御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精藴下編卷一

　　首部一

　　　度量權衡

　　　命位

　　　加法

　　　減法

　　　因乘

　　　歸除

　　度量權衡

虞書同律度量衡葢度量衡皆本於律而律為萬事

之本也漢志曰度者分寸尺丈引所以度長短也本

起於黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九

十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺

為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以

量多少也本起於黄鐘之龠以子榖秬黍中者千二

百實其龠合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛

而五量嘉矣權者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起

於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩

十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣通

考曰律度量衡並因秬黍散為諸法其率可通外此

則代不一名度之異名者如左傳注方丈曰堵三堵

曰雉(長三丈/高一丈)易緯通卦驗十馬尾為一分孫子算術

曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為豪十豪為釐十

釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈小爾雅曰跬

一舉足也倍跬謂之步四尺謂之仞倍仞謂之㝷倍

㝷謂之常五尺謂之墨倍墨謂之丈倍丈謂之端倍

端謂之兩倍兩謂之疋疋百謂之束孔安國又以八

尺為仞説文曰人手却十分動脉為寸口十寸為尺

周制寸咫尺㝷常仞皆以人體為法又曰婦人手八

寸謂之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸為尺

十尺為丈人長八尺故曰丈夫量之異名者如左傳

齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴

(六斗/四升)鬴十則鍾(六十/四斗)論語注十六斗曰庾十六斛曰

秉孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮

為勺十勺為合漢應劭又以四圭為撮孟康以六十

四黍為圭小爾雅一手之盛謂之溢兩手謂之掬掬

四謂之豆豆四謂之區區四謂之釡釜二有半謂之

藪藪二有半謂之缶缶二謂之鍾鍾二謂之秉秉十

六斛衡之異名者如漢志注應劭曰十黍為纍十纍

為銖小爾雅二十四銖曰兩兩有半曰㨗倍㨗曰舉

倍舉曰鋝鋝謂之鍰二鍰四兩謂之斤斤十謂之衡

衡有半謂之秤秤二謂之鈞鈞四謂之石石四謂之

鼔通考唐劉承珪以忽萬為分絲則千豪則百釐則

十轉以十倍倍之則為一錢黍以二千四百枚為一

兩纍以二百四十銖以二十四是則度量衡之名不

一故其為制不同而紛雜難用然時易世殊古今沿

革有必不可比而同者故入算之際不過取其大同

者以審不齊之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定

於兩大之而遞進扵無窮小之而遞析於不可測爰

悉其名目扵左以為數學之所資焉

度法丈以下曰尺(十/寸)寸(十/分)分(十/釐)釐(十/豪)豪(十/絲)絲(十/忽)忽(十/微)

微(十/纖)纖(十/沙)沙(十/塵)塵(十/埃)埃(十/渺)𣺌(十/漠)漠(以下皆/以十析)糢糊逡巡

須臾瞬息彈指刹那六徳虚空清浄

量法石以下曰斗(十/升)升(十/合)合(十/勺)勺(十/撮)撮(十/抄)抄(十/圭)圭(六/粟)

粟

衡法兩以下曰錢(十/分)分(十/釐)釐(十/豪)豪(十/絲)絲(十/忽)忽以下並

與度法同

凡度量衡自單位以上則曰十百千萬億兆京垓秭

穰溝澗正載極恒河沙阿僧秪那由他不可思議無

量數

　自億以上有以十進者如十萬曰億十億曰兆之

　類有以萬進者如萬萬曰億萬億曰兆之類有以

　自乘之數進者如萬萬曰億億億曰兆之類今立

　法從中數

厯法則曰宮(三十/度)度(六十/分)分(六十/秒)秒(六十/微)微(六十/纖)纖

(六十/忽)忽(六十/芒)芒(六十/塵)塵

又有日(十二時又為/二十四小時)時(八刻又以小/時為四刻)刻(十五/分)分以下

與前同

田法則曰頃(百/畝)畝(積二百/四十步)分(積二十/四步)

里法則三百六十步計一百八十丈為一里古稱在

天一度在地二百五十里今尺驗之在天一度在地

二百里葢古尺得今尺之十分之八實縁縱黍横黍

之分也

石法二千五百寸(按漢志曰斛重二鈞又曰四鈞為/石是二斛為一石也古尺斛積一)

　(千六百二十寸為今尺之八百六十寸有竒倍之/得古尺石積三千二百四十寸為今尺之一千七)

　(百二十寸有竒以權法凖之石重一百二十斤求/其積古尺應得三千一百一十寸為今尺之一千)

　(六百五十寸有竒今之權法又加古一倍則今尺/石積應得三千三百寸有竒今現行斛積為一千)

　(五百八十寸石積為三千一百六十寸舊算書所/載數各不同而多以二千五百寸為率摠之古今)

　(尺度不同古今量法亦不一須先求其斗斛之積/數然後用其積數以比例之方得密合今設例從)

　(舊/數)

　　命位

凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸

分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈

則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺

則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗

升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而

石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而

斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則

錢分釐豪皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零

而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零

而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一

位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數

一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共

有五位即知此數首位是萬矣至扵厯法宮度分秒

日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮

度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十

而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例

一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每

一等有十單之别焉此又命位之最要者也

　　　　　凡數未至單位者必須作○以存其位

　　　　　如有數一萬二千三百四十丈則補作

　　　　　○以存單位如上式　又如有數一萬

　　　　　二千丈則補作○○○以存百十單之

　　　　　位如下式

　　　　　凡數單位後有竒零者必作㸃於單位

　　　　　上以誌之如有金三百四十五兩六錢

　　　　　七分命兩為單位則於五上作㸃誌之

　　　　　如上式　又如有米六石五斗四升三

　　　　　合命石為單位則於六上作㸃誌之如

　　　　　下式

　　　　　凡列衆數幾多位中有空者必作○以

　　　　　存其位如有數二萬零四百五十六此

　　　　　中千位無數故必作○於萬後百前以

　　　　　存其位如上式　又如有數一萬零三

　　　　　十四此中千位百位俱無數故補作兩

　　　　　○於萬後十前以存其位如下式

　　　　　凡宮度分秒皆兩位列之如有一十一

　　　　　宮二十度三十二分四十五秒列位如

　　　　　上式　又如日時刻分列位日時分則

　　　　　兩位刻止一位列之如二十一日一十

　　　　　八時三刻零二分列位如下式

　　加減乘除

算法以加減乘除為入門然究其終雖至扵千變萬

化總不出乎此但用法不同耳或應取其相和之數

則用加或應取其相較之數則用減或應聚而總其

積則用乘或應散而取其分則用除又有先加而後

減者或先減而後加者有先乘而後除者或先除而

後乘者又有加減與乘除先後互用者古稱九章命

算自方田以至勾股數有繁簡理有顯晦法有淺深

算有難易然何一不從加減乘除而得故淺言之則

算法之入門究言之實算法之全體也

　　加法

加者合衆數而成總也葢數始扵一終於九至十又

復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名

之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一

至九之數合前後之位言之有單十百千萬之等先

自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本

位下挨次併之即得總數若夫宮度時刻斤兩之類

則不以十進必足其所命之分始進一位(如宮度足/六十分進)

(一度足三十度進一宫如時刻足十五分進一刻足/四刻進一時足二十四時進一日如斤兩足十六兩)

(進一斤/之類)至於定位則以原數列扵上加數列扵下或

大數列於上小數列於下按法依次對位列之加畢

所得之數依原列之位定之

設如有數一萬二千三百四十五與六千七百八十

　九相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下按

　　　　　位相對加之(如九與五相對單從單八/與四相對十從十百千萬)

　　　　　(數俱各/從其類)單位之五九相加得十四進十

　　　　　於前位為一誌之(作一㸃於前位為誌/如進二十則作二㸃)

　　　　　(如進三十/則作三㸃)本位紀四(書於横/格下)次十位之

　　　　　四八相加得十二併所進之一為十三

　　　　　復進十於前位為一誌之本位紀三次

　　　　　百位之三七相加得十併所進之一為

　　　　　十一復進十於前位為一誌之本位紀

　　　　　一次千位之二六相加得八併所進之

　　　　　一為九於是本位紀九至於萬位獨有

　　　　　原數無可加則仍紀一所加之數共得

　　　　　一萬九千一百三十四即總數也

設如有數一萬四千五百四十五與一萬七千三百

　五十相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下加

　　　　　數内單位無數故作○以存其位仍按

　　　　　位相對加之單位之五對○無可加仍

　　　　　紀五次十位之四五相加得九本位紀

　　　　　九次百位之五三相加得八本位紀八

　　　　　次千位之四七相加得十一進十於前

　　　　　位為一誌之本位紀一次萬位之一與

　　　　　一相加得二併所進之一為三於是本

　　　　　位紀三所加之數共得三萬一千八百

　　　　　九十五即總數也

設如有二十三丈零五寸六分與二丈八尺六寸二

　分相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下原

　　　　　數内尺位無數故作○以存其位仍按

　　　　　位相對加之分位之六二相加得八本

　　　　　位紀八次寸位之五六相加得十一進

　　　　　十於前位為一誌之本位紀一次尺位

　　　　　之八對○無可加乃併所進之一為九

　　　　　本位紀九次丈位之三二相加得五本

　　　　　位紀五至扵十位獨有原數無可加則

　　　　　仍紀二所加之數共得二十五丈九尺

　　　　　一寸八分即總數也

設如有糧四萬五千零三十一石與三千零九十石

　相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下原

　　　　　數内百位無數加數内百位單位俱無

　　　　　數故各作○以存其位仍按位相對加

　　　　　之石位之一對○無可加仍紀一次十

　　　　　位之三九相加得十二進十於前位為

　　　　　一誌之本位紀二次百位○與○無可

　　　　　加則以所進之一為本位數故下紀一

　　　　　次千位之五三相加得八本位紀八至

　　　　　於萬位獨有原數無可加則仍紀四所

　　　　　加之數共得四萬八千一百二十一石

　　　　　即總數也

設如有銀八兩六錢五分四釐與四兩零六分二釐

　相加

　　　　　法以原數横列扵上加數横列扵下加

　　　　　數内錢位無數故作○以存其位仍按

　　　　　位相對加之釐位之四二相加得六本

　　　　　位紀六次分位之五六相加得十一進

　　　　　十於前位為一誌之本位紀一次錢位

　　　　　之六對○無可加乃併所進之一為七

　　　　　本位紀七次兩位之八四相加得十二

　　　　　進十於前位為一誌之本位紀二至扵

　　　　　十位無數則紀所進之一為一所加之

　　　　　數共得十二兩七錢一分六釐即總數

　　　　　也

設如有田三區一區五百九十二畝三分一區八百

　五十五畝九分一區七百八十二畝五分相加

　　　　　法以田三區按位横列相對加之分位

　　　　　之三九五相加得十七進十於前位為

　　　　　一誌之本位紀七次畝位之二五二相

　　　　　加得九併所進之一為十進十於前位

　　　　　為一誌之本位紀○次十位之九五八

　　　　　相加得二十二併所進之一為二十三

　　　　　進二十於前位為二誌之本位紀三次

　　　　　百位之五八七相加得二十併所進之

　　　　　二為二十二進二十於前位為二誌之

　　　　　本位紀二至扵千位無數則紀所進之

　　　　　二為二所加之數共得二千二百三十

　　　　　畝零七分即總數也

設如有銀九宗一宗八千八百五十二兩一宗三千

　二百一十一兩一宗五百二十兩一宗九百三十

　八兩一宗二千五百九十兩一宗一千二百一十

　五兩一宗二千五百一十八兩一宗五千三百六

　十六兩一宗四千三百七十二兩相加

　　　　　法因九宗數繁難加故分為三次三次

　　　　　復併為一次則得共數其八千八百五

　　　　　十二兩三千二百一十一兩五百二十

　　　　　兩相併則得一萬二千五百八十三兩

　　　　　其九百三十八兩二千五百九十兩一

　　　　　千二百一十五兩相併則得四千七百

　　　　　四十三兩其二千五百一十八兩五千

　　　　　三百六十六兩四千三百七十二兩相

　　　　　併則得一萬二千二百五十六兩既得

　　　　　三總數又將三數併之得二萬九千五

　　　　　百八十二兩即九宗共數也

設如九宮二十度三十分二十六秒與六宫一十八

　度二十分五十秒相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下其

　　　　　每項各命兩位仍按各位相對加之秒

　　　　　之單位六對○無可加仍紀六秒之十

　　　　　位二五相加得七十乃以六十秒進一

　　　　　分誌於分之本位秒之十位紀一次分

　　　　　之單位○與○無可加則以所進之一

　　　　　為本位數故下紀一次分之十位三二

　　　　　相加得五故下紀五次度之單位八對

　　　　　○無可加仍紀八次度之十位二一相

　　　　　加得三十乃以三十度進一宮誌於宮

　　　　　之本位度之十位紀○次宮之本位九

　　　　　六相加得十五併所進之一為十六因

　　　　　十二宮滿一周天故逢十二去之餘四

　　　　　故下紀四所加之數共得四宫八度五

　　　　　十一分一十六秒即總數也

設如一日一十五時二刻八分與一日一十二時三

　刻九分相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下日

　　　　　時分則合兩位共加刻則仍命以單位

　　　　　葢以四刻進一小時故也分位之八與

　　　　　九相加得十七十五分進一刻故於刻

　　　　　之本位下誌一餘二故單位下紀二十

　　　　　位下紀○次刻位之二與三相加得五

　　　　　併所進之一為六四刻進一時故於時

　　　　　之本位下誌一餘二故本位紀二次時

　　　　　之單位五二相加得七併所進之一得

　　　　　八時之十位一與一相加得二共為二

　　　　　十八二十四時進一日故於日之本位

　　　　　下誌一餘四故時之單位下紀四十位

　　　　　下紀○次日之單位一與一相加得二

　　　　　併所進之一為三故下紀三所加之數

　　　　　共得三日四時二刻二分即總數也

設如有物重三十四斤十五兩五錢與二十一斤十

　四兩三錢相加

　　　　　法以原數横列於上加數横列於下其

　　　　　錢位斤位與斤之十位仍皆按位相對

　　　　　加之兩位與兩之十位則合其數共加

　　　　　之(兩以十六方進一斤故合而加之如/列數有兩數無十數者仍作○以存)

　　　　　(十兩/之位)錢位之五三相加得八本位紀八

　　　　　兩位之原數十五加數十四相加共得

　　　　　二十九則進十六兩於前斤位為一誌

　　　　　之其所餘十三兩則於兩位紀三十位

　　　　　紀一次斤位之四一相加得五併所進

　　　　　之一為六本位紀六次十位之三二相

　　　　　加得五本位紀五所加之數共得五十

　　　　　六斤十三兩八錢即總數也

　　減法

減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有

之數書於上應減之數書於下横列必對其位相減

必從其類(如千減千百/減百之類)如或下數大於上數不足減

則借前位之一以減本位(加法由後而進前減法則/借前而退後其理一也詳)

(見設/如中)前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之

一併於前數而為減數然兩數相減必先辨其多寡

首位必大於減數始可其定位亦照原列之次為減

餘位

設如有數五萬六千七百八十九内減四萬三千六

　百四十二

　　　　　法自單位減起單位之九減二餘七故

　　　　　下紀七十位之八減四餘四故下紀四

　　　　　百位之七減六餘一故下紀一千位之

　　　　　六減三餘三故下紀三萬位之五減四

　　　　　餘一故下紀一所減之數得一萬三千

　　　　　一百四十七即餘數也

設如有數二萬三千六百七十二内減一萬六千四

　百八十一

　　　　　法自單位減起單位之二減一餘一故

　　　　　下紀一十位之七減八為下大於上則

　　　　　借前位之一(前位下作/一㸃為誌)作本位之十共

　　　　　十七減八餘九故下紀九百位之六減

　　　　　四併十位所借之一則為六減五餘一

　　　　　故下紀一千位之三減六為下大於上

　　　　　則借前位之一(前位亦作/一㸃為誌)作本位之十

　　　　　共十三減六餘七故下紀七萬位之二

　　　　　減一併千位所借之一則為二減二恰

　　　　　盡故下紀○所減之數得七千一百九

　　　　　十一即餘數也

設如有六丈七尺八寸九分一釐内減三丈四尺五

　寸九分九釐

　　　　　法自釐位減起釐位之一減九為下大

　　　　　於上則借前位之一(前位下作/一㸃為誌)作本位

　　　　　之十共十一減九餘二故下紀二分位

　　　　　之九減九併釐位所借之一則為九減

　　　　　十亦為下大於上故復借前位之一(前/位)

　　　　　(下作一/㸃為誌)作本位之十共十九減十餘九

　　　　　故下紀九寸位之八減五併所借之一

　　　　　則為八減六餘二故下紀二尺位之七

　　　　　減四餘三故下紀三丈位之六減三餘

　　　　　三故下紀三所減之數得三丈三尺二

　　　　　寸九分二釐即餘數也

設如有米六十五石四斗三升二合内減四十六石

　二斗七升三合

　　　　　法自合位減起合位之二減三為下大

　　　　　於上則借前位之一(前位下作/一㸃為誌)作本位

　　　　　之十共十二減三餘九故下紀九升位

　　　　　之三減七併合位所借之一則為三減

　　　　　八為下大於上則借前位之一(前位下/作一㸃)

　　　　　(為/誌)作本位之十共十三減八餘五故下

　　　　　紀五斗位之四減二併升位所借之一

　　　　　則為四減三餘一故下紀一石位之五

　　　　　減六為下大於上則借前位之一(前位/下作)

　　　　　(一㸃/為誌)作本位之十共十五減六餘九故

　　　　　下紀九十位之六減四併所借之一則

　　　　　為六減五餘一故下紀一所減之數得

　　　　　十九石一斗五升九合即餘數也

設如有銀十五兩三錢六分七釐内減九兩二錢三

　分四釐

　　　　　法自釐位減起釐位之七減四餘三故

　　　　　下紀三分位之六減三餘三故下紀三

　　　　　錢位之三減二餘一故下紀一兩位之

　　　　　五減九為下大於上則借前位之一(前/位)

　　　　　(下作一/㸃為誌)作本位之十共十五減九餘六

　　　　　故下紀六十位之一減兩位所借之一

　　　　　恰盡故下紀○所減之數得六兩一錢

　　　　　三分三釐即餘數也

設如七宮一十八度二十七分五十二秒内減九宮

　二十一度三十五分四十三秒

　　　　　法自秒位減起秒之單位二減三為下

　　　　　大於上則借前位之一(前位下作/一㸃為誌)作本

　　　　　位之十共十二減三餘九故下紀九秒

　　　　　之十位五減四併所借之一則為五減

　　　　　五恰盡故下紀○分之單位七減五餘

　　　　　二故下紀二分之十位二減三為下大

　　　　　於上則借度位之一為六十分(度位下/作一㸃)

　　　　　(為/誌)六十分與原二十分共為八十分内

　　　　　減三十分餘五十分故下紀五度之單

　　　　　位八減一併所借之一則為八減二餘

　　　　　六故下紀六度之十位一減二為下大

　　　　　於上則借宮位之一為三十度(宮位下/作一㸃)

　　　　　(為/誌)三十度與原十度共為四十度内減

　　　　　二十度餘二十度故下紀二宮之單位

　　　　　七減九併所借之一則為七減十為下

　　　　　大於上則外借一周天為十二宮十二

　　　　　宮與原七宮共為十九宮内減十宮餘

　　　　　九宮故下紀九所減之數得九宮二十

　　　　　六度五十二分九秒即餘數也

設如一十二日二十二時三刻零九分内減一十一

　日二十三時三刻十分

　　　　　法自分位減起日位刻位俱各按單位

　　　　　相減其分位時位則合兩位減之分位

　　　　　之九減十為下大扵上則借刻位之一

　　　　　為十五分(刻之本位下/作一㸃為誌)十五分與原九

　　　　　分共為二十四分内減十分餘十四分

　　　　　故分之單位紀四分之十位紀一刻之

　　　　　本位三減三併所借之一則為三減四

　　　　　為下大扵上則借時位之一為四刻(時/之)

　　　　　(單位下作/一㸃為誌)四刻與原三刻共為七刻内

　　　　　減四刻餘三刻故本位下紀三時位之

　　　　　二十二減二十三併所借之一則為二

　　　　　十二減二十四為下大扵上則借日位

　　　　　之一為二十四時(日之本位下/作一㸃為誌)二十四

　　　　　時與原二十二時共為四十六時内減

　　　　　二十四時餘二十二時故時之單位下

　　　　　紀二時之十位下亦紀二日位之二減

　　　　　一併所借之一則為二減二恰盡故下

　　　　　紀○日之十位之一減一恰盡故亦紀

　　　　　○所減之數得二十二時三刻一十四

　　　　　分即餘數也

設如有物十五斤零四兩八錢内減十二斤十二兩

　三錢

　　　　　法自錢位減起錢位之八減三餘五故

　　　　　下紀五兩位之四減二似非下大扵上

　　　　　然原數兩之十位為○(十六兩為一斤/故作○於斤後)

　　　　　(兩前以存/十兩之位)而減數兩之十位為一則為

　　　　　四兩減十二兩亦為下大扵上故借斤

　　　　　位之一為十六兩(斤位下作/一㸃為誌)十六兩與

　　　　　原四兩共為二十兩内減十二兩餘八

　　　　　兩故兩之單位紀八十位紀○斤位之

　　　　　五減二併所借之一則為五減三餘二

　　　　　故下紀二十位之一減一恰盡故下紀

　　　　　○所減之數得二斤零八兩五錢即餘

　　　　　數也

　　因乘

因乘者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有

幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則

必至於煩而無統此因乘之所以立也因者一位相

因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多

位相乘而得如兩位以上則各以每位所因之數而

又層累以積之也其法以原數為實乘數為法實列

於上法列扵下必使法實相當(如千對千百對百十/對十單對單之類)

按法乘實合而加之為所得數定位之法視其法實

所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命

之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乘者

法實之一位統得數之二位(如單位後竒零有一位/則截得數之二位竒零)

(有二位則截得數之四/位向前為單位計之)法實相乘再以法乘者(即自/乘再)

(乘/也)法實之一位統得數之三位(如單位後竒零有一/位則截得數之三位)

(竒零有二位則截得數之/六位向前為單位計之)是故得數以一位論者則

為單十百千之類以兩位論者則為自乘之類以三

位論者則為自乘再乘之類錯綜交互用法不一必

須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左

設如有三人每人賞縀二疋問共得幾疋

　　　　　法以三人為實列於上二疋為法列扵

　　　　　下以二因三得六即書於本位下定位

　　　　　以實之三人即是單位而法又止一位

　　　　　為疋今得數之六與實之單位相對故

　　　　　知六是疋位得共數為六疋也

設如有八人每人賞米六石問共得幾石

　　　　　法以八人為實列扵上六石為法列扵

　　　　　下以六因八得四十八將四書於前位

　　　　　下(前位為十位故/十數紀前位下)八書於本位下(本位/為單)

　　　　　(位故單數/紀本位下)定位以實之八人即是單位

　　　　　而法亦止一位為石今得數之八與實

　　　　　之單位相對即知八是石位而四在石

　　　　　之前一位故知四是十位得共數為四

　　　　　十八石也

設如有一十二人每人賞銀五兩問共得幾兩

　　　　　法以一十二人為實列於上五兩為法

　　　　　列扵下命兩位與人之單位相齊先以

　　　　　五乘二得一十將十進前一位作一㸃

　　　　　誌之紀○於本位下(此數無單/故下紀○)次以五

　　　　　乘一仍得五併所進之一為六故書六

　　　　　於本位下(一雖為十位而以五乘/一則一下為本位矣)共得

　　　　　六○定位因實之單位對法之兩位而

　　　　　得數之○與實之單位相對故知○為

　　　　　兩位而六為十位得共數為六十兩也

設如有二十四人每人賞銀三兩六錢問共得幾兩

　　　　　法以二十四人為實列於上三兩六錢

　　　　　為法列於下命錢位與人之單位相齊

　　　　　乃以法之六遍乘實之二四其所得之

　　　　　單位數即對本法位下書之六乘四得

　　　　　二十四將二十進前一位作二㸃誌之

　　　　　四書於本位下次以六乘二得一十二

　　　　　将十進前一位為一書之二併所進之

　　　　　二為四故書四於本位下(二雖為十位/而以六乘二)

　　　　　(則二下即/為本位矣)法之六既與實乘畢次以法

　　　　　之三遍乘實之二四其所得之單位數

　　　　　即對本法位下書之三乘四得一十二

　　　　　將十進前一位作一㸃誌之二書於本

　　　　　位下次以三乘二得六併所進之一為

　　　　　七故書七於本位下法之三又與實乘

　　　　　畢乃用加法併之共得八六四總書扵

　　　　　下定位以實尾之四係四人為單位而

　　　　　法尾為錢今得數末位之四與實之單

　　　　　位相對即知四是錢位二位為兩三位

　　　　　為十兩得共數為八十六兩四錢也

設如有田三百六十畝每畝納糧三升五合問共得

　若干

　　　　　法以三百六十畝為實列扵上三升五

　　　　　合為法列於下實之單位無數則補○

　　　　　以存其位命合位與畝之單位相齊乃

　　　　　以法之五遍乘實之三六○其所得之

　　　　　單位數即對本法位下書之五乘○仍

　　　　　為○故下紀○五乘六得三十將三十

　　　　　進前一位作三㸃誌之本位紀○五乘

　　　　　三得一十五將十進前一位為一書之

　　　　　五併所進之三為八故書八於本位下

　　　　　又以法之三遍乘實之三六○其所得

　　　　　之單位數即對本法位下書之三乘○

　　　　　仍為○故下紀○三乘六得一十八將

　　　　　十進前一位作一㸃誌之八書於本位

　　　　　下三乘三得九併所進之一為十故進

　　　　　前一位為一書之本位紀○乘畢用加

　　　　　法併之共得一二六○○總書於下定

　　　　　位以實尾之○係單位法尾是合今得

　　　　　數末位之○與實之單位相對即知末

　　　　　位之○是合前一位是升向前數至首

　　　　　位得十石因知共數為一十二石六斗

　　　　　也

設如有田三頃五十畝每頃納糧一石二斗三升問

　共得若干

　　　　　法以三頃五十畝為實列於上(因畝位/無數故)

　　　　　(作○以/存其位)一石二斗三升為法列於下命

　　　　　石位與頃之單位相齊(題中言每頃納/一石故石與頃)

　　　　　(對為/單位)乃以法之三遍乘實之三五○其

　　　　　所得之單位數即對本法位下書之三

　　　　　乘○仍得○故下紀○次以三乘五得

　　　　　一十五將十進前一位作一㸃誌之五

　　　　　書於本位下次以三乘三得九併所進

　　　　　之一為十故進前一位為一書之本位

　　　　　紀○又以法之二遍乘實之三五○其

　　　　　所得之單位數即對本法位下書之二

　　　　　乘○仍得○故下紀○二乘五得一十

　　　　　將十進前一位作一㸃誌之本位紀○

　　　　　二乘三得六併所進之一為七故書七

　　　　　於本位下又以法之一遍乘實之三五

　　　　　○其所得之單位數即對本法位下書

　　　　　之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘

　　　　　三仍得三俱各書於本位下乘畢用加

　　　　　法併之共得四三○五○總書於下定

　　　　　位因每頃納糧一石二斗三升即命頃

　　　　　為單位而石亦為單位其後二位則為

　　　　　竒零凡法實之竒零有一位則統得數

　　　　　之兩位今竒零既有二位則統得數之

　　　　　四位故從後截去四位而第五位定為

　　　　　石因知共數為四石三斗零五合也

設如有金三十六兩每兩價銀九兩九錢八分問共

　價幾何

　　　　　法以三十六兩為實列於上九兩九錢

　　　　　八分為法列於下實中錢位分位俱無

　　　　　數則補作○○以存其位命分位與分

　　　　　位相齊乃以法之八遍乘實之三六○

　　　　　○先以八乘○○仍得○○故下紀○

　　　　　○次以八乘六得四十八將四十進前

　　　　　一位作四㸃誌之八書於本位下次以

　　　　　八乘三得二十四將二十進前一位為

　　　　　二書之四併所進之四為八故書八於

　　　　　本位下又以法之九遍乘實之三六○

　　　　　○先以九乘○○仍得○○故下紀○

　　　　　○次以九乘六得五十四將五十進前

　　　　　一位作五㸃誌之四書於本位下次以

　　　　　九乘三得二十七將二十進前一位作

　　　　　二㸃誌之七併所進之五為十二十又

　　　　　進前一位為一併所誌之二為三故前

　　　　　位書三本位書二又以法之九遍乘實

　　　　　之三六○○先以九乘○○仍得○○

　　　　　故下紀○○次以九乘六得五十四將

　　　　　五十進前一位作五㸃誌之四書於本

　　　　　位下次以九乘三得二十七將二十進

　　　　　前一位作二㸃誌之七併所進之五為

　　　　　十二十又進前一位為一併所誌之二

　　　　　為三故前位書三本位書二乘畢用加

　　　　　法併之共得三五九二八○○定位因

　　　　　題言每兩價銀九兩九錢八分爰以兩

　　　　　為單位其後二位則為竒零竒零既有

　　　　　二位則統得數之四位故從後截去四

　　　　　位而第五位定為兩第六位為十第七

　　　　　位為百因知共數為三百五十九兩二

　　　　　錢八分也

設如有物二十六斤求兩數

　　　　　法以二十六斤為實列於上以每斤十

　　　　　六兩為法列於下乃以法之六遍乘實

　　　　　之二六其所得之單位數即對本法位

　　　　　下書之六乘六得三十六將三十進前

　　　　　一位作三㸃誌之六書扵本位下次以

　　　　　六乘二得一十二將十進前一位為一

　　　　　書之二併所進之三為五故書五於本

　　　　　位下又以法之一遍乘實之二六其所

　　　　　得之單位數即對本法位下書之一乘

　　　　　六仍得六故下書六次以一乘二仍得

　　　　　二故下書二乘畢用加法併之得四一

　　　　　六定位因實尾是單位而法尾又是兩

　　　　　位故得數末位之六即為單位為兩而

　　　　　前一位為十又前一位為百因知得數

　　　　　為四百一十六兩也

　　　　　又法斤求兩身加六名為定身加法葢

　　　　　以十六兩之十為一乘之仍得原數故

　　　　　以本身加六即得如二十六斤則從首

　　　　　位加起二六加一十二將一對實之十

　　　　　位二對實之單位下書之又六六加三

　　　　　十六則三對實之單位而六對實之單

　　　　　位後一位書之用加法相併得四一六

　　　　　定位以原斤數之後一位為兩今得數

　　　　　末位之六在原斤數之後一位即知是

　　　　　兩因知得數為四百一十六兩也

設如周天三百六十度每度六十分問共得若干分

　　　　　法以三百六十度為實列扵上以六十

　　　　　分為法列扵下(因單位俱無數故/各作○以存其位)乃以

　　　　　法之○遍乘實之三六○仍皆得○故

　　　　　各紀○於各位下又以法之六遍乘實

　　　　　之三六○其所得之單位數即對本法

　　　　　位下書之六乘○仍得○故本位下紀

　　　　　○次以六乘六得三十六將三十進前

　　　　　一位作三㸃誌之六書於本位下次以

　　　　　六乘三得一十八將十進前一位作一

　　　　　㸃誌之八併所進之三為十一十又進

　　　　　前一位為一併所誌之一為二故前位

　　　　　書二本位書一乘畢用加法併之共得

　　　　　二一六○○定位以實之末位是單位

　　　　　法之末位是分今求分數故得數末位

　　　　　之○即是分之單位向前數至首位得

　　　　　萬因知共數為二萬一千六百分也

設如有驗時儀墜子來一秒往一秒今十五分問共

　得來往幾秒

　　　　　法以十五分為實列於上以每分六十

　　　　　秒為法列於下乃以法之○遍乘實之

　　　　　一五仍皆得○故各紀○於本位下又

　　　　　以法之六遍乘實之一五其所得之單

　　　　　位數即對本法位下書之六乘五得三

　　　　　十將三十進前一位作三㸃誌之本位

　　　　　紀○次以六乘一仍得六併所進之三

　　　　　為九故書九於本位下定位以實之末

　　　　　位是單位法之末位是秒今求秒數故

　　　　　得數末位之○即是秒之單位其前一

　　　　　位為十又前一位為百因知共數為九

　　　　　百秒也

設如一尺二寸自乘求積(以本數乘本/數故為自乘)

　　　　　法以一尺二寸互為法實列扵上下乃

　　　　　以法之二遍乘實之一二其所得之單

　　　　　位數即對本法位下書之二乘二得四

　　　　　故下書四次以二乘一仍得二故下書

　　　　　二又以法之一遍乘實之一二其所得

　　　　　之單位數即對本法位下書之一乘二

　　　　　仍得二故下書二次以一乘一仍得一

　　　　　故下書一乘畢用加法併之共得一四

　　　　　四定位因自乘數成平方面其每一尺

　　　　　正方面容積一百寸故百寸為尺百尺

　　　　　為丈俱以兩位命之今實之末位為寸

　　　　　即命為單位法之末位是寸得數末位

　　　　　之四與實之單位相對即知為寸位向

　　　　　前第二位為十寸第三位為百寸既以

　　　　　百寸為尺即知得數為一尺四十四寸

　　　　　也若命尺為單位則扵尺上命位其後

　　　　　一位為竒零故扵得數内從末截去二

　　　　　位以第三位為尺(葢自乘乃兩數相乘/兩數既各有一位零)

　　　　　(數故截去/兩位算也)今得數有三位即知首位為

　　　　　一尺首位既為尺末位又既為寸則中

　　　　　一位為十寸可知矣

設如一尺二寸自乘再乘求積(以本數乘本數所得/之數又以本數乘之)

　(故謂之自/乘再乘)

　　　　　法先以一尺二寸互為法實按法自乘

　　　　　得一尺四十四寸又以一尺四十四寸

　　　　　為實復以一尺二寸為法按法乘之共

　　　　　得一七二八定位因自乘再乘數成立

　　　　　方體其每一尺正方體容積一千寸故

　　　　　以千寸為尺千尺為丈俱以三位命之

　　　　　今實之末位為寸即命為單位法之末

　　　　　位是寸得數末位之八與實之單位相

　　　　　對即知為寸位向前第二位為十寸第

　　　　　三位為百寸第四位為千寸既以千寸

　　　　　為一尺即知得數為一尺七百二十八

　　　　　寸也若命尺為單位則於尺上命位其

　　　　　後一位為竒零故扵得數内從末截去

　　　　　三位以第四位為尺(葢自乘再乘乃以/三數相乘三數既)

　　　　　(各有一位零數故/截去三位算也)今得數有四位即知

　　　　　首位為一尺首位既為尺末位又既為

　　　　　寸則中二位為十寸百寸可知矣

　　歸除

歸除者分數也以數分數有各得均齊之義焉凡有

兩數以此數減彼數減得幾次即為所得然所減之

次數多則益至於紛而難紀此歸除之所以立也歸

者一位歸之而得如歸作幾分而均分之也除者多

位除之而得葢以所得之數與法相因而於實内除

去也其法以原數為實横列於下除數為法横列於

上法之小於實者法之首位與實之首位列齊法之

大於實者則法比實退一位看實足法幾倍即為得

數自法之末位上紀所得之數既得數乃以所得與

法相因書於實下與實相減餘者即為次商實依次

按法歸除以恰盡為度(減餘者乃所得與法相因之/數在實中所減者其數每與)

(法位相對即初商之餘實也至於實位所餘之數則/每次取下一位續於減餘之末以為每商之實若實)

(無餘位而歸除仍未盡/者則按位添○以紀之)如實不足法之一倍者則得

數為○定位之法以法中所命單位與原實相對之

數為所得之首位數若實之位數少於法者則作幾

○位以補足法然後位數一覽即明至於一位歸除

㨗法則竟以原數書於上就身用幾分分之得數書

於下其定位仍照原列之位定之具見設如於左

設如有緞六疋令三人分之問每人得幾疋

　　　　　法以六疋為實列於下三人為法列於

　　　　　上今法與實俱為單位而法比實小故

　　　　　列法與實相齊爰看實足法幾倍今足

　　　　　二倍故書二於法上乃以得數之二與

　　　　　法之三相因得六書於實下與實相減

　　　　　恰盡即得數為二疋也定位因法之三

　　　　　人即為單位而實亦止一位為疋是法

　　　　　之單位與實之疋位相對故得數為二

　　　　　疋也

設如有米六十四石令八人分之問每人得幾石

　　　　　法以六十四石為實列於下八人為法

　　　　　列扵上因法之八大於實之首位之六

　　　　　故將法退一位書之爰看實足法幾倍

　　　　　今足八倍故書八於法上乃以得數之

　　　　　八與法之八相因得六十四書於實下

　　　　　(其所得單位數即對/得數之本位下書之)與實相減恰盡即

　　　　　得數為八石也定位因法之八人即為

　　　　　單位而與實之石位相對故得數為八

　　　　　石也

設如有銀三百四十三兩令七人分之問每人得幾

　兩

　　　　　法以三百四十三兩為實列於下七人

　　　　　為法列於上因法之七大於實之首位

　　　　　之三故將法退一位書之爰看實足法

　　　　　幾倍今實前兩位為三四足法之四倍

　　　　　(何以知其足法之四倍葢實之三十四/内足法之七之四倍為二十八如法之)

　　　　　(七之五倍則為三/十五比實則大矣)故書四於法上乃以

　　　　　得數之四與法之七相因得二十八書

　　　　　於實下(其所得單位數即對得數/之本位下書之後倣此)與實

　　　　　相減餘六次取實數所餘之三書於減

　　　　　餘之後共六三為次商實爰看實之六

　　　　　三足法幾倍今足九倍故書九於得數

　　　　　之次乃以得數之九與法之七相因得

　　　　　六十三書於次商實之下與實相減恰

　　　　　盡即得數為四十九兩也定位因法之

　　　　　七人即為單位而與實中之兩之十位

　　　　　相對故得數首位即為十而次位為兩

　　　　　是知每人得四十九兩也

設如有絲四十五斤共織得緞九十二丈二尺五寸

　問每斤織得若干

　　　　　法以九十二丈二尺五寸為實列於下

　　　　　四十五斤為法列於上因法之首位四

　　　　　小於實之首位九故列法與實相齊爰

　　　　　看實之九二足法之二倍故書二於法

　　　　　上乃以得數之二與法之四五相因得

　　　　　九○書於實下與實相減餘二次取實

　　　　　數所餘之二書於減餘之後共二二為

　　　　　次商實今實之二二不足法之四五之

　　　　　一分故得數為○乃紀○於上復取實

　　　　　數所餘之五書於二二之後共二二五

　　　　　為三商實(次商實之二二不足法之四/五故再取實之一位續書於)

　　　　　(下謂之三商實者/○位為次商故也)爰看實之二二五足

　　　　　法之五倍故書五於上乃以得數之五

　　　　　與法之四五相因得二二五書於實下

　　　　　與實相減恰盡即得數為二丈零五寸

　　　　　也定位因法之五斤為單位而與實之

　　　　　丈位相對故得數首位即為丈等而下

　　　　　之為尺為寸是知每斤織得二丈零五

　　　　　寸也

設如有田四十五畝六分共納榖五十七石問每畝

　納榖若干

　　　　　法以五十七石為實列於下四十五畝

　　　　　六分為法列於上因法之首位四小於

　　　　　實之首位五故列法與實相齊又因實

　　　　　之位數少於法故補作○以足其位爰

　　　　　看實之五七○足法之一倍故書一於

　　　　　法上乃以得數之一與法之四五六相

　　　　　因仍得四五六書於實下與實相減餘

　　　　　一一四此後實無餘位故添書一○於

　　　　　減餘之末為次商實爰看一一四○足

　　　　　法之二倍故書二於上乃以得數之二

　　　　　與法之四五六相因得九一二書於實

　　　　　下與實相減餘二二八又添書一○於

　　　　　減餘之末為三商實爰看二二八○足

　　　　　法之五倍故書五於上乃以得數之五

　　　　　與法之四五六相因得二二八○書於

　　　　　實下與實相減恰盡即得數為一石二

　　　　　斗五升也定位因法之五畝為單位而

　　　　　與實之石位相對故得數首位為石是

　　　　　知每畝納榖一石二斗五升也

設如有丹砂一兩價值錢二萬五千文問每錢一文

　該得丹砂幾何

　　　　　法以丹砂一兩為實列於下錢二萬五

　　　　　千為法列於上因法之首位二大於實

　　　　　之首位一故將法退一位列之又因法

　　　　　之百位十位單位俱無數故各作○以

　　　　　存其位而實亦作五○位以補足法爰

　　　　　看實足法之四倍故書四於法上乃以

　　　　　得數之四與法之二五○○○相因得

　　　　　一○○○○○書於實下與實相減恰

　　　　　盡即得數為四絲也定位因法之末位

　　　　　○係單位故從實之首位一兩數至法

　　　　　之單位相對之位為絲是知每錢一文

　　　　　得丹砂四絲也

設如有銀一千二百五十兩買果賞人每果一枚價

　二釐五豪問買果若干

　　　　　法以一千二百五十兩補五○位為實

　　　　　列於下(因法之末位是豪故補五○位/與法相對葢命實為一千二百)

　　　　　(五十萬/豪也)二釐五豪為法列於上爰看實

　　　　　之一二五足法之五倍故書五於法上

　　　　　乃以得數之五與法之二五相因得一

　　　　　二五書於實下與實相減恰盡然實後

　　　　　尚有五○位故得數後亦添五○位為

　　　　　五十萬也定位因法實俱至豪位止即

　　　　　命豪為單位爰從實之末位數至法之

　　　　　單位相對之位為十萬是知得果為五

　　　　　十萬枚也

設如有物重三百八十四兩問得斤數若干

　　　　　法以三百八十四兩為實列於下每斤

　　　　　一十六兩為法列於上爰看實之三八

　　　　　足法之二倍故書二於法上乃以得數

　　　　　之二與法之一六相因得三十二書於

　　　　　實下與實相減餘六次取實數之四書

　　　　　於減餘之後共為六四因足法之四倍

　　　　　故書四於上乃以得數之四與法之一

　　　　　六相因得六十四書於實下與實相減

　　　　　恰盡即得數為二十四斤也定位因法

　　　　　之兩數為單位而與實之十位相對故

　　　　　知得數為二十四斤也

　　　　　又法名為斤稱流法其法曰一退六二

　　　　　五(如一萬兩則為六百二十五斤一千/兩則為六十二斤半一百兩則為六)

　　　　　(斤二分半皆以十遞析/退者退一位命之也)二一二五(如二/萬兩)

　　　　　(則為一千二百五十斤二千兩則為一/百二十五斤二百兩則為十二斤半不)

　　　　　(言退者對位命/之也餘倣此)三一八七五四二五五

　　　　　三一二五六三七五七四三七五八五

　　　　　九五六二五如三百八十四兩則列於

　　　　　上先以三之一八七五通之爰將一對

　　　　　三之本位以下依次向後書之次以八

　　　　　之五通之將五對八之本位書之次以

　　　　　四之二五通之將二對四之本位書之

　　　　　五則列於次位三數書畢乃以加法併

　　　　　之得數為二十四斤定位因兩之前一

　　　　　位為斤今得數之四在兩之前一位故

　　　　　四即為斤位而又前一位則為十位是

　　　　　知得數為二十四斤也

設如周天三百六十度分十二宮問每宮得若干度

　　　　　法以三百六十度為實列於下一十二

　　　　　宮為法列於上爰看實之三六足法之

　　　　　三倍故書三於法上乃以得數之三與

　　　　　法之一二相因得三六書於實下與實

　　　　　相減恰盡然實後尚有○位故得數後

　　　　　亦添一○位即得數為三十度也定位

　　　　　因法之二為單位而與實之十位相對

　　　　　故得數首位為十而每宮為三十度也

設如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分

　之問每刻得若干分

　　　　　法以一千四百四十分為實列於下以

　　　　　九十六刻為法列於上爰看實之一四

　　　　　四僅足法之一倍故書一於法上乃以

　　　　　得數之一與法之九六相因仍得九六

　　　　　書於實下與實相減餘四八次取實之

　　　　　○位書於減餘之後共為四八○因足

　　　　　法之五倍故書五於上乃以得數之五

　　　　　與法之九六相因得四八○書於實下

　　　　　與實相減恰盡即得數為一十五分也

　　　　　定位因法之六為單位而與實之十位

　　　　　相對故得數首位為十而每刻為一十

　　　　　五分也

　　一位歸除㨗法

設如有銀三十四萬五千六百七十八兩作二分分

　之問每分若干

　　　　　法以三十四萬五千六百七十八兩為

　　　　　實列於上視首位之三足二分之幾何

　　　　　今足一倍故下書一一二除二餘一乃

　　　　　移於下位為十(下位作/㸃為誌)併下位之四共

　　　　　為十四足二分之七倍故下書七二七

　　　　　除一十四恰盡次五足二分之二倍故

　　　　　下書二二二除四餘一移於下位為十

　　　　　併下位之六共為十六足二分之八倍

　　　　　故下書八二八除一十六恰盡次七足

　　　　　二分之三倍故下書三二三除六餘一

　　　　　移於下位為十併下位之八共為十八

　　　　　足二分之九倍故下書九二九除一十

　　　　　八恰盡定位因得數仍原數之位故知

　　　　　每分得一十七萬二千八百三十九兩

　　　　　也

設如有銀一十二萬三千四百五十三兩作九分分

　之問每分若干

　　　　　　法以一十二萬三千四百五十三兩為

　　　　　　實列於上因首位之一小於九分故移

　　　　　　於下位為十併下位之二共為十二足

　　　　　　九分之一倍故下書一一九除九餘三

　　　　　　移於下位為三十併下位之三共為三

　　　　　　十三足九分之三倍故下書三三九除

　　　　　　二十七餘六移於下位為六十併下位

　　　　　　之四共為六十四足九分之七倍故下

　　　　　　書七七九除六十三餘一移於下位為

　　　　　　十併下位之五共為十五足九分之一

　　　　　　倍故下書一一九除九餘六移於下位

　　　　　　為六十併下位之三共為六十三足九

　　　　　　分之七倍故下書七七九除六十三恰

　　　　　　盡定位因得數比原數退一位故知每

　　　　　　分得一萬三千七百一十七兩也

御製數理精藴下編卷一