御製數理精蘊

　欽定四庫全書

御製數理精蘊下編卷十五

　　面部五

　　　割圜(屢求/勾股)

　　割圜

周髀曰圓出於方方出於矩矩者所謂直角即勾股

也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人

用割圜之法内弦外切屢求勾股為無數多邊形以

切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則

推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖冲之以圜容六

邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入

中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸

線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半

即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十

二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八

邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五

九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内

容正方之斜弦自乗折半開方而得四邊之一亦用

屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自

十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而

周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起

算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外

正方之斜弦減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外

八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得弦

與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以八

邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式

形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即

十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得

三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜

徑為弦半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取

其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為

勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小

同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑

之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小

同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊

設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘

此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾

股小弦逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切

形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将

與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆

可以互相比例矣割圜八線則將圜周分為三百六

十度先求弧度通弦折半為正弦既得正弦而圜内

之正矢圜外之正切正割由之而生至於餘弦餘矢

餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象

限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘

角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象

限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸

法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得

無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内

外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内

而正弦外而切線至於無數則圜周亦漸變為直線

二者互相恭考俱為相符可見理之至者先後一揆

法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜

即勾股之用二者交相成而兩相得乎

　　圜内容六邊起算

設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何

　　　　　法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所

　　　　　容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為

　　　　　弦六邊之一邊一兆折半得五千億為

　　　　　勾求得股八千六百六十億二千五百

　　　　　四十萬三千七百八十四(小餘四三八/六四六七六)

　　　　　(三七二三一七○七五二/九三六一八三四七一)與半徑相減

　　　　　餘一千三百三十九億七千四百五十

　　　　　九萬六千二百一十五(小餘五六一三/五三二三六二)

　　　　　(七六八二九二四七○/六三八一六五二九)復為勾六邊之

　　　　　一邊折半之五千億為股求得弦五千

　　　　　一百七十六億三千八百零九萬零二

　　　　　百零五(小餘○四一五二四六九七七/九七六七五二四八○九六六)

　　　　　(五七六/六四)為圜内所容十二邊形之每一

　　　　　邊如是屢求得圜内二十四邊形之每

　　　　　一邊為二千六百一十億五千二百三

　　　　　十八萬四千四百四十零(小餘一○三/一八三○九)

　　　　　(六八一二四五五七九○/九七八○二○三八七)圜内四十八

　　　　　邊形之每一邊為一千三百零八億零

　　　　　六百二十五萬八千四百六十零(小餘/二八)

　　　　　(六一三三六三○六三一一一七/五五○三五○八八二八七九)圜内

　　　　　九十六邊形之每一邊為六百五十四

　　　　　億三千八百一十六萬五千六百四十

　　　　　三(小餘五五二二八四一二七三一二/二八八二四一六○八六七八四三)

　　　　　(三/)圜内一百九十二邊形之每一邊為

　　　　　三百二十七億二千三百四十六萬三

　　　　　千二百五十二(小餘九七三五六三二/八五九二八五六五八)

　　　　　(九九一八九八/三三二一三)圜内三百八十四邊形

　　　　　之每一邊為一百六十三億六千二百

　　　　　二十七萬九千二百零七(小餘八七四/二五八五七)

　　　　　(○三九八一四六五八九/五二六六七九九六四)圜内七百六

　　　　　十八邉形之每一邊為八十一億八千

　　　　　一百二十萬八千零五十二(小餘四六/九五七九)

　　　　　(一八九二四八二一九九一/○○三六二五二三三七)圜内一千

　　　　　五百三十六邊形之每一邊為四十億

　　　　　九千零六十一萬二千五百八十二(小/餘)

　　　　　(三二八一九○二二八八二六一一/七九六八五八五一九○○三九)圜

　　　　　内三千零七十二邊形之每一邊為二

　　　　　十億四千五百三十萬七千三百六十

　　　　　零(小餘六七六六○九○八二三八五/九二二二九二一○二○七九○二)

　　　　　(九/)圜内六千一百四十四邊形之每一

　　　　　邊為一十億二千二百六十五萬三千

　　　　　八百一十四(小餘○二七三九五○二/二○二八五九八九五八)

　　　　　(八五二二四/三九一七)圜内一萬二千二百八十

　　　　　八邊形之毎一邊為五億一千一百三

　　　　　十二萬六千九百二十三(小餘七二四/八三四六二)

　　　　　(八一二三二九九○三一/九○八八四七六七九)圜内二萬四

　　　　　千五百七十六邊形之每一邊為二億

　　　　　五千五百六十六萬三千四百六十三

　　　　　(小餘九五一三○九四八○五二三四/四九○一一一四一○六三一七六)

　　　　　圜内四萬九千一百五十二邊形之每

　　　　　一邊為一億二千七百八十三萬一千

　　　　　七百三十二(小餘二三六七六六二六/一八六九四七六四六四)

　　　　　(○四九二○/九九九七)圜内九萬八千三百零四

　　　　　邊形之毎一邊為六千三百九十一萬

　　　　　五千八百六十六(小餘一五一○二二/○七一一六○七○)

　　　　　(八○七一二六三/八七○七五三)圜内一十九萬六千

　　　　　六百零八邊形之每一邊為三千一百

　　　　　九十五萬七千九百三十三(小餘○七/九五九○)

　　　　　(九○三一○九三八一五四/一九三○六五三八○○)圜内三十

　　　　　九萬三千二百一十六邊形之毎一邊

　　　　　為一千五百九十七萬八千九百六十

　　　　　六(小餘五四○三○五五二八八九六/二四八七七九三七二三七五九六)

　　　　　(七/)圜内七十八萬六千四百三十二邊

　　　　　形之每一邊為七百九十八萬九千四

　　　　　百八十三(小餘二七○二一六四六五/四二八○六六六八一○五)

　　　　　(六一一一/一四八)圜内一百五十七萬二千八

　　　　　百六十四邊形之每一邊為三百九十

　　　　　九萬四千七百四十一(小餘六二五一/一七四五二九)

　　　　　(七五八六八○七○六/八一一七九三三九)圜内三百一十

　　　　　四萬五千七百二十八邊形之毎一邊

　　　　　為一百九十九萬七千三百七十零(小/餘)

　　　　　(八一七五五九○九六六六四○五/九二五四○○二八六七九六四)圜

　　　　　内六百二十九萬一千四百五十六邊

　　　　　形之毎一邊為九十九萬八千六百八

　　　　　十五(小餘四○八七七九六七二八三/九七五五七五七四○六一一三)

　　　　　(六一/四)圜内一千二百五十八萬二千九

　　　　　百一十二邊形之每一邊為四十九萬

　　　　　九千三百四十二(小餘七○四三八九/八五一九八三三一)

　　　　　(二三六三九八二/九九六三五五)圜内二千五百一十

　　　　　六萬五千八百二十四邊形之每一邊

　　　　　為二十四萬九千六百七十一(小餘三/五二一)

　　　　　(九四九二七九三七○八八六/一七六九八八○二六五六)圜内五

　　　　　千零三十三萬一千六百四十八邊形

　　　　　之每一邊為一十二萬四千八百三十

　　　　　五(小餘六七六○九七四六四二一一/七二三三二二五○四七○九四一)

　　　　　(八/)圜内一億零六十六萬三千二百九

　　　　　十六邊形之毎一邊為六萬二千四百

　　　　　一十七(小餘八三八○四八七三二一/三六二五九○六三二○九五)

　　　　　(八七八/四三)圜内二億零一百三十二萬六

　　　　　千五百九十二邊形之每一邊為三萬

　　　　　一千二百零八(小餘九一九○二四三/六六○七一九二九二)

　　　　　(○四二六九一/一八四○二)圜内四億零二百六十

　　　　　五萬三千一百八十四邊形之每一邊

　　　　　為一萬五千六百零四(小餘四五九五/一二一八三○)

　　　　　(三六四三九四九七一/○七三二○九五一)圜内八億零五

　　　　　百三十萬六千三百六十八邊形之毎

　　　　　一邊為七千八百零二(小餘二二九七/五六○九一五)

　　　　　(一八二七九一五○四/八二九一五一四二)圜内一十六億

　　　　　一千零六十一萬二千七百三十六邊

　　　　　形之每一邊為三千九百零一(小餘一/一四八)

　　　　　(七八○四五七五九一四六九/九六五八一四八七○一五)圜内三

　　　　　十二億二千一百二十二萬五千四百

　　　　　七十二邊形之每一邊為一千九百五

　　　　　十零(小餘五五七四三九○二二八七/九五七四五二九五三四四○六)

　　　　　(八七/四)圜内六十四億四千二百四十五

　　　　　萬零九百四十四邊形之每一邊為九

　　　　　百七十五(小餘二七八七一九五一一/四三九七八七三二九三六)

　　　　　(四一一九/九二六)圜内一百二十八億八千四

　　　　　百九十萬一千八百八十八邊形之每

　　　　　一邊為四百八十七(小餘六三九三五/九七五五七一九)

　　　　　(八九三六七七四九/八九○九九○五)圜内二百五十七

　　　　　億六千九百八十萬三千七百七十六

　　　　　邊形之每一邊為二百四十三(小餘八/一九六)

　　　　　(七九八七七八五九九四六八/三八七四九四五四九五三)圜内五

　　　　　百一十五億三千九百六十萬七千五

　　　　　百五十二邊形之每一邊為一百二十

　　　　　一(小餘九○九八三九九三八九二九/九七三四一四二四七九八七九○)

　　　　　(九/)乃以五百一十五億三千九百六十

　　　　　萬七千五百五十二邊之數與其每一

　　　　　邊一百二十一(小餘九○九八三九九/三八九二九九七三四)

　　　　　(一四二四七九/八七九○九)之數相乗得六兆二千

　　　　　八百三十一億八千五百三十萬七千

　　　　　一百七十九(小餘五八六四七六五八/○一三四八二二○三五)

　　　　　(五○一○八/八七六八)為圜徑二兆之周數

　　圜内容四邊起算

設如圜徑二兆用内容四邊起算問得圜周幾何

　　　　　法以圜徑二兆折半得一兆自乗得一

　　　　　穣倍之開方得一兆四千一百四十二

　　　　　億一千三百五十六萬二千三百七十

　　　　　三(小餘○九五○四八八○一六八八/七二四二○九六九八○七八五六)

　　　　　(九/)為圜内所容四邊形之每一邊乃以

　　　　　半徑一兆為弦四邊之一邊一兆四千

　　　　　一百四十二億一千三百五十六萬二

　　　　　千三百七十三(小餘○九五○四八八/○一六八八七二四二)

　　　　　(○九六九八○/七八五六九)折半得七千零七十一

　　　　　億零六百七十八萬一千一百八十六

　　　　　(小餘五四七五二四四○○八四四三/六二一○四八四九○三九二八四)

　　　　　為勾亦即為股(四邊折半所成之勾/股形其勾與股相等)與

　　　　　半徑相減餘二千九百二十八億九千

　　　　　三百二十一萬八千八百一十三(小餘/四五)

　　　　　(二四七五五九九一五五六三七/八九五一五○九六○七一六)復為

　　　　　勾四邊之一邊折半之七千零七十一

　　　　　億零六百七十八萬一千一百八十六

　　　　　(小餘五四七五二四四三九八四四三/六二一 四八四九 二八四)

　　　　　為股求得弦七千六百五十三億六千

　　　　　六百八十六萬四千七百三十零(小餘/一七)

　　　　　(九五四三四五六九一九九六八/ 六 七九七七三三五二三)為圜

　　　　　内所容八邊形之每一邊復以半徑一

　　　　　兆為弦八邊之一邊折半得三千八百

　　　　　二十六億八千三百四十三萬二千三

　　　　　百六十五(小餘九八九七七一七二八/四五 九八四 三 三九)

　　　　　(八八六六/七六一)為勾求得股九千二百三十

　　　　　八億七千九百五十三萬二千五百一

　　　　　十一(小餘二八六七五六一二八一八/三一八九三九六七八八二八六)

　　　　　(八二/二)與半徑相減餘七百六十一億二

　　　　　千零四十六萬七千四百八十八(小餘/七一)

　　　　　(三二四三八七一八一六八一○/六○三二一一七一三一七八)復為

　　　　　勾八邊之一邊折半之三千八百二十

　　　　　六億八千三百四十三萬二千三百六

　　　　　十五(小餘○八九七七一七二八四五/九九八四○三○三九八八六六)

　　　　　(七六/一)為股求得弦三千九百零一億八

　　　　　千零六十四萬四千零三十二(小餘二/五六五)

　　　　　(三五六九六五六九七三六九/五四○四四四八一八五五)為圜内

　　　　　所容十六邊形之毎一邊如是屢求得

　　　　　圜内三十二邊形之每一邊為一千九

　　　　　百六十億三千四百二十八萬零六百

　　　　　五十九(小餘一二一二○三九八八三/九一一二七七七七二八三六)

　　　　　(九一七/二二)圜内六十四邊形之每一邊為

　　　　　九百八十一億三千五百三十四萬八

　　　　　千六百五十四(小餘八三六○二八五/○九九一五○七三五)

　　　　　(四一九二一八/○四五八六)圜内一百二十八邊形

　　　　　之每一邊為四百九十億八千二百四

　　　　　十五萬七千零四十五(小餘八二四五/七六○六三四)

　　　　　(七一六二一○六二○/八五七五四一三二)圜内二百五十

　　　　　六邊形之每一邊為二百四十五億四

　　　　　千三百零七萬六千五百七十一(小餘/四三)

　　　　　(九八五二一五八八一七八○五/二八三二二七○七一六○○)圜内

　　　　　五百一十二邊形之每一邊為一百二

　　　　　十二億七千一百七十六萬九千二百

　　　　　九十八(小餘三○八九五○七一九二/八一一○九八九七五三九一)

　　　　　(五○二/八七)圜内一千零二十四邊形之毎

　　　　　一邊為六十一億三千五百九十一萬

　　　　　三千五百二十五(小餘九三四八一八/四○○九三五六一)

　　　　　(三五六一一八八/八五○三一八)圜内二千零四十八

　　　　　邊形之每一邊為三十億六千七百九

　　　　　十六萬零三百七十二(小餘五六九五/三一二二四六)

　　　　　(○七五五四四八二五/五三五七八○五四)圜内四千零九

　　　　　十六邊形之每一邊為一十五億三千

　　　　　三百九十八萬零六百三十七(小餘四/八五四)

　　　　　(○九○五三八七七二一六八/○六九八○五三六五二九)圜内八

　　　　　千一百九十二邊形之每一邊為七億

　　　　　六千六百九十九萬零三百七十五(小/餘)

　　　　　(一四二七九一一七八一四四九六/三四○七九一三二八八三一一)圜

　　　　　内一萬六千三百八十四邊形之毎一

　　　　　邊為三億八千三百四十九萬五千一

　　　　　百九十四(小餘六二一四○六六一四/八七九八三九一四六七五)

　　　　　(四三七○/三三三)圜内三萬二千七百六十八

　　　　　邊形之每一邊為一億九千一百七十

　　　　　四萬七千五百九十八(小餘一九一九/五四六九一七)

　　　　　(四一○四四四三三三/四一二七四三一七)圜内六萬五千

　　　　　五百三十六邊形之每一邊為九千五

　　　　　百八十七萬三千七百九十九(小餘二/○六一)

　　　　　(三三七六九○九八○一二九/八六六八三四九五八○七)圜内一

　　　　　十三萬一千零七十二邊形之每一邊

　　　　　為四千七百九十三萬六千八百九十

　　　　　九(小餘六一六八三六四三七四五八/三七五六五七一七七一三四八二)

　　　　　(七/)圜内二十六萬二千一百四十四邉

　　　　　形之每一邊為二千三百九十六萬八

　　　　　千四百四十九(小餘八一○一三九四/一二八四三○四四三)

　　　　　(七四六一七五/二八三三○)圜内五十二萬四千二

　　　　　百八十八邊形之毎一邊為一千一百

　　　　　九十八萬四千二百二十四(小餘九○/五二八四)

　　　　　(八五五六八五七六○○四/九三二九五五四六八八)圜内一百

　　　　　零四萬八千五百七十六邊形之每一

　　　　　邊為五百九十九萬二千一百一十二

　　　　　(小餘四五二六六九三二一五○○九/○九九三八七二六○○六○六五)

　　　　　圜内二百零九萬七千一百五十二邊

　　　　　形之每一邊為二百九十九萬六千零

　　　　　五十六(小餘二二六三三八○二二四/五七七○八七一四一二○二)

　　　　　(五三九/六六)圜内四百一十九萬四千三百

　　　　　零四邊形之毎一邊為一百四十九萬

　　　　　八千零二十八(小餘一一三一六九四/三一四四二二六一○)

　　　　　(七五三四七四/三二九三三)圜内八百三十八萬八

　　　　　千六百零八邊形之毎一邊為七十四

　　　　　萬九千零一十四(小餘○五六五八四/七六八二四七八○)

　　　　　(六三七七四六五/一五五○七七)圜内一千六百七十

　　　　　七萬七千二百一十六邊形之毎一邊

　　　　　為三十七萬四千五百零七(小餘○二/八二九二)

　　　　　(三九○六八九七三七六六/八七○六六八○○三二)圜内三千

　　　　　三百五十五萬四千四百三十二邊形

　　　　　之每一邊為一十八萬七千二百五十

　　　　　三(小餘五一四一四六一九六一六五/五九八一四四三五○一○八二二)

　　　　　(四/)圜内六千七百一十萬八千八百六

　　　　　十四邊形之每一邊為九萬三千六百

　　　　　二十六(小餘七五七○七三○九八一/八五三九○二三五九二四六)

　　　　　(五○三/○六)圜内一億三千四百二十一萬

　　　　　七千七百二十八邊形之毎一邊為四

　　　　　萬六千八百一十三(小餘三七八五三/六五四九一○五)

　　　　　(五一九○一三四三/一○二四六八二)圜内二億六千八

　　　　　百四十三萬五千四百五十六邊形之

　　　　　每一邊為二萬三千四百零六(小餘六/八九二)

　　　　　(六八二七四五五四三六二四/九三六四九○九九七八四)圜内五

　　　　　億三千六百八十七萬零九百一十二

　　　　　邊形之每一邊為一萬一千七百零三

　　　　　(小餘三四四六三四一三七二七七三/八一六二○一九一二四八三二一)

　　　　　圜内一十億七千三百七十四萬一千

　　　　　八百二十四邊形之每一邊為五千八

　　　　　百五十一(小餘六七二三一七○六八/六三八七一五八五六七六)

　　　　　(六四六一/四六四)圜内二十一億四千七百四

　　　　　十八萬三千六百四十八邊形之每一

　　　　　邊為二千九百二十五(小餘八三六一/五八五三四三)

　　　　　(一九三六一○五九二/一七○八五三九四)圜内四十二億

　　　　　九千四百九十六萬七千二百九十六

　　　　　邊形之毎一邊為一千四百六十二(小/餘)

　　　　　(九一八○七九二六七一五九六八/○九二○九六二七七四五二九)圜

　　　　　内八十五億八千九百九十三萬四千

　　　　　五百九十二邊形之每一邊為七百三

　　　　　十一(小餘四九五○三九六三三五七/九八四○五○三一四○一六六)

　　　　　(○二/七)圜内一百七十一億七千九百八

　　　　　十六萬九千一百八十四邊形之每一

　　　　　邊為三百六十五(小餘七二九五一九/八一六七八九九二)

　　　　　(○二五七六八四/九九二八八六)圜内三百四十三億

　　　　　五千九百七十三萬八千三百六十八

　　　　　邊形之毎一邊為一百八十二(小餘八/六四七)

　　　　　(五九九○八三九四九六○一/二九六○六八六○七七○)乃以三

　　　　　百四十三億五千九百七十三萬八千

　　　　　三百六十八邊之數與其每一邊一百

　　　　　八十二(小餘八六四七五九九○八三/九四九六○一二九六○六八)

　　　　　(六○七/七○)之數相乗得六兆二千八百三

　　　　　十一億八千五百三十萬七千一百七

　　　　　十九(小餘五八六四七六八六三○八/三一○六七五五○○三○二三)

　　　　　(三六/○)為圜徑二兆之周數

　　圜外切六邊起算

設如圜徑二兆用外切六邊起算問得圜周幾何

　　　　　法以圜徑二兆為弦半徑一兆為勾求

　　　　　得股一兆七千三百二十億五千零八

　　　　　十萬七千五百六十八(小餘八七七二/九三五二七四)

　　　　　(四六三四一五○五八/七二三六六九四二)取其三分之二

　　　　　得一兆一千五百四十七億零五十三

　　　　　萬八千三百七十九(小餘二五一五二/九○一八二九七)

　　　　　(五六一○○三九一/四九一一二九五)即圜外六邊形之

　　　　　毎一邊(葢圜徑為弦半徑為勾所得股/即圜外三邊形之每邊之一半)

　　　　　(倍之為圜外三邊形之每一邊其毎一/邊之三分之一即圜外六邊形之每一)

　　　　　(邊今以六邊起算故省求三邊止以所/得之股取其三分之二為六邊形之毎)

　　　　　(一邊/也)乃以六邊形之每一邊一兆一千

　　　　　五百四十七億零五十三萬八千三百

　　　　　七十九(小餘二五一五二九○一八二/九七五六一○○三九一四九)

　　　　　(一一二/九五)折半得五千七百七十三億五

　　　　　千零二十六萬九千一百八十九(小餘/六二)

　　　　　(五七六四五○九一四八七八○/五○一九五七四五五六四七)為勾

　　　　　半徑一兆為股即用六邊之一邊為弦

　　　　　(圜内六邊與半徑等圜外六邊亦與本/形半徑等故即用六邊之一邊為弦也)

　　　　　與半徑相減餘一千五百四十七億零

　　　　　五十三萬八千三百七十九(小餘二五/一五二九)

　　　　　(○一八二九七五六一○○/三九一四九一一二九五)即股弦較

　　　　　又即小同式形之勾復以六邊形之一

　　　　　邊折半之勾五千七百七十三億五千

　　　　　零二十六萬九千一百八十九(小餘六/二五七)

　　　　　(六四五○九一四八七八○五/○一九五七四五五六四七)為一率

　　　　　半徑之股一兆為二率小同式形之勾

　　　　　一千五百四十七億零五十三萬八千

　　　　　三百七十九(小餘二五一五二九○一/八二九七五六一○○三)

　　　　　(九一四九一/一二九五)為三率推得四率二千六

　　　　　百七十九億四千九百一十九萬二千

　　　　　四百三十一(小餘一二二七○六四七/二五五三六五八四九四)

　　　　　(一二七六三/三○五七)為小同式形之股倍之得

　　　　　五千三百五十八億九千八百三十八

　　　　　萬四千八百六十二(小餘二四五四一/二九四五一○七)

　　　　　(三一六九八八二五/五二六六一一四)為圜外十二邊形

　　　　　之每一邊如是屢求得圜外二十四邊

　　　　　形之毎一邊為二千六百三十三億零

　　　　　四百九十九萬五千一百七十四(小餘/七九)

　　　　　(一七○六九四三○五二九一四/八一九四三四二○七一八四)圜外

　　　　　四十八邊形之每一邊為一千三百一

　　　　　十億八千六百九十二萬五千六百三

　　　　　十零(小餘四七六四五七一二九○八/七四四九七五九八八五五八九)

　　　　　(八四/二)圜外九十六邊形之每一邊為六

　　　　　百五十四億七千三百二十二萬零八

　　　　　百二十五(小餘九四五一七二八七八/五一七八九七七八六九一)

　　　　　(九二四七/三一○)圜外一百九十二邊形之每

　　　　　一邊為三百二十七億二千七百八十

　　　　　四萬四千二百七十零(小餘六二三一/六五三三○六)

　　　　　(八二一五七二二五九/三九八八九七五六)圜外三百八十

　　　　　四邊形之每一邊為一百六十三億六

　　　　　千二百八十二萬六千八百零七(小餘/五八)

　　　　　(七七五二七四○七五○一二四/一四二六二九三○五五○二)圜外

　　　　　七百六十八邊形之每一邊為八十一

　　　　　億八千一百二十七萬六千五百零一

　　　　　(小餘五七四七一二三四○五二八六/五四七○二○六三七八四二四六)

　　　　　圜外一千五百三十六邊形之毎一邊

　　　　　為四十億九千零六十二萬一千一百

　　　　　三十八(小餘四三九四八七一七七○/七三八九五七六二五○九三)

　　　　　(○八六/七○)圜外三千零七十二邊形之毎

　　　　　一邊為二十億四千五百三十萬八千

　　　　　四百三十零(小餘一八九六八二三○/九八七九八九二○四九)

　　　　　(四○七三○/一四三八)圜外六千一百四十四邊

　　　　　形之毎一邊為一十億二千二百六十

　　　　　五萬三千九百四十七(小餘七一六五/○二九四○六)

　　　　　(○七九二三六一七○/八二四○○七六八)圜外一萬二千

　　　　　二百八十八邊形之每一邊為五億一

　　　　　千一百三十二萬六千九百四十零(小/餘)

　　　　　(四三五九七二三○一一六二四八/九八六三九六七三七八二六二)圜

　　　　　外二萬四千五百七十六邊形之每一

　　　　　邊為二億五千五百六十六萬三千四

　　　　　百六十六(小餘○四○二○一六六四/○五二四五三七一九三三)

　　　　　(九一五○/五八二)圜外四萬九千一百五十二

　　　　　邊形之每一邊為一億二千七百八十

　　　　　三萬一千七百三十二(小餘四九七八/七七七八四○)

　　　　　(一○五六○七七四○/一○四六二三四八)圜外九萬八千

　　　　　三百零四邊形之毎一邊為六千三百

　　　　　九十一萬五千八百六十六(小餘一八/三六六一)

　　　　　(○一一四○三三三五六四/一三七七六七八四八四)圜外一十

　　　　　九萬六千六百零八邊形之每一邊為

　　　　　三千一百九十五萬七千九百三十三

　　　　　(小餘○八三六七○七七○六三八九/二五一四九七五○二五一六九四)

　　　　　圜外三十九萬三千二百一十六邊形

　　　　　之毎一邊為一千五百九十七萬八千

　　　　　九百六十六(小餘五四○八一五四一/八四三七○一○三七九)

　　　　　(二○二九四/三三二二)圜外七十八萬六千四百

　　　　　三十二邊形之每一邊為七百九十八

　　　　　萬九千四百八十三(小餘二七○二八/○二一三三五八)

　　　　　(二一○八七二五八/六○四二○三○)圜外一百五十七

　　　　　萬二千八百六十四邊形之每一邊為

　　　　　三百九十九萬四千七百四十一(小餘/六三)

　　　　　(五一二四一六九六九六五六九/○二八一四八七○四五五八)圜外

　　　　　三百一十四萬五千七百二十八邊形

　　　　　之每一邊為一百九十九萬七千三百

　　　　　七十零(小餘八一七五六○○九二七/二五四六七四七四九七七六)

　　　　　(四四三/五四)圜外六百二十九萬一千四百

　　　　　五十六邊形之每一邊為九十九萬八

　　　　　千六百八十五(小餘四○八七七九七/九七三四七三八一六)

　　　　　(○七九七四二/七五二九八)圜外一千二百五十八

　　　　　萬二千九百一十二邊形之毎一邊為

　　　　　四十九萬九千三百四十二(小餘七○/四三八九)

　　　　　(八六七五四六七七一七八/七八○九四六一二一四)圜外二千

　　　　　五百一十六萬五千八百二十四邊形

　　　　　之每一邊為二十四萬九千六百七十

　　　　　一(小餘三五二一九四九二九八八二/五二一○六八八二八八四八八六)

　　　　　(二/)圜外五千零三十三萬一千六百四

　　　　　十八邊形之每一邊為一十二萬四千

　　　　　八百三十五(小餘六七六○九七四六/四四五四九○二三九八)

　　　　　(八一三七二/三○八二)圜外一億零六十六萬三

　　　　　千二百九十六邊形之每一邊為六萬

　　　　　二千四百一十七(小餘八三八○四八/七三二一六六六五)

　　　　　(六四三五七○三/三九六九七六)圜外二億零一百三

　　　　　十二萬六千五百九十二邊形之每一

　　　　　邊為三萬一千二百零八(小餘九一九/○二四三六)

　　　　　(六○七五七二八八七二/三八八七六五四二八)圜外四億零

　　　　　二百六十五萬三千一百八十四邊形

　　　　　之毎一邊為一萬五千六百零四(小餘/四五)

　　　　　(九五一二一八三○三六九一四/五一八○一一五一六○八○)圜外

　　　　　八億零五百三十萬六千三百六十八

　　　　　邊形之每一邊為七千八百零二(小餘/二二)

　　　　　(九七五六○九一五一八二三八/五一九二三二八九九七一○)圜外

　　　　　一十六億一千零六十一萬二千七百

　　　　　三十六邊形之毎一邊為三千九百零

　　　　　一(小餘一一四八七八○四五七五九/一五四四一七一四四八四二五六)

　　　　　(二/)圜外三十二億二千一百二十二萬

　　　　　五千四百七十二邊形之每一邊為一

　　　　　千九百五十零(小餘五五七四三九○/二二八七九五七五三)

　　　　　(五三二六三四/七○三六八)圜外六十四億四千二

　　　　　百四十五萬零九百四十四邊形之每

　　　　　一邊為九百七十五(小餘二七八七一/九五一一四三九)

　　　　　(七八七四四四七一/八一一六三二○)圜外一百二十八

　　　　　億八千四百九十萬一千八百八十八

　　　　　邊形之毎一邊為四百八十七(小餘六/三九三)

　　　　　(五九七五五七一九八九三六/九三三六九八五五八○二)圜外二

　　　　　百五十七億六千九百八十萬三千七

　　　　　百七十六邊形之每一邊為二百四十

　　　　　三(小餘八一九六七九八七七八五九/九四六八四三○六一二七七六○)

　　　　　(六/)圜外五百一十五億三千九百六十

　　　　　萬七千五百五十二邊形之每一邊為

　　　　　一百二十一(小餘九○九八三九九三/八九二九九七三四二一)

　　　　　(○七七六八/二五一六)乃以五百一十五億三千

　　　　　九百六十萬七千五百五十二邊之數

　　　　　與其每一邊一百二十一(小餘九○九/八三九九三)

　　　　　(八九二九九七三四二一/○七七六八二五一六)之數相乗得

　　　　　六兆二千八百三十一億八千五百三

　　　　　十萬七千一百七十九(小餘五八六四/七六九三二一)

　　　　　(五四六○一七七八二/八三九六○八三二)為圜徑二兆之

　　　　　周數

　　圜外切四邊起算

設如圜徑二兆用外切四邊起算問得圜周幾何

　　　　　法以圜徑二兆為外切四邊形之每一

　　　　　邊乃以圜徑二兆為股亦即為勾求得

　　　　　弦二兆八千二百八十四億二千七百

　　　　　一十二萬四千七百四十六(小餘一九/○○九七)

　　　　　(六○三三七七四四八四一/九三九六一五七一三八)為圜外四

　　　　　邊形之斜弦與圜徑相減餘八千二百

　　　　　八十四億二千七百一十二萬四千七

　　　　　百四十六(小餘一九○○九七六○三/三七七四四八四一九三九)

　　　　　(六一五七/一三八)即圜外八邊形之每一邊又

　　　　　以八邊形之毎一邊八千二百八十四

　　　　　億二千七百一十二萬四千七百四十

　　　　　六(小餘一九○○九七六○三三七七/四四八四一九三九六一五七一三)

　　　　　(八/)折半得四千一百四十二億一千三

　　　　　百五十六萬二千三百七十三(小餘○/九五○)

　　　　　(四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九)為勾半

　　　　　徑一兆為股求得弦一兆零八百二十

　　　　　三億九千二百二十萬零二百九十二

　　　　　(小餘三九三九六八八九九四四六四/一○七三二七七八八四○一二一)

　　　　　與半徑相減餘八百二十三億九千二

　　　　　百二十萬零二百九十二(小餘三九三/九六八八九)

　　　　　(九四四六四一○七三二/七七八八四○一二一)即股弦較又

　　　　　即小同式形之勾復以八邊形之一邊

　　　　　折半之勾四千一百四十二億一千三

　　　　　百五十六萬二千三百七十三(小餘○/九五○)

　　　　　(四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九)為一率

　　　　　半徑之股一兆為二率小同式形之勾

　　　　　八百二十三億九千二百二十萬零二

　　　　　百九十二(小餘三九三九六八八九九/四四六四一○七三二七七)

　　　　　(八八四○/一二一)為三率推得四率一千九百

　　　　　八十九億一千二百三十六萬七千三

　　　　　百七十九(小餘六五八○○六九一一/五九七六二二六四四六七)

　　　　　(六二二八/五九七)為小同式形之股倍之得三

　　　　　千九百七十八億二千四百七十三萬

　　　　　四千七百五十九(小餘三一六○一三/八二三一九五二四)

　　　　　(五二八九三五二/四五七一九四)為圜外十六邊形之

　　　　　每一邊如是屢求得圜外三十二邊形

　　　　　之毎一邊為一千九百六十九億八千

　　　　　二百八十萬六千七百一十四(小餘三/二八五)

　　　　　(○六一五四三九五○四二五/八二六五四八六四五八四)圜外六

　　　　　十四邊形之每一邊為九百八十二億

　　　　　五千三百六十九萬九千五百三十八

　　　　　(小餘九三四五○八二一○六八六六/四二五四二六二七二三四一五八)

　　　　　圜外一百二十八邊形之毎一邊為四

　　　　　百九十億九千七百二十四萬四千二

　　　　　百一十七(小餘八五○八八八二○九/一五九五○七九二一八一)

　　　　　(七四四二/三八四)圜外二百五十六邊形之毎

　　　　　一邊為二百四十五億四千四百九十

　　　　　二萬四千七百五十九(小餘一三二五/五○四六一七)

　　　　　(七五一○六四六八五/四一五九二八九○)圜外五百一十

　　　　　二邊形之毎一邊為一百二十二億七

　　　　　千二百萬零三百一十五(小餘二四六/八○三九二)

　　　　　(八五八八七三一二○二/六二一六七○五八二)圜外一千零

　　　　　二十四邊形之毎一邊為六十一億三

　　　　　千五百九十四萬二千四百零二(小餘/八四)

　　　　　(五三二九九七四一四七八三一/三六四二四三四七六五八四)圜外

　　　　　二千零四十八邊形之每一邊為三十

　　　　　億六千七百九十六萬三千九百八十

　　　　　二(小餘一七七三三三○五六九八五/四四一六三六七○○八七四九四)

　　　　　(四/)圜外四千零九十六邊形之每一邊

　　　　　為一十五億三千三百九十八萬一千

　　　　　零八十八(小餘六八六一八五二一○/三四六四一五四二三二五)

　　　　　(五八四七/五三八)圜外八千一百九十二邊形

　　　　　之每一邊為七億六千六百九十九萬

　　　　　零四百三十一(小餘五四二八八一九/七六六九一四六八三)

　　　　　(六八一五四四/三九三二○)圜外一萬六千三百八

　　　　　十四邊形之毎一邊為三億八千三百

　　　　　四十九萬五千二百零一(小餘六七一/四一七七七)

　　　　　(○二九一五五五一二一/七二六一八二一一○)圜外三萬二

　　　　　千七百六十八邊形之每一邊為一億

　　　　　九千一百七十四萬七千五百九十九

　　　　　(小餘○七三二○六○八○○九二二/九六○九三一四五一四六一○六)

　　　　　圜外六萬五千五百三十六邊形之毎

　　　　　一邊為九千五百八十七萬三千七百

　　　　　九十九(小餘三一六二九○一九二四/五二○六五五二六二○七六)

　　　　　(一九八/五八)圜外一十三萬一千零七十二

　　　　　邊形之每一邊為四千七百九十三萬

　　　　　六千八百九十九(小餘六三○六○五/九九○三七一六九)

　　　　　(七五二九八八九/四六二九四四)圜外二十六萬二千

　　　　　一百四十四邊形之每一邊為二千三

　　　　　百九十六萬八千四百四十九(小餘八/一一八)

　　　　　(六○六○六九五七○二三二/六九五八九三○一三二○)圜外五

　　　　　十二萬四千二百八十八邊形之每一

　　　　　邊為一千一百九十八萬四千二百二

　　　　　十四(小餘九○五五○○○○四九五/○○○一一四八一五○○二三)

　　　　　(三六/六)圜外一百零四萬八千五百七十

　　　　　六邊形之每一邊為五百九十九萬二

　　　　　千一百一十二(小餘四五二六九六二/一五一五八九三九六)

　　　　　(六○一二八○/二○一五四)圜外二百零九萬七千

　　　　　一百五十二邊形之毎一邊為二百九

　　　　　十九萬六千零五十六(小餘二二六三/四一三八四一)

　　　　　(六四九六二三○六三/四八二四八二二○)圜外四百一十

　　　　　九萬四千三百零四邊形之每一邊為

　　　　　一百四十九萬八千零二十八(小餘一/一三一)

　　　　　(六九八五一六五五六六七七/一五五三八六四一七五四)圜外八

　　　　　百三十八萬八千六百零八邊形之每

　　　　　一邊為七十四萬九千零一十四(小餘/○五)

　　　　　(六五八四八二○七七四四八二/一七八一五三二九一四五二)圜外

　　　　　一千六百七十七萬七千二百一十六

　　　　　邊形之每一邊為三十七萬四千五百

　　　　　零七(小餘○二八二九二三九七二五/五五七二一二九一二七四○四)

　　　　　(七三/○)圜外三千三百五十五萬四千四

　　　　　百三十二邊形之毎一邊為一十八萬

　　　　　七千二百五十三(小餘五一四一四六/一九六九八六三二)

　　　　　(七四四四五七○/一三三五七四)圜外六千七百一十

　　　　　萬八千八百六十四邊形之每一邊為

　　　　　九萬三千六百二十六(小餘七五七○/七三○九八二)

　　　　　(八七九八一三九四七/八五八七三三八六)圜外一億三千

　　　　　四百二十一萬七千七百二十八邊形

　　　　　之毎一邊為四萬六千八百一十三(小/餘)

　　　　　(三七八五三六五四九一一八三五/二九○六四五五五三七六○二)圜

　　　　　外二億六千八百四十三萬五千四百

　　　　　五十六邊形之毎一邊為二萬三千四

　　　　　百零六(小餘六八九二六八二七四五/五五九六五四七九三六○五)

　　　　　(九三九/一六)圜外五億三千六百八十七萬

　　　　　零九百一十二邊形之每一邊為一萬

　　　　　一千七百零三(小餘三四四六三四一/三七二七七五八一九)

　　　　　(九二九四六九/○○○九六)圜外一十億七千三百

　　　　　七十四萬一千八百二十四邊形之毎

　　　　　一邊為五千八百五十一(小餘六七二/三一七○六)

　　　　　(八六三八七四○九○三/一三一七七五四四○)圜外二十一

　　　　　億四千七百四十八萬三千六百四十

　　　　　八邊形之每一邊為二千九百二十五

　　　　　(小餘八三六一五八五三四三一九三/六四一八九八九八一七八三九四)

　　　　　圜外四十二億九千四百九十六萬七

　　　　　千二百九十六邊形之毎一邊為一千

　　　　　四百六十二(小餘九一八○七九二六/七一五九六八一三九八)

　　　　　(三六九八五/○二五二)圜外八十五億八千九百

　　　　　九十三萬四千五百九十二邊形之每

　　　　　一邊為七百三十一(小餘四五九○三/九六三三五七九)

　　　　　(八四○六○一三四/六三六七一六六)圜外一百七十一

　　　　　億七千九百八十六萬九千一百八十

　　　　　四邊形之每一邊為三百六十五(小餘/七二)

　　　　　(九五一九八一六七八九九二○/二八八四四三三六三八三八)圜外

　　　　　三百四十三億五千九百七十三萬八

　　　　　千三百六十八邊形之每一邊為一百

　　　　　八十二(小餘八六四七五九九○八三/九四九六○一四二六九二九)

　　　　　(五四四/五○)乃以三百四十三億五千九百

　　　　　七十三萬八千三百六十八邊之數與

　　　　　其每一邊一百八十二(小餘八六四七/五九九○八三)

　　　　　(九四九六○一四二六/九二九五四四五○)之數相乗得六

　　　　　兆二千八百三十一億八千五百三十

　　　　　萬七千一百七十九(小餘五八六四七/七三一二七一七)

　　　　　　(八六一八五八九四/一三三七六○○)為圜徑二兆之周

　　　　　　數

御製數理精藴下編卷十五