測圓海鏡
測圓海鏡
欽定四庫全書
測圓海鏡卷十二
元 李冶 撰
之分一十四問
或問甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數而
止甲向直南行望見乙復向乙斜行甲告乙云我直
行斜行共一千二百八十步汝東行步居我南行步
十五分之八
法曰十六之共步冪為實二百五十七之共步為益
從一十六步常法得勾圓差
草曰别得共步即股弦共也立天元一為小差以乘
共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為
二百二十五段勾冪(寄/左)然後再置共步内減小差得
□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之
得□□□為同數與左相消得□□□平方開之
得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六
百八十步即弦也若以減共步而半之得六百步即
股也以股冪減弦冪餘一十萬二千四百步開平方
得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬
四千步為實以弦和和一千六百步為法實如法而
一得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數而立
甲直東行望見乙復向乙斜行與乙相㑹甲云我共
行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之
八
法曰二百二十五段共步冪為實七百六之共步為
益從二百二十五步常法得股圓差
草曰别得共步即勾弦共也立天元一為大差以乘
共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百
五十六个股冪(寄/左)然後再置共步内減天元大差得
□□為二勾就分以一十五之得□□為十六个股
也以自之得□□(□/□)為同數與左相消得□□□開
平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差
而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之
得六百八十步即弦也餘數各依法求之合問
或問甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數而立乙東
行亦不知步數望見甲就甲斜行與之相㑹乙云我
東步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝東
行二百八十步問答同前
法曰别得周居九分徑居三分乙東行居四分(按此/法未)
(詳當加倍較步為實徑分數自之内減二/分數為法得數三之即城徑二十四字)
草曰立天元一為一分之數以三之得□為徑以四
之得□為勾以徑減勾餘□為小差(只天元便/是小差)再置
小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘
之得□□為一段圓徑冪(寄/左)再置城徑以自之得下
式□□為同數與左相消得□□上法下實得八十
步即一分之數也以三之得二百四十步即城徑也
合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望
見甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則
我所行却多于汝二百八十步問答同前
法曰四之却多步為實分自之于上半分母減子得
數倍之又以減數乘之減上位為法得一分之數
草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一為一分
數以六之為城徑以五之為乙行置乙行内減半城
徑得□為小差也又加入却多步得□□又二之得
□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪(寄/左)然
後以徑冪□□與左相消得下□□上法下實得四
十步即一分之數也六之則為城徑五之則為乙行
又以却多步加乙行即甲行步也合問
或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數而立
丙向南行望見甲與之相㑹丙語甲云我行既多于
汝又城徑少于我四十分之十六(按四十為股分十/六為徑當云徑少)
(於我為四十分之十六原文脫/為字似十六為股圓差分矣)甲云然則吾二人共
行了九百二十步問答同前
法曰倍子以減倍母又乘共行步為實倍子減倍母
以乘子母併數于上又以子冪加上位為法如法得
一十五步即一分之數也
草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六
或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分數
不同耳乃立天元一為一分之數以十六之為城徑
以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾内
減徑餘得□□為小差于上以分母分子相減餘□
又倍之得□為兩个大差以乘上位得□□為圓徑
冪(寄/左)然後以分子十六分自之得下□□與左相消
得□□上法下實得一十五步即一分之數也以十
六之得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙俱立于城中心乙出東門直行不知步數而
立甲出南門直行亦不知步數望見乙向乙斜行與
之相㑹乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步
内若減甲直行餘三十四步若減乙直行餘一百五
十三步問答同前
法曰以云數二減步為小差大差以相乘倍之開平
方加入大小差併以自之於上又以大小差相較數
以自之減上位為實甲行分乙行分相乘又倍之為
隅法得一分之數
草曰别得云步相併得一百八十七是于皇極弦内
少一个皇極黄方靣也又别得三十四步是个小勾
圓差其一百五十三步是一个小股圓差此二差又
相減餘一百一十九即中差也乃立天元一為一分
之數以八之得□為乙東行數以十五之得□為甲
南行數以二數相乘又倍之得□□為二直積于上
(寄/左)然後以云步三十四乘一百五十三得五千二百
二又倍之得一萬四百四為平方實開之得一百二
步即小黄方也加入相併數一百八十七得二百八
十九為小弦也以自之得八萬三千五百二十一為
弦冪于上以中差冪一萬四千一百六十一減上位
餘□與左相消得□□□平方開之得一十七步即
一分之數也副置一分之數上位以八之得一百三
十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即
甲東行也二位相乘得三萬四千六百八十又倍之
得六萬九千三百六十為實以弦二百八十九為法
如法得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行乙出北門東行各不知逺近兩相
望見復相斜行各行了三百四十步相㑹甲云城徑
居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五
問答同前
法曰以二之斜行步自之為實以各行分數自之為
冪(按此語未詳當云以城徑六分乘甲南行二分得/十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東)
(行五分加半城徑三分得八/分為大勾分各自之為冪)又相併為隅法開平方
得一分之數
草曰别得倍斜行為大弦又别得乙行五分城徑六
分甲行十二分乃立天元一為一分之數以六之得
□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為
甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之
得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□
□為乙行冪二冪又相併得□□為大弦冪(寄/左)然後
置大弦六百八十步以自之得□與左相消得□□
□平方開之得四十步即一分之數也以六之得二
百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見
之乙斜行與甲相㑹甲乙二人共行了一千三百六
十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜
十七分之五問答同前
法曰别得共步即二弦也半共步得六百八十步副
置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步
即乙東行也下位以十二之得八萬一千六百以十
七而一得四百八十即甲南行也二行相減餘二百
八十即勾股差也其餘各依法求之合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望
見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲
謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問答同前
法曰求得各行步(按見/後草)相併以自之于上併甲南行
冪乙東行冪以減上為實併各行為從半步常法得
全徑
草曰置(乙取甲六分之五六百步/甲取乙五分之三六百步)以上六分五分各
自直乗步數訖得人(六分/五分) (之五/之三) (三千六百步/三千步)别
得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千
步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置
(五甲行/五甲行) (六乙行/三乙行) (三千六百步/三 千 步)先以左行直減右
行右上空中餘三乙行下餘六百步上法下實得二
百步即乙行也却以今右行減于元左行上餘五甲
行空中下餘二千四百步上法下實得四百八十步
即甲行也既得此數乃立天元一為城徑以半之副
置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□
□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得
□□□為大勾冪二冪相併得□□□為大弦冪(寄/左)
乃併甲行乙行以自乗得下式□亦為大弦冪與左
相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也
合問
或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅東行望
見之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得
二百步甲謂乙云我所行内減汝所行四分之三得
三百步問答同前
法曰如法求得各行(按見/後草)以相乗又二之開平方得
全徑
草曰置(乙取甲三分/甲減乙四分) (之一/之三) (二百步/三百步)以上三分四
分置乗步數訖得(三分之一/四分之三) (六百步百步/一千二)别得右行六
百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲
行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置
(一甲行/四甲行) (三乙行負/三乙行) (六千百百步/一 二 步)先以左行直加右行
右上得五甲行中空下一千八百步上法下實得三
百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步
餘二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也
甲行乙行二數相乘得數又倍之開平方即城徑也
合問
或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又
云其大小差相減餘二百八十步問答同前
法曰二之中差為實置股子以勾母乗之内減股母
為法得小差
草曰别得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中
差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中
差得□□為股又三之得□□為五个大差也内減
五个天元得□□為五个中差也(寄/左)乃以五之相減
步□與左相消得□□上法下實得八十步即小差
也合問
或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又
云勾母每分少于股母每分四十步問答同前
法曰二之少步實以股子母相減數減勾子母相減
數為法如法得小差
草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分數以天元
加四十步得□□為股母每分數于上乃以股子減
股母餘二分以乘上位得□□為城徑(寄/左)再置天元
在地以勾子減勾母餘三分以乗之得□□為同數
與左相消得下丨□上法下實得八十步即勾圓差
也合問
或問甲出南門直行乙出東門直行望見甲斜行與甲
相㑹甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云
我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一
百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問答同前
法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得
數倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗
二之二差相較數又九之減上位為實倍小差母得
一十却以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差
母乗之得數減上位以為法得小差一分之數
草曰立天元一為小差一分之數(此一分之數便是/乙直行之數也)
以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差
又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一个圓
徑冪又九之得□□(寄/左)乃又置乙行步加一百一十
九□□即甲行步也以二十四之得□□為九个大
差也倍小差母得□以乘之得□□為同數與左相
消得□□上法下實得一十六步即小差一分之數
也既得此數餘各如法求之合問
或問大勾大股大弦三事和一千六百步以明勾除大
股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分
之二以虚勾明勾相減餘二十四步以虚股□股相
減餘六十步問答同前
法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實併
二云數分母分子内減六步為法如法得□股
草曰别得六十步與二十四步二數相併而半之得
□即明勾□股差也又為虚勾虚股差也若以二數
直相減即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半徑
也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□
股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得
□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為
大勾也勾股相併得下□□為大和也(寄/左)然後四之
天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三
事和加入大三事和得□□為二个大和也合折半
為大和了又就三分之為前數今不折半三因但身
外加五得□□為同數與左相消得□□上法下實
得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得
二百四十步即城徑也合問
按之分即通分也張邱建謂學者不患乘除之為
難而患通分之為難又謂夏侯陽之方倉孫子之
蕩杯皆未盡其妙於是作為算經三卷以發其義
是書末設十四問皆以立天元一之法御之尤為
簡妙殆所以明立天元一之法其用無不周也又
按問中兩言以方程入之張邱建算經内數問亦
然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此
又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時
人誤以大衍法為方程者蓋此類也
按右書十二卷皆為立天元一法而作也其法神
明變化不可端倪今略舉數端言之如諸法中有
求之不可得者此法求之可得若此法求之不可
得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖强探
力索毫釐未至則不可得此法但知大意不待深
思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得
彼而後得此者不能移易此法任其所求或先得
此或先得彼無不如志又諸法有數始可求一數
不具則不可求此法數不具亦可求且有無數即
可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累
日累月其功不能再省此法有經年步算可約之
頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自
然之理數易知易從然自不習者觀之蓋有茫然
莫解其故者矣是書之作殆深憂𫝊習者難其人
而其法遂泯於後世也其謄寫魯魚算式舛訛今
悉正之
測圓海鏡卷十二