御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷二

　　首部二

　　　命分

　　　約分

　　　通分

　　命分

凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零

數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒

零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也

其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除

不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命

為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所

不逮也

設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干

　法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩

　所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六釐

　六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法

　以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三

　兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二

　兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為

　三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則

　以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分

　則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得

　二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也

　再加入三人所得整數共九兩(一人三兩三/人共得九兩)則得

　十一兩以合原數也

設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得

　若干

　法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩

　仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七

　兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七

　葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一

　百二十六分十八人分之每人得七分故命為十

　八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數

　則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分

　葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也

　以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢

　初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再

　加入十八人所得整數共一百八十兩(一人十兩/十八人共)

　(得一百/八十兩)則得一百八十七兩以合原數也

　　約分

約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨

其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從

而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相

減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以

此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分

又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸

法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明

帶分之根也

設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之

　二十五今以法約之求相當最小數

　法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分

　再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦

　餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉

　除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分

　二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為

　四分之一是歳實共得三百六十五日又四分日

　之一也(葢將一日剖作四分/而得其四分之一也)凡約分法以分母分

　子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以

　度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數

　二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為

　四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分

　一百與二十五之比即同於四與一之比是四與

　一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分

　子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母

　分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命

　分誌之可也

設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人

　得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當

　最小數

　法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十

　四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以

　二十一減之(因減數大於原數又不得兩/數齊等故以二十一轉減之)餘四十

　二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即

　以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即

　為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三

　分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為七分

　之三是每人得銀一兩又七分兩之三也(葢將每/兩剖作)

　(七分而得其/七分之三也)此法以一百四十七人與六十三兩

　輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度

　盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既

　以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一

　故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百

　四十七與六十三之比即同於七與三之比是七

　與三即一百四十七與六十三之相當最小數也

　　通分

凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如

斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數

而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零

作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之

以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零

數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故

為另設加減乘除之法以明其義焉

　　加法

凡竒零數相加兩分母同者即併兩分子為得數若

相加之數大於母數則於所得數内減去母數為一

整數紀其餘為零數

設如有九分丈之七(一丈分為九分/而得其七分也)與九分丈之五

　(一丈分為九分/而得其五分也)相加求總數

　　　　　法以九分之七與九分之五左右列之

　　　　　將兩分子七與五相加得一十二因子

　　　　　數大於母數乃於一十二内減去母數

　　　　　九為一整數餘三為零數即得整數一

　　　　　丈零九分丈之三為相加之數也此法

　　　　　因兩分母同為九分而兩分子亦同為

　　　　　九分中之零分故徑併兩零分之七與

　　　　　五得一十二又以母數九分收為一丈

　　　　　(葢初以一丈分為九分今/滿九分即收為一丈也)其所餘三亦

　　　　　仍為九分中之三分故得一丈零九分

　　　　　丈之三為兩零分之共數此分母相同

　　　　　之加法也(如以真數明之九分丈之七/是將一丈分為九分得其九)

　　　　　(分中之七分一丈分為九分則每一分/得一尺一寸一分一釐有餘九分中之)

　　　　　(七分則為七尺七寸七分七釐有餘也/九分中之五分則為五尺五寸五分五)

　　　　　(釐有餘也兩數相加共得一丈三尺三/寸三分三釐有餘即一丈零九分丈之)

　　　　　(三也葢一尺一寸一分一釐有餘既為/九分中之一分則三尺三寸三分三釐)

　　　　　(有餘即九分中之三分也如以九分除/三分即得三尺三寸三分三釐不盡之)

　　　　　(數是九分與一丈之比即同於三/分與三尺三寸三分有餘之比也)

凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分

母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分

母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀於共

母數之下為共零數

設如有三分丈之二(一丈分為三分/而得其二分也)與五分丈之三

　(一丈分為五分/而得其三分也)相加求總數

　　　　　法以兩分母三五相乘得一十五為共

　　　　　母數再以前分母三乘後分子三得九

　　　　　又以後分母五乘前分子二得十將兩

　　　　　得數相加得十九為共子數因子數大

　　　　　於母數乃於十九内減去共母數十五

　　　　　為一整數餘四為零數即得整數一丈

　　　　　零十五分丈之四為相加之數也此法

　　　　　用互乘者本為齊其分母也夫以兩分

　　　　　母相乘得十五者乃以兩分母俱變為

　　　　　十五分也(因分母不同難以/相加故變為同等)以前分母

　　　　　三乘後分子三得九者乃以後分子變

　　　　　為十五分中之九也又以後分母五乘

　　　　　前分子二得十者是又以前分子亦變

　　　　　為十五分中之十也葢十五分之十與

　　　　　三分之二其比例等(俱為五/倍比例)而十五分

　　　　　之九與五分之三其比例亦等(俱為三/倍比例)

　　　　　兩分母既變為同等則兩分子亦俱為

　　　　　同分母之子矣故相加如第一法此分

　　　　　母不同之加法也(如以真數明之三分/丈之二既變為十五)

　　　　　(分丈之十則每一分為六寸六分六釐/有餘今得十分即六尺六寸六分六釐)

　　　　　(有餘也又五分丈之三既變為十五分/丈之九則每一分亦為六寸六分六釐)

　　　　　(有餘今得九分即六尺也兩數相加共/得一丈二尺六寸六分六釐有餘即一)

　　　　　(丈零十五分丈之四也葢六寸六分六/釐有餘即為十五分中之一分今二尺)

　　　　　(六寸六分六釐有餘為四倍六寸六分/六釐有餘即十五分中之四分也如以)

　　　　　(十五分除四分即得二尺六寸六分不/盡之數是十五分與一丈之比即同於)

　　　　　(四分與二尺六寸/六分有餘之比也)

又或分母不同而可以加減之使同者則變而同之

可省互乘

設如有八分兩之一與十二分兩之三相加求總數

　　　　　法以十二分之三變為八分之二則與

　　　　　八分之一兩分母相同故徑併兩分子

　　　　　二與一得三即八分兩之三為相加之

　　　　　數也此法將十二分之三變為八分之

　　　　　二者乃分母分子各減三分之一也母

　　　　　數十二減三分之一餘八子數三減三

　　　　　分之一餘二葢十二分之三與八分之

　　　　　二其比例相等故變從簡易如數有參

　　　　　差者則當用下節之法(如以真數明之/八分兩之一是)

　　　　　(將一兩分為八分其一分即一錢二分/五釐也又十二分兩之三是將一兩分)

　　　　　(為十二分其三分為二錢五分今變為/八分兩之二是將一兩分為八分其二)

　　　　　(分亦為二錢五分也兩數相加共得三/錢七分五釐即八分兩之三也葢一錢)

　　　　　(二分五釐為八分中之一分今三錢七/分五釐即八分中之三分也如以八分)

　　　　　(除三分即得三錢七分五釐是八分與/一兩之比即同於三分與三錢七分五)

　　　　　(釐之/比也)

設如有六分石之五與三分石之二相加求總數

　　　　　如依前法將六分之五折半為三分之

　　　　　二分半則兩分母雖同而分子却有竒

　　　　　零若將三分之二加一倍作六分之四

　　　　　變少從多則與六分之五兩分母相同

　　　　　乃徑併兩分子五與四得九因子數大

　　　　　於母數乃於九内減去母數六為一整

　　　　　數餘三為零數即得整數一石零六分

　　　　　石之三為相加之數也此法三分之二

　　　　　變為六分之四者乃分母分子各加一

　　　　　倍之比例也凡變分母分子或加或減

　　　　　務期所變之分數與原分數比例相同

　　　　　使其兩分母同而兩分子可併也此條

　　　　　與上條用加減雖各異而齊其分母以

　　　　　加之則同也(如以真數明之六分石之/五是將一石分為六分則)

　　　　　(每一分得一斗六升六合六勺六撮六/抄有餘今得五分即八斗三升三合三)

　　　　　(勺三撮三抄有餘也又三分石之二是/將一石分為三分其二分為六斗六升)

　　　　　(六合六勺六撮六抄有餘今變為六分/石之四是將一石分為六分其四分亦)

　　　　　(為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘/也兩數相加共得一石四斗九升九合)

　　　　　(九勺九撮九抄有餘收為五斗即一石/零六分石之三也葢六分為一石則三)

　　　　　(分即五/斗也)

凡子母數有三四種相加者其分母分子俱不同則

用互乘以齊其分母按前法加之(三種者以第一數/與第二數依前互)

(乘法相加得數又與第三數依前互乘法相加四程/者以第一數第二數互乘相加得數與第三數互乘)

(相加得數復與第/四數互乘相加)如兩分母相同者即併其兩分子

而與所餘之分母不同者用互乘以加之又或有兩

分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直

以所得之分子與所餘之分子相加為得數即不用

互乘矣

設如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三

　相加求總數

　　　　　法以前兩分子分母按互乘法相加得

　　　　　十二分斤之十(以兩分母三與四相乘/得十二為共母數以前)

　　　　　(分母三乘後分子二得六又以後分母/四乘前分子一得四相加得一十為共)

　　　　　(子數是為十/二分斤之十)乃以十二分斤之十與第

　　　　　三子母分用互乘法相加得六十分斤

　　　　　之八十六(以第三分母五與前兩分母/互乘所得之十二相乘得六)

　　　　　(十為共母數以前兩分母所得十二乘/第三分子三得三十六又以第三分母)

　　　　　(五乘前兩分子所得十得五十相加得/八十六為共子數是為六十分斤之八)

　　　　　(十/六)因子數大於母數乃於共子數八十

　　　　　六内減去共母數六十為一整數餘二

　　　　　十六為零數即得一斤零六十分斤之

　　　　　二十六為總數也凡子母分有四種五

　　　　　種相加者俱倣此(如以真數明之三分/斤之一是將一斤分)

　　　　　(為三分其一分即五兩三錢三分三釐/有餘也四分斤之二是將一斤分為四)

　　　　　(分則每一分為四兩今得二分即八兩/也五分斤之三是將一斤分為五分則)

　　　　　(每一分為三兩二錢今得三分即九兩/六錢也三數相加共得二十二兩九錢)

　　　　　(三分三釐有餘内收十六兩為一斤餘/六兩九錢三分三釐有餘即六十分斤)

　　　　　(之二十六也葢以十六兩分為六十分/每分得二錢六分六釐有餘今六兩九)

　　　　　(錢三分三釐有餘有二十六倍二錢/六分六釐有餘即為二十六分也)

設如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一

　相加求總數

　　　　　法因五分丈之三與五分丈之一兩分

　　　　　母相同故直併其兩分子三與一為五

　　　　　分丈之四再以五分丈之四與四分丈

　　　　　之一依互乘法相加得二十分丈之二

　　　　　十一(以前分母五與後分母四相乘得/二十為共母數以前分母五乘後)

　　　　　(分子一得五又以後分母四乘前分子/四得十六相加得二十一是為二十分)

　　　　　(丈之二/十一)因子數大於母數乃於共子數

　　　　　二十一内減去共母數二十為一整數

　　　　　餘一為零數即得一丈零二十分丈之

　　　　　一為總數也(如以真數明之其五分丈/之三即六尺也其四分丈)

　　　　　(之一即二尺五寸也其五分丈之一即/二尺也三數相加得一丈零五寸即一)

　　　　　(丈零二十分丈之一葢一丈/分為二十分每分得五寸也)

設如有三分兩之二又四分兩之三又十二分兩之

　四相加求總數

　　　　　法以三分之二與四分之三用互乘法

　　　　　相加得十二分兩之十七(以前分母三/與後分母四)

　　　　　(相乘得十二為共母數以前分母三乘/後分子三得九又以後分母四乘前分)

　　　　　(子二得八相加得十七/是為十二分兩之十七)此所得之十二

　　　　　分兩之十七與第三分母相同即以前

　　　　　兩分所得共子十七與後一分子四相

　　　　　加得二十一是為十二分兩之二十一

　　　　　因子數大於母數乃於共子數二十一

　　　　　内減去共母數十二為一整數餘九為

　　　　　零數即得一兩零十二分兩之九為總

　　　　　數也(如以真數明之其三分兩之二即/六錢六分六釐有餘也其四分兩)

　　　　　(之三即七錢五分也其十二分兩之四/即三錢三分三釐有餘也三數相加得)

　　　　　(一兩七錢四分九釐有餘收作七錢五/分即一兩零十二分兩之九葢十二分)

　　　　　(兩之九即七/錢五分也)

　　減法

凡竒零數相減兩分母同者即將兩分子相減為餘

數

設如有十一分丈之七減十一分丈之五求餘數

　　　　　法以十一分丈之七與十一分丈之五

　　　　　左右列之將兩分子五與七相減餘二

　　　　　即得十一分丈之二為餘數也葢因兩

　　　　　分母同為十一分則兩分子亦同為十

　　　　　一分中之零分故徑將兩分子相減餘

　　　　　二亦仍為十一分中之二分是以定為

　　　　　十一分丈之二此分母相同之減法也

　　　　　(如以真數明之十一分丈之七是將一/丈分為十一分則每一分得九寸零九)

　　　　　(釐零九絲有餘其中之七分即六尺三/寸六分三釐六豪三絲有餘也其中之)

　　　　　(五分即四尺五寸四分五釐四豪五絲/有餘也相減餘一尺八寸一分八釐一)

　　　　　(豪八絲有餘即十一分中之二分也葢/九寸零九釐零九絲有餘為一分則一)

　　　　　(尺八寸一分八釐一豪八絲有餘即為/二分也如以十一分除二分亦得一尺)

　　　　　(八寸一分八釐一豪八絲不盡之數是/十一分與一丈之比即同於二分與一)

　　　　　(尺八寸一分八釐一/豪八絲有餘之比也)

凡竒零數相減兩分母不同者則用互乘法以兩分

母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分

母乘前分子以所得兩子數相減為餘數

設如有三分丈之二減五分丈之三求餘數

　　　　　法以兩分母三五相乘得一十五為共

　　　　　母數再以前分母三乘後分子三得九

　　　　　又以後分母五乘前分子二得一十將

　　　　　所得兩分子相減餘一即得十五分丈

　　　　　之一為餘數也此法用互乘齊其分母

　　　　　將三分丈之二變為十五分丈之十將

　　　　　五分丈之三變為十五分丈之九兩分

　　　　　母既同為十五分故兩分子十與九相

　　　　　減餘一為十五分丈之一也此分母不

　　　　　同之減法也如兩分母不同可以加減

　　　　　之使其相同者減之亦如加法中例故

　　　　　不重設(如以真數明之其三分丈之二/即六尺六寸六分六釐有餘也)

　　　　　(其五分丈之三即六尺也相減餘六寸/六分六釐有餘即十五分丈之一也葢)

　　　　　(一丈分為十五分每一分/得六寸六分六釐不盡也)

凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘

數

設如有米一石内減七分石之五求餘數

　　　　　法以整數一石變為七分為分母與分

　　　　　子五相減餘二即得七分石之二為餘

　　　　　數也葢將一石分為七分而於此七分

　　　　　内減去五分則所餘即七分石之二此

　　　　　整數中減零數法也(如以真數明之將/一石分為七分則)

　　　　　(每一分得一斗四升二合八勺五撮七/抄有餘其五分即七斗一升四合二勺)

　　　　　(八撮五抄有餘也與一石相減餘二斗/八升五合七勺一撮四抄有餘即七分)

　　　　　(石之二也葢一斗四升二合八勺五撮/七抄有餘為一分則二斗八升五合七)

　　　　　(勺一撮四抄有/餘自為二分也)

凡整數帶零分相減者將兩零分用互乘法變為同

母然後減之

設如有銀八兩零五分兩之四内減五兩零七分兩

　之三求餘數

　　　　　法以八兩之零數五分之四與五兩之

　　　　　零數七分之三用互乘法兩分母七五

　　　　　相乘得三十五為共母數再以五兩之

　　　　　分母七乘八兩之分子四得二十八為

　　　　　八兩所變之子數又以八兩之分母五

　　　　　乘五兩之分子三得十五為五兩所變

　　　　　之子數乃以八兩五兩二整數相減餘

　　　　　三兩以兩子數二十八與十五相減餘

　　　　　十三即得三兩又三十五分兩之十三

　　　　　為餘數也葢既將兩子數變為同母則

　　　　　八兩者為八兩零三十五分兩之二十

　　　　　八五兩者為五兩零三十五分兩之十

　　　　　五分母既同故以子數相減而得餘數

　　　　　此整數帶零分相減之法也(如以真數/明之其八)

　　　　　(兩零五分兩之四即八兩八錢也其五/兩零七分兩之三即五兩四錢二分八)

　　　　　(釐五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢/七分一釐四豪二絲有餘其三兩為整)

　　　　　(數其三錢七分一釐四豪二絲有餘即/三十五分中之十三分也葢將一兩分)

　　　　　(為三十五分則每一分得二分八釐五/豪七絲有餘其十三分即三錢七分一)

　　　　　(釐四豪二/絲有餘也)

凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用

互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即

將其兩分子相減而與所餘之分母不同者用互乘

以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之

分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相

減即得餘數其理與加法同

設如有銅九斤零八分斤之七内減二斤零四分斤

　之一又減八分斤之三求餘數

　　　　　法以九斤内減去二斤餘七斤為整數

　　　　　乃以八分斤之七與四分斤之一用互

　　　　　乘法將八分斤之七變為三十二分斤

　　　　　之二十八將四分斤之一變為三十二

　　　　　分斤之八兩數相減餘三十二分斤之

　　　　　二十又以三十二分斤之二十與第三

　　　　　零數八分斤之三用互乘法將三十二

　　　　　分斤之二十變為二百五十六分斤之

　　　　　一百六十將八分斤之三變為二百五

　　　　　十六分斤之九十六兩數相減餘二百

　　　　　五十六分斤之六十四合前整數共得

　　　　　七斤又二百五十六分斤之六十四為

　　　　　餘數也如用約法則為七斤零四分斤

　　　　　之一葢二百五十六為四倍六十四今

　　　　　以六十四為一分則二百五十六自得

　　　　　四分也其餘幾種零分内有兩分母相

　　　　　同或兩分母乘出之數與餘一分母相

　　　　　同俱照同分母之例減之故不再設或

　　　　　零分有四種五種者亦俱倣此此幾種

　　　　　零分相減之法也(如以真數明之其九/斤零八分斤之七即)

　　　　　(九斤十四兩也内減二斤零四分斤之/一是減去二斤四兩又減去八分斤之)

　　　　　(三是又減去六兩也餘七斤零四兩即/七斤零四分斤之一也葢一斤分為四)

　　　　　(分則每一分得四兩今七斤零四/兩故謂七斤零四分斤之一也)

　　乘法

零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之

數即乘出之分也

設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何

　　　　　法以兩分母三五相乘得十五分為乘

　　　　　出之分母又以兩分子二四相乘得八

　　　　　分為乘出之分子即定為十五分丈之

　　　　　八為所得之數也今以圖明之如甲乙

　　　　　為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙

　　　　　丁正方形將甲丁分為三分甲乙分為

　　　　　五分内共容十五分即共母數乃兩分

　　　　　母三與五乘出之數也其甲丁之三分

　　　　　之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己

　　　　　二數相乘得甲已庚戊長方形内容八

　　　　　分即共子數乃兩分子二與四乘出之

　　　　　數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方

　　　　　相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁

　　　　　正方中之十五分之八矣此零分乘零

　　　　　分之法也(如以真數明之其三分丈之/二即六尺六寸六分六釐有)

　　　　　(餘也其五分丈之四即八尺也相乘得/五十三尺三十三寸三十三分三十三)

　　　　　(釐有餘即十五分丈之八也葢一丈正/方内容百尺分為十五分則每一分得)

　　　　　(六尺六十六寸六十六分六十六釐有/餘今得其八分即五十三尺三十三寸)

　　　　　(三十三分三十/三釐有餘也)

零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即

所得之數也

設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若干

　　　　　法以分子二與七人相乘得十四以分

　　　　　母五歸之得二兩八錢即七人共得之

　　　　　數也葢五分兩之二是一兩分為五分

　　　　　而得其二分也一人得二分則七人必

　　　　　共得十四分既以一兩分為五分今滿

　　　　　五分收為一兩故以五歸十四得二兩

　　　　　八錢為共數此零分與整數相乘之法

　　　　　也

整數帶零分與整數乘者先將整數俱通為零分相

乘得數以分母自乘之數除之即得

設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得

　幾何

　　　　　法以整數二丈用分母四通為八分加

　　　　　入分子一共得九分又以整數八丈用

　　　　　分母四通為三十二分乃與九分相乘

　　　　　得二百八十八分以分母四自乘之一

　　　　　十六除之得一十八即定為一丈正方

　　　　　一十八為所得之數也此法葢以一丈

　　　　　通為四分是四四自乘之數始合一丈

　　　　　自乘之數故一十六者即分母四自乘

　　　　　之數未乘之先既以四通之故相乘之

　　　　　後必以四四自乘之數收之乃得真數

　　　　　此整數帶零分與整數相乘之法也(如/以)

　　　　　(真數明之其二丈又四分丈之一即二/丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八)

　　　　　(丈/也)

整數帶零分與零分乘者先將整數通為零分相乘

得數以分母自乘之數除之即得

設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之

　三相乘問得幾何

　　　　　法以整數二丈用分母五通為十分加

　　　　　入分子四得十四分乃與零分分子三

　　　　　相乘得四十二以分母五自乘之二十

　　　　　五除之得一六八即定為一丈正方一

　　　　　又一尺正方六十八為所得之數也此

　　　　　法葢以一丈通為五分是五五自乘之

　　　　　數始合一丈自乘之數故以二十五除

　　　　　之又二丈之零分五分之四與所乘之

　　　　　零分五分之三為同母故用此法如兩

　　　　　零分分母不同則先將兩零分用互乘

　　　　　法變為同母然後用所變之分母化整

　　　　　為零再與彼一零分相乘得數以所變

　　　　　之分母自乘之數除之即得乘出之數

　　　　　(法見/下節)此整數帶零分與零分相乘之法

　　　　　也(如以真數明之其二丈又五分丈之/四即二丈八尺也其五分丈之三即)

　　　　　(六尺也以六尺與二丈八尺/相乘即得一丈六十八尺也)

整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不

同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各

以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘

之數除之即得(如所帶零分本為/同母者可省互乘)

設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三

　分丈之二求積

　　　　　法以兩分母四三相乘得一十二為共

　　　　　母數以前分母四乘後分子二得八以

　　　　　後分母三乘前分子三得九為兩分子

　　　　　數乃以共母數十二化闊二丈為二十

　　　　　四分加入分子九得三十三分為闊邊

　　　　　所變之分數又以共母數十二化長三

　　　　　丈為三十六分加入分子八得四十四

　　　　　分為長邊所變之分數爰以闊三十三

　　　　　分與長四十四分相乘得一千四百五

　　　　　十二乃以共母數十二自乘之一百四

　　　　　十四除之得一○○八餘四八不盡即

　　　　　定為一丈正方十一尺正方八零一百

　　　　　四十四分尺之四十八約為三分尺之

　　　　　一為所得之數也此整數帶零分與整

　　　　　數帶零分相乘之法也(如以真數明之/其闊二丈又四)

　　　　　(分丈之三即二丈七尺五寸也其長三/丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六)

　　　　　(分六釐有餘也以二丈七尺五寸與三/丈六尺六寸六分六釐有餘相乘即得)

　　　　　(一十丈零八/尺有餘也)

大分下又帶小分相乘者其例有四(所謂大分下帶/小分者是將大)

(分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分/四分之一是將大分五分之三之一分又分為四分)

(而得其/一分也)有大小分母俱同者有大小分母俱不同者

有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小

分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為

母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然

後以所變之兩母數兩子數對乘即得(總以小分母/通之者葢小)

(分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大/大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一)

(體然後可以相乘乘之即所以通之/也設法中以度數明之其理自顯)

設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一

　與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相

　乘問得幾何(此大小分母/俱同者也)

　　　　　法以甲數小分母四通大分母五得二

　　　　　十仍以小分母四通大分子三得一十

　　　　　二再加入小分子一得一十三共得二

　　　　　十分之十三為甲大小分所變之數又

　　　　　以乙數小分母四通大分母五得二十

　　　　　仍以小分母四通大分子四得一十六

　　　　　再加入小分子二得一十八共得二十

　　　　　分之十八為乙大小分所變之數然後

　　　　　以甲所變之分母二十與乙所變之分

　　　　　母二十相乘得四百分為乘出之分母

　　　　　又以甲所變之分子十三與乙所變之

　　　　　分子十八相乘得二百三十四分為乘

　　　　　出之分子即定為四百分丈之二百三

　　　　　十四為所得之數也(此法甲乙之小分/母俱為四故將其)

　　　　　(大分母之每分亦俱化為四分又將大/分子之每分亦俱化為四分使大分與)

　　　　　(小分之子母一體然後乘之今以度數/明之甲之五分丈之三乃一丈内之六)

　　　　　(尺其所帶小分之四分之一乃二尺内/之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五)

　　　　　(分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小/分之四分之二乃二尺内之一尺是乙)

　　　　　(數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得/五十八尺五十寸是一丈正方為一百)

　　　　　(尺而得其五十八尺又小餘五十寸也/若以分母四乘一百尺得四百分又乘)

　　　　　(得數五十八尺五十寸得二百三十四/分故為四百分之二百三十四也若以)

　　　　　(尺隨寸命之則五十八尺五十寸又為/五千八百五十寸以大分每一分通為)

　　　　　(小分四分則每一千寸分為四分每分/得二百五十寸以二百五十寸歸五千)

　　　　　(八百五十寸得二十三寸四十分乃四/十分中之二十三又小零分之四分進)

　　　　　(而命為丈則為四百分/丈之二百三十四也)

設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二

　與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相

　乘問得幾何(此大小分母/俱不同者也)

　　　　　法以甲數小分母七通大分母四得二

　　　　　十八仍以小分母七通大分子三得二

　　　　　十一再加入小分子二得二十三共得

　　　　　二十八分之二十三為甲大小分所變

　　　　　之數又以乙數小分母三通大分母九

　　　　　得二十七仍以小分母三通大分子五

　　　　　得一十五再加入小分子一得一十六

　　　　　共得二十七分之一十六為乙大小分

　　　　　所變之數然後以甲所變之分母二十

　　　　　八與乙所變之分母二十七相乘得七

　　　　　百五十六分為乘出之分母又以甲所

　　　　　變之分子二十三與乙所變之分子一

　　　　　十六相乘得三百六十八分為乘出之

　　　　　分子即定為七百五十六分丈之三百

　　　　　六十八為所得之數也(如以真數明之/甲四分丈之三)

　　　　　(即一丈内之七尺五寸又帶小分七分/之二即二尺五寸内之七寸一分四釐)

　　　　　(二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分/四釐二豪有餘也乙九分丈之五即一)

　　　　　(丈内之五尺五寸五分五釐五豪有餘/又帶小分三分之一即一尺一寸一分)

　　　　　(一釐一豪有餘内之三寸七分零三豪/有餘是乙共為五尺九寸二分五釐九)

　　　　　(豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十/七寸六十五分有餘即七百五十六分)

　　　　　(丈之三百六十八也如以七百五十六/分除三百六十八分亦得四十八尺六)

　　　　　(十七寸六十五分不盡之數葢七百五/十六分為一百尺則三百六十八分自)

　　　　　(得四十八尺六十七/寸六十五分有餘也)

設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一

　與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相

　乘問得幾何(此大分母同而小/分母不同者也)

　　　　　法以甲數小分母四通大分母八得三

　　　　　十二仍以小分母四通大分子三得一

　　　　　十二再加入小分子一得一十三共得

　　　　　三十二分之一十三為甲大小分所變

　　　　　之數又以乙數小分母六通大分母八

　　　　　得四十八仍以小分母六通大分子四

　　　　　得二十四再加入小分子五得二十九

　　　　　共得四十八分之二十九為乙大小分

　　　　　所變之數然後以甲所變之分母三十

　　　　　二與乙所變之分母四十八相乘得一

　　　　　千五百三十六分為乘出之分母又以

　　　　　甲所變之分子十三與乙所變之分子

　　　　　二十九相乘得三百七十七分為乘出

　　　　　之分子即定為一千五百三十六分丈

　　　　　之三百七十七為所得之數也(如以真/數明之)

　　　　　(甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶/此一分之四分之一即三寸一分二釐)

　　　　　(五豪是甲數共為四尺零六分二釐五/豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一)

　　　　　(分之六分之五即一尺零四分一釐六/豪有餘是乙數共為六尺零四分一釐)

　　　　　(六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五/十四寸四十二分有餘即一千五百三)

　　　　　(十六分丈之三百七十七也如以一千/五百三十六分除三百七十七分亦得)

　　　　　(二十四尺五十四寸四十二分不盡之/數葢一千五百三十六分為一百尺則)

　　　　　(三百七十七分自得二十四尺/五十四寸四十二分有餘也)

設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一

　與乙數九分丈之七又帶此一分之五分之二相

　乘問得幾何(此大分母不同而/小分母同者也)

　　　　　法以甲數小分母五通大分母六得三

　　　　　十仍以小分母五通大分子四得二十

　　　　　再加入小分子一得二十一共得三十

　　　　　分丈之二十一為甲大小分所變之數

　　　　　又以乙數小分母五通大分母九得四

　　　　　十五仍以小分母五通大分子七得三

　　　　　十五再加入小分子二得三十七共得

　　　　　四十五分之三十七為乙大小分所變

　　　　　之數然後以甲所變之分母三十與乙

　　　　　所變之分母四十五相乘得一千三百

　　　　　五十分為乘出之分母又以甲所變之

　　　　　分子二十一與乙所變之分子三十七

　　　　　相乘得七百七十七分為乘出之分子

　　　　　即定為一千三百五十分之七百七十

　　　　　七為所得之數也(如以真數明之甲六/分丈之四即六尺六)

　　　　　(寸六分六釐六豪有餘又帶此一分之/五分之一即三寸三分三釐三豪有餘)

　　　　　(是甲數共為六尺九寸九分九釐九豪/有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七)

　　　　　(分七釐七豪有餘又帶此一分之五分/之二即四寸四分四釐四豪有餘是乙)

　　　　　(數共為八尺二寸二分二釐二豪有餘/也兩數相乘得五十七尺五十五寸五)

　　　　　(十五分有餘即一千三百五十分丈之/七百七十七也如以一千三百五十分)

　　　　　(除七百七十七分亦得五十七尺五十/五寸五十五分不盡之數葢一千三百)

　　　　　(五十分為一百尺則七百七十七分自/得五十七尺五十五寸五十五分有餘)

　　　　　(也/)

　　除法

零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之

數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之

即得分數其比例與除出之法同

設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何

　　　　　法以九分丈之二為實三分丈之一為

　　　　　法以法分母三除實分母九得三為除

　　　　　出之分母又以法分子一除實分子二

　　　　　仍得二為除出之分子即定為三分丈

　　　　　之二為所得之數也此法即乘法内兩

　　　　　分母兩分子各相乘為所得之數者轉

　　　　　用之耳此零分除零分之法也

　　　　　又法以互乘代除以實分母九乘法分

　　　　　子一得九為除出之分母又以法分母

　　　　　三乘實分子二得六為除出之分子共

　　　　　得九分丈之六即所求之數也此法與

　　　　　前法所得之分母分子之數雖不同而

　　　　　理則一前法之三分之二與此法之九

　　　　　分之六其比例實同葢前法以法除實

　　　　　其得數為減分之比例此法以兩數互

　　　　　乘其得數為加分之比例故九分之六

　　　　　即三分之二也但法中不用兩分母相

　　　　　乘之數省去一層耳如欲明晰其故則

　　　　　以兩分母九與三相乘得二十七法分

　　　　　母三與實分子二相乘得六實分母九

　　　　　與法分子一相乘得九是將三分之一

　　　　　變為二十七分之九將九分之二變為

　　　　　二十七分之六其兩分母既等則其兩

　　　　　分子自成比例故九與六之比即同於

　　　　　三與二之比九分之六以三約之非三

　　　　　分之二耶(如以真數明之實九分丈之/二為面積即二十二尺二十)

　　　　　(二寸二十二分二十二釐有餘也法三/分丈之一為邊線即三尺三寸三分三)

　　　　　(釐有餘也除之得六尺六寸六分六釐/有餘即三分丈之二也如以三分除二)

　　　　　(分亦得六尺六寸六分六釐不盡之數/葢三分為一丈其二分自得六尺六寸)

　　　　　(六分六釐/有餘也)

整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求

之數

設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何

　　　　　法以分子三為實以分母五通整數八

　　　　　丈得四十為法除之得七寸五分即所

　　　　　求之數也此法以五分乘八丈者是分

　　　　　母通整數將每丈俱通為五分也八丈

　　　　　既通為四十分則五分之三之每一分

　　　　　即與四十分中之每一分同等然而零

　　　　　數三分以四十分除之而得七寸五分

　　　　　者則又為變分為尺寸之比例矣四十

　　　　　分與一丈之比即同於三分與七寸五

　　　　　分之比此整數除零分之法也

零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得

所求之數

設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何

　　　　　法以分母三通整數六丈得一十八為

　　　　　實以分子二為法除之得九丈即所求

　　　　　之數也此法以三分乘六丈者是將每

　　　　　丈俱通為三分也六丈既通為十八分

　　　　　則十八分中之每一分與三分之二之

　　　　　每一分同等故以分子二除十八得九

　　　　　丈此零分除整數之法也

整數帶零分歸除整數者先將法實之兩整數俱通

為零分而於法中加入分子除之即得

設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得

　幾何

　　　　　法以分母三通二十四丈得七十二為

　　　　　實又以分母三通二丈得六加入分子

　　　　　二得八為法除之得九丈即所求之數

　　　　　也此法以分母三通實二十四丈是將

　　　　　實之每丈俱化為三分也又以分母三

　　　　　通法二丈是將法之每丈亦俱化為三

　　　　　分也兩整數俱化為同等則法實一體

　　　　　故法除實而得所求之數也此整數帶

　　　　　零分除整數之法也

整數歸除整數帶零分者先將法實之兩整數俱通

為零分而於實中加入分子以法除之即得

設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得

　幾何(即以前法數目作/題者取其易明也)

　　　　　法以分母三通二丈得六加入分子二

　　　　　得八為實又以分母三通二十四丈得

　　　　　七十二為法除之得一尺一寸一分不

　　　　　盡約為九分丈之一即所求之數也此

　　　　　法以分母三通法實之兩整數者是將

　　　　　兩整數之每丈俱通為三分也一得七

　　　　　十二分一得八分以七十二與八之比

　　　　　即同於九與一之比故約為九分之一

　　　　　且以七十二除八得一一一不盡之數

　　　　　定為一尺一寸一分有餘者葢七十二

　　　　　分與一丈之比即同於八分與一尺一

　　　　　寸一分有餘之比也此整數除整數帶

　　　　　零分之法也

整數帶零分歸除零分者先將整數通為零分加入

分子除之即得

設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求

　得幾何

　　　　　法以五分丈之四為實以法之分母八

　　　　　通三丈得二十四加入分子一得二十

　　　　　五共得八分丈之二十五為法用兩分

　　　　　母兩分子各自歸除之法以法分母八

　　　　　除實分母五得六二五為除出之分母

　　　　　以法分子二五除實分子四得一六○

　　　　　為除出之分子乃以所得之分母除所

　　　　　得之分子得二尺五寸六分即所求之

　　　　　數也葢法之三丈又八分丈之一乃三

　　　　　丈一尺二寸五分也實之五分丈之四

　　　　　乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除

　　　　　八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一

　　　　　尺二寸五分與一丈之比即同於八尺

　　　　　與二尺五寸六分之比也今以分母六

　　　　　二五除分子一六○亦得二尺五寸六

　　　　　分是六二五與一丈之比即同於一六

　　　　　○與二尺五寸六分之比也然六二五

　　　　　與三丈一尺二寸五分之比又即同於

　　　　　一六○與八尺之比而皆為加倍之比

　　　　　例也此整數帶零分除零分之法也又

　　　　　或整數通為零分加入分子之後以法

　　　　　除實而數有竒零不盡者則用互乘代

　　　　　除之法如前數已將整數通為八分丈

　　　　　之二十五為法乃以實分母五乘法分

　　　　　子二十五得一百二十五為除出之分

　　　　　母又以法分母八乘實分子四得三十

　　　　　二為除出之分子乃以所得之分母除

　　　　　所得之分子亦得二尺五寸六分葢一

　　　　　百二十五分與一丈之比即同於三十

　　　　　二分與二尺五寸六分之比也後法之

　　　　　有竒零數而用互乘代除者皆同此例

零分歸除整數帶零分者先將整數通為零分加入

分子以法除之即得

設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求

　得幾何

　　　　　法以實之分母三通四丈得十二加入

　　　　　分子二得十四共得三分丈之十四為

　　　　　實以七分丈之四為法用互乘代除之

　　　　　法以實分母三乘法分子四得十二為

　　　　　除出之分母以法分母七乘實分子一

　　　　　十四得九十八為除出之分子乃以所

　　　　　得之分母除所得之分子得八尺仍餘

　　　　　二不盡命為十二分尺之二以法約之

　　　　　為六分尺之一共得八尺零六分尺之

　　　　　一即所求之數也葢十二與一尺之比

　　　　　即同於九十八與八尺有餘之比也此

　　　　　零分除整數帶零分之法也

整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為

零分加入分子而以法除實即得

設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十

　七分兩之一求每畝得租銀幾何

　　　　　法以銀分母二十七通五兩得一百三

　　　　　十五加入分子一得一百三十六共得

　　　　　二十七分兩之一百三十六為實又以

　　　　　田分母三通五畝得十五加入分子二

　　　　　得十七共得三分畝之十七為法用互

　　　　　乘代除之法以銀分母二十七乘田分

　　　　　子一十七得四百五十九為除出之分

　　　　　母以田分母三乘銀分子一百三十六

　　　　　得四百零八為除出之分子乃以所得

　　　　　之分母除所得之分子得八錢八分八

　　　　　釐零四百五十九分釐之四百零八即

　　　　　每畝所租之銀數也葢四五九與一兩

　　　　　之比即同於四○八與八錢八分八釐

　　　　　有餘之比也此整數帶零分除整數帶

　　　　　零分之法也

大零分下又帶小零分相除者其例有四(有大小分/母俱同者)

(有大小分母俱不同者有大分母同而小分/母不同者有大分母不同而小分母同者)今以一

法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母

通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母

數用互乘代除之法歸之即得(如用子母各自對除/亦得但恐數有竒零)

(故用/此法)

設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以

　乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求

　　　　　法以甲小分母五通大分母八得四十

　　　　　仍以小分母五通大分子七得三十五

　　　　　再加入小分子三得三十八共得四十

　　　　　分丈之三十八為甲大小分所變之數

　　　　　以之為實又以乙小分母四通大分母

　　　　　五得二十仍以小分母四通大分子二

　　　　　得八再加入小分子一得九共得二十

　　　　　分丈之九為乙大小分所變之數以之

　　　　　　為法然後用互乘代除之法以甲所變

　　　　　　之分母四十乘乙所變之分子九得三

　　　　　　百六十為除出之分母又以乙所變之

　　　　　　分母二十乘甲所變之分子三十八得

　　　　　　七百六十為除出之分子乃以所得之

　　　　　　分母三百六十除所得之分子七百六

　　　　　　十得二尺一寸一分一釐零三百六十

　　　　　　分釐之四十約為九分釐之一即所求

　　　　　　之數也葢三六○與一尺之比即同於

　　　　　　七六○與二尺一寸一分一釐有餘之

　　　　　　比也此大零分下帶小零分相除之法

　　　　　　也(其分母分子俱同及分母同而分子/不同分母不同而分子同者皆用此)

　　　　　　(例故不/重設)

御製數理精蘊下編卷二