益古演段

欽定四庫全書

　益古演段卷上　　　　　　元　李冶　撰

　　第一問

今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七

　分半並不記内圓外方只云從外田楞至内池楞四

　邊各二十步問内圓外方各多少

　　答曰外田方六十步　内池徑二十步

　法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨(按太即/真數此)

　　　　　　　　　(即四十步/併一池徑)為田方靣(按方靣/即每邊)以

　　　　　　　　　自增乗得□□丨(按此即一千/六百步八十)

　　　　　　　　　(池徑一/平方併)為方積於頭再立天元

　　　　　　　　　一為内池徑以自之又三因四

　而一得(太/○)○□(按此即百分平方之七十/五上二○存步與池之位)為池積以

　減頭位得□□□(按此即一千六百步八/十池徑二分半平方)為一段虚

　積寄左然後列直積以畝法(按畝法二/百四十步)通之得三千

　三百步與左相消(按相消者兩邊同減一千六百歩後/凡言相消者皆兩邉加減一數也)

　　得□□□(按此即一千七百歩與八/十池徑二分半平方等)開平方得二十

　　步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也

　　　按今借根方法即立天元一法詳見

御製數理精蘊兹不盡釋

　　以條段求之真積内減四段至步冪為實四之至步

　　為從二分半常法

　　義曰真積内減四段至步冪者是減去四隅也以二

　　分半為常法者是於一步之内占却七分半外有二

　　　　　　　　　分半也

　　　第二問

　今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七

　　分半並不記徑面只云從外田南楞通内池北楞四

　　十步問内圓外方各多少

　　答曰同前

　　　　　　　　　法曰立天元為池徑減倍通步

　　　　　　　　　得□丨(按此即八十/步少一圓徑)為田方靣

　　　　　　　　　以自増乗得□□丨(按此即六/千四百步)

　　　　　　　　　(少一百六十/徑多一平方)為方田積於頭又

　以天元池徑自之三因四而一得(太○/○)□(按此即百/分平方之)

　(七十/五)為池積以減頭位得□□□(按此即六千四百/步少一百六十徑)

　(多二分/半平方)為一段虚積寄左然後列真積三千三百步

　與左相消得□□□(按此即三千一百步與一百/六十徑少二分半平方等)開

　平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方

　靣也

　依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位餘

　為實四之通步為從二分半虚常法

　義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分

　半虚常法者是一箇虚方内却有減餘圓池補了七

　分半外欠二分半故以之為虚隅也

　　第三問

今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三

　百二十八歩只云從外田角斜至内池楞各五十二

　步問靣徑外方各多少

　　答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步

　　　　　　　　　法曰立天元一為内池徑加倍

　　　　　　　　　至步得□丨為方斜以自増乗

　　　　　　　　　得□□丨為方斜冪於頭(其方/斜上)

　　　　　　　　　(本合身外減四今不及減便是寄一/步四分為分母也今此方斜冪乃)

　(是變斜為方靣以自乘之/數又别得是展起之數也)又立天元為池徑自之又

　三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池

　積亦須展起故又用一步九分六釐乗之得一步四

　分七釐亦為一箇展起底圓池積也(以一步九分六/釐乘之者葢為)

　(分母十四以自之得/一步九分六釐也)以池積減田積餘□□□為一

　段虚積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步

　亦用分母冪一步九分六釐乗之(或兩度不/加四亦同)得二萬

　二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平

　方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身

　外除四見方靣也　一法求所展池積以徑自之了

　更不湏三因四除及以一步九分六釐乗之只於徑

　冪上以一步四分七釐(按此即三因四除一/步九分六釐之數)乗之便

　為所展之池積也

　依條段求之展積内減四段至步冪餘為實四之至

　步為從四分七釐益隅

　義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六釐乗

　起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過

　於每步上得一步九分六釐故今命之為展起之數

　　　　　　　　　也諸變斜為方者皆凖此所展

　　　　　　　　　之池積是於一步圓積上展出

　　　　　　　　　九分六釐若以池徑上取斜為

　　　　　　　　　外圓徑則一步上止生得四分

　七釐也故以四分七釐為虚常法又取方冪一步九

　分六釐四分之三亦得圓積一步四分七釐也

　　按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積

　　分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數

　　繁碍於講解故用古率以從簡且其法既明即用

　　宻率亦無不可

　　第四問

今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三

　百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十

　六步問靣徑外方各多少

　　答曰外田方一百二十步　内池徑六十四步

　法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜

　　　　　　　　　以自之得□□丨便為所展方

　　　　　　　　　田積於上再立天元一為池徑

　　　　　　　　　以自之又以一步四分七釐乗

　　　　　　　　　之得(太○/○)□(步/)便為所展圓池

　積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄

　左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步

　八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四

　步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外

　除四為方靣也

　以條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步

　為從四分七釐常法

　　　　　　　　　　　義曰四之通步為從其減

　　　　　　　　　　　積外實欠一箇方今即有展

　　　　　　　　　　　池減時所剰之積補却一

　　　　　　　　　　　箇虛方外猶剰一箇四分

　　　　　　　　　　　七釐為常法也

　　第五問

今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二

　分只云内圓周不及外方周一百六十八步問方圓

　各多少

　　答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步

　法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨

　為外方周以自増乗得□□丨為一十六箇方田積

　又三因之得□□□為四十八段方田積於頭(所以/三因)

　　　　　　　　　(為四十八者就為/四十八分母也)再立天元圓

　　　　　　　　　周以自之(元/○)丨為十二段圓池

　　　　　　　　　積(圓周冪為九箇圓徑冪每三九/箇圓徑冪為四箇圓池積今)

　　　　　　　　　(箇圓徑冪共為十/二箇圓池積也)又就分四之

　得(元/○)□為四十八箇圓池積以減頭位得□□丨為

　四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以

　畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八

　之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□

　□丨平方開之得七十二步為内圓周也三而一為

　池徑

　依條段求之四十八段田積内減三段不及步冪為

　實六之不及為從一虚隅

　義曰每一箇方周方為十六段方田積今三之為四

　十八段方田積也内除了三箇圓周冪外於見積上

　虚了一箇圓周冪也今求圓周故以一步為虚隅法

　舊術曰以十六乗田積為頭位(以合方/周之積)以不及步自

　乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法㢘常以

　一步為減從法

　　第六問

今有方田一段内有圓池水占之外計地二千六百七

　十三步只云内圓周與外方靣數等問各多少

　　答曰外方靣内圓周各五十四步

　　　　　　　　　法曰立天元一為方靣(便是/圓周)以

　　　　　　　　　自之得元丨便為十二段池積

　　　　　　　　　也再立天元方靣以自之又十

　　　　　　　　　二之得(元/○)□為十二段方田積

　也二數相減餘(元/○)□為十二段如積寄左然後列真

　積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之

　得五十四步為方靣亦為圓周徑也

　依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法

　　　　　　　　　　　義曰一箇方田積便是一

　　　　　　　　　　　箇圓周積也一箇圓周積

　　　　　　　　　　　便是十二箇圓池積今將

　　　　　　　　　　　一十二箇圓池積減於十

　二箇方田積通有十一段方田積也

　舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合

　前問也

　又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母

　九之得(元/○)□為九箇方田積於頭又立天元等數以

　自之為十二箇圓池積也三之四而一得(元/○)□為九

　箇圓池以減頭位得(元/○)□為九段如積寄左然後列

　真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消

　得□○□平方開得五十四步為等數也

　依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法

　義曰每一箇方冪為十二箇圓池今將見有底九箇

　　　　　　　　　圓池去了七分半餘二分半併

　　　　　　　　　實有八箇方恰是八箇二分半

　　　　　　　　　也

　　　　　　　　　又法立天元一為徑以三之為

　外方靣以自之得(元/○)□為外方積於上再立天元圓

　徑以自之三之四而一得(元/○)□為圓池積也以此圓

　積減方積得(元/○)□為一段如積寄左然後列真積與

　左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑

　也

　以條段求之積為實八步二分半為常法

　　　　　　　　　義曰中間一方除圓池四分之

　　　　　　　　　三外有四分之一即是一步内

　　　　　　　　　得二分半也

　　　　　　　　　舊術曰列積步以八步二分半

　為法除之所得再開方見内圓徑

　　第七問

今有方田一段内有圓池水占之外計地一千三百五

　十七步只云外方靣不及内池周一十四步問方圓

　各多少

　　答曰方靣四十步　圓周五十四步

　　　　　　　　　法曰立天元一為外方加不及

　　　　　　　　　一十四步得□丨為内周以自

　　　　　　　　　増乗得□□丨為十二箇圓池

　　　　　　　　　積於頭再立天元方靣以自之

　又十二之為十二箇方田積内減頭位得□□□為

　十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步

　就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左

　相消得□□□開平方得四十步為外方靣也

　依條段求之十二之積内加入不及步冪為實二之

　不及步為虚從十一步常法

　義曰其十二段積内𢃄起十二箇圓池其十二箇

　圓池補成一箇圓周方其圓周多於方靣十四步故

　　　　　　　　　　　　　　自之為冪加入所

　　　　　　　　　　　　　　欠之一角又二之

　　　　　　　　　　　　　　為虚從恰得十一

　箇方也

　　第八問

今有方田一段内有圓池水占之外有地一十三畝七

　分半只云内外方圓周共相和得三百步問方圓周

　各多少

　　答曰外方周二百四十步　内圓周六十步

　　　　　　　　　法曰立天元一為圓徑以三之

　　　　　　　　　為圓周以減共步得□□為方

　　　　　　　　　周以自増乗得□□□為十六

　　　　　　　　　段方田積於頭再立天元圓徑

　以自之又十二之得(太/○)○□為十六箇圓池積以減

　頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一

　十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分

　母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□

　□□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也

　依條段求之和步冪内減十六之見積為實六之和

　步為從三步常法

　義曰十六箇圓池該十二箇方内從步合除去九箇

　方外猶剰三箇方故以三步為常法也

　舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減

　頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分

　　第九問

今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六

　十八步只云内外周與實徑共相得三百三十步問

　三事各多少

　　答曰外方周二百四十步　實徑十八步　圓周

　　七十二步

　　　　　　　　　法曰立天元一為池徑以五之

　　　　　　　　　減倍之相和步得□□為九箇

　　　　　　　　　方靣以自増乗得□□□為八

　　　　　　　　　十一段方田積於頭位(二之相/和步别)

　(得是八方面六圓徑二實徑今將二實徑與一圓徑/就成一方靣共前數計九方靣五圓徑却更無實徑)

　(也/)再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之

　得(元/○)□為八十一箇圓池(所以用六十步七分半乘/之者欲齊其八十一分母)

　(也每箇圓池七分半以八十/一通之得六十步七分半也)以此減頭位餘□□□

　為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十

　八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與

　左相消得下□□□(步/)開平方得二十四步為池徑

　也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑

　減方餘折半為實徑

　依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減

　頭位餘為實二十之共步為從三十五步七分半為

　常法

　　　　　　　　　義曰八十一箇方田内𢃄起八

　　　　　　　　　十一箇圓池每箇圓池七分半

　　　　　　　　　此八十一箇計該六十步七分

　　　　　　　　　半其從步内合除去二十五箇

　外猶剰三十五箇七分半故以之為常法也

　舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積

　減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三

　步五分七釐半

　　第十問

今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六

　十八步只云内外方圓周與斜徑共相和得三百四

　十二步問三事各多少

　　答曰外方周二百四十步　内圓周七十二步

　　　　斜三十步

　　　　　　　　　法曰立天元一為池徑以二十

　　　　　　　　　五之減於十之相和三千四百

　　　　　　　　　二十步得□□為四十七箇外

　　　　　　　　　方靣以自増乗得□□□為二

　千二百九段方田積於頭位(十之相和步三千四百/二十為方靣四十箇内)

　(池徑三十箇斜至步一十箇以一十箇斜至步合入/五箇池徑共得五斜此五斜却便是七箇方靣計總)

　(數該四十七箇方靣二十五/箇圓徑外更無斜至步也)再立天元池徑以自之

　又以一千六百五十六步七分半乗之得(元/○)　□為

　二千二百○九箇圓池積也(所以用一千六百五十/六步七分半乗之者欲)

　(齊其二千二百○九分母也每一箇圓池積七分半/今有二千二百○九箇圓池積以七分半乘之該一)

　(千六百五十六/步七分半也)以此減頭位得□□□為二千二百

　九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步

　以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一

　百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四

　步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十

　七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半

　為斜徑也

　　按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法

　　取出但截去前段恐初學不能無疑兹仍依其法

　　補之

　　法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為

　　八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以

　　方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七併之

　　得四十七為法除實得方靣不除便為四十七箇

　　方靣也

　依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二

　百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一

　千三十一步七分五釐為益隅

　義曰減數係是二千二百九段方靣冪内却漏下二

　千二百九箇圓池此數該一千六百五十六箇七分

　　　　　　　　　圓徑冪却於從步上疊用了六

　　　　　　　　　百二十五箇池徑冪外猶剰一

　　　　　　　　　千三十一箇七分五釐故以之

　　　　　　　　　為隅法其從法元有五十箇圓

　徑今命為之五百者縁相和步進一位也

　舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二

　百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之

　相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平

　方見池徑

　　第十一問

今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘

　二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問外

　圓内方各多少

　　答曰外圓徑一百步　内方靣三十六步

　法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自

　之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積

　　　　　　　　　於頭再立天元方靣以自之又

　　　　　　　　　就分母四之得(元/○)□為四池積

　　　　　　　　　以減頭位得□□丨為四段如

　　　　　　　　　積數寄左然後列真積又就分

　四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□

　丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓

　徑也

　依條段求之四之積步於頭位(作三箇外圓徑冪内/出了四箇方池積也)

　内減十二之至步冪為實十二之至步為從一虚隅

　義曰四箇外圓田内減了十二段至步冪復以十二

　之至步為從又合去四箇方池今元積内有三箇虚

　池外猶欠一箇虚池故以一步為虛隅常減從以為

　法

　又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只

　云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方

　靣各若干

　　答曰徑十歩　靣五步

　　　　　　　　　法曰立天元一為方斜加三步

　　　　　　　　　為圓徑以自之又以一步九分

　　　　　　　　　六釐乗之得□(步/)□□(按此為/一平方)

　　　　　　　　　(九分六釐多十一元七分六釐/多十七步六分四釐諸條皆步)

　(數在上此條/獨步數在下)又三之得□(步/)□□内減四之天元冪

　得上層□中下云云(按即多三十五元二分八釐/多五十二平方九分二釐)寄

　左然後置五十步兩度加四得□(步/)又四之得□(步/)

　與左相消得下層三百三十九步○八釐(按此下當/加與一平)

　(方八分八釐多三十五元/二分八釐等十八字方明)負開平方得七步即池斜

　也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即

　方靣也合問

　依條段求之四段展起見積内減三段展起至步冪

　為實六之至步展起為從一步八分八釐為常法也

　此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細

　分之

　義曰三箇九分六釐共計二步八分八釐其元初作

　四段如積時合有四箇所展之池今來只見三箇故

　於二步八分八釐内去却一步有餘只有一步八分

　八釐為常法也(此法於别紙上/抄得故録於此)

　　第十二問

今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零

　二百四步只云從外田楞通内方方靣六十八步問

　各數若干

　　答曰外圓徑一百步内方靣三十六步

　法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓

　　　　　　　　　徑以自之得□□丨為圓徑冪

　　　　　　　　　以三之得□□□為四段圓田

　　　　　　　　　積於頭再立天元内方靣以自

　　　　　　　　　之又就分母四之得(元/○)□為四

　段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左

　然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相

　消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減

　倍通步即圓徑

　依條段求之十二段至步冪内減四之見積為實十

　二之通步為從一常法

　　　　　　　　　　　　　　義曰所減數内剰

　　　　　　　　　　　　　　下四箇方池疊補

　　　　　　　　　　　　　　了三箇外猶剰一

　箇故以之為常法

　　第十三問

今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步只云

　從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多

　少

　　答曰外圓徑一百步　内方靣五十步

　　　　　　　　　法曰立天元一為内方靣身外

　　　　　　　　　加四為内方斜又加倍至步得

　　　　　　　　　□□為外圓徑也以自増乗得

　　　　　　　　　□□□為外徑冪以三之得□

　□□為四段外圓積於頭再立天元内方靣以自之

　又四之得(元/○)□為四段方池積也以減頭位餘□□

　□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與

　左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身

　外加四又加入倍至步即為外田徑也

　依條段求之四之積步内減十二段至步冪為實十

　二之至步身外加四為從一步八分八釐為常法

　義曰三箇九分六釐計二步八分八釐其四箇圓田

　内有四箇方水池除從步合占三箇外猶剰一箇水

　池却於數内取了一步餘一步八分八釐故以之為

　常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加

　四不能見方靣而但得方斜也

　舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減

　頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉

　常置九分四釐

　　第十四問

今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七

　步只云從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内

　方各多少

　　答曰外圓徑三十六步　内方靣二十五步

　法曰立天元一為内方靣加四得(元/□)為方斜以減倍

　通步得(太/□)□為外圓徑以自増乗得□□□為外田

　　　　　　　　　徑冪也以三之得□□□為四

　　　　　　　　　段圓田積於頭再立天元内方

　　　　　　　　　靣以自之又就分四之得(元/○)□

　　　　　　　　　為四段方池以減頭位得□□

　□為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八

　十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為

　内方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也

　依條段求之十二段通步冪内減四之田積為實十

　二之通步加四為益從一步八分八釐常法

　義曰此式元係虚從今以虛隅命之四段圓田減積

　時剰下四段方池於從步内用訖三箇外猶剰一箇

　却於二步八分八釐虛數内補了一歩外虚一步八

　分八釐故以之為法(從負隅正或從正隅負其實/皆同故因此廉從以别之)

　舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位

　餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分

　八釐減從開方(新舊廉從不同開/時則同故兩存之)

　　第十五問

今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一

　百七十六步只云内方周不及外圓周一百五十二

　步問外圓内方各多少

　　答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步

　　　　　　　　　法曰立天元一為内方靣以四

　　　　　　　　　之為内方周加不及一百五十

　　　　　　　　　二步得□□為外圓周以自増

　　　　　　　　　乗得□□□為十二段圓田積

　於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得(元/○)

　□為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段

　如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十

　二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□

　□平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内

　方周加不及步為圓周也

　依條段求之十二段積步内減不及步冪為實八之

　不及步為從四步為常法也

　　　　　　　　　義曰十二段圓積該九段圓徑

　　　　　　　　　冪九段圓徑冪便是九箇圓周

　　　　　　　　　冪也據十二段圓積内元少十

　　　　　　　　　二箇方池今於周冪内除折筭

　外剰四箇池積故以四步為常法也

　舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位

　餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平

　方(新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易/而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘倣此)

　　第十六問

今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六

　十四步只云内方周與外圓徑等問等數各若干

　　答曰内方周外圓徑各七十二步

　　　　　　　　　法曰立天元一為等數便以為

　　　　　　　　　方周以自之為十六箇方池於

　　　　　　　　　頭(元/○)丨再立天元等數便以為

　　　　　　　　　圓徑以自之又十二之得(元/○)□

　為十六段圓田積内減頭位餘(元/○)□為十六段如積

　寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六

　之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平

　方開得七十二步即等數也

　　按法後落條段一條依前例補之

　依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法

　　　　　　　　　　　　　　義曰十六箇圓積

　　　　　　　　　　　　　　乃十二段圓徑冪

　　　　　　　　　　　　　　也其十六箇圓積

　内有十六箇方池恰是一箇方也此一箇方便是等

　數冪也

　舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之

　即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開

　方即等數

　　第十七問

今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一

　十一步只云外圓徑不及内方周四十二步問方圓

　各若干

　　答曰外圓徑五十四步　内方周九十六步

　法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得

　　　　　　　　　為内方周以自増乗得下式□

　　　　　　　　　□丨為十六段池積於頭再立

　　　　　　　　　天元外圓徑以自之又十二之

　　　　　　　　　得(元/○)□為十六段田積也内減

　頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一

　千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百

　七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步

　為外圓徑也加不及步為内方周也

　依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及

　步為虚從一十一步為常

　　　　　　　　　　　　　義曰十二箇圓徑

　　　　　　　　　　　　　冪該十六箇圓田

　　　　　　　　　　　　　積十六箇圓田積

　内有十六箇方池其十六箇方池於實積内侵過所

　加一角并二段虛從之數也

　　第十八問

今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七

　步只云外圓周内方周共得二百八步問内外周各

　多少

　　答曰外圓周一百八步　内方周一百步

　　　　　　　　　法曰立天元一為内方靣以四

　　　　　　　　　之為内方周減於相和二百八

　　　　　　　　　步得□□為外圓周以自增乗

　　　　　　　　　得□□□為圓周冪便為十二

　段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十

　二之得(元/○)□為十二段方池積也以減頭位餘□□

　□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步

　就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得

　□□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内

　方周減於相和步為圓周也

　依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和

　步為虚從四常法

　　　　　　　　　義曰十二段圓田内有十二箇

　　　　　　　　　方池於方周冪内補了十二池

　　　　　　　　　外猶欠四箇故以四為隅法此

　　　　　　　　　式元係虛從今却為虛隅命之

　故以四為虛常法

　舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位

　餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從

　　第十九問

今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一

　百七十六步只云内外周與實徑共相和得六百二步

　問三事各多少

　　答曰外圓周三百六十步　内方周二百八步

　　　　實徑三十四步

　法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨

　為外田徑也(倍云數得一千二百四步别得是六箇/圓徑八箇方靣兩箇實徑今将一箇方)

　(靣兩箇實徑合成一箇圓俓併前數而計是七箇方/靣七箇圓徑也今置一千二百四步在地以七約之)

　　　　　　　　　(得一百七十二步為徑靣共也/便是一箇方靣一箇圓徑更無)

　　　　　　　　　(實徑/也)以自增乘得□□丨為圓

　　　　　　　　　徑冪也以三之得□□□為四

　　　　　　　　　段圓田積於頭再立天元内池

　靣以自之又就分四之得(元/○)□為四池積以減頭位

　得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十

　六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左

　相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以

　七之方靣減於倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑

　内減方靣餘者又半之即實徑也

　依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三

　之於頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為

　從一常法

　義曰四之真積内有四箇方池於從法内疊周了三

　箇外剰一箇故以一步為常法

　舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六

　步(按此即四與四/十九相乗之數)之田積減頭位餘以十四而一為

　實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見

　内方靣

　　第二十問

今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七

　十五步只云内外周與斜徑相和得二百五十九步

　半問三事各多少

　　答曰外圓周一百八十步　内方周六十步　斜

　　　　十九步半

　　　　　　　　　法曰立天元一為内方靣以三

　　　　　　　　　十三之減於十之云數二千五

　　　　　　　　　百九十五步得□□為三十五

　　　　　　　　　箇圓田徑(十之云數内有外圓/徑三十箇内方靣四)

　(十箇角斜十箇今將七箇方靣併入十箇角斜為五/箇圓徑也總别得十之云數是方靣三十三箇圓徑)

　(三十五箇外更/無斜徑角也)乃以三十五之圓徑自増乗得下式

　□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之

　得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓

　田積於頭再立天元内池靣以自之又就分以四千

　九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位

　得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積

　二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千

　二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平

　方開得一十五步為内方靣方(三十三之方靣以減/於十之相和二千五)

　(百九十五步餘三十五而一即圓徑以/方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也)

　依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位

　以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之

　相和步為從一千六百三十三為常法

　義曰減數計三千六百七十五箇圓徑冪便是四千

　九百箇圓田積也内漏下四千九百箇方池却於從

　　　　　　　　　　　　　　内疊用了三千二

　　　　　　　　　　　　　　百六十七箇方池

　　　　　　　　　　　　　　外猶剰一千六百

　三十三箇方靣冪故以之為常法也其從法元有一

　百九十八箇方靣合用一百九十八之相和步為從

　今用一千九百八十箇相和步者縁為相和步先進

　了一位也

　　第二十一問

今有方田三段共計積四千七百七十步只云方方相

　較等三方靣共併得一百八步問三方多少

　　答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小

　　　　方靣一十五步

　　　　　　　法曰立天元一為方差以減中方靣

　　　　　　　(置併數三而一/即得中方靣)得□丨為小方靣也

　　　　　　　以自之得□□丨為小方積於頭再

　　　　　　　立天元方差加入中方靣得□丨為

　大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中

　方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得

　□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百

　七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即

　是方差也(置方差數加中方即大方/靣減中方即小方靣也)

　依條段求之列併數以三約之所得即中方靣也以

　自之為冪又三之以減積為實無從二步常法

　義曰積步内減三箇中方冪外有兩箇方故得二步

　　　　　　　　　　常法舊術又折半止得一箇

　　　　　　　　　　方也

　　第二十二問

今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二

　百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十

　五步半問田方靣多少

　　答曰田方靣三十五步

　　　　　　　　　法曰立天元一為水占斜加入

　　　　　　　　　云數四十五步半得□(元/丨)為田

　　　　　　　　　斜以自増乗得□步□丨為田

　　　　　　　　　斜冪於頭再立天元一水占斜

　以自之為水占得小方積就分以一步九分六釐乗

　之得(元/○)□(步/)為所展得水占積也以減頭位得□□

　□(步/)為如積一段寄左然後列真積一千二百一十

　二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七

　十六步九分九釐與左相消得□□□開平方得三

　步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣

　也

　依條段求之展積内減至步冪為實二之至步為從

　九分六釐虛常法開平方得三步半即水占斜也

　義曰今將水占斜直命為小方池靣也

　舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以

　　　　　　　　　自乗減頭位餘為實二之直至

　　　　　　　　　為從以九分六釐為廉從開平

　　　　　　　　　方得二步半加直至步三十二

　　　　　　　　　步半得三十五步即田方靣也

　　　　　　　　　此圖即舊術條段也舊術減云

　　　　　　　　　步為直至步入法而求得二步

　　　　　　　　　半為直至不及方靣步新術展

　　　　　　　　　積入法而求得三步半為水占

　斜

　益古演段卷上