御製數理精蘊
御製數理精蘊
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷五
線部三
按數加减比例(遞加遞减差分/互□□平差分) (超位加减差分/首尾互凖差分)
按數加減比例
差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為
相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所
減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃
加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分
蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞
加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數
與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定
為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位
加減即遞加遞减之一類也首尾互凖又為互和折
半之變體也
遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自
多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次
名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡
單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四
色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙
位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中
數按定數加減則各色之數可得矣
超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分
銀若干一得三分一得五分一得八分而彼此分數
之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出
二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例
不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減
無異故次於遞次加減之後
互和折半者亦如遞次加減之理但用法㣲異遞次
加減知總物數知總人數併知遞加遞減之數以求
各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人
比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是
以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色
者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中
數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五
色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例
俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也
首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總
物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此
較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知
總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分
數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以
互和折半之法逆推之而即得故次於互和折半之
後焉
遞加遞減差分
設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分
之問各得幾何
法以三人為一率金六十兩為二率一
人為三率推得四率二十兩即乙應得
之數自乙數加五兩得二十五兩即丙
應得之數自乙數減五兩得十五兩即
甲應得之數也此法因甲丙二人所得
較之乙所得加減之數皆同故以總三
人與總六十兩之比即若中一人與中
一分二十兩之比也
設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五
斤問每球重數若干
法以四球為一率鉛三百五十斤為二
率一球為三率推得四率八十七斤半
即第二球第三球相和折半之數乃以
遞加二十五斤折半得十二斤半與八
十七斤半相加得一百斤即第三球之
重與八十七斤半相減餘七十五斤即
第二球之重於第三球重數内再加二
十五斤得一百二十五斤即第四球之
重於第二球重數内再減二十五斤餘
五十斤即第一球之重也此法比例所
得八十七斤半較之第二球多十二斤
半較之第三球則少十二斤半故為二
球相和折半之數以遞加二十五斤之
數折半加減之即得中二球之重再以
二十五斤加減之即得第一與第四球
之重也
設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以
上遞加五斤問各該幾何
法以五人為一率金七十五斤為二率
一人爲三率推得四率十五斤即伯所
得之數自伯十五斤而上加五斤得二
十斤即侯所得之數再加五斤得二十
五斤即公所得之數自伯十五斤而下
減五斤餘十斤即子所得之數再減五
斤餘五斤即男所得之數也
設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十
三石給之問各得若干
法以五分為一率(即五等官/五分也)糧三百零
五石為二率一分為三率推得四率六
十一石即三等官俸自六十一石遞加
十三石得二等七十四石一等八十七
石自六十一石遞減十三石得四等四
十八石五等三十五石也
設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依
次遞加十七錠問首末兩人各該幾何
法以八人為一率銀九百九十六錠為
二率一人為三率推得四率一百二十
四錠半為第四人第五人相和折半之
數乃以遞加十七錠折半得八錠半與
一百二十四錠半相加得一百三十三
錠即第四人應得之數再以十七錠遞
加三次得一百八十四錠即第一人應
得之數以八錠半與一百二十四錠半
相減餘一百一十六錠即第五人應得
之數再以十七錠遞減三次餘六十五
錠即第八人應得之數也
設如一人有九子不明説出各人歲數但云共有二
百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何
法以九分為一率(即以九子/為九分也)二百零七
歲為二率一分為三率推得四率二十
三歲即第五子之年自二十三嵗遞加
三歲得四子二十六嵗三子二十九歳
二子三十二歲長子三十五歲自二十
三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十
七嵗八子十四歲九子十一歲也
設如有敘功之二十人其末一人賞銀一百兩以上
遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何
法以一分為一率遞加三十兩為二率
十九分為三率推得四率五百七十兩
即第一人比末一人共多之數於此數
内加入末名之一百兩共六百七十兩
即第一人應得之數以第一人所得之
數與末一人所得之數併之共七百七
十兩復以二十人乘之得一萬五千四
百兩折半得七千七百兩即二十人共
得之銀數也此法蓋以第一人比第二
十人共多十九個三十兩故以一分與
遞加之三十兩相比即如十九分與第
一人共多於第二十人之五百七十兩
相比也既得十九分共多之數再加入
末一人之一百兩即得第一人應得之
數矣又首末二數相併以人數二十乘
之折半得其銀數者蓋以遞加之數彼
此均同首一人得數至多末一人得數
至少首末二人之數相併折半即為中
數以中數乘人數而得共數今首末二
人之數相併而末折半即用人數乗之
故所得之數為應得共數之加倍數是
以半之而始得共銀數也
設如有牛四十區但云第一區是三十頭餘遞加二
十頭問第四十區該幾何總數幾何
法以一分為一率遞加二十頭為二率
三十九分為三率推得四率七百八十
加入第一區之三十共八百一十頭即
第四十區之數以首末二區數相併共
八百四十頭用四十區乗之得三萬三
千六百頭折半得一萬六千八百頭即
四十區之總數也此法第二區比第一
區加二十由此遞加則第四十區比第
一區共多三十九個二十故以一分與
二十頭相比即如三十九分與第四十
區共多於第一區之七百八十頭相比
也再加入第一區之三十頭即第四十
區之數繼而併首末兩數以總區數四
十乗之折半即得共數也
設如有人一百名第一人賞銀一百兩以下遞減五
錢問共該銀幾何
法以一分為一率遞減五錢為二率九
十九分為三率推得四率四十九兩五
錢即第一名多於第一百名之數於一
百兩内減之餘五十兩零五錢即第一
百名應賞之數又與第一名賞銀相併
得一百五十兩零五錢以一百名乗之
得一萬五千零五十兩折半得七千五
百二十五兩即共賞銀數也蓋賞銀遞
減五錢則第一名比第一百名多九十
九個五錢故以一分與五錢相比即如
九十九分與第一名總多於第一百名
之數相比也爰以首尾兩數相併以名
數一百乗之折半而得總銀數也
設如一人染絹初日染八尺日加一尺加至六十尺
止問日與絹各幾何
法以初日之八尺與末日之六十尺相
加得六十八尺為首尾兩日共染之絹
數又看八尺以前遞減至一尺有幾分
今有七分即為七尺乃於末日之六十
尺減去七尺餘五十三尺即為共日五
十三日乃以二日為一率六十八尺為
二率五十三日為三率推得四率一千
八百零二尺即五十三日共染之絹數
也此法以二日為一率者取其首末相
合之共日為準也以初日末日之尺數
相併為二率者取其首末尺數相合與
首末兩日為比也以八尺遞減至一尺
而得日數為三率者蓋以初日之八尺
上數至一尺得數必為七分即爲七尺
(理與一面/尖堆法同)而今有之末日六十尺内減
去七尺餘五十三尺即為五十三日故
二日與首末相合之尺數相比即如共
日五十三日與共絹之尺數相比也
設如一人行路日増六里共行三百二十里但知初
末兩日所行共一百六十里問共行幾日及初日
末日各行幾里
法以初末兩日行數一百六十里折半
得八十里乃共日之中數為一率一日
為二率共行三百二十里為三率推得
四率四日即共行日數也又以日増六
里折半得三里與六里相併得九里加
於中數八十里得八十九里即第四日
所行之數減於中數八十里餘七十一
里即第一日所行之數也此法以第四
日第一日行數相併折半者為得四日
之中數既得四日之中數與一日之比
即如共數與四日之比也又以日増之
數折半而與日増之數相併加於中數
而得末日所行之數減於中數而得初
日所行之數者其所得之中數在第二
日第三日之間故此中數内加日増數
之半即得第三日所行之數減日増數
之半即得第二日所行之數故再加日
増數之全而得末日所行之數再減日
増數之全而得初日所行之數也
設如一人織布厯十三日共織一千三百五十二寸
因日漸長每日加功六寸至末日比初日多織七
十二寸問初末二日各織幾何
法以十三日為一率共織數一千三百
五十二寸為二率一日為三率推得四
率一百零四寸乃初末二日之中數為
第七日所織之數以第七日上計初日
下計末日俱得六分於是以六分與日
加六寸相乗得三十六寸乃以三十六
寸於第七日之一百零四寸内減之得
六十八寸即初日所織之數於第七日
之一百零四寸上加之得一百四十寸
即末日所織之數也此法雖求初末兩
日之數然以十三日與總織數之比即
一日與初末兩日中數之比既得中數
按分加之何所不得此又遞次加減法
中之又一例也
設如有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次遞減分
耕問各該幾何
法以三分為甲衰數二分為乙衰數一
分為丙衰數相併得六分為一率總田
七百二十畝為二率一分為三率推得
四率一百二十畝為一分即丙所耕之
數以二分因之得二百四十畝即乙所
耕之數以三分因之得三百六十畝即
甲所耕之數也此法併總衰分為一率
總田數為二率者是將總衰分比總田
數故六分得七百二十畝而一分得一
百二十畝也六分中甲得三分乙得二
分丙得一分自甲遞次至乙至丙皆減
一百二十畝故為遞減也凡命法中不
定所減分數者即以此法為例
設如有銀九十二兩令伯仲叔季四人遞減分之問
各得幾何
法以四分為伯衰數三分為仲衰數二
分為叔衰數一分為季衰數相併得十
分為一率總銀九十二兩為二率一分
為三率推得四率九兩二錢即季所得
之數以二分因之得一十八兩四錢即
叔所得之數以三分因之得二十七兩
六錢即仲所得之數以四分因之得三
十六兩八錢即伯所得之數也此法以
十分比總銀即如總銀分為十分也是
以十分中伯得四分仲得三分叔得二
分季得一分自伯遞次至季皆減一分
故謂之遞減差分也
設如有金一十二兩六錢欲挨次遞減造套杯六個
問各重若干
法以六五四三二一為六杯衰分併之
得二十一分為一率共金數一十二兩
六錢為二率一分為三率推得四率六
錢即第六杯之重以二分因之得一兩
二錢即第五杯之重以三分因之得一
兩八錢即第四杯之重以四分因之得
二兩四錢即第三杯之重以五分因之
得三兩即第二杯之重以六分因之得
三兩六錢即第一杯之重也此法以總
分比總銀即如以一分比末一杯之重
也以上遞加一分即各杯之重矣
設如有糧一千一百三十四石令五等戸遞減納之
一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四
等五十一户五等六十户問各等每戸應納若干
法以五四三二一為五等衰分以五分
因一等户二十四得一百二十分以四
分因二等戸三十三得一百三十二分
以三分因三等户四十二得一百二十
六分以二分因四等戸五十一得一百
零二分以一分因五等户六十仍得六
十分總併之得五百四十分為一率總
糧一千一百三十四石為二率一分為
三率推得四率二石一斗即五等每户
所納之數以二分因之得四石二斗即
四等每户所納之數以三分因之得六
石三斗即三等每户所納之數以四因
之得八石四斗即二等每戸所納之數
以五因之得十石五斗即一等每戸所
納之數也
超位加減差分
設如甲丙丁三人買房一所共價八百一十兩丙比
甲出銀加一倍丁比甲丙共出銀又加一倍問每
人各出幾何
法以一分為甲衰數加一倍得二分為
丙衰數又以甲一分丙二分相併為三
分復加一倍得六分為丁衰數相併得
九分為一率總銀八百一十兩為二率
以甲一分為三率得四率九十兩即甲
所出銀數加一倍得一百八十兩即丙
所出銀數將甲丙共銀復加一倍得五
百四十兩即丁所出銀數也此法以一
分為甲數加一倍為丙數者因丙比甲
銀多一倍也又共甲丙兩數加一倍為
丁數者因丁比甲丙共銀又多一倍也
故以所命各人分數相併得共分數以
此共分數比共銀數即如各人分數比
各人所出銀數也
設如有銀五千兩買馬四匹園一區宅一所其園價
比馬價多三倍而宅價比園價又多四倍問各價
幾何
法以一分為馬衰數加三倍(為三/分)得四
分為園衰數又將園四分加四倍(為十/六分)
得二十分為宅衰數相併得二十五分
為一率總價五千兩為二率馬一分為
三率推得四率二百兩即馬四匹之價
(馬每匹價/五十兩)加三分六百兩得八百兩即
園一區之價再將園價加四分三千二
百兩得四千兩即宅一所之價也此法
將馬為一分而加三分為園價者因園
價比馬價多三倍也又將園價為一分
而加四分為宅價者因宅價比園價又
多四倍也是以共分之比共價即如馬
四匹之一分比各色每一分之價也
設如有糧七百六十石以船三次運之第一次運十
分二次運七分三次運二分問每次運糧幾何
法以十分七分二分相併得十九分為
一率共糧七百六十石為二率十分為
三率得四率四百石即第一次所運之
數如以七分為三率得四率二百八十
石即第二次所運之數如以二分為三
率得四率八十石即第三次所運之數
也此法第一次之十分二次之七分三
次之二分即三次之衰數分數已明故
即以運分作衰分也
設如有銅一百八十兩依次遞減造三等儀器上等
比中等加二倍中等比下等加一倍問三等儀器
各得銅幾何
法以一分為下等衰數二分為中等衰
數二分加二倍得六分為上等衰數併
之得九分為一率共銅一百八十兩為
二率下等之一分為三率推得四率二
十兩即下等儀器之重加一倍得四十
兩即中等儀器之重又加二倍得一百
二十兩即上等儀器之重也此法命一
分為下等數故加倍為中等數而得二
分復以二分加二倍為上等數故上等
數又為六分也
設如有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹而價之多少
不等但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九
分之一問各價幾何
法以一分為驢衰數四分為馬衰數九
分為駝衰數併之得十四分為一率銀
七十兩為二率驢一分為三率推得四
率五兩即驢一匹之價以四分因之得
二十兩即馬一匹之價以九分因之得
四十五兩即駝一匹之價此法因駝價
為九分故即以九為衰數且兩分母俱
同為九分而馬居九分之四故即以四
為馬分驢居九分之一故即以一為驢
分也既得驢價取其四分即馬價取其
九分即駝價也
設如一人為商三次初次獲利比原銀多二倍二次
獲利比初次本利共銀多四倍三次獲利比二次
本利共銀又多三倍共計獲利併原銀得九百兩
問原銀幾何
法以一分為初商原銀衰數加二倍得
三分為初次本利共分又比三分加四
倍得十五分為二次本利共分又比十
五分加三倍得六十分為三次本利共
分即以此六十分為一率三次本利共
銀九百兩為二率一分為三率推得四
率一十五兩即原銀數也此法初次加
二倍是原銀之外加二倍也又加四倍
是比初次本利共銀之外又加四倍也
又加三倍是比二次本利共銀之外又
加三倍也故以總分比總銀即如一分
之比原銀也
設如有米二十四石分與四人甲四分乙五分丙七
分丁九分問各該幾何
法以甲之四分乙之五分丙之七分丁
之九分相併得二十五分為一率共米
二十四石為二率一分為三率推得四
率九斗六升乃每一分之數以甲四分
因之即得甲之三石八斗四升以乙五
分因之即得乙之四石八斗以丙七分
因之即得丙之六石七斗二升以丁九
分因之即得丁之八石六斗四升也此
法以一分為三率故得每人一分之數
如以各人分數各為三率即得各人之
全分矣
設如有銀九十二兩賞二十人分上中下三等上等
四人中等六人下等十人其中等比下等賞加一
倍上等比中等賞加二倍問各等每人得賞幾何
法以一分為下等衰數乗下等十人得
十分又將一分加一倍得二分為中等
衰數乗中等六人得十二分又將二分
加二倍得六分為上等衰數乗上等四
人得二十四分乃以十分十二分二十
四分相併得四十六分為一率總銀九
十二兩為二率下等一分為三率推得
四率二兩即下等每人應得之數將二
兩加一倍得四兩即中等每人應得之
數將四兩再加二倍得十二兩即上等
每人應得之數復以各等人數乗各等
每人應得之數即得上等四人共得四
十八兩中等六人共得二十四兩下等
十人共得二十兩也此法以下等一分
為三率故得下等每人一分之數按分
倍加而得中等上等如以各等衆人分
數各為三率即得各等之共數矣
設如有米五百三十五石賞與三等人第一等二十
名第二等五十名第三等一百一十名一等比二
等每名加七斗二等比三等每名加五斗問三等
每名各得幾何
法以二等比三等每名多五斗與二等
五十名相乗得二百五十斗又以一等
比二等每名多七斗與二等比三等每
名多五斗相加得十二斗與一等二十
名相乗得二百四十斗兩數相併得四
百九十斗乃於總米五百三十五石内
減之餘四百八十六石乃以一等二十
人二等五十人三等一百一十人相併
得一百八十人為一率四百八十六石
為二率一人為三率推得四率二石七
斗即三等毎一人應得之數加五斗得
三石二斗即二等毎一人應得之數再
加七斗得三石九斗即一等每一人應
得之數也此法以二等比三等毎名多
五斗與二等五十人相乗者是求二等
比三等共多之數又以一等比二等毎
名多七斗併二等比三等毎名多五斗
與一等二十人相乗者是求一等比三
等共多之數也既得一等二等共多於
三等之數於總數内減之所餘即三等
相併共一百八十人均分之數故以一
百八十人比總米四百八十六石即第
三等每一人之比二石七斗也由此加
五斗即得第二等每一人所得之數於
第二等每一人數内再加七斗即得第
一等每一人所得之數矣
互和折半差分
設如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分
之但知甲多丙三十六石問各該若干
法以三人為一率總米一百八十石為
二率一人為三率推得四率六十石即
乙應得之數次以甲多丙三十六石二
分之毎分得一十八石於乙數内加之
得七十八石即甲應得之數於乙數内
減之得四十二石即丙應得之數也此
法蓋以三人共得之數比一人所得之
數其一人所得之數即中一人應得之
數甲多乙幾何即乙多丙幾何而甲多
丙之數又為甲多乙之倍數故以甲多
丙之數分為二分於中數内一加一減
則彼此相較之數自得均平故謂之互
和折半也
設如有銀二百四十兩令趙錢孫李四人互和折半
分之但知趙多李一十八兩問各該若干
法以四人為一率總銀二百四十兩為
二率一人為三率推得四率六十兩即
錢孫中二人相和折半之數次取趙多
李十八兩之數以三歸之(以三立法者/用二歸以四)
(立法者用三歸蓋以/之相比而得較也)得六兩即四人遞
加之數折半得三兩乃中二人相和折
半數與中二人應得數之較以此三兩
加於六十兩得六十三兩即錢銀數減
於六十兩餘五十七兩即孫銀數錢銀
數内再加六兩得六十九兩即趙銀數
孫銀數内再減六兩餘五十一兩即李
銀數也此法蓋以四人共得之數比一
人應得之數其一人應得之數固非四
人平分之數故比例所得六十兩為錢
孫二人之中數較之錢數少三兩較之
孫數多三兩故於六十兩中加三兩即
錢數減三兩即孫數既得錢孫中二人
數則首末二人祇按分數加之而已
設如有兵二萬三千八百令甲乙丙丁戊五將互和
折半領之只云戊少甲三千三百六十問各將所
領若干
法以五分為一率兵數二萬三千八百
為二率一分為三率推得四率四千七
百六十即丙所領之數又取戊少甲之
三千三千六十以四歸之(此有五人而/較為四故用)
(四歸/也)得八百四十為平分加減之數自
丙數而上遞加之得五千六百即乙所
領之數得六千四百四十即甲所領之
數由丙數而下遞減之得三千九百二
十即丁所領之數得三千零八十即戊
所領之數也
設如有稻一百九十八畝令甲乙丙丁戊己六人收
割但知甲比己多收三十畝問各該收稻幾何
法以六人為一率總田一百九十八畝
為二率一人為三率推得四率三十三
畝即丙丁中二人相和折半之數次取
甲多己三十畝以五歸之得六畝折半
得三畝加於三十三畝得三十六畝即
丙收數再加六畝得四十二畝即乙收
數再加六畝得四十八畝即甲收數又
以折半三畝減於三十三畝餘三十畝
即丁收數再減六畝餘二十四畝即戊
收數再減六畝餘十八畝即己收數此
法因三十三畝為丙丁二人之中數較
之丙少三畝較之丁多三畝故以丙與
丁總差六畝折半加減之即得也
首尾互準差分
設如甲乙丙丁四人遞次分銀但知甲得六十九兩
丁得五十一兩問乙丙各得銀幾何
法以三分為甲多於丁之衰數(有四人/故用三)
(分如或五人則用四/分六人則用五分)為一率甲六十九
兩與丁五十一兩相減餘一十八兩為
二率一分為三率推得四率六兩即四
人所得遞加之數將丁銀五十一兩加
六兩得五十七兩即丙應得之數再加
六兩得六十三兩即乙應得之數也蓋
甲數最多丁數最少相差一十八兩由
丁至丙至乙至甲相隔三位則知有三
差故用三分比一十八兩即如一分比
六兩而為遞加數也若三色者以首尾
兩數相加折半即中數其法易求故不
設例
設如五人遞次絡絲第一人絡絲四十兩第五人絡
絲二十四兩問中三人各絡絲幾何
法以四分為第一人多於第五人之衰
數為一率第一第五兩數相減餘一十
六兩為二率一分為三率推得四率四
兩即五人絡絲遞加之數將第五人絡
絲二十四兩加四兩得二十八兩即第
四人所絡之數再加四兩得三十二兩
即第三人所絡之數再加四兩得三十
六兩即第二人所絡之數也此法用四
為除法葢第五與第一相隔四位則知
有四差故用四為比例也
又捷法以第一第五兩數相加折半得
三十二兩即第三人所絡之數又以第
一第三兩數相加折半得三十六兩即
第二人所絡之數復以第三第五兩數
相加折半得二十八兩即第四人所絡
之數此法即前互和折半之法凡位數
竒者俱可用如三五七九是也
設如七人運糧不言總數但知第一人第二人共運
二十三石七斗第五人第六人第七人共運二十
六石一斗其遞加之數俱相等問第三人第四人
與前後五人各運幾何
法以第一第二兩人共運二十三石七
斗折半得十一石八斗五升為第一第
二兩人相和折半之數第五第六第七
三人共運二十六石一斗三歸之得八
石七斗即第六人應運之數乃以第一
分第二分之中數一分半與第六分相
減餘四分半為一率第一第二兩人相
和折半之十一石八斗五升内減第六
人之八石七斗餘三石一斗五升為二
率一分為三率推得四率七斗即每人
遞加之數由第六人八石七斗而下減
七斗得八石即第七人應運之數由第
六人八石七斗而上遞加七斗得九石
四斗即第五人應運之數得十石一斗
即第四人應運之數得十石八斗即第
三人應運之數得十一石五斗即第二
人應運之數得十二石二斗即第一人
應運之數也此法蓋因第一人第二人
相和折半之數至第二人差半分至第
三人差一分半至第四人差二分半至
第五人差三分半至第六人則差四分
半故先以第一第二之中數與第六相
減得其四分半之差數而以四分半比
前二人相和折半多於第六人之六石
三斗即如一分比每人遞加之七斗也
設如八人分銀不言總數但知第一第二第三三人
共得四十五兩第七第八二人共得八十五兩其
遞加之數俱相等問各人應得若干
法以前三人共得銀數四十五兩用三
歸之得十五兩即第二人應得之數後
二人共得八十五兩折半得四十二兩
五錢即第七第八兩人相和折半之數
乃以第二分與第七分第八分之中數
七分半相減餘五分半為一率第二人
應得之十五兩與後二人相和折半之
四十二兩五錢相減餘二十七兩五錢
為二率一分為三率推得四率五兩即
每人遞加之數於第二人十五兩内減
五兩即得第一人十兩於第二人十五
兩外遞加五兩即得第三人二十兩第
四人二十五兩第五人三十兩第六人
三十五兩第七人四十兩第八人四十
五兩之數也此法葢因第二人至第三
人差一分至第四人差二分至第五人
差三分至第六人差四分至第七人差
五分至第七第八兩人相和折半之數
則差五分半故先以第二與第七第八
之中數相減得其五分半之差數而以
五分半比後二人相和折半多於第二
人之數即如每一分比每人遞加之數
也
設如八人分米不言總數但知第一第二兩人共得
一十一石九斗第七第八兩人共得八石三斗其
遞加之數俱相等問每人應得若干
法以第一第二兩人共數一十一石九
斗折半得五石九斗五升即第一第二
兩人相和折半之數再以第七第八兩
人共數八石三斗折半得四石一斗五
升即第七第八兩人相和折半之數乃
以第一分第二分之中數一分半與第
七分第八分之中數七分半相減餘六
分為一率第一第二兩人相和折半之
五石九斗五升内減第七第八兩人相
和折半之四石一斗五升餘一石八斗
為二率一分為三率推得四率三斗即
每人遞加之數折半得一斗五升加於
第一第二兩人相和折半之五石九斗
五升得六石一斗即第一人之數以次
遞減三斗即得第二人五石八斗第三
人五石五斗第四人五石二斗第五人
四石九斗第六人四石六斗第七人四
石三斗第八人四石之數也此法蓋因
第一第二兩人相和折半之數至第二
人差半分至第三人差一分半至第四
人差二分半至第五人差三分半至第
六人差四分半至第七人差五分半至
第七第八兩人相和折半之數則差六
分故先以第一第二之中數與第七第
八之中數相減得其六分之差數而以
六分比第一第二相和折半多於第七
第八相和折半之數即如每一分比每
人遞加之數也又以第一第二之中數
比第一人差半分故以一分之三斗折
半得一斗五升加於第一第二兩人相
和折半之數即得第一人之數也
設如有竹九節截為九筩盛米遞次長短不均但知
根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三
升問九節各盛米數幾何
法以根底第一第二第三三節共盛米
三升九合用三歸之得一升三合即第
二節盛米之數梢上第六第七第八第
九四節共盛米三升用四歸之得七合
五勺即第七第八兩節相和折半之數
乃以第二分與第七分第八分之中數
七分半相減餘五分半為一率第二節
盛米一升三合内減第七第八兩節相
和折半之七合五勺餘五合五勺為二
率一分為三率推得四率一合即每節
遞加之數自第二節盛米一升三合而
上加一合即得第一節盛米一升四合
自第二節盛米一升三合而下遞減一
合即得第三節盛一升二合第四節盛
一升一合第五節盛一升第六節盛九
合第七節盛八合第八節盛七合第九
節盛六合也
設如有竹九節截為九筩盛米但知根底二節盛米
六升三合梢上二節盛米二升一合問各節所盛
米數若干
法以根底二節共盛米六升三合折半
得三升一合五勺為第一第二兩節相
和折半之數梢上二節共盛米二升一
合折半得一升零五勺為第八第九兩
節相和折半之數乃以第一分第二分
之中數一分半與第八分第九分之中
數八分半相減餘七分為一率第一第
二兩節相和折半之三升一合五勺内
減第八第九兩節相和折半之一升零
五勺餘二升一合為二率一分為三率
推得四率三合即毎節遞加之數折半
得一合五勺加於第一第二兩節相和
折半之三升一合五勺得三升三合即
第一節盛米之數以次遞減三合即得
第二節盛三升第三節盛二升七合第
四節盛二升四合第五節盛二升一合
第六節盛一升八合第七節盛一升五
合第八節盛一升二合第九節盛九合
也
設如十人按數挨次納糧前三人共納一十三石八
斗後四人共納一十三石二斗問十人各納糧數
若干
法以前三人共納一十三石八斗用三
歸之得四石六斗為第二人所納之數
後四人共納一十三石二斗用四歸之
得三石三斗為第八第九兩人相和折
半之數乃以第二分與第八分第九分
之中數八分半相減餘六分半為一率
第二人之四石六斗内減第八第九兩
人相和折半之三石三斗餘一石三斗
為二率一分為三率推得四率二斗即
每人遞加之數自第二人四石六斗以
上加二斗得四石八斗即第一人所納
之數自第二人四石六斗以下遞減二
斗得四石四斗即第三人所納之數得
四石二斗即第四人所納之數得四石
即第五人所納之數得三石八斗即第
六人所納之數得三石六斗即第七人
所納之數得三石四斗即第八人所納
之數得三石二斗即第九人所納之數
得三石即第十人所納之數也
設如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人遞減納
之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數相等問
五人各納幾何
法以四分為甲多於戊之衰數(自甲至/乙至丙)
(至丁至戊隔四位/故以四分為衰數)三分為乙多於戊之
衰數併之為七分以二分為丙多於戊
之衰數一分為丁多於戊之衰數併之
為三分乃以三分與七分相減餘四分
為前二人多於後三人之較又以前二
人與後三人相減餘一人為後三人多
於前二人之較夫前多四分後多一人
而其數相等則四分即為一人之數乃
以一人為一率四分為二率戊一人為
三率推得四率仍得四分即定為戊一
人之分數各加毎人所多衰數則甲得
八分乙得七分併之得十五分丙得六
分丁得五分併戊之四分亦得十五分
是前後分數已同矣乃以兩總分相併
得三十分為一率總米二百四十石為
二率一分為三率推得四率八石即每
一分之數用甲之八分乗之得甲之六
十四石用乙之七分乘之得乙之五十
六石併之共得一百二十石用丙之六
分乗之得丙之四十八石用丁之五分
乗之得丁之四十石用戊之四分乗之
得戊之三十二石併之亦共得一百二
十石是甲乙二人納數與丙丁戊三人
納數等也
設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人遞加分之
定甲乙丙丁四人與戊己二人分數相等問六人
各分幾何
法以一分為乙多於甲之衰數二分為
丙多於甲之衰數三分為丁多於甲之
衰數併之為六分四分為戊多於甲之
衰數五分為己多於甲之衰數併之為
九分乃以六分與九分相減餘三分為
後二人多於前四人之較又以前四人
與後二人相減餘二人為前四人多於
後二人之較夫前多二人後多三分而
其數相等則三分即為二人之數乃以
二人為一率三分為二率甲一人為三
率推得四率一分五(即一分/半也)即定為甲
一人之分數各加每人所多衰數則乙
得二分半丙得三分半丁得四分半併
甲乙丙丁四人數得十二分戊得五分
半己得六分半併戊己二人數亦得十
二分是前後分數已同矣乃以兩總分
相併得二十四分為一率總銀六百兩
為二率一分為三率推得四率二十五
兩即每一分之數用甲一分半乗之得
甲三十七兩五錢用乙二分半乗之得
乙六十二兩五錢用丙三分半乗之得
丙八十七兩五錢用丁四分半乗之得
丁一百一十二兩五錢併四人數共得
三百兩用戊五分半乗之得戊一百三
十七兩五錢用己六分半乗之得己一
百六十二兩五錢併二人數亦共得三
百兩是甲乙丙丁四人銀數與戊己二
人銀數等也
設如有麥一千零八畝令七人遞減分收定前三人
與後四人所得共數相同問七人各收麥幾何
法以六分為第一人比第七人所多衰
數(自第一至第七隔六/位故以六為衰數)五分為第二人
比第七人所多衰數四分為第三人比
第七人所多衰數併之為十五分三分
為第四人比第七人所多衰數二分為
第五人比第七人所多衰數一分為第
六人比第七人所多衰數併之為六分
乃以六分與十五分相減餘九分為前
三人多於後四人之較又以前三人與
後四人相減餘一人為後四人多於前
三人之較夫前多九分後多一人而其
數相等則九分即為一人之數乃以一
人為一率九分為二率末一人為三率
推得四率仍為九分即定為第七人之
分數各加每人所多分數則第一人得
十五分第二人得十四分第三人得十
三分併之為四十二分第四人得十二
分第五人得十一分第六人得十分第
七人得九分併之亦為四十二分是前
後分數已同矣乃以兩總分相併得八
十四分為一率麥一千零八畝為二率
一分為三率推得四率十二畝即毎一
分之數用十五分乗之即得第一人一
百八十畝用十四分乗之即得第二人
一百六十八畝用十三分乗之即得第
三人一百五十六畝併三人數共得五
百零四畝用十二分乗之即得第四人
一百四十四畝用十一分乗之即得第
五人一百三十二畝用十分乗之即得
第六人一百二十畝用九分乗之即得
第七人一百零八畝併四人數亦共得
五百零四畝是前三人畝數與後四人
畝數等也
設如有糧一千零九十二石令七次遞減運送定前
二次與後五次運送之數相等問每次運送幾何
法以十八分為第一次比第七次所多
之衰數(自第一次至第七次相隔六位/應以六分為衰數是為每次遞)
(加一分今將六分用三因之為十八分/是為每一次遞加三分故各衰五四三)
(二一俱用三因/其比例仍同也)十五分為第二次比第
七次所多之衰數併之為三十三分十
二分為第三次比第七次所多之衰數
九分為第四次比第七次所多之衰數
六分為第五次比第七次所多之衰數
三分為第六次比第七次所多之衰數
併之爲三十分乃以三十分與三十三
分相減餘三分為前兩次多於後五次
之較又以後五次與前兩次相減餘三
次為後五次多於前兩次之較夫前多
三分後多三次而其數相等則三分即
為三次之數乃以三次為一率三分為
二率一次為三率推得四率一分即為
第七次之分數各加每次所多衰數第
一次得十九分第二次得十六分併之
得三十五分第三次得十三分第四次
得一十分第五次得七分第六次得四
分併第七次之一分亦得三十五分是
前後分數已同矣乃以兩總分相併得
七十分為一率總糧一千零九十二石
為二率一分為三率推得四率一十五
石六斗即第七次一分所運之數用十
九分乗之得二百九十六石四斗即第
一次所運之數用十六分乗之得二百
四十九石六斗即第二次所運之數併
兩次共得五百四十六石用十三分乗
之得二百零二石八斗即第三次所運
之數用一十分乗之得一百五十六石
即第四次所運之數用七分乗之得一
百零九石二斗即第五次所運之數用
四分乘之得六十二石四斗即第六次
所運之數併第七次所運之一十五石
六斗亦共得五百四十六石是前二次
運送糧數與後五次運送糧數等也
御製數理精藴下編卷五