御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷四
線部二
按分遞折比例(二八差分/遞折差分) (三七差分差分四六差分/加倍減半)
按分遞折比例
差分之欵項雖多而按分遞折者皆為相連比例故
約之而歸一類如二八三七四六差分俱以十分為
總率而按各分以分之者也如遞折差分亦以十分
為率而按十分之幾以遞折之者也如加倍減半差
分則以倍半為率按一定之分而加減之者也今細
分其目如左
二八差分者以總物平分十分一得十分之二一得
十分之八有三色者則以二與八與三十二為衰數
葢八與三十二之比即如二與八之比也有四色者
則以二與八與三十二與一百二十八為衰數葢三
十二與一百二十八之比亦如二與八之比也至於
五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎二
八之比例故曰二八差分
三七差分者以總物平分十分一得十分之三一得
十分之七有三色者則以九與二十一及四十九為
衰數(以九為第一衰數者因三與七非彼此度盡之/數七作三分必至竒零不盡故以三因三得九)
(為三分則以三因七得二十一為七分如/二十一轉為三分則四十九又為七分矣)葢九與二
十一即如三與七之比而二十一與四十九亦如三
與七之比也有四色者則以二十七與六十三及一
百四十七與三百四十三為衰數(以三因九得二十/七為三分故以七)
(因九得六十三為七分若六十三轉為三分則一百/四十七為七分一百四十七轉為三分則三百四十)
(三又為/七分矣)葢二十七與六十三六十三與一百四十七
一百四十七與三百四十三皆如三與七之比也五
色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎三七
之比例故曰三七差分
四六差分者以總物平分十分一得十分之四一得
十分之六有三色者則以四與六與九為衰數葢六
與九之比即如四與六之比也有四色者則以四與
六與九與一三五為衰數葢九與一三五之比亦如
四與六之比也五色以上者亦以相連比例求各衰
數總不越乎四六之比例故曰四六差分
遞折差分者十分之中得其幾分即為幾折如得其
六分即為六折得其四分即為四折若夫五折則為
十分之半故載於倍半法中而别為一類
加倍差分其數自少而多皆以倍而加減半差分則
數自多而少皆以半而減因加減有定分故立衰有
定例總以加倍減半之數為相連比例設為借數以
求正數也
二八差分
設如有銀三千兩令二等人户二八納之問各該若
干
法以二分八分相併得十分為一率銀
三千兩為二率二分為三率推得四率
六百兩為下等人户所納之數仍以二
分八分相併之十分為一率銀三千兩
為二率以八分為三率推得四率二千
四百兩即為上等人户所納之數也此
法兩用四率者正為明比例之理葢二
分八分相併之十分與總銀三千之比
即如二分之與六百之比八分之與二
千四百之比也
又捷法以二八所併之十分歸除總銀
三千兩得每分三百兩以二分乘之得
六百以八分乘之得二千四百葢每一
分得三百而二分得六百八分得二千
四百也又或先得二分所納之數於總
銀内減之即八分所納之數此又正法
外之變法也
設如有人一千六百名二分賞銀八分賞米問賞銀
人若干賞米人若干
法以二分八分相併得十分為一率人
一千六百名為二率二分為三率推得
四率三百二十名為應賞銀之人如以
八分為三率推得四率一千二百八十
名即應賞米之人也葢二分八分相併
之十分與總人一千六百之比即如二
分之與三百二十名之比八分之與一
千二百八十名之比也
又捷法以二八所併之十分歸除總人
數一千六百名得每分一百六十名以
二分乘之得賞銀人三百二十名以八
分乘之得賞米人一千二百八十名葢
每一分得一百六十名而二分得三百
二十名八分得一千二百八十名也
設如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之
問每人應得幾何
法以二分為甲衰八分為乙衰三十二
分為丙衰相併得四十二分為一率總
米五百八十八石為二率以甲二分為
三率推得四率二十八石即甲分米數
以乙八分為三率得四率一百一十二
石即乙分米數以丙三十二分為三率
得四率四百四十八石即丙分米數也
此法用二與八八與三十二者即二八
相連比例分葢總分數四十二分與總
米五百八十八石之比即二分與二十
八石之比八分與一百一十二石之比
即三十二分與四百四十八石之比也
又捷法以總數四十二分歸除總米五
百八十八石得每分一十四石以二分
乘之得甲米二十八石以八分乘之得
乙米一百一十二石以三十二分乘之
得丙米四百四十八石也
設如有銅五百二十斤錬成精銅每十分中去渣二
分餘精銅八分問精銅與渣各得若干
法以十分為一率銅五百二十斤為二
率八分為三率推得四率四百一十六
斤為精銅之數如以二分為三率推得
四率一百零四斤即銅渣之數也葢十
分與五百二十斤之比即如八分之與
四百一十六斤之比二分之與一百零
四斤之比也
又捷法以十分歸除總銅五百二十斤
得每分五十二斤以八分乘之得四百
一十六斤以二分乘之得一百零四斤
葢每一分五十二斤而二分得一百零
四斤八分得四百一十六斤也又或先
得精銅八分數減總銅餘即銅渣二分
數也
設如有田二千六百三十五畝以麥穀豆麻四色遞
次二八分種問各田應得幾何
法以二分為麻衰八分為豆衰三十二
分為穀衰一百二十八分為麥衰併之
得一百七十分為一率總田二千六百
三十五畝為二率以麥一百二十八分
為三率得四率一千九百八十四畝即
麥田數如以穀三十二分為三率得四
率四百九十六畝即穀田數如以豆八
分或麻二分為三率所得四率即豆一
百二十四畝與麻三十一畝之田數也
又捷法以總數一百七十分除總田數
二千六百三十五畝得每分一十五畝
五分乃以每色分數乘之即得每色應
種數也
設如有銀三千四百一十兩令五商遞次二八分出
問各出幾何
法以一商為二分一商為八分一商為
三十二分一商為一百二十八分一商
為五百一十二分併之得六百八十二
分為一率總銀三千四百一十兩為二
率以五百一十二分為三率得四率二
千五百六十兩即五百一十二分應出
之數如以一百二十八分為三率得四
率六百四十兩即一百二十八分應出
之數如以三十二分為三率得四率一
百六十兩即三十二分應出之數如以
八分或二分為三率所得四率四十兩
即八分應出之數一十兩即二分應出
之數也
又捷法以總數六百八十二分除總銀
三千四百一十兩得每分五兩再以每
人分數乘之即得每人應出銀數也
設如有糧二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊
五等人户照二八遞減納之甲三十户乙四十户
丙五十户丁六十户戊七十户問各户所納幾何
各等户共納幾何
法以五百一十二為甲一户分數再以
甲三十户乘之得一萬五千三百六十
為甲三十户共分數以一百二十八為
乙一户分數再以乙四十户乘之得五
千一百二十為乙四十户共分數又以
三十二為丙一户分數再以丙五十户
乘之得一千六百為丙五十户共分數
又以八為丁一户分數再以丁六十户
乘之得四百八十為丁六十户共分數
又以二為戊一户分數再以戊七十户
乘之得一百四十為戊七十户共分數
以所得五等共分數併之得二萬二千
七百為總分數為一率總糧二千六百
五十五石九斗為二率以甲五百一十
二分為三率得甲一户納五十九石九
斗零四合又以甲三十户乘之得甲共
納一千七百九十七石一斗二升以乙
一百二十八分為三率得乙一户納十
四石九斗七升六合又以乙四十户乘
之得乙共納五百九十九石零四升以
丙三十二分為三率得丙一户納三石
七斗四升四合又以丙五十户乘之得
丙共納一百八十七石二斗以丁八分
為三率得丁一户納九斗三升六合又
以丁六十户乘之得丁共納五十六石
一斗六升以戊二分為三率得戊一户
納二斗三升四合又以戊七十户乘之
得戊共納十六石三斗八升也
又捷法以總分數除總糧數得每一分
一斗一升七合以各等一户分數乘之
得各等一户納糧之數以各等共户分
數乘之得各等共户納糧之數葢前法
有各等户而各等之中又有衆户故以
定分數(二八三十二一百二十/八五百一十二之數)為各等
分數又以衆户乘之為各等共户之分
數此捷法以總分數除總糧是得各等
每一户中之一分故以每一户分數乘
之得每一户之數以每一等共分數乘
之得每一等之全數也
三七差分
設如有銀五千兩令東西二縣三七支銷問各該幾
何
法以七分為東縣衰數三分為西縣衰
數併之得十分為一率總銀五千兩為
二率以七分為三率得四率三千五百
兩即東縣應支之數如以三分為三率
得四率一千五百兩即西縣應支之數
也葢三七比例亦以總衰數與總銀數
之比即若每縣衰數與每縣銀數之比
故十分與五千之比即若三分與一千
五百之比七分與三千五百之比也
又捷法先以總衰十分除總銀五千兩
得每分五百兩以七分乘之即東縣之
數以三分乘之即西縣之數或得東縣
數於總銀内減之餘即西縣數也此法
以總衰除總銀得每分五百兩以七乘
之即得七分以三乘之即得三分也前
法先乘而後除後法先除而後乘其理
一也
設如有田二千五百畝令上等户七分種之下等户
三分種之問各該幾何
法以七分三分相併得十分為一率二
千五百畝為二率上户七分為三率得
四率一千七百五十畝即上户應種田
數如以三分為三率得四率七百五十
畝即下户應種田數葢十分與二千五
百畝之比即七分與一千七百五十畝
之比三分與七百五十畝之比也
又捷法以三七相併之十分歸除總田
二千五百畝得每分二百五十畝以三
分乘之得下户七百五十畝以七分乘
之得上户一千七百五十畝葢一分為
二百五十畝而三分得七百五十畝七
分得一千七百五十畝也
設如以車運物行十里二十刻到今已行七里問尚
得幾刻到
法以十里為一率二十刻為二率以七
里與十里相減餘三里為三率推得四
率六刻即運到刻數也如以七里為三
率推得四率十四刻與總二十刻相減
餘六刻亦即運到刻數也葢十里與二
十刻之比即三里與六刻之比七里與
十四刻之比也
又捷法以十里歸除二十刻得每里二
刻以三里乘之得六刻以七里乘之得
十四刻葢每一里為二刻則三里得六
刻七里得十四刻也
設如種樹一千一百六十株按松柏桃栁四色遞次
三七分種問各該幾何
法以三百四十三分為松衰一百四十
七分為柏衰六十三分為桃衰二十七
分為栁衰併之得五百八十分為一率
一千一百六十株為二率以三百四十
三分為三率得四率六百八十六株即
種松之數以一百四十七分為三率得
四率二百九十四株即種柏之數以六
十三分為三率得四率一百二十六株
即種桃之數以二十七分為三率得四
率五十四株即種栁之數也
又捷法以總衰數五百八十歸除總樹
一千一百六十得每分二株以三百四
十三分乘之得種松之數以一百四十
七分乘之得種柏之數以六十三分乘
之得種桃之數以二十七分乘之得種
栁之數也此法有四位故以三因九得
二十七為栁衰數又遞用七因三歸為
桃柏松之衰數也
設如有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞遞次三
七分織問各該絲幾何
法以九分為絹衰二十一分為綾衰四
十九分為緞衰併之得七十九分為一
率絲四百九十七兩七錢為二率以緞
四十九分為三率得四率三百零八兩
七錢即緞絲數如以綾二十一分為三
率得四率一百三十二兩三錢即綾絲
數如以絹九分為三率得四率五十六
兩七錢即絹絲數也
又捷法以總衰數七十九分除總絲四
百九十七兩七錢得每分六兩三錢以
緞四十九分乘之得緞絲之數以綾二
十一分乘之得綾絲之數以絹九分乘
之得絹絲之數也此法有三位故以三
因三得九為絹之衰數又遞用七因三
歸為綾與緞之衰數葢九與二十一二
十一與四十九為相連比例三率而九
與二十一之比即二十一與四十九之
比也
設如編銀八百二十八兩二錢令甲乙丙丁戊五等
户三七徴納問各户所納幾何
法以八十一分為甲衰一百八十九分
為乙衰四百四十一分為丙衰一千零
二十九分為丁衰二千四百零一分為
戊衰併之得四千一百四十一分為一
率總銀八百二十八兩二錢為二率以
每人分數各為三率得四率之一十六
兩二錢即甲所納銀數得四率之三十
七兩八錢即乙所納銀數得四率之八
十八兩二錢即丙所納銀數得四率之
二百零五兩八錢即丁所納銀數得四
率之四百八十兩二錢即戊所納銀數
也
又捷法以總衰數四千一百四十一分
歸除總銀八百二十八兩二錢得每分
二錢以甲乙丙丁戊各人分數乘之即
得各人所納銀數也此法有五位故以
三因二十七得八十一分為甲之衰數
又遞用七因三歸即得乙丙丁戊各衰
數矣
設如有田一百三十八畝每畝徴米二斗今七分徴
米三分折絲每米一石折絲一斤問各該幾何
法以七分為米衰三分為絲衰併之得
十分為一率又以徴米二斗乘田一百
三十八畝得總米二十七石六斗為二
率以米七分為三率得四率一十九石
三斗二升即徴米七分之數與總米相
減餘八石二斗八升為三分折絲之數
按米每石折絲一斤則以八石二斗八
升用十六兩乘之得一百三十二兩四
錢八分為八斤四兩四錢八分即折絲
三分之數也此法以徴米二斗乘總田
是得總徴米數而三七分之也總米分
去七分即本色米數餘者折為絲即三
分絲數也折絲之法每石既為一斤則
八石二斗四升自得八斤四兩四錢八
分也
又捷法以總衰十分歸除總米二十七
石六斗得每分二石七斗六升以米七
分乘之得米數以絲三分乘之得折絲
之米數既得折絲之米數而絲之斤兩
亦得矣
四六差分
設如有金四千兩令上下二等金户六四傾銷問各
該幾何
法以六分為上等衰數四分為下等衰
數併之得十分為一率共金四千兩為
二率以六分為三率得四率二千四百
兩即上等金户傾銷之數如以四分為
三率得四率一千六百兩即下等金户
傾銷之數此法以四分六分相併之十
分與共金四千兩之比即如六分與二
千四百兩之比四分與一千六百兩之
比也
又捷法以總衰十分歸除共金四千兩
得每分四百兩以六分乘之得二千四
百兩為上等金户傾銷之數以四分乘
之得一千六百兩為下等金户傾銷之
數如先得上等六分金數於共金數内
減之其餘即下等四分金數也
設如有水田三百畝令上下二户四六分灌問各灌
若干
法以四分六分相併得十分為一率三
百畝為二率六分為三率推得四率一
百八十畝即上户所灌之田以四分為
三率推得四率一百二十畝即下户所
灌之田也葢四六相併之十分與三百
畝之比即六分與一百八十畝之比四
分與一百二十畝之比也
又捷法以相併之十分歸除總田三百
畝得每分三十畝以六分乘之即上户
田數以四分乘之即下户田數葢每一
分得三十畝而六分得一百八十畝四
分得一百二十畝也如或先得六分田
數減總田餘即四分田數也
設如有絲二百五十斤換米每絲一斤換米一石今
已換過六分尚餘絲四分問已換未換各若干
法以四分六分相併得十分為一率将
二百五十斤絲變作二百五十石米為
二率(每絲一斤換/米一石故也)以六分為三率推得
四率一百五十石為已換之米數以四
分為三率推得四率一百石為未換之
米數葢四六相併之十分與二百五十
石之比即六分與一百五十石之比四
分與一百石之比也
又捷法以相併之十分歸除總米二百
五十石得每分二十五石以六分乘之
得已換之一百五十石以四分乘之得
未換之一百石葢每一分得二十五石
而四分得一百石六分得一百五十石
也
設如有絲一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六
分織問各該幾何
法以四為甲衰數六為乙衰數九為丙
衰數併之得十九為一率總絲一千五
百五十八斤為二率以甲四分為三率
即得甲絲三百二十八斤以乙六分為
三率即得乙絲四百九十二斤以丙九
分為三率即得丙絲七百三十八斤此
法以總衰十九分與總絲一千五百五
十八斤之比即甲四分與三百二十八
斤之比乙六分與四百九十二斤之比
丙九分與七百三十八斤之比也
又捷法以總衰數十九分除總絲一千
五百五十八斤得每分八十二斤以甲
四分乘之得甲絲三百二十八斤以乙
六分乘之得乙絲四百九十二斤以丙
九分乘之得丙絲七百三十八斤也
設如有田九百七十五畝令甲乙丙丁四人四六分
種問每人各得幾何
法以四分為甲衰六分為乙衰九分為
丙衰一十三分半為丁衰併之得三十
二分半為一率總田九百七十五畝為
二率以甲四分為三率即得甲田一百
二十畝以乙六分為三率即得乙田一
百八十畝以丙九分丁一十三分半各
為三率即得二百七十畝為丙田得四
百零五畝為丁田也葢三十二分半與
九百七十五畝之比即甲四分與一百
二十畝之比乙六分與一百八十畝之
比亦即丙九分與二百七十畝之比丁
十三分半與四百零五畝之比也
又捷法以總衰數三十二分半歸除總
田九百七十五畝得每分三十畝以甲
乙丙丁各衰數乘之即得每人田數也
設如有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟
按六分四分遞次運載問各該幾何
法以四分為戊衰六分為丁衰九分為
丙衰一十三分半為乙衰二十分二五
為甲衰併之得五十二分七五為一率
總糧一千二百六十六石為二率以甲
二十分二五為三率得甲運四百八十
六石以乙一十三分半為三率得乙運
三百二十四石以丙九分為三率得丙
運二百一十六石以丁六分為三率得
丁運一百四十四石以戊四分為三率
得戊運九十六石此法總衰數與總糧
之比即各人分數與各人糧數之比也
葢六與九九與一三五一三五與二○
二五皆同為四六之比例也
又捷法以總衰五十二分七五歸除總
糧一千二百六十六石得每分二十四
石以甲乙丙丁戊各舟衰數乘之即得
各舟運糧之數也
設如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六
分下等人户四分交納上等二十六户下等四十
户問各等每户各該幾何
法以六為上等衰數以上户二十六户
乘之得一百五十六為上等二十六户
共衰數以四為下等衰數以下户四十
乘之得一百六十為下等四十户共衰
數併之得三百一十六為一率總米三
百八十五石五斗二升為二率以上等
六分為三率得四率七石三斗二升為
上等一户米數以上等共分數一百五
十六為三率得一百九十石三斗二升
為上等二十六户共米數如以下等四
分為三率得四率四石八斗八升為下
等一户米數以下等共分數一百六十
為三率得一百九十五石二斗即下等
四十户共米數也
又捷法以總衰三百一十六分歸除總
米三百八十五石五斗二升得每分一
石二斗二升以六分乘之得上等一户
米數以上等共分數乘之得上等共米
數以四分乘之得下等一户米數以下
等共分數乘之得下等共米數也
遞折差分
設如有熟稻七百九十九畝六分八釐令三人以十
分之六收割問每人得幾何
法以一百為第一人分數六十為第二
人分數三十六為第三人分數三分數
相併得一百九十六分為一率總稻七
百九十九畝六分八釐為二率第一人
分數一百為三率得四率四百零八畝
即第一人收割田數如以第二人分數
六十為三率得四率二百四十四畝八
分即第二人收割田數如以第三人分
數三十六為三率得四率一百四十六
畝八分八釐即第三人收割田數葢十
分之六如彼得十分此得六分也第二
人得第一人十分之六第三人又得第
二人十分之六故一百與六十之比即
六十與三十六之比遞次比例皆十分
之六也其得數四百零八畝與二百四
十四畝八分之比即二百四十四畝八
分與一百四十六畝八分八釐之比亦
皆為十分之六也
又捷法以總分一百九十六除總田七
百九十九畝六分八釐得每一分四畝
零八釐以一百分乘之得第一人四百
零八畝以六十分乘之得第二人二百
四十四畝八分以三十六分乘之得第
三人一百四十六畝八分八釐也
設如有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分
之七遞次販貨出賣問每人該銀幾何
法以一千為第一人分數七百為第二
人分數四百九十為第三人分數三百
四十三為第四人分數相併得二千五
百三十三分為一率總銀一千二百六
十六兩五錢為二率以一千分為三率
得四率五百兩即第一人銀數以七百
分為三率得四率三百五十兩即第二
人銀數以四百九十分為三率得四率
二百四十五兩即第三人銀數以三百
四十三分為三率得四率一百七十一
兩五錢即第四人銀數葢十分之七遞
折而下第二人得第一人十分之七則
第三人亦得第二人十分之七而第四
人又得第三人之十分之七其先立衰
數一千分七百分四百九十分三百四
十三分皆十與七之比例也
又捷法以總分二千五百三十三除總
銀一千二百六十六兩五錢得每一分
五錢以一千分乘之得第一人五百兩
以七百分乘之得第二人三百五十兩
以四百九十分乘之得第三人二百四
十五兩以三百四十三分乘之得第四
人一百七十一兩五錢也
設如生銅入爐鎔化三次每一次去渣十分之二淨
得上好熟銅二百四十八兩問原銅幾何
法即以十分之八為分數(十分之中去/渣二分得淨)
(銅八分故以十/分之八為比例)以八分為一率十分為
二率熟銅二百四十八兩為三率得四
率三百一十兩為第三次入爐銅數又
以八分為一率十分為二率三百一十
兩為三率得四率三百八十七兩五錢
為第二次入爐銅數再以八分為一率
十分為二率三百八十七兩五錢為三
率得四率四百八十四兩三錢七分五
釐即第一次入爐生銅數也此法因八
折三次而轉求原數故以八分為一率
十分為二率轉求三次而始得也
又法以八分自乘再乘得五百一十二
分為一率十分自乘再乘得一千分為
二率熟銅二百四十八兩為三率得四
率四百八十四兩三錢七分五釐即第
一次入爐生銅數也前法以三次三率
各求四率故必乘除三次此法則以一
率二率俱各自乘再乘止以第三次熟
銅數為三率即得第一次生銅數是合
三次乘除而為一次乘除也
設如有絲三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分
之八折分問各得幾何
法以一千為甲分數八百為乙分數六
百四十為丙分數五百一十二為丁分
數相併得二千九百五十二分為一率
總絲三百六十九斤為二率以每人分
數各為三率所得各四率一百二十五
斤為甲數一百斤為乙數八十斤為丙
數六十四斤為丁數葢十分之八遞折
而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分
之八而丁得丙亦十分之八其先立衰
數一千分八百分六百四十分五百一
十二分皆十與八之比例也如捷法先
除後乘須用通分不然則斤數有竒零
矣
設如有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人户
照十分之六出之上等户二十五中等户三十下
等户四十八問每户該出幾何
法以一百為上等分數用二十五乘之
得二千五百為上等户共分數以六十
為中等分數用三十乘之得一千八百
為中等户共分數以三十六為下等分
數用四十八乘之得一千七百二十八
為下等户共分數併之共六千零二十
八分為一率絹四百七十丈一尺八寸
四分為二率以三等各分數各為三率
所得各四率上等每户出七丈八尺中
等每户出四丈六尺八寸下等每户出
二丈八尺零八分又以各等户數乘各
等每户絹數得上等二十五户共出絹
一百九十五丈中等三十户共出絹一
百四十丈零四尺下等四十八户共出
絹一百三十四丈七尺八寸四分也
又捷法以總分數六千零二十八分除
總絹四百七十丈一尺八寸四分得每
一分為七寸八分以各等分數乘之得
各等每一户絹數再以各等户數乘之
即得各等衆户共出絹數也
設如有官糧一百六十八石四斗八升八合令四等
人户以十分之七依次遞折交納一等二十二户
二等三十六户三等四十二户四等四十八户問
每等每户各納幾何
法以一千為一等分數用二十二户乘
之得二萬二千即一等户共分數以七
百為二等分數用三十六户乘之得二
萬五千二百即二等户共分數以四百
九十為三等分數用四十二户乘之得
二萬零五百八十為三等户共分數以
三百四十三為四等分數用四十八户
乘之得一萬六千四百六十四為四等
户共分數併之共八萬四千二百四十
四分為一率總糧一百六十八石四斗
八升八合為二率以一千分為三率得
四率一等每户二石以共户數乘之得
共納四十四石以七百分為三率得四
率二等每户一石四斗以共户數乘之
得共納五十石零四斗以四百九十分
為三率得四率三等每户九斗八升以
共户數乘之得共納四十一石一斗六
升以三百四十三分為三率得四率四
等每户六斗八升六合以共户數乘之
得共納三十二石九斗二升八合也
又捷法以總分數八萬四千二百四十
四除總糧一百六十八石四斗八升八
合得每一分為二合以各等分數乘之
得各等每一户糧數再以各等户數乘
之即得各等衆户共納糧數也
加倍減半差分
設如一人讀書日加一倍三日共讀三千四百六十
五字問每日所讀幾何
法以一為第一日分數二為第二日分
數四為第三日分數併之得七分為一
率總字三千四百六十五為二率一分
為三率得四率四百九十五字即第一
日所讀之數倍之得九百九十字即第
二日所讀之數又倍之得一千九百八
十字即第三日所讀之數也葢加倍者
是第二日增於第一日一倍第三日又
增於第二日一倍倍數多者由此遞加
如二與四四與八八與十六之類皆為
加一倍之比例也
設如一人織絹日加一倍至第四日織成六丈七尺
五寸問每日織幾何
法以一為第一日分數二為第二日分
數四為第三日分數八為第四日分數
併之得十五分為一率總絹六丈七尺
五寸為二率一分為三率得四率四尺
五寸即第一日之數倍之得九尺為第
二日之數又倍之得一丈八尺為第三
日之數又倍之得三丈六尺為第四日
之數四數相加共得六丈七尺五寸以
合原數也
設如一人借銀為商三次每次得利銀比本銀加一
倍每次還人二百兩三次之後本利還盡問原本
銀若干
法以一為本銀分數二為第一次本利
共分四為第二次本利共分八為第三
次本利共分即以八分為一率原本銀
一分為二率又以一為第三次還銀分
二為第二次還銀分四為第一次還銀
分併之得七分與每次還人二百兩相
乘得一千四百兩為三率得四率一百
七十五兩即原本銀數也葢每次得利
銀比本銀加一倍則原本銀為一分第
一次必得二分第二次必得四分至第
三次必得八分此以未還人計也然每
次還人二百兩三次之後本利還盡若
第三次不還則得二百兩者一分第二
次不還則至第三次必得二百兩者二
分第一次不還則至第三次必得二百
兩者四分(以第一次之一分第二次加/倍得二分第三次加倍得四)
(分/)是第三次應得二百兩者七分而為
一千四百兩矣故以八分與一分之比
同於一千四百兩與一百七十五兩之
比也
又法以二百兩用三次還銀共分七乘
之得一千四百兩折半三次亦得本銀
之數葢折半三次即以八除也
設如一人賣酒每日比原數加一倍一日賣一斤六
日賣盡問原酒若干
法以一為原酒分數按六日加倍六次
得六十四分為一率原酒一分為二率
又以一為第六次賣酒分二為第五次
賣酒分四為第四次賣酒分八為第三
次賣酒分十六為第二次賣酒分三十
二為第一次賣酒分併之得六十三分
與每斤十六兩相乘得一千零八兩為
三率得四率十五兩七錢五分即原酒
數也
又法以每斤十六兩用六次賣酒共分
六十三乘之得一千零八兩折半六次
亦得原酒之數葢折半六次即以六十
四除也
設如有田一千二百畝分與甲乙丙丁四人種之自
上以下遞減一半問各該若干
法以八為甲分四為乙分二為丙分一
為丁分併之得十五分為一率田一千
二百畝為二率以甲八分為三率得四
率六百四十畝即甲田數以乙四分為
三率得四率三百二十畝即乙田數以
丙二分為三率得四率一百六十畝即
丙田數以丁一分為三率得四率八十
畝即丁田數如以甲田六百四十畝折
半即乙田數以乙田三百二十畝折半
即丙田數以丙田一百六十畝折半即
丁田數也
設如有銀一萬八千零八十八兩令甲乙丙三人減
半分之問各該幾何
法以四為甲分數二為乙分數一為丙
分數併之得七分為一率總銀一萬八
千零八十八兩為二率以甲四分為三
率得四率一萬零三百三十六兩即甲
所得銀數以乙二分為三率得四率五
千一百六十八兩即乙所得銀數以丙
一分為三率得四率二千五百八十四
兩即丙所得銀數也葢減半者即自上
而下折半減之也如四折半為二二折
半為一是也今以甲銀一萬零三百三
十六兩折半即得乙銀五千一百六十
八兩将乙銀再折半即得丙銀二千五
百八十四兩也
設如有銀三千一百六十兩分與三等人第一等人
二十名第二等人二十四名第三等人三十名第
二等比一等之銀減一倍第三等比二等之銀減
一倍問各等每人分銀幾何
法以四為一等分數二為二等分數一
為三等分數以一分乘三等三十名仍
得三十分以二分乘二等二十四名得
四十八分以四分乘一等二十名得八
十分三數相併共得一百五十八分為
一率總銀三千一百六十兩為二率四
分為三率得四率八十兩為第一等每
人所得銀數減半得四十兩為二等每
人所得銀數又減半得二十兩為三等
每人所得銀數以各等人數乘各等每
人所得銀數即各等共人所得共銀數
併之以合原銀數也
御製數理精蘊下編卷四