛數加入)

　(四之東西併便得第二亷一千四百零/六更不待再減然原文之意不如是也)

　草曰立天元一為半城徑加入東行西行併得□□

　為大勾也又置天元加入南行北行併得□□為大

　股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大

　勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百

　九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得

　下式□□□内減了股尖餘□□□為小股也(内帶/大勾)

　(分/母)置小股合以大勾乘了復以大股除之為小勾今

　為小股内已有大勾為母更不湏乘只以小股□□

　□便為小勾也(内帶大/股為母)小勾小股相乘得數為一个

　小勾股相乘直積内帶大勾股相乘直積為分母也

　乃以半城徑(即天/元也)除之為一个弦較和也丨□□□

　□此法本取勾外容圓合以弦較和除二積為勾外

　所容之圓今用天元半徑除一个積則却得一个弦

　較和也内依舊帶大積分母也(寄/左)然後再置小股□

　□□合用大積乘之縁内已帶大勾分母今只用大

　股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再

　置小勾合用大積乘之縁内已帶大股分母合只用

　大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也

　以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二

　因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股

　直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一个帶

　分弦較較也(弦較較乘弦較和為二直積既以圓徑/除二百積為弦較和則是圓徑為弦較)

　(較也今又為半天元圓徑除一積為弦/較和故倍天元半徑作一个弦較較也)遂将此弦較

　較加入前二較得□□□□亦為一个弦較和也與

　寄左相消得下式丨□□□□開三乘方得一百二

　十步即城半徑也合問

又法此問係是洞淵測圓門第一十三前答亦依洞淵

　細草用勾外容圓術以入于弦較和然其數煩碎宛

　轉費力今别草一法其亷從與前不殊而中間段絡

　逕捷明白方之前術極為省易學者當自知也　立

　天元一為半徑副之上併加東西行得□□為通勾

　率下併加南北行得□□為通股率乃置西行八步

　以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以

　此為南小股也又置南行四百九十五步内減天元

　得□□用通勾乘之得□□□内減了南小股下式

　卜□□為股圓差也内帶通勾分母又置北行一十

　五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便

　以此為北小勾也又置東行二百八步内減天元得

　□□用通股乘之得□□□内減了北小勾餘□□

　□為勾圓差也(内帶通/股分母)乃以二差相乘得下式丨□

　(□/□)□(□/□)為半段圓徑冪也内帶通積為母(寄/左)然後以

　通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□

　□又倍之得下式□□□□為同數與左相消得亷

　從一與前同合問

　　按洞淵疑為古之精於算者序中謂老大以來得

　　洞淵九容之說而於此問又明其為洞淵測圓門

　　第十三題前答亦依其細草大抵是書之作皆師

　　其意而演之者也今洞淵之為人與書雖不可考

　　而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可

　　見文豹之一班矣至謂其數煩碎宛轉費力特為

　　初學難易而言讀者宜善㑹也

　測圓海鏡卷十一