測圓海鏡分類釋術
測圓海鏡分類釋術
欽定四庫全書
測圓海鏡分類釋術卷三
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
通勾與别股測望一(凡三/條)
圓城不知周徑乙從城外西南坤隅南行三百六十步
而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問
城徑
釋曰乙從坤南行大差股也甲從乾東行通勾也此
以通勾大差股測望通勾為城北大勾大差股為城
西南之虚股
術曰二行相乘得一十一萬五千二百為實 倍乙
行得七百二十為從作減從開平方法除之得全徑
減從開平方法見二卷
又曰二行相併得六百八十為通弦以通勾弦求容
圓法求之即得
南門外一百三十五步有樹甲從城外西北乾隅東行
三百二十步見之問城徑
釋曰此以通勾明股立法樹距南門明股也甲之東
行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南餘股
術曰東行自之又以樹距南門步乘之得一千三百
八十二萬四千為立實 倍樹距南門步以乘東行
步得八萬六千四百為從方二為隅算作帶從負隅
開立方法除之得半徑
帶從負隅開立方曰布實於左從尾數至首常超
二位又以從方約之定首位得一百 置一於左
上為法 置一自之隅因得二萬為隅法併從方
得一十○萬六千四百為下法與上法相乘除實
一千○六十四萬餘實三百一十八萬四千 三
因隅法得六萬為方法 三因初商得三百又以
隅筭因之得六百為廉法 約次商得二十 置
一於左次為上法 置一乘廉法得一萬二千
置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅
共一十五萬九千二百為下法與上法相乘除實
盡
後凡言帶從負隅開立方法者俱倣此
乙出東門南行三十步甲從乾隅東行三百二十步望
乙與城叅直問城徑
釋曰此以通勾□股測望甲東行通勾也乙出東門
南行三十步□股也
術曰二行相乘得九千六百為實 以東行三百二
十為從方二為隅算作減從負隅翻法開平方除之
得半徑
減從負隅翻法開平方曰初商一百 置一於左
上為法 置一隅因得二百為隅法以減從方餘
一百二十為下法與上法相乘除實一萬二千實
不滿法反減實九千六百餘二千四百為負積
倍餘法得四百為廉法次商二十 置一於左次
為上法 置一隅因得四十為隅法併廉隅共四
百四十減從不足反減從方三百二十餘一百二
十為下法與上次法相乘除實盡
後凡言帶從負隅翻法開平方者俱倣此
底勾與别股測望二
城西門南四百八十步有樹出北門東行二百步見之
問城徑
釋曰此底勾邊股立法測望西門南四百八十步邊
股也出北門東行二百步底勾也底勾居城北勾之
半邊股居城西股之半
術曰二行相乘得九萬六千為實 相併得六百八
十為從二為隅筭 作負隅減從開平方法除之得
半徑
負隅減從開平方法見二卷(通勾□/勾條)
圓城出北門北行一十五步折而東行二百○八步有
樹出西門西行八步折而南行四百九十五步見之
問城徑
釋曰此以底勾過步帶短股邊股過步帶短勾立法
測望出北門北行為短股折而東為長勾過於底勾
出西門西行為短勾折而南為長股過於邊股
術曰西行為短勾東行為長勾北行為短股南行為
長股短勾併長勾以長股乘之得一十○萬六千九
百二十 短股併長股以短勾乘之得四千○八十
相減餘一十○萬二千八百四十為勾股維乘差
又自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百
為三乘方實 長股内減二短勾餘與長勾相減餘
二百七十一為股減勾差 長勾内減二短股餘與
長股相減餘三百一十七為勾減股差 股減勾差
與勾減股差復相減餘四十六以乘勾股維乘差得
四百七十三萬○六百四十為從方 股減勾差與
勾減股相乘得八萬五千九百○七 長短勾併與
長短股併相乘又倍之得二十二萬○三百二十
倍勾股維乘差得二十○萬五千八百六十 三數
相併得五十一萬一千九百○七為從一廉長短勾
併得二百一十六又四之得八百六十四 倍股減
勾差得五百四十二 二數相併得一千四百 六
為從二廉作帶從方廉開三乘方法除之得半徑
帶從方廉開三乘方曰置所得三乘方積為實
以從方廉約之初商得一百 置一於左上為法
置一乘從一廉得五千一百一十九萬○七百
置一自之以乘從二廉得一千四百○六萬
置一自乘再乘得一百萬為隅法 併從方廉
隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與
上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四
千餘積三十四億七千七百九十三萬一千六百
為次商之實
倍從一廉得一億○二百三十八萬一千四百
三因從二廉得四千二百一十八萬 四因隅法
得四百萬 初商自之 六因得六萬 初商三
之以乘下廉得四十二萬一千八百相併加入從
一廉得九十九萬三千七百○七為上廉 初商
四之帶從二廉得一千八百○六為下廉次商二
十 置一為法 置一乘上廉得一千九百八十
七萬四千一百四十 置一自之以乘下廉得七
十二萬二千四百併方廉隅共一億七千三百八
十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實
盡
或作初商一百 置一為法 置一乘從一廉
置一自之以乘從二廉 置一自乘再乘為隅法
併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四
十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百
一十三萬四千餘實三十四億七千七百九十三
萬一千六百為次實 四因隅法得四百萬為方
法 初商自之 六因得六萬為上廉 初商
四之得四百為下廉 次商二十 置一於左次
為上法 倍初商加次商得二百二十以乘從一
廉得一億一千二百六十一萬九千五百四十
初商三之併初次商因之得三萬六千 次商自
之得四百共三萬六千四百以乘從二廉得五千
一百一十七萬八千四百 以兩從廉併入從方
共一億六千八百五十二萬八千五百八十為從
置一乘上廉得一百二十萬 置一自之以乘
下廉得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅
法併方廉隅共五百三十六萬八千帶從共一億
七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上
法相乘除實盡
此法分别從方從廉明白故重録附之
出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四
步望塔正居城之半問城徑
釋曰此以不及底勾與不及邊股測望南行二百二
十五步與高股同即半徑為勾之股東行六十四步
與平勾同即半徑為股之勾也當以平勾高股立法
為是但其望塔當城之半故附底勾邊股條下
術曰二行相乘即半徑筭
乙從城外西南坤隅南行三百六十步甲出北門東行
二百步見之問城徑
釋曰此以底勾大差股立法測望乙從坤隅南行大
差股也甲東行底勾也底勾為城北東半勾大差股
為城西南虚股
術曰二行相乘得七萬二千倍之得一十四萬四千
為實以南行三百六十為從方作帶從開平方法除
之得全徑
帶從開平方法見一卷
乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步
見之問城徑
釋曰此底勾明股立法測望乙出南門直行明股也
甲出北門東行底勾也底勾為城北半勾明股為城
南餘股
術曰東行自之以南行乘之得五百四十萬又四之
得二千一百六十萬為立方實 以南門餘股一百
三十五為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑
帶從廉開立方曰置所得立積為實 以從廉約
之初商二百 置一於左上為法 置一乘從廉
得二萬七千置一自之得四萬為隅法 併從廉
共六萬七千為下法與上法相乘除實一千三百
四十萬餘實八百二十萬 倍從廉得五萬四千
三因隅法得一十二萬相併得一十七萬四千為
方法 三因初商帶從廉得七百三十五為廉法
約次商得四十 置一於左次為上法置一乘
廉法得二萬九千四百置一自之得一千六百為
隅法 併方廉隅共二十 萬五千為下法與上
法相乘除實盡
後凡言帶從廉開立方法者俱倣此
乙出南門南行一百三十五步而立甲出北門北行一
十五步折而東行二百○八步見之問城徑
釋曰此底勾帶短股與明股立法測望乙出南門南
行明股也甲出北門北行北門外短股也折而東行
類底勾而過之
術曰以東行乗南行得二萬八千○八十自之得七
億八千八百四十八萬六千四百為三乘方實 東
行自之得四萬三千二百六十四以乘南行得五百
八十四萬○六百四十倍之得一千一百六十八萬
一千二百八十為從方 北行自之於上 併南北
二行以減東行餘自之減上位餘數減上寄位 併
南北二行 以東行乘之倍之以減寄位 餘五萬
六千九百八十八為從一廉 四之東行得八百三
十二於上 併南北二行減東行餘五十八四之得二
百三十二以減上位餘六百為從二廉 四為虚隅
作帶從二廉減從翻法開三乘方開之得半徑
帶一廉以從二廉益從減從為法翻法開三乘方
曰列所得三乘方實從一廉從二廉隅法約之
初商一百 置一於左上為法 置一乘從一廉
得五百六十九萬八千八百為益隅之廉 置一
自之以乘從二廉得六百萬為益從之廉併入從
方共一千七百六十八萬一千二百八十為通法
置一自乘再乘以隅因之得四百萬為隅法併
益隅之廉共九百六十九萬八千八百為減實
以減通法餘七百九十八萬二千四百八十為
下法與上法相乘除實七億九千八百二十四
萬八千實不滿法翻減實七億八千八百四十八
萬六千四百餘九百七十六萬一千六百為負積
二因乘出從一廉得一千一百三十九萬七千
六百為益隅之廉 三因乘出從二廉得一千八
百萬為益從之廉 又三之初商乘從二廉得一
十八萬為益從次廉 四因隅法得一千六百萬
為方法 初商自之六因又以隅因得二十四萬
為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉
次商二十 置一於左上為法 置一乘從一廉
得一百一十三萬九千七百六十併益隅之廉共
一千二百五十三萬七千三百六十共為益隅
置一乘益從次廉得三百六十萬 置一自之以
乘從二廉得二十四萬併二數加入益從之廉共
二千一百八十四萬為益從 併入從方共三千
三百五十二萬一千二百八十為通法 置一乘
上廉得四百八十萬 置一自之以乘下廉得六
十四萬 置一自乘再乘隅因得三萬六千為隅
法 併方法上下廉隅法得二千一百四十七萬
二千 併益隅共三千四百○○萬九千三百六
十為減實 以減通法不及減反減通法三千三
百五十二萬一千二百八十餘四十八萬八千○
八十為負法與上法相乘除負積盡
後凡言帶一廉以二廉益從減從翻法開三乘方
法者俱倣此
甲乙二人同出北門行至東北隅艮地分路乙往南行
一百五十步而立甲又東行連前共二百步望乙與
城相叅直問城徑
釋曰此底勾小差股立法測望甲前後共東行底勾
也乙往南行小差股也
術曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十萬為
實二行相減以乘乙南行得七千五百二行相乘得
三萬 二數相併得三萬七千五百為法實如法而
一得半徑
又曰二行相乘得三萬為實 倍底勾減小差股餘
二百五十為法
乙出東門南行三十步而立甲出北門東行二百步望
乙與城相叅直問城徑
釋曰此底勾□股立法測望乙出東門南行□股也
甲出北門東行底勾也
術曰二行相乘得六千為平實 相減得一百七十
為從方作減從翻法開平方法除之得半徑
減從翻法開平方法見二卷
又曰乙南行自之得九百為□股筭以乘東行得一
十八萬為立實 □股筭為從方 東行内減二之
乙南行餘一百四十為益廉作帶從減益廉翻法開
立方法除之得半徑
帶從減益廉翻法開立方曰置所得積一十八萬
以從方廉約之 初商一百 置一於左上為法
置一乘從廉得一萬四千置一自之得一萬為
隅法帶從方共一萬 九百以減益廉餘三千一
百為下法與上法相乘除實二十一萬實不滿法
反減實一十八萬餘一十三萬為負積 倍益廉
得二萬八千三因隅法得三萬為方法 三因初
商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左
次為上法 置一乘益廉得二千八百併入倍益
廉得三萬○八百 置一乘廉法得六千置一自
之得四百為隅法併方從方廉隅共三萬七千三
百反減益廉三萬○八百餘六千五百為下法與
上法相乘除實盡
後凡言帶從減廉翻法開立方法者倣此
大差勾與别股測望三
甲乙二人俱在城西門南行至西南坤隅分路乙往東
行一百九十二步而立甲復南行計前後共四百八
十步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此大差勾與邊股立法測望乙自坤隅東行大
差勾也甲自西門往南共行邊股也
術曰二行相乘得九萬二千一百六十 又以乙東
行乘之得一千七百六十九萬四千七百二十為實
二行相減餘二百八十八亦以東行乘之得五萬
五千二百九十六 加二行相乘之數共一十四萬
七千四百五十六為法實如法而一得半徑
又曰二行相乘為實 倍甲南行減乙東行餘為法
甲從城外西南坤隅東行一百九十二步乙從東北艮
隅南行一百五十步望甲與城相叅直問城徑
釋曰此大差勾與小差股立法測望甲東行大差勾
也乙南行小差股也(與小差勾/大差股同)
術曰二行相乘倍之即全徑筭
小差勾與别股立法測望四
乙從城外東北艮隅東行八十步甲從城外西北乾隅
南行六百步見之問城徑
釋曰此小差勾與通股立法測望乙從艮隅東行小
差勾也甲從乾隅南行通股也(與通勾大/差股同法)
術曰二行相乘倍之得九萬六千為實 二之東行
得一百六十為從 作帶從開平方法除之得半徑
帶從開平方法見一卷
乙從城外東北艮隅往東行八十步甲出西門南行四
百八十步見之問城徑
釋曰此小差勾與邊股立法測望乙東行小差勾也
甲南行邊股也
術曰二行相乘倍之得七萬六千八百為實以乙東
行為從作帶從開平方法除之得全徑
帶從開平方法見一卷
乙從艮隅東行八十步而立甲從城外西南坤隅南行
三百六十步見之問城徑
釋曰此以小差勾大差股立法測望乙東行小差勾
也甲南行大差股也
術曰二行相乘倍之即圓徑筭
明勾與别股測望五
乙出南門東行七十二步而立甲從城外西北乾隅南
行六百步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾通股立法測望乙出南門東行明勾也
甲從乾隅南行為通股
術曰二行相乘得四萬三千二百為實 以甲南行
六百為從方 二為隅法作負隅減從開平方法除
之得半徑
負隅減從開平方法見二卷
乙出南門東行七十二步而立甲出西門南行四百八
十步望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾邊股立法測望乙東行明勾也甲南行
邊股也
術曰乙東行自之得五千一百八十四為明勾筭以
南行乘之得二百四十八萬八千三百二十為立方
實 明勾筭為從 南行内減二東行餘三百三十
六為益廉 作帶從減廉開立方法除之得半徑
帶從減廉開立方曰置所得立方實以從方從廉
約之 初商一百 置一於左上為法 置一乘
益廉得三萬三千六百 置一自之得一萬為隅
法帶從方共一萬五千一百八十四 以減益廉
餘一萬八千四百一十六為下法與上法相乘
除實一百八十四萬一千六百餘實六十四萬六
千七百二十為次商之實 倍益廉得六萬七千
二百 三因隅法得三萬為方法 三因初商得
三百為廉法 約次商得二十 置一於左上為
法 置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉
共七萬三千九百二十 置一乘廉法得六千
置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共四
萬一千五百八十四以減益廉餘三萬二千三百
三十六為下法與上法相乘除實盡
後凡言帶從減廉開立方法者俱倣此
又曰明勾邊股相乘得三萬四千五百六十為實
明勾邊股相減餘四百○八為從方 一虚法作減
從開平方除之尤捷
甲出南門東行七十二步而立乙出東門南行三十步
望乙與城相叅直問城徑
釋曰此明勾□股立法測望甲出南門東行明勾也
乙出東門南行□股也
術曰二行相乘得二千一百六十為實 相併得一
百○二為從 作以從減法開平方除之得半徑
以從減法翻法開平方曰置實于左從於右 約
初商得一百 置一於左上為法 置一為隅法
以從減隅隅不及減從内翻減隅一百餘二為負
從以負從為下法與上法相乘得二百 反増入
實内共二千三百六十四為次商之實 倍隅法
得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次
為上法 置一為隅法併廉隅共二百二十 以
從減之餘一百一十八為下法與上法相乘除實
盡
後凡如此類者俱倣此通變隨宜
又術二行相併得一百○二為太虚弦相減餘四十
二即太虚勾股較 倍弦筭減較筭餘一萬九千○
四十四平方開之得一百三十八為太虚勾股和 加
較半之為股減較半之為勾 以太虚勾股求圓徑
又曰二行相乘倍為實 相減餘為從 作帶從開
平方法除之得虚勾二行相併即虚弦以勾弦求股
以得圓徑
□勾與别股立法測望四
乙出東門直行一十六步甲從城外西北乾隅南行六
百步見之問城徑
釋曰此以□勾通股立法測望乙出東門直行□勾
也甲從乾隅南行通股也
術曰甲南行自之又以乙東行一十六乘之得五百
七十六萬為立方實 倍東行以乘南行得一萬九
千二百為從方 二為隅作帶從負隅開立方法除
之得半徑
帶從負隅開立方法見前通勾明股
乙出東門直行一十六步甲出西門南行四百八十步
見之問城徑
釋曰此□勾邊股立法測望乙出東門直行□勾也
甲出西門南行邊股也
術曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得
三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十
四萬五千六百為立方實 以東行一十六步為從
廉作帶從廉開立方法除之得全徑
帶從廉開立方法見前底勾明股條
圓城不知周徑南門外一百三十五步有樹出東門直
行一十六步見之問城徑
釋曰此□勾明股立法測望出東門外一十六步為
□勾城東之餘勾也樹在城南一百三十五步為明
股城南之餘股也以餘勾餘股測城徑
術曰餘勾餘股相乘為勾乘股筭自之得四百六十
六萬五千六百為三乘方實 勾乘股筭倍之得四
千三百二十又以餘勾餘股併乘之得六十五萬二
千三百二十為從方 餘勾餘股相併自之得二萬
二千八百○一餘勾餘股相減自之得一萬四千一
百六十二數相減餘八千六百四十為益廉 作帶
從廉添積開三乘方法除之得半徑
帶從益廉添積開三乘方曰置所得三乘方積以
從方廉約之初商一百 置一於左上為法 置
一乘從益廉得八十六萬四千併從方共一百五
十一萬六千三百二十為益積之法與上法相乘
得一億五千一百六十三萬二千為益實添入原
積共一億五千六百二十九萬七千六百為通實
置一自乘再乘得一百萬為隅法與上法相乘
除實一億餘五千六百二十九萬七千六百為次
實 二因益廉得一百七十二萬八千 四因隅
法得四百萬為方法 初商自之 六因得六萬
為上廉 初商四之得四百為下廉 約次商得
二十置一於左次為上法 置一乘益廉得一十
七萬二千八百併前倍廉共一百九十○萬○八
百 併從方共二百五十五萬三千一百二十為
益積之法與上法相乘得五千一百○六萬二千
四百為益實添入次實共一億○七百三十六萬
為通實置一乘上廉得一百二十萬 置一自之
以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為
隅法併方廉隅共五百三十六萬八千為下法與
上法相乘除實盡
又為帶從方廉減隅翻法開三乘方
其法曰初商一百 置一於左上為法 置一自
乘再乘得一百萬為隅法 置一乘從廉得八十
六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二
十以減隅法不及反減隅法一百餘五十一萬六
千三百二十為負隅與上法相乘得五千一百六
十三萬二千加原實共五千六百二十九萬七千
六百為次商之實 四因隅法得四百萬為方法
初商自之六因得六萬為上廉 初商四之得
四百為下廉 次商二十置一於左次為上法
置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉
得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅法併
方法廉隅共五百三十六萬八千為通隅 倍初
商加次商得二百二十以乘從廉得一百九十○
萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二
十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為
下法與上法相乘除實盡
後凡言如此類立法者倣此
又術曰以樹去南門步自之得一萬八千二百二十
五為餘股筭副置二位一以餘股乘之得二百四十
六萬○三百七十五為餘股立筭一以餘勾乘之得
二十九萬一千六百為勾乘股立筭相乘得七千一
百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實 餘
勾餘股相乘得二千一百六十為勾股相乘筭倍之
以乘餘股立筭得一百○六億二千八百八十二萬
為從方 餘勾自之得二百五十六為餘勾筭四之
以乘餘股得一十三萬八千二百四十 倍勾乘股
立筭得五十八萬三千二百 二數相減餘四十四
萬四千九百六十為從二減廉 以勾股相乘筭為
隅筭 作從廉減從方負隅開三乘方法除之得八
十一為明勾弦較以除明股筭得二百二十五為明
勾弦和 加較半之為弦減較半之為勾 勾股相
乘倍為實 以較除之得通弦和較通弦和較即城
徑也
從㢘減從方負隅開三乘方曰約初商八十置一
於左上為法 置一自之以乘從廉得二十八億
四千七百七十四萬四千以減從方餘七十七億
八千一百○七萬六千 置一自乘再乘得五十
一萬二千以隅筭因之得一十一億○五百九
十二萬為隅法 併從方共八十八億八千六百
九十九萬六千為下法與上法相乘除實七千一
百○九億五千九百六十八萬餘實六十四億八
千五百六十七萬為次實 四因隅法得四十四
億二千三百六十八萬為方法 初商自之六因
又以隅因得八千二百九十四萬四千為上廉 初
商四之隅因得六十九萬一千二百為下廉 約次
商得一 置一於左次為上法 倍初商加次商得
一百六十一又併初次商為八十一乘之得一萬三
千○四十一以乘從廉得五十八億○二百七十
二萬三千三百六十以減餘從餘一十九億七千
八百三十五萬二千六百四十為從方 置一乘
上廉 置一自之以乘下廉俱如舊 置一自乘
再乘仍得一為隅法併方法從方廉隅共六十四
億八千五百六十七萬為下法與上法相乘除實
盡
測圓海鏡分類釋術卷三